Fizicka geodezija

Физичка геодезијаДоц. др Олег Одаловић, дипл.геод.инж.

2

Физичка геодезија (Основни подаци)

• Фонд часова 3 + 1

• 15 недеља

• 2 колоквијума

3

Физичка геодезија (Литература)

ФИЗИЧКА ГЕОДЕЗИЈА

Веико Хаисканен, Хелмут Мориц

W.H. Freeman and Co.,

San Francisco, 1967

4

Физичка геодезија (Литература)

МАТЕМАТИКА II

Ернест Стипанић, Миломир Трифуновић

Научна књига

Грађевински факултет

Београд, 1988.

5

Физичка геодезија (У оквиру предмета...)

I. Основе теорије потенцијала гравитационе силе

II. Потенцијал Земљине теже

III. Редукција интензитета Земљине теже

IV. Системи висина

V. Теорија Молоденског

7

Физичка геодезија (Увод-теорија поља)

• Ако се свакој тачки М области Φ (простора

или неког његовог дела) кореспондира нека

величинa V тада је Φ поље величине V

., ΦMMVV

• Поље је скаларно ако је V скаларна величина,

• Поље је векторско ако V је векторска величина.

8

• Пример ознака скаларних поља

zyxr ,,

.,,,, zyxVVrVVMVV

– Вектор положаја тачке ΦM

• Пример ознака векторских поља

MAA

MAMAMAMA zyx ,,


9


• Скаларно поље:– непрекидност,

– извод у правцу,

– градијент,

– Хамилтонов оператор,

– својства оператора.

• Векторско поље:– непрекидност,

– векторске линије поља,

– протицање (флукс) вектора,

– дивергенција вектора,

– циркулација вектора,

– ротор вектора,

– класификација поља.

10

Физичка геодезија (Увод-скаларно поље)

• Скаларно поље F(M) задано у области

је непрекидно у тачки , ако се за свако

може наћи таква околина тачке

да за све тачке буде задовољено

Φ

ΦM 0

0 ΦU ΦM 0

ΦM

.0 MFMF

• Непрекидност скаларног поља је исто што и

непрекидност функције у тачки zyxF ,, .0M

11

• Геометријско место тачака M у којима

функција F(x,x,z) има константну вредност, тј.

F(x,x,z) =C, зове се ниво површ поља или нивоска

површ поља.


12

dMM 0

• M0 фиксна тачка,

• M мења положај,

ΦM 0

ΦM

cos0 dxxx

cos0 dxxy

cos0 dxxz

d

MFMF

d

F 0


13

• Ако постоји гранична вредност

тада се она зове извод функције F(M) у правцу М0М у

тачки М0.

.lim0 d

F

d

F

d

• Ако је функција F(M) диференцијабилна у М0 онда

она има извод у било ком правцу М0 и он је тада

једнак

.coscoscos zyX FFFd

F


14

• Вектор дефинисан координатама

зове се градијент функције F(x,y,z) у тачки М(x,y,z)

или градијент поља и обележава се са

,x

FFx

,

y

FFy

.

z

FFz

.,,

z

F

y

F

x

FFgrad


15

CzyxF ,,

0000

zz

z

Fyy

y

Fxx

x

F

z

F

zz

y

F

yy

x

F

xx

000

• Тангенцијална раван у М0 • Нормала на у М0


16

• Градијент у М0 има правац нормале на тангенцијалну

раван у М0 (правац највеће промене функције F(x,y,z)).

zz

jx

ix

• Хамилтонов оператор

kz

Fj

y

Fi

x

FFz

zj

yi

xF


17

• Хамилтонов оператор (својства)

22112211.1 FkFkFkFk

211221.2 FFFFFF

2

2211221.3 FFFFFFF

FF F .4


19

Физичка геодезија (Увод-векторско поље)

• Векторско поље задано у области

непрекидно је у тачки , ако се за свако

може наћи таква околина тачке

да за све тачке буде задовољено

Φ

ΦM 0

0 ΦU ΦM 0

ΦM

.0 MAMA

• Непрекидност векторског поља је исто што и

непрекидност скаларних функција

у тачки

zyxAzyxAzyxA zyx ,,,,,,,,

MA

.0M

20


ΦMMA ,

• Векторско поље може се проучавати

кроз три скаларна поља .,,, ΦMMAMAMA zyx

• Векторска линија поља је линија која

има ту особину да тангента у свакој њеној тачки

има правац вектора

ΦMMA ,

.MA

zyx A

dt

dz

A

dt

dy

A

dt

dx

21


• Протицање (флукс) вектора кроз орјентисану

површ Г је интерал по површи Г скаларног

производа

MA

nA

Γ

dnA

Γ

zyx dAAA coscoscos

22


• Протицање (флукс) вектора кроз орјентисану

површ Г је интерал по површи Г скаларног

производа

MA

Γ

dnA

Ако је површ затворена

23


ΦMMAA ,

– Векторско поље

Затворена површ

ограничава W

Област W

ΦΩ

Запремина V

24



V

dnAΓ

PΩ

lim

назива се дивергенција вектора у тачки MA

.P

0

0lim

V

dnA

PAdiv Γ

PΩ

P извор

P понор

25


• Може се показати да важи (коришћењем

интегралне теореме Гауса-Остроградског)

z

A

z

A

x

AAdiv zyx

• Коришћењем Хамилтоновог оператора може

се писати

AAdiv

• Интегрална теорема Гауса-Остроградског

Γ Ω

zyxzyx dv

z

A

y

A

x

AdxdyAdzdxAdydzA

26


ΦMMAA ,


Орјентисана глатка крива

tztytxr ,,

Непрекидно

27


• Криволинијски интеграл дуж криве је облика

. C C

zyx dzAdyAdxArdA

• Ако је крива C затворена онда се интеграл

назива

оптицање или циркулација вектора.

dzAdyAdxArdA zy

C

x

C

28


ΦMMAA ,


Непрекидно

Орјентисана глатка крива

Раван

29



C

PC

dnA

lim

назива се густина оптицања вектора у тачки P.

• Ротор векторског поља зове се

вектор чија је пројекција на вектор једнака

густини циркулације вектора у тачки P.

ΦMMAA ,

n

C

PCn

dnA

Arot

lim

30


• Може се показати да ако је важи

zyx

n

AAA

zyx

kji

Arot

zyx AAAA ,,

• Користећи Хамилтонов оператор може се

писати

AArotn

31


• Векторска поља могу бити:

a) соленоидна,

a) потенцијална,

b) хармонијска,

c) сложена.

32


• Соленоидна

,0Adiv

и бар за једни тачку 0Arot

• Потенцијална

,0Arot

и бар за једни тачку 0Adiv

• Хармонијска

0,0 ArotAdiv

• Сложена

Ако је бар у једној тачки 0,0 ArotAdiv

Гравитациона сила ( пропорционалност)

• Исак Њутн 1678. године

34

2~

l

mmF BA

35

2l

mmkF BA

• Хенри Кевендиш 1798. године

2211 kgNm10673.6 k

1 kg

1 kg

1 m

Компоненте вектора ?

Гравитациона сила (једначина)

36

)(3 AB

AB

BA rrrr

mmkF

Димензије тела

бесконачно мале величине

у односу на растојање између тела.

Гравитациона сила (векторски облик)

37

W

n

i

BA

BA

ABB rr

rr

mmkF

i

i

i

13,

• Адитивност

Збир свих појединачних сила

између тела B

и тела Ai система W.

Гравитациона сила (адитивност)

38

• Пуно тело

W

W

dm

rr

rrmkrF

B

BBBB 3

Ван тела нема маса (само тело W и тело B).

Тело W је круто тело.

Гравитациона сила (пуно тело)

Гравитациона сила (убрзање)

39

BBBB rgmrF

W

W

W

drrrr

rkrg B

B

B

3

W

dm

rr

rrkg

B

B

3

W drdm

g

F

Гравитациона сила (ротор)

40

0grot

0Frot

• Векторско поље силе безвртложно:

gVgrad

• Скаларно поље дефинисано функцијом V

Потенцијал гравитационе силе

2

drr

rkrVV

B

B

)(

• Скаларна функција

dzdydxl

zyxkzyxVV

BBB

),,(

),,(

Компоненте силе

3

z

V

y

V

x

VVVVVgrad

zyx,,,,

dzdydxl

xxkV B

x 3

dzdydxl

yykV B

y 3

dzdydxl

zzkV B

z 3

• Потенцијал и његови први парцијални

изводи непрекидне су функције у целом

простору.

• Збир других парцијалних извода: прекид

-4 k. у тачкама физичке површи тела.

Једначине Лапласа и Пуасона

4

S

nn

FF

dS

MkdSFS

n4

dM

SS

ndkdSF 4

S

ndSFdF

div

2

2

2

2

2

2

divz

V

y

V

x

V

z

Z

y

Y

x

XF

dkdτF 4div


5

042

2

2

2

2

2

k

z

V

y

V

x

V

2

2

2

2

2

2

zyx

kV 4

04div dkF

0V


Пуасон Лаплас

6


kV 4

0VЛаплас

Пуасон

Спољашњи потенцијал

(хармонијска функција)

Унутрашњи потенцијал

Фуријеова метода

7

0V

321321

,, xhxgxfxxxV

• Фуријеова метода - метода раздвајања променљивих

• Одређује се она функције која задовољава Лапласову једначину

• у облику производа три међусобно независне скаларне функције

једне променљиве

Фуријеова метода

8

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2 dxhdxhdxhds

01

33

21

122

13

211

32

1321

x

V

h

hh

xx

V

h

hh

xx

V

h

hh

xhhhV

• Решавањем следе три диференцијалне једначине другог реда чија су

решења функције

и

које се релативно лако могу одредити

• Ортогоналне координате

• Лапласова функција у ортогоналним координатама (општи облик)

21 , xgxf 3xh

Материјална површ

9

ln

S

O

B

X

Y

Z

dS

dS

dm

SS

mpl

kl

dmkV

• Површинска густина

Потенцијал

Материјална површ

10

kn

V

n

V

u

mp

s

mp4

• Потенцијал непрекидна функција

у целом простору

• Први парцијални изводи имају прекид у

тачкама површи S

SS

mpl

kl

dmkV

• У тачкама ван и унутар површи

0mp

V

Двоструки омотач

11

h

+

-+

-B

m

-m

B

S S

n

lnkMV

d

1

h

+

-B

m

-m

B

n

Дипол

• Потенцијал дипола

S

dodS

lnkV

1

dS

dM

mhM


Густина момента дипола

Момент дипола

Двоструки омотач

12

S

dodS

lnkV

1

• Овако дефинисан потенцијал у тачкама

површи S има прекид

kVVus

4

• У тачкама ван и унутар површи важи

0 doV

Гаусова интегрална формула

13

dSFdVS

n

Xx

V

n

VF

n

dSn

VdV

S

• Гаусова интегрална формула за потенцијал гравитационе силе

(убрзања)

I Гринов идентитет

14

VUF grad

2

2

2

2

2

2

divz

V

y

V

x

VU

z

V

z

U

y

V

y

U

x

V

x

UF

• Функције U и V су непрекидне и коначне у подручју

• Применом на векторско поље

Први Гринов идентитет

dVUdSn

VUdVU

S

,

II Гринов идентитет

15

UVF grad

• За векторско поље

dUVdSn

UVdVU

S

,

VUF grad

• За векторско поље

dVUdSn

VUdVU

S

,

dUVdSn

UVdVUdS

n

VU

SS

dSn

VU

n

UVdUVVU

S

Други Гринов идентитет

III Гринов идентитет

16

lU

1

dSln

Vn

V

lpVdV

lS

111

S

B

B

B

Van povr{i S

Na povr{i S

Unutar povr{i S

• Применом II идентитета за функцију

Трећи Гринов идентитет

простор унутар површи S

SP

SP

SP

p

vanjeako

najeako

unutarjeako

,0

,2

,4

17

S

B

B

B

Van povr{i S

Na povr{i S

Unutar povr{i S

• Применом II идентитета за функцију

Трећи Гринов идентитет

простор ван површи S

III Гринов идентитет

dSln

Vn

V

lpVdV

lS

111

SP

SP

SP

p

vanjeako

najeako

unutarjeako

,4

,2

,0

lU

1

Примена Гринових идентитета

18

1dS

lnV

n

V

lpVdV

lS

111

Трећи Гринов идентитет ( простор ван површи S )

SP

SP

SP

p

vanjeako

najeako

unutarjeako

,4

,2

,0

• Када одаберемо V =1 следи

dSln

pS

1

SP

SP

SP

p

vanjeako

najeako

unutarjeako

,0

,2

,4


19

• Када за V одаберемо потенцијал убрзања Земљине теже следи:

dSln

Vn

V

lpVdV

lS

111

Трећи Гринов идентитет ( простор ван површи S )

dSln

VdSn

V

lpV

SS

11

• За тачку ван S p је једнако 4 па следи:

dSln

VdSn

V

lV

SS

1

4

11

4

1

)0( V

2


20

domp VVV

S

mpl

kV

S

dodS

lnkV

1

n

V

k

4

1

k

V

4

dSln

VdSn

V

lV

SS

1

4

11

4

1

2


21

constVV 0

dSln

VdS

n

V

lV

SS

1

4

1

4

1 0

dSln

VdSn

V

lV

SS

1

4

11

4

1

n

V

k

4

1

mpVV

3

За тачку ван S интеграл

је 0 (прва примена)

Стоксова теорема

22

• Функција која је хармонијска ван површи може

се једнозначно одредити из њених вредности

задатих на површи S

S

VVS

Дирихлеов принцип

23

• Потврда да таква функција увек постоји дата

је Дирихлеовим принципом

• Одређивање функције - Дирихлеов проблем

S

VVS

Граничне вредности

24

S

V

VS

n

V

n

VhkV

I

II

III

Дирихлеов

Нојманов

Линеарна комбинација

( h и k константе)

1

Дирихлеов проблем (сфера)

• Решити за граничне вредности задате на

површи сфере

0V

V

SVS

0V

321 xhxgxfV

SV

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2 dxhdxhdxhds

01

33

21

122

13

211

32

1321

x

V

h

hh

xx

V

h

hh

xx

V

h

hh

xhhhV

• Ортогоналне координате, дужина лука


• Лапласова једначина у ортогоналним координатама

3


• Сферне координате

cossinrx

sinsinry

cosrz

4


cossinrx sinsinry cosrz

dx

dx

drr

xdx

d

yd

ydr

r

ydy

d

zd

zdr

r

zdz

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2 dxhdxhdxhds

2222222 sin drdrdrds ddr,ddr, ddНема чланова - ортогоналне координате

5


2222222 sin drdrdrds

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2 dxhdxhdxhds 11 h

rh 2

sin3 rh

01

33

21

122

13

211

32

1321

x

V

h

hh

xx

V

h

hh

xx

V

h

hh

xhhhV

0sin

1ctg122

2

2222

2

22

2

V

r

V

r

V

rr

V

rr

VV

6

0sin

1ctg122

2

2222

2

22

2

V

r

V

r

V

rr

V

rr

VV


hgrfV

2

2

2

2

2

sin

112

1

YYctg

Y

Yfrfr

f

,YrfV

7

2

2

2

2

2

sin

112

1

YYctg

Y

Yfrfr

f


nrrf 1

1

nr

rf

021

2 fCfrfr 0sin

1ctg

12

2

22

2

YC

YYY

hgY ,

11 nnC

8


0sin

11cossin

2

Cnngg 0

2 hCh

mh cos mh sin cosnm

Pg

nmn

mnm

nnmt

dt

dt

ntP 11

!2

1 22

2

Лежандрове функције, cost

2

2 mC

9


cosnm

Pg nrrf

1

1

nr

rf

mh cos

mh sin

n

m

nmnmnmnmn mPBmPAY0

sincos, ,YrfV

10


n

m

nmnmnmnm

nn

mPBmPAr

rV00

1sincos

1,,

n

m

nmnmnmnm

n

n mPBmPArrV00

sincos,,

11


mPC nmnm coscos,

mPS nmnm sincos,

• Увођењем смена

једначине се могу записати у облику

n

m

nmnmnmnm

n

n SBCArrV00

,,,,

n

m

nmnmnmnm

nn

SBCAr

rV00

1,,

1,,

12


• Најкраћи облик следи на основу познате смене

0

,,,m

nmnmnmnmn SBCAY

,,,0

n

n

n

i YrrV

,1

,,0

1 n

nno Y

rrV

У тачкама унутар сфере У тачкама ван сфере

13


• Константе

.2

2 mC ,11 nnC

• Добијена решења имају физичко значење

само ако су n и m целобројне вредности и

ако је m мање или једнако од n.

14


0 0

,,n

n

m

nmnmnmnmS SBCAV

,,,0

n

n

n

i YrrV

,1

,,0

1 n

nno Y

rrV

0

,n

n

n

YR

rV

0

1

,n

n

n

Yr

RV

15


• Просторне сферне хармонике

,,0

n

n

nYrV .,1

01

n

nnY

rV

• Површинске сферне хармонике

,coscos, mPC nmnm ,sincos, mPS nmnm

.,,,0

n

m

nmnmnmnmn SBRAY

16


cos6P

ЗОНСКЕ

6coscos6,6P

СЕКТОРКСЕ

6coscos6,12P

ТЕСЕРАЛНЕ

17

Дирихлеов проблем (Лежандрове функције)

,11!2

1 222 n

mn

mnm

nnm tdt

dt

ntP

• Лежандрове функције прве врсте

,,,0 n .,,0 nm

• Пример

sin12

11

12

1 22

2

22

11

tt

dt

dtP

cost

18

• Лежандрови полиноми

,1!2

1 2

0

n

n

n

nnn tdt

d

nPtP

.,,0 n


• Примери

,10 tP ,1 ttP ,2

1

2

3 2

2 ttP .2

3

2

5 3

3 tttP

19

• Непарни степени


20


• Парни степени

1

• Решити за граничне вредности задате на

површи елипсоида

0V

V

EVS

0V

321 xhxgxfV

EV

Дирихлеов проблем (елипсоид)

2


• Једнопараметарске елипсоидне координате

u – Параметар (мала оса елипсоида)

– Редукована колатитуда

– Комплемент

– Лонгитуда

3


cossin22 Eux

sinsin22 Euy

cosuz

• Трансформација

222222222

22

222

2 sincoscos

dEudEuduEu

Euds

• Дужина лука

4

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2 dxhdxhdxhds

01

33

21

122

13

211

32

1321

x

V

h

hh

xx

V

h

hh

xx

V

h

hh

xhhhV

• Ортогоналне координате, дужина лука


• Лапласова једначина у ортогоналним координатама

5


,cos

22

2222

1Eu

Euh

,cos2222

2 Euh .sin2222

3 Euh

,sincoscos 222222222

22

2222

dEudEudu

Eu

Euds

• Упоређењем

,2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2 dxhdxhdxhds

следи

6


0sin

cosctg2

cos

12

2

222

222

2

2

2

222

222

V

Eu

EuVV

u

Vu

u

VEu

EuV

01

33

21

122

13

211

32

1321

x

V

h

hh

xx

V

h

hh

xx

V

h

hh

xhhhV

,cos

22

2222

1Eu

Euh

,cos2222

2 Euh ,sin2222

3 Euh

7


,,, hgufuV

• Увођењем смене

,0sin

sin1cossin2

g

mnngg

.02 hmh

једначина се трансформише у три обичне диференцијалне

једначине другог реда

, 0,12

2

22

222

fm

Eu

EnnfufEu

8

• Решења једначина су


,nmPuf

,nmQuf ,cos nmPg

,cos mh

.sin mh

,E

ui

где су:

nm

Q – Лежандрове функције друге врсте.

9


,1 22

m

n

mm

nmdt

tQdttQ

• Лежандрова функција друге врсте

n

k

knknnntPtP

kt

ttPtQtQ

1

10

1

1

1ln

2

1

при чему је:

n

k

knknnzPzP

kz

zzPzQ

1

10

1

1

1ln

2

1

За случај реалног аргумента

За случај комплексног аргумента

10


• Решења (линеарна комбинација решења)

0 0

sincoscoscos,,n

n

m

nmnmnmnm

nm

nm

mPBmPA

E

biP

E

uiP

uV

0 0

sincoscoscos,,n

n

m

nmnmnmnm

nm

nm

mPBmPA

E

biQ

E

uiQ

uV

Свака функција која је хармонијска унутар елипсоида

Свака функција која је хармонијска ван елипсоида

11


0 0

sincoscoscos,,n

n

m

nmnmnmnmmPBmPAbuV

bu • За следи

• Када ексентрицитет тежи нули може се показати:

,lim0

nn

nm

nm

E R

r

b

u

E

biP

E

uiP

.lim

1

0

nn

nm

nm

E r

R

b

u

E

biP

E

uiP

12


• Парни степени

n

k

knknnn tPtPkt

ttPtQtQ

1

1

1

1

1ln

2

1

13


• Непарни степени

n

k

knknnn tPtPkt

ttPtQtQ

1

1

1

1

1ln

2

1

Земљина тежа (Дефиниција)

2

Y

Bp

X

xy

C

Z

fF

Ekvator

Po~etni meridijan

Sredwa osa Zemqine rotacije

Telo Zemqe

ij

k

FfF

F

F

f

– Гравитациона сила

– Центрифугална сила

Последица Земљине ротације

Координатни систем

Земљина тежа (Векторски облик, правац и смер)

3

drrrr

rmkrF

B

B

BB

3

2pmrf

BB

22 yxp

– Тело Земље

– Густина – Угаона брзина

Земљине ротације

Убрзање

4

BBB

mrgr

FF

2

3

pdrr

rr

rkrg

B

B

B

g

F

Bm – Делује као фактор

размере

Убрзање (јединице)

5

2s

m

2scm1gal1 gal10mgal1 3

2sm01.0gal1 2sm10mgal1

Потенцијал Земљине теже

2

VW

V

– Потенцијал гравитационе силе тела Земље

– Потенцијал центрифугалне силе која настаје

као последица Земљине ротације

Потенцијал Земљине теже

3

VW

drr

rkV

B

)( 222

2

1yx

222

2

1)(yxd

rr

rkW

B

Компоненте убрзања

4

z

W

y

W

x

WWgradg ,,

BB

x xdzyxl

xxk

x

Wg 2

3,,

BB

y ydzyxl

yyk

y

Wg 2

3,,

BB

z zdzyxl

zzk

z

Wg 2

3,,

222 )()( zzyyxxrrlBBBB

Уопштена једначина Пуасона

5

04 kV

2

2

2

x

2

2

2

y0

2

2

z

,

• Потенцијал гравитационе силе тела Земље

• Потенцијал центрифугалне силе

2

2

2

2

2

2

2

24

k

z

W

y

W

x

WW

Нивоске површи и линије сила

6

constCzyxW ,,

• Нивоске еквипотенцијалне површи

• Линије сила (вертикале)

Линије које имају особину да се правац

тангенте у свакој њеној тачки поклапа са

правцем градијента скаларног поља

Геометријски однос...

