Dipl.-Ing. Studiendirektor Peter Schierbock

Formeln und Tabellenfür metalltechnische Berufemit umgestellten Formeln,Qualitätsmanagement und CNC-Technik

21. Auflage

Bestellnummer 55071

service@westermann.dewww.westermann.de

Bildungshaus Schulbuchverlage Westermann Schroedel Diesterweg Schöningh Winklers GmbH, Postfach 33 20, 38023 Braunschweig

ISBN 978-3-427-55071-6

© Copyright 2019: Bildungshaus Schulbuchverlage Westermann Schroedel Diesterweg Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig

Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages.

3Hinweise für den Benutzer

Dieses Werk eignet sich bevorzugt für

– einen schülerzentrierten Unterricht,

– die Vorbereitung der Abschlussprüfungen Teil 1 und Teil 2 bei den Industrie- und Handels-kammern, den Handwerkskammern und Innungen,

– die Hausarbeit,

– die innerbetriebliche Berufsausbildung,

– die Aus- und Weiterbildung.

Insbesondere eignet sich dieses Werk für die täglichen Erfordernisse eines jeden Fachmanns am Arbeitsplatz, in der Werkstatt und im Büro.

4

Umgang mit Formeln leicht gemacht! Der erste Teil dieser Formelsammlung enthält alle wesent-lichen Formeln für die metalltechnischen Berufe. Zu jeder einzelnen Formel gehört eine Zeich-nung. Die Formeln sind nach allen Unbekannten umgestellt. Die Formelzeichen sind erklärt und alle Einheiten mit angegeben. Die Formelsammlung unterscheidet sich von den gebräuchlichen Formelsammlungen dadurch, dass der Lernende selbst überprüfen kann, ob er seine Formel richtig umgestellt hat – er ver-gleicht! Somit wird dem Lernenden die Unsicherheit genommen und der Wille gefördert, zügig zum richtigen Ergebnis zu gelangen. Lehrern und Ausbildern wird ein neues Werk gereicht, das im Unterricht den Lernenden ermög-licht selbst zu üben, zu kontrollieren und nachzuschlagen. Die neuen Einheiten im Messwesen (SI-Einheiten) wurden berücksichtigt. Inhaltsverzeichnis, Sachwortregister und Umrechnungstabellen sichern ein schnelles Auffinden der Formeln und Fachgebiete. Im zweiten Teil finden Sie eine Einführung und Formeln zum Gebiet Qualitätsmanagement. Der dritte Teil dieses Werks enthält Grundlagen und Hilfen zur CNC-Programmierung nach DIN 66 025 wie: geometrische und technologische Grundlagen, Zuordnen der Koordinaten zu den Werkzeugmaschinen, Bezugspunkte, Bemaßungsarten, Programmaufbau, Steuerungsarten, Weg- und Zusatzbedingungen, PAL-Programmiersystem für Drehen und Fräsen sowie PAL-Zyklen. Dieses Buch ist insbesondere auch für Fachleute in Werkstatt und Büro gedacht, denen das Umstellen der Formeln immer schwer gefallen ist. Dieses Werk macht den Umgang mit Formeln leicht. Der Verfasser Peter Schierbock

Vorwort

5Inhalt FormelsammlungTeil I SeiteBeziehungen zwischen Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10–15Prozentrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Winkelarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18–32Dreiecksarten, Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–21Pythagoras, Höhen- und Kathetensatz . . . . . . . . . . . . . . . . 24–25Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Sinus- und Cosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Kreisförmige Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28–31Verschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Gestreckte Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Teilung von Längen, Lochabstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Trennen von Bauteilen, Neigung, Steigung . . . . . . . . . . . . . 35Volumen, Oberflächen, Mantelflächen, Kegel, Pyramiden 36–46Rohlängen, Schmieden, Umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47–48Masse, Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49–50Bewegung, Geschwindigkeit, freier Fall . . . . . . . . . . . . . . . . 51–55Kräfte, Kraftübertragung, Hookesches Gesetz, Feder. . . . 56–59Hebelgesetz, Drehmoment, einseitiger Hebel . . . . . . . . . . 60Winkelhebel, Drehmoment, mehrfacher Hebel . . . . . . . . . 61Auflagerkräfte, Drehmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Drehmomente bei Zahnradtrieben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Haftreibung, Gleitreibung, Rollreibung . . . . . . . . . . . . . . . . 64Reibungskraft, Reibungsmoment, Reibungsleistung . . . . 65Reibung am Ringzapfen, Reibungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . 66Feste Rolle, lose Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Flaschenzug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

SeiteSeilwinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Räderwinde, Hangabtriebskraft, Normalkraft, mechanische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Schiefe Ebene, Keil, Treibkeil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Kräfte an der Schraube, Gewindetrieb. . . . . . . . . . . . . . . . . 72Mechanische Arbeit, Hubarbeit, potenzielle Energie . . . . 73Potenzielle Energie, kinetische Energie, Federenergie . . . 74Mechanische Leistung bei geradliniger Bewegung . . . . . . 75Pumpenleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Mechanische Leistung bei Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . 77Wirkungsgrad, Gesamtwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Zugbeanspruchung, Spannungs-Dehnungs-Diagramm . 79Zugversuch, Spannungs-Dehnungs-Diagramm . . . . . . . . 80Druckbeanspruchung, Festigkeitsberechnung. . . . . . . . . . 81Flächenpressung, Festigkeitsberechnung . . . . . . . . . . . . . 82Scherbeanspruchung, Festigkeitsberechnung. . . . . . . . . . 83Schneiden, Schneidkraft, Scherfläche, Schneidarbeit . . . 84Spannungs-Dehnungs-Kurven, Zugversuch für Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Riementrieb, Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86–88Zahntrieb, Übersetzungen, mehrfacher Zahntrieb . . . . . . 89–91Schneckentrieb, Übersetzungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Achsabstand, Zahnradberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Achsabstand bei Innenverzahnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Zahnstangentrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Zahnradmaße, Zahnradberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96–97Wärmetechnik, Längen-, Volumenänderung, Wärmemenge, -strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98–100

6 SeiteWärmetechnik, Energieverbrauch beim Schmelzen, Verdampfen, Schmieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Schwindung, Luftdruck, Überdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Zustandsänderung von Gasen, Gasgesetze . . . . . . . . . . . . 103–104Gasverbrauch beim Schweißen (außer Acetylen) . . . . . . . 105Acetylen-Verbrauch beim Schweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Hydrostatischer Druck, Schweredruck, Seitendruckkraft. 107Aufdruckkraft, Auftrieb in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 108Kolbendruckkraft, Hydraulik, Wärmemischung . . . . . . . . . 109Kolbenkräfte, Hydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Hydraulische Presse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Kontinuitätsgleichung, Durchflussgeschwindigkeit. . . . . . 112Kolbengeschwindigkeit, Hydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Pumpenleistung, Hydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Druckübersetzer, Hydraulik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Luftverbrauch, Pneumatik, einfach- u. doppeltwirkende Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Kräfte und Leistungen beim Zerspanen, spezifische Schnittkraft beim Drehen, Bohren, Fräsen . . . . . . . . . . . . . 117–120Hauptnutzungszeit beim Langdrehen . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–122Hauptnutzungszeit beim Plandrehen . . . . . . . . . . . . . . . . . 123–127Plandrehen, Rautiefe, Eckenradius, Vorschub . . . . . . . . . . 125Kegeldrehen durch Verstellen des Oberschlittens . . . . . . 128Kegeldrehen durch Verstellen des Reitstocks . . . . . . . . . . 129Hauptnutzungszeit Bohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Hauptnutzungszeit Reiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Hauptnutzungszeit Senken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132Hauptnutzungszeit Gewindeschneiden, -bohren . . . . . . . 133

SeiteBiegebeanspruchung, Festigkeitsberechnungen. . . . . . . . 134Axiale Widerstandsmomente verschiedener Querschnitte 135Hauptnutzungszeit Sägen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Hauptnutzungszeit Fräsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137–139Hauptnutzungszeit Nutenfräsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Hauptnutzungszeit Schleifen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141–144Direktes Teilen mit dem Teilkopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Indirektes Teilen mit dem Teilkopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Differenzialteilen mit dem Teilkopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Wendelnutenfräsen mit dem Teilkopf . . . . . . . . . . . . . . . . . 148–149Tiefziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150–153Erodieren, Funkenerosion, F-Senken, F-Schneiden . . . . . 154Trennen durch Scherschneiden, Ausnutzungsgrad. . . . . . 155Elektrotechnik, Ohm’sches Gesetz, Leiterwiderstand, Leitwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Elektrotechnik, Stromdichte in Leitern, Widerstand und Temperatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Elektrotechnik, Reihenschaltung, Parallelschaltung von Widerständen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Elektrotechnik, Drehstrom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159–160Elektrotechnik, Transformator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Elektrotechnik, elektrische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Elektrotechnik, elektrische Arbeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Teil II Qualitätsmanagement, Qualitätsplanung. . . . . . . . . . . . . . 164–172Normen DIN EN ISO 9000, Zehner-Regel, Einflussgrößen auf Qualität – 7M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Inhalt Formelsammlung

