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Seminar Analysis III
Universitat Dortmund / Fachbereich Mathematik
Fourier-Reihen: Konvergenzsatz von Fejer &Weierstraßscher Approximationssatz
Seminar
vom 22.04.2013
von Christian Gervens
Christian Gervens: [email protected]
INHALTSVERZEICHNIS 2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 31.1 Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Englisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Motivation 4
3 Fourier-Reihen 53.1 Feststellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Definition (Fourier-Reihe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4.1 Einschub: Cesaro-Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.6 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.7 Theorem von Fejer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.7.1 Einschub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.8 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.10 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Weierstraßscher Approximationssatz 174.1 Approximationssatz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Literaturverzeichnis 20
1 EINLEITUNG 3
1 Einleitung
1.1 Deutsch
In diesem Seminar geht es um die Einfuhrung der Fourier-Reihen. Fourier-Reihen stel-len moglichst allgemeine 2π-perodische Funktionen als Uberlagerung von harmonsichenSchwingungen dar. Wenn man schaut, ob zwischen der Fourier-Reihe einer Funktion undder Funktion an sich gleichheit herrscht, stoßt man auf ein Konvergenzproblem. DiesesProblem wird allgemein untersucht und im Theorem von Fejer gelost. Zu diesem Theoremgibt es drei Beispiele.Durch das Theorem von Fejer lasst sich ein weiterer, sehr wichtiger Satz der Analysis be-weisen, den Weierstraßschen Approximationssatz. Dieser Satz wird erklart und bewiesen.
1.2 Englisch
This seminar deals with the introduction of the Fourier series. Fourier series representsgeneral 2π-cyclic functions as a superposition of harmonic oscillations. To show, that theFourier series of a function is equal to its function you have to solve a convergence problem.This problem is widely studied and solved in the theorem of Fejer. To show how thistheorem of Fejer works there are three examples given.With the theorem of Fejer another very important theorem of analysis can be proved: theWeierstrass approximation theorem. This theorem is explained and proved.
2 MOTIVATION 4
2 Motivation
Um Schwingungsphanomene mathematisch zu beschreiben werden periodische Funktionenverwendet. Fur die Periode 2π hat man die Grundschwingungen sin(x) und cos(x). Furein k ≥ 2 liefert das die Oberschwingungen sin(kx) und cos(kx).
Abbildung 1: sin x, sin 2x (gepunket), sin 3x
Nun wird versucht, moglichst allgemeine 2π-periodische Funktionen als Uberlagerung dieserharmonischen Schwingungen zu schreiben, also als Fourier −Reihen
1
2a0 +
∞∑k=1
(akcoskx+ bksinkx) mit ak, bk ∈ C, x ∈ R (2.1)
Mithilfe der Eulerschen Formel eiϕ = cos(ϕ) + isin(ϕ) kann man auch Reihen der Form
∞∑k=−∞
ckeikx mit ck ∈ C, x ∈ R (2.2)
betrachten, deren Konvergenz uber die Partialsummen (sn :=∑n
k=−n ckeikx) definiert ist.
Zwischen den einzelnen Koeffizienten herrscht folgender Zusammenhang:
ck =
12(ak − ibk) , k > 0
12a0 , k = 0
12(a−k + ib−k) , k < 0
, (2.3)
{ak = (ck + c−k) , k ≥ 0
bk = i(ck − c−k) k ≥ 1. (2.4)
3 FOURIER-REIHEN 5
3 Fourier-Reihen
Bevor die Fourier-Reihe definiert wird, betrachten wir eine kleine Feststellung:
3.1 Feststellung
Fur m,n ∈ Z gilt:
1
2π
∫ π
−πeinxe−imxdx = δnm :=
{1 , n = m
0 , n 6= m(3.1)
Beweis Es gilt:1
2π
∫ π
−πeinxe−imxdx =
1
2π
∫ π
−πei(n−m)xdx. (3.2)
Fur n = m sieht man sofort, dass dieses Integral = 1 ist. Wenn jedoch n 6= m ist, so erhaltman 1
2πei(n−m)x
i(n−m)x|π−π = 0, da ei(n−m)x ja 2π-periodisch ist. �
Nun sei die Reihe∑
k∈Z ckeikx auf R gleichmaßig konvergent, z.B. gelte
∑∞k=−∞ |ck| <
∞. Durch f(x) :=∑∞
k=−∞ ckeikx wird dann eine stetige, 2π-periodische Funktion f ∈
C2π(R,C) definiert.Nun lassen sich die Koeffizienten ck duch die Feststellung (3.1) und der Tatsache, dass∫f(x)dx = lim
n→∞
∫fn(x)dx fur gleichmaßig konvergente Folgen gilt (5, [2]) aus der Funktion
f zuruckgewinnen. Denn es gilt:
1
2π
∫ π
−πf(x)e−imxdx
(2.2)=
∞∑k=−∞
ck1
2π
∫ π
−πeikxe−imxdx
(3.1)=
∞∑k=−∞
ckδkm = cm (3.3)
Da man also die Koeffizienten einer vorgegebenen Funktion f mithilfe von (3.1) zuruckgewinnenkann, liegt der Versuch nahe, die Funkton f wie folgt in eine Fourier-Reihe zu entwickeln:
3.2 Definition (Fourier-Reihe)
Sei f ∈ R[−π, π] eine Regelfunktion. Dann ist
f(k) :=1
2π
∫ π
−πf(x)e−ikxdx , k ∈ Z (3.4)
der k-te Fourier-Koeffizient von f , und
f(x) ∼∑k∈Z
f(k)eikx (3.5)
sei die zu f assoziierte Fourier-Reihe.
3 FOURIER-REIHEN 6
Wichtig hierbei zu bemerken ist, dass das Symbol”∼“ in (3.5) im Allgemeinen noch
keinerlei Konvergenz der Reihe behauptet. Um diese Tatsache zu verdeutlichen folgt einBeispiel:
3.3 Beispiel
a)Wenn man eine gerade bzw. ungerade Funktion f ∈ R[−π, π] betrachtet, so lohnt es sich diezugehorige Fourier-Reihe in der Form (2.1) zu betrachten. Denn fur eine gerade Funktionverschwindet der Sinus-Teil der Reihe, sodass der Koeffizient bk verschwindet. Bei einerungerade Funktion verschwindet mit der gleichen Begrundung der Koeffizeint ak.Nach (2.4) gilt mit ck = f(k) aus (3.4):
ak =1
2π
∫ π
−πf(x)e−ikxdx+
1
2π
∫ π
−πf(x)eikxdx (3.6)
=1
2π
∫ π
−πf(x) · (e−ikx + eikx)dx (3.7)
=1
2π
∫ π
−πf(x) · 2 · e
−ikx + eikx
2dx (3.8)
=1
π
∫ π
−πf(x) · coskx dx (3.9)
Ebenso gilt:
bk = i ·[
1
2π
∫ π
−πf(x)e−ikxdx− 1
2π
∫ π
−πf(x)eikxdx
](3.10)
= i ·[
1
2π
∫ π
−πf(x) · (e−ikx − eikx)dx
](3.11)
= i ·[
1
2π
∫ π
−πf(x) · 2i · e
−ikx − eikx
2idx
](3.12)
= −i ·[i
π
∫ π
−πf(x) sinkx dx
](3.13)
=1
π
∫ π
−πf(x) sinkx dx (3.14)
b)
Wir definieren uns eine Funktion h(x) mit h(x) :=
−1 ,−π < x < 0
0 , x = 0,±π1 , 0 < x < π
. Diese Funktion
ist offensichtlich ungerade. Da h(x) sowie sin(x) ungerade, genugt es fur bk folgendes zuBetrachten:
3 FOURIER-REIHEN 7
bk =2
π
∫ π
0
sin(kx) dx
=2
π·[−1
kcos(kx)|π0
]=
2
π·(−1
kcos(π k) +
1
kcos(0)
)
Somit ist bk =
{0 , k gerade4πk
, k ungerade. Setzt man nun in (2.1) die Werte ein, so erhalt man
h(x) ∼ 4
π
∞∑k=1
sin((2k − 1)x)
2k − 1(3.15)
Es ist offensichtlich, dass diese Reihe an den Sprungstellen 0,±π von h gegen den Mit-telwert 0 konvergiert. Fur x ∈ (−π, π)\{0} ergibt sich die Konvergenz der Reihe aus demDirichletschen Konvergenzkriterium (kann in Aufgabe 38.1 nachgelesen werden [5]). Jedochist nicht unmittelbar klar, ob in (3.15) statt
”∼ “ sogar
”= “ gilt.
