Embed Size (px)
Citation preview
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
2C1
xdy
dx= y +
√x2 + y2
dy
dx=y
x+
√1 +
(yx
)2let
y
x= v
y = vx;dy
dx= v + x
dv
dx
v + xdv
dx= v +
√1 + v2
xdv
dx=√
1 + v2
dv√1 + v2
=dx
x∫dv√1 + v2
=
∫dx
x
let v = tanu; dv = sec2 udu;√
1 + v2 = secu∫secudu =
∫dx
x
ln (tanu+ secu) = lnx+ c
ln(v +
√1 + v2
)= lnx+ c
v +√
1 + v2 = ecx
y
x+
√1 +
(yx
)2= kx
y +√x2 + y2 = kx2
———1
2 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
2
dy
dx=
4y2
x2+
5y
x+ 1
dy
dx= 4
(yx
)2+ 5
(yx
)+ 1
y
x= v; y = vx;
dy
dx= x
dv
dx+ v
xdv
dx+ v = 4v2 + 5v + 1
xdv
dx= 4v2 + 4v + 1
1
xdx =
dv
4v2 + 4v + 1
1
xdx =
dv
(2v + 1)2∫dx
x=
∫dv
(2v + 1)2
lnx+ c = −1
2· 1
2v + 1
(2v + 1) lnx+ ln ec = −1
2
−2(2v + 1) ln kx = 1
−2(2(yx
)+ 1)ln kx = 1
−2(2y + x) ln kx = x
x+ 2(2y + x) ln kx = 0
———
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 3
3
(x2 − y2)dx+ (2xy)dy = 0
dy
dx=y2 − x2
2xy
dy
dx=
( yx
)2 − 1
2( yx
)let
y
x= v
y = vx
dy
dx= v + x
dv
dx
v + xdv
dx=v2 − 1
2v
xdv
dx=v2 − 1
2v− v
xdv
dx=v2 − 1− 2v2
2v
xdv
dx= −1 + v2
2v
2v
1 + v2dv = −dx
x∫2v
1 + v2dv =
∫−dx
x
ln(1 + v2) = − lnx+ c
ln(1 + v2) = ln ec − lnx
ln(1 + v2) = lnk
x
1 + v2 =k
x
1 +(yx
)2=k
x
x2 + y2 = kx
———
4 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
x+y2
x= k
d
dx
(x+
y2
x
)=
d
dx(k)
1− y2
x2+ 2
y
x
dy
dx= 0
1 + 2y
x
dy
dx=y2
x2
x2 + 2xydy
dx= y2
2xydy
dx= y2 − x2
dy
dx=y2 − x2
2xy
———
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 5
4dy
dx+x+ y
x= 0
dy
dx= −x+ y
x
dy
dx= −
(1 +
y
x
)let v =
y
x
y = vx
dy
dx= v + x
dv
dx
v + xdv
dx= −(1 + v)
xdv
dx= −(1 + 2v)
dv
1 + 2v= −dx
x∫dv
1 + 2v=
∫−dx
x
1
2
∫2dv
1 + 2v= −
∫dx
x
1
2ln(1 + 2v) = − lnx+ c
1
2ln(1 + 2v) = ln ec − lnx
1
2ln(1 + 2v) = ln
k
x√1 + 2v =
k
x
1 + 2y
x=
(k
x
)2
x2 + 2xy = k2
———
6 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
x2 + 2xy = k2
d
dx
(x2 + 2xy
)=
d
dx
(k2)
2x+ 2y + 2xdy
dx= 0
2xdy
dx= −2(x+ y)
dy
dx= −(x+ y)
x
dy
dx+x+ y
x= 0
———
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 7
5
dy
dx=y − x+ 1
y + x+ 5
let y = Y + p; x = X + q
