FISICA MODERNA FIS 1542 (1) - pauli.fis.puc.clpauli.fis.puc.cl/~rramirez/FISMOD/FM_clase1.pdf · FISICA MODERNA FIS 1542 (1) Relatividad Especial Programa de Curso Relatividad Postulados

FISICA MODERNA FIS 1542 (1)

FISICA MODERNAFIS 1542 (1)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

1er. Semestre 2011

Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile


Relatividad Especial

Horario de clases: Lunes y Miercoles a las 11.30 hrs.

Horario de ayudantıa: Martes las 11.30 hrs.

Ayudante: Ariel Norambuena

Fechas de las I y examen.

I1: Miercoles 13 de Abril 18.30 hrs.

I2: Miercoles 18 de Mayo 18.30 hrs.

I3: Viernes 17 de Junio 18.30 hrs.

Ex: Lunes 4 de Julio a las 8.30 hrs.




Programa de Curso

Relatividad• Postulados de la Relatividad• Transformaciones de Lorentz. Mecanica relativista.• Relatividad y electromagnetismo.Orıgenes de la teorıa cuantica• Naturaleza corpuscular de la radiacion.• Modelos de atomos. Atomo Bohr.Mecanica cuantica elemental• El camino hacia la mecanica ondulatoria.• Funcion de onda. Principio de incertidumbre• Ecuacion de Schrodinger. • Sistemas simples.Sistemas de muchas partıculas• Principio de exclusion de Pauli• Sistemas de partıculas no interactuantes.• Potencial central y momento angular• Atomo de hidrogeno• Adicion de momento angular. Spin.




Estructura de los atomos• Transiciones. Reglas de seleccion• Laser. Fonones• Semiconductores• Superconductores• Interacciones fuertes

Referencias• Stephen Gasiorowicz, The Structure of Matter• James H. Smith Introduccion a la Relatividad Especial• H. Haken, H.C. Wolf, W.D. Brewer Physics of Atoms and

Quanta: Introduction to experiment and theory.•W. Demtroder Atoms, Molecules and Photons• A. Einstein, L. Infeld The Evolution of PhysicsQuanta: Introduction to experiment and theory.




Fısica clasica

Hasta fines del siglo XIX, el conocimiento de la fısicaestaba constituıdo por:

• Las leyes de Newton y la gravitacion universal.

• Las leyes de Maxwell de la electromagnetismo.

• Las leyes de la termodinamica y la teorıa cinetica.




Marcos de referencia.

Marcos inerciales.

En fısica, un marco inercial de referencia es un marco en el cual eltiempo y el espacio se describe homogenea e isotropicamente.Todos los marcos inerciales se encuentran en un estado demovimiento rectilıneo constante, uno con respecto a otro.

Es aquel en que un objeto sobre el cual no actuan fuerzas se mueveen lınea recta a velocidad constante.

Unos de los principios importantes de la ciencia actual es que todoslos observadores son equivalentes y que las leyes de la naturalezadeben tener la misma forma matematica para todos ellos.




RELATIVIDAD GALILEANA.

La mecanica de un sistema departıculas esta descrita por segundaley de Newton:

mid2~ri

dt2 = ~Fi

donde ~Fi es la fuerza que actua so-bre i debida al resto de la partıcu-las. En general estas fuerza son dela forma F (~ri −~rj ).




Un observador que se mueve con velocidad constante ~u c/r a unmarco de referencia, en el cual las coordenadas de dos partıculasson ~r1 y ~r2, asignara en sus marco las siguientes coordenadas aestas dos partıculas:

~r ′1 = ~r1 − ~ut ; ~r ′2 = ~r2 − ~ut

Entonces en general

d~r ′

dt=

d~r ′

dt− ~u;

d2~r ′

dt2 =d2~rdt2

Estas son la llamadas Transformaciones de Galileo. Como~r ′1 −~r ′2 = ~r1 −~r2, las ecuaciones de la mecanica son las mismas enambos marcos y podemos decir que:

Las leyes de la mecanica son las mismas en todos los marcosinerciales.




Ondas de luz

Desde el siglo XVII hubo una controver-sia sobre la naturaleza de la luz. Newtonarguıa que estaba formada de corpuscu-los, mientras que Huygens defendıa sunaturaleza ondulatoria. No fue hasta elestablecimiento de la mecanica cuanticaque no resolvio este dilema. James C.Maxwell introdujo formalmente la ondaselectromagneticas, lo que fue confirmadoexperimentalmente por Heinrich Hertz.Como la velocidad de la OEM predichapor la ecuacion de onda es la mismaque la velocidad de la luz, Maxwell con-cluyo que la la luz es una OEM.

O

λ

θ

En la figura se muestra una fuente puntual de ondas (una perturbacion puntual) que produceondas circulares que se propagan con velocidad c. Si la fuente produce f perturbacionesespaciadas regularmente por segundo y los cırculos de la figura corresponden a los maximosde la onda, el tiempo que transcurre en la produccion de maximos sucesivos es 1/f . f es lafrecuencia de la onda. La longitud de onda que corresponde a la distancia entre dos maximossucesivos es λ = c/f




Efecto Doppler

O

λ

θ

f =cλ




Efecto Doppler Fuente se mueve c/r observador

O

θ

v

f =fs

1− vc cos θ




Efecto Doppler Observador se mueve c/r fuente

O

θ

v

f = fs(1 +vc

cos θ)




En el siglo XIX se pensaba que, ası como el sonido necesita unmedio material para propagarse, la luz tambien requerıa un mediopara desplazarse. Sin embargo estaba la evidencia empırica de laobservacion de la luz de las estrellas que atravesaba un espaciovacıo. Ası surgio la idea de la existencia de eter i.e. un medio, en elcual se podıa propagar la luz. El eter poseıa varias propiedadesnotables:

- Llenaba todo el espacio.

- Carecıa de peso.

- No absorbıa la energıa.

- Penetraba libremente en la materia.

Ası como un cuerpo al moverse arrastra aire a su alrededor,¿ La Tierra tambien arrastra el eter?




Aberracion de la luzEn la figura se muestra un rayo deluz que viene de una estrella le-jana. Si el telescopio esta quietocon respecto a la estrella podemosobtener una imagen. Sin embargo siel telescopio se mueve rapidamentehacia la derecha no alcanzara el oc-ular E, ya que al llegar la luz el ocularestarıa en la posicion E’. Sin embar-go si inclinamos el telescopio comoel la figura de la derecha es posibleobservar el rayo de luz. Si la distan-

E’E E E’

cia vertical que recorre la luz dentro del tubo del telescopio es `, el tiempoque se demora es t = `/c y en ese intervalo de tiempo el telescopio se habramovido v`/c, de donde obtenemos que el telescopio debe ser inclinado enun angulo α dado por tanα = v/c













Ahora si la Tierra arrastra el eterno se producirıa el fenomeno dela aberracion de la luz al obser-var una estrella.

Tomando la Tierra como marcode referencia, el eter se muevecon respecto a este marco convelocidad v . Ası en el siglo XIXse hablaba del “viento del eter”.

Si el eter se mueve con velocidad v , la luz alcanzara, con respecto ala Tierra, su valor maximo c + v y un valor mınimo c − v y un valor√

c2 − v2 si la luz se mueve perpendicular a eter.

Si suponemos que el sol esta en reposo c/r al eter, la velocidad delviento del eter deberıa ser igual a la velocidad orbital de la Tierraalrededor del sol,i.e. 3× 104 m/s.

v

cc − v

2 2




Experimento de Michelson-Morley (1887)

Las ecuaciones de Maxwell dicen que las radiacion electromagneticase propaga a la velocidad c = 3× 1010cm/seg.

El problema que se plantearon Michelson y Morley ¿Cual es lavelocidad del viento del eter?




Viento del eter

S

T

T




Experimento M-M (1887)

El inteferometro de MM consiste deuna fuentes de luz, dos espejos, unespejo semi-plateado y un detectorde luz.

Uno de los brazos del interferome-tros se alinea en la direccion delmovimiento de la Tierra y se suponeque el eter se mueve con respecto ala Tierra con velocidad v .

