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Financial Mathematics in Insurance
Stochastische Unternehmensmodelle – wie und wofür Mathematiker ein ganzes Unternehmen in einer Software abbilden
24. Oktober 2016 Universität Bonn
Insight Vortragsreihe: Putting theory into practice
Dr. Zoran Nikolić, Aktuar, Dozent Deutsche AktuarakademieDr. Christian Weiß, Aktuar, Dozent Technische Hochschule Köln
Agenda
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Financial Mathematics in Insurance, Dr. Nikolić, Dr. Weiß, 24.10.2016
• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II
• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen
• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar
2016 2021 2031 …...
RGL 2. Ordnung zur Hochrechnung der Modellpunkte, z.B.
StornoSterblichkeit
KostenInvalidität
Weitere Annahmen und
Parameter„Realistische“ Projektionen
damit möglich
Tarifmerkmale(Rechnungszins,
SterblichkeitKostenparameter
Leistungsspektrum)
Modellpunkte aus Bestandsabzug (geeignet verdichtet)
Merkmale:• Produkt• Alter / Dauer• Geschlecht• Vertriebsweg• ... Projektion des Bestandes
Jahre
Typischer Verlauf des Jahresüberschusses in der Lebensversicherung:• Am Anfang der Ertragsreihe steht ein Anfangsverlust/-investitionÞPerformance-Messung in der LV muss die Langfristigkeit der Produkte berücksichtigen
Deutsches Leben- bzw. Krankengeschäft ist langfristig. Ob sich ein Vertrag die Versicherung gelohnt hat, wird erst nach Jahrzehnten bekannt
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Zu Beginn Abschlusskostenbelastung
Financial Mathematics in Insurance, Dr. Nikolić, Dr. Weiß, 24.10.2016
Die Dividendenauszahlungen hängen von der Kapitalmarktentwicklung ab; der Wert des Unternehmens wird als Wert eines „Derivats“ verstandenDas Konzept des PVFP = Present Value of Future Profits
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0 1 2 3 4 5
• Abwicklung des Bestandes und Projektion der GuV und Bilanz (für vorgegebenen Projektionszeitraum)
• Diskontierung zukünftiger Jahresüberschüsse
( ) j
tjjt dJÜPVFP -
+=
+×= å 11
w
wdJÜ j = Jahresüberschuss in Periode j
= Diskont= 60 Jahre nach Beginn der Projektion
-11
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-1
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24
29
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0 1 2 3 4 5
Jahresüberschussverlauf
1 2 3 4 5
Diskontierung
Barwert der Jahresüberschüsse
0 1 2 3 4 5
0
Financial Mathematics in Insurance, Dr. Nikolić, Dr. Weiß, 24.10.2016
Agenda
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Financial Mathematics in Insurance, Dr. Nikolić, Dr. Weiß, 24.10.2016
• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II
• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen
• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar
Die Verträge der Lebens- und Krankenversicherungen enthalten zahlreiche Garantien und OptionenWarum müssen zur Bewertung Tausende von Szenarien ausgewertet werden?
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Tausende von Szenarien
Monte-Carlo-Simulationen!
§ Bewertung von Optionen und Garantien in den Versicherungsverträgen
§ Sie ähneln einigen Finanzinstrumenten wie Swaps, Swaptions usw.
§ Asymmetrien im Geschäftsmodell
§ Aber: Es existieren keine analytischen Formeln für diese Garantien und Optionen
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Agenda
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• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II
• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen
• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar
Bewertung von Finanzgarantien: Hier reicht die Betrachtung eines deterministischen Szenarios nicht mehr ausMethoden der Finanzmathematik erforderlich
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1990
1992
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2002
2004
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2008
2010
2012
2014
2016
%
durchschn. Garantieverzinsung Markt
10-jährigerisikofreieBundesanleihe
Garantie-verzinsung
Gesamtverzinsung Markt NettoverzinsungMarkt
Je geringer die Differenz, desto größer ist das Risiko für Versicherungs-unternehmen
10-jährige risikofreie Bundesanleihe mitnegativer Verzinsung: -0,21% am 30.09.2016
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Ein stochastisches Unternehmensmodell besteht aus Aktiva, Passiva, Kapitalmarkt und ManagementregelnTypische Komponenten eines Modells
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ökonomischer Szenario-Generator (ESG):Entwicklung von Zinsen, Aktien Returns, usw.
