formulario - ceneval.netceneval.net/guias-ceneval/EXAMEN CENEVAL INGENIERÍA ELÉCTRICA... · Valor futuro pago único ... Factor de pago continuo RC: Factor de recuperación de capital

EXAMEN GENERAL PARA EL EGRESO DE LA LICENCIATURA

EN INGENIERA ELCTRICA

Direccin del rea de los EGEL

ENERO 2017

formulario

Guia del Examen Ceneval 2017 en www.ceneval.net

Temas del examen ceneval 2017 y 2018 a: [email protected]

Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarn el Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniera Elctrica (EGEL-IELEC) y est vigente a partir de agosto de 2015. El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido est sujeto a revisiones peridicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y crticas que hagan los miembros de las comunidades acadmicas de instituciones de educacin superior de nuestro pas, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Tcnico del examen. El Ceneval y el Consejo Tcnico del EGEL-IELEC agradecern todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Srvase dirigirlos a:

Direccin del rea de los EGEL Direccin del Programa de Evaluacin de Egreso (EGEL) en Diseo, Ingenieras y

Arquitectura Centro Nacional de Evaluacin para la Educacin Superior, A. C.

Av. Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 37

Col. San ngel, Del. lvaro Obregn,

C.P. 01000, Mxico, CDMX.

Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5103 http://www.ceneval.edu.mx

Email: [email protected] D. R. 2017 Centro Nacional de Evaluacin para la Educacin Superior, A. C. (Ceneval) Sptima edicin



http://www.ceneval.edu.mx/mailto:[email protected]

Directorio

Direccin General Dr. en Qum. Rafael Lpez Castaares

Direccin del rea de los Exmenes

Generales para el Egreso de la Licenciatura (DAEGEL) M. en Ed. Luz Mara Sols Segura

Encargado del Despacho de la Direccin del Programa de Evaluacin de Egreso

(EGEL) en Diseo, Ingenieras y Arquitectura Ing. Eduardo Ramrez Daz

Coordinacin del Examen General para el Egreso

de la Licenciatura en Ingeniera Elctrica (EGEL-IELEC) Ing. Elon Alarcn Maldonado



Consejo Tcnico

Representantes de instituciones educativas

Ing. Beatriz Aurora Garca Cristiano Instituto Tecnolgico de Mrida

M. en I. Luis Cisneros Villalobos

Universidad Autnoma del Estado de Morelos

Dr. Joaqun Cortez Gonzlez Instituto Tecnolgico de Sonora

Ing. Manuel Barrueta Garca

Universidad Jurez Autnoma de Tabasco

M. en I. Abel Eduardo Quezada Carren

Universidad Autnoma de Ciudad Jurez

Representantes de Colegios y Organizaciones gremiales

Ing. Hernn Lpez Cruz Colegio de Ingenieros Mecnicos y Electricistas, A.C.



Contenido

Operacin y mantenimiento de equipos y sistemas elctricos .......................................... 9

Inversin inicial ............................................................................................................................. 9

Tasa mnima aceptable de rendimiento ......................................................................................... 9

Tasa mnima aceptable de rendimiento mixta ............................................................................... 9

Valor presente neto (con TMAR) ................................................................................................. 10

Valor presente neto (con anualidad e inters) ............................................................................. 10

Tasa interna de retorno ............................................................................................................... 10

Periodo de recuperacin de la inversin ..................................................................................... 11

Punto de equilibrio en ventas ...................................................................................................... 11

Costo beneficio ........................................................................................................................... 11

Ingeniera econmica .................................................................................................................. 12 Inters simple .................................................................................................................................................12 Inters compuesto .........................................................................................................................................12 Valor futuro pago nico ..................................................................................................................................12 Valor presente pago nico .............................................................................................................................12 Cantidad compuesta serie uniforme ..............................................................................................................12 Fondo de amortizacin ..................................................................................................................................13 Recuperacin del capital de una serie uniforme ............................................................................................13 Valor presente de una serie uniforme ............................................................................................................13 Series de gradiente ........................................................................................................................................13 Tasa efectiva de inters anual .......................................................................................................................13 Capitalizacin continua ..................................................................................................................................13 Definicin de e .............................................................................................................................................14 Pagos continuos.............................................................................................................................................14 Tasa mixta ......................................................................................................................................................14

Mtodos de anlisis de inversiones ............................................................................................. 15 Valor presente ................................................................................................................................................15 Valor futuro .....................................................................................................................................................15 Costo anual uniforme equivalente (CAUE) ....................................................................................................15 Serie uniforme equivalente ............................................................................................................................15 Recuperacin de capital ................................................................................................................................15 Retiro y reemplazo .........................................................................................................................................15 Tasa interna de retorno ..................................................................................................................................15 Periodo de recuperacin ................................................................................................................................15 Razn costo-beneficio ...................................................................................................................................15

Operacin y mantenimiento de equipos y sistemas elctricos ........................................ 17 Costos de mantenimiento ..............................................................................................................................17 Costo total ......................................................................................................................................................17 Costo del consumo total anual .......................................................................................................................17 Costos mantenimiento preventivo ..................................................................................................................18 Indicadores control de trabajo ........................................................................................................................19 Efectividad del sistema ..................................................................................................................................21 Confiabilidad ..................................................................................................................................................23 Mtodos de mantenimiento vs. costo ............................................................................................................24 Sistemas en serie...........................................................................................................................................24 Sistemas en paralelo .....................................................................................................................................24



Restablecimiento de la confiabilidad .............................................................................................................25 Probabilidad de falla ......................................................................................................................................25 Mantenimiento productivo total ......................................................................................................................25 Disponibilidad intrnseca o de explotacin .....................................................................................................26 Tiempo medio de parada por averas ............................................................................................................26 Tiempo medio entre averas MTBF (tiempo de buen funcionamiento) .........................................................26 Tiempo de funcionamiento medio ..................................................................................................................26 Tasa de fallo ...................................................................................................................................................26 Trabajo en mantenimiento correctivo.............................................................................................................27 Consumo de los aparatos electrodomsticos ................................................................................................27

Formulario general ............................................................................................................... 28

Matemticas................................................................................................................................ 28 lgebra ...........................................................................................................................................................28 lgebra lineal .................................................................................................................................................34 Clculo diferencial ..........................................................................................................................................36 Clculo integral ..............................................................................................................................................41 Geometra ......................................................................................................................................................51 Geometra analtica plana ..............................................................................................................................53 Geometra analtica del espacio ....................................................................................................................55 Trigonometra .................................................................................................................................................59 Nmeros complejos .......................................................................................................................................65 Anlisis vectorial ............................................................................................................................................67 Fracciones racionales ....................................................................................................................................74 Series de Fourier............................................................................................................................................75 Transformada de Fourier ...............................................................................................................................79 Transformada de Laplace ..............................................................................................................................83 Probabilidad y estadstica ..............................................................................................................................88

Fsica .......................................................................................................................................... 94 Mecnica ........................................................................................................................................................94 Electricidad y magnetismo ...........................................................................................................................103

Qumica .....................................................................................................................................109

