34
Fizik 101: Ders 16 Konu: Katı cismin dönmesi Dönme kinematiği Bir boyutlu kinematik ile benzeşim Dönen sistemin kinetik enerjisi Eylemsizlik momenti Ayrık parçacıklar Sürekli katı cisimler Paralel eksen teoremi

Fizik 101: Ders 16 - etu.edu.trfizikservis.etu.edu.tr/ders16.pdfFizik 101: Ders 16 Konu: Katı cismin dönmesi Dönme kinematiği Bir boyutlu kinematik ile benzeşim Dönen sistemin

  • Upload
    others

  • View
    12

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • Fizik 101: Ders 16 Konu: Katı cismin dönmesi Dönme kinematiği

    Bir boyutlu kinematik ile benzeşim

    Dönen sistemin kinetik enerjisi

    Eylemsizlik momenti

    Ayrık parçacıklar

    Sürekli katı cisimler

    Paralel eksen teoremi

  • Rotasyon

    Şimdiye kadarki konularımızda cisimlerin belirli bir eksen etrafında dönmesini üzerine çok durmadık. (öteleme hareketi ağırlıklıydı) Kayan cisimleri inceledik. Makaraların kütlelerini yok saydık.

    Rotasyon oldukça önemlidir, dolayısıyla rotasyonu anlamalıyız!

    Türeteceğimiz denklemlerin pek çoğu lineer kinematik ve dinamikte çıkardığımız denklemlerin benzerleridir.

  • Katı Cismin Dönmesi

    Şekildeki katı cisim z ekseni etrafında döndürülmeye başlansın, bu katı silindir üzerinde P noktası alırsak bu noktanın yaptığı hareket dairesel harekettir.

    P noktası Dt zamanında A noktasından B noktasına gekirse:

    P

    θ

    dS

    A

    B

    Rdt

    dwRR

    dt

    dva

    RwRv

    hiz. ortalama Rwv

    2

    2

    aniani

    ani0

    ani

    ortort

    lim

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    D

    td

    d

    dt

    d

    dt

    ds

    t

    s

    t

    R

    t

    s

    t

  • Rotasyon Değişkenleri.

    Sabit eksen etrafındaki rotasyon:

    Merkezinden geçen eksen etrafında dönen bir diske bakalım:

    Öncelikle Düzgün Dairesel Hareket hakkında öğrendiklerimizi hatırlayalım:

    (lineer hıza benzer )

    dt

    d

    dt

    dxv

  • Rotasyon Değişkenleri...

    Farz-ı muhal zamanın bir fonksiyonu olsun:

    Açısal ivme tanımı:

    2

    2

    2

    rad/s dt

    θd

    dt

    dωα

    Açısal ivme nin sabit olduğu durumu dikkate alalım.

    Bunu integre ederek ve yı zamanın bir fonksiyonu olarak buluruz:

    αtωω

    sabitα

    0

    2

    002

    1tt

  • Rotasyon Değişkenleri...

    Dönme ekseninden R uzaklıktaki bir nokta için: x = R v = R

    Bunun türevini alarak: a = R

    R

    v

    x 2

    00

    0

    t2

    1t

    t

    sabit

  • Özet (1-D kinematikle karşılaştırma)

    açısal lineer

    sabitαt 0

    0 021

    2t t

    sabita atvv 0

    x x v t at 0 021

    2

    Rotasyon ekseninden R uzaklığında bir nokta için:

    x = R v = R a = R

  • Örnek: Tekerlek ve Sicim

    Yarıçapı R = 0.4 m olan bir tekerlek sabit bir eksen etrafında serbestçe dönmektedir. Tekerleğin etrafında sarılan bir ip var. t = 0 anında durgunken ip sabit bir ivme a = 4 m/s2 ile çekilir. 10 saniye sonra tekerlek kaç tur döner? (Bir tur = 2 radyan)

    a

    R

  • Tekerlek ve Sicim...

    8028.6

    500

    14.32

    104.0

    45.0

    2

    22

    222

    2

    22

    22

    2

    222

    t

    t

    ttR

    a

    R

    at

    R

    tur

    :mumerik

    tur

    ile idenklemler dönme

    turYol

    tur

    :ledenklemler Çizgisel

    a

    R

  • Tekerlek ve Sicim...

    a

    R

  • Tekerlek ve Sicim...

    a

    R

  • Rotasyon & Kinetik Enerji

    Aşağıda gösterilen basit dönen bir sistemi dikkate alalım. (Noktasal kütleler kütlesiz bir çubuğa iliştirili)

    Sistemin kinetik enerjisi her bir parçacığın kinetik enerjisinin toplamıdır:

    r1

    r2 r3

    r4

    m4

    m1

    m2

    m3

  • Rotasyon & Kinetik Enerji...

    Yani: ama vi = ri i

    2ii v m2

    1K

    i

    ii

    i

    ii rmrmK222

    2

    1

    2

    1

    Başka bir şekilde yazım:

    K 1

    2

    2I

    I m ri ii

    2

    Dönme ekseni etrafında

    eylemsizlik momenti I nın birimi kg m2.

    r1

    r2 r3

    r4

    m4

    m1

    m2

    m3

  • Rotasyon & Kinetik Enerji...

    Dönen bir sistemin kinetik enerjisi nokta parçacığın kinetik enerjisine benziyor:

    Nokta parçacık Dönen sistem

    K 1

    2

    2I

    I m ri ii

    2

    K mv1

    2

    2

    v “lineer” hız m kütle.

    açısal hız

    I dönme ekseni etrafında eylemsizlik momenti.

  • Eylemsizlik Momenti

    Eylemsizlik momenti I sistemin kütle dağılımına bağlıdır. Kütlenin dönme ekseninden uzaklaşması eylemsizlik momentini

    artırır.

    Verilen bir cisim için eylemsizlik momenti dönme eksenini nerde seçtiğimize bağlıdır. (kütle merkezinden farklı).

    Lineer dinamikteki denklemlerde m kütlenin yerini dönme dinamiğinde I eylemsizlik momenti alır!

    K 1

    2

    2I I m ri ii

    2sonuç burada

  • Eylemsizlik Momenti Hesabı

    Sabit bir eksen etrafında dağılmış N ayrık noktasal parçacık için eylemsizlik momenti:

    I

    m ri ii

    N2

    1

    burada r kütlenin dönme eksenine olan uzaklığı.

    Örnek:Kenar uzunluğu L olan bir karenin köşelerinde 4 (m) kütlesi var ve kare merkezinden geçen bir eksen etrafında dönmektedir.

    Kütle sisteminin eylemsizlik momentini hesaplayınız:

    m m

    m m

    L

  • Eylemsizlik Momenti Hesabı...

    m m

    m m

    L

    r

    L / 2

    2

    24

    1

    222

    24 mLI

    LmrmI

    i

    ii

  • Eylemsizlik Momenti Hesabı...

    I ‘yı şimdide merkezden kenara paralel olan bir dönme ekseni için hesaplayalım:

    m m

    m m

    L

    r

  • Eylemsizlik Momenti Hesabı...

    Son olarak aynı sistemin eylemsizlik momentini bir kenarından geçen bir eksen için hesaplarsak:

    m m

    m m

    L

    r

  • Eylemsizlik Momenti Hesabı...

    Aynı cisim için I dönme eksenine açıkça bağlıdır!!

    L

    I = 2mL2 I = mL2

    m m

    m m

    I = 2mL2

  • Ders 16, Soru 1 Eylemsizlik Momenti

    Üçgen şeklindeki cisim 3 özdeş kütle ve katı kütlesiz çubuktan oluşmaktadır. a, b, ve c eksenlerine göre eylemsizlik momenti Ia, Ib, ve Ic dir. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur:

    (a) Ia > Ib > Ic

    (b) Ia > Ic > Ib

    (c) Ib > Ia > Ic

    a

    b

    c

  • Ders 16, Soru 1 Eylemsizlik Momenti

    a

    b

    c

    Kütleler ve uzaklıları işaretleyelim:

    m

    m m

    L

    L

    Ia m L m L mL 2 2 82 2 2

    Eylemsizlik momentini hesaplayalım:

    Ib mL mL mL mL 2 2 2 23

    Ic m L mL 2 42 2

    (b) doğru: Ia > Ic > Ib

  • Eylemsizlik Momenti Hesabı...

    Ayrık nokta kütleleri için eylemsizlik momenti:

    Sürekli kütle dağılımı gösteren bir cisim için her bir sonsuz küçük dm kütle elementinden gelen mr2 katkısını verilen bir eksen için toplamalıyız. Yani eylemsizlik momenti I integralden elde edilir:

    I

    m ri ii

    N2

    1

    r

    dm

    boyutlu 3r)drρ(r)dvrρ(rI

    dmrI

    322

    2

  • Eylemsizlik Momenti...

