Fibonacijevi brojevi

  • View
    34

  • Download
    6

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Fibonači, brojevi

Text of Fibonacijevi brojevi

  • FRAKTALNA MEHANIKA

    1

    LEKCIJA 7 Prof.dr uro Koruga

    7.1 FIBONAIJEVI BROJEVI

    Fibonai (Leonardo de Pisa, Fibonacci, 1170-1250)

    posmatrajui prirodni proces, raznoavanje zeeva, doao je do

    otkra jedne posebne klase brojeva, koji pripadaju skupovima

    brojeva (1.61803....) i (0.61803....). Ovo svoje saznanje

    publikovao je 1202. godine u knjizi Liber Abaci.

    Brojevi se mogu dobiti na i mogu se dobiti na vie

    naina , a mi emo ovde pokazati dva. Prvi je preko niza

    brojeva : 0,0!,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144........tako to se ovi

    brojevi satavljaju u odnos:

    0

    !0 0

    !0

    0

    1!0

    1 1

    1

    !0

    21

    2 5.0

    2

    1

    5.12

    3 666.0

    3

    2

    666.13

    5 6.0

    5

    3

    6.15

    8 625.0

    8

    5

    625.18

    13 615.0

    13

    8

    615.113

    21 619.0

    21

    13

    619.121

    34 617.0

    34

    21

    ........ ........

    61803.12

    15

    61803.0

    2

    15

    Drugi pristup je preko kvadratnih jednaina. Prva kvadratna jednaina

    012 xx ,

    dae reenja, x1= -1.61803 i x2=0.61803..., dok e kvadratna

    jednaina

    012 xx

    dati reenja x1= 1.61803 i x2= -0.61803... to daje etiri reenja:

    -,, -, to se moe grafiki predstaviti

    -

    -

    Leonardo de Pisa

    Fibonacci

    Fig.7.1: Shematski prikaz razmnoavanja

    zeeva i generisanje Fibonaijevih brojeva

    na bazi para brojeva (primena ovog zakona

    najedekvatnija je kod procesa i/ili sistema

    koji generiu parove.

  • 2

    Medjutim, Binet je uoptio Fibonaijev niz u formi

    to je predstavljeno na Fg. 7.2 .

    Fig.7.2 : Binetovo uopteneo reenje Fibonaijevijeve serije

    Ovo uoptenje daje reenje i za vrednosti x 0, u formi:

    Pored uoavanja fenomena razmnoavanja zeeva i formiranje

    potpuno novog sistema brojeva Fibonai je deo veliki doprinos

    matematici time to je indijsko-arabski system brojeva uveo u

    matematiku zapadne civilizacije.

    Od mnotva primera primene i realizacije zlatnog preseka na

    bazi Fibonaijevih brojeva ( raspored lia na granama drvea-

    princip minimum metanja,

    pirmida u Egiptu, hramova u

    antikoj Grkoj, proporcija

    ljudskog tela, periodnog

    sistema elementa, genetkog

    koda i dr. ) Paskalov trougao i

    ah su dava najelegantnija

    primera primene Fibonaijevih

    brojeva u matematicii i nuci

    generalno.

    Leonard of Pisa or Fibonacci played an important role in reviving ancient mathematics and made significant

    contributions of his own. Liber abaci introduced the Hindu-

    Arabic place-valued decimal system and the use of Arabic

    numerals into Europe.

  • 3

    Da to pokaemo na ahovskoj ploi, polazimo od opte poznate

    injenice da snaga svake figure zavisi od njene pokretljivosti po

    ahovskoj tabli.

    Dama je zato najjaa ahovska figura, jer moe sa svakog

    polja uiniti vie poteza nego bilo koja druga figura.

    Da bi se dobio numeriki

    izraz za snagu svake pojedine

    figure, moe se ovom

    problemu prii na sledei

    nain, sl.7.4:

    Slova , , ,S L T D

    oznaavaju redom: Skakaa,

    Lovca, Topa, Damu.

    Za svaku od tih figura

    iskoriena je samo etvrtina

    dijagrama, jer pozicije su iste

    u sva etri polja pa su isti

    brojevi u ostale tri etvrtine

    dijagrama simetrino

    rasporeeni.

    Ako sad sumu svih brojeva na itavoj tabli nazovemo

    potencijom figure kojoj ta suma pripada i oznaimo je

    odgovarajuim slovom, dobija se:

    S 336 , L 560 , T 896 , D 1456 .

    Lako se ouoava da je: D T L . to nije nita neobino, jer

    dama sadri u svom kretanju i poteze topa i poteze lovca.

    Meutim, vie iznenauje relacija T L S , koja

    omaoguava da se formiraju odnosi:

    : :D T T L i : :T L L S .

    Ako se ima u vidu da je:

    D T L i T L S ,

    Tada se dolazi do saznanja da su veliine , ,D T L i , ,T L S u

    relaciji preko ZLATNOG PRESEKA, jer

    D:T 1456:896 1.6...,

    T:L 896:560 1.6...,

    L:S 560:336 1.6..., .

    Sva tri odnosa podudaraju se tano na jednu decimalu,

    jer nisu uzeti u obzir peaci i kralj. Kada se sve to uzme u obzir i

    uvede korekcioni faktor za odnos Dama = Top-Lovac ( dama je

    jedna figura i stoji na jednom polju, a top i lovac su dve figure i

  • 4

    stoje na dva odvojena polja- situacija nije ista) dobija se da je

    potencija aha data kao reenje zlatnog preseka.

