Matematyka
Funkcje Elementarne
Aleksander Denisiuk
[email protected]
Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna
ul. Lotnicza 2
82-300 Elblag
Matematyka p. 1
Funkcje Elementarne
Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna jest pod adresem
http://denisjuk.euh-e.edu.pl/
Matematyka p. 2
http://denisjuk.euh-e.edu.pl/
Potega wymierna
Twierdzenie 1. Niech n N. Wtedy funkcja xn przy x [0,+) rosniei jest ciaga.
Dowd. xn2 xn1 = (x2 x1)(xn12 + xn22 x1 + + xn11 ).Wniosek 2. Istnieje funkcja, odwrotna do xn : [0,+) [0,+),pierwiastek stopnia n: y 7 ny.Definicja 3. Niech bedzie liczba wymierna. Wtedy dla a > 0 okreslonejest a w sposb nastepujacy:
1. Dla n > 0: x1
n = na,
2. dla m,n > 0: am
n =(
a1
n
)m,
3. a0 = 1,
4. dla < 0: a = 1a .
Matematyka p. 3
Wasnosci wymiernej potegi
Twierdzenie 4. 1. (a) = a, a b = (ab), a a = a+ .2. Dla a > 1 oraz > 0 a > 1.
3. Dla a > 1 funkcja ax rosnie na zbiorze liczb wymiernych.
Dowd. 2. Zaozymy, ze am
n < 1.
3. am1
n1 < am2
n2 dla m1n1 1. Istnieje jedyna liczbarzeczywista y, taka, ze dla dowolnych liczb , Q, < x < a 6 y 6 a .Definicja 6. Definiujemy dla a > 1, x R, potege ax jako jedyna liczbe,okreslona w twierdzeniu 5. Dla 0 < a < 1 definiujemy ax =
(
1a
)
x.
Matematyka p. 5
Wasnosci funkcji wykadniczej
Twierdzenie 7. 1. (a) = a, a b = (ab), a a = a+ .2. Funkcja ax dla a > 1 rosnie, dla 0 < a < 1 maleje na caa prosta.
3. Funkcja ax jest ciaga x R.4. Funkcja ax jest dodatnia x R.5. Dla a > 1 lim
xax = 0, lim
x+ax = +, dla 0 < a < 1
limx
ax = +, limx+
ax = 0.
6. Zbiorem wartosci funkcji ax (a 6= 1) jest pprosta (0,+).
Matematyka p. 6
Wykres funkcji y = ax
Rysunek 1: Wykres funkcji y = ax dla a > 1 (po lewej)oraz dla 0 < a < 1 (po prawej)
Matematyka p. 7
Logarytm
Definicja 8. Funkcje loga x : (0,+) R, a (0, 1) (1,+)definiujemy jako odwrotna do ax : R (0,+).
Wasnosci logarytmu
Twierdzenie 9. 1. loga(x1 x2) = loga x1 + loga x2,loga(
x1x2) = loga x1 loga x2, loga(x) = loga x,
loga x =log
bx
logba .
2. Funkcja y = loga x jest ciaga i rosnaca na pprostej (0,+) dlaa > 1 oraz malejaca dla 0 < a < 1.
3. limx0+
loga x = , limx+
loga x = + przy a > 1 orazlim
x0+loga x = +, lim
x+loga x = przy 0 < a < 1.
Matematyka p. 8
Wykres funkcji y = loga x
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2 4 6 8
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2 4 6 8
Rysunek 2: Wykres funkcji y = loga x dla a > 1 (po lewej)oraz dla 0 < a < 1 (po prawej)
Uwaga 10. Logarytm przy podstawie e nazywa sie naturalnym i oznaczasie ln x.
Matematyka p. 9
Funkcja potegowa
Definicja 11. Dla R, okreslamy funkcje x : (0,+) (0,) wsposb nastepujacy: x = e lnx.
