Click here to load reader

Funkcje Elementarne

  • View
    230

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Funkcje Elementarne

  • Matematyka

    Funkcje Elementarne

    Aleksander Denisiuk

    [email protected]

    Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna

    ul. Lotnicza 2

    82-300 Elblag

    Matematyka p. 1

  • Funkcje Elementarne

    Najnowsza wersja tego dokumentu dostepna jest pod adresem

    http://denisjuk.euh-e.edu.pl/

    Matematyka p. 2

    http://denisjuk.euh-e.edu.pl/

  • Potega wymierna

    Twierdzenie 1. Niech n N. Wtedy funkcja xn przy x [0,+) rosniei jest ciaga.

    Dowd. xn2 xn1 = (x2 x1)(xn12 + xn22 x1 + + xn11 ).Wniosek 2. Istnieje funkcja, odwrotna do xn : [0,+) [0,+),pierwiastek stopnia n: y 7 ny.Definicja 3. Niech bedzie liczba wymierna. Wtedy dla a > 0 okreslonejest a w sposb nastepujacy:

    1. Dla n > 0: x1

    n = na,

    2. dla m,n > 0: am

    n =(

    a1

    n

    )m,

    3. a0 = 1,

    4. dla < 0: a = 1a .

    Matematyka p. 3

  • Wasnosci wymiernej potegi

    Twierdzenie 4. 1. (a) = a, a b = (ab), a a = a+ .2. Dla a > 1 oraz > 0 a > 1.

    3. Dla a > 1 funkcja ax rosnie na zbiorze liczb wymiernych.

    Dowd. 2. Zaozymy, ze am

    n < 1.

    3. am1

    n1 < am2

    n2 dla m1n1 1. Istnieje jedyna liczbarzeczywista y, taka, ze dla dowolnych liczb , Q, < x < a 6 y 6 a .Definicja 6. Definiujemy dla a > 1, x R, potege ax jako jedyna liczbe,okreslona w twierdzeniu 5. Dla 0 < a < 1 definiujemy ax =

    (

    1a

    )

    x.

    Matematyka p. 5

  • Wasnosci funkcji wykadniczej

    Twierdzenie 7. 1. (a) = a, a b = (ab), a a = a+ .2. Funkcja ax dla a > 1 rosnie, dla 0 < a < 1 maleje na caa prosta.

    3. Funkcja ax jest ciaga x R.4. Funkcja ax jest dodatnia x R.5. Dla a > 1 lim

    xax = 0, lim

    x+ax = +, dla 0 < a < 1

    limx

    ax = +, limx+

    ax = 0.

    6. Zbiorem wartosci funkcji ax (a 6= 1) jest pprosta (0,+).

    Matematyka p. 6

  • Wykres funkcji y = ax

    Rysunek 1: Wykres funkcji y = ax dla a > 1 (po lewej)oraz dla 0 < a < 1 (po prawej)

    Matematyka p. 7

  • Logarytm

    Definicja 8. Funkcje loga x : (0,+) R, a (0, 1) (1,+)definiujemy jako odwrotna do ax : R (0,+).

    Wasnosci logarytmu

    Twierdzenie 9. 1. loga(x1 x2) = loga x1 + loga x2,loga(

    x1x2) = loga x1 loga x2, loga(x) = loga x,

    loga x =log

    bx

    logba .

    2. Funkcja y = loga x jest ciaga i rosnaca na pprostej (0,+) dlaa > 1 oraz malejaca dla 0 < a < 1.

    3. limx0+

    loga x = , limx+

    loga x = + przy a > 1 orazlim

    x0+loga x = +, lim

    x+loga x = przy 0 < a < 1.

    Matematyka p. 8

  • Wykres funkcji y = loga x

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2 4 6 8

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2 4 6 8

    Rysunek 2: Wykres funkcji y = loga x dla a > 1 (po lewej)oraz dla 0 < a < 1 (po prawej)

    Uwaga 10. Logarytm przy podstawie e nazywa sie naturalnym i oznaczasie ln x.

    Matematyka p. 9

  • Funkcja potegowa

    Definicja 11. Dla R, okreslamy funkcje x : (0,+) (0,) wsposb nastepujacy: x = e lnx.