De esta manera el haz de luz sedivide en dos en el espejo semi-plateado, que llegan al final al detec-tor.

de luz

Fuente

M

velocidad del eter v

Detector

Espejo semi−plateado

M

P

1

2




Experimento M-M (1887)

Consider un haz de luz que vadesde el punto P al espejo M1,de oeste a este, y asuma que elviento del eter va en la direccionopuesta con velocidad v . El tiem-po que demora la luz en un viajede ida y vuelta de P a M1, con`1 = PM1, es

t1 =`1

c − v+

`1

c + v=

2`1

c

(1− v2

c2

)−1

2

1

PM

1

Viento del eter

M2

`

`




En el caso en que la luzse mueve transversalmente hayque considerar el desviamientotransversal debido al movimien-to del eter. Este desplazamien-to vale vt2/2, y por lo tanto, con`2 = PM ′2:

ct2/2 = [`22 + (vt2/2)2]1/2 luego

t2 =2`2

c

(1− v2

c2

)−1/2

2M

2

P

Viento del etervt /2

2

2

M’

`




La diferencia entre estos tiempos es:

∆12 = t1−t2 =2`1

c

(1− v2

c2

)−1

−2`2

c

(1− v2

c2

)−1/2

' 2c

(`1−`2)+v2

c2

(2`1

c− `2

c

)

Si ahora rotamos el marco completo en 90o de tal modo que ahora PM2

esta en la direccion contraria al viento del eter, y PM1 hacia el sur, entoncesestamos intercambiando `1 y `2 y la diferencia de tiempo(paralela-perpendicular) es:

∆ROT12 = t1 − t2 ==

2c

(`1 − `2) +v2

c2

(`1

c− 2`2

c

)Y la diferencia entre estos dos tiempos es

∆t = ∆12 −∆ROT12 =

v2

c2

(`1 + `2

c

)




Si tomamos v = 3× 104 m/s, tenemos v2/c2 ' 10−8. Esta es unacantidad muy pequena, la que sin embargo era posible de medirusando el interferometro optico disenado por Michelson.

Al detector llegan dos haces recombinados. Pero como los frentes deondas no son exactamente paralelos, se producen franjas deinterferencia como se muestra en la figura siguiente de la izquierda:

originalInterferometro Interferometro

rotado




Al rotar en 90o el inteferometro completo se debiera introducir un cambio enla diferencia de los caminos, dado por c∆t . Entonces, si λ es la longitud deonda, existira un corrimiento en las franjas de interferencia de:

∆franjas =c∆tλ

=v2

c2

(`1 + `2

λ

)Lo que se ilustra en la figura anterior de la derecha.

Utilizando los valores de MM, i.e. λ = 5900 A y `1 ' `2 ' 11 m, obtenemos∆franjas ' 0.37

Este serıa aproximadamente el corriento de la franjas si el experimentohubiera obtenido un resultado positivo. Por otra parte el interferometro deMM era capaz detectar un corrimiento mucho menor, del orden de 0.04. Sinembargo no detecto ningun corriento de la franjas




Cinematica relativista

En la transformacion de Galileo ~r ′ = ~r − ~ut , esta implicita la condicionque t ′ = t . Sin embargo el principio de la invariabilidad de lavelocidad de la luz es incompatible con esta suposicion. Para veresto considere dos marcos de referencia cuyos origenes coincidenen t = 0. Entonces, como la velocidad de la luz c es la misma en losdos marcos, tenemos:

~r ′2 = c2t ′2 y ~r2 = c2t2

y por lo tanto, t ′ 6= t .




Dilatacion del tiempoConsideremos el siguiente experimento descrito en la figurasiguiente. Aquı tenemos una fuente de luz que emite un rayo que esreflejado en un espejo. El aparato funciona de tal manera que estafuente emite un destello cada vez que el rayo reflejado llega denuevo a la fuente. Este aparato constituye un reloj que, en su marcode referencia en reposo, emite un destello a intervalos de 2w/csegundos.

w

espejo

fuente de luz




Si ahora consideramos otro marco que se mueve con velocidad vcon respecto a este, en el proceso de emision y reflejo del rayo, la luztiene que recorrer un camino mas largo. Sin embargo como la luztiene la misma velocidad en los dos marcos, el tiempo que se demoraen producirse un destello visto por un observador en movimiento esmayor que para el observador en el marco en que la fuente de luzesta en reposo.

ct’

ct

espejoespejo

vtfuente de luz




Del dibujo de la figura anterior vemos que:

(ct)2 = (vt)2 + w2 = (vt)2 + (ct ′)2

de donde

t ′ =2wc

1(1− v2/c2)1/2

Por lo tanto en el marco en movimiento, el tiempo entre los destelloses mas largo y entonces el reloj anda mas lento que un reloj identicoen reposo.




