UNIDAD 9:“UTILICEMOS

TRIGONOMETRÍA”

Círculo Trigonométrico

unitario

René Cortez Arévalo

Un círculo con centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares y con radio igual a 1 se llama un círculo unitario.

Si el punto P(x,y) pertenece al círculo unitario, y el segmento OP es un radio, entonces OP intercepta un arco dirigido q va desde el eje de x hasta P (arco S).

El arco interceptado, arco S, tiene la misma medida que el ángulo central ϴ.

En el círculo unitario definimos

sin(s) = sin(ϴ) como la distancia, y, vertical desde P hasta el eje de x.

Similarmente, definimos cos(s)=cos(ϴ) como la distancia horizontal desde el origen hasta la coordenada en x del punto P.

Arco s

Si el círculo NO es unitario, entonces NO es de radio 1.

En este caso, se determina el seno y el coseno del ángulo central utilizando el triángulo recto imaginario que se forma y las razones que estudiamos para el triángulo recto.

Radio = 3

hipotenusaopuesto

)sin(

hipotenusaadyacente

)cos(

Utilizando el triángulo recto imaginario podemos traducir estas razones a:

ry

)sin(

rx

)cos(

Vimos anteriormente que en un triángulo recto:

Similarmente podemos usar el triángulo recto imaginario que se forma dentro del círculo para determinar las otras 4 razones trigonométricas:

xy

adyop

)tan(

yx

opady

)cot(

xr

adyhip

)sec(

yr

ophip

)csc(

22

)sin( ry

22

)cos( rx

2,2P

122

)tan( xy

Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el punto P, hallar los valores de las 6 razones trigonométricos.

Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2, y el punto P, hallar los valores de las 6 razones trigonométricos.

22

)csc( yr

22

)sec( xr

122

)cot( yx

2,2P22

22

22

22

EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las razones trigonométricas del ángulo central que se muestra.

54

,53

P

Sabemos que:•el radio es 1•x=•y=

•Por lo tanto,

54

)sin(

x

y

53

54

53

)cos(

34

)tan( xy

EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las razones trigonométricas del ángulo central que se muestra.

54

,53

P

Las relaciones recíprocas son:

45

)csc( x

y35

)sec(

43

)cot( yx

PRÁCTICA Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los

siguientes círculos.

1312

,135

P

8,15P

Radio = 1 Radio = 17

SOLUCIONES

Hallar los valores de las 6 razones trigonométricas en los siguientes círculos.

1312

,135

P

Radio = 1

8,15P

Radio = 17

135

cos

1312

sin

5

12tan

5

13sec

1213

csc

125

cot

1715

cos

178

sin

158

tan

1517

sec

8

17csc

8

15cot

Gráfica de Funciones Trigonométricas

Hemos enfatizado en presentaciones anteriores que podemos extender las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos en un triángulo recto a ángulos de cualquier magnitud en el círculo.Recuerde:

También hemos enfatizado el comportamiento de las razones trigonométricas a medida que rotamos alrededor del círculo formando ángulos.

Recuerde que aunque aquí se muestran algunos ángulos más conocidos podemos hallar el seno o el coseno a ángulos con cualquier medida.

Hallar la razón trigonométrica indicada.

(5)sin 4.

) tan(-2403.

)30cos( 2.

)sin( .1

o

815

3827.08

sin

10cos

33

tan3

4tan

Nota que el 5 representa 5 radianes. Un ángulo que mide 5 radianes está en 4to cuadrante. ¿Puedes explicar por qué?

0.9589-

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para definir las funciones trigonométricas se define como entrada, ϴ, cualquier ángulo medido en radianes. De esta forma el Dominio los números reales.

El Rango de las funciones f(ϴ) = sen(ϴ) y g(ϴ) = cos (ϴ) es [-1,1].

Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes funciones trigonométricas

f(ϴ) = sin(ϴ), g(ϴ) = cos (ϴ) y h(ϴ) = tan (ϴ).Dominio de una función trigonométrica es el conjunto de los Reales.

GRÁFICAS DE F(X)=SIN(X) Y G(X) = COS(X) Comenzaremos el estudio de las gráficas de las funciones

de seno y coseno armando una tabla de valores.

GRÁFICA DE F(X)=SIN(X)Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

Unamos los puntos con una curva suave y

continua.

GRÁFICA DE F(X)=SIN(X)Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

Unamos los puntos con una curva suave y

continua.

GRÁFICA DE G(X)=COS(X)Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

Unamos los puntos con una curva suave y

continua.

GRÁFICA DE G(X)=COS(X)Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

Unamos los puntos con una curva suave y

continua.

GRÁFICAS DE F(X)=SIN(X) Y G(X)=COS(X)Observemos las gráficas en un mismo plano trigonométrico.

GRÁFICAS DE F(X)=SIN(X)

GRÁFICAS DE F(X)=COS(X)

Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)

1. En las gráficas anteriores se puede observar el gran parecido que existe entre ambas.

2. De hecho, parece que podemos trasladar la gráfica de g(x)=cos(x) π/2 unidades y obtener la gráfica de f(x)=sin(x).

3. Podemos describir este parecido diciendo que f(x)= sin(x) = cos(x-[/2]).

Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º mide /2 (en números reales o radianes).

Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)

4. En las gráficas anteriores también se puede observar que los valores de ambas funciones se repiten cíclicamente para múltiplos de 2.

5. Este comportamiento se puede describir f(x) = sin(x) = sin(x + 2n ) donde n pertenece a los enteros (n ).

6. También podemos decir queg(x) = cos(x) = cos(x + 2n ) donde n .

CREANDO NUEVAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

• Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones.

• F(x)=2 sin(x)• F(x) = sin(2x)• F(x) = 2 sin(x +1)• F(x) = 2 sin(x) + 1

GRÁFICA DE F(X) = 2 SEN(X)

GRÁFICA DE F(X) = SIN(2X)

CREANDO NUEVAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: TRANSFORMACIONES

• Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones.

• F(x)=2 cos(x)• F(x) = cos(2x)• F(x) = 2 cos(x +1)• F(x) = 2 cos(x) + 1

GRÁFICA DE F(X)=2COS(X)

GRÁFICA DE F(X)=COS(2X)

GRÁFICA DE H(X)=TAN(X) Vamos a construir una tabla con algunos

valores de tangente para varios ángulos. Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está

definido para algunos ángulos. ¿Por qué?

Como se muestra en siguiente gráfica,, no siempre es posible definir la función tangente de un ángulo (x). De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma el valor de cero, la función tangente no está definida (¿por qué?).

Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes).

-1.000

-0.800

-0.600

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

tan(x)

2 3--2-3