à 1.000 Kapitalmarktszenarien
Passiv-Modell Aktiv-Modell• LV-Produkte• Explizite RfB• Optionen u.Garantien
• Asset-Klassen• Strategische Asset
Allokation
AktionärVN
Messung und Bewertung der Risiken
dynamische Anpassung der SAA
Deklaration derÜberschussbeteiligung
Management Regeln
Überschussbeteiligung
• Kapitalmarktmodell:- Abbildung des
ökonomischen Umfelds- Ergebnis: 1000 Simulations-
pfade über 60 Jahre mit der Wertentwicklung von Aktien, Immobilien, Zinsen, …
• Aktivmodell- Abbildung der Kapitalanlage (Aktien, Immobilien, Bonds,
Cash, Swaptions, Swaps, Callables, Vorkäufe)
• Passivmodell- Abbildung der Passivseite (Produkte, VT)
• Managementmodell- Verknüpfung von Aktiv- und Passivseite- Wie reagiert die Unternehmensleitung auf gewisse
Ereignisse
t=0 60
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Agenda
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Financial Mathematics in Insurance, Dr. Nikolić, Dr. Weiß, 24.10.2016
• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II
• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen
• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar
Bestimmung des SCR-Bedarfs mittels der vollen (empirischen) Verteilung der PVFPs (= Unternehmenswerte); „Nested Stochastics“Solvency-II-Anforderungen
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Bestimmung und Modellierung der Risikotreiber
Bestimmung der Eigenmittel in t=1 (Millionen Szenarien)
Generierung der Real World Szenarien
Bestimmung des RisikokapitalsFinancial Mathematics in Insurance, Dr. Nikolić, Dr. Weiß, 24.10.2016
Agenda
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• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II
• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen
• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar
Anstatt Millionen von exakten Auswertungen, wird der Raum intelligent mit wenigen Punkten abgedeckt. Danach wird eine Regression durchgeführt
Erzeugung von Regressionsszenarien(~25,000) von möglichen 1-Jahres-Entwicklungen der Real World-Risikotreiber
Durchführung weniger Läufe des CFPM je Risiko-treiberrealisierung und Berechnungvon 25.000 PVFP-Schätzern
Regression eines multi-dimensionalenPolynoms, der “LSMC-Funktion” für die PVFPs
Jedes Szenario beinhaltet
Veränderungen aller Risikotreiber
……
~25,000 1-Jahres-Realisierungen Vereinfachte Prophetberechnungen (jeweils 2 risikoneutrale Szenarien)
PVFP-Schätzer
~25,000 1-Jahres-Realisierungen
Validierung der LSMC-Funktion, z.B. durchout-of-sample-Tests
Polynom
Schätzwerte
Risikotreiber, z.B. Aktienkurs
PVFP
+10%
-20% -10% Best Estimate +10% +20%
0%
-10%
-20%
+20%
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Milliarden
ValidierungSchätzung
Least Squares Monte Carlo-Methodik
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2 a
2
2
2
b
c d
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Erzeugung von Real-World-Szenarien und anschließende Bestimmung des Risikokapitals
PVFP-2
LSM
C
PVFP-1
PVFP-3PVFP-4PVFP-5PVFP-6PVFP-7PVFP-8
~1.000.000 1-Jahres-Realisierungen
Simulation der gemeinsamen Risikotreiberverteilung
Auswertung der LSMC-Funktion
Bestimmung der Eigenmittelverteilung und SCR-Bestimmung
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Schritt 3 & 4 der Least Squares Monte Carlo-Methodik
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• Projektionsmodelle in der Personenversicherung
• Garantien und Optionen
• Stochastisches Unternehmensmodell
• Bestimmung des SCR unter Solvency II
• Least Squares Monte Carlo (LSMC) Methodik
• Stetigkeit und Konvergenz der Unternehmenswert-Funktion
• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen
• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar
1) Ein- und Auszahlungsprofile von Versicherungsverträgen zeigen pro Simulation oft ein nicht stetiges Verhalten. Man denke an Optionen, also an binäre ja/nein Ereignisse
2) Die stochastischen Unternehmensmodelle bilden diese unstetigen Merkmale ab
3) Der Unternehmenswert (PVFP) entsteht jedoch durch Bildungdes Durchschnittswertes überdie Barwerte. Dadurch werdenSprünge in einem Pfadautomatisch ausgeglichen, weilihr individueller Beitrag zumUnternehmenswert durch die Bildung des Durchschnittswertesüber viele tausend Szenarien reduziert wird
Bildung von Durchschnittswerten über die Barwerte pro Pfad
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Unstetiges Verhaltenin der Projektion
Unstetiges Verhalten der Bewertungsfunktion≠
Stetigkeit der Pricing-Funktion zur Bewertung eines Unternehmens
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Quelle: Bontjes van Beek, Continuity of Actuarial Models based on a Risk-Neutral Valuation of Life Insurance Porfolio, Master thesis (Uni Oldenburg, 2015)
§ Der Definitionsbereich ist das Produkt von reellen Intervallen, welche die Risikofaktoren darstellen: Zinsänderung, Aktienperformance, Sterblichkeit, Storno usw.
