FIZ 1. nedelja predavanja

8/2/2019 FIZ 1. nedelja predavanja

1/23

1

PODSETNIK

Vektori

Poznato nam je da postoje skalarne i vektorske veliine. Skalarne veliine odreene su samo brojnomvrednou (temperatura, masa, vreme...), i sa njima se rauna po pravilima obine algebre, dok suvektorske veliine odreene smerom, pravcem i intenzitetom (brzina, ubrzanje, sila...) i sa njima se

rauna po pravilima vektorske algebre.

Vektor se grafiki predstavlja orijentisanom dui to je du sa strelicom na kraju.Mesto na kome je strelica je kraj vektora a suprotna strana mu je poetak.

Oznaava se slovom sa strelicom iznad ar

.

ar

Vektor ima:a) intenzitet (skalarna veliina), izraen je brojnom vrednou i jedinicom, a grafiki je

predstavljen duinom vektora.b) Pravac je odreen pravom na kojoj se nalazi vektor. Isti pravac

nemaju samo vektori koji se nalaze na istoj pravoj ve i svivektori koji se nalaze na njima paralelnim pravama. Dakle,vektor se ne menja ako se pomera paralelno samom sebi translira.

c) smer, koga grafiki oznaava strelica.

Jedinini vektor je vektoriji je intenzitet jednak jedinici0

ar

100 == aar

. Jedinini vektori se

prvenstveno uvode da bi definisali pravac i smer neke vektorske veliine. Pomou njih se neki vektor

moe zapisati kaoar

0aaarr

= .

Sabiranje vektora cbarrr

=+

pravilo trougla pravilo paralelograma

Oduzimanje vektora

Promenimo samo orijentaciju vektora br

tako da sada imamo vektor br

Mnoenje vektora skalarom

Mnoenjem vektora ar nekim skalarom s samo

se poveava intenzitet tog vektora

Mnoenjem npr. negativnim brojem, vektormenja i smer i inenzitet

Neka pravila vektorskog sabiranja

abbarrrr

+=+ (komutativnost)

c)ba()cb(arrrrrr

++=++ (asocijativnost)

bsas)ba(s rrrr +=+

ar

br

cr

ar

br c

r

)b(abacrrrrr

+==

ar

br

cr

ascrr

=

ar

cr

ar

cr

acrr

2=

ar

ar

ar


2/23

2

Skalarni priozvod vektora i b izmeu kojih je ugaodaje skalars:ar r

Intenzitet nekog vektora dobija se skalarnim mnoenjem tog vektora samima sobom:

Projekcija vektora na vektor (i obrnuto) iznosi:br

ar

Vektorski proizvod vektora i izmeu kojih je ugao daje trei

vektor c iji je pravac uvek normalan na ravan koju obrazuju vektori aar

br

r r

br

, a smer se odreuje pravilom desnog zavrtnja idui najkraim

rastojanjem od prvog ka drugom vektoru.

i

s

Zapamtiti da je kod vektorskog proizvoda bitno koji je vektor prvi a koji drugi jernjihov redosled odreuje orijentaciju treeg vektora.

Intenzitet vektora jednak je povrini irafiranog paralelogramacr

Razlaganje vektora na komponente je proces suprotan sabiranju

vektora: Iz poetne i krajnje take vektora povuku se pravci na koje

se on razlae; poetak komponenti je u poetku vektora koji serazlae, a krajevi su u takama preseka pravih koje polaze izpoetka sa pravama koje polaze iz kraja vektora (kao na slici).

Horizontalna i vertikalna komponenta vektora akoji zaklapa ugao a horizontalnim pravcem iznose

ax=acos i aY = a sin

Ugao izraen radijanima: Radijan predstavlja ugao koji odgovara krunom luku

ija je duina jednaka duini poluprenika krunice (l = r). Obim kruga

poluprenika riznosi 2rte je

ili

ar

br

cosbaabbasrrrrrr

===

aaaaaaa ==== 0cosrrrrr

br

cr

O

ar

ar

br

abr

cosbbar

=

bac

rrr

=

sinbaccrrr

==

rad22

3600

===r

rr l

0357rad1 .=

r r

R

a cos

a a sin

asin a

a cos


3/23

3

MEHANIKA

Mehanika je grana fizike koja prouava kretanje materijalnih tela kao i uzroke koji dovode do promenestanja kretanja.Kretanje je promena poloaja posmatranog tela u odnosu na koordinatni sistem vezan za neko telo referentno telo.

Ako je referentno telo nepokretno kretanje je apsolutno, a u suprotnom relativno.

Podela mehanike

Prema logikoj strukturi deli se na:

(a) KINEMATIKU (gemetrijski deo mehanike i ne vodi rauna o uzrocima koji dovode do kretanja)(b) DINAMIKU (izuava kretanje materijalnih tela pod uticajem sila kao uzroka koji izazivaju to

kretanje)

Prema objektu kretanja deli se na:

(a) MEHANIKU SISTEMA (prouava kretanje materijalnih tela koja se mogu smatrati sistemomestica npr. kruta tela)

(b) MEHANIKU KONTINUUMA (prouava kretanje tela koja se aproksimativno mogu smatratikontinualnim npr. fluidi, elastina tela)

U klasinoj mehanici pojmovi prostora i vremena se shvataju apsolutno. Njutnovi principi mehanikepodrazumevaju da vreme u celoj vasioni jednako tee kao i da postoji referentni sistem koji apsolutnomiruje u vasioni.Pretpostavke Njutnove mehanike koje se podrazumevaju su:1. sva tela se kreu brzinama mnogo manjim od brzine svetlosti2. mase tela koja se kreu su mnogo vee od mase mikroobjekata (atoma, protona...)

Ako prva pretpostavka nije zadovoljena klasinu mehaniku zamenjuje teorija relativnosti, a ako drugapretpostavka nije zadovoljena primenjuje se kvantna mehanika.

Celokupno izuavanje mehanike se svodi na dva modela:

1. model materijalne take (svako telo odreene mase zanemarljivih dimenzija)2. model krutog tela (realno telo koje ne menja svoj oblik prilikom kretanja)

Opisati kretanje znai da treba odrediti:1. poloaj tela u svakom trenutku2. pravac i smer kretanja3. brzinu i ubrzanje tela4. trajektoriju (geometrijsko mesto taaka u prostoru kroz koje telo sukcesivno prolazi pri

kretanju).

KINEMATIKA

Za opisivanje kretanja materijalne take u prostoru potrebno je znati njen poloaj u svakom trenutku

vremena prema unapred izabranom koordinatnom sistemu reference.

Postoje dva naina opisivanja kretanja:1. vektorski nain opisivanja kretanja2. prirodan nain opisivanja kretanja

M

Vektorski nain opisivanja kretanja

Zamislimo u prostoru trajektoriju neke take M (bilo kakvu) i u nekomtrenutku taka se na toj trajektoriji nala u poloaju kao na slici. Uprostoru izaberemo koordinatni poetak (taka O) u koji smetamoodgovarajui koordinatni sistem (Dekartov, polarni, cilindrini, sferni).

Vektor poloaja take M )t(rr

(radijus vektor) spaja koordinatni poetak

sa poloajem take M u nekom trenutku vremena. Oigledno je da se pri kretanju take M menjavektor poloaja )t(r

ri po pravcu i po intenzitetu to znai da on predstavlja neku funkciju vremena. Pri

)t(rr

O


4/23

4

vektorskom opisivanju kretanja jednaina )t(rrrr

= predstavlja osnovnu kinematsku jednainu

kretanja.

Vrh vektora )t(rr

sa fiksnim poetkom (taka O) odreuje hodografvektora poloajatake M. Jasno je

da hodograf vektora poloaja predstavlja trajektoriju materijalne take M.