Dieses Konvergenzproblem wird nun allgemein untersucht.
3.4 Satz
Es sei f ∈ R[−π, π]. Fur die Partialsummen
sn(f ;x) :=n∑
k=−n
f(k)eikx , x ∈ R (3.16)
der Fourier - Reihe gilt die Darstellung
sn(f ;x) :=1
2π
∫ π
−πDn(x− t)f(t)dt , x ∈ R (3.17)
mit den geraden, stetigen und 2π periodischen Dirichlet-Kernen
Dn(s) =sin((2n+ 1) s
2)
sin s2
, s ∈ R , (3.18)
mitDn(2kπ) = 2n+ 1. (3.19)
3 FOURIER-REIHEN 8
Beweis:Nach (3.16) ist, wenn man fur f(k) die Definition 3.2 einsetzt:
sn(f ;x) =n∑
k=−n
1
2π
∫ π
−πf(t)e−iktdt eikx
=1
2π
∫ π
−πf(t)
n∑k=−n
eik(x−t)dt
=1
2π
∫ π
−πDn(x− t)f(t)dt
wobei
Dn(s) =n∑
k=−n
eiks
= 1 + 2n∑k=1
cosks
(5[4])=
sin((2n+ 1) s2)
sin s2
mit k = (x− t) das gewunschte Ergebnis liefert. �
Abbildung 2: Im linken Diagramm sind die Dirichlet-Kerne D2 (gepunktet) und D7 ab-gebildet. Im rechten Diagramm sieht man die Funktion h aus Beispiel 3.3 zusammen mits2(h) und s7(h)
Um nun das bereits erwahnte Konvergenzproblem zu losen, wird auf den folgenden Seitengezeigt, dass die Fourier-Reihe einer Funktion f ∈ R[−π, π] punktweise Cesaro-konvergentist.Hierzu erst mal ein Einschub:
3 FOURIER-REIHEN 9
3.4.1 Einschub: Cesaro-Konvergenz
Eine Reihe∑
k≥0 ak heißt Cesaro-konvergent, wenn die Folge
σn :=1
n+ 1
n∑j=0
sj (3.20)
der arithmetischen Mittel der Partialsummen sn konvergiert.
Um also nun die punktweise Cesaro-Konvergenz der Fourier-Reihe zu zeigen, definieren wirzunachst die Fejer-Kerne Fn ∈ C2π(R) als arithmetische Mittel
Fn(s) :=1
n
n−1∑j=0
Dj(s) , s ∈ R , (3.21)
der Dirichlet-Kerne. Fur die arithmetischen Mittel
σn(f ;x) :=1
n
n−1∑j=0
sj(f ;x)
der Partialsummen sn(f, ;x) der Fourier-Reihe von f ∈ R[−π, π] gild dann:
σn(f ;x) =1
2π
∫ π
−πFn(x− t)f(t) dt, x ∈ R. (3.22)
Abbildung 3: Im linken Diagramm sind die Fejer-Kerne F3 (gepunktet) und F8 zu sehen.Im rechten Diagramm ist die Funktion h aus Beispiel 3.3 b) zusammen mit σ3(h) und σ8(h)abgebildet.
