Fenomeni ondulatori 1 Lezione 14 150409. Fenomeni ondulatori 2 Tipi fondamentali di onde Onde trasversali: loscillazione (o la perturbazione) è in direzione

Fenomeni ondulatori 1

Lezione 14 150409


Tipi fondamentali di ondeOnde trasversali: l’oscillazione (o la

perturbazione) è in direzione perpendicolare alla direzione di

propagazione dell’onda (il moto del punto P è verticale mentre l’onda

viaggia in orizzontale)

Onde longitudinali: l’oscillazione (o la perturbazione) è nella stessa

direzione di propagazione dell’onda (il movimento è orizzontale come la

velocità; ad esempio le onde sonore sono longitudinali)

Onde miste: combinazione di moti trasversali e longitudinali.

Nelle onde sulla superficie dell’acqua le particelle hanno un movimento

quasi circolare.

Le onde trasversali richiedono che il mezzo offra resistenza agli sforzi di taglio nei gas non si possono avere onde trasversali, ma solo longitudinali


Ad un certo istante l’onda è descritta da una funzione y = f(x) che ne da' la forma spaziale (come se scattassimo una foto) Concentriamo l'attenzione sul punto in cui l'altezza dell'onda e' yM che a un certo istante to = 0 si trova nella posizione xo

Dopo un tempo t l’onda si è spostata di vt, e il punto di ampiezza yM si trova nel punto x1=xo+vt, quindi si ha f(xo) = f(x1) = f(xo – vt), cioe' non sono gli elementi del mezzo a conservare lo spostamento ma i punti sulla forma dell'onda Se tutti i punti viaggiano alla stessa velocita’ la forma della perturbazione non cambia e si sposta mantenendo inalterata la sua forma Dopo il passaggio della perturbazione, gli elementi del mezzo tornano alla posizione di equilibrio quello che si propaga e’ la perturbazione, non il mezzo attraversato dalla pertubazione,

P

P

P

Come si descrive la propagazione di un'onda?


A meno di effetti di distorsione l’impulso si propaga rigidamente: la forma resta invariatay = f (x) a t=0. Dopo t lo spostamento verticale del punto P è y = f (x – vt) f(x,t) funzione d’onda

y(x,t)=f(x-vt) oppure y(x,t)=f(x+vt) (onda retrograda)



Le onde sono spesso prodotte da oscillazioni (anche non regolari) di oggetti che trasmettono energia al mezzo

Onde generate da un pennino connesso ad una massa oscillante

Onda generata da un singolo impulso in moto

lungo una corda tesa

Onda acustica generata dalla compressione del fluido


Onde sinusoidali

Onda sinusoidale:singoli punti oscillano comeoscillatori armonici semplici

y(x,t) = A sin[b(x-vt)]

Ampiezza della perturbazione nella posizione x all'istante t Fattore oscillatorio Fase dell'onda in radianti, b e' un fattore che fa si che la fase abbia le dimensioni di un angolo


cresta

t fisso

x fisso

ventre

nodo

Le onde possiedono due tipi di periodicita': Spaziale se fissiamo t (cioe' scattiamo un'istantanea dell'onda), le oscillazioni si ripetono a intervalli , che e' la lunghezza d'onda Temporale se ci mettiamo in una posizione fissa e guardiamo gli spostamenti dalla posizione di equilibrio del punto in funzione del tempo, le oscillazioni si ripetono dopo un intervallo di tempo T, che e' il periodo dell'onda

e T non sono indipendenti: in un periodo T, l'onda si sposta di una lunghezza , cioe'

/T= v, vel di propagazione dell'onda

NB: l'onda armonica o onda piana e' infinitamente estesa nel tempo e nello

spazio,percio' rappresenta una idealizzazione. In pratica tutte le onde hanno un'estensione limitata nel tempo e nello spazio –si parla di

treni di onde o di pacchetti di onde


onda verso destra

y = A sin (k x – t)