Vektor poloaja u Dekartovom desnom koordinatnom sistemu

Ose u Dekartovom koordinatnom sistemu su odreene jedininim vektorima ir , jr i kr . Jedinini

vektori ili ortovi su vektori iji je intenzitet jednak jedinici. Za jedinine vektore vai:

1=== kjirrr z

Vektor poloaja se u Dekartovom sistemu moe

razloiti na komponente ixrxrr

= jyry,rr

= i

kzrzrr

= . Sa slike je oigledno:

U Dekartovom koordinatnom sistemu jednaine x=x(t), y=y(t) i z=z(t) predstavljaju osnovnekinematske kednaine kretanja i pokazuju kako se svaka od koordinata menja u toku vremena.

Projekcija vektora rr

nax-osu1

se dobija skalarnim mnoenjem vektora rr

sa jedininim vektorom ir

:

))i,r((irxikzijyiixirrrrrrrrrrrrr


5/23

5

BRZINA

Pojmove brzine i ubrzanja uveo je Galileo Galilej.

Brzina je vektorska veliina koja daje informacije ointenzitetu brzine, pravcu i smeru kretanja.

Vektor brzine pri vektorskom opisivanju kretanjatake

Neka se neko telo u poetnom trenutku tnalazi upoloaju M1 koji je odreen vektorom poloaja

)t(rr

, a u trenutku t+t u poloaju M2 koji je

odreen vektorom poloaja )tt(r +r

. Pomeranje

tela za neki vremenski interval t odreeno jevektorom pomeraja

2 r

r :

Kod krivolinijskog kretanja oigledno je da vektor pomerajanije jednak preenom putu puna linija. Samo je kod jednosmernog pravolinijskog kretanja pomeraj jednakpreenom putu.

Odnos vektora pomeraja i odgovarajueg vremenskog

intervala predstavlja srednju brzinu:

Srednja brzina ima isti pravac kao i vektor pomeraja (kao na

slici), a drugaijeg je intenziteta. Ono to je oigledno odavde je i injenica da srednja brzina ne zavisi od preenog puta,ve samo od poetnog i krajnjeg poloaja tela tj. zavisi samood vektora pomeraja.

Trenutna brzinar

(brzina u nekom trenutku t). Zamislite da

se vremenski interval t smanjuje do beskonano malogintervala dt

3. Tada se take 1 i 2 postepeno pribliavaju jedna

drugoj sve dok se gotovo ne poklope tako da se vektor

pomeraja smanjuje do beskonano male vrednosti rr

d . Odnos

pomeraja rr

d i proteklog vremena dt predstavlja srednju

brzinu u bekonano malom vremenskom intervalu tj. trenutnu

brzinu. Dakle, trenutna brzina r

predstavlja graninu vrednostsrednje brzine kada vremenski interval t tei nuli:

Vektor trenutne brzine u svakom trenutku vremena ima pravac tangente u datoj taki i usmeren je usmeru kretanja (pogledati i sliku iznad).

Prema matematikoj definiciji granina vrednost odnosa promene funkcije (u ovom sluaju )t(rr

) i

njoj odgovarajue promene nezavisno promenljive (u ovom sluaju t) jeste prvi izvod te funkcije po tojpromenljivoj. Na osnovu ove definicije i gornje jednakosti zakljuujemo:

Brzina materijalne take je prvi izvod njenog vektora poloaja po vremenu

2Pravite razliku izmeu vektora poloaja i vektora pomeraja!

3U fizici se oznakom oznaavaju konane promene, a oznakom d beskonano male promene.

)t(r)tt(rrrrr

+=

t

rsr

=

rr

=

==

s

m

d

dlimlim

00 t

r

t

r

tsr

t

rrrr

M1

)t(r

r

O

)tt(r +r

M2rr

)t(r

)tt( rsr

r

O

M1

)t(rr

)tt(r +r

Op

M2rr

s

1

2

rrr

d


6/23

6

Vektor brzine u Dekartovom koordinatnom sistemu

Na potpuno identian nain kao i vektor poloaja, tako se i

vektor brzine moe razloiti na komponente ixxrr

= ,

jyyrr

= i kzzrr

= u Dekartovom koordinatnom

sistemu. Ovaj rezultat se jednostavno dobija formalnim

izvoenjem

x

y

z

ir

jr

kr r

r

xr

22yx +

222zyx +r

y

rz

r

zdt

kdk

dt

dzy

dt

jdj

dt

dy

dt

idi

dt

dx

)kzjyix(dt

d

dt

rd

kzjyixr

rr

rr

rrr

rrrr

r

rrrr

+++++=

++==

++=

000

Promene jedininih fiksiranih vektora4

u prostoru su jednake nuli, pa je brzina

222zyxzyx kji ++=++=

rrrrr

Kod ravanskog kretanja (xy- ravan npr.) je 0=z

r

, a kod pravolinijskog kretanja du x-ose je

0== zy rr .

OPCIONO (za one koji ele vie da znaju)

Vektor brzine priprirodnom opisivanju kretanja take

Ovaj nain opisivanja kretanja je zgodan kada je putanja take unapred poznata. Na putanji seizabere koordinatni poetak, taka Op na prvoj slici. U odnosu na tu taku odredi se pozitivan inegativan smer kretanja. Luna koordinata s kod prirodnog opisivanjakretanja je vezana za putanju i meri se u odnosu na koordinatni poetakOp.

Jedinini vektor koordinate kod prirodnog opisivanja kretanja je vektor

u pravcu tangente (u bilo kojoj taki putanje) r

. Ako je pomeraj

beskonano mali onda je rr

dsd , pa elementarni pomeraj

(beskonano mali pomeraj), koji je kao i brzina uvek u pravcu tangente

je rr

= sr dd . U tom sluaju brzina moe da se izrazi kao:

Jednaka je proizvodu jedininog vektora tangente i intenziteta brzinet

s

d

d= .

O

M1

)t(rr

)tt(r +r

M2rr

sOp

rr

rrr

====t

s

t

s

t

r

d

d

d

d

d

d

Podela kretanja prema brzini

==const ravnomerno pravolinijsko kretanjeconst=r

- pravolinijsko kretanje=const neravnomerno pravolinijsko kretanje=const ravnomerno krivolinijsko kretanje

r

const krivolinijsko kretanjeconst neravnomerno krivolinijsko kretanje

4Iako su jedinini vektori konstantnog intenziteta, u nekim koordinatnim sistemima oni mogu menjati pravac i smer - znai da

nisu konstantni, to znai da njihova promena nije jednaka nuli.


7/23

7

UBRZANJE

Srednje ubrzanje. Neka neko telo u poetnom trenutku t1=t ima brzinu )t(r

, a u trenutku t2=t+t

brzinu )tt( +r

. Srednje ubrzanje predstavlja promenu brzine (krajnja brzina minus poetna brzina) u

ekom vremensko

se oigledno uvek poklapa sa pravcem vektoraromene brzine.

n m intervalu

ttSrednje ubrzanjep

Trenutno ubrzanje ar

(ubrzanje u nekom trenutku t) kao i trenutna

brzina predstavlja graninu vrednost srednjeg ubrzanja kada

remenski interva

a obzirom na to da je

v l t tei nuli:

)t()tt(asr

=

+

= rrrr

Vektor trenutnog ubrzanja u svakom trenutku vremena ima pravac tangente na hodograf vektora

dtttt

daa sr

rr

rr=

== limlim

00

brzine i usmeren je na konveksnu stranu krive. Ubrzanje je prvi izvod vektora brzine po vremenu.

td

brzanje predstavlja drugi izvod vektora poloaja po vremenu.

e razloiti na komponente

rdr

r=S , dobijamo da je ubrzanje

(prvi izvod prvog izvoda je drugi izvod), pa se moe rei

U

Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu

or vektor brzine, tako se i ubrzanje moKao i vekt poloaja i iaa xxrr

= ,

jayyarr

= i kaa zzrr

=

PCIONO (za one koji ele vie da znaju)

Sa obzirom da je

u Dekartovom koordinatnom sistemu.

)t(rr

O)tt(r +

r

ar

)t(r

)tt( r

srar

O

Ubrzanje pri prirodnom opisivanju kretanja

rr

= , zamenom u izraz za ubrzanje dobijamo:

Setite se da smo naglasili da promena vektora ne postoji ako je on

konstantnog intenziteta, pravca i smera. Jedinini vektor tangente r

jeste konstantnog intenziteta ali je promenljivog pravca to znai da nijekonstantan, pogledati sliku. Kako nai prvi izvod po vremenu jedininog

ktora tangente? Prvi izvod se mo dei nain:ve e transformisati na sle

kzd

jyd

ixd

arrrr

dtdtdt

kdt

dj

dt

di

dt

da

)kji(dt

d

dt

da

zyx

zyx

rrrr

rrrr

r

222

++=

++==

222 aaaa ++=r

++=

zyx

2

2

d

d

d

d

d

d

d

d

t

r

t

r

tta

rrrr

=

==

)t(rr

O

)tt(r +r

rr

)t(

r

)tt( r

rsra

r

ds

d

dt

ds

ds

d

dt

drrr

==

( )dtdtdtdt

dddda

r

rrr

r+===

12

1

r 1r

2

r

r


8/23

8

Ako je telo za neko vreme iz take1 stiglo u taku 2 posmatrajui sliku zaista je oigledna promena

r

jedininog vektora. Intenzitet prvog izvoda jedininog vektora tangente po lunoj koordinati je

slim

ds

d

s

=

rr

0

. Prema definiciji se vidi da je

s

= , gde redstavlja poluprenik krivine u datoj

taki puta (poto posmatramo veoma mali pomeraj po putanji moemo da smatramo da se

poluprenik krivine nije promenio). Sledi da je =s . Isto tako moemo da smatramo da je

promena jedininog vektora tangente r

priblino luk jedininog kruga ( 121 === rrr

) nad uglom

, pa je

r

r

= , odnosno == 1rr

. Dakle,

1

00=

=

=

rrr

sslim

slim

ds

d, pa je

=

dt

dr

. Kada 0, 1r

i 2r

se skoro poklapaju r

je normalan na njih odnosno ima pravac

normale na putanju. Ako je jedinini vektor u pravcu normale na putanju nr

, onda je ndt

d rr

= , pa

imamo da je vektor ubrzanja

Vektor ubrzanja se moe razloiti na dve komponete: 1) tangencijalnu koja izaziva samo promenu

intenziteta brzine - r

r

dt

da = , i 2) normalnu komponentu koja

izaziva samo promenu pavca brzine - nanrr

2

= , gde predstavlja

poluprenik krivine u datoj taki puta. Vektor ukupnog ubrzanja uvek je usmeren na konveksnu stranu putanje a intenzitet mu iznosi

22naaa += .

ar

rr aa =

naa nnrr =

rnr

nn aanaandt

da

rrrrrrr+=+=+=

2

Kod krunog kretanjapredstavlja poluprenik krunice.

Podela kretanja prema polupreniku krivine1) - pravolinijsko kretanje2) - krivolinijsko kretanje (specijalan sluaj je za=const kruno kretanje)

Podela kretanja prema ubrzanju

0=a =const ravnomerno pravolinijsko kretanje

0fa raste ubrzano pravolinijsko0=na pravolinijsko kretanje a

0p

a opada usporeno pravolinijsko

Spec. sluaj const= ravnomerno ubrzano

/usporeno kretanje0=a =const ravnomerno krivolinijsko/kruno

0faa

a

araste ubrzano krivolinijsko

/kruno kretanje

0n krivolinijskokretanje

spec. sluaj = const kruno kretanje 0p opada usporeno krivolinijsko

/kruno kretanje

Spec. sluaj const= ravnomerno ubrzano/usporeno kretanje

Odreivanje brojne vrednosti intenziteta vektora brzine r Posmatrajmo komponente vektora ploaja, brzine i ubrzanja dux-ose:

dtdxdtdxi

dtdxi

xr

xxx

x

===

=

rr


9/23

9

Prointegralimo prethodnu jednainu i neka je u poetnom trenutku t0 telo imalo koordinatu x0 a unekom trenutku tkoordinatux

==t

x

t

x

x

dtxxdtdx 0 ,

tx

ttx 000

Ako se telo kree konstantnom brzinom dobija se poznat izraz za pravolinijsko kretanje xx += 0

noenjem sa jedininim vektoromM ir

prethodna jednaina se moe napisati u sledeem obliku

a identian na y-ose tako da se prethodna jednaina uoptenooe zapisati u obliku

N in bi se dobile komponente dux im

gde je rr vektor poloaja u trenutku t, a 0rr vektor poloaja u poetnom trenutku t05.

om

onovo prointe

napisati u vektorskom obliku

retanje tela sa konst em

ko se telo kree konstantnim ubrzanjem, ax izlazi ispred integrala i dobija se

K ponenta vektora ubrzanja dux-ose je

P gralimo prethodnu jednainu

Kao i vektor poloaja i ova jednaina se moe

K antnim ubrzanj

A

i uopteno u vektoril skom obliku )(ta 20rrr

+= Zamenom u jed.(1)

i uopteno u vektorskom oblikuil )(trr 32

00

ta 2r

rrr++=

Primer kosog hica (kretanje uxyNeka je telo izbaeno sa poetnom brzinom 0

ravni)

r

kao na slici.

Telo se kree sa konstantnim ubrzanjem jgarr

= . Trajektorija je data isprekidanom linijom. Raz o

a komponente du i y pravca skalarniml iemo jednaine (2) i (3)

x mnoenjem sa

dininim vektorima i

n

jer

odnosno jr

:

5Podsetimo se da skalarnim mnoenjem sa jedininim vektorima dobijamo intenzitete odgovarajuih komponenti.

+=t

xdtxx0

0 t rrr

+=t

dt)t(rr 0 rrr

t0

dtaddt

dai

dt

dia xx

xx

xx ===

rr

+==tt

dtadtadx

+=t

xdtxx 0 (1)

t0

txxx

txx

x 0

0

00

xx = 0 + tax

2

2

00 00

0

tatxxdt)ta(xx xx

t

txx ++=++=

+=t

t

dta

0

0

rrr

x

y

0r

D

0=yr

grr

=jr a


10/23

10

Na identian na

), domet (

lna visina se dobija iz usl

in se iz jednaine (3) dobija:

Na osnovu prethodnih jednaina moe se dobiti maksimalna visina ( D) kosog hica,vreme preleta (t

ymaxp), jednaina trajektorije y(x) itd.

Maksima ova da je 0=y

pa iz jed.(b)g

t sin0= , to zamenom u jed.(d)

x=D, y=0 pa iz jed.(d)

daje

Domet se dobija iz uslova da je zag

t sin2 0= i zamenom u jed.(c) dobija se

ggD

2sincossin2 20

20 == . Maksimalan domet iznosie

g

iz jed.(c) i zamenom u jed.(d) dobij

D = pri =45o.

a se jednaina trajektorije

20

Izvlaenjem vremena

22

0

2

cos2

tgg

xx = to je u stvari jednaina parabole y=Ax2+Bx.

otaciono kretanje predstavlja specijalan sluaj krivolinijskog kretanja kod koga je a) polupreniki jednak polupreniku krunice i b) putanja materijalne take je krunica

gaoni poloaj

gao d koji prebrie materijalna ta

tanja, poloaj tela u bilo kom trenutku vremena definisan je jednainom (t).

Neka se materijalna taka u po nalazi u poetnom poloaju 1 u odnosu nax-osu. U

enutku t rotacijom oko z-ose se nalazi u poloaju . Ugaoni pomeraj koji je nainila taka iznosi

ini telo koje rotira moe bitiozitivan ili negativan u zavisnosti od toga da li rotira u smeru suprotnom kretanju kazaljki asovnika

ozitivan smer) ili u smeru kretanja kazaljki asovnika (negativan smer).