    Katı cisim için eylemsizlik momentine bazı örnekler:

    M kütleli ve R yarıçaplı bir çember için merkezinden geçen ve silindir düzlemine dik eksene göre eylemsizlik momenti

    I MR 2

    R

    I 1

    2

    2MR

    M kütleli ve R yarıçaplı bir çember için,

    çaptan geçen eksene göre eylemsizlik momenti

    R

  • Eylemsizlik Momenti...

    Katı cisim için eylemsizlik momentine bazı örnekler:

    M kütleli ve R yarıçaplı katı küre için Merkezinden geçen eksene göre

    eylemsizlik momenti.

    I 2

    5

    2MR

    R

    I 1

    2

    2MR

    R

    M kütleli ve R yarıçaplı katı disk yada silindir için merkezden geçen dik eksene göre

    eylemsizlik momenti.

  • Ders 16, Soru 2 Eylemsizlik Momenti

    Kütleleri ve yarıçapları aynı iki küreden biri katı alüminyumdan diğeri içi boş altın kabuğundandır. Merkezden geçen eksene göre hangisinin eylemsizlik

    momenti daha büyüktür?

    M & R aynı

    katı oyuk

    (a) Katı alüminyum (b) oyuk altın (c) aynı

  • Ders 16, Soru 2 Eylemsizlik Momenti

    Eylemsizlik momenti kütleye (her iki cisimde de aynı) ve dönme ekseninden olan uzaklığın karesine bağlıdır. Oyuk kürede mesafe daha büyüktür, çünkü kütlesi daha dışarıdadır. Küresel kabuk (altın) daha büyük eylemsizlik

    momentine sahiptir.

    M & R aynı

    IKATI < IKABUK

    katı oyuk

  • Eylemsizlik Momenti...

    Katı cisimler için I ya bazı örnekler :

    M kütleli ve L uzunluklu bir çubuk için

    merkezinden geçen dik eksene göre

    eylemsizlik momenti.

    I 1

    12

    2ML

    L

    M kütleli ve L uzunluklu bir çubuk için bir

    köşesinden geçen eksene göre eylemsizlik

    momenti.

    I 1

    3

    2ML

    L

  • Paralel Eksen Teoremi

    M kütleli bir katı cismin kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momentini IKM, bildiğimizi farz edelim.

    KM’inden geçen eksene paralel ve ona D uzaklığında başka bir eksene göre eylemsizlik momenti: IPARALEL = IKM + MD2

    Eğer IKM biliyorsak KMzinden geçen eksene paralel eksene göre eylemsizlik momentini hesaplamak kolaydır.

  • Paralel Eksen Teoremi:Örnek

    Kütlesi M ve uzunluğu D olan düzgün bir çubuk dikkate alalım. Çubuğun en ucuna göre eylemsizlik momentini bulun. IPARALEL = IKM + MD2

    L

    D=L/2 M

    x CM

    IKM IUÇ

  • Enerji Korunumuna Dair

    Sistemin toplam kinetik enerjisi lab gözlem çerçevesine göre:

    E m v m vLAB 1

    2

    1

    21 1

    22 2

    2ama

    yani

    (v2 için aynısı söz konusu

    = KREL = KKM = PNET,KM = 0

    *

    2KM2

    *

    1KM1

    Vv

    Vv

    V

    V

    *22*112212*222*112

    1

    2

    1

    2

    1vmvmVmmvmvmE KMKMLAB V

    1*

    KM

    2

    1*2

    KM11

    2

    1 V2VVVvvv

  • KM hareketi ile bağlantı

    Önceki slaytte parçacıklar sistemi için bulduğumuz kinetik enerji terimi :

    2KM

    2iiNET MV2

    1um

    2

    1K

    KREL KKM

    2

    KM

    2

    KMTOP MV2

    1ωI

    2

    1K

    KM etrafında dönen katı cisim için birinci terim:

    2

    iiREL um2

    1K Yerine koyarak ii ru

    2ii2

    REL rm2

    1K KM

    2

    ii Irm

  • KM hareketi ile bağlantı...

    Kütle merkezi etrafında dönen katı bir cisim için KM hareket halinde ise:

    2KM

    2KMNET MV2

    1ωI

    2

    1K

    VKM

    Önümüzdeki derste daha sı var...

  • Özet

    Dönme kinematiği

    Bir boyutlu kinematik ile benzeşim

    Dönen sistemin kinetik enerjisi

    Eylemsizlik momenti

    Ayrık parçacıklar

    Sürekli katı cisimler

    Paralel eksen teoremi