7Inhalt CNC-Technik SeiteQualitätsprüfungsarten, Fehlerwahrscheinlichkeit . . . . . . 166Statistische Prozessregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167, 170Zufällige, systematische Einflüsse, Stichprobentabelle . . 167Strichliste, Histogramm, Klassen, -weite, Häufigkeit . . . . 168Verteilungskurve, Normalverteilung von Stichproben. . . . 168,169Statistische Auswertung von Messungen . . . . . . . . . . . . . . 169Maschinen-, Prozessfähigkeitsindizes . . . . . . . . . . . . . . . . 170Lage und Streuung von Prozessen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Arten von Qualitätsregelkarten (QRK) . . . . . . . . . . . . . . . . . 171, 172

Teil IIICNC-Technik, Programmierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173–218Begriffe zur CNC-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Aufgaben von Steuerung und Maschinebei CNC-Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Vor- und Nachteile von CNC-Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Konstruktive Merkmalevon CNC-Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Wegmesssysteme anCNC-Werkzeugmaschinen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178–180Datenträger, Informationsverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . 180Bezugspunkte, Nullpunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181, 182Bezugsbemaßung, Absolutbemaßung, Kettenbemaßung,Inkrementalbemaßung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Koordinatensysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Maschinenkoordinaten nach DIN 66 217. . . . . . . . . . . . . . . 185Werkstück-Koordinaten-Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

SeiteAchsbezeichnungen beim Drehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Zuordnung der Koordinatensystemezu den einzelnen CNC-Werkzeugmaschinen . . . . . . . . . . . 188Steuerungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189, 190Grundbildzeichen für CNC-Maschinen, Bildzeichen-kombinationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Programmaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192, 193Sonderzeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193PAL-Programmiersystem Drehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194PAL-Programmiersystem Fräsen und Bearbeitungs-zyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195PAL-Zyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196–210PAL-Zyklen bei Drehmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196–198PAL-Zyklen bei Fräsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199-210Zusatzfunktionen, Adressbuchstaben M. . . . . . . . . . . . . . . 211Adressenzuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Kreisprogrammierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213, 214Zusammenhang von Ebenen, Koordinatenund Interpolationsparametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Kreisprogrammierung mit X, Y absolut, I, J inkremental . 215Kreisprogrammierung mit Absoluteingabe von X, Y, I, J . . 216Fräserradius-Korrektur mit G 41 und G 42 . . . . . . . . . . . . . 217Schneidenradius-Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Vorsatzzeichen für dezimale Vielfache und Teile,Griechisches Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Sachwortverzeichnis Teil I, Formelsammlung . . . . . . . . . . 220–227Sachwortverzeichnis Teil II, Qualitätsmanagement. . . . . 228–229Sachwortverzeichnis Teil III, CNC-Technik . . . . . . . . . . . . 230–232

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Benennung/Abbildung Formel/Formelumstellung Formelzeichen Einheiten

Gleichseitiges (α, β, γ = 60°)Dreieck l = 2 · √

___

h2 _ 3 l =

2 _ 3 · √__

3 · h D = 2 · d

h = 1 _ 2 · √__

3 · l D = 1 _ 3 h + 1 _ 3 h +

2 _ 3 h

d = 1 _ 3 h + 1 _ 3 h D =

2 _ 3 · √__

3 · l

d = 1 _ 3 · √__

3 · l

A = 1 _ 4 · √__

3 · l2 A = l · h _ 2

Im gleichseitigen Dreiecksind alle drei Seitenlängen lgleich lang.Alle drei Innenwinkel sindgleich groß; sie betragen 60°.l Seitenlängeh Höhe, Dreieckshöhed InkreisdurchmesserD UmkreisdurchmesserS Schwerpunkt des DreiecksA Flächeninhalt des