Wasnosci funkcji potegowej
Twierdzenie 12. 1. Funkcja x jest funkcja ciaga na (0,+).2. Funkcja x jest funkcja rosnaca przy > 0 i malejaca przy < 0 na
przedziale (0,+).3. lim
x0+x = 0 przy > 0 oraz lim
x0+x = + przy < 0.
4. limx+
x = + przy > 0 oraz limx+
x = 0 przy < 0.
Matematyka p. 10
Wykres funkcji y = x
0
0.5
1
1.5
2
0.5 1 1.5 2
>1 =1
1
Rysunek 3: Wykres funkcji y = x dla > 0 (po lewej)oraz dla < 0 (po prawej)
Matematyka p. 11
Podstawowe wasnosci funkcji trygonometrycznych
Twierdzenie 13. 1. sin(x+ y) = sin x cos y + cosx sin y,
2. cos(x+ y) = cosx cos y sin x sin y,3. sin2 x+ cos2 y = 1,
4. sin 0 = 0, sin 2= 1,
5. cos 0 = 1, cos 2= 0,
6. Dla 0 < x < 2
0 < sin x < x < sinxcosx .
Matematyka p. 12
Wasnosci funkcji trygonometrycznych
Wniosek 14. 1. | sin x| 6 1, | cos x| 6 1,2. sin(x) = sin x, cos(x) = cosx,3. sin(x y) = sin x cos y cosx sin y,4. cos(x y) = cosx cos y + sin x sin y,5. sin x+ sin y = 2 sin x+y
2cos xy
2,
6. sin x sin y = 2 sin xy2
cos x+y2
,
7. cosx = sin(2 x),
8. sin(x+ 2) = sin x, cos(x+ 2) = cosx,
9. | sin x| 6 |x|.
Matematyka p. 13
Funkcje okresowe
Definicja 15. Funkcja f(x) nazywa sie okresowa, jezeli istnieje minimalnaliczba T R, takia, ze x zachodzi f(x+ T ) = f(T ). Liczba T przy tymnazywa sie okresem funkcji f(x).
Uwaga 16. Wasnosc 8 oznacza, ze funkcje sin x i cosx maja okres 2.Mozna udowodnic, ze 2 jest najmniejszym z okresw.
Uwaga 17. Staa funkcja nie jest okresowa.
Matematyka p. 14
Wasnosci funkcji sin x oraz cosx. Cd.
Twierdzenie 18. Funkcje sin x oraz cosx sa ciage na caej prostej R.
Dowd. sin x jest ciaga w zerze. sin x sin xn = 2 cos x+xn2 sin xnx2 jest ciagiem nieskonczone
maym dla ciagu xn x. cosx = sin(
2 x).
Twierdzenie 19. Funkcja sin x rosnie na kazdym z przedziaw[2k
2, 2k +
2] i maleje na kazdym z przedziaw
[(2k + 1) 2, (2k + 1) +
2], zas funkcja cosx rosnie na kazdym z
przedziaw [2k, 2k + ] i maleje na kazdym z przedziaw[2k , 2k]. Wszedzie k jest liczba cakowita, k = 0,1,2, . . . .
Matematyka p. 15
Wykresy funkcji sin x oraz cos x
-1
-0.5
0
0.5
1
-10 -5 5 10 22
-1
-0.5
0
0.5
1
-10 -5 5 10/2 5/2/25/2 3/2
Rysunek 4: Wykres funkcji y = sin x (po lewej) oraz y =cosx (po prawej)
Matematyka p. 16
Funkcje tg x, ctg x
Definicja 20. 1. tg x = sinxcosx
2. ctg x = cosxsinx .
Uwaga 21. W literaturze anglojezycznej uzywa sie oznaczen tan x orazcotx.
Wasnosci funkcji tg x i ctg x
Twierdzenie 22. 1. Funkcja tg x jest ciaga przy x 6= 2+ k, zas funkcja
ctg x jest ciaga przy x 6= k.2. Funkcje tg x oraz ctg x maja okres .
3. Funkcja tg x rosnie na kazdym z przedziaw (2+ k,
2+ k), zas
funkcja ctg x maleje na kazdym z przedziaw (k, + k) (k Z).
