C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 449–454, 2000Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations

Fonction maximale associée à des opérateurspseudodifférentiels semi-bornés

Frédéric HÉRAU

Département de mathématiques, Université de Nantes, 2, chemin de la Houssinière, B.P. 92208,44322 Nantes cedex 3, FranceCourriel : fherau@math.univ-nantes.fr

(Reçu le 27 janvier 2000, accepté le 31 janvier 2000)

Résumé. On associe au symbole positifb semi-classique d’un opérateur pseudodifférentiel d’ordre2, une « fonction maximale »b reflétant les propriétés de borne inférieure de l’opérateurassocié. En dimension1 d’espace, on montre ainsi que sia est un autre symbole,|a| 6 bentraîne l’inégalité a prioriaw∗aw 6 C(bw∗bw + Λε), où Λε est un terme d’erreur petitau sens semi-classique. En dimension2 d’espace, on obtient aussi une estimation deborne inférieurebw > c inf(b) − CΛε. Ces résultats peuvent être considérés comme desillustrations du « SaK principle » de Fefferman. 2000 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

Maximal function associated to semibounded pseudodifferentialoperators

Abstract. We associate to the semiclassical symbolb> 0 of any pseudodifferential operator of ordertwo a “maximal function” b reflecting the semiboundedness properties of the operator. Indimension1 of space, we show that for an other symbola, |a| 6 b implies the a prioriinequalityaw∗aw 6 C(bw∗bw + Λε), whereΛε is a small error term in the semiclassicalsense. In dimension2 of space, we also get the lower boundbw > c inf(b) − CΛε.These results can be considered as illustrations of Fefferman’s “SaK principle”. 2000Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

In order to study pseudodifferential operators properties, and especially ones concerning inequalities,Fefferman et Phong [3–5] have proposed a strategy of microlocalisation of level I, II and III known as “SaKprinciple” (seealso [8]). In this Note we show, in the spirit of the “SaK principle”, how to associate to anynon-negative semiclassical symbol of order2 a real “maximal function” defined on the phase spaceR2n,n ∈N. This function is defined thanks to the “testing boxes” introduced in [3].

LetR2n be equipped with its canonical symplectic formσ =∑i=1,...,n dξi ∧dxi, and with a symplectic

positive quadratic formΓ = |dX |2. In the following Λ > 1 is a large parameter, and we consider the

Note présentée par Jean-Michel BONY.

S0764-4442(00)00213-5/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 449

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semiclassical metricG = Λ−1Γ. We noteS2(G) the symbols of order2 for G, i.e., satisfying for allX ∈R2n,

∣∣∂`Xa(X)∣∣6C`Λ2−|`|/2 (we omit the dependence onΛ of symbols).

Recall that a canonical transformation is a local diffeomorphism such that for allX , χ′(X) ∈ Sp(n).For δ > 0, we calltesting mapsuch a transformation defined onB, unit ball forΓ, satisfying

∣∣χ(k)(X)∣∣6

CkΛ1/2−|k|δ for k ∈N andX ∈B. Now we can introduce the following definition.

DEFINITION 1. – Let 0 6 b ∈ S2(G), δ > 0 and consider a family “testing maps”T M(δ). We call“maximal function” the functionb defined for allX0 by:

b(X0) = infχ∈TM(δ)χ(0)=X0

supX∈χ(B)

b(X).

With this definition we have the following results:

THEOREM 1. –Let ε ∈ ]0,1/3], n = 1 and 0 6 b ∈ S2(G). Then there is a uniform family of testingmapsTM(δε) of gain δε = ε2 such that ifb is the associated maximal function, then for alla ∈ S2(G)satisfying|a|6 b, there isCε > 0 such that, for allu ∈ S(R),∥∥awu∥∥2 6Cε

(∥∥bwu∥∥2+ Λ4ε‖u‖2

).

Furthermore,Cε (resp. each semi-norm of the testing maps family) depends ona andb (resp. onb) onlyvia a finite number of their semi-norms.