)

)(

ijtgii

j,i/tjg

x

acos

0

0

=

==

=

rrrrrr

(gty

x

bsin0

0

=

rrrrr

)(tyry d2

sin0 ==

y

ROTACIONO KRETANJE

Rkrivine konstantan

U

U ka iznosi:

gt

)(txr

j,i/tjg

trr

x ccos

2

2

0

2

00

==

+=

rr

rrrr

gymax

2

sin0 =

gde je ds element duine luka a Rpoluprenik opisane krunice.

Kod rotacionog kre

Ugaoni pomeraj

etnom trenutku t1tr 2 2

Kao i kod translatornog kretanja tako i ovde, ugaoni pomeraj koji nap

(p

Rd =

sd

22

d

z

ds

R

12 =


11/23

11

Uga a

eka taka u trenutku t1 zauzima ugaoni poloaj ugaoni poloaj 2.

Srednja ugaona brzinasr

Trenutna ugaona brzina, predstavlja graninu vrednost srednje ugaone brzine sr kadavremenski interval ttei nuli

a osnovu prethodne jednaine jasno je da, ako je poznata jednaina kretanja (t), trenutnu ugaonu

eza izmeu ugaone i periferne brzine:

on brzina

N 1, a u trenutku t2, definie se kao:

=

=s12

12

tttsr

rad

dttt 0

d =

= lim

Nbrzinu nalazimo njenim diferenciranjem.

V

Kao i ugaoni pomeraj, tako i ugaona brzina tela koje rotira moe imatipozitivnu i negativnu algebarsku vrednost u zavisnosti od toga da li telorotira u smeru kretanja kazaljki na satu ili u suprotnom smeru. Pravac i smervektora ugaone brzine odreujemo pravilom desne ruke (ili desnezavojnice) tako to prste savijemo u smeru rotacije tela, a pravac palca namokazuje pravac i smer vekt e brzine. To znai da bi ugaonarzina u vektorskom obliku bila zapisana kao:

p ora ugaonb

to bi znailo da je uveden vektor ugaonog pomeraja riji intenzitet iznosi =s/R, pravac je

normalan na prebrisanu povrinu, a smer se odreuje pravilom desne ruke.ini se da ovako uvedenvektor ugaonog pomeraja odlino definie vektor ugaone brzine meutim, pokazaemo u daljem

kakoje ka a je svejedno kojim e

tekstu da nije jednostavno definisati ugaone veliine kao vektore.

ZANIMLJIVO UGAONI POMERAJ NIJE VEKTORSKA VELIINA!

Ugaoni pomeraj se ne moe tretirati kao vektorska veliina. Ugaonom pomeraju pridruili smointenzitet, pravac i smer to je neophodan ali, kako emo pokazveliina bila vektor mora se pokoravati pravilu vektorskog sabiranja

se redom vektori sabirati ( abba

ati ne i dovoljan uslov. Da bi nee d

rrrr+=+ ). Pogledajmo sliku.

Neka telo polazei iz take A izvri dve uzastopne rotacije.

Najpre rotaciju oko z-ose za gao u z =/2 , a potom oko y-oseza ugao y =/2. Vektori ugaonih pomeraja koji odgovaraju

navedenim rotacijama su zr

i yr

, respektivno. Na taj nain,

telo je dospelo u poloaj B. Neka se sada rotacije izvre na

identian na

in ali u suprotnom smerupotom oko z-ose. Na taj nain telo je dospelo u poloaj C, na

osnovu ega izvlaimo zakljuak da zyyz

najpre oko y-ose arrrr

++ .

Jednostavno je pokazati da e se dva krajnja poloaja znaajno

pribliiti ako su nainjeni pomeraji mnogo manji od /2. U

grani m sluaju, beskonano mali ugaoni pomeraj nor

d moe se tretirati kao vektorska veliina.

Oama sreemo jo n

ugaonog pomera kretanja se uvodi jedinini vektor 0e

vakvi vektori iji su smerovi odreeni smerom rotacije (obrtanja) nazivaju sepseudovektorima(ili aksijalnim vektorima). U narednim glav eke vektore ovog tipa.

Umesto vektora ja kod rotacionogr

koji

e nalazi na osi rotacije a smer mu je odreen pravilom desne ruke, te konano moemo pisatis

z

A

B

yr

z

r

x

r

C

t

=

r

r

r

r

R

00 eedt

d rrr

==

RtR

s

t

===

d

d

d

d


12/23

12

Zakljuujemo da vektor ugaone brzine odreuje istovremeno intenzitet ugaone brzine, osurotacije i smer obrtanja oko te ose. Moemo dalje genralizovati prethodne zakljuke i rei da kodrotacionog kretanja vektori definiu ose rotacije a ne pravce kretanja.

Ugaono ubrzanje

Ako telo rotira sa promenljivom ugaonom brzinom, tada moemo govoriti o ugaonom ubrzanju. Neka

telo u trenutku t1 ima ugaonu brzinu 1, a u trenutku t2ugaonu brzinu 2.

Srednja vrednost ugaonog ubrzanjasrdefinie se kao

=

=

212

12

s

rad

tttsr

gde je promena ugaone brzine u toku vremenskog intervala t. Trenutna vrednost ugaonog ubrzanja definie se kao granina vrednost srednjeg

ugaonog ubrzanja srkada vremenski interval ttei nuli

2

2

0lim

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

tt

===

=

Vektor ugaonog ubrzanja definisan je kao

02

2

000 edt

dedt

d

dt

dedt

d

dt

)e(d

dt

d rrrrr

r =====

to znai da je njegov pravac takoe na osi rotacije. Ako je kretanje ubrzano smer vektora ugaonog

ubrzanja r

, poklapa se sa smerom vektora ugaone brzine r

, a ako je kretanje usporeno pomenuti

vektori su suprotnih smerova.

Odreivanje brojne vrednosti intenziteta vektora ugaone brzine r

i ugaonog pomeraja

Videli smo da je

td d=

Ako je u trenutku t=t0 telo imalo poetnu ugaonu brzinu =0, a u trenutku t=tneka je ugaona brzina

iznosila =, brojnu vrednost te brzine dobijamo integracijom prethodne jednaine

+==t

t

t

t

dtdtd

0

0

00

Zamenom dobijene jednaine u d= dt dobija se

dtdtdtdtdtdtdt

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

++

+=

0 000 000

000

Posmatrajmo dva karakteristina sluaja:

10

Ako je =0=0=const (uniformno kruno kretanje),

=0+0t

20

Ako je =cons (ravnomerno promenljivo kruno kretanje)

= 0 + t

2

2

00t

t

++=


13/23

13

DINAMIKA

Jedinice svih veliina u kinematici se izraavaju pomou metra (m) i sekunde (s). Za izraavanjeveliina u dinamici neophodna je jo jedna osnovna jedinica Meunarodnog sistema jedinica (SI) kilogram (kg), jedinica za masu. Setimo se da smo ve rekli da se dinamika za razliku od kinematikebavi i silom kao uzrokom koji dovodi do promene stanja kretanja tela.

Njutnovi zakoni

To su postulati, logika tvrenja koja se ne dokazuju ali se svakodnevno proveravaju.

Tenja tela da se opiru promeni stanja kretanja naziva se inercija. Inercija je kvantitativna mera masetela. Tela se kreu samo pod dejstvom rezultantne sile koja deluje na njih. Kad govorimo orezultantnoj sili mislimo na sve sile koje deluju na neko telo. Ponekad rezultantna sila moe biti jednaka nuli, ali to ne znai da na telo ne deluju sile, ve se moe desiti da se sile meusobno

ponitavaju. Ako se to dogodi telo je u ravnotei. Statika ravnotea znai da se telo nalazi u stanjumirovanja. Dinamika ravnotea znai da se telo kree konstantnom brzinom.