L'argomento del fattore oscillatorio deve avere le dimensioni di un angolo, cioe' deve essere adimensionale e al tempo stesso dipendere dalla combinazione x-vt si introduce quindi la quantita' b = 2/´ k detto numero d'onda che ha dimensioni [L]-1 (inverso di una lunghezza), cosi' che la fase sia un numero privo di dimensioni fisiche

Ma /T= v v = /T

lunghezza d’onda periodo T frequenza = 1/ T velocita' di prop. V = / T ampiezza A numero d’onda k=2 pulsazione ωT= 2


Meccanismo di propagazione delle onde meccaniche La propagazione delle onde dipende da una

proprieta’ inerziale del mezzo, cioe’ capacita’ di immagazzinare energia cinetica e da una sua proprieta’ elastica, cioe’ capacita’ di immagazzinare energia potenziale elastica

La relazione = v (1) fissa la relazione fra lunghezza d'onda e periodo: la sorgente fissa per esempio la frequenza (p es quanto rapidamente agito la mano nell'acqua); le proprieta' fisiche fissano la velocita' di propagazione v, la relazione (1) fissa

Il periodo dell'onda (cioe' la frequenza) e' lo stesso della sorgente, esso non cambia durante il moto (ie se v diminuisce, lambda aumenta e viceversa)


Energia delle onde

Le onde trasmettono energia ne quantita' di moto: se appendiamo una

piccola massa alla corda, essa si solleva quando viene raggiunta dalla

perturbazione essa acquista energia cinetica e potenziale (poiche' la sua

quota viene variata) a spese di quella trasportata dall'onda


Il fronte d’onda

Fronte d’onda piano: la sorgente e' una sorgente a simmetria piana a sinistra

Fronte d’onda circolare: la sorgente delle onde è una

sorgente puntiforme al centro

In un mezzo omogeneo e isotropo le onde si propagano in linea retta Il fronte d'onda e' il luogo geometrico dei punti dello spazio a t = costante in cui la fase dell'onda ha lo stesso valore, cioe' il luogo dei punti che ad un dato t hanno la stessa ampiezza I fronti d'onda sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell'onda

Vista trasversale


I raggi d’onda

Fronte d’onda piano: i raggi sono tutti paralleli fra loro

(tecnicamente individuano la giacitura del piano)

Fronte d’onda circolare o sferica: la sorgente delle onde è un punto al centro, i raggi sono semirette

radiali

La direzione di propagazione di un'onda e' individuata dal raggio dell'onda I raggi sono le direzioni perpendicolari ai fronti d'onda

raggio

raggio


Se la velocità dell’onda è la stessa in tutte le direzioni, il fronte d’onda coincide con il luogo geometrico dei punti equidistanti dalla sorgente e raggiunti dall’onda stessa all'istante considerato.Ad esempio:

Sorgente Fronte d’onda Esempi

Puntiforme Onde sferiche o circolari

Sasso che cade in acqua

Filiforme Onde cilindriche Onda sonora generata da una fila di auto in colonna

Piana Onde piane Lamina bidimensionale

vibrante


Fronti d'onda


Intensita' di un'onda

E' definita come la potenza che attraversa un fronte d'onda di "area" unitaria perpendicolare

alla direzione di propagazioneI = P/S e si misura in W/m2

Oltre alla frequenza, lunghezza d'onda e velocita' di propagazione, c'e' anche un altro parametro importante per un'onda: la sua intensita'

Come ci accorgiamo quando un "intenso" rumore ci impedisce di dormire O un'onda marina "intensa" ci manda a gambe all'aria in riva al mare O quando "non c'e' campo" per il telefonino...