dy
dx=
dY
dX
dY
dX=
(Y + p)− (X + q) + 1
(Y + p) + (X + q) + 5
dY
dX=Y −X + (p− q + 1)
Y +X + (p+ q + 5)
p− q + 1 = 0 p+ q + 5 = 0
p = q − 1 (q − 1) + q + 5 = 0
2q + 4 = 0
q = −2p = (−2)− 1
p = −3Y = y − (−3) X = x− (−2)
dY
dX=Y −XY +X
dY
dX=
YX − 1YX + 1
letY
X= V
Y = V X
dY
dX= V +X
dV
dX
V +XdV
dX=V − 1
V + 1
XdV
dX=V − 1
V + 1− V
XdV
dX=V − 1
V + 1− V
(V + 1
V + 1
)X
dV
dX=V − 1− V (V + 1)
V + 1
8 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
XdV
dX= −V
2 + 1
V + 1
V + 1
V 2 + 1dV = −dX
X
∫V + 1
V 2 + 1dV = −
∫dX
X
1
2
∫2V
V 2 + 1dV +
∫1
V 2 + 1dV = − lnX + c
1
2ln (V 2 + 1) + tan−1 V = − lnX + c
1
2ln (V 2 + 1) + lnX + tan−1 V = c
1
2ln(X2(V 2 + 1
))+ tan−1 V = c
1
2ln
(X2
((Y
X
)2
+ 1
))+ tan−1
Y
X= c
1
2ln(Y 2 +X2
)+ tan−1
Y
X= c
1
2ln((y + 3)2 + (x+ 2)2
)+ tan−1
y + 3
x+ 2= c
1
2ln(y2 + 6y + 9 + x2 + 4x+ 4
)+ tan−1
y + 3
x+ 2= c
1
2ln(y2 + x2 + 6y + 4x+ 13
)+ tan−1
y + 3
x+ 2= c
———
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 9
6
dy
dx+
2x− y − 4
2y − x+ 5= 0
dy
dx=y − 2x+ 4
2y − x+ 5
let y = Y + p
x = X + q
dy
dx=
dY
dX
dY
dX=
(Y + p)− 2(X + q) + 4
2(Y + p)− (X + q) + 5
dY
dX=Y − 2X + (p− 2q + 4)
2Y −X + (2p− q + 5)
p− 2q + 4 = 0 2p− q + 5 = 0
p = 2q − 4 2(2q − 4)− q + 5 = 0
3q − 3 = 0
q = 1
p = 2(−1)− 4
p = −2
Y = y + 2 X = x− 1
dY
dX=Y − 2X
2Y −X
dY
dX=
YX − 2
2 YX − 1
letY
X= V ; Y = V X
dY
dX= V +X
dV
dX
V +XdV
dX=
V − 2
2V − 1
XdV
dX=
V − 2
2V − 1− V
XdV
dX=
V − 2
2V − 1− V
(2V − 1
2V − 1
)
10 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
XdV
dX=V − 2− V (2V − 1)
2V − 1
XdV
dX=V − 2− 2V 2 + V
2V − 1
XdV
dX= −2V
2 − V + 1
2V − 1
2V − 1
V 2 − V + 1dV = −2dX
X∫2V − 1
V 2 − V + 1dV = −2
∫dX
X
ln(V 2 − V + 1
)+ c = −2 lnX
ln((V 2 − V + 1)X2
)+ c = 0((
Y
X
)2
− Y
X+ 1
)X2 + ec = 0
Y 2 −XY +X2 + k = 0
(y + 2)2 − (x− 1)(y + 2) + (x− 1)2 + k = 0
y2 + 4y + 4− xy + y − 2x+ 2 + x2 − 2x+ 1 + k = 0
x2 + y2 − xy − 4x+ 5y + 7 + k = 0
———
x2 + y2 − xy − 4x+ 5y = −k′
d
dx
(x2 + y2 − xy − 4x+ 5y
)=
d
dx(k′)
2x+ 2ydy
dx− y − xdy
dx− 4 + 5
dy
dx= 0
2x− y − 4 = (x− 2y − 5)dy