Teora de circuitos elctricos ......................................................................................................111 Impedancia ...................................................................................................................................................111 Admitancia ...................................................................................................................................................112 Reactancia ...................................................................................................................................................113 Resonancia ..................................................................................................................................................115 Cargas reactivas y factor de potencia .........................................................................................................117 Potencia compleja ........................................................................................................................................119 Potencia trifsica ..........................................................................................................................................120

Sistemas elctricos de potencia .................................................................................................122 Sistema por unidad ......................................................................................................................................122 Transformadores ..........................................................................................................................................122 Componentes simtricas .............................................................................................................................123 Clculo de fallas ...........................................................................................................................................130 Transformadores ..........................................................................................................................................132 Transformadores de instrumento (transformadores de medida) .................................................................134 Correccin del factor de potencia ................................................................................................................135 Reactores .....................................................................................................................................................138 Resonancia armnica ..................................................................................................................................140 Resistencia ...................................................................................................................................................142 Inductancia ...................................................................................................................................................142 Capacitancia ................................................................................................................................................145



Lneas trifsicas de circuitos paralelos ........................................................................................................146 Clculo de lneas..........................................................................................................................................147 Lneas areas ..............................................................................................................................................149 Lneas de tensin .........................................................................................................................................150 Clculo de conductores ...............................................................................................................................151 Clculo de conductores para cargas especficas ........................................................................................152 Transformadores ..........................................................................................................................................154

ptica e iluminacin ...................................................................................................................158

Tensiones elctricas normalizadas ............................................................................................171

Descripcin de los nmeros ANSI / IEEE ...................................................................................172

NMX-J-136-ANCE-2007 .............................................................................................................179

EN-60617 o IEC 60617 ..............................................................................................................181

Smbolos de acuerdo a la ANSI .................................................................................................184

Extracto de la NOM-001-SEDE-2012, Instalaciones Elctricas (Utilizacin) ...............................186

Extracto de la NOM-002-SEDE-2010, Requisitos de seguridad y eficiencia energtica para transformadores de distribucin ........................................................................284

Extracto de la NOM-022-STPS-2008, Electricidad esttica en los centros de trabajo-Condiciones de seguridad ..............................................................................................285

Norma Oficiales Mexicanas ms empleadas en Instalaciones Elctricas. ..................................287

Tablas adicionales de datos prcticos ........................................................................................289



Formulario para el sustentante del

Examen General para el Egreso de la Licenciatura en Ingeniera Elctrica (EGEL-IELEC) Direccin del Programa de Evaluacin de Egreso (EGEL) en Diseo, Ingenieras y Arquitectura

9

Operacin y mantenimiento de equipos y sistemas elctricos Inversin inicial

II CO CP CA

donde: II =Inversin inicial CO = Costos de operacin CP = Costos de produccin CA = Costos de administracin y ventas Tasa mnima aceptable de rendimiento

n

TMAR i*

donde: TMAR = Tasa mnima aceptable de rendimiento = Monto i = Tasa de inters n = Nmero de periodos a considerar Tasa mnima aceptable de rendimiento mixta

mixta n n n nTMAR I PR I PR I PR I PR I PR I PR1 1 1 1 2 2 2 2% % % % % % donde: TMARmixta = Tasa mnima aceptable de rendimiento mixta In = Inflacin PRn= Premio al riesgo %In = Inflacin 100 %PRn = Premio al riesgo 100





10

Valor presente neto (con TMAR)

n

tt

StVPN S

i0

1 1

donde: VPN =Valor presente neto SO = Inversin inicial St = Flujo de efectivo neto del periodo t N = Nmero de periodos de la vida del proyecto I = Tasa de recuperacin mnima atractiva Valor presente neto (con anualidad e inters)

n

n

iVPN P A VS

i i

1 1

1

donde: VPN = Valor presente neto P = Inversin inicial A = Anualidad i = Tasa de inters VS = Valor de salvamento al final del periodo n n = Nmero de periodos Tasa interna de retorno

nn

n n

FNE VSTIR

i i1 (1 ) (1 )

donde: TIR = Tasa interna de retorno FNE = Flujo neto de efectivo del periodo n, o beneficio neto despus de impuesto ms depreciacin VS = Valor de salvamento al final del periodo n i = Tasa de inters n = Nmero de periodos





11

Periodo de recuperacin de la inversin

UNROI

I

donde: ROI = Periodo de recuperacin de la inversin UN =Utilidad neta I =Inversin Punto de equilibrio en ventas

CFPE

CV

VT1

donde: PE = Punto de equilibrio CF = Costos fijos CV = Costos variables VT = Ventas totales Costo beneficio

B B D

C C

donde: B = Beneficios asociados al proyecto C = Costo neto del proyecto D = Valor de las desventajas





12

Ingeniera econmica Glosario de trminos para ingeniera econmica I: Inversin n: Periodo i: Tasa de inters P: Valor presente F: Valor futuro A: Serie uniforme G: Gradiente Ief: Tasa efectiva R: Tasa de inters divisible m: Periodo de intervalo

A : Factor de pago continuo RC: Factor de recuperacin de capital Vs: Valor de salvamento : Tasa mixta Pr: Periodo de recuperacin B: Beneficio C: Costo D: Desventaja e: Base de logaritmos neperianos

Inters simple

I niP Inters compuesto

nF

iI

1

Valor futuro pago nico

n

F P i1

Valor presente pago nico

n

P Fi

1

1

Cantidad compuesta serie uniforme

n

iF A

i

1 1





13

Fondo de amortizacin

n

iA F

i1 1

Recuperacin del capital de una serie uniforme

n

n

i iA P

i

1

1 1

Valor presente de una serie uniforme

n

IP A

i

1 1

Series de gradiente

n

A Gi n

i

1

1 1

Tasa efectiva de inters anual

m

ef

ri

m1 1

Capitalizacin continua

mr

m

ri e

mlim 1 1 1





14

Definicin de e

m

mi e

m

1lim 1

mF eP

mP eF

m

r

eF

A e

1

1

m

r

eP

A e

1

1

m m

A n

G e e

1

1 1

Pagos continuos

meFrA

1

mm

eP

A re

1

Tasa mixta

i

1





15

Mtodos de anlisis de inversiones Valor presente

0

( / , , )n

j

Vp flujo P F i j

Valor futuro

0

( / , , )n

j

Vf flujo F P i j

Costo anual uniforme equivalente (CAUE)

0

( / , , ) / , ,n

j

Vp flujo P F i j A P i j

Serie uniforme equivalente

SAUE CAUE

Recuperacin de capital

CAUE SAUE RC

s sA

P V iVP i n, ,

Retiro y reemplazo

CAUE j RC j A j

Tasa interna de retorno

1

( / , , )n

j

Vp Flujo inicial flujo P F i j

Periodo de recuperacin

ABS flujo

ingreso por periodo

( )Pr

Razn costo-beneficio





16

B DB

C C

Nota: El ROI no se maneja en este contexto ya que es un indicador financiero.





17

Operacin y mantenimiento de equipos y sistemas elctricos Costos de mantenimiento

Para obtener los costos de mantenimiento se utiliza el TCA (Trfico de Cambio Anual), el cual es un porcentaje de instrucciones que sufre un cambio por adicin o modificacin. Adems, se toma en cuenta el esfuerzo de desarrollo estimado o real por personas-mes para hallar el esfuerzo anual requerido para el mantenimiento de software. Se calcula de la siguiente manera:

EMA TCA TDS1.0* * EMA = Esfuerzo de mantenimiento anual TDS = Esfuerzo de desarrollo estimado Costo total

Ct Cm Cc Co Ct = Costo total Cm = Costo de mantenimiento [refacciones + lubricantes + mano de obra + planeacin] Cc = Costo de capital [valor factura + impuestos + fletes] Co = Costo de operacin [consumo total anual + mano de obra operacin] Costo del consumo total anual Consumo total anual = Potencia*F. U. * h/da*da/sem.* Tarifa F. U. = Factor de utilizacin





18

Costos mantenimiento preventivo

Definicin Frmula de clculo Objetivos Significado

IGTR ndice general de trabajos realizados

IGTR=OTE

OTR

OTE=rdenes de Trabajo Ejecutadas OTR=rdenes de Trabajo Recibidas

Evaluar la proporcin entre la cantidad de rdenes de trabajo ejecutadas respecto al total de rdenes de trabajo recibidas en el periodo considerado.

Permite evaluar en forma general el desempeo del personal del rea de mantenimiento. Mientras mayor es el ndice, mejor resulta el desempeo.

ITP ndice de rdenes de trabajo pendientes o en proceso

ITP=OTPP

OTR

OTPP=rdenes de Trabajo Pendientes o en procesos OTR=rdenes de Trabajo Recibidas

Evaluar la proporcin de rdenes de trabajo pendientes o en proceso respecto al total de rdenes de trabajo recibidas.

Permite evaluar la fraccin programada y no ejecutada de mantenimiento. Cuando mayor es el porcentaje menor es la efectividad de las acciones.

IMP ndice de mantenimiento preventivo

IMP=HHMP

THHM

HHMP=Horas de mantenimiento Preventivo THHM=Total de Horas de Mantenimiento

Determinar la proporcin del tiempo total de mantenimiento dedicado a acciones de mantenimiento preventivo.

Evala la fraccin de tiempo dedicada a los programas de mantenimiento preventivo. El ptimo se coloca entre el 20% y el 40%.

IOA ndice de rdenes abiertas

IOA=EHH

HHD

EHH=Horas Hombre Estimadas HHD= Horas Hombre Disponibles

Establecer la relacin entre la cantidad estimada de horas hombre para ejecutar las rdenes de trabajo abiertas y el total de horas hombre disponibles para trabajos de mantenimiento.

Seala el balance entre la carga de trabajo y la cantidad de personal. Mientras menor es el valor porcentual, mejor resulta la accin desplegada por el rea de mantenimiento.

IHE ndice de horas extraordinarias o de sobretiempo

IHE=CHE

THHM

CHE=Cantidad de Horas Estimadas THHM=Total de Horas Hombre de Mantenimiento

Expresa la relacin entre la cantidad de horas de sobretiempo respecto al total de horas empleadas en mantenimiento.

Evala la fraccin de tiempo destinado a trabajos fuera del horario. En general es aceptable en el orden de 1% o 2% del total.

ITM ndice de tiempo perdido (tiempo muerto)

ITM=THR

THHM

THR=Total de Horas de Retraso THHM=Total de Horas Hombre de Mantenimiento

Evala la relacin entre la cantidad de horas de retraso en la ejecucin de los trabajos (imputable a mantenimiento) y el total de horas de trabajo efectivo.

Mide la cantidad y efectividad del trabajo de mantenimiento preventivo





19

Indicadores control de trabajo

Control de trabajo

Indicador Descripcin

CT1=ODTR

DHP ODT recibidas/das hbiles del periodo

CT2=ODTC

ODTR ODT completadas/ODT recibidas

CT3=ODTPC

ODTC ODT programadas completadas/ODT completadas

CT4=ODTPN

ODTR ODT pendientes/ODT recibidas

CT5=ODTPRC

ODTC ODT prioritarias completadas/ODT completadas

CT6=ODTCR

ODTC ODT completadas con retardo/ODT completadas

CT7=ODT > 2S

ODTR

ODT con ms de dos semanas de retraso/ODT recibidas

CT8=HHTPP

HHPER

HH en trabajos planeados y programados/HH en el periodo

CT9=HHTSP

HHATP

HH en trabajos segn programacin/HH asignadas para trabajos programados

CT10=HHCTPRI

HHPER

HH consumidas en trabajos prioritarios/HH en el periodo

CT11=HHTCR

HHPER

HH en trabajos completados con retardo/HH en el periodo

CT12=HHST

HHTR HH en sobretiempo/HH en tiempo reglamentario

Soporte de logstica

SL1=RAA

RP

Requisiciones abastecidas por almacn/Requisiciones procesadas

SL2=RAS

RP

Requisiciones abastecidas con sustitutos/Requisiciones procesadas

SL3=RMA

RP

Requisiciones con material agotado/Requisiciones procesadas

SL4=RAD1S

RD

Renglones agotados despachados con una semana de retardo/renglones despachados

SL5=RACP

RA

Renglones agotados que involucran costo de penal/renglones agotados

SL7=R0EZA

TRRA

Renglones con existencia o en almacn/total de renglones

SL8=RDIPP

TR

Renglones con disponibilidad < punto PED/total de renglones

SL9=VI>PM

VTI

Valor de inventario por arriba del punto mximo/valor total del inventario





20

SL10=RMO>12

TR

Renglones con ltimo movimiento mayor a 12 meses/total de renglones

SL11=VIMO>12

VTI

Valor de inventario con ltimo movimiento mayor a 12 meses/valor total del inventario

SL12=VTD

VTI Valor total de los despachado/valor total del inventario

SL13=VD

VC Valor de los despachado/valor de lo comprado

Uso de contratistas

UC1=CM

TC Contratos en marcha/total de contratos

UC2=CCV

TC Contratos con variaciones/total de contratos

UC3=VCM

VAC Valor contratos en marcha/valor de contratos

UC4=VVC

VAC Valor de variaciones en contratos/valor de contratos

UC5=VCPC

VAC Valor contratado por contratista/valor de contratos

UC6=VAC

CM Valor contratos/costo de mantenimiento

La organizacin

OR1=PM

TP Personal de mantenimiento/Total de personal

OR2=SLM

OM

Supervisores de lnea de mantenimiento/operarios de mantenimiento

OR3=PMPP

OM

Personal de mantenimiento en planeacin y programacin/operarios de mantenimiento

OR4=CNM

CTM

Costo de nmina de mantenimiento/costos totales de mantenimiento

OR5=PST

PTO Pagos por sobretiempo/pago de tiempo ordinario

OR6=OM

TP Operarios de mantenimiento/total de produccin

donde: CT = Control de trabajo ODT = rdenes de desarrollo de trabajo HH = Horas hombre





21

Efectividad del sistema

ES1=CR

CI Capacidad real/capacidad instalada

ES2=HOP

(HOP+HFS)

Horas de operacin/(horas de operacin + horas fuera de servicio)

ES3=HOP

NC Horas de operacin/nmero de corridas

ES4=HFS

NC Horas fuera de servicio/nmero de corridas

ES5=PP

PNP Paradas programadas/paradas no programadas

ES6=HPF

HFS

Horas prdidas por falla de equipo/horas fuera de servicio

ES7=HHRC

HHMT

HH en reparacin correctiva/HH en mantenimiento de equipo

ES8=HHMP

HHMT

HH en mantenimiento preventivo/HH en mantenimiento de equipo

ES9=HHI

HHMT HH en inspeccin/HH en mantenimiento de equipo

ES10=HHR

HHMT

HH en reacondicionamiento/HH en mantenimiento de equipo

ES11=HHMT

HHP HH en mantenimiento de equipo/HH en el periodo

ES12=TMTC

TMPP

Trabajos de mantenimiento preventivo completados/trabajos de mantenimiento preventivo programados

ES13=PPF

PROD

Produccin prdida o diferida por falla de equipo/produccin programada

Costos

CO1=CMT

PRE Costos de mantenimiento/presupuesto aprobado

CO2=CMT

CT Costos de mantenimiento/costos totales

CO3=CMT

CP Costos de mantenimiento/costos de produccin

CO4=CMT

UP Costos de mantenimiento/unidades producidas

CO5=CPZP

CT

Costos de penalizacin por produccin prdida/costos totales

CO6=CPZ

CMT

Costos de penalizacin por produccin/costos de mantenimiento

CO7=CMTP

CMT

Costos por mantenimiento preventivo/costos de mantenimiento

CO8=CMC

CMT

Costos por reparaciones correctivas/costos de mantenimiento





22

CO9=CIN

CMT Costos por inspecciones/costos de mantenimiento

CO10=CRE

CMT

Costos por reacondicionamiento/costos de mantenimiento

CO11=CMTP

TMTP

Costos por mantenimiento preventivo/trabajos de mantenimiento preventivo

CO12=CMC

TRC

Costos por reparaciones correctivas/trabajos de reparacin correctiva

CO13=CMI

TI Costos por inspecciones/trabajos de inspeccin

CO14=CRE

TRE

Costos por reacondicionamiento/trabajos de reacondicionamiento

CO15=CMT

VRE

Costos de mantenimiento/valor de reemplazo de equipos

CO16=VDE

CMO

Valor de los despachado/costo de mano de obra de mantenimiento

CO17=CAM

CMT

Costo administrativo de mantenimiento/costos de mantenimiento





23

Confiabilidad

MTBFR x

MTBF MTTR100

donde: R: Confiabilidad MTBF: Tiempo medio entre fallas MTTR: Tiempo medio para reparacin

ThMTBF xp

100

phMTTR x

p100

donde: hT: Horas trabajadas o de marcha durante el periodo de evaluacin p: Nmero de paros durante el periodo de evaluacin hp: Horas de paro durante el periodo de evaluacin





24

Mtodos de mantenimiento vs. costo

Sistemas en serie

Rs Cf xCf xCf xCf1 2 3 4

donde: Rs = Confiabilidad en serie Cf1, Cf2,....., Cfn son las confiabilidades de cada equipo Sistemas en paralelo

Cf x Cf x Cf xRp 1 1 2 2 3 3

1 2 3

Pr Pr Pr

Pr Pr Pr

donde: Rp = Confiabilidad en paralelo Cf1, Cf2,...., Cfn son las confiabilidades de cada uno de los equipos Pr1, Pr2,..., Prn son las participaciones de cada uno de los equipos en la produccin del sistema evaluado Generalizando para n equipos en paralelo:

n

j jj

n

jj

CF xRp

1

1

Pr

Pr





25

Restablecimiento de la confiabilidad

Probabilidad de falla Mantenimiento productivo total

p

TFD

TF TAP

donde: Dp = Mantenimiento productivo total TF = Tiempo disponible para producir (Tiempo real) TAP = Tiempo de parada propia (Set-Up)





26

Disponibilidad intrnseca o de explotacin

TR TF TAP

i

TR TAID

TR

donde: Di = Disponibilidad intrnseca o de explotacin TR = Tiempo requerido, durante el cual se produce TAI = Tiempo de parado incluido (parada imprevista) Tiempo medio de parada por averas

TPMTTR

NP

donde: TP = Tiempo de averas NP = Nmero de averas Tiempo medio entre averas MTBF (tiempo de buen funcionamiento)

TFMTBF

NP

donde: TF = Tiempo de funcionamiento NP = Nmero de averas Tiempo de funcionamiento medio

TFTFM

NAP

donde: TF = Tiempo de funcionamiento NAP = Nmero de paradas planificadas Tasa de fallo

MTBF

1





27

Trabajo en mantenimiento correctivo Es la relacin entre los hombres horas gastados en reparaciones de mantenimiento correctivo y los hombres horas disponibles.

Totalidad HHMCTB MC

Totalidad HHDP

Consumo de los aparatos electrodomsticos

Aparatos o equipos Potencias W

Lavaplatos Cocinas elctricas Frigorficos Lavadoras Televisor Plancha Asador Secador de pelo Estufa elctrica Ventilador Aspirador Enceradora Batidora

3 500 240 - 4 000 150 - 250

2 000 - 4 000 180

500 - 1 200 700 350

500 - 2 500 200 - 2 000 250 - 600

600 400





28

Formulario general Matemticas lgebra Propiedades de desigualdades

Si x y x z y z

Si x y; z 0 xz yz

Si x y; z 0 xz yz

Si x y; y z x z

x,y,z

Teorema del residuo

f x g x; 0 , existen q(x); r(x); f, g, q, r polinomios tales que: f x g x q x r x , con

gr r gr g o r x 0

Teorema de la raz racional

n nn nf x a x a x a x a

11 1 0( ) ...

na 0

a0 0

Las races racionales de f son de la forma p

q donde p es factor de a0 y q de an.





29

Para matrices A y B

1 1 1

T T T

T

-1

AB B A A y B no singulares

tr(A B) tr A + tr B

tr aA a tr A

AB B A

A A

AB A B

A Adj A Adj A A

1det (A ) A no singular

det (A)

det det

det det det

donde: tr A= traza de A AT= transpuesta de A Frmulas para potencia y races

n n np a q a p q a m n m na a a

mm n

n

aa

a

n m

m n m na a a

n

na

a

1

nn

n

a a

bb

n n np a q a p q a n n na b a b

nn

nn

a a a

b bb

1

n x nm x ma a

m

mn m n na a a a i a

*No es vlida en algunos casos por ejemplo: 22

2 2, 2 2

Nota: Los exponentes para potencias y races deben ser escalares





30

Transformacin de expresiones algebraicas usuales

a b a ab b2 2 22 a b a a b ab b

3 3 2 2 33 3

a b c a ab ac b bc c2 2 2 22 2 2 a b a b a b2 2

a b a b a ab b3 3 2 2 a b a b a ab b3 3 2 2

b b acax bx c x

a

22

1,2

40

2

p px px q x q

22

1,202 4

a b c a ab ac b bc c2 2 2 22 2 2

n n n n n nn n n n nna b a a b a b a b b1 2 2 3 3

1 1 2

1 1 2 1 2 3

n n n n n n na b a b a a b a b ab b1 2 3 2 2 1

Logaritmos

x y x ylog log log x

x yy

log log log

nx n xlog log n x xn

1log log

a n n alog log a alog 1 log1 0

Binomio de Newton

n n n n nn n n na b a a b a b a b1 2 2 3 3

0 1 2 3

Donde n tiene que ser un nmero entero

n n n n knk k

1 2 1

1 2 3





31

Teorema del binomio (de Newton)

n n n xnx

x

211 1

1! 2!

Teorema binomial

n

n k n k

k

nx a x a

k0

Permutaciones Nmero de permutaciones de n elementos

nP n n! 1 2 3

Combinaciones y ordenaciones

Nmero de combinaciones sin repeticin

Nmero de combinaciones con repeticin

nk

nnC

kk n k

!

! !

r n

k

n k n kC

kk n

1 ! 1

! 1 !

r con repeticin

Nmero de ordenaciones sin repeticin Nmero de ordenaciones con repeticin

n nk k k

n nO C P k

k n k

!!

!

r n k

kO n

donde: C = nmero de combinaciones posibles N = nmero de elementos dados K = nmero de elementos seleccionados de entre n elementos dados O =nmero de ordenaciones posibles Serie binmica o binomial

f x x x x21

1 12!

es un nmero cualquiera, positivo o negativo, entero o fraccionario

n

n n

1 2 3 1

!





32

Serie de Taylor (serie de McLaurin)

f a f a

f x f a x a x a

2

1! 2!

Forma de McLaurin, cuando a 0

f f

f x f x x

20 00

1! 2!

Expansin de Taylor

x x x xe x2 3

11! 2! 3!

Determinantes por la regla de Cramer para la solucin de ecuaciones simultneas Determinantes de segundo orden Para el sistema de dos ecuaciones:

A x B y C

A x B y C

1 1 1

2 2 2

Se resuelve mediante:

A BA B A B

A B

1 11 2 2 1

2 2

C B

C B C B C Bx

1 1

2 2 1 2 2 1

A C

A C A C A Cy

1 1

2 2 1 2 2 1

Para el sistema de tres ecuaciones:

A x B y C z D

A x B y C z D

A x B y C z D

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3





33

Se resuelve mediante:

A B C

A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C

A B C

1 1 1

2 2 2 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3

3 3 3

D B C

D B C

D B C D B C D B C D B C D B C D B C D B Cx

1 1 1

2 2 2

3 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3

A D C

A D C

A D C A D C A D C A D C A D C A D C A D Cy

1 1 1

2 2 2

3 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3

A B D

A B D

A B D A B D A B D A B D A B D A B D A B Dz

1 1 1

2 2 2

3 3 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3





34

lgebra lineal

Si 2 nB v v , v1, , es base de un espacio V; x V

y nnx v v v2211 ; entonces, el vector de coordenadas de respecto a B es:

T2 nB

x 1, , ,

Si u v w V C, , espacio vectorial, entonces f u v u v, | es producto interno en V si:

1) u v v |u|

2) u v w u | v u | w|

3) u v u | v|

4) u | u si u0 0

v v | v1 2

norma de v

d u v v u, distancia de u a v

u vu v

cos

coseno del ngulo entre u y v

Si 2 nB g g g1, , , es base ortogonal de un espacio V; y T

nB

v 1 2, , , entonces

i

i

i i

v | gi n

g | g1, 2, ...,

Si 2 me e , e1, , es base ortonormal de un subespacio W del espacio V y v V; entonces, la

proyeccin de v sobre W es: m

i ii=1

v |e e

x

v V





35

Para la transformacin lineal T:VW

T V T v | v V recorrido deV

N T v V T v O ncleo de T

dim V = dim T V + dim N T

/

Para T:VW

2 nA v v ,v1, , base de V y B base de Wla matriz asociada a T, ABM T tiene por columnas a:

2 nB B B

T v T v T v1 , , ,

para T:VV,v V es vector caracterstico de T si:

T v v con 0 y v 0





36

Clculo diferencial Relacin de cambio: Derivada Pendiente en un punto. Relacin (o intensidad) de cambio Pendiente de una curva

En una curva , la pendiente m vara en cada punto. La pendiente de la curva en un punto P

es tambin la tangente en dicho punto:

ym

x

'tan

'

Relacin media de cambio (cociente incremental)

La intensidad media de variacin de la funcin y f x( ) es la relacin de los incrementos y

x

correspondientes al segmento de curva PP1

y f x x f x

x x

( ) ( )

Derivada (cociente diferencial)

Cuando x tiende a cero, el punto P1 tiende al punto P, y la secante PP1 , a la tangente a la curva en

P. De manera que la relacin de incrementos se convierte en la relacin de diferenciales, que es la derivada (o Intensidad de cambio) de la funcin en P:

x

y dyy f x

x dx0' lim '( )

Interpretacin geomtrica de la derivada Curvas de derivadas sucesivas Si para cada x de una curva se lleva la pendiente (o derivada) correspondiente y' como ordenada, se

obtendr la curva de y f x' '( ) , o de la primera derivada de la curva dada y f x( ) . Si se deriva la

curva y f x' '( ) se obtendr y f x'' ''( ) o la segunda derivada de la curva dada y f x( ) , etc.

Radio de curvaturaen un punto dado x.

y

y

2 3(1 )

y f (x)





37

Coordenadas del centro de curvatura C correspondiente a un radio

y ''

yy

y

yb y

x

y

a2

2

1

1

Determinacin de los valores mximos, mnimos y puntos de inflexin Valores mximos y mnimos Hgase y ' 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustityase ahora x a en y ''

Si y a''( ) 0 habr un mnimo en x a

Si y a''( ) 0 habr un mximo en x a

Punto de inflexin Hgase y '' 0 y sea a el valor obtenido de x . Sustityase ahora x a en y ''

Si y a''( ) 0 habr un punto de inflexin en x a

Forma de la curva y f x( )





38

Crecimiento y decrecimiento y x'( ) 0 y x( ) crece si aumenta x

y x'( ) 0 y x( ) decrece si aumenta x

y x'( ) 0 y x( ) tiene en x una tangente paralela al eje x

Curvatura y x''( ) 0 y x( ) ser cncava hacia arriba

y x''( ) 0 y x( ) ser cncava hacia abajo

y x''( ) 0 con cambio de signo y x( ) tendr en x un punto de inflexin

sin cambio de signo y x( ) tendr en x un mximo o un mnimo

Otros casos Si para x a

ny a y a y a y a( 1)'( ) ''( ) '''( ( ) 0) , pero ny 0 , pueden presentarse los cuatro casos

siguientes:





39

Tablas de derivadas

dc

dx( ) 0

dcx c

dx

n nd cx ncxdx

1 d du dv dw

u v wdx dx dx dx

d du

cu cdx dx

d dv du

uv u vdx dx dx

d dw dv du

uvw uv uw v wdx dx dx dx

du dvv u

d u dx dx

dx v v2

n nd duu nudx dx

1

du

dxdx

du

1

dF dF du

dx du dx (Regla de la cadena)

Derivadas de las funciones exponenciales y logartmicas

v v u v u v vd d d du dv

u e e v u vu u udx dx dx dx dx

ln ln -1ln ln

aa

ed duu a a

dx u dx

loglog 0, 1 u u

d dua a a

dx dxln

e

d d duu u

dx dx u dx

1ln log u u

d due e

dx dx

Derivadas de las funciones trigonomtricas y de las trigonomtricas inversas

d duu u

dx dxsen cos

d duu u

dx dx

2cot csc

d duu u

dx dxcos sen

d duu u u

dx dxsec sec tan

d duu u

dx dx

2tan sec d du

u u udx dx

csc csc cot

d duu

dx dxu

u

1

2

1

1cos

1

0 cos

d duu

dx dxu

u

1

2

1

2 2

1sen

1

sen

d duu

dx dxu

u

1

2

1

2 2

1tan

1

tan

d duu

dx dxu

u

1

2

1

1cot

1

0 cot





40

d du duu

dx dx dxu u u u

si u

si u

1

2 2

1

1

1 1sec ,

1 1

0 sec2

sec2

d du duu

dx dx dxu u u u

si u

si u

1

2 2

1

1

1 1csc ,

1 1

0 csc2

csc 02

Derivadas de las funciones hiperblicas y de las hiperblicas recprocas

d duu u

dx dxsenh cosh 2

d duu h u

dx dxcoth csc

d duu u

dx dxcosh senh

d duhu hu u

dx dxsec sec tanh

2d duu h udx dx

tanh sec d du

hu hu udx dx

csc csc coth

-1d duh udx dxu2

1sen

1

d duu u

dx dxu

1

2

1tanh , 1 1

1

-1d duh u dx dxu u

si u si u

2

1csc ,

1

0, 0

-1d duh udx dxu

si u u

si u u

2

1

1

1cos ,

1

cosh 0, 1

cosh 0, 1

-1d duh udx dxu u

si h u u

si h u u

2

1

1

1sec ,

1

sec 0, 0 1

sec 0, 0 1

d duu

dx dxu

u u

1

2

1coth ,

1

1 1





41

Clculo integral Significado de la integracin

Por integracin se entiende el encontrar una funcin F x( ) a partir de una funcin dada y f x( ) de

manera que la derivada F x( ) sea igual a la original f x( ) . Por lo tanto,

dF xF x f x

dx

( )( ) ( )

La integral indefinida

f x dx F x C( ) ( ) C es una constante indeterminada que desaparece al derivar, ya que la derivada de una constante es igual a cero. Significado geomtrico de la integral indefinida Como muestra la figura, hay una infinidad de curvas y F x con pendiente o derivada y F x .

Todas las curvas y f x son iguales pero desplazadas paralelamente y en la direccin del eje y . La

constante C fija una curva determinada. Si la curva debe pasar por el punto x y0 0, se tendr:

C y F x0 0( )





42

La integral definida La integral definida tiene la forma:

b b

aaf x dx F x F b F a( ) ( ) ( ) ( )

En la integral resultante se sustituye primero el lmite superior y luego el inferior, y se resta el segundo resultado del primero. Desaparece as la constante C.





43

Reglas de integracin Formas fundamentales

udv uv v du u ue du e C

n nu du u C nn

11 11

u

u aa du Caln

duu C

uln

Formas trigonomtricas

udu u Csen cos u udu u Ccsc cot csc

udu u Ccos sen tanudu u Cln sec

udu tanu C2sec udu u Ccot ln sen

udu u C2csc cot udu u tanu Csec ln sec

u tanu du u Csec sec udu u u Ccsc ln csc cot

Formas cuadrticas

u aa u du a u u a u C

22 2 2 2 2 2ln

2 2

du uC

aa u

1

2 2sen

u a budu bu a a bu Cb

32

2

23 2

15

du utan C

a aa u

1

2 2

1

a u a a udu a u a C

u u

2 2 2 22 2 ln

du uC

a au u a

1

2 2

1sec

du a uC

a uu a u

2 2

22 2 2

du u aC

a u aa u2 21

ln2

du u

Ca a ua u

3 / 2 2 2 22 2

du u aC

a u au a2 21

ln2





44

a u a udu u a u C

uu

2 2 2 22 2

2ln

du a u aC

a uu a u

2 2

2 2

1ln

u a uu a u du u a a u Ca

42 2 2 2 2 2 2 12 sen

8 8

u a u

a u du a u Ca

22 2 2 2 1sen

2 2

u du u aa u u a u C

a u

2 22 2 2 2

2 2ln

2 2

duu a u C

a u

2 2

2 2ln

u au a du u a u u a C

22 2 2 2 2 2ln

2 2

u du u a ua u C

aa u

2 22 2 1

2 2sen

2 2

a u a a udu a u a C

u u

2 2 2 22 2 ln

a u udu a u C

u au

2 22 2 1

2

1sen

du a a uC

a uu a u

2 2

2 2

1ln

n n nu du u a bu na u du

b n b na bu a bu

12 2

2 1 2 1

dua u C

a uu a u

2 2

22 2 2

1

u a adu u a a C

u u

2 22 2 1cos

u du aa bu a a bu C

a buba bu

2 2

2 3

12 ln

u a u a

du u u a Cuu

2 2 2 22 2

2ln

du uC

a a ua u3 2 2 22 2 2

du

u u a Cu a

2 2

2 2ln

u du u au a u u a C

u a

2 22 2 2 2

2 2ln

2 2

udua bu a a bu C

a bu b21

ln

nn nb ndu a bu du

a na n uu a bu u a bu1 1

2 3

2 11

du u aC

a uu u a

2 2

22 2 2

udu

bu a a buba bu 22

23

du uC

a u au a3 2 2 22 2 2

du u

Cu a bu a a bu

1ln

du a bu a

C si au a bu a a bu a

1ln , 0

a buC si a

aa

12 tan , 0





45

du b a buC

au uu a bu a2 21

ln

a bu du

du a bu au u a bu

2

udu aa bu C

bb a bua bu2 2

1ln

a bu a bu b dudu

uu u a bu2 2

du a bu

Ca a bu uau a bu

2 2

1 1ln

u a ua u du u a a u Ca

432 2 2 2 2 2 12 32 5 sen

8 8

u au a u du a u a u u a u C2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 ln8 8