    Dodelite sada pojedinim organima ili funkcijama ljudskog organizma ahovsku figuru sa spekta fiziolokih

    aktivnosti, imajui u vidu da biomolekuli i organizam kao celina

    trebaju biti u harmoniji kao deo-celina.

    Tabela 7.2: Staja biomolekula (klatrina,mikrotubula i dr ) koji na

    osnovu svoje strukture imaju energetski zakon zlatnog preseka

    Pored toga treba imati u vidu da se svi brojevi

    dekadnog sistema mogu generisati iz i na sledei (ili neki

    drugi) nain: - = 1

    + 2 = 2

    2 + 2 = 3

    3 - 3 = 4

    ( +)2 = 5

    2(2 + 2) = 6

    4 + 4 = 7

    2(3 - 3) =8

    3(2 + 2)= 9

    2(( +)2) = 10

    5 - 5 = 11

    ...........

    6 +6 = 16

    .............

    (3 +3)2 = 20

    ...........

    to postavlja uzrono-posledino pitanje dekadnog sistema: da

    li se zlatni presek generie iz prirodnih brojeva, ili priroda koja

    radi po zakonu zlatnog preseka u naem umu generie dekadni

    broji sistem?

    Harmonizovani sitem na

    bazi I .

    Suncokret kao prirodno

    reenje harmonizacije

    strukturalno-energetsko-

    informacionih procesa

    koji daju (obezbeuju)

    harmnizovan odnos dela i

    celine.

  • 5

    7.2 SAVRENI BROJEVI

    Neki broj je savren ako je zbir njegovih inioca jednak njemu samom. Ovo je veoma vano prilikom izuavanja sistema, a jo vanije u inenjerskoj praksi prilikom odreivanja ustrojstva sistema. Stari Grci znali su za etiri savrena broja: 6, 28, 496 i 8128. nioci ova etiri broja su:

    Primeujemo da kod drugog, treeg i etvrtog savrenog

    broja postoji mesto asimetrije. Tako naprimer kod drugog

    savrenog broja posle 4 trebalo bi oekivati 8, ali to nije sluaj

    jer 8 nije inilac broja 28. Isto je kod treeg savrenog broja,

    posle 16 je 31 (a ne 32), odnosno kod etvrtog 64 i 127. Posle

    ovog jedininog pomaka na datim mestima sistem se simetrino

    udvostruava.

    Raunanje savrenih brojeva moe se vriti po dve formule

    2n-1(2n-1)

    2n (2n+1-1),

    a vrednosti su sistematizovane u tabeli 7.2.

    6 = 1 + 2 + 3

    28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

    496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

    8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

    Raunanje po formuli 2

    n-1(2

    n-1)

    Pro

    izvo

    d

    in

    ilac

    a

    Sav

    ren

    og

    b

    roja

    Raunanje po formuli 2

    n (2

    n+1-1) P

    roiz

    vo

    d

    in

    ilac

    a S

    avr

    enog

    bro

    ja

    0

    20-1

    (20-1)=1/2 x 0= 0

    ?

    20 (2

    0+1-1)=1 x 1= 1

    1(!)

    1

    21-1

    (21-1)=1 x 1= 1

    1

    1

    21 (2

    1+1-1)=2 x 3= 6

    61

    6

    2

    22-1

    (22-1)=2 x 3= 6

    61

    6

    22 (2

    2+1-1)=4 x 7= 28

    282

    784

    3

    23-1

    (23-1)=4 x 7= 28

    282

    784

    23 (2

    3+1-1)=8 x15=120

    1207

    3,583 1014

    4

    24-1

    (24-1)=8 x 15= 120

    1207

    3,583

    1014

    24 (2

    4+1-1)=16x31= 496

    4964

    6,052 1010

    5

    25-1

    (25-1)=16 x 31= 496

    4964

    6,052

    1010

    25 (2

    5+1-1)=32 x 63= 2016

    201617

    1,5 1056

    6

    26-1

    (26-1)=32 x 63=2016

    201617

    1,5 1056

    26 (2

    6+1-1)=64x127= 8128

    81286

    2,88 1023

    7

    27-1

    (27-1)=64x127= 8128

    81286

    2,88 1023

    27 (2

    7+1-1)=127x = 32512

    ....

    ...................................

    ..........

    ....................................

    ........

  • 6

    Do danas najvei poznati savreni broj otkriven je 2001

    godine i glasi:

    213466916(213466917 1),

    a broj ima 4 miliona cifara, to znai da bi nam trebala 1000 stranica knjige da ispiemo njegovu vrednost!

    7.3 SAVRENO-HARMONIZOVANI BROJNI SISTEMI

    Genetski kod je harmonizovani sistem (Lekcija 8) po

    zakonu zlatnog preseka. Ali, da li je on kao prirodan kod i

    savren? (potraite odgovor samostalno, a ako ne uspete

    nai e te reenje u Lekciji 13).

    Videli smo u poglavlju 7.2 da se svi brojevi dekadnog

    sistema mogu generisati na bazi i , to znai da je

    dekadni sistem harmonizovan sistem po zakonu zltnog

    preseka. Od svih do sada poznaih brojnih sistema jedino je

    Sumerski brojni sistem

    (heksadekadni) sinergetski

    savreno-harmonizovani. To je sistem po kome smo odredili

    skalu vremena i raunamo vrednosti vremena.

    Jedan obrt je podelje na

    24 jedinice, tako da 1/24

    jedinica u sebi sadri manju

  • 7

    jedinicu koja je 60 pu