Fiabilitatea sistemelor

Ingineria sistemelor industriale

7. CONCEPTE DE BAZĂ ALE FIABILITĂŢII SISTEMELOR

INDUSTRIALE

Progresul tehnologic considerabil, început în a doua jumătate a secolului al XX-

lea este strâns legat de realizarea unor utilaje şi dispozitive din ce în ce mai complexe.

În general, acestea sunt alcătuite din mai multe dispozitive simple, având fiecare o

durată de serviciu relativ satisfăcătoare. Deşi s-au realizat îmbunătăţiri considerabile în

sensul sporirii duratei de serviciu a componentelor de bază, de exemplu cele

microelectronice, acestea nu au determinat însă şi o creştere echivalentă a duratei de

serviciu a echipamentelor şi sistemelor în care erau folosite. În unele cazuri,

complexitatea echipamentelor şi sistemelor a sporit într-un ritm mult mai intens decât

duratele de serviciu ale componentelor, încât s-a ajuns la situaţia că numeroase

echipamente au o durată de viaţă mult mai mică decât a oricăreia dintre componentele ei

de bază. În alte cazuri, s-a ajuns şi la reducerea substanţială a duratelor potenţiale de

serviciu a componentelor de bază din cauză că acestea au fost incorect folosite sau

suprasolicitate. În alte cazuri nu s-a înţeles că trebuie acordat timp şi suficientă atenţie

problemelor legate de asigurarea duratelor de viaţă potenţial posibile ale componentelor

de bază.

Definiţia, în general acceptată, a fiabilităţii este următoarea: „fiabilitatea este

probabilitatea ca un dispozitiv să-şi îndeplinească, fără defectări, funcţiile sale

specifice pe o anumită perioadă de timp, într-un ansamblu de condiţii de funcţionare

dinainte precizate”.

7.1. Instrumentul matematic al fiabilităţii

Deoarece fiabilitatea este definită prin probabilitate, teoria fiabilităţii utilizează

parametri probabilistici cum sunt: variabilele aleatoare, funcţiile densităţii de

probabilitate şi funcţiile de distribuţie.

Funcţia de distribuţie U(t) a defectărilor se defineşte ca fiind probabilitatea

ca la o încercare la întâmplare, variabila aleatoare să nu fie mai mare decât t, sau [17]:

, (7.1)

în care u(t) este funcţia densităţii de probabilitate a defectărilor aleatoare.

Pagina 152


Această funcţie se numeşte „funcţie de nefiabilitate”, pentru că se referă la apariţia

defectului. Dacă variabila aleatoare este discretă, semnul de integrală este înlocuit de

sumă.

Funcţia de fiabilitate, sau probabilitatea ca un dispozitiv să nu se defecteze

înaintea unui moment t, este dată de relaţia:

(7.2)

Probabilitatea defectării într-un anumit interval de timp, t1 până la t2, poate fi

exprimată prin funcţia de fiabilitate:

(7.3)

Frecvenţa cu care apar defectele în intervalul t1-t2, sau altfel spus rata defectării

(t), se defineşte ca raport între probabilitatea ca defectul să se producă în acel interval,

cu condiţia să nu se fi produs înainte de t1 şi mărimea intervalului. Rezultă că:

(7.4)

care se poate scrie şi sub forma:

(7.5)

în care:

t=t1 şi t2=h+t1.

Rata instantanee a defectelor z(t) este definită ca limită a densităţii defectării

când intervalul tinde către zero, respectiv:

(7.6)

care se poate scrie şi sub forma:

(7.7)

Prelucrând ecuaţia (7.7) se poate obţine ecuaţia generală pentru funcţia de

fiabilitate:

(7.8)

Pagina 153


Experienţa arată că un număr relativ mic de funcţii satisface cele mai multe

cerinţe ale analizei fiabilităţii. În continuare sunt prezentate formulele de calcul ale

funcţiilor specifice şi curbele corespunzătoare, pentru funcţii de densitate alese.

În cazul curbelor de densitate Gauss sau normale (figura 7.1):

Funcţia de densitate: (7.9)

Funcţia de fiabilitate: (7.10)

Rata defectării: (7.11)

Pentru curbele de densitate exponenţială (figura 7.2):




unde: durata medie de viaţă, =1/.

Pagina 154

Figura 7.1. Funcţii specifice pentru distribuţie Gauss

a) Funcţia de densitate u(t); b) Funcţia de fiabilitate R(t); c) Rata defectării z(t)

a)

b)

c)

a)

b)

c)

Figura 7.2. Funcţii specifice pentru distribuţie exponenţială



Pentru curbele de densitate Gamma (figura 7.3):




În relaţiile (7.157.17) : =1 şi =0,1,2,3,4.

Pentru curbele de densitate Weibull (figura 7.4):

Pagina 155

t

u(t)

a)

t

R(t)

b)

t

z(t)

c)

Figura 7.3. Funcţii specifice pentru distribuţie Gamma






În relaţiile (7.187.20): =1 şi =1,2,3,4.

Forma funcţiilor de densitate diferă corespunzător ratei defectării. Astfel,

exponenţiala corespunde unei rate constante a defectării, independente de timp. Aceasta

înseamnă că probabilitatea defectării nu depinde de vechimea echipamentului. În cazul

curbelor de densitate Gauss sau normale, rata defectării creşte cu timpul, ceea ce

înseamnă că probabilitatea defectării sporeşte cu vechimea dispozitivului. Rata

defectării în cazul unei distribuţii Weibull depinde de valoarea astfel: pentru =1, rata

defectării şi funcţia de fiabilitate sunt identice cu o distribuţie exponenţială, pentru =2,

=3, =4, funcţia de fiabilitate tinde spre forma unei distribuţii normale.

Distribuţiile Weibull şi exponenţiale au cea mai largă aplicabilitate în analizele

fiabilităţii. Curbele de supravieţuire ale celor mai multe sisteme şi echipamente

complexe sunt de formă exponenţială, iar pentru numeroase componente curbele de

supravieţuire au forme de distribuţie Weibull.

În literatura de specialitate [21] sunt prezentate curbele corespunzătoare pentru

funcţiile de densitate şi fiabilitate şi pentru distribuţiile rectangulară, binomială şi

Poisson precum şi rata defectării pentru distribuţia rectangulară.

Pagina 156

1

2

3

4

u(t)

a)

1

2

3

4

R(t)

b)

z(t)

1

2

3

4

c)

Figura 7.4. Funcţii specifice pentru distribuţie Weibull



Calculul fiabilităţii

Se consideră un sistem alcătuit din n piese în serie, în care defectarea oricărei

piese conduce la defectarea întregului echipament, iar defectarea oricărei piese este

independentă de defectarea celorlalte piese.

Se notează funcţiile de fiabilitate pentru fiecare piesă prin Ri(t), i=1,2,…n şi

funcţia de fiabilitate a echipamentului R(t).

Probabilitatea ca echipamentul să supravieţuiască, fără defecte, momentului t este

dată de:

(7.21)

Dacă fiecare componentă are o densitate de probabilitate a defectărilor

exponenţială, atunci:

(7.22)

în care: şi .

Deci, densitatea defectării sistemului () este suma densităţilor defectării tuturor

componentelor (i), iar viaţa medie (durata medie) a sistemului este: = /

Exemplu:

Fie un sistem compus din 600 piese componente, fiecare având o densitate de

probabilitate a defectărilor exponenţială. Fiecare piesă componentă are o fiabilitate de

99%, pe un interval oarecare t.

Fiabilitatea sistemului pentru acelaşi t este:

Deci din 1000 de astfel de sisteme, 997 nu vor izbuti să supravieţuiască

momentului t.

Durata medie de viaţă şi media timpului de bună funcţionare

Durata medie de viaţă a echipamentelor, este similară cu durată sperată a vieţii

unei persoane dintr-o populaţie umană. Noţiunea “durata medie de viaţă” este utilizată

pentru cazurile când componentele nu sunt înlocuite după defectarea lor, şi reprezintă

media aritmetică a duratelor de funcţionare până la defectare, ale tuturor mostrelor

testate.

