FILTRES NUMERIQUES

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FONCTIONEMENT ET DESCRIPTION.

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    Les filtres numriques

    1. Prsentation page 2

    2. Comparaisons entre FIR et IIR page 4

    3. Les FIR page 5

    4. Calculs des coefficients des FIR page 9

    5. Mthodes de structure des FIR a. FIR parallle page 12 b. FIR srie page 13 c. FIR LUT page 15

    6. Modlisation dun FIR srie en VHDL page 17

    7. Rsultats obtenus page 20

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    1. Prsentation

    Lacquisition de signaux physiques, quels quils soient, est une opration souvent

    dlicate. Un simple convertisseur analogique-numrique permet de transformer une tension ou un courant en une donne numrique. Cela suffirait si les valeurs physiques ntaient pas troitement associes une multitude de signaux : autres signaux de mesure, signaux parasites tels que le bruit lectronique, les dcharges lectrostatiques, les fluctuations de la tension dalimentation. Tous ces signaux se combinent, sinterfrent et viennent polluer le signal utile. Afin de capturer correctement le signal recherch, un convertisseur analogique-numrique est toujours associ des convertisseurs, des amplificateurs ou des filtres. Le rle de chacun est de mettre en forme les signaux pour les rendre propres : les convertisseurs transforment des frquences, des courants, des impulsions en tension, les amplificateurs adaptent lamplitude de la tension la plage dentre du convertisseur analogique-numrique. Le filtrage permet, quant lui, dextraire une partie de linformation lie un signal, dliminer des frquences parasites indsirables. Le filtrage peut sappliquer des signaux analogiques ou numriques. Quand on parle de filtrage de signaux de mesure, on pense immdiatement au filtrage analogique. Par exemple, le filtre anti-repliement, les filtres passe-bas de Bessel ou de Tchebychev, le filtre passe-bande utilisant un amplificateur oprationnel. Il existe bien dautres familles de filtres base de composants traditionnels : les filtres analogiques passifs RLC qui utilisent des rsistances, des condensateurs, des inductances, les filtres passifs rsonateurs base de quartz, de rsonateurs cramiques ou ondes de surface, les filtres passifs lignes imprimes, les filtres analogiques actifs intgrant des amplificateurs oprationnels ou des transistors, les filtres analogiques capacits commutes. Tous ces filtres se distinguent par une facilit de mise en uvre, un fonctionnement des frquences qui peuvent atteindre quelques gigahertz. Le revers de la mdaille rside dans la sensibilit de ces composants aux conditions externes (temprature, humidit,). La non-matrise de leurs tolrances nuit galement la prcision du filtragesurtout dans le cas de filtres exigeants. Pour saffranchir des limites des composants traditionnels, il existe une alternative : les filtres numriques. Les judicieux assemblages de rsistances, de capacits, dinductances, damplificateurs oprationnels des filtres analogiques sont ici remplacs par des algorithmes de calcul implments dans des microprocesseurs DSP ou des composants spcifiques du type FPGA. Les filtres numriques travaillent sur des signaux numriss et sont donc placs en aval des convertisseurs analogique-numrique. Le signal analogique dentre est dabord chantillonn un rythme lev, une frquence qui est au moins le double de la frquence maximale contenue dans le signal (sinon, une partie de linformation est perdue). Les chantillons obtenus sont ensuite numriss et cest sur ces chantillons numriques que travaillent les filtres numriques. Les algorithmes implments dans les filtres sont caractriss par un ensemble de coefficients permettant de dterminer la valeur dun chantillon de sortie en fonction des chantillons dentre et/ou de sortie prcdents. En quoi un filtrage numrique est-il plus performant quun filtrage analogique ? Tout dabord, on na pas les erreurs lies aux non-linarits des amplificateurs oprationnels ou aux mauvaises tolrances des rsistances, des capacits, que lon trouve sur les filtres analogiques. Les filtres numriques ne sont pas pour autant parfaits, leurs rsultats sont entachs par dautres sources derreurs. Lune dentre elles est lie la conversion analogique-numrique. La numrisation consiste capturer rgulirement une valeur dun