3.5 Satz
a) Mit C2π(R) als die Menge aller komplex integrierbarer Funktionen auf dem Intervall 2πgilt fur die Fejer-Kerne Fn ∈ C2π(R):
Fn(s) =1
n
(sinns
2
sin s2
)2
, s ∈ R (Fn(2kπ) = n). (3.23)
3 FOURIER-REIHEN 10
b) Es ist Fn gerade und Fn ≥ 0; weiter gilt
1
2π
∫ π
−πFn(s) ds = 1, (3.24)
∀δ > 0 ∀ε > 0∃n0 ∈ N∀n ≥ n0 :1
2π
∫δ≤|s|≤π
Fn(s) ds ≤ ε. (3.25)
Beweisa) Setzt man (3.23) mit der Definition der Fejer-Kerne (3.21) gleich , so erhalt man:
1
n
n−1∑j=0
Dj(s)!
=1
n
(sinns
2
sin s2
)2
⇐⇒ 2sin2(s
2
) n−1∑j=0
Dj(s)!
= 2sin2(ns
2
)Dies zeigt man wie folgt:
2sin2(s
2
) n−1∑j=0
Dj(s)(3.18)= 2sin2
(s2
) n−1∑j=0
sin((2j + 1) s2)
sin s2
=n−1∑j=0
2sin(s
2
)sin((2j + 1)
s
2)
=n−1∑j=0
2 ·(
cos( s2− sj + s
2)− cos( s
2+ sj + s
2)
2
)= 1− cos ns
[mit cos(2a) = cos2(a)− sin2(a)] = 2 sin2 ns
2
b)Setzt man in (3.17) f = 1 und setzt diese Gleichung dann mit der Definiton fur die Par-tialsummen der Fourierreihe (3.16) gleich [wieder mit f = 1], so ergibt sich die Gleichung(3.24).Desweiteren gibt es ein η > 0 mit sin2 s
2≥ η > 0 fur δ ≥ |s| ≥ π.
Hieraus ergibt sich folgende Ungleichung:
Fn(s) =1
n
(sinns
2
sin s2
)2
≤ 1
n
sin2 ns2
η
≤ 1
nη
≤ ε fur n ≥ n0 �
3 FOURIER-REIHEN 11
3.6 Definition
a)Fur f ∈ R[−π, π] definiert man f als 2π-periodische Fortsetzung von f |(−π,π] auf R.b)Fur f ∈ R[−π, π] definiert man f ∗ : R 7→ C durch
f ∗(x) :=1
2
(f(x+) + f(x−)
), x ∈ R (3.26)
In stetikgeitspunkten von f gilt naturlich f ∗(x) = f(x)Nun folgt das Hauptergebniss dieses Abschnittes:
3.7 Theorem von Fejer
a)Fur f ∈ R[−π, π] gilt σn(f ;x)→ f ∗(x) fur alle x ∈ R.b)Fur f ∈ C2π(R) gilt σn(f ;x)→ f(x) gleichmaßig auf R.
Beweisa)Es sei x ∈ R fest. Da die Funktion t 7→ Fn(s − t)f(t) die Periode 2π hat, folgt aus (3.22)mit der Substitution s = x− t auch:
σn(f ;x) =1
2π
∫ π
x−πFn(x− t)f(t) dt (3.27)
= − 1
2π
∫ x−π
x+π
Fn(s)f(x− s) ds (3.28)
=1
2π
∫ π
−πFn(t)f(x− t) dt (3.29)
Da Fn gerade folgt aus (3.24) auch 12π
∫ π0Fn(s) ds = 1
2und daher ist:
1
2f(x−)− 1
2π
∫ π
0
Fn(t)f(x− t) dt = − 1
2π
∫ π
0
Fn(t)f(x− t)− Fn(t)f(x−) dt (3.30)
=1
2π
∫ π
0
Fn(t)(f(x−)− f(x− t)
)dt (3.31)
Nun:
3 FOURIER-REIHEN 12
|f ∗(x)− σn(f ;x)| (3.26)=
∣∣∣∣12 (f(x+) + f(x−))− 1
2π
∫ π
−πFn(s− t)f(t) dt
∣∣∣∣ (3.32)
(3.29)=
∣∣∣∣12 (f(x+) + f(x−))− 1
2π
∫ π
−πFn(t)f(x− t) dt
∣∣∣∣ (3.33)
=
∣∣∣∣12 f(x+)− 1
2π
∫ 0
−π... dt+
1
2f(x−)− 1
2π
∫ π
0
... dt
∣∣∣∣ (3.34)
Dreiecksungleichung ≤∣∣∣∣12 f(x+)− 1
2π
∫ 0
−π... dt
∣∣∣∣+
∣∣∣∣12 f(x−)− 1
2π
∫ π
0
... dt
∣∣∣∣ (3.35)
Die Dreiecksungleichung betrachten wir nun getrennt, wobei man dann n0 ∈ N so wahlt,wie in (3.25), also:
∣∣∣∣12 f(x−)− 1
2π
∫ π
0
Fn(t)f(x− t) dt∣∣∣∣ (3.36)
≤ 1
2π
(∫ δ
0
Fn(t)|f(x−)− f(x− t)| dt+
∫ π
δ
Fn(t)|f(x−)− f(x− t)| dt)
(3.37)
≤ ε
2π
∫ π
0
Fn(t) dt+2||f ||
2π
∫ π
δ
Fn(t) dt (3.38)
≤ (1 + 2||f ||)ε fur n ≥ n0 (3.39)
Genauso folgt auch ∣∣∣∣12 f(x+)− 1
2π
∫ 0
−πFn(t)f(x− t) dt
∣∣∣∣ ≤ (1 + 2||f ||)ε (3.40)
Ab einem eventuell großeren n0 ∈ N, nach (3.26) und (3.29) insgesamt also:
|f ∗(x)− σn(f ;x)| ≤ (2 + 4||f ||)ε fur n ≥ n0 (3.41)
b)Wenn f ∈ C2π(R), so ist f = f = f ∗ gleichmaßig stetig auf R. Im Beweis von a) kanndaher δ > 0 und somit auch n0 unabhangig von x ∈ R gewahlt weden. �
3 FOURIER-REIHEN 13
Fur den folgenden Satz benotigt man einen kleinen Einschub:
3.7.1 Einschub
Fur eine Folge (sn)n∈N0 betrachtet man die Folge der arithmetischen Mittel σn, wie sieschon in bei der Cesaro-Konvergenz in 3.20 definiert wurden.Wenn lim
n→∞sn = l so ist auch lim
n→∞σn = l. Der Beweis von diesem Einschub kann nachgele-
sen werden (5).
Aus dem Theorem von Fejer 3.7 und dem eben erwahnten Einschub 3.7.1 folgt unmittelbar:
3.8 Folgerung
Ist die Fourier-Reihe von f ∈ R[−π, π] an einer Stelle x ∈ R konvergent, so gilt:
∞∑k=−∞
f(k)eikx = f ∗(x) (3.42)
3.9 Beispiel
a)Wegen h∗ = h gilt in Formel (3.15) also tatsachlich
”= “, und aus der Definition von h
folgt:
sinx+sin3x
3+
sin5x
5+ ... =
π4
, 2nπ < x < (2n+ 1)π
0 , x ∈ πZ−π
4, (2n− 1)π < x < 2nπ
(3.43)
b)Es wird die Fourier-Entwicklung der Funktion f ∈ Rloc(R) berechnet, die durch
f(x) :=
{π−x2
, 0 < x < 2π
0 , x = 0, 2πund der 2π-periodischen Fortsetzung definiert sei.