Considere un reloj formado pordos brazos del mismo largo v enangulo recto como se muestraen la figura.

El reloj emite un destello cadavez que los rayos reflejados lle-gan simultaneamente.

Ası se produce un destello a in-tervalos de 2w/c. Este mecan-ismo debe funcionar para todoslos marcos inerciales, ya que delo contrario podrıa mos distinguirentre marcos inerciales.

L

L

espejo

fuente de luz

espejo




Contraccion de la longitudAhora consideremos un reloj identico al anterior que llamamos S yotro igualmente identico que llamamos S’, pero que se mueve c/r alprimero con velocidad constante v .

w

w

w’

w

S’S




Si t = 2w/c es el tiempo que demora la luz en el viaje de ida y vuelta en elbrazo vertical de S y t ′ es el tiempo correspondiente en S’, entonces,

t ′ =2wc

1(1− v2/c2)1/2

Sin embargo, de acuerdo a la discusion anterior los tiempos t y t ′ sontambien los tiempos que demora la luz en el viaje de ida y vuelta en losbrazos horizontales en los relojes S y S’, respectivamente.Consideremos ahora los brazos horizontales de estos dos relojes. Sea t1 esel tiempo que demora la luz en llegar al espejo, viajando a la derecha en S’ yt2 el tiempo que toma de vuelta a la fuente en el mismo reloj. Como t ′ 6= t yla velocidad de la luz es la misma en S y S’, concluımos que w ′ 6= w .

ct1 = w ′ + vt1 ct2 = w ′ − vt2y

t ′ = t1 + t2 =w ′

c − v+

w ′

c + v=

2w ′

c1

1− v2/c2




luego,

t ′ =2wc

1(1− v2/c2)1/2 =

2w ′

c1

1− v2/c2

y por lo tanto

w ′ = w(1− v2/c2)1/2




Transformacion de Lorentz

S S’

x

y

z

y’

z’

x’

v

Considere el marco S’ que se mueve con velocidad v en la direccion x c/r almarco S en reposo. Segun la transformacion de Galileo:x ′ = x − vt ; y ′ = y ; z′ = z; t ′ = t .

Sin embargo, como ya vimos, la condicion de invariabilidad de la velocidadde la luz esta en contradiccion con la ultima condicion y por lo tanto debemosreemplazarla por t ′ 6= t .




Partimos de una transformacion lineal:

x ′ = a1x + a2t t ′ = a3x + a4t

Los coeficientes a deben depender de v , pero por el principio de larelatividad, la transformacion inversa debe ser la misma que laoriginal. Por lo tanto de:

x =a4x ′ − a2t ′

a1a4 − a2a3t =

a1t ′ − a3x ′

a1a4 − a2a3

obtenemos:

a1(−v) =a4(v)

a1(v)a4(v)− a2(v)a3(v); a2(−v) = − a2(v)

a1(v)a4(v)− a2(v)a3(v)




Ahora consideremos la situacion particular en que en t = t ′ = 0 losmarco S y S’ coinciden y que en t = 0 un objeto parte del orıgen y semueve en S con velocidad v de tal modo que en este marco suecuacion de movimiento es x = vt . Pero como el marco S’ tambiense mueve c/r a S con velocidad v , tenemos que x ′ = 0.Reemplazando en las ecuaciones de transformacion, nos da:

va1(v) = −a2(v)

Pero ya vimos que las ecuaciones que describen un pulso de luz queparte del orıgen en t = t ′ = 0 son:

x2 + y2 + z2 = c2t2 x ′2 + y ′2 + z ′2 = c2t ′2




Entonces usando las condiciones y ′ = y ; z ′ = z, obtenemosfinalmente la transformacion de Lorentz:

x ′ = γ(x − vt) t ′ = γ(t − vc2 x) con γ = (1− v2/c2)−1/2

Tambien es costumbre definir β = v2/c2. Note que para β → 0,γ → 1 y recuperamos la transformacion de Galileo.




