FH D Fachhochschule Düsseldorf Fachgebiet Strömungstechnik und Akustik - Strömungstechnik II - Drehimpulssatz und Betrachtungsweise von Bewegungen Eine

FH DFachhochschule DüsseldorfFachgebiet Strömungstechnik und Akustik

- Strömungstechnik II -

Drehimpulssatz und Betrachtungsweise von Bewegungen

Eine Lehrveranstaltung für das 4. Semester des Studiengangs Prozess-, Energie-, und Umwelttechnik

Frank Kameier

Frank Kameier 2007


Frank Kameier 2007

d

dtr c dV r f dV r dAx

V

x x ~

Multiplikation (Kreuzprodukt) des Impulssatzes mit r


Frank Kameier 2007

d

dtr c Ads

r c A

tds r c A

ds

dtr c A

ds

dtx

V

x

s

s

x x

~

1

2

2 2 2 22

1 1 1 11

M r p A e r p A eE x x 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

mr e

tds m c r e m c r e M M M

x

s

s

x x V M E 1

2

2 2 2 2 1 1 1 1

m c r e m c r e M M Mx x V M E2 2 2 2 1 1 1 1

Für einen Stromfaden folgt nach rein mathematischer Umformung:

mit ds/dt=c der Kontinuitätsgleichung und dem Moment in den Endflächen ME

folgt

und für stationäre Strömungen folgt der Eulersche Momentensatz


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Betrachtungsweise von Bewegungen:

ruhendes System mitbewegtes System

Absolutsystem Relativsystem

Inertialsystem Nicht-Inertialsystem

keine Scheinkräfte Coriolis- und Zentripetal kraft als Scheinkräfte

inertial (fixed) frame of reference rotating frame (of reference)

Schnitt durch ein Pumpenlaufrad:


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c u w

rxu

t

Die Geschwindigkeit im Absolutsystem ist gleich der Umfangsgeschwindigkeit plus der Geschwindigkeit im Relativsystem.

.

Die Umfangsgeschwindigkeit ist das Kreuzprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Radiusvektor r .

,

mit der Winkelgeschwindigkeit


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wuc

Die Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung:

m c r e m c r e M M Mx x V M E2 2 2 2 1 1 1 1 aus

mit

(Momente werden auf die Drehachse bezogen oder verschwinden aufgrund der Orientierung der Normalenvektoren der Endflächen)

0 0

m r c r c Mx x M2 2 1 1

Dem Betrage nach folgt

m r c r c Mu u2 2 1 1


Frank Kameier 2007

Exkurs zum Zusammenhang von Drehimpuls, Arbeit und Leistung:

sFW

s r

W F s F r

Eine Kraft, die über einen Weg verrichtet wird, nennt man Arbeit

Der überstrichene Weg bei einer rotatorischen Bewegung ist

mit dem Betrag des Radiusvektors r und dem Winkel , so dass für die Arbeit folgt

M r xF

Der Kraft äquivalent ist das Drehmoment

.

[Nm]=[J]


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W F s M

P Fs

tM

t

vs

t

t

für die Arbeit folgt

.Die in der Zeit t geleistete Arbeit führt zu der Leistung

Die zurückgelegte Wegstrecke pro Zeit wird Geschwindigkeit genannt

Der überstrichene Winkel pro Zeit wird Winkelgeschwindigkeit genannt

[ Nm/s ]=[ J/s ]=[ W ]


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2n

P M

M m r c r cu u 2 2 1 1

P m r c r cu u 2 2 1 1

u11u22 cucumP

Auf ganze Umdrehungen 2 bezogen gilt mit der Drehzahl n

Für die Leistung an der Welle einer Strömungsmaschine folgt somit

Mit dem Betrag des Drehimpulses


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Y P m

Y u c u cu u 1 1 2 2

Y u c u cu u 2 2 1 1

Für Strömungsmaschinen (Turbine oder Pumpe) gilt1 = Laufradeintritt,2= Laufradaustritt.

(stets positiv!)

(Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung)

- kompressible und inkompressible Strömungen- mit und ohne Reibung der Strömung im Schaufelgitter.

Die Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung gilt somit für hydraulische und thermische Strömungsmaschinen.

für Turbinen

für Pumpen/Verdichter


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c u w u

u c u c u w uu 2

222

222

wuc2

1uw

uuw2wc

u c c u w u

u cc u w

u

u

1

2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

Umformung für eine anschauliche Interpretation (Cosinus-Satz)

Quadrieren des Geschwindigkeitsdreiecks ergibt

eingesetzt folgt


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2

ww

2

uu

2

ccY

22

21

22

21

22

21

Yc c u u w w

2

212

22

12

22

12

2 2 2

In die Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung eingesetzt folgt für Turbinen

für Turbinen

für Pumpen

Änderung der spezifischen kinetischen Energie im Absolutsystem (z.B. durch Beschleunigung der Strömung bei Pumpen oder durch Verzögerung der Strömung bei Turbinen)

Differenz der spezifischen kinetischen Energie durch Änderung der Fliehkräfte am Ein- und Austritt

Änderung der spezifischen kinetischen Energie im Relativsystem (z.B. die spezifische Verzögerungsarbeit der Strömung bei einer Pumpe und die spezifische Beschleunigungsarbeit der Strömung bei einer Turbine).


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Bernoullische Gleichung mit Energiezufuhr und Verlusten (inkompressible Strömung):

Vppzg

cppzg

c 22

221

1

21

22

mit z z1 2 , d.h. Ein- und Austritt der Strömungsmaschine befinden sich auf gleicher geodätischer Höhe,

Yppp

2

ccp V

ungDruckändertotaleespezifisch

ungDruckänderstatischeespezifisch

1221

22

(für inkompressible Medien)

„Gesamt“ = „total“ = „dynamisch“ + „statisch“


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h

cgz h

cgz

P

mT

222

2 112

12 2

Y

t

derungEnthlpieäntotale

nderungEnthalpieästatische

12

21

22 hYhh

2

cc

spezifische Stufenarbeit bei kompressibler Strömung (Energiesatz für einen Stromfaden)

mit z z1 2 , d.h. Ein- und Austritt der Strömungsmaschine befinden sich auf gleicher geodätischer Höhe,

(für kompressible Medien)

„dynamisch“ + „statisch“ = „Gesamt“ = „total“


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Änderung des Betriebszustands - Androsseln

u u u1 2

Y u c cu u ( )2 1

ungedrosselter

Strömungszustand im Axialgitter gedrosselter

Strömungszustand im Axialgitter

c c cx x x2 1 (für inkompressible Medien) c cxunged

xged. .


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