Dreiecks

√__

3 = 1,732

mm, cm, mmm, cm, mmm, cm, mmm, cm, mmm, cm, mmm2, cm2, m2

Gleichschenkliges Dreieck(α = β)

h = √_____

l 1 2 – l2 _ 4 l1 = √

______

l2 _ 4 + h

2 A = l · h _ 2

l = 2 √______

l 1 2 – h2 l1 = h _ sin α 

l1 = l _

2 · sin γ

_ 2

α, β, γ Winkelh Höhel1 Seitenlängel LängeA Flächeninhalt des

Dreiecks

in ° Gradmm, cm, mmm, cm, mmm, cm, mmm2, cm2, m2

Dreiecksarten, gleichseitiges, gleichschenkliges Dreieck

h = sin α · l1

l = 2 · l1 · sin γ

_ 2

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Benennung/Abbildung Formel/Formelumstellung Formelzeichen Einheiten

PyramidenstumpfV = ( A1 + A2 + √

______ A1 · A2 ) · h _ 3

h = 3 · V __ A1 + A2 + √

______ A1 · A2

A1 = b1 · l1

b1 = A1 _ l1

l1 = A1 _ b1

A2 = b2 · l2

b2 = A2 _ l2

l2 = A2 _ b2

hS = √_____________________

h2 + 1 _ 4 · ( l 1 2 – 2 · l1 · l2 + l 2 2 )

h = √___________

h S 2 – ( l1 – l2 _ 2 ) 2

A1 = 1 _ 2 · ( 6 · V _ h  – A2 ) – 1 _ 2 · √

_______________

12 · V · A2 _ h  – 3 · A 2

2

A2 = 1 _ 2 · ( 6 · V _ h  – A1 ) – 1 _ 2 · √

_______________

12 · V · A1 _ h  – 3 · A 1

2

V VolumenA1 GrundflächeA2 Deckflächel1 Seitenlänge, gr.l2 Seitenlänge, kl.b1 Breite, gr.b2 Breite, kl.h HöhehS Mantelhöhe

mm3, cm3, m3

mm2, cm2, m2

mm2, cm2, m2

mm, cm, mmm, cm, mmm, cm, mmm, cm, mmm, cm, mmm, cm, m

Volumen, Oberfläche

71Schiefe Ebene, Keil, Treibkeil

Benennung/Abbildung Formel/Formelumstellung Formelzeichen Einheiten

Schiefe Ebene F1 · s1 = F2 · h

F1 = F2 · h _ s1

F2 = F1 · s1 _ h 

F1 = F2 · sin α

F2 = F1 _

sin α 

W2 = F2 · h

F2 = FG

s1 = F2 · h _ F1

h = F1 · s1 _ F2

sin α = F1 _ F2

F2 = W2 _ h  ; h =

W2 _ F2

F1 aufgewendete Krafts1 Weg der Kraft F1F2 HebekraftFG Gewichtskrafth Hubhöheα NeigungswinkelW2 abgegebene Arbeit*

Nmm, cm, mNNmm, cm, m° (Grad)N · m = J

Keil, Treibkeil F · s = FG · h

F = FG · h _ s 

s = FG · h _ F 

FG = F · s _ h 

h = F · s _ FG

W1 = W2W1 = F · sW2 = FG · h

F = FG · tan β

FG = F _ tan β 

tan β = F _ FG

tan β = h _ s 

h = tan β · s

s = h _ tan β 

F aufgewendete Krafts Weg der Kraft F,

EintreibwegFG Lasth Lastweg, Hubwegβ NeigungswinkelW1 aufgewendete ArbeitW2 abgegebene Arbeit *

Nmm

Nmm° (Grad)N · mmN · mm1 000 N · mm =1 N · m = 1 J = 1 W · s

* Reibung wird vernachlässigt. Somit istW1 = W2; d. h., die aufgewendete Arbeit istgleich der abgegebenen Arbeit.

72 Kräfte an der Schraube, Gewindetrieb

Benennung/Abbildung Formel/Formelumstellung Formelzeichen Einheiten

Kräfte an der Schraube FH · 2 · r · π = F · P *

FH = F · P _ 2 · r · π

r = F · P _ 2 · FH · π

F = FH · 2 · r · π _ P 

P = FH · 2 · r · π _ F 

W1 = W2

W1 = FH · 2 · r · π

W2 = F · P

FH Handkraftr Radius, HebellängeF SchraubenkraftP GewindesteigungW1 aufgewendete ArbeitW2 abgegebene Arbeit

NmmNmmN · mmN · mm1 000 N · mm =1 N · m = 1 J = 1 W · s

Reibung wird vernachlässigt. Damit gilt: Dieaufgewendete Arbeit W1 ist gleich der abge-gebenen Arbeit W2.

Vorschubgeschwindigkeit beim Gewindetrieb

vf = P · n

P = vf _ n 

n = vf _ P 

vf Vorschub-geschwindigkeit

P Steigungn Umdrehungsfrequenz

(Drehzahl) der Kugel-gewindespindel

mm _ min

mmmin–1

* Die Berechnung erfolgt immer für eine ganze Umdrehung (360°), z. B. der Schraube.

95

Benennung/Abbildung Formel/Formelumstellung Formelzeichen Einheiten

Zahnstangentrieb Zahnstangenweg in Abähngigkeit vom Drehwinkel α:

sα = m · z · π · α _ 360° m =

sα · 360° _ z · π · α 

z = sα · 360° _ m · π · α  α =

sα · 360° _ m · z · π

vf = n · z · p n = vf _ z · p  ; z =

vf _ n · p 

p = vf _ n · z 

p = π · m m = p

_ π

Zahnstangenweg bei einer Umdrehung:

s = z · m · π z = s _ m · π

m = s _ z · π

vf = d · π · n d = vf _ π · n  n =

vf _ π · d 

sα Zahnstangenweg in Abhängigkeit vom Drehwinkel

m Modulz Zähnezahl des

Zahnradesα Drehwinkel des

Zahnradesvf Vorschub-

geschwindigkeitn Umdrehungsfrequenz

(Drehzahl) des Zahnrades

p Teilungs Zahnstangenwegd Teilkreisdurchmesser

des Zahnrades

mm

mm

in ° (Grad)

mm _ min

min–1

mmmmmm

Zahnstangentrieb

130

Benennung/Abbildung Formel/Formelumstellung Formelzeichen Einheiten

Hauptnutzungszeit beim BohrenDurchgangs-bohrung

Grund-lochbohrung

L = ls + la + l + lu

L = ls + la + l

th = L · i _ f · n 

L = th · f · n _ i 

f = L · i _ th · n 

vc = d · π · 2 _ 1 000

n = vc · 1 000 _ d · π

vf = f · n

für Sacklöcher, Grundloch-bohrungen

ls = d _

2 · tan σ _ 2

i = th · f · n _ L 

n = L · i _ th · f 

(zugeschnittene Größengleichung)

d = vc · 1 000 _ π · n 

Bohrerspitzenlänge,Anschnitt ls in mm

σ ls80° 0,6 · d

118° 0,3 · d130° 0,23 · d140° 0,18 · d

L Bohrwegσ Spitzenwinkel des

Bohrersla Anlaufl Bohrungstiefelu Überlauf bei Durch-

gangwsbohrungenth Hauptnutzungszeitf Vorschub je

Umdrehungn Umdrehungsfrequenz

(Drehzahl)i Anzahl der Bohrungenvc Schnittgeschwindigkeitd Bohrerdurchmesservf Vorschub-

geschwindigkeitls Anschnittweg

mmin ° (Grad)

mmmmmm

minmm

min–1, 1 _ min

m _ min

mm

mm _ min , mm · min–1

mm

Hauptnutzungszeit Bohren

f = vf _ n  n =

vf _ f 

σ = 118°ls = 0,3 · d

140

Benennung/Abbildung Formel/Formelumstellung Formelzeichen Einheiten

Hauptnutzungszeit beim Nuten-Fräsen (einseitig offen)