Ako neko telo deluje silom na drugo telo tada e i drugo telo delovati nekom suprotnom silom naprvo telo. Ovo se javlja usled toga to sila predstavlja meru interakcije izmeu dva tela. Sile se uvekpojavljuju u paru, jedna je sila akcije a druga sila reakcije i obe predstavljaju interakciju izmeu tela.Ne postoji ni jedan sila sama za sebe. Obzirom da sile akcije i interakcije deluju na razliita tela, onese nikada ne ponitavaju.

Kada na telo deluje neka rezultantna sila, telo se kree. Ubrzanje kojim se telo kree direktno jeproporcionalno sili koja na njega deluje, a inverzno proporcionalno masi tela. Ovo se moe zapisati

kao a ~ F/m.Ubrzanje je uvek u pravcu dejstva sile.

Ako neko telo slobodno pada kroz vakuum rezultantna sila je u stvari teina tela, a ubrzanje kojim sekree iznosi -g (g oznaava gravitaciono ubrzanje). Ako telo slobodno pada kroz vazduh, rezultantnasila predstavlja razliku teine tela i sile otpora vazduha, tako da se telo kree ubrzanjem manjim od g.Ukoliko bi sila otpora vazduha bila jednaka teini tela, ubrzanje bi bilo jednako nuli te bi telo padalokroz vazduh konstantnom brzinom.

I Njutnov zakon - zakon inercije

Prvi Njutnov zakon je ustvari prvi formulisao Galileo Galilej 1638.god.

Neko telo izolovano od dejstva spoljanjih sila, zadrava svoje stanje

mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok ga dejstvo

neke spoljanje sile ne prinudi da to stanje promeni.

Kretanje koje vri neko telo u odsustvu sila naziva se kretanje po inerciji. Smatra se da masa (skalar)predstavlja meru otpora koju telo prua promeni stanja kretanja, tj. masa predstavlja meru inercije tela.


14/23

14

Koliina kretanja

Ve je reeno da inercija predstavlja svojstvo tela da se opire promeni stanja kretanja u kome senalazi; npr. ako pokuamo da pokrenemo telo koje miruje ono se opire (oteava pokretanje) utolikovie ukoliko mu je masa vea; ili zamislimo dva tela razliitih masa koja se kreu iskustvo namgovori da je tee zaustaviti telo vee mase. Ovo nas navodi na zakljuak da je potrebno uvesti jo

jednu vektorsku fiziku veliinu koliinu kretanja pr

(impuls) koja karakterie dinamiko stanje tela i

predstavlja proizvod mase i vektora brzine kretanja tela:

=

s

mkgmp

rr

II Njutnov zakon osnovni zakon dinamike

II Njutnov zakon daje kvantitativnu i kvalitativnu vezu izmeu uzroka promene kretanja (sile) iposledice kojom merimo stanje kretanja, a to je promena impulsa p

r

.

Rezultantna spoljanja (eksterna) sila6 koja deluje na neko telo ili sistemtela predstavlja brzinu promene njegove koliine kretanja, tj. jednaka je

prvom izvodu koliine kretanja po vremenu:

t

pFexrez

d

dr

r

=

Kao to se vidi iz gornjeg izraza jedinica za silu 2s

mkg

s

s

mkg

= , to predstavlja definiciju Njutna (N).

Drugi Njutnov zakon moe se napisati i u sledeem obliku tFp exrezddr

r

= odakle zakljuujemo da se telo

kree u pravcu i smeru rezultantne sile pri emu treba naglasiti da usled inertnosti ni jedno telo nemenja trenutno svoje stanje, ve uvek postoji prelazni period.

II Njutnov zakon u ovom obliku je optevaei zakon vai u svim oblastima fizike ak i urelativistikoj fizici.

II Njutnov zakon u oblasti klasine fizike.Ako u drugi Njutnov zakon uvrstimo izraz za vektor koliine kretanja

rr

mp = , dobija se

( )dt

dm

dt

dm

dt

md

dt

pdFexrez

r

r

rr

r

+=== Sila u optem sluaju nije u pravcu ubrzanja (dt

da

r

r

= ).

Kada se telo kree brzinom r

, njegova masa se menja premaizrazu iz relativistike fizike

to je grafiki predstavljeno na dijagramu. m0

predstavlja masu telau mirovanju.

Oigledno da masa tela nije konstantna. Ako su brzine posmatranih tela mnogo manje od brzine

svetlosti, porast mase je zanemarljivo mali tj. masa se moe smatrati konstantnom, pa je izvoddt

dm

jednak nuli, pa samim tim i prvi sabirak u gornjem izrazu. Izraz za drugi Njutnov zakon se tada svodina

Rezultantna sila koja deluje na telo jednaka je proizvodu mase i

ubrzanja tog tela.

Setimo se na ovom mestu I Njutnovog zakona. ta se dobija iz gornjeg izraza ako je rezultantnaspoljanja sila jednaka nuli?

6Rrezultantna sila predstavlja vektorski zbir svih sila koje deluju na neko telo ili sistem.

m0

m

2

2

0

1c

mm

=

c0,6c

amdt

dm

exrezF

r

r

r

==


15/23

15

constiliconst00 ===== rrrr

rd

dt

dmFexrez

Dobijeno je jedinstvo I i II Njutnovog zakona.

Iskustvo nam govori da tela koja se kreu lagano usporavaju i na kraju se zaustavljaju. U stvarnosti na

telo deluju sila trenja i sila otpora sredine, to znai da telo trpi dejstvo rezultante ove dve sile te menjastanje svoga kretanja tj. usporava.

III Njutnov zakon zakon akcije i reakcije

Trei Njutnov zakon daje informaciju o interakciji meu telima u prirodi, govori o tome da e sile uprirodi uvek javljaju u paru.

Zamislimo dva tela. Silu kojom prvo telo deluje na drugo oznaiemo sa 12Fr

, a silu kojom drugo telo

deluje na prvo sa 21Fv

.

Ove dve sile su istog intenziteta i pravca a suprotnih smerova.

Prema tome trei Njutnov zakon glasi:

Ako jedno telo deluje na drugo nekom silom, onda i drugo telo

deluje na prvo silom istog intenziteta i prvca ali suprotnog smera.

Jedna od ovih sila je uvek sila akcije a druga je sila reakcije. Njutn je na sledei nain definisao sileakcije i reakcije. Polazimo od II Njutnovog zakona:

Ako je m2 . Sile koje ne izazivaju veliko ubrzanje Njutn jr nazvao reakcionim

silama.

III Njutnov zakon vai: 1. ako se interakcija meu telima odigrava neposrednim kontaktom i 2. ako setela nalaze na meusobnim rastojanjima pod uslovom da se kreu brzinama mnogo manjim od brzinesvetlosti.

PODELA SILA

Sve poznate sile u prirodi mogu se podeliti na:

gravitacione (poznati zakoni, dugog su dometa) elektromagnetne (poznati zakoni, dugog su dometa) nuklearne sile koje se dele na a) sile slabe interakcije (domet im je priblino 1012m i

odgovorne su za transformacije elementarnihestica u jezgru i b) sile jake interakcije (dometim je priblino 10

15m i ove sile dre na okupu nukleone u jezgru).

Neki tipovi sila u mehanici

SILA GRAVITACIJE

Njutnov zakon opte gravitacije glasi:

Svako telo privlai drugo telo silom koja je proporcionalna

proizvodu njihovih masa a obrnuto proporcionalna kvadratu

rastojanja izmeu njihovih centara i deluje du prave koja ih spaja.

m1 m2

21Fv

12Fv

rr

0rr

12Fr

21Fv

1 212211221 i FFFF

vvvv==

1

2

2

1

2212

1121

a

a

m

m

amF

amFr

r

rv

rv

=

=

=


16/23

16

Ovaj zakon se matematiki moe zapisati

gde je jedinini vektor rastojanja izmeu centara posmatranih tela a je univerzalna gasna

konstanta

0rr

7

i iznosi = 6,67@

1011

Nm2

/kg2

. Znak minus oznaava da se radi o privlanoj sili izmeutela. Obzirom da je jako malo, gravitaciona sila meu telima na zemlji je zanemarljivo mala uporeenju sa gravitacionom silom privlaenja izmeu pojedinanih tela i zemlje. Podvlaimo da je zarazliku od elektromagnetnih sila koje mogu biti i privlane i odbojne, gravitaciona sila uvek privlana izahvaljujui njoj postoji Univerzum.

02

21r

r

mmFg

rr=

Njutnov zakon opte gravitacije vai samo za materijalne take i sferna tela.

Za nas je najznaajnije ispoljavanje gravitacione sile izmeu Zemlje koja je priblino sfernog oblika itela na njoj ili u blizini njene povrine. Dimenzije tela su zanemarljivo male u odnosu na dimenzijeZemlje, tako da se mogu smatrati materijalnim takama. Ta gravitaciona sila zbog posebnog znaajakoji ima za ljude na Zemlji dobila je posebno ime sila Zemljine tee ili samo sila tee (ne sme semeati sa teinom tela).

Neka se telo mase m nalazi na nadmorskoj visini h (na visini h iznad povrinezemlje). Oznaimo masu zemlje sa Mz a njen poluprenik sa Rz. Poto su u pitanjumaterijalna taka i sferno telo, silu kojom Zemlja privlai telo (ali i telo Zemlju samoto joj zbog male mase daje zanemarljivo ubrzanje), moemo napisati kao:

m

Mz h

Rz

( )h

zzz

z

z

zg gm

R

h

gm

R

hR

Mm

hR

mMF =

+

=

+

=+

=22

22

11

( ) 222

2

11

+

=

+

=+

=

zz

z

z

z

zh

R

h

g

R

hR

M

hR

Mg gde smo sa

oznaili ubrzanje zemljine tee na nadmorskoj visini h, 2z

z

R

Mg = predstavlja ubrzanje zemljine tee

na povrini zemlje. Znajui da je Mz= 5.98 x 1024

kg a Rz= 6.37 x 106

m, za gse dobija 9,81 m/sec.

Fg

2

1

r~r~

r3Rz2RzRz

Na desnoj slici je grafiki prikazanazavisnost gravitacione sile od rastojanja.

Na rastojanjima r Rz gravitacione silaopada sa kvadratom rastojanja, dok na

rastojanjima r Rz (u unutranjostizemlje) raste proporcionalno rastojanjuod centra ka povrini zemlje. Uobiajene

oznake za gravitacionu silu su gFr

,

g

1/9g

1/4g

Qr

i

Gr

.

SILA REAKCIJE PODLOGE

Svako telo deluje nekom silom na podlogu na kojoj se nalazi. Prema treem Njutnovom zakonu ipodloga deluje na telo silom istog intenziteta ali suprotnog pravca. Ta sila se naziva sila reakcijepodloge ili normalna sila jer uvek ima pravac normale na dodirnu povrinu.

7Univerzalnu gravitacionu konstantu prvi je eksperimentalno odredio Henri Kevendi 1797.god.


17/23

17

Neka telo miruje na horizontalnoj podlozi. Na telo deluje gravitaciona sila gmFgrr

= i ona je ta koja

pritiska telo uz podlogu. Poto telo miruje, rezultantna sila koja deluje na njega jednaka je nuli, to

znai da je gravitaciona sila uravnoteena nekom silom u ovom sluaju to je sila reakcije podlogeNr

.

Vektori istog pravca se sabiraju tako to se algebarski sabiraju njihovi intenziteti. Najpre se usvaja

pozitivan smer (bira se proizvoljno) i sve sile koje su u tom smeru su saznakom +, a sve sile suprotnog smera su sa znakom .

gmFgrr =

Nr+

Prema slici normalnu silu raunamo sa znakom +, a silu tee sa znakom :

F mgNmgNGNNGF rezrez =====+= 00rrr

Dobili smo da je u ovom sluaju sila reakcije podloge jednaka sili tee.

Na donjim slikama su prikazane sile reakcije podloge u razliitim sluajevima. Obratite panju da jesila reakcije podloge uvek normalna na podlogu u usmerena je od nje. Intenzitet zavisi i od ostalih silakoje deluju na neko telo.

Nr NrN

r

Nr Nr

Primer strme ravni

Oznaiemo silu tee iz praktinih razloga sa Qr

. Sila tee je

razloena na dve komponente na komponentu paralelnu strmoj

ravni Qp

ri komponentu normalnu na strmu ravan Qn

r(podsetiti se

razlaganja vektora).Telo moe da se kree uz strmu ravan ili niz nju ali nikako nemoe da se kree u pravcu normalnom na strmu ravan, to znai

da je zbir sila koje deluju na telo u tom pravcu jednak nuli. Osim sile reakcije podloge Nr

, u tom pravcu

deluje i normalna komponenta sile tee Qn

r

. Ako usvojimo kao pozitivan smer navie (videti sliku),

onda moemo da piemo: .nnrezn QNQNF === 0

Uoimo, da ako je nagib strme ravni , onda je i ugao izmeu Qr

i Qn

r

. Poto je Qn

r

nalegla kateta

na ugao , a Qr

hipotenuza, onda je coscoscos mgQQQ

Qn

n === . Tako da je ovde

cosmgN= .

SILA ZATEZANJA

Ako na telo veemo ue (kanap, konac, kabl ili sl.) i povuemo ga, onda na to telo deluje sila

zatezanja. Ruka na ue deluje silom 1kFr

. Prema

treem Njutnovom zakonu i ue deluje na ruku

silom istog intenziteta ali suprotnog smera 1zFr

. Sa

druge strane ue deluje na telo silom zatezanja

2zFr

i prema III Njutnovom zakonu telo na njega deluje silom 2kFr

. Znai da je ukupna sila koja deluje

na ue 2121 kkkkkk FFFFFF =+=rrr

.

Nr

pQr

nQ

r

Qr

2zFr

2kFr

1zFr

1kFr

+

U veini sluajeva ue je zanemarljivo male mase u odnosu na masu tela koje vue. Ako je masaueta zanemarljivo mala a ue se kree istim ubrzanjem kao i telo koje vue sledi da sila koja deluje

na ue mora biti jednaka nuli F 2121 0 kkkkk FFFF === . Odavde sledi da su i sile zatezanja ueta kojedeluju na telo i ruku takoe jednakih intenziteta:


18/23

18

zFr

zzz FFF == 21

zFr

zFr

zFr

zFr

Sila zatezanja je uvek u pravcu ueta a usmerena je od tela ka uetu. Intenzitet zavisi od dejstva

okolnih sila. Uobiajene oznake za silu zatezanja su zFr

iTr

.

Teina je sila kojom telo deluje na podlogu na kojoj se nalazi ili zatee nit na kojoj visi.

SILA TRENJA I SILA OTPORA SREDINE

Sila trenja se javlja izmeu dva sloja koji se kreu jedan u odnosu na drugi ili postoji tenja da serelativno kreu (tj. da se jedan pokrene u odnosu na drugi). Ona uvek deluje u ravni koja tangira

dodirnu povrinu dva sloja.

Trenje moe da se javi izmeu 1) vrstih tela, 2) vrstih tela i fluida (tenosti i gasovi) i 3) slojevafluida. 1) i 2) uestvuju u spoljanjem trenju koje moe da bude suvo i vlano a svako od njih jo itrenje klizanja i trenje kotrljanja. 2) i 3) uestvuju u unutranjem trenju koje moe biti viskozno ilipredstavlja silu otpora sredine.Za sada emo govoriti samo o sili spoljanjeg suvog trenja pri klizanju i o sili otpora sredine.