    Wasnosci funkcji potegowej

    Twierdzenie 12. 1. Funkcja x jest funkcja ciaga na (0,+).2. Funkcja x jest funkcja rosnaca przy > 0 i malejaca przy < 0 na

    przedziale (0,+).3. lim

    x0+x = 0 przy > 0 oraz lim

    x0+x = + przy < 0.

    4. limx+

    x = + przy > 0 oraz limx+

    x = 0 przy < 0.

    Matematyka p. 10

  • Wykres funkcji y = x

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    0.5 1 1.5 2

    >1 =1

    1

    Rysunek 3: Wykres funkcji y = x dla > 0 (po lewej)oraz dla < 0 (po prawej)

    Matematyka p. 11

  • Podstawowe wasnosci funkcji trygonometrycznych

    Twierdzenie 13. 1. sin(x+ y) = sin x cos y + cosx sin y,

    2. cos(x+ y) = cosx cos y sin x sin y,3. sin2 x+ cos2 y = 1,

    4. sin 0 = 0, sin 2= 1,

    5. cos 0 = 1, cos 2= 0,

    6. Dla 0 < x < 2

    0 < sin x < x < sinxcosx .

    Matematyka p. 12

  • Wasnosci funkcji trygonometrycznych

    Wniosek 14. 1. | sin x| 6 1, | cos x| 6 1,2. sin(x) = sin x, cos(x) = cosx,3. sin(x y) = sin x cos y cosx sin y,4. cos(x y) = cosx cos y + sin x sin y,5. sin x+ sin y = 2 sin x+y

    2cos xy

    2,

    6. sin x sin y = 2 sin xy2

    cos x+y2

    ,

    7. cosx = sin(2 x),

    8. sin(x+ 2) = sin x, cos(x+ 2) = cosx,

    9. | sin x| 6 |x|.

    Matematyka p. 13

  • Funkcje okresowe

    Definicja 15. Funkcja f(x) nazywa sie okresowa, jezeli istnieje minimalnaliczba T R, takia, ze x zachodzi f(x+ T ) = f(T ). Liczba T przy tymnazywa sie okresem funkcji f(x).

    Uwaga 16. Wasnosc 8 oznacza, ze funkcje sin x i cosx maja okres 2.Mozna udowodnic, ze 2 jest najmniejszym z okresw.

    Uwaga 17. Staa funkcja nie jest okresowa.

    Matematyka p. 14

  • Wasnosci funkcji sin x oraz cosx. Cd.

    Twierdzenie 18. Funkcje sin x oraz cosx sa ciage na caej prostej R.

    Dowd. sin x jest ciaga w zerze. sin x sin xn = 2 cos x+xn2 sin xnx2 jest ciagiem nieskonczone

    maym dla ciagu xn x. cosx = sin(

    2 x).

    Twierdzenie 19. Funkcja sin x rosnie na kazdym z przedziaw[2k

    2, 2k +

    2] i maleje na kazdym z przedziaw

    [(2k + 1) 2, (2k + 1) +

    2], zas funkcja cosx rosnie na kazdym z

    przedziaw [2k, 2k + ] i maleje na kazdym z przedziaw[2k , 2k]. Wszedzie k jest liczba cakowita, k = 0,1,2, . . . .

    Matematyka p. 15

  • Wykresy funkcji sin x oraz cos x

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -10 -5 5 10 22

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -10 -5 5 10/2 5/2/25/2 3/2

    Rysunek 4: Wykres funkcji y = sin x (po lewej) oraz y =cosx (po prawej)

    Matematyka p. 16

  • Funkcje tg x, ctg x

    Definicja 20. 1. tg x = sinxcosx

    2. ctg x = cosxsinx .

    Uwaga 21. W literaturze anglojezycznej uzywa sie oznaczen tan x orazcotx.

    Wasnosci funkcji tg x i ctg x

    Twierdzenie 22. 1. Funkcja tg x jest ciaga przy x 6= 2+ k, zas funkcja

    ctg x jest ciaga przy x 6= k.2. Funkcje tg x oraz ctg x maja okres .

    3. Funkcja tg x rosnie na kazdym z przedziaw (2+ k,

    2+ k), zas

    funkcja ctg x maleje na kazdym z przedziaw (k, + k) (k Z).