dx
dy
dx=
2x− y − 4
x− 2y − 5
dy
dx+
2x− y − 4
2y − x+ 5= 0
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 11
7
dy
dx=x− y + 2
x− y + 1
let u = x− y + 1
y = x− u+ 1
dy
dx= 1− du
dx
1− du
dx=u+ 1
u
−du
dx=u+ 1
u− 1
−du
dx=u+ 1
u−(uu
)−du
dx=u+ 1− u
u
−du
dx=
1
u
−udu = dx
−∫udu =
∫dx
−u2
2= x+ c
−u2 − 2x = c2
−(x− y + 1)2 − 2x = c2
(y − x− 1)2 + 2x = c2
———
12 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
(y − x− 1)2 + 2x = c2
d
dx
((y − x− 1)2 + 2x
)=
d
dx(c2)
d
dx
(y2 − yx− y − xy + x2 + x− y + x+ 1 + 2x
)= 0
d
dx
(y2 − 2xy − 2y + x2 + 1 + 4x
)= 0
2ydy
dx− 2y − 2
dy
dx− 2x
dy
dx+ 2x+ 4 = 0
(2y − 2x− 2)dy
dx= 2y − 2x− 4
dy
dx=
2y − 2x− 2
2y − 2x− 4
dy
dx=x− y + 2
x− y + 1
———
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 13
8
dy
dx+
2x− y − 4
2x− y + 5= 0
let v = 2x− ydv
dx= 2− dy
dx
dy
dx= 2− dv
dx
2− dv
dx+v − 4
v + 5= 0
dv
dx= 2 +
v − 4
v + 5
dv
dx=
2(v + 5) + (v − 4)
v + 5
dv
dx=
3v + 6
v + 5
dx
dv=
v + 5
3(v + 2)
dx =v + 5
3(v + 2)dv
∫dx =
1
3
∫v + 5
v + 2dv
x =1
3
∫v
v + 2+
5
v + 2dv
x =1
3(v − 2 ln(v + 2) + 5 ln(v + 2)) + c1
x =1
3(v + 3 ln(v + 2)) + c1
x =(2x− y)
3+ ln((2x− y) + 2) + c1
x =(2x− y)
3+ ln(2x− y + 2) + c1
14 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
9
(x− 2y + 1)dx+ (4x− 3y − 6)dy = 0
dy
dx=
2y − x− 1
4x− 3y − 6
dY
dX=
2(Y + k)− (X + h)− 1
4(X + h)− 3(Y + k)− 6
dY
dX=
2Y −X + (2k − h− 1)
4X − 3Y + (4h− 3k − 6)
2k − h− 1 = 0 4h− 3k − 6 = 0
h = 2k − 1 4(2k − 1)− 3k − 6 = 0
5k − 10 = 0 k = 2 h = 2(2)− 1 h = 3
y = Y + 2 x = X + 3
Y = y − 2 X = x− 3
dY
dX=
2Y −X4X − 3Y
=2(YX
)− 1
4− 3(YX
)(Y
X
)= V Y = V X
dY
dX= X
dV
dX+ V
XdV
dX+ V =
2V − 1
4− 3V
XdV
dX=
2V − 1
4− 3V− V
XdV
dX=
2V − 1
4− 3V− V
(4− 3V
4− 3V
)X
dV
dX=
3V 2 − 2V − 1
4− 3V
dX
X=
4− 3V
3V 2 − 2V − 1dV∫
dX
X=
∫4− 3V
3V 2 − 2V − 1dV
lnX =
∫4− 3V
3V 2 − 2V − 1dV
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 15
3V 2 − 2V − 1 = (V − 1)
)3V 2 − 2V − 1
3V + 1
= (V − 1)
)3V 2 − 2V − 1
3V 2 − 3V
V − 1
V − 1
0
3V 2 − 2V − 1 = (V − 1)(3V + 1)
4− 3V
3V 2 − 2V − 1=
4− 3V
(V − 1)(3V + 1)=
α
(V − 1)+