In tutti i casi non importa quale sia la velocita' o frequenza, importa quanta energia riceviamo per unita' di superficie sensibile (timpano, corpo, antenna), la potenza totale ricevuta dipende poi da quanto e'

grande la superficie ricevente: P = I£S


Intensita' di un'onda 3D L'energia trasportata e' trasferita al mezzo dalla

sorgente (che deve compiere lavoro) Se nel mezzo non ci sono sorgenti o pozzi che possono

immettere o assorbire energia, l'energia totale dell'onda si conserva

Nel corso della propagazione il fronte d'onda si espande, aumentando la dimensione, p. es. la superficie nel caso di onde sferiche la stessa energia si distribuisce su una superficie sempre piu' grande

S

R1

R2

Se la sorgente emette una potenza P (=E/t), dopo un tempo T1, la stessa potenza si trova distribuita su un fronte d'onda di superficie A1 a distanza R1 dalla sorgente, P1 = P; dopo un tempo T2, la stessa potenza P e' distribuita su un fronte d'onda a distanza R2, P2 = P tenendo conto che A =4R2

Dato che I = P/S P = I1A1 = I2A2 I2 = (A1/A2)I1 = (R12/R2

2)I1Quindi, se misuriamo l'intensita' I1 a distanza R1, sappiamo che essa decresce con il quadrato della distanza dalla sorgente (ie pensate fissati e noti I1 ed R1)

Dato che deve essere P = IA = I 4 R2, cioe' quando sommiamo l'intensita' su tutto il fronte d'onda dobbiamo ritrovare la stessa potenza emessa dalla sorgente

I = P/(4R2)


Intensita' sonora

L'orecchio umano percepisce l'intensita' sonora con una scala

logaritmica


Esempio


Principio di sovrapposizione In matematica: proprietà algebrica dei sistemi di

equazioni lineari, se esistono più soluzioni, ogni combinazione lineare di queste sarà ancora soluzione del sistema.

In fisica: stesso principio dove “le equazioni” sono le equazioni dinamiche del sistema (per es. equazioni del moto) e le soluzioni sono le evoluzioni temporali del sistema.

se F1(x,t) ed F2(x,t) soluzioni

F(x,t) = a F1(x,t) + b F2(x,t) è ancora soluzione


…applicato alle onde

In ogni punto dello spazio in cui due onde incidono, l’oscillazione complessiva è la somma algebrica delle oscillazioni delle due onde incidenti.

Le onde generano figure complesse nelle regioni in cui si “scontrano”,ma, apparentemente si ignorano, emergendo da queste zone esattamente come vi erano entrate.


Le perturbazioni hanno lo stesso segno quando si sovrappongono (in tal caso si dice sono in fase): l'ampiezza risultante e' amplificata (rispetto alle singole onde)


La perturbazioni hanno segno opposto quando si sovrappongono (in tal caso si dice sono in opposizione di fase): l'ampiezza risultante e' diminuita (rispetto alle singole onde)


Sovrapposizione e interferenzaLa combinazione di onde nella stessa regione di spazio è dettainterferenza


Sovrapposizione ed interferenza di onde sinusoidali

Caso di onde che si propagano nella stessa direzione e verso


interferenza e coerenza

Infatti se = (t) (cioe' se la differenza di fase dipende dal tempo) e la variazione

e' casuale perche' le due sorgenti emettono in modo indipendente, allora il valor medio della funzione cos(t) e' =1

e quindi Itot = I1 + I2 e non c'e' interferenza

Quando due sorgenti hanno in ogni punto una differenza di fase costante nel tempo (ma che puo' cambiare da punto a punto nello spazio) si dicono coerentiL'interferenza avviene solo fra sorgenti coerenti (ecco perche' quando parliamo in piu' d'uno, p es, non si ha interferenza)Si puo' dimostrare che Itot = (I1

2 + I22 + 2I1I2cos(/2))1/2

interferenza costruttiva

interferenza distruttiva

interferenza "media"


Interferenza di onde sferiche

Nelle strisce intorno alle linee A le 2 perturbazioni si rinforzano, producendo ampie oscillazioni. In ogni punto arrivano assieme le creste emesse dalle 2

sorgenti, poi le gole, poi le creste... Nelle strisce attorno alle linee N le 2 perturbazioni si annullano e lasciano l’acqua quasi imperturbata. In ogni loro punto arriva una cresta della prima e una gola della seconda, poi una gola

della prima e una cresta della seconda.....