Pagina 157


Media timpului de bună funcţionare, MTBF, se foloseşte pentru situaţiile în care

componentele sunt înlocuite după defectare şi reprezintă raportul dintre intervalul total

de funcţionare şi numărul total al defectelor. Se observă că în cazul înlocuirii totale a

echipamentelor defecte, MTBF reprezintă exact acelaşi parametru ca şi durata medie a

vieţii. Este important de subliniat faptul că parametrul MTBF are o reală semnificaţie

numai în cazul înlocuirii componentelor defecte. În plus, utilizarea lui este corectă

numai în cazurile când se pot aplica exponenţiale.

În concluzie, în cazul neînlocuirii componentelor defecte, de obicei se dă fie R(t)

fie , iar pentru cazul înlocuirii componentelor defecte după o distribuţie exponenţială,

se dă, fie intervalul mediu dintre defecte, fie:

(7.23)

7.2. Elemente de predicţie şi analiza fiabilităţii

Predicţia fiabilităţii este procesul prin care se face o estimare numerică a

capacităţii pe care o are un echipament de a realiza funcţia care i se cere, fără să se

defecteze.

Ecuaţia de bază în predicţiile privind fiabilitatea a fost prezentată în relaţia (7.21)

şi este:

,

unde: - R(t) este probabilitatea supravieţuirii unui sistem în intervalul t;

- R1(t), R2(t),…,Rn(t) reprezintă probabilitatea fiecărui element component din

sistem de a supravieţui pe durata t.

Această relaţie se bazează pe ipoteza că defectarea oricărui element conduce la

defectarea întregului sistem şi că aceasta este independentă de defectarea oricărui

element.

Metoda este aplicabilă pentru foarte multe echipamente şi sisteme complexe şi

este de fapt singura utilizată practic pentru predicţiile privind fiabilitatea echipamentelor

electronice. Dacă echipamentele complexe analizate sunt alcătuite din mai multe

componente, fiecare având o durată de serviciu medie diferită de a celorlalte şi abateri

faţă de aceasta, distribuite aleatoriu, atunci deficienţele de funcţionare ale sistemului se

vor produce într-un ritm practic constant, după fiecare înlocuire a pieselor defecte. În

consecinţă, chiar dacă defectele diferitelor piese apar la intervale inegale şi aleatoare, au

Pagina 158


o rată a defectelor constantă şi o comportare exponenţială.

În figura 7.5 este prezentată situaţia lămpilor cu incandescenţă dintr-o fabrică.

Această dependenţă a fost verificată pentru densităţile defectărilor a numeroase

echipamente, începând de la sisteme electronice până la motoare.

Modul defectării componentelor

În studiile privind predicţia defectelor este necesar să se anticipeze frecvenţa cu

care se pot manifesta diferite moduri de apariţie a defectelor.

Defectele catastrofice (din neşansă) sunt definite ca fiind cele care se produc când

componentele devin brusc şi complet inactive sau prezintă spontan o modificare de mari

proporţii a caracteristicilor. Ele apar ca o avarie spontană, fără nici un simptom anterior

de deteriorare.

Dacă se trasează o curbă a ratei defectării în funcţie de durata de viaţă T, pentru un

eşantion relativ mare, extras dintr-o mulţime omogenă de componente, se obţine

reprezentarea grafică din figura 7.6. În momentul T=0 sunt în funcţiune un număr foarte

mare de noi componente, de un anumit tip. La început rata defectării acestei mulţimi, va

fi ridicată deoarece conţine un număr oarecare de elemente de calitate inferioară, ale

căror caracteristici se situează sub nivelele standardizate. Ca urmare, rata defectării

scade relativ rapid în timpul perioadei de stabilizare sau amorsare şi se stabilizează la o

valoare aproximativ constantă în momentul TB, când componentele slabe au ieşit toate

din funcţiune. După amorsare, mulţimea componentelor ajunge la rata cea mai coborâtă

a defectelor. Intervalul căruia i se asociază această rată a defectării este numit perioadă

utilă de viaţă. Când componentele au ajuns la vârsta TW încep să se resimtă efectele

vechimii. Panta curbei începe să crească într-un punct care se află mult în afara duratei

sperate de serviciu a echipamentului, în care componenta este utilizată.

