Fis Komputasi 02 Akar Persamaan

5/24/2018 Fis Komputasi 02 Akar Persamaan

1/24

Akar-akar Persamaan

JURUSAN FISIKA

UIN MALIKI MALANG


2/24

a2

ac4bbx

2

2,1

Persamaan orde dua : ax2 + bx + c = 0

f(x) x3+ x23x 3 = 0

f(x) x5+ 2x44x3-2x +5 = 0

f(x) 3 x + sin x ex= 0

Gambar fungsi kemudian dicari titik potong terhadap sb x.

Memasukkan nilai sembarang x kemudian dievaluasi,

apakah f(x) = 0, jika tidak diulang nilai x yang lain


3/24

Metode Setengah Interval1. Ambil sembarang nilai xndan xn+1dimana berlaku

f(xn) . f(xn+1) < 0.

2. Estimasi pertama dari akar xidihitung dengan

3. Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalamsub interval mana akar persamaan berada yaitu

dengan menguji nilai f(xn).f(xt)- jika f(xn).f(xt) < 0 akar` pers. Berada pada subinterval pertama. Tetapkan xn+1 = xt,langkah- 4

2

xxx 1nnt


4/24

Metode Setengah Interval- jika f(xn).f(xt) > 0 akar` pers. Berada pada sub

interval kedua. Tetapkan xn = xt,langkah- 4

- jika f(xn).f(xt) = 0 akar pers adalah dan xt,dan

hitungan selesai

4. Hitung perkiraan baru dari akar dengan :5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil, maka

hitungan selesai.

2

xxx 1nnt


5/24

x1

x2

x3

x3 x2x1x3 x2x4

x3 x4

x4

x5

x5

F(x)


6/24

xn+1= xtf(xn+1)=f(xt)

Hitung fungsi unt. Interval

x ygsama, shg didapat f(xn) dan f(xn+1)

dgn tanda beda

2

xxx 1nn

t

xn= xtf(xn)=f(xt)

yes

End

yes

Start

f(xt) dan f(xn)

sama tanda

f(xt) kecil ?


7/24

Contoh :

Hitung akar persamaan pangkat tiga :

f(x) x3+ x2- 3x - 3 = 0

Jawab :

x = 1 f(1) = -1 , untuk x = 2 f(2) = 3

xt= (x1+x2)/2 = (1+2)/2 = 1.5f(xt) = - 1.875


8/24

f(x) x3+ x2- 3x - 3 = 0


9/24

Program Matlab


10/24

Metode Interpolasi Linear/False Position

nnnnn

n

nn

n

nn

n

xxxfxf

xf

xx

xfxf

xf

xx

xx

1

1

1

1*

1

1

1

*1

)()(

)(

)()(

)(

xnxn+1x*

xn-1-xn

xn-1-x*

Dengan menggunakan sifat segitiga sebangun :


11/24

Metode Interpolasi Linear

f(x) x3+ x2- 3x - 3 = 0


12/24

Program Matlab


13/24

Metode Newton Raphson Langkah pertama, ambil

xisebagai nilai awal, buat

grs singgung dari titik xi,

f(xi). Titik dimana grs.

Singgung tsb memotong

sumbu x akan

memberikan perkiraan yglebih dekat dari nilai akar

persamaan .

xi

xi+1


14/24

Metode Newton Raphson

Turunan pertama pada xiadalah ekuivalent dgn.

Kemiringan garis di titik tersebut.

1ii

ii

'

xx0)x(f)x(f

)x('f)x(fxxi

ii1i atau


15/24


Flow Chart

Hitung

xn+1dan f(xn+1)

xn= xn+1

Pilih nilai awal xn.

yes

Start

End

Apakah

f(xn+1) kecil ?


16/24


f(x) x3+ x2- 3x - 3 = 0


17/24

Program Matlab


18/24

PR Lagi ya...!

Gunakan metode bisection, falsepoint, & newton raphson

serta carilah hasilnya dengan menggunakan Matlab.tgx x 1 = 0 & 5.20

2exp(-x) sinx = 0 & 5.6, 5.7

x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0 & 5.19

3x^3 + 4x^2 - 8x 1 = 0 & 5.17

3^x - 3x^2 = 0 & 5.16

3x = 2 exp(x) + x^2 & 5.13

3x^2 exp(x) = 0 & 5.18

exp(x) + 2^-x + 2cosx 6 = 0 & 5.1, 5.2

x^2 + 10cosx = 0 & 5.10


19/24

Metode Secant

Metode ini menghindari adanya turunan pertama yang

dipakai dalam metode Newton Raphson.

Nilai diferensial diganti dengan metode diferensial

beda hingga.

1ii

1iii

xx

)x(f)x(f)x('f

)x(f)x(f

)xx)(x(fxx

1ii

1iiii1i

Atau :


20/24

Metode Secant

P M l b


21/24

Program Matlab


22/24

Metode Iterasi Dalam metode ini digunakan suatu persamaan untuk

memperkirakan nilai akar persamaan.

Persamaan ini dikembangkan dari fungsi f(x) = 0

shg parameter x berada di sisi kiri dari persamaan : Mis pers. x3+ 4x25x +3 = 0

x = (- 4 x2+ 5 x 3 )1/3

xi+1= g (xi)

%100x

xx

1i

i1ia


23/24

Metode IterasiContoh : tentukan nilai x untuk persamaan berikut

dengan metode iterasi :

f(x) x3+ x2- 3x - 3 = 0

x = (-x2+ 3 x + 3)1/3

xi+1= (-xi2+ 3 xi+ 3)

1/3


24/24

Program Matlab

Documents

Fis Komputasi 02 Akar Persamaan