β
(3V + 1)=
(3V + 1)α+ (V − 1)β
(V − 1)(3V + 1)
4− 3V = (3V + 1)α+ (V − 1)β
4− 3V = 3V α+ α+ V β − β
4− 3V = α− β + (3α+ β)V
4 = α− β
−3 = 3α+ β
4 + β = α
−3 = 3(4 + β) + β
−3 = 12 + 4β
−15 = 4β
β =−154
4 = α−(−154
)α = 4− 15
4=
16
4− 15
4=
1
4
16 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
lnX =
∫1/4
V − 1− 15/4
3V + 1dV
lnX =1
4
∫1
V − 1− 15
3V + 1dV
4 lnX = ln(V − 1)− 5 ln(3V + 1) + c
ln(X4)= ln
((V − 1)
(3V + 1)5
)+ c
X4 =V − 1
(3V + 1)5× ec
(3V + 1)5X4 = ec(V − 1)
(3V + 1)5X5 = AX(V − 1)
(3XV +X)5 = A(XV −X)
(3XY
X+X)5 = A(X
Y
X−X)
(3Y +X)5 = A(Y −X)
(3(y − 2) + (x− 3))5 = A((y − 2)− (x− 3))
(3y + x− 9)5 = A(y − x+ 1)
———
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 17
10
(5x+ 2y + 1)dx+ (2x+ y + 1)dy = 0
dy
dx= −5x+ 2y + 1
2x+ y + 1
dY
dX= −5(X + p) + 2(Y + q) + 1
2(X + p) + (Y + q) + 1
dY
dX= −5X + 2Y + (5p+ 2q + 1)
2X + Y + (2p+ q + 1)
2p+ q + 1 = 0 5p+ 2q + 1 = 0
q = −2p− 1 5p+ 2(−2p− 1) + 1 = 0
q = −2(1)− 1 p− 1 = 0
q = −3 p = 1
y = Y − 3 x = X + 1
Y = y + 3 X = x− 1
dY
dX= −5X + 2Y
2X + Y
dY
dX= −
5 + 2 YX
2 + YX
Y
X= V Y = V X
dY
dX= X
dV
dX+ V
XdV
dX+ V = −5 + 2V
2 + V
XdV
dX= −V 2 + V
2 + V− 5 + 2V
2 + V
XdV
dX= −V (2 + V ) + 5 + 2V
2 + V
XdV
dX= −V
2 + 4V + 5
2 + V
18 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
1
XdX = − 2 + V
V 2 + 4V + 5dV∫
1
XdX = −
∫V + 2
V 2 + 4V + 5dV
lnX = −∫
V + 2
V 2 + 4V + 5dV
lnX = −1
2
∫2V + 4
V 2 + 4V + 5dV
lnX = −1
2ln(V 2 + 4V + 5) + c
X = ec(V 2 + 4V + 5)−1/2
X(V 2 + 4V + 5)1/2 = A
X2(V 2 + 4V + 5) = A2
X2
(Y
X
)2
+ 4X2
(Y
X
)+ 5X2 = B
Y 2 + 4XY + 5X2 = B
(y + 3)2 + 4(x− 1)(y + 3) + 5(x− 1)2 = B
(y2 + 6y + 9) + 4(xy + 3x− y − 3) + 5(x2 − 2x+ 1) = B
y2 + 6y + 9 + 4xy + 12x− 4y − 12 + 5x2 − 10x+ 5 = B
y2 + 2y + 4xy + 5x2 + 2x+ 2 = B
———
d
dx
(y2 + 2y + 4xy + 5x2 + 2x+ 2
)=
d
dx(B)
(2y + 2 + 4x)dy
dx+ 4y + 10x+ 2 + 0 = 0
(2y + 2 + 4x)dy
dx= −(10x+ 4y + 2)
(y + 1 + 2x)dy = −(5x+ 2y + 1)dx
(5x+ 2y + 1)dx+ (2x+ y + 1)dy = 0
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 19
11
(3x− y + 1)dx− (6x− 2y − 3)dy = 0
(3x− y + 1)dx = (6x− 2y − 3)dy