    Matematyka p. 17

  • Wykresy funkcji tg x oraz ctg x

    -4

    -2

    0

    2

    4

    -4 -2 2 4/2 3/2/23/2

    -4

    -2

    0

    2

    4

    -4 -2 2 4

    Rysunek 5: Wykres funkcji y = tg x (po lewej) oraz y =ctg x (po prawej)

    Matematyka p. 18

  • Funkcje koowe (odwrotne trygonometryczne funkcje)

    Definicja 23. arcsin x : [1, 1] [2, 2] jest funkcja odwrotna do

    sin x : [2, 2] [1, 1].

    arccosx : [1, 1] [0, ] jest funkcja odwrotna docosx : [0, ] [1, 1].

    arctg x : (,+) (2, 2) jest funkcja odwrotna do

    tg x : (2, 2) (,+).

    arcctg x : (,+) (0, ) jest funkcja odwrotna doctg x : (0, ) (,+).

    Twierdzenie 24. 1. Wszystkie te funkcje sa ciage,

    2. funkcje arcsin x i arctg x sa rosnace,

    3. arccosx oraz arcctg x sa malejace.

    Matematyka p. 19

  • Wykresy funkcji arcsin x oraz arccos x

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    -1 -0.5 0.5 1

    /2

    /2

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    -1 -0.5 0.5 1

    Rysunek 6: Wykres funkcji y = arcsin x (po lewej) orazy = arccosx (po prawej)

    Matematyka p. 20

  • Wykresy funkcji arctg x oraz arcctg x

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -3 -2 -1 1 2 3

    /2

    /2

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    Rysunek 7: Wykres funkcji y = arctg x (po lewej) orazy = arcctg x (po prawej)

    Matematyka p. 21

  • Funkcje hiperboliczne

    Definicja 25. 1. Funkcja sinh = exex

    2nazywa sie sinusem

    hiperbolicznym

    2. Funkcja cosh = ex+ex

    2nazywa sie cosinusem hiperbolicznym

    3. Funkcja tgh = sinhxcoshx =

    exex

    ex+ex nazywa sie tangensem hiperbolicznym

    4. Funkcja ctgh = cosh xsinhx =

    ex+ex

    exex nazywa sie cotangensem

    hiperbolicznym

    Twierdzenie 26. Funkcje hiperboliczne sa ciage we wszystkich punktachprostej R (cotangens hiperboliczny oprcz punktu x = 0).

    Twierdzenie 27.

    sinh(x+ y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,cosh(x+ y) = cosh x cosh y + sinhx sinh y.

    Matematyka p. 22

  • Wykresy funkcji sinh x oraz cosh x

    -4

    -2

    0

    2

    4

    -3 -2 -1 1 2 3

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    -2 -1 1 2

    Rysunek 8: Wykres funkcji y = sinh x (po lewej) oraz y =cosh x (po prawej)

    Matematyka p. 23

  • Wykresy funkcji tgh x oraz ctgh x

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -2 -1 1 2

    -4

    -2

    0

    2

    4

    -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

    Rysunek 9: Wykres funkcji y = tghx (po lewej) oraz y =ctghx (po prawej)

    Matematyka p. 24

  • Dwie granice

    Twierdzenie 28. limx0

    sinxx = 1.

    Twierdzenie 29. limx0

    (1 + x)1/x = e.

    Matematyka p. 25

    wyklad Potga wymiernaWasnoci wymiernej potgiFunkcja wykadniczaWasnoci funkcji wykadniczejWykres funkcji $y=a^x$ LogarytmWykres funkcji $y=log _ax$ Funkcja potgowaWykres funkcji $y=x^alpha $ Podstawowe wasnoci funkcji trygonometrycznychWasnoci funkcji trygonometrycznychFunkcje okresoweWasnoci funkcji $sin x$ oraz $cos x$. Cd.Wykresy funkcji $sin x$ oraz $cos x$Funkcje $g x$, $ctg x$Wykresy funkcji $g x$ oraz $ctg x$Funkcje koowe (odwrotne trygonometryczne funkcje)Wykresy funkcji $arcsin x$ oraz $a

Search related