Suma de velocidades

Mientras que segun Galileo la adicion de velocidades se expresaatraves de u′x = ux − v , bajo la transformacion de Lorentz debemosobtenerla mediante:

u′x =dx ′

dt ′=

dx ′

dtdtdt ′

dx ′

dt= γ

(dxdt− v

)dt ′

dt= γ

(1− v

c2dxdt

)de donde

u′x =ux − v

1− vux/c2

Similarmente

u′y =uy

γ(1− vux/c2)u′z =

uz

γ(1− vux/c2)




Transformacion de Lorentz general

~r ′ = ~r +

[γ − 1

v2~r · ~v − γt

]~v

t ′ = γ

[t −

~r · ~vc2

]

Aplicacion a la dilatacion del tiempo y a la contraccion de lalongitud.

Consideremos dos marcos de referencia S y S’ que en t = t ′ = 0 sonidenticos. El marco S’ se mueve hacia la direccion positiva de x en Scon velocidad v . Coloquemos un reloj en reposo en el orıgen demarco S, de tal modo que su primer tic ocurre en x = x ′ = 0 yt = t ′ = 0.




El segundo tic ocurre en S en t = T y en x = 0, ya que en estemarco el reloj esta inmovil. Entonces, segun la transformacion deLorentz, para el observador en S’, el segundo tic ocurre en:

x ′ = −γvT t ′ = γT

Ası para el observador en movimiento el intervalo entre tics esγT > T , es decir para el el reloj se mueve mas lento, i.e. el tiempopasa mas lento.

Ahora consideremos una barra de largo L colocada en reposo en S,con sus extremos en:

x1 = 0 x2 = L




Para conocer el largo de barra en S’, un observador en este marco debemedir las posiciones de los extremos de la barra al mismo tiempo.Supongamos que estas mediciones se realizan en t ′1 = t ′2 = 0. Entonces:

t ′1 = 0 = γ(

t1 −vx1

c2

)= γt1 t ′2 = 0 = γ

(t2 −

vx2

c2

)= γ

(t2 −

vLc2

)i.e.

t1 = 0 t2 =vLc2

Por lo tanto

x ′1 = γ(x1 − vt1) = 0; x ′2 = γ(x2 − vt2) = γ(L− v2L/c2)

= γL(1− v2/c2) = γLγ2 =

Lγ

L′ = x ′2 − x ′1 = (1− v2/c2)1/2L < L

Notese que las medidas en S’, que determinan los extremos de la barra enese marco, ocurren en distintos tiempos en S.




Ejemplo

Un ejemplo de dilatacion del tiempo y contraccion de la longitud esta dado por laaparicion de muones en la atmosfera (digamos a 9000 m de altura). Los muonesaparecen por el decaimiento (desintegracion) de piones a varios miles de metros sobreel nivel del mar, pero solo una fraccion pequena de ellos llegara a la superficieterrestre. Los muones a su vez decaen segun una ley estadıstica exponencial:

N(t) = Noe−t/τ

donde No es el numero de muones en t = 0 y N(t) es el numero remanente demuones en el tiempo t . El valor de τ es aproximadamente 2 micro-seg=2µseg

9000 m

Tierra

Muon

600 m




Un muon que se mueve con una velocidad de 0.998cviajara 0.998× 3× 108 × 2× 10−6 ' 600 m. Sin embargo la Tierra se muevea la velocidad 0.998c c/r al muon por lo tanto la vida media de muon c/r almarco de referencia de la Tierra es τ/(1− v2/c2)1/2 ' 15µseg y por lo tantoen ese tiempo el muon ha viajado ' 9000 m.

Ası la distancia de 9000 m se ha contraıdo a 600 m en el marco dereferencia del muon.