dy
dx=
3x− y + 1
6x− 2y − 3
let w = 3x− y; dw
dx= 3− dy
dx
dy
dx= 3− dw
dx
3− dw
dx=
w + 1
2w − 3
dw
dx= 3− w + 1
2w − 3
dw
dx=
3(2w − 3)− (w + 1)
2w − 3
dw
dx=
6w − 9− w − 1
2w − 3
dw
dx=
5w − 10
2w − 3
dw
dx= 5
w − 2
2w − 3
5dx =2w − 3
w − 2dw∫
5dx =
∫2w − 3
w − 2dw
5
∫dx =
∫2(w − 2) + 1
w − 2dw
5x =
∫2 +
1
w − 2dw
5x = 2w + ln(w − 2) + c
5x = 2(3x− y) + ln(3x− y − 2) + c
5x = 6x− 2y + ln(3x− y − 2) + c
0 = x− 2y + ln(3x− y − 2) + c
20 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
———
2y = x+ ln(3x− y − 2) + c
d
dx(2y) =
d
dx(x+ ln(3x− y − 2) + c)
2dy
dx= 1 +
3− dydx
3x− y − 2
2dy
dx=
3x− y + 1
3x− y − 2−
dydx
3x− y − 2
2dy
dx+
dydx
3x− y − 2=
3x− y + 1
3x− y − 2
dy
dx
(2 +
1
3x− y − 2
)=
3x− y + 1
3x− y − 2
dy
dx
(2(3x− y − 2) + 1
3x− y − 2
)=
3x− y + 1
3x− y − 2
dy
dx
(6x− 2y − 3
3x− y − 2
)=
3x− y + 1
3x− y − 2
dy
dx(6x− 2y − 3) = (3x− y + 1)
(3x− y + 1)dx = (6x− 2y − 3)dy
———
FIRST ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS 21
12
dy
dx= −2x+ 3y + 1
4x+ 6y + 1
let v = 2x+ 3y;dv
dx= 2 + 3
dy
dx
dy
dx=
1
3
(dv
dx− 2
)1
3
(dv
dx− 2
)= − v + 1
2v + 1
dv
dx= 2− 3(v + 1)
2v + 1
dv
dx=
2(2v + 1)− 3(v + 1)
2v + 1
dv
dx=
4v + 2− 3v − 3
2v + 1
dv
dx=
v − 1
2v + 1
dx =2v + 1
v − 1dv∫
dx =
∫2v + 1
v − 1dv
let w = v − 1; w + 1 = v; dw = dv∫dx =
∫2(w + 1) + 1
wdw∫
dx =
∫2 +
3
wdw
x = 2w + 3 ln(w) + c
x = 2(v − 1) + 3 ln(v − 1) + c
x = 2v − 2 + 3 ln(v − 1) + c
x = 2(2x+ 3y − 1) + 3 ln(2x+ 3y − 1) + c
x = 4x+ 6y + 3 ln(2x+ 3y − 1)− 2 + c
0 = 3x+ 6y + 3 ln(2x+ 3− 1)− 2 + c
22 FELIX HARVEY-ROSSER - 3457606
———
0 = 3x+ 6y + 3 ln(2x+ 3− 1)− 2 + c
d
dx(0) =
d
dx(3x+ 6y + 3 ln(2x+ 3y − 1)− 2 + c)
0 = 3 + 6dy
dx+ 3
2 + 3dydx
2x+ 3y − 1
0 = 3
(1 + 2
dy
dx+
2 + 3dydx
2x+ 3y − 1
)
0 =
(1 +
2
2x+ 3y − 1
)+
(2 +
3
2x+ 3y − 1
)dy
dx
(2 +
3
2x+ 3y − 1
)dy
dx= −
(1 +
2
2x+ 3y − 1
)(2(2x+ 3y − 1) + 3
2x+ 3y − 1
)dy
dx= −
(2x+ 3y − 1 + 2
2x+ 3y − 1
)(4x+ 6y + 1
2x+ 3y − 1
)dy
dx= −
(2x+ 3y + 1
2x+ 3y − 1
)
dy
dx= −
(2x+ 3y + 1
2x+ 3y − 1
)(2x+ 3y − 1
4x+ 6y + 1
)
dy
dx= −
(2x+ 3y + 1
4x+ 6y + 1
)
———