THEOREM 2. –Letε ∈ ]0,1/3],n ∈ {1, 2} and06 b ∈ S2(G). Then there areCε, cε > 0 and a uniformfamily of testing mapsTM(δε) of gainδε = εn such that ifb is the associated maximal function, then forall u ∈ S(Rn), (

bwu,u)

+CεΛ2ε‖u‖2 > cε inf

(b)‖u‖2.

Furthermore,cε,Cε (resp. each semi-norm of the testing maps family) depends onb only via a finite numberof its semi-norms.

1. Introduction

Pour l’étude des opérateurs pseudodifférentiels, et en particulier l’obtention d’inégalités, Fefferman etPhong [3–5] ont proposé une stratégie de microlocalisation de niveaux I, II et III connue sous le nom de« SaK principle » (voir également [8]). On montre dans cette Note comment, dans l’esprit du SaK principle,on peut associer naturellement à tout symbole d’ordre2 semi-classique positif, une « fonction maximale »réelle, définie sur l’espace des phasesR2n, n ∈ N. Cette fonction est définie à l’aide des « testing boxes »introduites dans [3]. Cette Note est articulée de la manière suivante : on commence par quelques définitions,puis on énonce deux théorèmes dans lesquels intervient naturellement la fonction maximale. Enfin on donneune idée des deux preuves.

SoientR2n muni de sa forme symplectique canoniqueσ =∑

i=1,...,n dξi ∧ dxi, ainsi qu’une formequadratique positive symplectiqueΓ = |dX |2. Dans toute la suiteΛ > 1 est un grand paramètre, et onconsidère la métrique semi-classiqueG = Λ−1Γ. On noteraS2(G) les symboles d’ordre2 pourG, i.e.satisfaisant pour toutX ∈R2n,

∣∣∂`Xa(X)∣∣6C`Λ2−|`|/2). On omettra la dépendance enΛ des symboles.

On rappelle qu’une transformation canoniqueχ est un difféomorphisme local tel qu’en tout pointX ,χ′(X) appartienne au groupe symplectiqueSp(n). Pourδ > 0, une testing map(cf. [3]) de gainδ estune transformation canoniqueχ définie sur un voisinage deB, boule unité pourΓ, telle que

∣∣χ(k)(X)∣∣6

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Fonction maximale associée à des opérateurs pseudodifférentiels semi-bornés

CkΛ1/2−|k|δ pourk ∈N etX ∈B. On appelle égalementtesting boxl’image deB par une « testing map »et une famille de « testing maps » satisfaisant uniformément les estimations précédentes sera dite uniforme.On peut alors introduire la notion de fonction maximale associée à un symboleb.

DÉFINITION 1.1. – Soient0 6 b ∈ S2(G), ainsi qu’un réelδ > 0 et une famille de « testing maps »TM(δ). On appelle alors « fonction maximale » la fonctionb définie pour toutX0 par :

b(X0) = infχ∈TM(δ)χ(0)=X0

supX∈χ(B)

b(X).

Exemple1.2. – On peut remarquer que le symboleb peut s’annuler sans que ce soit le cas pour lafonction maximale associée. Considérons par exemple pourk entier naturel le symboleb(x, ξ, t, τ) =Λτ2 + Λ1−kt2k(x2 + ξ2) sur une boule de centre0 et de rayon fixe pourG, et elliptique (i.e. minoréparcΛ2 pourc> 0) sur une boule rayon double. Soit de plus une famille de testing maps ; on vérifie alorsqu’il existec0 > 0 tel que la fonction maximale associéeb vérifie b> c0Λ1/(1+k) pour toutΛ> Λ0 fixé.

2. Résultats

THÉORÈME 1. –Considéronsε ∈ ]0,1/3], n= 1 et 06 b ∈ S2(G). Alors il existe une famille uniformeTM(δε) de testing maps de gainδε = ε2 telle que sib est la fonction maximale associée, alors pour touta ∈ S2(G) satisfaisant|a|6 b, il existeCε > 0 tel que pour toutu∈ S(R), on a∥∥awu∥∥2 6Cε

(∥∥bwu∥∥2+ Λ4ε‖u‖2

).

De plus,Cε (resp. chaque semi-norme de la famille de testing maps) ne dépend dea et b (resp. deb) quepar l’intermédiaire d’un nombre fini de leurs semi-normes.

COROLLAIRE 2.1. –Soient en dimension1 d’espace,a, b ∈ S21,0 tels que|a|6 b. Alors pour toutε > 0,

s ∈ R, il existeCε,s tel que∀u ∈ S(R), ‖awu‖2s 6 Cε,s(‖bwu‖2s + ‖u‖2s+ε), où ‖ · ‖s est la norme deSobolev usuelle.

Ce dernier résultat sera utilisé sous sa forme semi-classique pour l’obtention d’une inégalité deFefferman–Phong précisée :

THÉORÈME 2. –Soientε ∈ ]0,1/3],n ∈ {1, 2} et06 b ∈ S2(G). Alors il existeCε, cε > 0 ainsi qu’unefamille uniformeTM(δε) de « testing maps » de gainδε = εn tels que sib est la fonction maximaleassociée, alors pour toutu∈ S(Rn),(

bwu,u)

+CεΛ2ε‖u‖2 > cε inf

(b)‖u‖2.

De plus,cε,Cε (ainsi que chaque semi-norme de la famille de « testing maps ») ne dépendent deb que parl’intermédiaire d’un nombre fini de ses semi-normes.

Remarques. –(i) On pourra trouver dans [2] une preuveautonomede ce qui est énoncé ici comme un corollaire. Ici en

effet le corollaire 2.1 est une conséquence immédiate – énoncée en métrique classique – du théorème 1, etdu fait que, trivialement, on aitb6 b.

(ii) Le théorème a été conjecturé dans [5] sous une hypothèse plus grossière, à savoirmaxχ(B) |a| 6maxχ(B) b. L’intérêt de notre formulation est en outre de mettre en relief l’intervention de la fonctionmaximaleb et de ne faire intervenir que les propriétésponctuellesdes fonctions.

(iii) Dans [3] les auteurs fournissent une preuve différente du théorème 2 en dimension quelconque. Onrenvoie à la fin de cette Note pour quelques remarques sur les deux approches.

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(iv) Comme il est rappelé dans [3], le théorème 2 fournit une preuve (en dimension1 et 2) du théorèmed’hypoellipticité des carrés de champs de vecteur de Hörmander. On obtient ainsi ici l’hyppoellipticité del’opérateur de symboleb défini dans l’exemple 1.2. En considérant en effetε < 1/(k + 1), le théorème 2implique qu’il existec0, Λ0 tels que siΛ> Λ0, on ait‖bwu‖2 > c0Λ1/(k+1)‖u‖2.

3. Idée de la démonstration du théorème 1

La preuve complète de ce théorème est donnée dans [1]. On donne ici une idée des trois étapes principalesde la preuve – niveau II (microlocalisation), niveau III (torsion) et niveau III (microlocalisation). Une étapepréliminaire – le niveau I de microlocalisation – consisterait à se ramener à un énoncé semi-classique enutilisant un découpage de Littlewood–Paley et un changement d’échelle. Cette étape n’a pas lieu ici puisquel’énoncé est déja semi-classique.

Niveau II (microlocalisation). – On utilise une décomposition dans l’esprit de Calderòn–Zygmund,en découpant l’espace des phasesR2

X suivant la métriqueg = λ−1(X)Γ avecλ(X) = max(1, b(X)1/2,

|b′′(X)|). Cette métrique permet de découper l’espace des phases en trois types de boîtes suivant le terme

prépondérant dans la définition deλ : il existe un rayonr > 0 et une constanteC tels que sur chaque boulede rayonr pour la métriqueg, on ait une des trois situations suivantes :– i) b>C−1λ2 (boîte elliptique) ;– ii) e−1(b ◦ χ−1) = τ2 + V (t), où e est un opérateur elliptique d’ordre0 et χ : X → (t, τ) est un

changement de coordonnées symplectiques adapté à la métriqueg (boîte de convexité) ;– iii) b6C (boîte négligeable).