¿Cuantos muones esperamos recibir en la superficie terrestre?Supongamos que observamos 108 muones a 9000 m de altura. Conrespecto a su marco de referencia el muon ha viajado 600m a la velocidad0.998c, para lo cual le ha tomado 2µseg=1τ . Por lo tanto, segun la formulaanterior, el numero de muones que llegan a la superficie terrestre es:

N = 108e−1 ' 36.8× 106

En un calculo clasico (no relativista) el muon ha viajado 9000m a la velocidad0.998c, para lo cual le ha tomado 30µseg=15τ . Luego

N = 108e−15 ' 30.6 un valor un millon de veces menor

Resultados experimentales han confirmado el calculo relativista.Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile



Diagramas de Minskowski

45 o

ct

x

Son diagramas en los que se muestran el movimiento de sistemas.Los ejes son x = x , y = ct . Las trayectorias descritas por un sistemase llaman lıneas de mundo. Las lıneas punteadas a 45o indican loslımites de velocidad v = c. (worldline)




Consideremos dos marcos inerciales S,en reposo y S’, moviendose con veloci-dad v c/r a S en la direccion de la x . Ent = t ′ = 0 los relojes coinciden, comotambien los orıgenes x y x ′. Veamos aho-ra como se ve el marco S’ para un obser-vador en S.

Al pasar el tiempo el lugar geometrico detodos los puntos con x ′ = 0 en S es eleje ct ′.

Para ubicarlo en S usamos la transformacion de Lorentz:

x ′ = γ(x − vt) = 0 → ct =1β

x

es decir una lınea con pendiente 1/β.

ct’ct

x

x’




De la misma forma el eje x ′ puede ser localizado ubicando los puntospara los cuales ct ′ = 0:

ct ′ = cγ(

t − vxc2

)= 0 ct =

vxc

= βx

Entonces el eje x ′ es una lınea con pendiente β ≤ 1/β como semuestra en la figura anterior.

Intervalos en el espacio-tiempo

Se define como:

(∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x2 + ∆y2 + ∆z2)

y con ∆y2 = ∆z2 = 0

(∆s)2 = (c∆t)2 − (∆x)2




El intervalo se llama tipo tiempo si la separacion temporal c∆t esmayor que la separacion espacial ∆x . En caso contrario se llamaseparacion tipo espacio. Cuando son iguales, i.e. ∆s = 0 separaciontipo luz. El valor (∆s)2 es invariante bajo una transformacion deLorentz como se puede demostrar facilmente.




Efecto Doppler

v

B A

Tenemos una fuente luminosa que se mueve hacia la derecha segunel eje x con velocidad v . Ademas tenemos dos receptores uobservadores hacia la derecha y la izquierda de la fuente. Losobservadores se encuentran en reposo en el marco de referencia S.En el marco S’ la fuente se encuentra en x ′ = 0 y su lınea de mundoes el eje ct ′. En el momento en que los orıgenes de S y S’ coincidense emite un tren de N ondas electromagneticas en cada direccion.




Primero consideremos el tren de ondas que viaja hacia A. Durante elintervalo ∆t , en el cual la fuente emite N ondas. Ası la primera ondaemitida habra viajado una distancia c∆t mientras la fuente misma haviajado v∆t en S.

Ası el observador A ve que las N ondas ocupan una distanciac∆t − v∆t , lo que implica que la longitud de onda correspondientees:

λ =c∆− v∆t

No una frecuencia

f =cλ

=cN

(c − v)∆t=

11− β

N∆t

Ahora la frecuencia de la fuente en el marco S’, llamada frecuenciapropia es:

fo =cλ′

=N

∆t ′Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile



donde ∆t ′ = τ , el tiempo propio en S’. Todas las ondas se emiten enx ′ = 0, por lo tanto ∆x ′ = 0, esto (de las transformaciones deLorentz) nos da ∆t = γ∆t ′. Luego N = fo∆t ′ y

f =1

1− βN∆t

=1

1− βfo∆t ′

∆t=

1γ

fo1− β

Por lo tanto la frecuencia de onda cambia por efecto Doppler en elacercamiento entre fuente y observador ası

f = fo

√1− β2

1− β= fo

√1 + β

1− β

De la misma forma se puede obtener la frecuencia para el caso dealejamiento entre fuente y observador:

f = fo

√1− β1 + β




Mecanica relativistaVamos averiguar que modificaciones sufre la segunda ley de Newton:

md2~rdt2 = ~F .