7

dzz

Wdy

y

Wdx

x

WdW

sgdsgsgdW

,cos


8

0 sgdW

Вертикале су управне на нивоске површи


9

constdsgdsgsgdW cos

Нивоске површи међусобно конвергирају (од екватора ка половима)


10

constdsgdsgsgdW cos

• Нивоске површи међусобно конвергирају

• Не додирују се и не пресецају

• Кроз сваку тачку вертикале пролази

једна нивоска површ


11

Вертикала је крива линија

Вертикални градијент

12

212

1KKJ

Средња кривина

g

WK xx

1

g

WK

yy

2

Кривине линија

пресека нивоске

површи и XOZ, YOZ


13

2242 kWgJWWW zzzzyyxx

212

1KKJ 224 kWWWW zzyyxx

2242 kgJWzz

z

gWzz

2242

kgJ

z

gВертикални градијент

Хоризонатални градијенти

14

cosgkx

g

singky

g

2

2

2

1kkk

Укупна кривина вертикале

1k – Кривина пројекције вертикале у равни XOY

2k – Кривина пројекције вертикале у равни YOZ

Геоид

15

constW 0

Ортометријскa висинa

16

Природне координате

17

• Једнозначно дефинисан положај у простору

(уређена тројка бројева)

W,, OH,,

– Географска латитуда

– Географска лонгитуда

W – Потенцијал

OH – Ортометријска висина

Природне координате

18

Y

YB

X

X

C

Z

Z

Ekvator

Po~etni meridijan

Sredwa osa Zemqine rotacije

Telo Zemqe

Jedini~nasfera

Природне координате (Латитуда)

19

• Угао који у равни меридијана

тачке B граде раван екватора и

правац вертикале у тачки

• Северно и јужно од екватора

од 0о до 90о

Природне координате (Лонгитуда)

20

• Угао који у равни екватора граде

раван почетног меридијана и

раван меридијана тачке B

• Источно и западно од почетног

меридијана од 0о до 180о

Природне и геоцентричне

21

sin,sincos,coscosn

z

W

y

W

x

WWgradg ,,

Природне и геоцентричне

22

coscosgWx

sincosgWy

singWz

22arctg

yx

z

WW

W

x

y

W

Warctg

zyxWW ,,

Сферно хармонијски развој W

23

l

dMkV

cos2

11

22

BABArrrrl

ABBABA

cossinsincoscoscos

dzyxdM ,,


24

ABrr AB

rr cosu• Смена

frl

A

11

12

1

2

uf

cos2

11

22

BABArrrrl


25

12

1

2

uf

0n

n

naf uPa

nn

Лежандрови полиноми

• Следи

0

11

n

n

n

A

uPrl

0

1cos

1

n

nn

A

n

B Pr

r

l


26

0 0

1,,,,

12

11

n

n

m

BBnmAAnmBBnmAAnmn

A

n

B SSRRr

r

nl

• Реципрочно растојање у функцији сферних хармоника

dMSSRRr

r

nkV

n

n

m

BBnmAAnmBBnmAAnmn

A

n

B

0 01

,,,,12

1

0 011

,12

,,

12

,

n

n

m

BBnm

n

Bn

A

AAnm

BBnm

n

Bn

A

AAnm dMSrn

k

r

SdMRr

n

k

r

RV

• Следи

• Заменом редоследа интеграције и сумирања


27

• Усвајањем

0 011

,12

,,

12

,

n

n

m

BBnm

n

Bn

A

AAnm

BBnm

n

Bn

A

AAnm dMSrn

k

r

SdMRr

n

k

r

RV

dMRrn

kA

BBnm

n

Bnm

,

12 dMSr

n

kB

BBnm

n

Bnm

,

12

0 011

,,

n

n

mn

A

AAnm

nmn

A

AAnm

nmr

SB

r

RAV


28

0 011

,,

n

n

mn

A

AAnm

nmn

A

AAnm

nmr

SB

r

RAV

• Moже се показати да ред

увек конвергира ван површи

најмање сфере (Бријова

сфера) која у потпуности

окружује тело Земље


29

0 011

,,

n

n

mn

A

AAnm

nmn

A

AAnm

nmr

SB

r

RAV

• На површи Земље ред је у

општем случају дивергентан


30

0 011

,,

n

n

mn

A

AAnm

nmn

A

AAnm

nmr

SB

r

RAV

• Коефицијенти А10, А11 и B11 једнаки 0 ако се

координатни почетак поклапа са центром масе Земље

• Када се оса координатног система поклапа са осом

Земљине ротације коефицијенти А20 и B21 једнаки 0

• Функције уз ове коефицијенте забрањене или

недопустиве хармонике


31

0 0

,,1n

n

m

AAnmnmAAnmnm

n

AA

SKRJr

a

r

kMV

n

nm

nmaMk

AJ

n

nm

nmaMk

BK

– Радијус Земље у равни екватораa

• Често се користи облик


32

220

2

Ma

BAC

J

• Динамички фактор облика

dMzyABB

22

dMxzBBB

22

dMyxCBB

22

– Моменти инерције

Нормални потенцијал

2

• Maса (центар масе)

• Ротација (оса ротације)

• Елипсоид

BBBB

zyxUrUU ,,

Нормална Земља и убрзање

3

Нормална Земља

Ugrad

• Убрзање

Нивоске површи

4

constU

• Површи дефинисане изразом

• Нивоски елипсоид

су нивоске површи

5

Геоид и нивоски елипсоид

constUW 00

• Мала и велика оса елипсоида дефинишу се тако да елипсоид

представља онај елипсоид који набоље апроскимира геоид у

геометријском смислу

Аномалијски потенцијал

6

UW

TUW

UWT

• У што већој мери

• Знак једнакости једино у случају


Нормални потенцијал (основне релације)

7

12

2

2

22

b

z

a

yx

• У правоуглом координатном систему

• Парaметри који дефинишу разлику елипсоида од површи сфере

22 baE

a

Ee

b

Ee

– Линеарни

ексентрицитет

– Први бројни


– Други бројни


a

baf

– Спљоштеност

b

ac

2

– Полупречник кривине на

половима


8

• Нормално поље у потпуности дефинисано са 4 параметра

a kM 20J

a – Велика полуоса елипсоида

kM – Производ гравитационе констане и масе тела

20J – Динамички фактор облика

– Угаона брзина ротације


9

a

kM

20J

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://jaeger.earthsci.unimelb.edu.au/Images/Topographic/Whole_Earth/Earth_50.jpg&imgrefurl=http://jaeger.earthsci.unimelb.edu.au/msandifo.html&h=1024&w=1024&sz=198&hl=en&start=61&um=1&tbnid=IzpYV-ZnMTavPM:&tbnh=150&tbnw=150&prev=/images?q=+Earth&start=60&ndsp=20&svnum=10&um=1&hl=en&sa=N