u du

a bu a a bu a a bu Ca bu b

22 2

3

14 2 ln

2

u au u a du u a u a u u a4

2 2 2 2 2 2 2 2 22 ln8 8

C

Otras formas trigonomtricas

udu u u u u C3 1 12 2

csc csc cot ln csc cot udu u u C2 1 1

2 4sen sen2

n n n

n

nu du u u u du

n

1 21 1sen sen cos sen

udu u u C2 1 1

2 4cos sen2

n n n

n

nu du u u u du

n

1 21 1cos cos sen cos

tan udu tanu u C2

n n ntan u du tan u tan u dun

1 21

1

udu u u C2cot cot

n n nu du u u dun

1 21cot cot cot1

udu u u C3 213sen 2 sen cos n n nnu du u u u du

n n

2 21 2sec tan sec sec1 1

udu u u C3 213cos 2 cos sen n n nnu du u u u du

n n

2 21 2csc cot csc csc1 1

tan udu tan u u C3 21

2ln cos

a b u a b uau bu du C

a b a b

sen sensen sen

2 2

udu u u C3 21

2cot cot ln sen


a b a b

sen sencos cos

2 2

u du u u u u C3 1 1

2 2sec sec tan ln sec tan

n n nu udu u u n u udu1cos sen sen


a b a b

cos cossen cos

2 2





46

u udu u u u Csen sen cos

n mu udusen cosn m

n mu u n u u dun m n m

1 12sen cos 1 sen cos

n m

n mu u m u u dun m n m

1 12sen cos 1 sen cos

u u du u u u Ccos cos sen n n nu udu u u n u udu1sen cos cos

u u uu u du u C

2 21 12 1 1cos cos

4 4

u u

utan u du tan u C2

1 11

2 2

nn n u duu u du u u n

n u

11 1 1

2

1sen sen , 1

1 1

udu u u u C1 1 2sen sen 1

nn n u duu u du u u n

n u

11 1 1

2

1cos cos , 1

1 1

udu u u u C1 1 2cos cos 1

nn n u duu tan u du u tan u n

n u

11 1 1

2

1, 1

1 1

tan udu u tan u u C1 1 212 ln 1

Formas exponenciales y logartmicas

au auue du au e Ca21

1 udu u u u Cln ln

n au n au n aunu e du u e u e dua a

11

n

n uu u du n u Cn

1

2ln 1 ln 1

1

au

au ee bu du a bu b bu Ca b2 2

sen sen cos

du u Cu u1

ln lnln

au

au ee bu du a bu b bu Ca b2 2

cos cos sen

Formas hiperblicas

udu u Csenh cosh sechudu tan u C12

ln

udu u Ccosh senh sech udu tanhu C2

tanhudu u Clncosh csch udu u C2 coth

udu u Ccoth ln senh sechu tanhu du sechu C

sechudu u C1tan senh cschu udu cschu Ccoth

Otras formas cuadrticas





47

u a a a uau u du au u C

a

22 2 12 2 cos

2 2

du a u

Caau u

1

2cos

2

au u au u a udu C

u au

2 21

2

2 2 2cos

u du a uau u a C

aau u

2 1

22 cos

2

au u a udu au u a C

au

22 1

2

22 cos

au uduC

auu au u

2

2

2

2

u au du a a uau u C

aau u

2 22 1

2

3 32 cos

2 22

u au a a a uu au u du au u C

a

2 32 2 12 32 2 cos

6 2





48

Regla de Simpson Para curvas hasta de tercer grado

ih

A y y y0 1 243

Para curvas de grado mayor que el tercero

n n nh

A y y y y y y y y0 2 4 2 1 3 12 ... 4 ...3

Integrales mltiples

b f x b f x

x a y f x x a y f xF x y dydx F x y dy dx

2 2

1 1

( ) ( ), ,

donde y f x1 e y f x2 son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras

que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral tambin se puede escribir as:

d g y d g y

y c x g y y c x g yF x y dxdy F x y dx dy

2 2

1 1

( ) ( ), ,

donde x g y1( ) , x g y2( ) son las ecuaciones de las curvas HPG yPGQ, respectivamente, mientras

que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de rea. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen as como integrales mltiples en ms de tres dimensiones.

t

as s t r t dt( ) ( )

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramtrico a t, .

En parmetro arbitrario: En parmetro s:

Vector tangente unitario r t

t tr t

( )( )

( )

t s r s( ) ( )

Vector normal principal n t b t t t( ) ( ) ( ) r s

n sr s

( )( )

( )

Vector binormal r r t

b tr r t

( )( )

( )

r s r sb s

r s

( ) ( )( )

( )

Los vectores unitarios t n b, , forman una triada positiva b txn n bxt t nxb, ,





49

Recta tangente en t0 Ecuacin vectorial Ecuacin paramtrica

r r t r t0 0 x x y y z z

x y x

0 0 0

0 0 0

Plano oscilador t n, en t0 Ecuacin vectorial Ecuacin paramtrica

r r t r t xr t0 0 0 0

x x y y z z

x y z

x y z

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

Curvatura y torsin

y

y

32 2

1 ( )

r t xr t r t r t xr tt t

r t r t xr t3 2

s r s d

T kNds

d

N B kTds

d

B Nds

Plano normal Ecuacin vectorial Ecuacin paramtrica

r r t r t0 0 0 x x x y y y z z z0 0 0 0 0 0 0

Plano rectificante t b, en t0 Ecuacin vectorial Ecuacin paramtrica

r r t n t0 0 0 x-x y-y z-z

x y z

y z y z z x z x x y x y

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

Componentes tangencial y normal de la aceleracin





50

T

aa a T

.

N

x a

a a N

Propiedades de la divergencia

i div F G div F div G

ii div F div F grad F

iii div F G G rot F -F rot G

) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

) ( )





51

Geometra

reas

Crculo A r 2

r

Trapecio B b

A h2

a

b

B

Tringulo ab bh

Asen

2 2

a

ha

Volmenes

Prismas BV S h

donde SB = rea de la base

Pirmides BS h

V3

donde SB = rea de la base

Esfera V r34

3

A r 24

r

Cilindro V r h2

A rh2





52

Cono V r h21

3

A r r h r l2 2

V h a ab b2 213

a b h b aA

a b l

22





53

Geometra analtica plana Distancia entre dos puntos

x x y y2 2

2 1 2 1 Pendiente de una recta

y ym

x x

2 1

2 1

Ecuacin de una recta

y y m x x Ax By C1 1( ); 0

ngulo entre rectas

m m

m m

1 2

1 2

tan1

Circunferencia

x h y k r Ax Ay Dx Ey F2 2 2 2 2( ) ( ) ; 0

Parbola

Eje vertical x h p y k Ax Dx Ey F2 2( ) 4 ( ); 0

Eje horizontal

y k p x h By Dx Ey F

LR P

e

2 2( ) 4 ( ); 0

4

1

Elipse

Eje focal horizontal x h y k

a b

2 2

2 21

; a b

Eje focal vertical x h y k

b a

2 2

2 21

; a b

b ca b c LR e

a a

Ax Cy Dx Ey F AC

22 2 2

2 2

2; ; 1;

0; 0

Hiprbola





54

Eje focal horizontal x h y k

a b

2 2

2 21

Eje focal vertical y k x h

a b

2 2

2 21

b cc a b LR e

a a

Ax Cy Dx Ey F AC

22 2 2

2 2

2; ; 1;

0; 0





55

Geometra analtica del espacio Considerando P x y z1 1 1 1, , y P x y z2 2 2 2, ,

Vector que une P1 y P2

PP x x y y z z l m n1 2 2 1 2 1 2 1, , , , Distancia entre dos puntos

d x x y y z z l m n2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

Recta que pasa por dos puntos Forma paramtrica

x x l t1 y y mt1 z z nt1

Forma simtrica

x xt

l

1 y y

tm

1 z z

tn

1

Cosenos directores

x x l

d d

2 1cos

y y m

d d

2 1cos

z z n

d d

2 1cos

donde , , denotan los ngulos que forman la lnea que une los puntos P1 y P2 con la parte

positiva de los ejes x, y, z, respectivamente. Ecuacin del plano

- Que pasa por un punto P x y z1 1 1 1, , y tiene vector normal a a a a1 2 3, ,

:

a x x a y y a z z1 1 2 1 3 1 0

-Forma general:

Ax By Cz D 0

2 2 2cos cos cos 1

o

I m n2 2 2 1





56

Distancia del punto P x y z0 0 0 0, , al plano Ax By Cz D 0

Ax By Cz Dd

A B C

0 0 0

2 2 2

en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa. Coordenadas cilndricas

x r

y r

z z

cos

sen

yx

r x y

z z

2 2

1tan

Coordenadas esfricas

x sen

y sen sen

z

cos

cos

yx

x y z

z

x y z

2 2 2

1

1

2 2 2

tan

cos





57

Definiciones geomtricas importantes

ngulo entre dos rectas en el plano m m

m m

1 2

1 2

tan1

Producto escalar para a y b que pertenecen a 3

a b a b a b a b1 1 2 2 3 3

Producto vectorial

i j k

a x b a a a

b b b

1 2 3

1 2 3

Producto mixto

a a a

a b c b b b

c c c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

ngulo entre dos vectores

a x ba b sen =

a b a b cos ;

Ecuacin vectorial de la recta op p +tu

Ecuaciones paramtricas de la recta o

o

o

x x at

y y bt u a b c

z z ct

, ,

Ecuaciones cartesianas de la recta, en forma simtrica

o o ox x y y z z

a b c

u a b, c)( ,

Distancia de un punto Q a una recta o P Q x u

d u

Distancia entre dos rectas

1 2

P P u x ud

u x u

1 2 1 2

Ecuacin vectorial de un plano op p ru sv

Ecuaciones paramtricas de un plano

o x x

o y y

o z z

x x ru sv

y y ru sv

z z ru sv

Ecuacin cartesiana de un plano en forma general

Ax By Cz D 0

N A B, C)( ,

Ecuacin normal de un plano PoP N 0 ; N A,B,C





58

Distancia de un punto Q a un plano PoQ N

d N

ngulo entre una recta y un plano u N

sen u N





59

Trigonometra Medida de ngulos planos Representacin La medida de un ngulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco

(radianes). Se representa a veces, respectivamente, por y .

Unidades comunes (sexagesimales): grado (), minuto ('), segundo ("). 1 = 60'; 1' = 60"

Unidad de arco 1 radin (rad) es el ngulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco tambin unitario. Por lo tanto:

mrad nmero adimensional

m

11 1( )

1

Con frecuencia no se indica especficamente la unidad, como en la siguiente tabla.

0 30 45 60 75 90 180 270 360

0 / 6 / 4 / 3 5 /12 / 2 3 / 2 2

0 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28





60

Equivalencias Por definicin:

rad, rad

rad rad

longitud de arcoarc

radio

180360 2 1 57.2967

1 0.017453180

180 57.2967

La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ngulo central (en radianes) de la

circunferencia: b r





61

Funciones trigonomtricas

En un tringulo rectngulo:

cateto opuesto a

hipotenusa c

cateto adyacente b

hipotenusa c

cateto opuesto a

cateto adyacente b

sen

cos

tan

Operaciones con funciones trigonomtricas

A A2 2sen cos 1 A A21 1

sen cos22 2

A A2 2sec tan 1 A A21 1

cos cos22 2

A A2 2csc cot 1 sen A senA A2 2 cos

AA

A

sentan

cos A A A

2 2cos2 cos sen

AA

A

coscot

sen

A B A B A Bsen sen cos cos sen

senA Acsc 1 A B A B A Bcos cos cos sen sen

A Acos sec 1

A BA B

A B

tan tantan

1 tan tan

A Atan cot 1 A A1 cossen

2 2

A Asen sen A A1 coscos

2 2

A Acos cos senA B sen A B sen A B

1cos

2

A B A B A B1

cos cos cos cos2

tan A tan A senA B sen A B sen A B

1cos

2

A B A B A B1

cos cos cos cos2





62

Las leyes siguientes son vlidas para cualquier tringulo plano ABC de lados a, b, c y de ngulos A, B, C.

Ley de los senos

a b c

A B Csen sen sen

Ley de los cosenos

c a b ab C2 2 2 2 cos Los otros lados y ngulos estn relacionados en forma similar Ley de las tangentes

A Ba b

a bA B

1tan

21

tan2

Los otros lados y ngulos estn relacionados en forma similar Teorema de Pitgoras

a b c2 2 2





63

Valores de las funciones de ngulos importantes

sen cos tan cot sec csc

0 0 1 0 1

30 1

2

3

2

3

3 3

2 3

3 2

45 2

2

2

2 1 1 2 2

60 3

2

1

2 3

3

3 2

2 3

3

90 1 0 0 1

Relaciones entre ngulo simple, ngulo doble y mitad de ngulo

es n cos tan cot

cos 90 es n(90 ) cot(90 ) tan(90 )

21 cos e 21 s n 1

cot

1

tan

e2s n cos2 2

e2 2cos s n

2 2

es n

cos

e

cos

s n

2

tan

1 tan

2

cot

1 cot

e

e 2

s n

1 s n

2

cos

1 cos

2cos cos2 e21 2s n

2

2

11

cos

e 21

1s n

2

1

1 cot

2

1

1 tan

2

2 tan2

1 tan2

2cot 12

2cot2

2

2 tan2

1 tan2

2

2

1 tan2

1 tan2





64

es n2 cos2 tan2 cot2

e2s n cos

e2 2cos s n 22tan

1 tan

2cot 1

2cot

22cos 1 2

cot tan

1 1cot tan

2 2

sen21 2

es n2

cos

2

tan

2

cot

2

1 cos

2

1 cos

2

es n

1 cos

es n

1 cos

e

1 cos

s n

e

1 cos

s n

1 cos

1 cos

1 cos

1 cos





65

Nmeros complejos Forma trigonomtrica o polar de un nmero complejo

Se tiene que r z x y( , ) y que y

zx

1arg tan

Luego:

ysen y r sen

r

xx r

rcos cos

Por lo tanto:

z x y x yi r irsen r isen, cos cos

Forma exponencial de un nmero complejo

Sea z r i sen(cos ) un nmero complejo donde r es su mdulo y su argumento. Entonces

mediante e

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