Abbildung 4: Zu sehen ist die Funktion f(x) aus Beispiel 3.9 b)
Da f ungerade ist, gilt ak = 0, und man hat
3 FOURIER-REIHEN 14
bk =1
π
∫ 2π
0
π − x2
sinkx dx
= − 1
2π
∫ 2π
0
xsinkx dx
=1
2π
(x
coskx
k
∣∣2π0
)− 1
2π
∫ 2π
0
coskx
kdx
=1
2πk2πcos2πk
=1
k
Nach dem Dirichletschen Konvergenzkriterium [vgl. Seminar-Vortrag vom 15.04.2013] ist
die Reihe auf R punktweise konvergent und wegen f = f ∗ gilt f(x) =∑∞
k=1sinkxk
nachFolgerung 3.8.Insbesondere hat man
π − x2
=∞∑k=1
sinkx
k, 0 < x < 2π (3.44)
c)Fur z ∈ C\Z wird die Fourier-Entwicklung der geraden Funktion cz ∈ C[−π, π], cz(x) :=coszx berechnet. Man hat bk = 0 und
ak =2
π
∫ π
0
coszxcoskx dx
=1
π
∫ π
0
(cos(z + k)x+ cos(z − k)x) dx
=1
π
(sin(z + k)x
z + k+
sin(z − k)x
z − k
) ∣∣∣∣π0
=1
π(z2 − k2)((z − k)sin(z + k)π + (z + k)sin(z − k)π)
=1
π(z2 − k2)((−1)k(z − k)sinzπ + (−1)k(z + k)sinzπ
)=
2z
π
(−1)k
z2 − k2sinzπ
Wegen∞∑k=1
|akcoskx| ≤∞∑k=1
|ak| ≤ c∞∑k=1
1
k2(3.45)
ist die Fourier-Reihe von cz also normal konvergent auf R und aus Satz 3.8 folgt:
3 FOURIER-REIHEN 15
coszx =2z
πsinzπ
(1
2z2+∞∑k=1
(−1)kcoskx
z2 − k2
), x ∈ [−π, π]. � (3.46)
Bisher musste immer uberpruft werden, ob die Fourier-Reihe einer Funktion f auch konver-giert. Im nachsten Satz sehen wir, dass es ausreicht, wenn die Funtion f ∈ C2π(R)∩C1(R).
3.10 Satz
a)Fur f ∈ C2π(R) ∩ C1(R) gilt
f(k) =1
ikf ′(k) fur k ∈ Z \ {0}. (3.47)
b)Fur m ∈ N0 und f ∈ C2π(R) ∩ Cm(R) gilt:
|f(k)| ≤ ||f(m)|||k|m
fur k ∈ Z \ {0}; (3.48)
c) fur m≥ 2 ist die Fourier-Reihe von f normal konvergent (gegen f).Eine Reihe
∑fk heißt normal konvergent, fall die Reihe
∑||f || reeller Zahlen konvergent
ist.Beweisa)
partielle Integration von f (3.4), die Randterme heben sich wegen der 2π Periodizitat weg:
f(k) =1
2π
[f(x)
1
−ike−ikx
]π−π− 1
2π
∫ π
−π
1
−ike−iksf ′(x) dx
=1
2π
[f(π)
1
−ike−ikπ − f(−π)
1
−ikeikπ]
+1
ik
(1
2π
∫ π
−πf ′(x)e−ikπ dx
)︸ ︷︷ ︸
=f ′(k)
=1
−2ikπ
[f(π)e−ikπ − f(π)eikπ
]+
1
ikf ′(k)
=1
−2ikπ
f(π) (e−ikπ − eikπ︸ ︷︷ ︸=0
)
+1
ikf ′(k)
=1
ikf ′(k)
b)
3 FOURIER-REIHEN 16
Mit f sind auch alle Ableitungen f (j), j = 1, ...,m 2π-periodisch; aus a) folgt daher induktiv
f(k) = 1(ik)m
f (m)(k) fur k ∈ Z \ {0}:I.A.: f(k) = 1
ikf ′(k)
I.V.: f(k) = f (n)(k) 1(ik)n
I.S.: n→ n+ 1
f(k)I.V.=
1
(ik)nf (n)(k) =
1
(ik)n1
ikfn+1(k) =
1
(ik)n+1fn+1(k).
|f(k)| einsetzen=
∣∣∣∣ 1
(ik)mf (m)(k)
∣∣∣∣=
∣∣∣∣ 1
(ik)m
∣∣∣∣ ∣∣∣f (m)(k)∣∣∣
=1
|ik|m∣∣∣fm(k)
∣∣∣=
1
|k|m
∣∣∣∣ 1
2π
∫ π
−πf (m)(x)e−ikxdx
∣∣∣∣≤ 1
|k|m1
2π
∫ π
−π|f (m)(x)||e−ikx| dx
=1
|k|m1
2π
∫ π
−π|f (m)(x)| dx
≤ 1
|k|m2π
∫ π
−π||f (m)||sup dx
=1
|k|m2π||f (m)||sup
∫ π
−π1 dx
=2π
|k|m2π||f (m)||sup
=1
|k|m||f (m)||sup �
4 WEIERSTRASSSCHER APPROXIMATIONSSATZ 17
c)
∑k∈Z
||f(k)eikx|| ∗=∑k∈Z
|f(k)|
≤
∑k∈Z\{0}
||f (m)|||k|m
+ |f(0)|
=
||f (m)||∑
k∈Z\{0}
1
|k|m
+ |f(0)|
= |f(0)|+ ||f (m)||2∞∑k=1
1
km⇒∑k∈Z
||f(k)eikx|| < ∞ fur m ≥ 2
∗ ||f(k)eikx||sup = supx∈R|f(k)eikx| = sup
x∈R
(|f(k)||eikx|
)= |f(k)|sup
x∈R| eikx︸︷︷︸
=1
| = |f(k)|
�
4 Weierstraßscher Approximationssatz
Durch die Anwendung von Fourier-Reihen und dem Satz von Fejer lasst sich ein weiterer,sehr wichtiger Satz fur die Analysis beweisen. Der Weierstraßscher Approximationssatzliefert eine Aussage uber die gleichmaßige Approximation stetiger Funktionen durch Poly-nome.
4.1 Approximationssatz von Weierstraß
Es seien J ⊆ R ein kompaktes Intervall, f ∈ C(J,C) und ε > 0. Dann gibt es ein PolynomP ∈ C[x] mit
||f − P ||J = supx∈J|f(x)− P (x)| ≤ ε (4.1)
Beweis1)Durch lineare Substitution x = αt + β kann J so gestaucht und verschoben werden, dassJ ⊆ (−π, π).2.)Weiter kann f zu einer stetigen, 2π periodischen Funktion in C2π(R) fortgesetzt werden.Damit gibt es nach dem Satz von Fejer 3.7 ein m ∈ N und Zahlen (ck)−m≤k≤m ⊆ C mit
4 WEIERSTRASSSCHER APPROXIMATIONSSATZ 18
supx∈J|f(x)−
m∑k=−m
ckeikx| ≤ ε
2. (4.2)
In der Tat gilt σn(f ;x) → f(x) gleichmaßig aufgrund des Satzes von Fejer, d.h. |f(x) −σn(f ;x)| → 0 gleichmaßig.
σn(f ;x) =1
n
n−1∑j=0
sj(f ;x) =1
n
n−1∑j=0
j∑k=−j
f(k)eikx
=1
n
(f(0)ei·0·x + f(−1)ei·(−1)·x + f(0)ei·0·x + .....
)Damit ist σn(f ;x) als
∑mk=−m cke
ikx darstellbar und nach Fejer existiert ein m ∈ N mitsupx∈J|f(x)−
∑mk=−m cke
ikx| ≤ ε2.
3)Weiter ist
eikx =∞∑l=0
(ikx)l
l!
eine auf J gleichmaßig konvergente Entwicklung:z.z.:
supx∈J
∣∣∣∣∣eikx −N∑l=0
(ikx)l
l!
∣∣∣∣∣→ 0 (N →∞)
Beweis:
supx∈J
∣∣∣∣∣eikx −N∑l=0
(ikx)l
l!
∣∣∣∣∣ = supx∈J
∣∣∣∣∣∞∑
l=N+1
(ikx)l
l!
∣∣∣∣∣≤ sup
x∈J
∞∑l=N+1
|ikx|l
l!
= supx∈J
∞∑l=N+1
(k|x|)l
l!
≤∞∑
l=N+1
(kπ)l
l!
→N→∞
0 da∞∑l=0
(kπ)l
l!konvergent ist
Daher gibt es ein großes nk ∈ N fur das gilt:
4 WEIERSTRASSSCHER APPROXIMATIONSSATZ 19
supx∈J|ck|
∣∣∣∣∣eikx −nk∑l=0
(ikx)l
l!
∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸→0(nk→∞)
≤ ε
2(2m+ 1). (4.3)
4)
Mit P (x) :=∑m
k=−m ck∑nk
l=0(ikx)l
l!∈ C[x] folgt dann die Behauptung:
supx∈J|f(x)− P (x)| = sup
x∈J
∣∣∣∣∣f(x)−m∑
k=−m
ck
nk∑l=0
(ikx)l
l!
∣∣∣∣∣≤ sup
x∈J
∣∣∣∣∣f(x)−m∑
k=−m
ckeikx
∣∣∣∣∣+ supx∈J
∣∣∣∣∣m∑
k=−m
ckeikx −
m∑k=−m
ck
nk∑l=0
(ikx)l
l!
∣∣∣∣∣≤ sup
x∈J
∣∣∣∣∣f(x)−m∑
k=−m
ckeikx
∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸≤ ε
2
+supx∈J
∣∣∣∣∣m∑
k=−m
ck
(eikx −
nk∑l=0
(ikx)l
l!
)∣∣∣∣∣≤ ε
2+
m∑k=−m
supx∈J
∣∣∣∣∣ck(eikx −
nk∑l=0
(ikx)l
l!
)∣∣∣∣∣≤ ε
2+
m∑k=−m
supx∈J|ck|
∣∣∣∣∣eikx −nk∑l=0
(ikx)l
l!
∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸≤ ε
2(2m+1)
≤ ε
2+
m∑k=−m
ε
2(2m+ 1)
≤ ε
2+ε
2
m∑k=−m
1
2m+ 1︸ ︷︷ ︸=1
≤ ε �
4.2 Bemerkung
Fur f ∈ C(J,R) kann auch P ∈ R[x] gewahlt werden. Notfalls ersetzt man einfach P durchReP . Dies ist moglich, da f reelwertig ist und damit Ref → f und Imf → 0; Da ReP einPolynom ist und ReP → f , ist ReP ein approximierendes Polynom.
5 LITERATURVERZEICHNIS 20
5 Literaturverzeichnis
[1] Winfried Kaballo: Einfuhrung in die Analysis I, 2. Auflage[2] Winfried Kaballo: Einfuhrung in die Analysis I, 2. Auflage; Seite 137 Theorem 18.2[3] Winfried Kaballo: Einfuhrung in die Analysis I, 2. Auflage; Seite 305 Aufgabe 38.1[4] Winfried Kaballo: Einfuhrung in die Analysis I, 2. Auflage; Seite 195 Gleichung (4)[5] Winfried Kaballo: Einfuhrung in die Analysis I, 2. Auflage; Seite 48 Aufgabe 5.11