10

UUVU

• Збир потенцијала

dE

El

zyxkzyxV E

U ,,

,, 222

2

1,, yxzyx

U

E – Тело нормалне Земље

dE – Елемент запремине

E – густина


11

EU kV 4

dE

El

zyxkzyxV E

U ,,

,, 222

2

1,, yxzyx

U

0 UV

• Ако је познато , x и y

потенцијал дефинисанПуасон

Лаплас

Сферно хармонијски развој

12

UV

0 0

sincoscoscos,,n

n

m

nmnmnmnm

nm

nm

UmPBmPA

E

biQ

E

uiQ

uV

• У функцији једнопараметарских елипсоидних координата

0

cos,n

nn

n

n

UPA

E

biQ

E

uiQ

uV

• Ротациона симетрија

Сферно хармонијски развој U

13

2222 sin2

1, Euu

U

• Потенцијал убрзања центрифугалне силе

Сферно хармонијски развој

2222

0

sin2

1cos, EuPA

E

biQ

E

uiQ

uUn

nn

n

n

Потенцијал U на елипсоиду

14

• Обртни елипсоид нивоска је површ нормалног потенцијала

па за u = b мора бити

constaPAUn

nn

222

0

0sin

2

1cos

0sin2

1cos

cos

cos

cos

0

222

3

22

11

00

UaPA

PA

PA

PA

n

nn

• Прва три члана

,1cos0 P

,coscos1 P

2

1cos

2

3cos 2

2 P

cos13

2sin 2

2 P


15

• Следи

UaA 22

03

1 cos11PA

cos

3

12

22

2 PaA 0cos3

n

nnPA

22

003

1aUA 0

1A 22

23

1aA 0

43 AA

2222

2

2

2

22

0

0

22

0sin

2

1cos

3

1

3

1Eu

E

biQ

E

uiQ

Pa

E

biQ

E

uiQ

aUU


16

22222

0

22 cos2

1

3

1sin

2

1arctg, Eu

q

qa

u

E

E

kMuU

ab

E

E

kMU 2

03

1arctg

E

u

u

E

E

uq 3arctg31

2

12

2

E

u

b

E

E

bq 3arctg31

2

12

2

0

• У функцији редуковане колатитуде изрази постају


17

• У функцији сферних хармоника

5

4

43

2

2

coscos

r

PA

r

PA

r

kMV UU

0

2

2332

21

121

q

em

n

n

n

kMEA

nnU

n

kM

bam

22


18

• У применама се често користи облик

1

2

2

2cos1

n

n

n

U

nP

r

aJ

r

kMV

2

20

21

251

3212

31

e

Jnn

nn

eJ

UnnU

n

220Ma

CAJ U

(A и C моменти инерције у односу на X и Z осу)

Убрзање нормалне теже

2

,,uUgrad

• У једнопараметарским елипсоидним координатама

u

U

wu

1

U

Euw 22

1

U

Eu cos

1

22

22

222 sin

Eu

Euw


3

2

0

02

0

0

2222cos

61sin

31

cossin q

qemm

q

qem

baa

kMu

• Роцациона симетрија

• = 0 на површи елипсоида

1arctg1132

2

0

u

E

E

u

E

bq


4

0

0

61

q

qemm

ab

kMa

• Редукована латитуда за тачке на екватору је 0 па следи

• На половима

0

0

31

q

qem

ab

kMb

Формула Сомиљанија (Somigliana)

5

2

0

02

0

0

2222cos

61sin

31

cossin q

qemm

q

qem

baa

kMu

0

0

61

q

qemm

ab

kMa

0

0

31

q

qem

ab

kMb

tgBa

btg • Увођењем смене следи формула Сомиљанија

BbBa

BbBaba

2222

22

sincos

sincos

Убрзање нормалне теже (Clairaut)

6

• Теорема Клероа

0

0

2

21

q

qeb

a

ba

aa

ab

a

amff

2

*

2

5

2

5

• Оригинално приказана 1738. у облику

a

abf

*

Геодетске координате

7

• Једнозначно дефинисан положај у простору

(уређена тројка бројева)

hLB ,,

B – Геодетска латитуда

L – геодетска лонгитуда

h – Елипсоидна висина

Геодетске координате (Латитуда)

8

• Северно и јужно

од екватора од 0о

до 90о

• Угао који у равни меридијана

тачке P граде раван екватора и

нормала на елипсоид

Геодетске координате (Лонгитуда)

9

• Источно и западно почетног

меридијана

од 0о до 180о

• Угао који у равни екватора граде

раван почетног меридијана и раван

меридијана тачке P

Геодетске координате (Висина)

10

• Нормала на елипсоид, кроз тачку P која се налази на

физичкој површи Земље, продире површ елипсоида у тачки

Q. Одсечак вертикале од P тачке до тачке Q назива се

елипсоидном висином.

Геодетске и геоцентричне

11

LBhNx coscos

LBhNy sincos

BhNa

bz sin

2

2

32

32

cos

sin

aep

bezarctgB

x

yarctgL

NB

ph

cos

22 yxp pb

zaarctg

BbBa

aN

sincos 22

2


12

0,242 2

2

2

EE

U

zz kJhz

UU

• Као и у случају реалног убрзања може се показати да

важи

0,22 2

2

2

E

U

zz Jhz

UU

• односно

NMJ U 11

2

1

где је

2322

2

cos1 Beb

aM

2122

2

cos1 Beb

aN


13

k

hH

g4

• Користи се за израчунавање приближне вредности

градијента реалне теже

• Ако се занемари зависност од ширине B при чему се

усвоји B = 45o тада важи

/msm103086.02

12 25

ar

Mk

h

a

односно

kH

g4103086.0 5

Нормална поља – GRS80 и WGS84

14

• Нормално поље у потпуности дефинисано са 4 параметра

a kM 20J

a – Велика полуоса елипсоида

kM – Производ гравитационе констане и масе тела

20J – Динамички фактор облика

– Угаона брзина ротације


15

0

2

2015

21

3 q

emeJ

• Одређивање мале полуосе на основу

0

2

20

2

15

23

q

eemJe

0

332

20

2

215

43

q

e

kM

aJe

aeeb

1

12

1

03212

142

n

n

n

enn

nq

222 1/ eee

20J

1

2

3


16

02q

e

bJ 20

dee DL

Le

222 1/ eee e

e

1

12

1

03212

142

n

n

n

enn

nq

0

332

20

2

215

43

q

e

kM

aJe

eba

bae

22

,...,,, oba U

• Сви остали параметри


17

0

0

2 61

q

qemm

a

kMa

0

0

31

q

qem

ab

kMb

• Убрзање нормалне теже на

екватору


половима


латитуди B

BbBa

BbBaba

2222

22

sincos

sincos

• Гравиметријска спљоштеност

a

abf

*

ab

Earctg

E

kMU 2

03

1

• Потенцијал на нивоском елипсоиду

(геоиду)

3 2baR

• Полупречник терестричке сфере


18

Параметар 80GRS 84WGS Јединице

a 6378137 6378137 m

kM 8103986005 8103986005 23sm

2J 8100000000.108263 8109989052.108262 /

11107292115 11107292115 1srad

2e 22900066943800.0 90130066943799.0 / 2e 75480067394967.0 42260067394967.0 /

b 3141.6356752 3143.6356752 m

f 81180033528106.0 64740033528106.0 /

E 0097.521854 0084.521854 m

c 6259.6399593 6258.6399593 m

a 7803267715.9 7803267714.9 2ms

b 8321863685.9 8321863685.9 2ms

0U 710052636860850.6 710702636860849.6 22sm

*f 120053024401.0 290053024401.0 /

R 7900.6371000 7904.6371000 m

Разлика координата

2

hLB ,,W,,

OH,,

Геодетске координатеПриродне координате

Разлика висина

3

OHhN

Ундулација геоида

Разлика координата

4

B

BL cos

(Меридијан)

(Први вертикал)

Компоненте

Угао одступања вертикале

Разлика убрзања

5

gR

Вектор

• Два случаја у зависности од положаја вектора:

1. вектори у истој тачки,

2. вектори у различитим тачкама.

