FatoraçãoFatoração

8ª Ano8ª Ano

Unidade Temática:Unidade Temática:

Produtos Produtos NotáveisNotáveis

Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:

Quadrado Quadrado da Soma de da Soma de dois termos:dois termos: bb

aa

bbaa

2)( ba

2b

2a

ba.

ba.

22 ..2 bbaa Soma das Áreas=Soma das Áreas=

)).(( baba

Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:

Quadrado da Quadrado da diferença de dois diferença de dois

termos:termos:

bb

aa

bbaa

2)( ba

2)( ba

Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:

Quadrado da Quadrado da diferença de dois diferença de dois

termos.termos.

a - a - bb

a - a - bb

2)( ba

2)( ba

22 ..2 bbaa

Calculando a área Calculando a área que sobrou teremos:que sobrou teremos:

)).(( baba

Produtos Notáveis:Produtos Notáveis:

Diferença de Diferença de quadrados:quadrados:

22 ba

bb

aa

aa

bb

2a

2b

Após a subtração Após a subtração da maior área pela da maior área pela menor área, menor área, marcamos com uma marcamos com uma diagonal separando diagonal separando a área restante a área restante dividindo-a em duas dividindo-a em duas partes, que são dois partes, que são dois trapézios.trapézios.

Após separarmos Após separarmos as áreas, as áreas, registramos registramos algebricamente as algebricamente as partes que sobraram partes que sobraram (lados do trapézio).(lados do trapézio). bb

aa

aa

bb

a - a - bb

a - a - bb

Diferença de Diferença de quadrados:quadrados:

ba.ba.

Agora se juntarmos Agora se juntarmos os trapézios os trapézios

formaremos um formaremos um retângulo de lado retângulo de lado (a + b) e (a - b) e se (a + b) e (a - b) e se calcularmos a sua calcularmos a sua

área vamos encontrar área vamos encontrar (a (a2 2 - b- b22).).

a + a + bb

a -

ba -

b

)).(( baba 2a 22 ba

bb

2b

22 ba

aa

bb

bbaaaa

bb

Considere um cubo Considere um cubo de aresta “a + b”, de aresta “a + b”,

como o da figura ao como o da figura ao lado.lado.

O volume de um cubo O volume de um cubo de arestas ℓ é ℓde arestas ℓ é ℓ33, , então o volume do então o volume do cubo representado cubo representado pela figura é (a+b)pela figura é (a+b)33. .

O Cubo da soma de O Cubo da soma de dois termos:dois termos:

Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:

Um cubo de aresta “a”.Um cubo de aresta “a”.

Volume: aVolume: a33..

aa

aaaa33

aa

Três paralelepípedos Três paralelepípedos que têm arestas que têm arestas

a, a e b. a, a e b.

Cada paralelepípedo Cada paralelepípedo tem volume atem volume a22b. b.

O volume dos três O volume dos três paralelepípedos é paralelepípedos é

3a3a22b.b.

bb

bb

aa22

bbaa

aa22

bb

aa22 bb

aa

aa

aa

bb

aa

aa

Três paralelepípedos Três paralelepípedos que têm arestas que têm arestas

a, b e b. a, b e b.

Cada paralelepípedo Cada paralelepípedo tem volume abtem volume ab22. .

O volume dos três O volume dos três paralelepípedos é paralelepípedos é

3ab3ab22..

abab22

abab22

bb

bb

aa

bb

aa

aabb

bb

abab22

bb

Um cubo de aresta “b”.Um cubo de aresta “b”.

Volume: bVolume: b33..bb33bb

bbbb

aa22 bb

aa22bb

aa33

Somando todos esses Somando todos esses volumes temos:volumes temos:

abab223a 3bba23 23ab

Como o volume do todo é igual à Como o volume do todo é igual à soma dos volumes das partes, soma dos volumes das partes,

temos:temos:

32233 33)( babbaaba

aa22bb

abab22

abab22

bb33

Projeto Educacional DiademaProjeto Educacional DiademaMonteiro LobatoMonteiro LobatoProfº AmarildoProfº Amarildo

Esse mesmo resultado pode ser obtido através do Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:seguinte cálculo:

23 )(.)()( bababa

)2(.)( 22 bababa

Aplicando a propriedade Aplicando a propriedade distributiva:distributiva:

3a 3bba2 22abba22 2ab

Portanto:Portanto:

32233 33)( babbaaba

1º 1º

TermTermoo

2º 2º TermoTermo

Cubo do 1º Cubo do 1º Termo.Termo.

Cubo 2º Cubo 2º Termo.Termo.

3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º º termo).termo).

3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º º termo).termo).

Esse mesmo resultado pode ser obtido através do Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:seguinte cálculo: 23 )(.)()( bababa

)2(.)( 22 bababa

Aplicando a propriedade Aplicando a propriedade distributiva:distributiva:

3a 3bba2 22abba22 2ab

O Cubo da diferença de dois termos:O Cubo da diferença de dois termos:

Portanto:Portanto:

32233 33)( babbaaba

1º 1º

TermTermoo

2º 2º TermoTermo

Cubo do 1º Cubo do 1º Termo.Termo.

Cubo 2º Cubo 2º Termo.Termo.

3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º º termo).termo).

3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º º termo).termo).

Hora da revisão:Hora da revisão:

Diferença de quadrados:Diferença de quadrados:

Quadrado da soma de dois termos:Quadrado da soma de dois termos:

Quadrado da diferença de dois termos:Quadrado da diferença de dois termos:

2)( ba 22 ..2 bbaa 2)( ba 22 ..2 bbaa

)).(( baba

22 ba

Cubo da soma de dois termos:Cubo da soma de dois termos:

Cubo da diferença de dois termos:Cubo da diferença de dois termos:32233 33)( babbaaba

32233 33)( babbaaba

).( axx 2x

Fator ComumFator Comum

FatoraçãoFatoração::

xx

aaxx

2x xa.

xa.

Calculando-se a Calculando-se a Área:Área:

Fator ComumFator ComumFatoraçãoFatoração

::

)2.(2 aa 2.2 a

22aa

44aa

22aa.4

a.4

aa

Colocando o fator Colocando o fator em evidência em evidência

teremos:teremos:

Fazendo o fator Fazendo o fator comum entre as comum entre as

áreas áreas encontraremos :2aencontraremos :2a

por agrupamento:por agrupamento:

amam

bb

aa

mm nn

)).(( nmba ma. na. nb.mb.

FatoraçãoFatoração::

bmbm

aannbnbn

Fazendo o fator comum entre os Fazendo o fator comum entre os termos apresentados, volta-se ao início. termos apresentados, volta-se ao início.

)).(( nmba

ma. na. nb.mb. ).( nma ).( nmb

Aplicando o fator comum Aplicando o fator comum duplamente:duplamente: