Formulaire de mécanique des milieux continus

Cinématique :

Déplacement : φ, ξ

x(t) = φ(X,T ) = X + ξ(X, t)

Gradient de déformation : F = ∇φ = 1 +∇ξTransporte un vecteur dM = F .dM0

Jacobien : J = det(F)

Transporte une surface orientée a = J tF−1.A

Transporte un volume |Ω| = J |Ω0|Tenseur des dilatiations : C = tF .F ' 1 +∇ξ + t∇ξ

Tenseur symétrique, dont les trois directions principales sont orthongonales, restentorthogonales à la n du déplacement et subissent un allongement λK .

Transporte un produit scalaire v.w = V .C.W

Tenseur des déformations de Green-Lagrange : e = 12

(C − 1

)Transporte une diérence de produit scalaire dM.dM

′ − dM0.dM′0 = 2 dM0.e.dM

′0

Tenseur des déformations linéarisé : ε = 12

(∇ξ + t∇ξ

)Tenseur taux de déformation : d = 1

2

(∇U + t∇U

)=(F .F−1

)sym

La vitesse U est reliée au déplacement dξ = U.dt

Variation temporelle du produit scalaire ddt

(dM.dM

′)

= 2 dM0.d.dM′0

Variation temporelle du volume ddt

(|Ω|) = |Ω0| div (U)

Dynamique :

Tenseur des contraintes de Cauchy σ (x, t) = 1JF .S.tF

−1

Dans le milieu, au travers d'une surface orientée par n, le milieu + exerce sur lemilieu − une contrainte (ie une force surfacique) T (x, n, t) = σ (x, t) .n

σ = tσ

ργ = ρF + divσ

[[U ]]⊗ ρ (U −W ) .nΣ = [[σ]].nΣ

T ∂Ω = σ.n∂Ω

Principe des puissances virtuelles :

P(i) (U) = −´σ :t gradU dΩ−

´Σ

[[U ]].σΣ.nΣdΩ

P(e) (U) =´ρF .U dΩ +

´∂ΩT .U da

A (U) =´ργ.U dΩ +

´U.[[U ]]⊗ ρ (U −W ) .nΣ da

1

Pour un mouvement rigidiant P(i) (U) = 0

A (U) = P(e) (U) + P(i) (U)

Critère de résistance (p165 - 227)

• Utilisation :Pour des critères de résistance ne portant que sur le déviateur descontraintes, on utilise des champs virtuels tels que divU = 0 et sanssaut de vitesse normale sur les surfaces de discontinutés.On a alors, à l'équilibre, (l'égalité σ : d = σ : tgradU provient de la

symétrie de σ)

P(e) (U) = −P(i) (U) =´σ : d dΩ ≤ Plimite (U) =

´sups

(s : d

)dΩ

• Von Mises : 12s : s− k2 ≤ 0⇒ supss : d = k

√2d : d

• Tresca : sup (σK − σL − σ0) ≤ 0⇒ supss : d = σ02

(|dI |+ |dII |+ |dIII |)

Déviateur des contraintes s = σ − 13Trσ 1.

Tenseur des contraintes de Piola S = J F−1.σ.tF−1

Transporte la puissance des eorts intérieurs en conguration initiale.σ : d dΩ = S :e dΩ0

Inégalité de Clausius-Duhem −ρ0∂ψ∂e

: e+ S : e ≥ 0

Dans le cas élastique, S = ρ0∂ψ∂e

+ ηi∂ϕi∂e, où ϕi

(e)

= 0 donne les contraites cinéma-

tiques (pour l'isochorie, ϕ =

√det

(1 + 2e

)− 1⇒ ∂ϕ

∂e= JC−1)

Energie libre ψ = e− TsPour un milieu élastique (ie sans mémoire de ses déformations) et linéaire,

ρ0ψ = 12e.C.e− (T − T0)κ.e+ σ0.e+ ρ0eT (T ).

Pour un milieu élastique, linéaire et isotrope,

ρ0ψ = λ2Tr2e+ µTre2 − 3κα(T − T0)Tre− p0Tre+ ρ0eT (T ).

S =

λTre 1 + 2µe− 3κα(T − T0)1(−p01 si contraintes internes (incompressibilite...)

)e = 1+ν

ES − ν

ETrS 1 + α(T − T0)1

ν = λ2(λ+µ)

: coecient de poisson. ν ∈[−1, 1

2

]avec ν = 1

2⇔ incompressible

E = µ3λ+2µλ+µ

: module d'Young.

λ = E ν(1+ν)(1+2ν)

, µ = E2(1+ν)

: coecient de Lamé. ⇒ λ+ 2µ = E(1−ν)(1+ν)(1−2ν)

κ = 3λ+2µ3

= E λ+µ3µ

: module de compressibilité.

Tenseur de Boussinesq P = Jσ.tF = F .S.

Transporte les eorts intérieurs en conguration intiale :´σ : t∇UdΩ =

´P :

t∇UdΩ0

Transport des contraintes en conguration initiale : P .NdA = Tda

Cas des petites transformations :

2 Daniel Suchet

Hypothèses :

• Le milieu continu est en petites transformations : |∇ξ| 1

• L'échauement est petit : α|T − T0| 1

• En tout point de la frontière où le chargement est imposé, le champ de déplace-ment est susament petit pour eectuer un développement limité : T di (X +ξ, n, t) da = T di (X, N, t) dA+ ∂T

∂x.ξ dA+ ∂T

∂∇ξ .∇ξ.

Linéarisation des déformations e ' ε⇒ J = detT ' Trε

Linéarisation du comportement

Tenseur de Piola : S ' σ0 − (T − T0)κ+ C : ε

Tenseur de Boussinesq : P = σ0 +∇ξ.σ0−(T −T0)κ+C : ε = σ0 +∇ξ.σ0−3κα(T −T0)1 + λTrε1 + 2µε dans le cas élastique isotrope.

Si le tenseur de Piola est au plus du premier ordre par rapport à∇ξ et à l'échauement,

alors σ ' S ' P .

Cas des petites perturbations autour d'un état naturel :

Hypothèses :

• Le milieu continu est en petites transformations : |∇ξ| 1

• L'échauement est petit : α|T − T0| 1

• En tout point de la frontière où le chargement est imposé, le champ de déplace-ment est susament petit pour identier le chargement surfacique à sa partieprincipale : T di (X + ξ, n, t) da = T di (X, N, t) dA

• On prend σ0 = 0 ⇒on identie σ ' S ' P =

• L'évolution est quasistatique ⇒ les forces d'inerties sont négligeables devant leseorts élastiques.

Linéarisation comme précédement.

Champs statiquement et cinématiquement admissibles

ξ′ est CA ssi ξ′ ∈ξ′, C1pmet ξ′i = ξdi

σ′ est SA ssi σ′ ∈

σ′C1pm, symetrique et equilibre

.

Formulation en déplacement :

• Energie libre : W (ξ′) =´ (

λ2

[trε′

]2+ µε′ : ε′ − 3κα∆T trε′

)dΩ0

• Potentiel des eorts extérieurs : Φ (ξ′) =´ρ0F .ξ

′dΩ0 + Σ´STi

T di ξ′idA

Formulation en contrainte :

• Energie complémentaire :

W ∗(σ′)

=´ [

1+ν2Eσ′ : σ′ − ν

2E

(trσ′

)2+ α∆T trσ′ + 3E

2(1−2ν)α2∆T 2

]dΩ0

• Potentiel des déplacement imposés : Φ∗(σ′)

= Σ´Sξiξdi ei.σ

′.N dA

Résultats:

Encadrement énergétique

−W ∗(σ′)

+ Φ∗(σ′)≤ −W ∗

(σ)

+ Φ∗(σ)

= W (ξ)− Φ (ξ) ≤W (ξ′)− Φ (ξ′)

Formule de Clapeyron si isotherme, W ∗(σ)

= W (ξ) = 12

[Φ∗(σ)

+ Φ (ξ)]

3 Daniel Suchet