Вектор поремећајног убрзања

6

00

00

00

00

PP

PP

PP

PP

g

UgradWgrad

UWgrad

Tgrad

000 PPP g

• У тачки на P0 геоиду

Вектор аномалијског убрзања

7

QP

QPP

g

UgradWgradg

0

00

QPPgg

00

• У тачки на P0 геоиду

Интензитети вектора

8

QPPP ggg 000

0000 PPPP g

• Поремећајно убрзање

• Аномалија убрзања


2

TUW

UWT

• Основне релације

UW


3

UU

VVT

VW

UUVU UWT

UVVT


4

UVVT

0T kkT 44

0,0, E 0,0, E

Хармонијска функција

Ундулација геоида

5

NNn

UUU

Q

Q

QP

0

NTWU QPPP 000

Q

PT

N

0

Формула Брунса

6

Угао одступања вертикале

sincos

ds

dN

ds

dN

Mds

Td

PVds

Td

Меридијан

У правцу првог вертикала

o0

o90

Поремећајно убрзање

7

n

T

n

U

n

W

n

U

n

W

gg

P

PPP

0

000

n

Tg

P

P

0

0

Аномалија убрзања

8

n

Tg

P

P

0

0

n

Tgg

P

pPP

0

00

Nn

gn

Tg QPP

00

Nnn

TgP

0

Основна једначина физичке геодезије

Линеарни функционали T

9

n

TTtt ,

Q

PT

N

0

ds

dN

n

Tg

P

P

0

0

Nnn

Tg

Сферна апроксимација

10

,3

4

3

4 23 baR

• Замена елипсоида сфером (једноставнији изрази)

• Терестричка сфера (не ротира)

• Услов да запремина терестричке сфере буде једнака

запремини нивоског елипсоида

3 2baR

• одакле следи


11

2r

kM

• Убзање гравитационе силе терестричке сфере

• Правац нормале на сферу и правац радијус

вектора међусобно се поклапају

rn

• Диференцирањем израза за убрзање следи

32

r

kM

r

rr

21


12

,0

Q

PTN

,0

0 n

Tg

P

P

,

T

nn

Tg

,0 r

TgP

T

rr

Tg

2

,0

Q

PTN

32

r

kM

r

rr

21

rn


13

Mds

Td

PVds

Td

222

dsdsds

drds dBrds cos

T

r

1

T

r cos

1


14

3103

• Увођењем сферне апроксимације чини се грешка

реда (спљоштености):

• Сферна апроксимација се користи у циљу

добијања једноставнијих израза за функционале

аномалијског потенцијала. Вредност нормалног

убрзања увек се рачуна за тело Нормалне

Земље:

,

TN ,

1

T

r.

cos

1

T

r

15

,nT

n

m

nmnm

U

nmnm PmKmJJ0

cossincos

Rr • Као хармонијска функција ван терестричке сфере

Сферно хармонијски развој Т

0

1

,n

n

n

Tr

RT


16

,

1

1

n

n

n

Tr

RT

Нема хармоника степена 0

TUW UWT UUVVT

UVVT

17


• У геоцентричном координатном систему

,

1

2

n

n

n

Tr

RT

Нема хармоника степена 1

2

1

,n

n

n

Tr

RT

18


TN

0

1

,1

n

n

n

Tr

RN

• Ундулација геоида

• Поремећајно убрзањеr

Tg

0

1

,11

n

n

n

Tr

Rn

rg

19

Trr

Tg

2


0

1

,11

n

n

n

Tr

Rn

rg

• Аномалија убрзања

• Компонента у правцу меридијана и првог вертикала

T

r

1

T

r cos

1

Пуасонов интеграл

20

,,,,,, 1

2

0

0

1

Tr

RT

r

RT

r

RrT

n

n

n

dTT ,4

1,

0

dTT cos,4

3,

1

• Аномалијски потенцијал могуће је приказати у

облику

• где су


21

d

l

RTRrRrT

3

22,,

4,,

• Пуасонов интеграл за аномалијски потенцијал

• Одговара случају када хармонике првог и другог

степена нису једнаке нули


22

dTT ,4

1,

0

dTT cos,4

3,

1

d

l

RTRrRrT

3

22,,

4,,

dRTr

R

rl

RrRrT ,,cos

21

4,,

23

22

Модификовани Пуасонов интеграл

-

-

Аномалија убрзања

23

2

1

,11

n

n

n

Tr

Rn

rg

dRTr

R

rl

RrRrT ,,cos

21

4,,

23

22

dRgr

R

rl

RrRrg A ,,cos

21

4,,

23

222

• Дефинисане вредности ван терестричке сфере из

вредности на сфери:

Trr

Tg

2

Парцијална

диференцијална

једначина

Стоксова Формула

24

,2

Trr

Tg

• Решавањем (сада) парцијалне диференцијалне

једначине:

следи

dgSR

T4

Стоуксова формула

где је Стоуксова функција. S

Стоуксова функција

25

2sin

2sinlncos3cos51

2sin6

2sin

1 2

S


26

dgSR

N4

TN

dgSR

T4

Формула Брунса

Стоуксово

решење диф.

једначине

Стоуксова формула за

ундулацију геоида

,ggN

gNN


27

• Услови када формула важи када:

• се аномалије односе на глоблани елипсоид,

• нормална Земља има масу једнаку маси Земље,

• се центар елипсоида поклапа са центром масе Земље,

• ван геоида нема маса.

Стоуксова формула (разни облици)

28

• У поларним координатама на сфери

04

dFgR

N

2

0

,2

1dgg sin

2

1SF

29


• У елипсоидним координатама

2

0

2/

2/cos,

4,

L BLdBdBSLBg

RLBN

LLBBBB coscoscossinsincos

30


• У функцији од сферних хармоника

gdPn

nRN

n

n

2

cos1

12

4

2

cos1

12

n

nPn

nS

Формула Венинг-Мајнеса

31

ds

dN

T

r cos

1

T

r

1

dgSR

N4

dd

dSg

QPcos

4

1

dd

dSg

QPsin

4

1

Редукција g

2

• Све масе изнад геоида

3


• Резултати мерења – физичка површ Земље

4


• Формула Стокса – ван геоида нема маса

5


• Срачуна се утицај маса изнад геоида

6


• Од резултата мерења одузме се срачунати утицај

7

• Тачка „остаје у ваздуху” удаљена Ho од P0


8


• Разлика убрзања - „спуштање кроз ваздух”

9


• Финална вредност – g, dgP, dgF

10


• Два корака редукције:

1. регуларизација геоида dgP,

2. поправка за „ слободан ваздух” dgF .

11


• Регуларизација геоида

• Рачунање утицаја маса изнад геоида,

• одузимање срачунате вредности од резултата мерења..

12

Редукција g• Поправка за „слободан ваздух”

• рачунање разлике убрзања у P и P0,

• Коришћење вредности нормалног градијента.

25 s103068.0

oHF

-25 sm103068.0 oo HFH

13


• Индиректни ефекат регуларизације - когеоид

CC TTT d

CC NNN d

Брунс

14


• Редукције које се најчешће користе:

1. Бугеова,

2. Хелмертова кондензациона редукција,

3. изостатичке редукције.