Geschlossene Nut

L = l + lu – d _ 2

L = l – d

i = la + t _ ap

th = L · i _ vf

vf = f · n

th = L · i _ f · n 

i = th · f · n _ L 

n = L · i _ th · f 

th = L · i _ fz · z · n

 

vf = fz · z · n

n = vc · 1 000 _ π · d 

für einseitig offene Nut

für geschlossene Nut

L = th · f · n _ i 

f = L · i _ th · n 

vc = d · π · n _ 1 000

(zugeschnittene Größengleichung)

ap Spanungstiefe, Schnitttiefe

L Fräsweg, Vorschubwegl Länge der Nutla Anlaufweglu Überlaufwegth Hauptnutzungszeiti Anzahl der Schnittevf Vorschub-

geschwindigkeitf Vorschub je

Fräserumdrehungn Fräserdrehzahlfz Vorschub je Fräserzahnz Zähnezahl des Fräserst Nuttiefe

vc Schnittgeschwindigkeit

d Durchmesser des Fräsers

mm

mmmmmmmmmin

mm _ min

mm

min–1, 1 _ min mm

mm

m _ min

mm

Hauptnutzungszeit Nutenfräsen

169Qualitätsmanagement, Statistische Auswertung

Kennwerte Normalverteilung von Stichproben Statistische Auswertung von Messungen

Normalverteilung in Stichproben

Zwischen: _ x + 1 s und

_ x – 1 s liegen → 68,26 %

_ x + 2 s und

_ x – 2 s liegen → 95,44 %

_ x + 3 s und

_ x – 3 s liegen → 99,73 %

Der Mittelwert _

x liegt auf der Mitte der Kurve und ist ein Maß für die Lage der Verteilung.Die Standardabweichung s und die Spannweite Rsind ein Maß für die Streuung, die Breite der Kurve.Die Differenz zwischen dem größten und dem kleins-ten Wert einer Stichprobe ist die Spannweite R. R = xmax – xminDie Häufigkeitskurve wird aus

_ x und s ermittelt; sind

die Merkmalswerte normal verteilt, entsteht bei der Häufigkeitsverteilung eine Gauß’sche2) Glockenkur-ve. Die Fläche unter der Gauß’schen Kurve ist das Maß für die Gesamtheit aller Teile eines Prüfloses.Prozentsätze für Teilmengen:Die Teilmengen entstehen durch Bereiche der Stan-dardabweichungen s sowie dem

_ x , dem Arithmeti-

schen Mittelwert (siehe Diagramm).Wird nicht auf eine Stichprobe Bezug genommen, sondern auf die Grundgesamtheit, so wird der Wert _ x mit µ und der Wert s mit σ bezeichnet. vgl. S. 170

1) Medianwert bei ungerader Anzahl der Einzelwerte: z. B. x1, x2, x3, x4, x5

x~ = x3 gerade Anzahl der Einzelwerte: z. B. x1, x2, x3, x4, x5, x6

x~ = (x3, x4) : 22) Gauß, deutscher Mathematiker und Astronom 1777–1855

k ≈ √_

n  w ≈ R _ K 

hj = nj

_ n  · 100 %

R = xmax – xmin

_ x = x1 + x2 + … + xn __ n 

s = √______

∑(xi – _ x )2 _ n – 1

s2 = ∑(xi – _ x )2 _ n –1

Standardabweichungnäherungsweise

s = 0,4 · _ R

_ R = R1 + R2 + … + Rm __ m 

x= = _ x 1 +

_ x 2 + … + _ x m __ m 

_ s = s1 + s2 + … + sm __ m 

Kennwerte zur Auswertungder Strichlisten Anzahl der Einzelwertek Anzahl der Klassenw KlassenweiteR Spannweitenj absolute Häufigkeithj relative Häufigkeit vgl. S. 168Kennwerte der Stichproben Anzahl der Einzelwerte

(Stichprobenumfang)xi Wert des messbaren Merkmals,

z. B. Einzelwertxmax größter Messwertxmin kleinster Messwert _ x Arithmetischer Mittelwert

x~ Medianwert (Zentralwert)1), mittlerer Wert der nach Größe geordneten Messwerte

s, σ StandardabweichungR Spannweiteg(x) WahrscheinlichkeitsdichteKennwerte bei Auswertungmehrerer Stichprobenm Anzahl der Stichproben __

R mittlere Spannweitex= Gesamtmittelwert _ s Mittelwert der Standard-

abweichungenKennwerte der Grundgesamtheitµ̂ geschätzter Prozessmittelwertσ̂ geschätzte Prozessstandard-

abweichungFortsetzung S. 170

170 Qualitätsmanagement, Maschinen- und Prozessfähigkeitsindizes

Maschinenfähigkeits- und Prozessfähigkeitsindizes

Ermitteln der kritischenFähigkeitsindizes

Die Maschinenfähigkeit ist ein Maß für die kurzzei-tige Fertigungssteuerung, die größtenteils von der Maschine ausgeht. Aus dem nebenstehenden Bild ist zu entnehmen: 2 · σ ≙ 68,25 %, 2 · 3 σ ≙ 95,44 % der Messwerte. Mithilfe der Tabelle1) ist σ̂ (sprich Sigma Dach) zu berechnen. σ ̂geschätzte Standardabweichung σ̂ =

__ R _ d2 =

__ R mittlere Spannweite

d2 Faktor (s. Tabelle)1)

Stichpro-benumfang

Faktor d2 Die Standardabwei-

chung s ist schwer zu berechnen. Deshalb wird σ̂ gerechnet.