Pagina 159

10

50

100

M 2M 4M 6M

Numărul total al lămpilor care se defectează pe zi

N=constant

Num

ărul

de

fect

elor

Figura 7.5. Stabilizarea ratei defectelor


7.3. Proiectarea fiabilităţii

La începutul unui proiect nu sunt cunoscute numărul şi tipurile de componente de

bază care alcătuiesc ansamblul echipamentului. De obicei, proiectantului i se precizează

condiţiile de fiabilitate cerute echipamentului de proiectat în forme ca, de

exemplu : „300 de ore media timpului de bună funcţionare” sau „probabilitatea de 93%

ca în decurs de 30 de ore să nu apară defecte”.

Prima etapă în procesul de proiectare constă în repartizarea restricţiilor de

fiabilitate a întregului echipament, între principalele sale elemente. Odată încheiată

această fază, este posibil ca pentru fiecare element principal să se determine rata medie

a defectării, pe componentă. Rezultatele obţinute sunt apoi comparate cu informaţiile

existente privind ratele medii ale defectării, pentru a verifica dacă condiţiile pretinse

sunt realizabile cu elementele avute în vedere. Dacă nu, pentru a ajunge la fiabilitatea

dorită, proiectantul trebuie să utilizeze una din următoarele metode :

1. Găsirea unor componente „mai bune” în ceea ce priveşte fiabilitatea;

2. Simplificarea proiectului, pentru a utiliza mai puţine componente, dacă

aceasta este posibil din punct de vedere funcţional;

3. Aplicarea unor metode de creştere a fiabilităţii componentelor pentru a

diminua rata defectării lor medii;

4. Folosirea unor redundanţe, dacă soluţiile de la punctele 1, 2 şi 3 nu

conduc la obţinerea unor densităţi acceptabile ale defectărilor.

Pagina 160

Figura 7.6. Rata defectelor în funcţie de durata efectivă de serviciu

Defecte în intervalul

de stabilizare

Defecte întâmplătoare

pe durata de serviciu

Defecte de uzură şi întâmplătoare, după expirarea duratei

normale de serviciu

0 TB TW M

Rat

a de

fect

ării

=1/MTBF


Redundanţa ca metodă de proiectare

În tehnica fiabilităţii, redundanţa poate fi definită drept existenţa mai multor

mijloace, şi nu a unuia singur, pentru a realiza o anumită caracteristică. În general,

sistemul ajunge în situaţia de a fi defect dacă toate acele mijloace se defectează.

Exemplu:

Se presupune un sistem simplu alcătuit din două elemente în paralel, aşa cum se

arată în figura 7.7.

Dacă q1 este probabilitatea de defectare pentru SS1 şi q2 este probabilitatea de

defectare pentru SS2 , probabilitatea de defectare a întregului sistem este :

(7.24)

Fiabilitatea sau probabilitatea de a nu avea defecte este:

(7.25)

De exemplu, să presupunem că SS1 are fiabilitatea R1 egală cu 0,8 şi SS2 are

fiabilitatea R2 egală cu 0,7. Nefiabilităţile vor fi:

, respectiv:

iar probabilitatea defectării sistemului va fi:

Rezultă fiabilitatea sistemului:

,

ceea ce înseamnă o fiabilitate mai mare decât a oricăreia dintre componente.

Acest tip de soluţie implică ipotezele că, diferitele componente, în paralel, nu

interacţionează şi că pot fi activate, când este necesar, prin dispozitive de sesizare a

apariţiei defectului, pe un traseu, şi de conectare a altui traseu. A doua ipoteză este

Pagina 161

SS1

SS2

u(t) v(t)

Figura 7.7. Reţea redundantă paralel


extrem de greu de realizat în practică şi din acest motiv avantajele potenţiale ale

redundanţei nu pot fi complet valorificate.