15

Редукција g (Буге)

Геоид

• Хипотеза – топографске масе имају исту густину

16


a

HaHHHaHHkU

OOOOOO

C

222222ln

222 OOB

P HaHakg d

O

Ca

B

P Hkgg dd 2lim


Вертикална компонента

Утицај Бугеове плоче

17


O

P

B

Pp Hkggg d 2

O

O

OF HH

FHg

d

18


oo

P

B

P FHHkgg 20

19

Редукција g (Буге, аномалије)

Q

B

PB gg 0

• Изражен индиректни ефекат

20

Редукција g (Теренска корекција)

Масе које нису узете у обзирМасе не постоје

(„Њихов утицај ” урачунат)

21


BA mmc dd

Увек позитивна вредност

22

cFHHkgg oo

P

B

P 20

yxHz

HzPPP

O

P

P

dzdydxzzyyxx

Hzkc

,

222

• Теренска корекција

• Бугеова редукција

Q

B

PB gg 0

• Бугеова аномалија


23

Редукција g (Хелмертова кондензациона)

oo

P

H

P FHHkgg 20

• Иста хипотеза и исти поступак као и Буге

• Враћа масе кондензовањем на геоид са површинском

густином

.OH

24

Редукција g (Хелмертова кондензациона)

F

P

FOO

P

FO

P

H

P

gg

gHkHkg

gkHkgg

d

d

d

22

220 F

P

H

P ggg d0

25

Редукција g (Хелмертова кондензациона, аномалија)

Q

H

PH gg 0

• Индиректни ефекат не тако

изражен као код Бугеових

аномалија

26

27

Редукција g (Тeорија изостазије)

• Због хипотеза долази до:

• негативног предзнака у планинским подручјима

(„недостатак маса”),

• претежно позитивни предзнак у приобалним подручјима,

• готово увек позитивног знака у подручјима под морима и

океанима. („вишак маса”).

28

Редукција g (Теорија изостазије, Прат-Хајфорд)

Ниво компензације

29


Ниво компензације

Исти пресек стубова

и иста маса

30


Ниво мора

31


Планине Планине

32


Мора и океани

33


0 DhD B

0 0 DhhD wC

km100D

3

0 kg/m2670

34

Исти пресек стубова

и иста густина

Редукција g (Теорија изостазије, Ејри-Хаисканен)

35


Пропорционално

висини зароњени у

слој течне лаве

36

„Нормална дебљина”

„Корен”

„Антикорен”


37


3kg/m600

km32T

3

0 kg/m2670

3

1 kg/m2670

hh 45.4t 0

hhw 73.2t

01

0

38

Редукција g (Теорија изостазије, аномалије)

F

CPP

I

P gAggg dd 0

Q

I

P

I

P gg 00

РЕДУКЦИЈА

1

АСТРОНОМСКА МЕРЕЊА

2

A

LL

BB

Помоћне величине

Редукција …

3

BLBL

BB

coscos

За координате следи

односно

BL

B

cos/



4

zB cotcossintan



5

Индиректно одређивање елипсоидних висина

NHh


ВИСИНЕ

6

12

zB cotcossintan

За приближно хоризонталне визуре може се занемарити


ХОРИЗОНТАЛНИ УГЛОВИ

7

'zz

sincos

Редукција ...

ВЕРТИКАЛНИ УГЛОВИ

8

R

h

R

h

hll

21

22

0

11

R

lRRs

2sin2 01

0

Редукција ...

ДУЖИНЕ

Системи висина (Утицај Земљине теже)

2

C

B

j

C

A

i hh

• Зависност резултата нивелања од пута нивелања

C

B

C

A

dhdh

3


• Збир висинских разлика у затвореном полигону

0i

ih 0dh

4


• У циљу елиминисања свих неодређености у резултате

мерења висинских разлика, добијене путем геометријског

нивелмана, неопходно уносити утицај Земљине теже

C

B

j

C

A

i hh 0i

ih

g

C

B

j

C

A

i HH 0i

iH

Теоријско затварање полигона

5

0

i

ih

dh

6

Теоријско затварање полигонаgdhdW dhgdW

dhGdhG

GgG

dhG

GGdh

G

GgG

dhG

GGgG

dhGGgdW

0

0

00

0

00

0

00

0

000

00

0 dW

7

Теоријско затварање полигона

00

0

00

dhGdh

G

GgG

dhG

Ggdh

0

0

dhG

Gg

0

0

i

dhG

Gg

0

0

Геопотенцијалне коте

9

i

o

i

o

o

i

i

P

Pk

k

P

P

P

P

oiP hgdhgdhgWWdWC )(

• Разлика (негативна) потенцијала

2

1 iik

ggg

Геопотенцијалне коте (Jединица)

10

mgal1000g.p.u.1mkgal1

kgal9.8g oo HgHc 98.0

• Јединица геопотенцијалних кота

• Упоређење са ортометријским висинама

11


• Геопотенцијалним котама обезбеђено:

• да све тачке на истој нивоској површи имају исту висину,

• интеграл по затвореном полигону буде једнак нули,

• висинске разлике се рачунају без увођења хипотеза,

• повезивање нивелманских мрежа више Земаља,

• упоређење нивоа мора и океана,

• ...


12

• Геопотенцијалне коте:

• немају геометријску интерпретацију,

• нису изражене у јединицама растојања.

Дефинисање система

13

• Захтеви:

• једнозначност,

• без хипотеза

• физички дефинисана референтна површ,

• геометријска интерпретација,

• јединице растојања,

• ...

Трансформација

14

oG

CH

• Унапред утврђена вредност убрзањаoG

C

• Једноставна трансформација на јединице растојања

• Задржане неке од особона геопотенцијалних кота

Динамичке висине

16

o

d

G

CH

dG• Константна вредност

• може бити било која вредност

• Најчешће

dG

45

00 45

m

s

ms

m

2

2

2


17

P

P

P

Po

o

P

Po

oo

P

Poo

PdP

o ooo

dhG

Ggdhg

G

GGgdh

G

g

G

CH

• Једнозначност

dhG

GgdhgH

P

P o

o

P

P

d

P

oo

k

P

Pk o

okP

Pk

k

d

p hG

GghH

oo

• Елиминишу затварање полигона

dhG

Gg

0

0

i

hG

Gg

0

0

18


• Референтна површ геоид

• Све тачке на истој нивоској површи имају исту динамичку висину

• Динамичке висине не могу се геометријски интерпретирати

19


• Висинска разлика

dhG

Ggdhg

G

CCHH

P

P o

o

P

Po

PPd

P

d

P

2

1

2

1

22

12

2

1

2

1

22

12

0

0

P

Pk

kk

P

Pk

k

o

PPd

P

d

P hG

Ggh

G

CCHH

• Динамичка поправка

k

P

Pk o

ok

P

P o

o hG

Ggdh

G

GgDK

2

1

2

1

Ортометријске висине

21

g

CH o

• Усваја се вредност gGG o 0

g − средња вредност убрзања у тачкама

ортометријске висине

m

s

ms

m

2

2

2


22

• Јединице

• Референтна површ геоид

• Геометријска интерпретација

m


23

P

P

o

PP

H

o

o

P

o

PpPPP

o

oP

ooPHgdhg

HHdhgWWWWC

'

'

1

P

o

Pg

CH


24


21

2

1

12 ,

P

Pk

koP

oP OPhHH

k

P

Pk o

oko

P

o

oPo

P

o

oPh

G

GgH

G

GgH

G

GgOP

2

1

2

2

1

1

2,1

• Ортометријска поправка

o

PP

G

ggg 21


25

k

P

Pk o

oko

P

o

oPo

P

o

oPh

G

GgH

G

GgH

G

GgOP

2

1

2

2

1

1

2,1

i

dhG

Gg

0

0• Елиминише затварање полигона

• Тачке на истој нивоској површи немају исте ортометријске

висине (симулирани пад):

o

P

P

PPo Hg

ggH

1

2

21

26


• Хипотеза(е) о густини маса Земљине коре

= ?