Matematyka p. 17
Wykresy funkcji tg x oraz ctg x
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4/2 3/2/23/2
-4
-2
0
2
4
-4 -2 2 4
Rysunek 5: Wykres funkcji y = tg x (po lewej) oraz y =ctg x (po prawej)
Matematyka p. 18
Funkcje koowe (odwrotne trygonometryczne funkcje)
Definicja 23. arcsin x : [1, 1] [2, 2] jest funkcja odwrotna do
sin x : [2, 2] [1, 1].
arccosx : [1, 1] [0, ] jest funkcja odwrotna docosx : [0, ] [1, 1].
arctg x : (,+) (2, 2) jest funkcja odwrotna do
tg x : (2, 2) (,+).
arcctg x : (,+) (0, ) jest funkcja odwrotna doctg x : (0, ) (,+).
Twierdzenie 24. 1. Wszystkie te funkcje sa ciage,
2. funkcje arcsin x i arctg x sa rosnace,
3. arccosx oraz arcctg x sa malejace.
Matematyka p. 19
Wykresy funkcji arcsin x oraz arccos x
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1 -0.5 0.5 1
/2
/2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1 -0.5 0.5 1
Rysunek 6: Wykres funkcji y = arcsin x (po lewej) orazy = arccosx (po prawej)
Matematyka p. 20
Wykresy funkcji arctg x oraz arcctg x
-1
-0.5
0
0.5
1
-3 -2 -1 1 2 3
/2
/2
0.5
1
1.5
2
2.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Rysunek 7: Wykres funkcji y = arctg x (po lewej) orazy = arcctg x (po prawej)
Matematyka p. 21
Funkcje hiperboliczne
Definicja 25. 1. Funkcja sinh = exex
2nazywa sie sinusem
hiperbolicznym
2. Funkcja cosh = ex+ex
2nazywa sie cosinusem hiperbolicznym
3. Funkcja tgh = sinhxcoshx =
exex
ex+ex nazywa sie tangensem hiperbolicznym
4. Funkcja ctgh = cosh xsinhx =
ex+ex
exex nazywa sie cotangensem
hiperbolicznym
Twierdzenie 26. Funkcje hiperboliczne sa ciage we wszystkich punktachprostej R (cotangens hiperboliczny oprcz punktu x = 0).
Twierdzenie 27.
sinh(x+ y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,cosh(x+ y) = cosh x cosh y + sinhx sinh y.
Matematyka p. 22
Wykresy funkcji sinh x oraz cosh x
-4
-2
0
2
4
-3 -2 -1 1 2 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-2 -1 1 2
Rysunek 8: Wykres funkcji y = sinh x (po lewej) oraz y =cosh x (po prawej)
Matematyka p. 23
Wykresy funkcji tgh x oraz ctgh x
-1
-0.5
0
0.5
1
-2 -1 1 2
-4
-2
0
2
4
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
Rysunek 9: Wykres funkcji y = tghx (po lewej) oraz y =ctghx (po prawej)
Matematyka p. 24
Dwie granice
Twierdzenie 28. limx0
sinxx = 1.
Twierdzenie 29. limx0
(1 + x)1/x = e.
Matematyka p. 25
wyklad Potga wymiernaWasnoci wymiernej potgiFunkcja wykadniczaWasnoci funkcji wykadniczejWykres funkcji $y=a^x$ LogarytmWykres funkcji $y=log _ax$ Funkcja potgowaWykres funkcji $y=x^alpha $ Podstawowe wasnoci funkcji trygonometrycznychWasnoci funkcji trygonometrycznychFunkcje okresoweWasnoci funkcji $sin x$ oraz $cos x$. Cd.Wykresy funkcji $sin x$ oraz $cos x$Funkcje $g x$, $ctg x$Wykresy funkcji $g x$ oraz $ctg x$Funkcje koowe (odwrotne trygonometryczne funkcje)Wykresy funkcji $arcsin x$ oraz $a