Il est important de noter que dans le cas de convexité, on n’a pas seulementb ◦ χ = eτ2 + V (t) : lesymbole elliptiquee peut ici être mis en facteur de tout le membre de droite.

NiveauIII ( torsion). – On utilise alors cette décomposition. Les boîtes elliptiques et négligeables neposent pas de problème. En utilisant un théorème d’Egorov avec gain de deux dérivées, on est alors ramenéà prouver l’inégalité du théorème dans le cas où le symboleb est remplacé par un opérateur de Schrödinger∥∥awu∥∥2 6Cε

(∥∥(D2t + V (t)

)u∥∥2

+ Λ4ε‖u‖2), (1)

aveca etV dansS2(|dt|2 + Λ2|dτ |2

). Pour traiter cette inégalité, il est nécéssaire d’effectuer une nouvelle

microlocalisation.

NiveauIII ( microlocalisation). – On associe alors à l’opérateur de Schrödinger une nouvelle « fonctionmaximale » dans l’espaceR2

t,τ . Pourε> 0, on poseW (t) = r(t)−2, avecr(t) l’unique solution pour toutt

der∫ t+rt−r (V (s) + Λ2ε) ds= 1, formule dans laquelle le termeΛ2ε est un terme d’erreur. On appelle alors

« métrique de niveau III » la métrique

gW =(W (t) + τ2

)|dt|2 +

(W (t) + τ2

)−1|dτ |2.

Cette métrique est mal adaptée au calcul microlocal (elle est a priori non tempérée). Cependant elle permetd’avoir des estimations symboliques intéressantes. Plus précisément, il suffit de supposer|a|6 τ2 +W (t)pour obtenir que pour toutα, β ∈ N etβ 6 2, on a|∂αt ∂βτ a(t, τ)|6 Cε,α,β(τ2 +W (t))1+|α|/2−|β|/2. Cesestimations conduisent à∥∥awu∥∥2 6Cε,a,V

(∥∥W (t)u∥∥2

+(W (t)Dtu,Dtu

)+∥∥D2

tu∥∥2

+ ‖u‖2). (2)

Enfin de manièreindépendantedea, on peut s’inspirer de résultats classiques sur les polynômes (voir [9,6] par exemple) pour obtenir – quitte à perdreε dérivées – l’inégalité cruciale suivante sur les opérateurs

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Fonction maximale associée à des opérateurs pseudodifférentiels semi-bornés

pseudodifférentiels

‖Wu‖2 + (WDtu,Dtu) +∥∥D2

tu∥∥2 6Cε,V

(∥∥(D2t + V

)u∥∥2

+ Λ4ε‖u‖2). (3)

Les Inégalités (2) et (3) permettent de conclure à la validité de (1). Le symboleτ2 +W (t) est en fait lafonction maximaleb de l’énoncé après les opérations de niveau II et III (microlocalisation et torsion). On aprouvé le résultat.

4. Idée de la démonstration du théorème 2

La preuve de ce théorème (qu’on donnera ici en dimension2) suit la même progression inspirée du SaKprinciple que le théoreme A. Précisément après des microlocalisations de niveau (I) II et III-torsion, on estde nouveau ramené à l’étude de la borne inférieure d’ un opérateur de Schrödinger en dimension2 d’espacede symbole

b= τ2 + V (t,X), t, τ ∈R, X ∈R2, (4)

où 0 6 V ∈ S2(|dt|2 + Λ−2|dτ |2 + Λ−1|dX |2

). Afin d’étudier la borne inférieure de l’opérateurbw =

D2t + V w correspondant, on va utiliser une propriété hermitienne inspirée de Nourrigat [7].