27

Ортометријске висине (Редукција)

dHgH

ggg

P

Q

PQ

)HH(H

ggg PQ

P

PQ

Развијањем у Тејлоров ред и

интеграцијом (задржавајући

само линеарне чланове)

28


2242

GgJ

H

g

)HH(H

ggg PQ

P

PQ

222

oJ

H

GHH

g4

kH

g4103086.0 5

msm.H

g 2610848070

3m

kg2670

ms

m103086.0

2

5

H

29

)HH(H

ggg PQ

P

PQ


msm.H

g 2610848070

26 )(1084807.0 smHHgg PQPQ

QP

o

Pg

C

g

CH

Ортометријске висине (Хелмерт)

30

),(2

1oP ggg

• Линеарна промена густине

210)83818.0086.3( 6

o

PPP

Hgg

следе ортометријске висине по Хелмерту

Ортометријске висине (Нитхамер)

31

)(2

1oP ggg


• Узима у обзир утицај преосталих топографских маса

TQgQQ Gg

TQP gHQ Gg

2средња вредност

Ортометријске висине (Нитхамер)

32

TQ

TP g

o

P

gP

Hgg

210)83818.0086.3()( 6

• При враћању равни зона се проширује до 188 km због

сувише великих оцена за утицај предела

• Ортометријске висине по Нитхамеру

• Узимају се у обзир масе до растојања 42 km са

поделом предела на сектора са излазним углом од

= 45o

Ортометијске висине (Мадер)

33

To

TP

T ggg

2

1

),(2

1oP ggg


• Узима у обзир утицај преосталих топографских маса

Утицај у тачки на физичкој

површи Земље

Утицај у тачки на геоиду

Ортометријске висине (Мадер)

34

)(2

1

210)83818.0086.3( 6

To

TP gg

o

PP

MA

P

Hgg

• Уводи се коначна Бугеова раван до растојања од 30 km да

не би дошло до сувише великих одбијања

• Ортометријске висине по Мадеру

• Узимају се у обзир масе до растојања 30 km са

поделом предела на сектора са излазним углом од

= 22o 30’

36

Нормалне висине

CH N

• Усваја се вредност 0G

− средња вредност нормалног убрзања дуж

нормале тачке у којој се нормална висина

одређује

m

s

ms

m

2

2

2

37

Нормалне висине (Молоденски)

2

2

2

6

1

2

11 N

P

o

N

P

o

o

H

o

N

P

P HH

HH

dhH

NP

• Средња вредност нормалног убрзања рачуна се

коришћењем израза

• Рачуна се итетеративним путем (до жељене тачности)

Вредност убрзања на елипсоиду као

приближна вредност при развоју у

степени ред

Нормалне висине (Геометријска интерпретација)

38

ТЕЛУРОИД


39

КВАЗИГЕОИД


40

2,1

2

1

12NPhHH

P

Pk

k

N

P

N

P


k

P

Pk o

okN

P

o

oPN

P

o

oPh

G

GgH

G

GH

G

GNP

2

1

2

2

1

1

2,1

• Нормална поправка


41

• Елиминише затварање полигона

i

dhG

Gg

0

0

k

P

Pk o

okN

P

o

oPN

P

o

oPh

G

GgH

G

GH

G

GNP

2

1

2

2

1

1

2,1

• Тачке на истој нивоској површи немају исте нормалне

висине (симулирани пад):

N

P

P

PPN HH1

2

21

Нормалне висине (Вињал, Бомфорд)

42

2100863 6

NP

oP

H.

o45o

• Вињал

• Бомфорд

210086.3 645

N

PoP

H

Сфероидне висине

44

CH S

• Усваја се вредност

− средња вредност нормалног убрзања дуж

нормале тачке у којој се нормална висина

одређује

C − нормална геопотенцијална кота

m

s

ms

m

2

2

2

45


P

P

P

Pk

kkPP'P

o o

ohdhUUC

• Нормална геопотенцијална кота

2

1 iik

P

Pk

k

P

P

PPP

oo

ihgdhgWWC

0

2

1 iik

ggg

геопотенцијална кота


46

21

2

1

12 ,

P

Pk

kSP

SP NOPhHH

k

P

Pk o

okN

P

o

oPN

P

o

oPh

G

GH

G

GH

G

GNOP

2

1

2

2

1

1

2,1

• Сфероидна висинска разлика

• Нормална – ортометријска (сфероидна) поправка

2

21 PP

47

2

1

2

1

0P

Pk

P

Pk

k

o

ok

o

oS hG

Ggh

G

G


2

21

1

2

12

21

21

112

P

PPN

P

P

'P

'P

PP

PP

P

S

P

S

P HCC

CHH

• Не елиминише затварање полигона

• Симулирани пад

Елипсоидне висине

49

• Геометријски дефинисане


50

• Одређују се применом:

1. директних метода 2. индиректних метода

GNSS Веза са физички дефинисаним

висинама

GPS GLONASS GALILEO…


51

NHh o NHh NNS NHh

Елипсоидне висине (Висинске разлике)

52

21

2

1

21 21 P,P,

P

Pk

kP,Po NOPhh

21

2

1

21 21 P,P,

P

Pk

kP,PN NPhh

21

2

1

21 ,2,1, PPNN

P

Pk

kPPS NNOPhh

• Ортометријски систем висина

• Нормални систем висина

• Сфероидни систем висина

Системи висина (Преглед)

53

o

d

G

CH

C

g

CH o

CH N

CH S

oG

CH

Динамичке Ортометријске Нормалне Сфероидне


Физички дефинисане

Сумарни преглед

особина висина

Висине

Физички дефинисанеГеометријски

дефинисане

Геопот. коте Динамичке Ортометријске Нормалне Сфероидне Елипсоидне

Јединице g.p.u. m m m m m

Елиминише зат. пол. Да Да Да Да Не /

Геомет. интерпретација Не Не Да Да Да Да

Референтна површ Геоид Геоид Геоид Квазигеоид Нулта. п. Елипсоид

Реф. површ физички јасна Да Да Да Да Не Да

Симулирани пад Не Не Да Да Да /

Хипотезе при дефиницији Не Не Да Не Не /

Системи висина (Преглед)

54

Трансформација

55

NHh o

NHh

NhH o

hH N

Приступ Молоденског

2

• Из трећег Гриновог идентитета за потенцијал W за

произвољну тачку P на физичкој површи Земље S

02211

2 2222

l

dyxdSg

llnWW

S

n

n

dS

l

ng

yx,

d

l

– Спољашња нормале на S

– Елемент површи S

– Растојање између dS и тачке P

– Пројекција вектора убрзања

– Угаона брзина Земљине ротације

– Геоцентричне координате тачке P

– Тело Земље

– Елемент запремине dΩ

– Растојање између dΩ и тачке P

• Приступ Молоденског може се кратко дефинисати на следећи начин:

одредити физичку површ Земље решавањем приказане једначине

ако су потенцијал и вектор убрзања силе Земљине теже познати у

свакој њеној тачки.

3


PPPTUW QP UW

Q

PN

p

CH

N

PPPHh

• Телуроид

4


QPgg

QPgg

• Аномалија убрзања и

угао одступања вертикале

• Вектор аномалијског убрзања

• Интензитет

5

gTrr

T

2


• Приступ Молоденског (сферна апроксимација)

одредити ону функцију Т која је хармонијска ван површи телуроида,

такву да на површи телуроида задовољава гранични услов

0

210

n

nTTTTT

• Решења у облику Редова МолоденскогРед је конвергентан, а добијено решење јединствено

6


dSGR

T00

4

dSGR

T11

4

dl

hhRdSG

RT P

03

0

2

2224

gG 0

dl

hhRG P

02

0

2

1

2

003

0

2

13

0

2

2 tg24

3d

l

hhRd

l

hhRG PP

sec

dSGGnnn 216

3

2

1

k

Површинска густина

Угао између тангентне равни

профила телуроида која највише

одступа од хоризонталне равни у

посматраној тачки

7

dSGgRT

14


• Аномалијска висина ( У применама најчешће се користе прва два члана реда)

dGSR

dgSRT

144

1

NT

• Узимањем у обзир свих чланова

321

NT

8


• Квазигеоид

OHg

N

OB Hg

N

ON HHN

Documents

Fizicka geodezija