Sila otpora sredine se javlja pri kretanju vrstog tela kroz fluid, proporcionalna je brzini tela, ima

pravac brzine tela a suprotnog je smera: rr

= const0F .

1

2

r

trFrtr

Fr

Nr

Spoljanje suvo trenje pri klizanju moe biti statiko i dinamiko (zbognedostatka vremena govoriemo samo o dinamikom trenju). Ako se telo 1 kree preko tela 2, na telo 1 deluje sila trenja u smerusuprotnom od smera brzine tela 1 u odnosu na telo 2 a intenzitet joj je

NFtr = , gde je Nsila reakcije podloge, (mi) je dinamiki koeficijent

trenja

== 1

N

N

N

Ftr .

(bezdimenziona veliina neimenovan broj nema jedinicu). Prema III

Njutnovom zakonu silom trFr

istog intenziteta ali suprotnog smera deluje

telo 1 na telo 2.

ELASTINA SILA OPRUGE

OSCILACIJE

Kretanje koje se ponavlja u jednakim vremenskim intervalima naziva seperiodino kretanje. Kao toemo videti, pomeraj tela pri periodinom kretanju uvek se moe izraziti preko funkcija sinusa ilikosinusa. Sa obzirom na to da se termin harmonijski odnosi na ove funkcije, periodino kretanje seesto naziva i harmonijsko kretanje.

Ukoliko se neka estica neprekidno kree istom putanjom izmeu dva poloaja kae se da onaosciluje i takvo kretanje se naziva oscilatorno kretanje. Oscilatorno kretanje nas neprekidno okruuje:oscilatorno se kreu estice vazduha prenosei zvuk, ica na violini, atomi u molekulu itd.

U zavisnosti od prirode fizikog procesa koji se ponavlja oscilatorna kretanja se dele na:

mehanika (ice muzikog instrumenta, matematiko klatno...) elektromagnetna (naizmenine struje, elektromagnetni talasi) elektromehanika (oscilovanja atoma u kristalnoj reetki)


19/23

19

Oscilatorno kretanje je periodino ako su njegove karakteristike put, brzina i ubrzanje periodinefunkcije vremena. Vremenski interval u kome se neko kretanje ponavlja naziva se period i ozna avase sa T. Periodinost neke veliine se matematiki opisuje funkcijom za koju vai f(t+T)=f(t).

U realnom ivotu usled delovanja sile trenja, estice koje osciluju vremenom se umiruju. Takveoscilacije se nazivaju priguenim harmonijskim oscilacijama, ali se mi njima ovde neemo baviti.

Linearno harmonijsko oscilovanje

Najjednostavniji primer harmonijskog oscilovanja bilo bi linearno harmonijsko oscilovanje po pravoj

putanji pod dejstvom sile koja je srazmerna udaljenju tela od ravnotenog poloaja xkFrr

= . Znakminus oznaava da je sila uvek usmerena ka ravnotenom poloaju (suprotnog je smera od smerakretanja tela ili estice) i zato se zove restituciona sila. Ovaj tip sila se javlja kod elastinih deformacija,tela na opruzi, matematiko klatno (oscilacije nastaju pod dejstvomgravitacione sile), torziono klatno (pod dejstvom momenta sprega elastinihsila) itd.

Telo na opruzi

Telo mase m prikaeno na oprugu konstante elastinosti k (koeficijent

srazmernosti ovde je konstanta opruge ili krutost opruge) koje moe da klizibez trenja po horizontalnoj osnovi8. Poloaj oznaen sa (B) predstavljaravnoteni poloaju tom poloaju je opruga nedeformisana. Izvoenjem telaiz ravnotenog poloaja bilo desno (A) - istezanje ili levo (C) sabijanje,opruga poinje da deluje na telo silom

Sa obzirom na to da sila elastinosti ima ovakav oblik, onda se sve druge sile koje se opisuju ovakvimoblikom nazivaju kvazielastine sile. Na osnovu prethodnog moemo rei da je harmonijski oscilatorsvaki fiziki sistem koji se kree pod dejstvom elastine ili kvazielastine sile.Napiimo II Njutnov zakon za telo na opruzi u odsustvu sile trenja:

,(jer je kretanje dux-ose),

Uvodimo smenu 2= k/m i konano se dobija 0

d

d 22

2

=+ xt

x diferencijalna jednaina kretanja

linearnog harmonijskog oscilatora (LHO) II reda.

Reavanje poslednje jednaine prevazilazi obim ovog kursa. Uiete uskoro da su neka reenja ove

jednaine sinusna ili kocinusna funkcija, a ovde emo dati samo njeno opte reenje:

x(t) = x0sin(t+0)

x0 i 0su proizvoljne konstante koje se odreuju iz poetnih uslova oscilovanja.

OVO SE MORA ZNATI:

x(t) pomeraj tela od ravnotenog poloaja u nekom trenutku (elongacija)x0 maksimalno udaljenje od ravnotenog poloaja (amplituda),

t+odreuje poloaj i smer kretanja tela u bilo kom trenutku vremena (faza oscilovanja)

kruna frekvenca oscilovanjam

k=

0poloaj tela u poetnom trenutku vremena (poetna faza oscilovanja).

8U horizontalnom poloaju je eliminisan uticaj sile gravitacije.

m

m

m

0

x

x

Fr

Fr

A

B

C

xkFrr

=

kx

t

mxk

t

Fa

==

=

d

d

d

d rr

r rm

m 0d

d

d

d

22

=+= xm

k

t

xkx

t

xm

22


20/23

20

Rekli smo da harmonijsko oscilovanje predstavlja periodino kretanje tela sa periodom T. Period

sinusne funkcije je 2, pa je:

x0sin[(t+T)+0]= x0sin[t+0+2], odakle se izjednaavanjem argumenata dobija da je

k

mT

2

2

==

Ovoliko iznosi period oscilovanja kod LHO. Iz poslednje jednaine vidimo da period zavisi samo odfizikih karakteristika samog oscilatora i da ne zavisi od poetnih uslova oscilovanja.

Broj oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija ili uestanost oscilovanja i

21 == T .

ZAPAMTITI: i Tse odreuju iz diferencijalnejednaine kretanja, a x0 i 0 se odreuju izpoetnih uslova oscilovanja (t= 0).

tT

x0

x

x =xosin(t)

x =xosin(t+0)

xosin(0)

32

a

32

x0

x0

t

32

2x0

2x0

t

x

Brzina i ubrzanje kod LHO

Brzina predstavlja prvi izvod pomeraja povremenu

))t(x(tt

x00sin

d

d

d

d +==

Pokaite sami da se dobija

)t(x 00 cos +=

Maksimalna brzina je za vrednosti kosinusa 1 iiznosi

00max x==

Kosinus je jednak 1 za vrednosti argumenta ,to znai da telo ima maksimalnu brzinu pri

prolasku kroz ravnoteni poloaj.

Ubrzanje predstavlja prvi izvod brzine povremenu (ili drugi izvod pomeraja po vremenu):

a

))t(x(tt

00 cosd

d

d

d

+==

Pokaite sami da se dobija

a = 2

x0sin(t+) = a0sin(t+);

Maksimalno ubrzanje je za vrednosti sinusa 1 iiznosi

amax=a0= 2

x0

Sinus je jednak 1 za vrednosti argumenta /2,to znai da telo ima maksimalno ubrzanje priprolasku kroz amplitudni poloaj.


