Ομάδα Α’ Αντωνίου Καλυψώ Αρμάου Δήμητρα Σετιάν Μαρία

Ένα fractal, όπως η νιφάδα του Κoch (Κoch Snowflake), που είναι τοπολογικά μονοδιάστατο, ποτέ δεν φαίνεται σαν μια ευθεία γραμμή , όσο κοντά κι αν την κοιτάμε. Αντίθετα, είναι οδοντωτό, σαν μια ακτή. Όσο κι αν πλησιάζουμε, υπάρχουν εσοχές και οι εσοχές έχουν επιμέρους κοιλώματα κλπ.

Η έννοια του "Fractal" έχει υποστεί βελτίωση από πολλούς αλλά εισήχθηκε για πρώτη φορά από τον B. Mandelbrot και ορίστηκε σαν ένα σύνολο με κλασματική (μη ακέραια) διάσταση.

Ένα γεωμετρικό αντικείμενο θεωρείται fractal εάν έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:› τα τμήματά του έχουν το

ίδιο σχήμα ή δομή με το σύνολο, εκτός από το ότι είναι σε διαφορετική κλίμακα

› το σχήμα του είναι πολύ ανώμαλο ή διακεκομμένο ή κατατμημένο σε όλες τις κλίμακες

› περιέχει διακριτά αντικείμενα σε διάφορες κλίμακες

Η συνεχής επανάληψη των ίδιων ή παρόμοιων χαρακτηριστικών σε διαφορετική κλίμακα δημιουργεί ένα fractal.

Τα Fractals είναι αφηρημένα μαθηματικά αντικείμενα, ωστόσο μπορούμε να βρούμε προσεγγίσεις τους στη φύση.

Μη-Fractal Κατά τη μεγέθυνση, δεν φαίνονται νέα χαρακτηριστικά

Fractal Κατά τη μεγέθυνση, φαίνονται νέα χαρακτηριστικά. Το σχήμα των μικρότερων χαρακτηριστικών μοιάζει με

αυτό των μεγαλύτερων.

Μια ακτή φαίνεται «δαντελωτή»

Θα φανταζόταν κανείς ότι μεγεθύνοντας ένα τμήμα της, θα φαινόταν ομαλή

Αλλά δεν ισχύει αυτό! Όσο κι αν μεγεθύνει κανείς,

η ακτή παραμένει ανώμαλη. Η ακτή παρουσιάζει όμοια

χαρακτηριστικά σε διάφορες κλίμακες.

Αυτό ονομάζεται self-similarity.

Η διάσταση του Fractal δίνει ένα ποσοτικό μέγεθος του self-similarity και scaling. Μας λέει πόσα νέα κομμάτια θα αποκαλυφθούν εάν αυξήσουμε τη μεγέθυνση.

Μια απεικόνιση της μέτρησης (πχ μήκους) ως προς την κλίμακα σε λογαριθμική κλίμακα θα έδινε μια ευθεία γραμμή, της οποίας η κλίση ονομάζεται fractal dimension.

Θεωρούμε την καμπύλη μιας χιονοστιβάδας (Koch) που δημιουργείται με την επαναληπτική αντικατάσταση του ___ με _/\_, όπου καθένα από τα νέα 4 τμήματα έχει μήκος το 1/3 του αρχικού. Μεγενθύνοντας τη χιονοστιβάδα κατά 3, η καμπύλη είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερη. (one of the old snowflake curves can be placed on each of the 4 segments _/\_).

Log 4 / log 3 = 1.261... Η διάσταση δεν είναι ακέραια!.

Υπάρχουν πολλές μαθηματικές δομές που είναι fractals › Sierpinski triangle, › Koch snowflake, › Peano curve, › Mandelbrot set, › and Lorenz attractor.

Koch Snowflake

Sierpinski triangle

Peano curve

Τα Fractals περιγράφουν επίσης και πολλά αντικείμενα στον πραγματικό κόσμο,

σύννεφα, βουνά, τυρβώδη ροή, ακτές, που δεν αντιστοιχούν σε απλά μαθηματικά σχήματα. Παρόλο που συνήθως χρησιμοποιούμε απλοποιημένα

μοντέλα, πολλές δομές στη φύση παρουσιάζουν περίπλοκη μορφή και self-similarity.

Πχ οι δομές με διακλαδώσεις Στη φύση, οι διαδοχικές διακλαδώσεις δεν μπορούν να

συνεχίζονται επ΄άπειρο, όπως σε ένα μαθηματικό μοντέλο, αλλά για πχ 5 ή 10 επίπεδα, ανάλογα με τη βιολογική δομή.

Οι δομές αυτές είναι πολύ αποτελεσματικές. Για παράδειγμα το έντερο. › Αν έπρεπε κανείς να σχεδιάσει τη γεωμετρία μιας

επιφάνειας που πρέπει να χωράει σε πεπερασμένο όγκο αλλά να έχει μέγιστη επιφάνεια, ώστε να να μεγιστοποιείται η ροή θρεπτικών συστατικών προς το αίμα, τότε θα προέκυπτε ότι μια self-similar fractal δομή είναι η βέλτιστη.

Ανάλογα, εάν ο στόχος είναι η μεγιστοποιήση της μεταφοράς οξυγόνου μέσω μιας επιφάνειας που περιέχεται σε πεπερασμένο όγκο ή η μεγιστοποίηση των εισόδων που μπορεί να λάβει ένας νευρώνας από άλλα κύτταρα, self-similar δομές πληρούν αυτές τις συνθήκες.

Επομένως, οι self-similar βιολογικές δομές μας δείχνουν τη χρησιμότητα της λειτουργία μη γραμμικών κανόνων και αποτελούν βέλτιστη σχεδίαση από πλευράς εξελικτικής διεργασίας.

Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως "μαγική εικόνα" που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα(self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.