L'interferenza e' causata dal differente cammino che le due

onde fanno per arrivare in un punto P: esistono direzioni lungo le quali si ha effetto costruttivo o

distruttivo

P


Riflessioni a un'estremita'

Se un'estremita' e' fissa, quando l'onda raggiunge il punto fisso, l'ampiezza dell'onda in P e' zero (perche' e' fisso), cioe' e' un nodo L'estremo esercita una forza sulla parete verso la parete; per reazione la parete esercita una forza uguale e opposta sulla corda verso il basso La forza di reazione genera un impulso che viaggia a ritroso nel verso opposto a quello incidente


Se l’estremità della corda è libera l’impulso incidente viene riflesso senza essere invertito, cioe' e' un antinodo (ventre o cresta)Infatti l'elemento di corda all'estremita' libera della corda, nel momento di max ampiezza, esercita una forza sulla parete pari alla tensione e perpendicolare alla parete, che per reazione esercita una forza uguale e contraria sulla corda invertendone la direzione del moto, ma non la fase perche' non vi sono componenti verticali della reazione

R T


Fenomeni ondulatori I fenomeni ondulatori sono molto diffusi in natura ed hanno

delle caratteristiche comuni. Le onde che si prestano a facili osservazioni sono quelle che

si formano sulla superficie dell’acqua Una perturbazione provoca progressivamente creste e valli

che si propagano nelle due direzioni. Sasso gettato in uno stagno si ha la formazione di anelli

concentrici che si allargano. Il profilo dell’onda è la sinusoide disegnata per illustrare il

moto del pendolo. Onda meccanica lungo una corda, una molla, sulla

superficie di un liquido


Fenomeni ondulatori La distanza tra due creste

(o tra due valli o in generale la più piccola distanza tra due punti in cui l’ampiezza dell’onda è uguale) si chiama lunghezza d’onda.

Un punto fisso dello spazio, ad esempio un sughero che galleggia sull’acqua si muoverà su e giù nel tempo con lo stesso andamento sinusoidale.

Tornerà alla sua posizione originale in un periodo.

Frequenza: n. oscillazioni in un secondo f = 1/T (Hertz=1/s)

Ampiezza di oscillazione

ampiezza oscillazione nello spazio

-1

-0,5

0

0,5

1

0 1 2 3 4

posizione

A

Lunghezza d’onda

Ampiezza


Tipi di onde Onde trasversali (onda lungo la corda, sulla

superficie d’acqua)

Onde longitudinali (onda di percussione in un solido, molla si comprime o si dilata una tratto di molla)

vibrazione propagazione

vibrazione propagazione


Propagazione di un’onda Le onde “viaggiano”: fotografando l’onda a due istanti

diversi l’onda apparirà la stessa ma traslata, spostata, in una direzione.

Ogni punto dello spazio ritorna alla sua posizione originaria in un periodo, in tale intervallo di tempo l’onda si sarà spostata in modo da apparire identica, il che avviene se l’onda ha “viaggiato” per una lunghezza d’onda (λ, lettera greca lambda).

La velocità di propagazione dell’onda sarà quindi (moto rettilineo uniforme):

v = λ/T= λf Oscillazioni smorzate: energia dissipata per effetto di attriti

-> graduale diminuzione dell’ampiezza Oscillazioni forzate: energia rifornita al sistema -> graduale

aumento dell’ampiezza

t

S(t)

o

S(t)

o t


Sovrapposizione di onde Cosa avviene quando due onde si incontrano nel loro moto? Quando due o più onde attraversano lo stesso mezzo, lo

spostamento di una qualsiasi particella del mezzo è la somma degli spostamenti che le singole onde le imprimono.P.es.: Se arrivano due creste o due avvallamenti

contemporaneamente, le ampiezze si sommano Se arrivano contemporaneamente una cresta ed un

avvallamento, le ampiezze si compensano L’ interferenza è il segno distintivo del comportamento

ondoso. Se due onde della stessa ampiezza e della stessa lunghezza

d’onda si sovrappongono in modo tale che le creste dell’una coincidano con le valli dell’altra il risultato sarà: nessuna onda!

