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Fliichen mit gleichen Summen der Hauptkriimmungsradien

Von E. R~MBs in l~erlin

Eifl~ehen, die dureh parallel e Normalen aufeinander bezogen sind und ffir die in entspreehenden Punkten die Summen der Hauptkriimmungsradien iibereinstimmen, sind kongruent. Ein analoger Satz gilt, wenn das Produkt der Hauptkrfimmungs- radien der beiden Fl~chen dasselbe ist. Endlich s tammt yon A. D. ALEXANDROW ein Satz, bei dem nur die ]~bereinstimmung einer gewissen Funktion der Summe und des Produktes gefordert Wird.

GrCOTEMEYER 1) hat diesen allgemeinen Satz, der die beiden andern umschlieBt, auf berandete F1/ichen, und zwar zun/Cchst auf Miitzen ausgedehnt, deren Randkurven kongruent sind und durch Schiebung auseinander hervorgehen. Der Beweis stiitzt sich auf eine Integralformel.

Den ersten Tefl, der sich auf die Summe der t tauptkri immungen bezieht, kann man aber auch in einer Art beweisen, dab der enge Zusammenhang mit den infinitesimalen Verbiegungen der Kugel und also mit der Theorie der Minimalfi~chen deutlieh wird.

Seien ~ (u, v) und ~ (u, v) die 0rtsvektoren der zwei Fl/iehen positiver Kriimmung, die durch parallele Normalen ~ufeinander bezogen sind. ~ sei der gemeinsame Nor- malenvektor, also der Ortsvektor der Kugel des Normalenbildes. L, M, N bzw. L, M, N seien die zweiten Fundamentalgr61~en beider Fli~ehen, l, m, n deren Diffe- renzen. Fiir die drit ten Fundament~lgrSl3en e, /, g sell e -= g, / --~ 0 sein, d. h. das System auf der Normalenkugel sei ein Isothermennetz. Dann gelten (vgl. BIA~cCaI- LUKAT, Differentialgeometrie. 2. Aufl. Leipzig und Berlin 1910, w 64) die CoDAzzI- sehen Gleichungen

+ (?t § ((?t'- - ( ? t _-0 Die CnRmTOFFP, Lsehen Symbole sind gebildet fiir das sph~rische Bild; es ist

und dieselben Gleiehungen (1) gelten fiir •, M, N. Sie gelten aber dann aueh fiir die Differenzen l, m, n,

Nun ist die Smnme der Hauptkriimmungsradien auf der ersten Fl~ehe

r l + r ~ = - I_(L+N) e

1) Zur Flachentheorie im Grol3en I : ~Tber die Abbfldung dutch parallele Normalen. Arch. Math. 9~ (ira Druck) rnit ausfiihrlichem Literaturverzeiehnis.

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und analog auf der zweiten

r l + ~2 = - ~ ( L + ~ ) .

Da beide Werte iibereinstimmen sollen, ergibt sich

oder

l-F n = O .

Man sehreibe nun die Gleichungen (1) in l, m, n, setze die Werte der CHRISTOF~P.L- sehen Symbole ein und ersetze n durch - - 1. Man finder, dal] m, l den CAUCHyoRI:Er ~ A ~ s c h e n Gleichungen genfigen miissen :

m u - - Iv : 0 , m v -+ lu ~ 0 .

Aus dem sph~risehen Bild erh~lt man die Koordinaten yon ~ naeh den Formeln

1 ( L S u § ~v l _ ( M S u + N ~ v ) ~U=--e- =--e '

und dieselben Formeln mit L, M, N gelten fiir ~. Je tz t werden die Gleiehungen fiir yon denen ffir $ subtrahiert:

l ( l ~ + m ~ , ) , ~ = ~ , - ~ , = 1 ( m ~ - l ~ ) (2) ~ ) u = ~ u - - ~ U = - - e - - T "

Wieder wurde n dureh - - 1 ersetzt, und es wurde die Abkfirzung

eingeffihrt. Die Differenzenfliiche mit dem Ortsvektor t] entsprieht [ und ~ also auch durch Parallelit~t der Normalen.

Fiir t] besteh~ aber eine wichtige andere Beziehung: t] ist Drehril] einer infinite- simalen Verbiegung der Kugel ~, also eine Minimalfl~ehe. Die Integrabilit~tsbedin- gungen der Gleichungen (2) bestehen aus einer endlichen Bedingung und zwei Diffe- renbialgleiehungen. Die endliehe Bedingung besteht darin, dab der Faktor yon ~u in der ersten Gleiehung (2) und der yon ~v in der zweiten entgegengesetzt gleich sein mtissen. Das kann auch durch die Formel ausgedrfiekt werden

die besagt, daI3 t) eine Minimalfl~ehe isL Die beiden Differentialgleichungen sind gerade die erw~hnten CAUCHY-RI~,MA~sehen Gleichungen fiir m und l. Wir formu- lieren dies als

Satz. Sind ~ und ~ zwei Flgchen, die sich dutch ParallelitSt der ~Vormale~ entsprechen und stimmen in entsprechenden Punkten die Summen der Hauptkri~mmungsradien iiberein, so ist die Di~erenzenfldche t) = ~ -- ~ elne Minimalflgche.

Daraus erhMt man nun leicht den eingangs erwi~hnten E in d e u t i g k e i t s s a t z : Sind ~ und ~ zwei Eifldchen, die durch parallele Normalen au/einander bezogen sind

und stimmen in ents~rechenden Punkten die Summen der Hauptkri2mmungsradien i~berein, so sind die Flgchen ]congruent. Die l~ldchen gehen dutch Bchiebung ausein. ander hervor, die Di~erenzenfl~ehe ist ein Punlr

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Der Beweis beruht darauf, daft es keine ganz im Endlichen gelegene geschlossene Minimalfl/~che, d. i. keinen Drehrift der Vollkugel gibt, also da$ die Vollkugel s tarr ist.

J e t z t k o m m e n wir zmn Beweis des Satzes ffir berandete Fl~chen: Sind ~ und ~ zwei durch parallele Normalen bezogene konvexe 2) Fliichen, stimmen in

entsprechenden Punkten die Summen der Hauptkriimmungsradien iiberein und gehen die Randkurven durch Schiebung auseinander hervor, so sind die Fliichen kongruent. Sie gehen dutch Schiebung auseinander hervor.

Die Ablei tung nach der Bogenl/inge der Ri~nder werde durch Strich bezeichnet. Wegen t)' = ~' - - ~' = 0 folgt aus den Gleichungen (2)

(l~u + mSv) u' + (m~u -- l~v) v' = O, als 0

lu' + mv' = O , -- Iv' + mu ' = O .

Dann sind ant R a n d wegen u'2 + v '2 . 0 die GrSften l, m beide gleich 0 und daher, da sie im Innern den CAUCHY-RIEMAN~schen Gleichungen geniigen, auch im ganzen Innern gleich 0. Mithin s t immen L, M, N mit L, M, N iiberein, und die Fl/~chen ~, sind kongruent .

A n m e r k u n g bei der K o r r e k t u r : Den Zusammenhang mit den infinitesimalen Kugelver- biegungen hat sehon W. S0ss bemerkt: Eindeutige Bestimmung yon Eihyperflachen durch die Summe ihrer Hauptkriimmungsradien. Arch. Math. 8~ 352--354 (1957). l~brigens folgen die an- gegebenen S/itze auch aus der Formel yon BLASCm~.

Eingegangen am 19. 11. 1957

a) BenStigt wird nur, dab das sph~irische Bild ein schlichtes, einfach zusammenhkngendes Gebiet ist.