Majoritatea soluţiilor bazate pe redundanţă, aplicate practic, se concretizează prin

diverse montaje de elemente în serie şi paralel.

7.4. Încercarea fiabilităţii

Scopul final al încercării fiabilităţii este acela de a oferi o estimare a probabilităţii

ca dispozitivul probat să funcţioneze corespunzător, într-o anumită perioadă de timp şi

într-o anumită ambianţă. Deci, probele de fiabilitate ne permit să estimăm statistic

fiabilitatea dispozitivului respectiv.

Pentru a găsi probabilitatea unui eveniment trebuie culese şi interpretate statistic

date importante despre apariţia evenimentului. În cazul măsurării fiabilităţii sunt culese

măsurători şi prelucrate date statistice privind performanţele de funcţionare ale

dispozitivului, în domeniul de timp dorit. Aceasta se realizează observând un număr de

dispozitive în funcţiune, măsurând intervalele de timp în care nu s-au defectat şi

numărând defectele, pe măsură ce apar, în perioada de observare. După ce se obţin date

suficiente asupra momentelor defectărilor, se poate estima destul de exact intervalul

mediu între defecte sau durata medie de funcţionare fără defecte.

Problema testării fiabilităţii este mai complicată când se cunoaşte prea puţin sau

nimic despre formele distribuţiilor defectelor în timp, specifice componentelor sau

echipamentului în ansamblu. În acest caz, se foloseşte un eşantion pe baza căruia se

estimează forma distribuţiei şi parametrii acesteia.

În concluzie, încercarea fiabilităţii se axează pe următoarele elemente:

1. Determinarea formei distribuţiei unui parametru statistic (de exemplu,

media timpului de bună funcţionare) şi estimarea valorii acelui parametru, pe baza

eşantioanelor testate.

2. Determinarea încrederii cu care se poate admite că, din analiza mulţimii

respective rezultă că, valoarea efectivă a parametrului este situată între anumite

intervale concrete.

3. Aflarea răspunsului la întrebarea: „dacă fiecare dispozitiv sau

componentă are o oarecare durată medie de viaţă se poate stabili măsura în care se poate

avea siguranţa că aceasta se va confirma în exploatare?”.

Pagina 162


4. Fundamentarea mărimii eşantionului şi a consumului de timp pentru

încercările necesare în vederea realizării punctelor 1, 2 şi 3.

7.4.1. Defectele întâmplătoare

Pentru analiza sau predicţia defectelor întâmplătoare interesează un singur

parametru: durata medie a vieţii (), media timpului de bună funcţionare (m), sau rata

defectelor (). Când este cunoscut un astfel de parametru, fiabilitatea la un moment dat

se poate calcula cu relaţia (7.23). Deoarece, de obicei, nu se poate recurge decât la un

număr limitat de exemplare, pe care să se facă măsurătorile, sau se dispune de un

interval de timp limitat pentru acestea, se poate considera că asemenea probe sunt o

estimare suficient de bună a valorii adevărate. Aceste estimări se notează prin

simbolurile: .

Când problema se referă la componente, se consideră un eşantion relativ mare

care se încearcă într-un interval scurt, în care practic, nu pot apărea defecte din cauza

uzurii. Aceasta se explică prin faptul că atât componentele cât şi echipamentul au o rată

mai mare a defectelor la începutul funcţionării (figura 7.6) şi deci trebuie depăşită

această porţiune a curbei funcţionării echipamentelor, înainte de a se trece la încercările

asupra fiabilităţii. Pentru cele mai multe echipamente, de diferite complexităţi, este

suficient un timp de circa 200 de ore pentru a se situa pe porţiunea de pe curba de

funcţionare caracterizată prin rată constantă a defectelor.