Risonanza: amplificazione dell’ampiezza delle oscillazioni per effetto di un impulso periodo della stessa frequenza.

Le onde circolari il raggio diviene sempre più grande. A grande distanza, le creste acquistano il profilo quasi di una retta (fronte d’onda) perpendicolare alla direzione di propagazione.


Onde ed ostacoli Cosa avviene se le onde nel loro cammino

incontrano un ostacolo che impedisce la propagazione (come una sponda)?

Si può osservare, che se il fronte d’onda è piano e l’ostacolo anche, l’onda si riflette e dopo aver urtato contro l’ostacolo ripartendo in modo tale che l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione

Angolo di Angolo di incidenzaincidenza

Angolo di Angolo di riflessioneriflessione

SpondaSponda

Propagazione Propagazione delle fronti delle fronti d’ondad’onda


o = (1 +2)/2

Cosa succede se la corda ha una lunghezza finita? P. Es ha i due estremi fissi


Poniamo per semplicita' o = 0

y1 = A sin (kx – t); y2 = A sin (kx + t)

ytot = y1 + y2 = 2Asin(kx)cos(t)

la dipendenza dal tempo è fattorizzataL’onda risultante NON si propaga: è stazionaria

In un punto x si ha un'oscillazione armonica di pulsazione con un'ampiezza A' = 2Asin(kx) che dipende da x


Si hanno nodi (ampiezza nulla) per

ytot = 2A sin(kx)cos(t)Si hanno nodi quando sin(kx) = 0

Si hanno antinodi (ventri o creste) quando sin(kx) = §1 (+creste, - nodi)


Onde stazionarie nelle corde

L’onda è sottoposta a condizioni al contorno: solo le ondeche hanno nodi alle estremità sono permesse (quantizzazione)

n/2 = L ovvero = 2L/n

n=1

n=2

n=3



Serie armonica

Una corda di lunghezza L vibra secondo i modi normali con = 2L/n

La frequenza dei modi normali è pertanto:

n=1 frequenza fondamentale, n>1 armoniche superiori

Le frequenze dei modi normali sono frequenze di risonanza

NB: le considerazioni svolte si applicano invariate alle onde longitudinali


Onde stazionarie ad estremi liberi Stesso meccanismo ma con

estremità aperte antinodi (creste o ventri)

con due estremità aperte λ è come nelle corde e

n = n1 = n (v/2L) n = 1, 2, 3, …

con v velocità del suono nel mezzoI palazzi, per esempio, sottoposti a sollecitazioni trasversali "vibrano"

come corde, alle frequenze naturali n e si possono aveere conseguenze disastrose in condizioni particolari


Onde in mezzi diversi Se le onde durante il loro moto passano

repentinamente da una zona in cui l’acqua ha una certa profondità diversa cambia la loro velocità di propagazione e si ha il fenomeno della rifrazione

V1

V2

La moneta che riappare


Attività sulle onde Osservazione di onde superficiali sull’acqua

facendo vibrare a mano una matita o un righello appena immersi nell’acqua

Osservazione di onde trasversali su corde legando una corda abbastanza pesante ad un estremo e

scuotendo in senso verticale l’estremo opposto di possono creare queste onde e osservare le riflessioni

Osservazioni su onde longitudinali in lunghe molle elicoidali

La chitarra Il flauto di Pan Registrazioni di suoni di frequenza variabile Le onde trasportano energia!


Fonti Halliday, Resnick, Fondamenti di

Fisica, Masson, 1996 Sette, Lezioni di fisica

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