En primer lugar postularemos que la tercera ley de Newton no sufremodificaciones, es decir la cantidad de movimiento, para sistemasque estan sometidos a fuerzas externas, se conserva. Tambienasumiremos que el momentum de una partıcula es paralelo a suvelocidad y tiene la forma:

~p = m(v)~v

La cantidad m(v) debe cumplir las siguientes condiciones:debe depender solo de |~v |debe tender a la masa usual de la partıcula (llamada masa enreposo) para v/c → 0




La demostracion que sigue aparece en trabajo de P.C. Peters Am. J.Phys. 53, 804(1986)

Para estudiar el comportamiento delmomentum relativistico y su relacioncon la masa, consideremos unacolision elastica entre dos cuerposindenticos de masa mo. En marcode referencia en reposo S el primercuerpo tiene, antes de la colision,una velocidad ui dirigida segun+x y el otro cuerpo se encuentraen reposo, como se muestra en lafigura siguiente

DESPUES

S

v

ANTES

S’v

ANTES

S

u

u

ui

DESPUES

v

v

S’

f

f

El marco de referencia S’ esta definido como el marco en el cual los doscuerpos tienen velocidades de igual magnitud pero con direccionesopuestas, i.e. +v y −v . Ası el marco S’ se mueve c/r a S con velocidad v .Entonces la relacion entre las velocidades iniciales ui en S y v en S’ es:




ui =u′x + v

1 + u′x v/c2 =2v

1 + v2/c2 y γi (v) =(

1− u2i /c

2)−1/2

=1 + v2/c2

1− v2/c2

Como esta colision tiene un parametro de impacto distinto de cero, despuesdel choque los cuerpos se moveran en direcciones distintas del eje x , comose muestra en la figura anterior. Supongamos que el parametro de impactose elige de tal modo que despues del choque uno de los cuerpos se muevasegun el eje de las y . Sin embargo como el momentum se conserva, y este,en S’, es cero antes del choque, es tambien cero despues del choque. Estoimplica que el segundo cuerpo, tambien se movera, despues del choque,segun el eje de las y , como se muestra en la figura anterior. Ası en S’,u′fx = 0; u′fy = v .Ahora en el marco S, las velocidades de los dos cuerpos despues delchoque, forman el mismo angulo c/r al eje x (ver la figura anterior). Para elcuerpo superior:

ufx = v y ufy = v(1− v2/c2)1/2

y para el inferior solo cambia el signo de la componente y .

γf (v) =(

1− u2f /c

2)−1/2

=1

1− v2/c2




En el marco, S las cantidades de movimiento Newtonianas, antes y despuesdel choque son distintas:

Pi = moui =2mov

1 + v2/c2 ; Pf = 2moufx = 2mov

Sin embargo, como la cantidad de movimiento deben conservarse, y por lotanto la definicion de P, en el lımite relativista. debe ser modificada. Paraesto escribamos ~P = mog(γ)~u con g(γ)→ 1 para u → 0. Entonces lasecuaciones de arriba deben ser reescritas como:

Pi =2movg(γi )

1 + v2/c2 ; Pf = 2mog(γf )v

e igualando Pi y Pfg(γi )

g(γf )=

11 + v2/c2 =

γi

γf

Vemos que la eleccion g(γ) = γ preserva la conservacion del momentum.Entonces la expresion para el momentum relativista es:

~P = γmo~u =mo

(1− u2/c2)1/2~u




Fuerza. Energıa cinetica. Energıa en reposoLa segunda ley de Newton debe escribirse como:

~F =d~pdt

=d(γmo~u)

dtEntonces podemos calcular la energıa cinetica:

K =

∫~F · d~r =

∫~F · d~r

dtdt =

∫d(γmo~u)

dt· ~udt

Es facil demostrar que:

d(γmo~u)

dt· ~u =

d(γmo)

dtu2 + γmo~u ·

d~udt

= moc2 dγdt

Por lo tanto:

K =

∫moc2 dγ

dtdt = moc2γ(u)

∣∣∣u0

= moc2(γ − 1)

En el lımite no relativista

γ → 1 +12

v2

c2

y recuperamos la expresion newtoniana.Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile



Einstein introdujo la energıa en reposo Eo = moc2 con lo cual la energıa totalde la partıcula queda como:

E = moc2 + K = moc2γ

Debe hacerse notar que entonces la masa no se conserva, peroesta incluıda dentro de la conservacion de la energıa.