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    signal analogique pour la transformer en un nombre binaire. Lors de cette tape, on introduit une erreur darrondi, appele bruit de quantification, dont la valeur crte est parfaitement connue. Une autre source de bruit provient de larchitecture des microprocesseurs virgule fixe. Prenons lexemple dun filtre avec des coefficients valant en thorie 0,0001 et 0,9999 pour deux dentre eux et implment sur DSP (Digital Signal Processor) virgule fixe. Ce genre de DSP autorise pour valeurs de paramtres 0, 0,1, 0,2Il faut donc arrondir les coefficients de lalgorithme aux valeurs possibles du DSP. Cette opration implique une erreur supplmentaire : cest le bruit de calcul. On retrouve le mme phnomne avec les rsultats des oprations de base (multiplication, addition, soustraction et division). Contrairement aux erreurs issues de la non-linarit des amplificateurs oprationnels ou des tolrances des composants, les bruits de quantification et de calcul sont parfaitement connus et ils restent stables. Les filtres numriques gagnent donc en prcision et en reproductibilit. Il est mme possible damliorer la prcision en rduisant le bruit de quantification. Pour cela, il faut utiliser des microprocesseurs disposant dun nombre de bits plus grand. Ainsi, le pas de quantification, donc lerreur entre la valeur relle et larrondi, seront plus petits. En ce qui concerne le bruit de calcul li aux microprocesseurs virgule fixe, une solution consiste utiliser des FPGA virgule flottante. Toutes les valeurs des coefficients dun filtre numrique sont possibles sans arrondi, ce qui rend le bruit de calcul ngligeable. En contrepartie, ces processeurs virgule flottante requirent une puissance de calcul plus importante, ralentissant les temps dexcution. Avec les volutions technologiques des composants, ce handicap sestompe progressivement. Le filtrage numrique apporte dautres avantages par rapport aux filtres analogiques. Changer de gabarit dun filtre (ondulation dans la bande passante, ordre du filtre, affaiblissement dans la bande de rjection) ou mme de changer de filtre (passe-bas en passe-haut) revient modifier les coefficients dun algorithme ou lalgorithme en lui-mme. Ces oprations seffectuent par logiciel. Il nest donc plus ncessaire denlever et dassembler diffremment rsistances, capacits, amplificateurs oprationnels.

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    Tableau 4 : comparaison entre le filtrage numrique et le filtrage analogique.

    2. Comparaisons entre FIR et IIR La fonction de transfert dun filtre numrique est :

    = =

    =M

    k

    N

    jjk jnybknxany

    0 1)(.)(.)(

    ak et bj tant les coefficients, x lchantillon dentre et y lchantillon de sortie. Il existe deux types de filtres numriques : Les FIR (Finite Impulse Response) qui sont stables donc pas de ples (bj=0). Les IIR (Infinie Impulsion Response) qui sont stables uniquement si les modules de

    leurs ples sont suprieurs 1.

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    Voici un tableau comparant ces deux types de filtres numriques :

    Tableau 5 : comparaisons entre FIR et IIR.

    3. Les FIR Pour effectuer le gabarit dun filtre numrique non-rcursifs (FIR), il est ncessaire de connatre :

    9 Le taux dondulation dans la bande passante (1) ; 9 Le taux daffaiblissement dans la bande rejets (2) ; 9 La bande de transition F = fp fc.

    Figure 16 : Gabarit dun FIR.

    A partir de ces diffrents paramtres, il est possible de choisir une fentre approprie. En effet, il existe plusieurs fentres mais 4 dentre elles sont les plus rpandues pour dfinir un FIR : La fentre rectangulaire ; La fentre de Hamming ; La fentre de Hanning ; La fentre de Blackman.

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    Fentre Rectangulaire :

    Figure 17 : Fentre Rectangulaire (256 samples 250 kHz, fc=10 kHz)

    9 Bande de transition troite (infrieure 1 kHz). 9 Attnuation stagnante dans la bande rejete (-55 dB).

    1][ =nw Fentre de Hamming :

    Figure 18 : Fentre de Hamming (256 samples 250 kHz, fc=10 kHz)

    9 Attnuation stagnante dans la bande rejete (-75 dB). 9 Bande de transition troite (infrieure 2 kHz).

    )12

    2cos(46.054.0][ ++= Mnnw

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    Fentre de Hanning :

    Figure 19 : Fentre de Hanning (256 samples 250 kHz, Fc=10 kHz)

    9 Meilleure attnuation dans la bande coupe que la fentre de Hamming. 9 Bande de transition plus grande (40 dB dattnuation contre 60 dB pour la fentre de

    Hamming).

    )12

    2cos(5.05.0][ ++= Mnnw

    Fentre de Blackman :

    Figure 20 : Fentre de Blackman (256 samples 250 kHz, Fc=10 kHz)

    9 Nette attnuation en bande rejete. 9 Faible bande de transition (2,5 kHz pour atteindre 60 dB dattnuation contre 2 kHz

    pour la fentre de Hanning).

    )12

    2cos(08.0)12

    2cos(46.042.0][ ++++= Mn

    Mnnw

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    Figure 21 : Comparaisons des diffrentes fentres.

    Chacune dentre elles possde leurs propres avantages et inconvnients. Par exemple, si lon veut un filtre ayant une faible bande de transition, peu importe lattnuation, il est prfrable dutiliser une fentre Rectangulaire. En revanche, sil est question dune attnuation minimale de 30 dB, il vaut employer une fentre de Hanning. La fentre de Blackman correspond aussi ce gabarit du filtre mais sa bande de transition est trop importante.

    Tableau 6 : Principales caractristiques des fentres.

    Au plus le nombre dchantillons utiliss dans le filtre est important, au plus la bande de transition est rduite. En revanche, le retard du premier chantillon valide saccrot.

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