§ Unsere Unternehmenswert-Funktion ist also auf einem kompakten Hausdorff-Raum definiert
L ≈ P approx ≈ P LSMC
Zusammenfassung: Der Unternehmenswert lässt sich durch Polynome approximieren. Ferner wissen wir, dass der gewöhnliche Kleinste-Quadrate-Schätzer, der aus einem LSMC-Ansatz berechnet wird, für die Koeffizienten von P erwartungstreu ist und das geschätzte Polynom gegen die echte Unternehmensfunktion konvergiert.
Quellen: Bauer, Bergmann, Reuss: Solvency II and Nested Simulations – a Least-Squares Monte Carlo Approach, Preprint University of Ulm (2009)Kalberer, Stochastic determination of the Value at Risk for a portfolio of assets and liabilities – typical and new approaches and implied estimationerrors, Part 1-3, Der Aktuar (2012)Bauer, Ha: A Least-Square Monte Carlo Approach ot the Calculation of Capital Requirment (preprint, 2015).
Konvergenz
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Die wahre Unternehmenswert-Funktion ist unbekannt, wenn sie aber stetig ist, lässt sie sich durch Polynome approximierenZu Beginn Abschlusskostenbelastung
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Folge aus dem Satz von (Stone-)Weierstraß:Der wahre Unternehmenswert lässt sich durch Polynome approximieren.
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Ausgans-Polynom
(Iteration i)
Identifizierungmöglicher
“KandidatenTerme”
STOPLeast Squares
Regression
REGRESSION
Versuche jedes “Kandidaten-Modell” d.h. jeder Term der möglichen Kandidaten wird getestet indem der Term zum
Polynom hinzugefügt wird. Multiple Regression - jedes mal wird nur ein einziger weiterer Term hinzugefügt
Ist AIC kleiner?
JA
Füge Term welcherkleinsten AIC erzeugt hinzu
Neues Polynom(mit einem
weiteren Term)
i=i+1Polynomaktualisieren
NEIN
Max AnzahlTerme
erreicht?
NEIN
JA
AIC berechnen
0 1 2
3
Schleife ist von iterativer Natur. Jeder Umlauf erhöht die Anzahl der Terme bis das Modell mit dem kleinsten AIC gefunden ist.Auswahlprozess des Modells per mehrstufigen Algorithmen
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Aufgabe ist es, das beste Polynom und dessen Koeffizienten zu findenAkaike-Kriterium
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§ Klassische Statistik: Schätze den unbekannten Parameter einer bekannten Verteilung, z.B. den Erwartungswert einer normalverteilten Zufallsvariable (Maximum LikelihoodSchätzer)
§ LSMC-Regression: Schätze die unbekannten Koeffizienten eines unbekannten Polynoms
• Es sind also zwei simultane Aufgaben zu erledigen: Finde bestes Polynom und gleichzeitig dessen optimale Koeffizienten
§ Dazu notwendig: Beurteile allgemein die Güte einer Approximation
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Die Kullback-Leibler Divergenz muss minimiert werdenAkaike-Kriterium
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Bei LSMC soll ein Polynom 𝑔 𝑥 𝜃$ , das abhängig von den zu wählenden Polynomkoeffizienten 𝜃$ ist, so bestimmt werden, dass die Unternehmensfunktion 𝑓 im Sinne der Kullback-Leibler Divergenz bestmöglich approximiert wird. Für diese Funktion muss also der Ausdruck
𝐼 𝜃$ ≔ 𝐷*+ 𝑓, 𝑔 ⋅, 𝜃$ = .𝑓 𝑥�
�
log𝑓 𝑥𝑔 𝑥 dx
= .𝑓 𝑥 log 𝑓 𝑥 dx�
�
− .𝑓 𝑥 log 𝑔 𝑥 dx�
�minimiert werden.
AIC ist ein guter Schätzer bei einer hohen Anzahl von DatenpunktenAkaike-Kriterium
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Agenda
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• Algorithmus zur Herleitung von Polynomen
• Zusammenfassung
• Informationen zur Karriere als Aktuar
Zusammenfassung
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Statistische Unternehmens
modelle
Solvency IISCR
Aus- und Fortbildung
LSMCPolynome
Viel „echte“ Mathematik
AIC
§ Links zu weiteren Seminaren & Karriereblogs
§ Interessante Arbeitsgebiete
§ Spannende Tätigkeiten für Aktuare/innen
§ Auswahlverfahren§ Terme eines Polynoms§ Koeffizienten
§ Approximation des Unternehmenswertes durch Polynome
§ Solvency Capital Requirements
§ Volle Verteilung des PVFP
§ Motivation/Solvency II§ Projektion der Unternehmen
60 Jahre in die Zukunft
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