Transformacion de la energıa y el momentumTomamos u en la direccion de +x y consideremos un sistema S’ que semueva c/r a S con velocidad v segun +x , entonces

u′ =u − v

1− uv/c2 y

γ(u′) =

[1− 1

c2

(u − v)2

(1− uv/c2)2

]−1/2

=(

1− uvc2

)(1− u2

c2

)−1/2(1− v2

c2

)−1/2

=(

1− uvc2

)γ(u)γ(v)




entonces

p′ = γ(u′)mou′ = mo

(1− uv

c2

)γ(u)γ(v)

u − v1− uv/c2

= γ(v)[mouγ(u)−movγ(u)]

= γ(v)(

p − vc2 E

)E ′ = mc2γ(u′)

= mc2(

1− uvc2

)γ(u)γ(v)

= γ(v)(E − vp)

Estas leyes de transformacion se pueden escribir como:

E ′/c = γ(E/c − βp)

p′ = γ(p − βE/c)




Esta forma es similar a las leyes de transformacion para x ′ y t ′, por lo que laforma invariante (ct)2 − r 2 aquı aparece como(

Ec

)2

− p2 = (mc)2

de aquı obtenemos:Ec2

dEdt− ~p · d~p

dt= 0

pero de E = mc2γ(u);~pm~uγ(u) tenemos c2~p/E = ~u y por lo tanto:

dEdt

=c2

E− ~p · d~p

dt= ~u · ~F

Entonces podemos obtener la leyes de transformacion de las fuerzas:

F ′x =dp′xdt ′

=dp′x/dtdt ′/dt

=γ(dpx/dt − v/c2dE/dt)

γ(1− vux/c2)=

Fx − v(~u · ~F )/c2

1− vux/c2




Para las componentes perpendiculares al movimiento:

F ′y =dp′ydt ′

=dp′y/dtdt ′/dt

=dpy/dt

γ(1− vux/c2)=

Fy

γ(1− vux/c2)

similarmente para la componente z:

F ′z =Fz

γ(1− vux/c2)




Electromagnetismo y Relatividad

Las leyes de la electrodinamica son un conjunto de formas que permaneceninvariantes bajo la transformacion de Lorentz. Eso requiere, por ejemplo, quela expresion de la fuerza de Lorentz sea la misma en dos sistemas inercialesdistintos, i.e.

~F = q(~E +

1c~u × ~B

)~F ′ = q

(~E ′ +

1c~u′ × ~B′

)donde el sistema S’ se mueve en las direccion de las x con velocidad v c/r aS. A partir de esta condicion se puede demostrar que:

E ′‖ = E‖

~E ′⊥ = γ

(~E⊥ +

1c~v × ~E

)B′‖ = B‖

~B′⊥ = γ

(~B⊥ −

1c~v × ~B

)Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile



En estas expresiones la carga q se mueve con velocidad ~u c/r a S y convelocidad ~u′ c/r a S’. A continuacion haremos un bosquejo de lademostracion de estas expresiones. Partimos con las relaciones detransformacion de estas velocidades:

u′‖ =u‖ − v

1− u‖v/c2

~u′⊥ =1γ

[~u⊥

1− u‖v/c2

]pero ya vimos que :

F ′‖ =F‖ − v~u/c2 · ~F

1− u‖v/c2

~F ′⊥ =1γ

[~F⊥

1− u‖v/c2

]




Tomamos por ejemplo la componente F ′‖ de la expresion anterior (en funcionde las componentes de ~F en S)y la igualamos con F ′‖ de la fuerza de Lorentz(en funcion de las componentes de ~E ′ y ~B ’). Despues reemplazamos lascomponentes de ~F en S por la expresion de la fuerza de Lorentz en funcionde ~E y ~B. Igualando a cero los coeficientes de la s componentes de ~u,encontraremos ~E ′ y ~B′ en funcion de ~E y ~B. Otras ecuaciones se obtienenconsiderando la componente ~F ′⊥.

Tambien se pueden demostrar los siguientes invariantes:

~E · ~B = ~E ′ · ~B′; ~E · ~E − ~B · ~B = ~E ′ · ~E ′ − ~B′ · ~B′


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FISICA MODERNA FIS 1542 (1) - pauli.fis.puc.clpauli.fis.puc.cl/~rramirez/FISMOD/FM_clase1.pdf · FISICA MODERNA FIS 1542 (1) Relatividad Especial Programa de Curso Relatividad Postulados