Mărimea necesară a eşantionului (N) depinde de durata admisibilă a probelor (t) şi

de încrederea impusă la măsurarea ratei defectelor. De exemplu, o estimare a ratei

defectelor ( ) cu o încredere de aproximativ 60% este dată de formula:

% /1000 ore (7.26)

în care:

este densitatea estimată a defectelor [% / 1000 ore];

r reprezintă numărul defectelor observate;

N este mărimea eşantionului;

t este durata perioadei de încercare.

În cazul determinării fiabilităţii unui echipament, parametrul care interesează este

Pagina 163


media timpului de bună funcţionare, m. Deoarece, pe măsură ce componentele se

defectează, sunt înlocuite, se aplică relaţia:

(7.27)

În relaţiile (7.26) şi (7.27) nu s-a specificat nimic despre exactitatea estimării. La

aceasta se vor face referiri când se introduce noţiunea de limite de încredere.

Estimările statistice pot conduce la rezultate mai apropiate de valoarea adevărată,

pe măsură ce creşte mărimea eşantionului. Numai situaţia, practic imposibilă, în care se

consideră un număr infinit de exemplare în eşantion, pentru a le proba, ar însemna

încredere 100% sau certitudinea totală că valoarea măsurată a lui m coincide cu valoarea

adevărată. Din această cauză, în orice situaţie practică trebuie stabilite intervalele sau

domeniile valorilor între care se ştie, cu o probabilitate determinată de eşantionul de

mărime finită, că se află valoarea adevărată a lui m.

Intervalele de încredere, asociate punctelor de estimare, se definesc prin noţiunile

de limită inferioară de încredere L şi limită superioară de încredere U. Dacă de exemplu,

se calculează limitele de încredere pentru o probabilitate de 95%, aceasta înseamnă că,

în 95% din cazuri putem fi siguri că valoarea adevărată a lui m se află între aceste

limite, sau că în 5% din cazuri ea se va afla în afara acestor limite.

În consecinţă, problema se reduce fie la determinarea intervalului în interiorul

căruia se află m cu o probabilitate dată şi pentru o mărime dată a eşantionului, fie la a

determina mărimea necesară a eşantionului pentru a asigura, cu o probabilitate dată, că

m se află în acel interval.

În cazul distribuţiei exponenţiale, la probele privind fiabilitatea se măsoară un

singur parametru şi anume m. Se pune problema stabilirii limitelor de încredere cu care

se poate afirma că, o estimare m corespunde mărimii adevărate m a intervalului mediu

între defecte, când m a fost obţinut prin probe în care s-au observat r defecte. Să

presupunem că se poate accepta ca m să fie în afara intervalului în 5% din cazuri, sau se

poate accepta o probabilitate de 5% ca m să se situeze în afara intervalului. În acest caz,

=0.05.

7.4.2. Defecte în funcţie de timp – distribuţia Weibull

Când defectele sunt datorate, mai ales, uzurii în timp şi nu întâmplării, studiile de

încercare a fiabilităţii nu se mai pot baza pe distribuţia exponenţială. În asemenea cazuri

Pagina 164


trebuie culese suficiente date privind defectele, pentru a contura distribuţia timp –

defect, care se aplică în cazul respectiv. Pentru verificarea fiabilităţii s-au folosit şi

modele bazate pe distribuţiile Gamma şi normală, însă mai larg folosit este modelul

bazat pe distribuţia Weibull. Pentru numeroase componente mecanice şi electrice, cum

sunt pompele, releele, sau comutatoarele, s-a verificat că au o distribuţie a defectelor în

timp de tip Weibull.

Deci funcţia de fiabilitate ori probabilitatea de a supravieţui fără defect

momentului t este (conform relaţiei 7.19):

,

iar rata instantanee a defectelor este (conform relaţiei 7.20):

în care, este parametrul de formă şi este parametrul de scară şi inversul lui

Pentru a calcula fiabilitatea şi rata instantanee a defectelor este nevoie să se

culeagă date privind defectele, pentru a se estima şi

Pagina 165

Documents

Fiabilitatea sistemelor