21/23

21

PRIMER:

MATEMATIKO KLATNO

Rekli smo da klatno osciluje pod dejstvom gravitacione sile.Cilj nam je da odredimo period oscilovanja matematikog

klatna.Najpre se izvri identifikacija sila koje deluju. Moemosmatrati da da je u pitanju kruno kretanje materijalne take

mase m po krunici poluprenika l.l

x

mg

mgcosmgsin

zFr

irj

r

y

x

II Njutnov zakon: gmFam zrrr

+=

Projekcija nax-osu i y-osu:

x-osa: )(mgma 1sin0 =

y-osa: )(mgFma zn 2cos=

Klatno osciluje pod dejstvom komponente sile gravitacije F= mgsin, dok druga komponenta silegravitacije samo vri zatezanje u koncu.

Sa slike je sin=x/l

pa je x

mgx

mgF ll == Za male uglove otklona( sin ) je sx (s je stvarno preeni put klatna), - problem svodimo

na translatorno kretanje, a m, gi l su konstante pa je

0=na

x-osa: sinsin0 mgmamgma ==

y-osa: coscos0 mgFmgF zz ==

l

mgk,kxF == jegde

Po analogiji sa linearnim harmonijskim oscilatorom za period oscilovanja matematikog klatna sedobija:

gk

mT

l 22 ==

ELASTINOST

Na prvi pogled rekli bismo da su vrsta tela otporna na svaku vrstu deformacije. Svakodnevnoiskustvo nam govori da su vrsta tela kruta: kreu se u pravcu dejstva sile i obru se pod dejstvommomenata. Meutim, na spoljanja dejstva vrsta tela odgovaraju znatno sloenije. Deformacijevrstih tela pod dejstvom spoljanjih sila mogu biti dvojake. Ako se telo po prestanku dejstva sila vraau prvobitan oblik kae se da je elastino. Ako je telo po prestanku dejstva sile ostalo trajnodeformisano kae se da je plastino.

Objanjenje ovih deformacija lei u atomskoj odnosno,molekularnoj strukturi tela. vrsta tela su sastavljena od velikogbroja ureenih atoma ili molekula koji su meusobno povezani

meumolekularnim silama. Na slici je prikazana kubna reetka ukojoj su meumolekularne sile simboliki predstavljene oprugama.Ovakav poloaj atoma ili molekula odgovara minimumupotencijalne energije kome tee sva tela u prirodi. Prilikomsabijanja meu atomima se javljaju odbojne sile koje tee da ihvrate u prvobitan poloaj i obrnuto, prilikom istezanja se javljajuprivlane sile meu molekulima, pa je iz tog razloga opravdanopredstavljanje meumolekularnih sila oprugama. Priroda vezameu molekulima, njihova veliina, orijentacija, uslovi pri kojimase vezuju dovode do razliitih struktura. Setimo se dijamanta igrafita. Oba su sastavljena od ugljenika, ali su im karakteristikesasvim razliite.

U principu je sve karakteristike vrstih tela mogue opisati preko njihove atomske strukture meutim, upraksi je jednostavnije opisati ih makroskopski.


22/23

22

Prilikom dejstva sile dolazi do deformacije tela. Na donjoj slici su prikazane tri mogue deformacije telau zavisnosti od dejstva sile. Na sl.(a) sila deluje normalno na povrinu tela usled ega moe doi doistezanja ili do sabijanja tela ukoliko sile deluju u suprotnom smeru. Ako sila lei u ravni tela, dolazi dosmicanja jednog sloja tela u odnosu na drugi tj. dolazi do deformacije smicanja kao to je prikazano nasl.(b). Na kraju, zamislimo npr. neko telo koje je potopljeno u vodu. Hidrostatiki pritisak deluje na telosa svih strana usled ega moe doi do promene njegove zapremine i takva vrsta deformacije naziva

se zapreminska deformacija (sl.(c)).

Fr

Fr

L+LF

r

L

x

L

(a) (b) (c)

Za sva tri tipa deformacije zajednika je sila koja deluje na neki deo povrine tela - napon. Poddejstvom te sile dolazi do deformacije tela. Kao mera te deformacije uvodi se pojam relativnedeformacije koji predstavlja odnos promene dimenzije tela i prvobitne dimenzije. Relativna deformacijaje bezdimenziona veliina obzirom da predstavlja odnos dve veliine iste prirode.

Huk (Hooke) je ustanovio da je kod elastinih tela napon proporcionalan relativnoj deformaciji

napon = E relativna deformacija

Konstanta E se naziva modul elastinosti materijala. Hukov zakon vai samo do izvesne graniceprilikom naprezanja materijala. Ova granica se naziva granica proporcionalnosti i nalazi se neto ispod

granice elastinosti.

Istezanje i sabijanje9

Na sl.(a) dve sile jednakog intenziteta deluju normalno na povrinu S tela pa se zato odnos

S

F=

naziva normalni napon.

Pod dejstvom sile F dolo je do istezanja tapa za L, pa je u ovom sluaju relativnadeformacija data odnosom

L

L=

L

LE

S

Fy

=Prema Hukovom zakonu je

ili yE=

Pri ovakvoj vrsti naprezanja, konstantaproporcionalnosti Ey naziva se modul elastinosti prizatezanju ili Jangov (Young) modul elastinosti. Obzirom da je relativna deformacija bezdimenziona veliina, Jangovmodul elastinosti ima istu jedinicu kao i napon, N/m

2.

Reciprona vrednost modula elastinosti naziva sekoeficijent elastinosti e=1/Ey.

kidanje

C

BA

oblast trajnih deformacija

Ve je reeno da Hukov zakon vai samo dogranice proporcionalnosti koja je neto ispod graniceelastinosti. Na slici je prikazana zavisnost normalnog

napona od relativne deformacije. Deo OA na krivoj O

9Sabijanje se posmatra kao negativno naprezanje, a istezanje kao pozitivno naprezanje.


23/23

23

predstavlja granicu proporcionalnosti i oblast vaenja Hukovog zakona. Taka B predstavlja granicuelastinosti i dalje od nje deo krive BC je oblast plastinih deformacija tj. u ovoj oblasti po prestankudejstva sile telo ostaje trajno deformisano. Ukoliko bi se napon poveavao i dalje, u taki C bi dolo dokidanja materijala.

Smicanje

Druga vrsta naprezanja materijala je prikazana na sl.(b). U odnosu na presek tela S, sile imajutangencijalni pravac, pa tangencijalni napon predstavljaodnos

S

F=

U ovom sluaju sila tei da smakne jedan sloj u poprenom preseku tela u odnosu na drugi sloj, pa seovakav sluaj naziva naprezanje na smicanje.

Relativna deformacija u sluaju smicanja iznosi

L

xtg

=

jer je u praksi ugao mali, pa se na taj nain relativna deformacija jednostavno izraava uglom .I u ovom sluaju je relativna deformacija srazmerna tangencijalnom naponu, pa se moe pisati

L

xE

S

Fs

=

ili

sE=Konstanta proporcionalnosti Es se naziva modul elastinosti ili modul smicanja.

Zapreminska deformacija

Sl.(c) predstavlja telo koje je potopljeno u tenost, tako da napon pri ovoj vrsti deformacije odgovarapritisku kojim tenost deluje na telo podjednako u svim pravcima. Pod dejstvom sile dolazi do

smanjenja zapremine tela V, tako da relativna deformacija iznosi V/V. Hukov zakon pri ovoj vrstideformacije glasi

V

VB

S

Fp

==

gde je B zapreminski moduo stiljivosti. Reciprona vrednost modula stiljivosti naziva se koeficijentstiljivosti s=1/B.

Moduo stiljivosti vode je 2,2109 N/m2, a gvoa je 161010 N/m2. Na dnu Tihog okeana naprosenoj dubini 4000 m, pritisak iznosi 4,7107 N/m2. Relativna deformacija V/V, neke zapreminevode na ovoj dubini je 1.8%, dok je za neko telo od gvoa 0.025%. Ovo upravo govori o tome kolikosu jake veze meu atomima reetke vrstog tela u odnosu na atome ili molekule tenosti.

Documents

FIZ 1. nedelja predavanja