Funktionalanalysis
Alexander Grigoryan
Universität Bielefeld
SS 2019
ii
Contents
1 Normierter Vektorraum 1
1.1 Vektorräume und Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Die Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Konvergenz und Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Satz von Picard-Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Maßund Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.2 Das Maß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3 Lebesgue-Maßin Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.4 Lebesgue-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.5 Fatou-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Lebesgue-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.1 Die p-Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.2 Denition von Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.3 Vollständigkeit von LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7.4 Der Raum LpC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7.5 C [a; b] als Unterraum von Lp [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Hilbertraum 43
2.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Skalarproduktnorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Geometrische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Denition von Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Konvexe Mengen im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Orthogonale Projektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.7 Approximation von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8 Stetige lineare Funktionale im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.9 Orthogonale Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.10 Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.11 Existenz orthogonaler Basis im separablen Hilbertraum . . . . . . . . . . . 68
2.12 Separabilität von Lebesgue-Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.13 Orthogonalbasen in L2 [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.13.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.13.2 Trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.14 Orthogonalbasen in L2 (A�B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.15 Weitere Beispiele von Orthogonalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
iii
iv CONTENTS
3 Lineare Operatoren im Hilbertraum 85
3.1 Operatornorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Integraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3 Adjungierter Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Inverser Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5 Spektrum eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.6 Selbstadjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.7 Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.8 Diagonalisierung von selbstadjungierten kompakten Operatoren . . . . . . 104
3.9 Randwertproblem und Greenscher Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.10 Sturm-Liouville-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.11 Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.12 � Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4 Funktionalkalkül von selbstadjungierten Operatoren 121
4.1 Polynome von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Stetige Funktionen von selbstadjungierten Operatoren . . . . . . . . . . . . 123
4.3 Der spektrale Abbildungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4 Weitere Eigenschaften von Funktionalkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5 � Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren 131
5.1 Operator-Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 Starke Konvergenz von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3 Monotone Grenzwerte der stetigen Funktionen und Funktionalkalkül . . . . 134
5.4 Spektralschar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.5 Riemann-Stieltjes-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.6 Spektralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6 Dualräume 145
6.1 Denition von Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Dualraum von lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3 Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.4 Bidualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.5 Dualraum von l1 und Banachlimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.6 Schwache Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.7 Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.8 Schwache Vollständigkeit des Dualraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.9 Schwache Präkompaktheit im Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7 � Sonstiges 159
7.1 Satz von Picard-Lindelöf für lineare Di¤erentialgleichungen . . . . . . . . . 159
7.2 Satz von Stone-Weierstraß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.3 Satz über die o¤ene Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4 Satz von der inversen Abbildung und Zerlegung von Spektrum . . . . . . . 172
7.5 Satz von Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.6 Dualraum von C[a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.7 Multiplikationsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Chapter 1
Normierter Vektorraum
03.04.19
Die Funktionalanalysis ist Analysis in unendlichdimensionalen Vektorräumen, insbeson-
dere in Funktionenräumen, während Analysis I und Analysis II mit endlichdimensionalen
Räumen beschäftigt sind.
1.1 Vektorräume und Lineare Operatoren
Vektorraum. Ein Vektorraum über KörperK ist eine Menge V mit Operationen Addition
x; y 2 V 7! x+ y 2 V
und skalare Multiplikation
� 2 K; x 2 V 7! �x 2 V;
die die folgenden Axiomen erfüllen:
Denition.
1. Nullvektor: es gibt ein 0 2 V mit x+ 0 = 0 + x = x für alle x 2 V .
2. Das Negative: für jedes x 2 V existiert ein �x 2 V mit x+ (�x) = (�x) + x = 0:
3. Assoziativgesetz für Addition: (x+ y) + z = x+ (y + z) :
4. Kommutativgesetz für Addition: x+ y = y + x:
5. Skalarmultiplikation mit 1: 1x = x für alle x:
6. Assoziativgesetz für Skalarmultiplikation: (��)x = � (�x) :
7. Distributivgesetz für Addition von Skalaren: (�+ �)x = �x+ �x:
8. Distributivgesetz für Addition von Vektoren: � (x+ y) = �x+ �y:
Der Körper K wird immer R oder C sein.
1
2 CHAPTER 1. NORMIERTER VEKTORRAUM
Operator. Seien X;Y zwei Vektorräume über K. Eine Abbildung A : X ! Y heißt
linear falls die folgenden Identitäten gelten:
A (x1 + x2) = A (x1) + A (x2)
�A (x) = A (�x) ;
für alle x1; x2 2 A und � 2 K. Lineare Abbildungen heißen auch Operatoren. Häug
schreibt man für Operatoren Ax anstatt A (x).
Die Vektorräume X;Y heißen isomorph falls es eine bijektive lineare Abbildung A :
X ! Y gibt. Man schreibt in diesem Fall X �= Y: Das Isomorphismus ist eine Äquivalen-
zrelation zwischen Vektorräumen, insbesondere, X �= Y und Y �= Z ergeben X �= Z. Gilt
X �= Y , dann sind alle Eigenschaften von Addition und skalar Multiplikation in X und
Y identisch.
Unterraum und Faktorraum. Eine Teilmenge U 2 V heißtUnterraum falls U geschlossen
bezüglich Addition und skalar Multiplikation ist, d.h. x; y 2 U ) x+ y 2 U und �x 2 U:
Dann ist U selbst auch ein Vektorraum.
Gegeben sei ein Unterraum U von V , man deniert eine Äquivalenzrelation � auf V :
x � y genau dann wenn x� y 2 U .
Behauptung. Die Relation � besitzt die folgenden Eigenschaften:
1. x � x (Reexivität)
2. x � y ) y � x (Symmetrie)
3. x � y und y � z ) x � z (Transitivität)
Beweis. 1. Wir haben x � x da x� x = 0 2 U:
2. Gilt x � y so gilt x� y 2 U und somit auch y � x = � (x� y) 2 U und y � x.
3. Gelten x � y und y � z dann gilt x � y 2 U und y � z 2 U , woraus folgt
x� z = (x� y) + (y � z) 2 U und somit x � z:
Jede Relation � mit den o.g. drei Eigenschaften heißt auch eine Äquivalenzrelation.
Für jedes x 2 V bezeichnen wir mit [x] die Äquivalenzklasse von x, d.h. die folgende
Teilmenge von V :
[x] = fz 2 V : z � xg :
Es ist klar, dass x 2 [x].
1.1. VEKTORRÄUME UND LINEARE OPERATOREN 3
Äquivalenzklassen von x und y
U