LEMME 4.1. –Considérons une famille d’opérateurs{V0(t)}t∈R bornés uniformément surH espace deHilbert, et satisfaisant,∀t ∈R, V0(t)> IdH. On suppose qu’il existeC0 > 0 tel que∀I, J intervalles non

vides deR, I ⊂ J , on ait∥∥(∫

J V0(t) dt)−1( ∫

I V0(t) dt)∥∥H 6C0. Alors il existeC1 tel queD2

t +V0 >C1µ,oùµ est défini par:

µ= infI⊂R

{1

|I|2 tel que|I|−2 = inf‖v‖H=1

|I|−1

⟨(∫I

V0(t) dt

)v, v

⟩}. (5)

Fin de la démonstration du théorème2. – Pour tout t réel, on commence par appliquer l’inégalitéde Fefferman–Phong aux opérateursV (t)w , où V est défini en (4) et où la quantification est prise parrapport aux seules variablesX ; les semi-normes étant uniformes ent, il existeC0 > 0 tel que pour toutt réel, V (t)w + C0 > Id. Il s’avère que le théorème 1 implique que la famille d’opérateurs définis parV0(t) = V (t)w + C0 satisfait les hypothèses du lemme 4.1. On obtient ainsiD2

t + V > C1µ−C0 avecµvérifiant (5).

Le théorème 2 en dimension1 implique ensuite qu’il existe trois constantesδ1ε = ε, cε, Cε > 0 et une

famille de transformations canoniquesTM(δ1ε) tels que, pour tout intervalle non videI ⊂R, on ait

1

|I|

(∫I

V (t) dt

)w> cε inf

χ1∈TM(δ1ε)

maxX∈χ1(B)

1

|I|

∫I

V (t,X) dt−C′εΛ2ε.

En utilisant une approximation polynomiale deV , ainis que les inégalités de Bernstein, on peut remplacerla moyenne ent dans le membre de droite par un maximum surI. Comme il est également possible deborner la taille de intervalles|I| ⊂ [Λ−1+ε,Λ−ε], on obtient l’estimation

D2t + V (t)w > cε inf

|I|⊂[Λ−1+ε,Λ−ε]

χ1∈TM(δ1ε)

maxt∈I, |τ |6|I|−1

X∈χ1(B)

(τ2 + V (t,X)

)−C′′ε Λ2ε.

On observe qu’à changement de coordonnées symplectiques affine près, la boîte{(t, τ,X) ∈ R4 | t ∈ I,|τ | 6 |I|−1, X ∈ χ1(B)}, est presque une « testing box » (voir au début de la Note). En « remontant »au niveau II de microlocalisation, on obtient ainsi l’existence du paramètreδε et de la famille detransformationsT M(δε) du théorème 2 et on peut conclure.

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Remarques. –(i) Notre argument pour la dimension2 utilise de manière essentielle les théorèmes 1 et 2 en dimension1

d’espace. En fait la preuve donnée ici s’adapte en dimensionn quelconque et, si on note 1(n) et 2(n)les énoncés correspondant aux théorèmes 1 et 2 en dimensionn, alors on sait prouver l’implication1(n) + 2(n) =⇒ 2(n+ 1). Par ailleurs, on dispose de 2(1) et on sait prouver 1(1). Un résultat intéressantserait de boucler la récurrence en établissant2(n) =⇒ 1(n).

(ii) La preuve de 2(n) proposée par Fefferman et Phong dans [3] utilise un résultat intermédiaire endimensionn. Si pour 0 6 p ∈ S2(G), K � 1 et u ∈ L2(Rn) on posepK(u) = infv∈L2(Rn){K‖u −v‖2 + Re(p(x,D)v, v)}, alors ils démontrent l’inégalité suivante, que l’on note I(n) en dimensionn :(p + q)K(u) 6 Cε(pK(u) + qK(u)) + C′εΛ

ε‖u‖2. Les auteurs effectuent alors une récurrence sur ladimension suivant le schéma I(n) =⇒ 2(n+ 1) =⇒ I(n+ 1), ce qui leur permet de terminer la preuveen dimensionn. L’approche qu’ils proposent est donc fructueuse, mais la lecture de leur preuve est assezardue. Il a donc semblé intéressant de proposer une alternative.

Références bibliographiques

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