σ̂ = __

R _ d2

2 1,1283 1,6934 2,0595 2,3266 2,5437 2,704

Nachweise:Maschinenfähigkeitsindex

cm = T _ 6 · σ̂  ≥ 1,33 cmk =

Zkrit _ 3 · σ̂  ≥ 1,0

Prozessfähigkeitsindex

cp = T _ 6 · σ̂  ≥ 1,33 cpk =

Zkrit _ 3 · σ̂  ≥ 1,0

Zkrit = OTG – x= Zkrit = x

= – UTG

Der kritische Wert wird immer aus dem kleineren er beiden Werte gebildet.

Qualitätssicherung in der Produktiondurch Statistische ProrzessregelungMFU = MaschinenfähigkeitsuntersuchungMFU = Bewertung einer Maschine, ob diese im Rahmen

der vorgegebenen Grenzwerte fertigen kann. Die Fähigkeitskennzahl wird mittels Formel berech-net. Ist der Fähigkeitsindex cm ≥ 1,33 und cmk ≥ 1,0 bedeutet dies 99,994 % aller Merkmalswerte lie-gen innerhalb der Grenzwerte. Die Maschinenfä-higkeit ist nachgewiesen.

PFU = ProzessfähigkeitsuntersuchungPFU = Bemerkungen des Fertigungsprozesses (Lang-

zeitfähigkeit) ob dieser im Rahmen der normalen Schwankungen die festgelegten Grenzwerte er-zielt. Die Prozessfähigkeitszahl auch -index ge-nannt, wird mittels Formel berechnet. Ergibt der Prozessfähigkeitsindex cp ≥ 1,33 und der cpk ≥ 1,0 ist die Prozessfähigkeit nachgewiesen.

cm MaschinenfähigkeitsindexT Toleranzσ̂ geschätzte Standardabweichungcmk kritischer Maschinenfähigkeitsindexcp Prozessfähigkeitsindexcpk kritischer ProzessfähigkeitsindexZkrit kleinster Abstand zwischen Gesamtmittelwert x

= und Toleranzgrenze

µ̂ geschätzter MittelwertOTG obere ToleranzgrenzeUTG untere Toleranzgrenzex= Gesamtmittelwert

1) Der Faktor d2 ist abhängig vom Stichprobenumfang n tabelliert und mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgesichert.

197CNC-Technik PAL-Zyklen bei Drehmaschinen

G84 Bohrzyklus

NC-Satz mit verpflichtenden Adressen und optimalen Adressen:G84 ZI/ZA [D] [V] [VB] [DR] [DM] [R] [DA] [U] [O] [FR] [E] [F] [S] [M]

Verpflichtende Adressen:ZI/ZA Tiefe der Bohrung Z inkremental zur aktuellen Werkzeugposition ZA absolut, bezogen auf das Werkstückkoordinatensystem

Optimale Adressen [...]:D Zustelltiefe: keine Eingabe von D, Zustellung bis EndbohrtiefeV SicherheitsabstandVB Sicherheitsabstand vor dem BohrgrundDR Reduzierwert der Zustelltiefe jeweils bei der zweiten, dritten, ... und folgender BohrtiefeDM MindestzustellungR RückzugsabstandDA AnbohrtiefeU Verweildauer am BohrungsgrundO Wahl der VerweildauerO1 Verweilzeit in SekundenO2 Verweildauer in UmdrehungenFR Eilgangreduzierung in%E AnbohrvorschubF VorschubS Drehfrequenz/SchnittgeschwindigkeitM Spindeldrehrichtung/Kühlmittelschaltung

N10 G90N15 G84 Z-123 D30 V8 VB1,5 DR6 U0,6

BeispielNC-Satz

Bearbeitungsbeispiel