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Funktionalanalysis - uni- grigor/falect19.pdf 2 2 Aund 2 K. Lineare Abbildungen heißen auch Operatoren. Häu–g schreibt man für Operatoren Axanstatt A(x). Die Vektorräume X;Y

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Text of Funktionalanalysis - uni- grigor/falect19.pdf 2 2 Aund 2 K. Lineare Abbildungen heißen auch...

  • Funktionalanalysis

    Alexander Grigoryan Universität Bielefeld

    SS 2019

  • ii

  • Contents

    1 Normierter Vektorraum 1 1.1 Vektorräume und Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Die Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Konvergenz und Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Satz von Picard-Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Maßund Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6.2 Das Maß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.3 Lebesgue-Maßin Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.4 Lebesgue-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.5 Fatou-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    1.7 Lebesgue-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7.1 Die p-Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7.2 Denition von Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.7.3 Vollständigkeit von LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.7.4 Der Raum LpC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.7.5 C [a; b] als Unterraum von Lp [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2 Hilbertraum 43 2.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Skalarproduktnorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Geometrische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Denition von Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Konvexe Mengen im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6 Orthogonale Projektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.7 Approximation von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.8 Stetige lineare Funktionale im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.9 Orthogonale Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.10 Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.11 Existenz orthogonaler Basis im separablen Hilbertraum . . . . . . . . . . . 68 2.12 Separabilität von Lebesgue-Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.13 Orthogonalbasen in L2 [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    2.13.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.13.2 Trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    2.14 Orthogonalbasen in L2 (A�B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.15 Weitere Beispiele von Orthogonalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    iii

  • iv CONTENTS

    3 Lineare Operatoren im Hilbertraum 85 3.1 Operatornorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2 Integraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.3 Adjungierter Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.4 Inverser Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.5 Spektrum eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.6 Selbstadjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.7 Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.8 Diagonalisierung von selbstadjungierten kompakten Operatoren . . . . . . 104 3.9 Randwertproblem und Greenscher Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.10 Sturm-Liouville-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.11 Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.12 � Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    4 Funktionalkalkül von selbstadjungierten Operatoren 121 4.1 Polynome von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.2 Stetige Funktionen von selbstadjungierten Operatoren . . . . . . . . . . . . 123 4.3 Der spektrale Abbildungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.4 Weitere Eigenschaften von Funktionalkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    5 � Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren 131 5.1 Operator-Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.2 Starke Konvergenz von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3 Monotone Grenzwerte der stetigen Funktionen und Funktionalkalkül . . . . 134 5.4 Spektralschar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.5 Riemann-Stieltjes-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.6 Spektralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    6 Dualräume 145 6.1 Denition von Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2 Dualraum von lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.3 Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.4 Bidualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.5 Dualraum von l1 und Banachlimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.6 Schwache Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.7 Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.8 Schwache Vollständigkeit des Dualraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.9 Schwache Präkompaktheit im Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    7 � Sonstiges 159 7.1 Satz von Picard-Lindelöf für lineare Di¤erentialgleichungen . . . . . . . . . 159 7.2 Satz von Stone-Weierstraß. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.3 Satz über die o¤ene Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.4 Satz von der inversen Abbildung und Zerlegung von Spektrum . . . . . . . 172 7.5 Satz von Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.6 Dualraum von C[a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.7 Multiplikationsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

  • Chapter 1

    Normierter Vektorraum

    03.04.19

    Die Funktionalanalysis ist Analysis in unendlichdimensionalen Vektorräumen, insbeson- dere in Funktionenräumen, während Analysis I und Analysis II mit endlichdimensionalen Räumen beschäftigt sind.

    1.1 Vektorräume und Lineare Operatoren

    Vektorraum. Ein Vektorraum über KörperK ist eine Menge V mit Operationen Addition

    x; y 2 V 7! x+ y 2 V

    und skalare Multiplikation � 2 K; x 2 V 7! �x 2 V;

    die die folgenden Axiomen erfüllen:

    Denition.

    1. Nullvektor: es gibt ein 0 2 V mit x+ 0 = 0 + x = x für alle x 2 V .

    2. Das Negative: für jedes x 2 V existiert ein �x 2 V mit x+ (�x) = (�x) + x = 0:

    3. Assoziativgesetz für Addition: (x+ y) + z = x+ (y + z) :

    4. Kommutativgesetz für Addition: x+ y = y + x:

    5. Skalarmultiplikation mit 1: 1x = x für alle x:

    6. Assoziativgesetz für Skalarmultiplikation: (��)x = � (�x) :

    7. Distributivgesetz für Addition von Skalaren: (�+ �)x = �x+ �x:

    8. Distributivgesetz für Addition von Vektoren: � (x+ y) = �x+ �y:

    Der Körper K wird immer R oder C sein.

    1

  • 2 CHAPTER 1. NORMIERTER VEKTORRAUM

    Operator. Seien X;Y zwei Vektorräume über K. Eine Abbildung A : X ! Y heißt linear falls die folgenden Identitäten gelten:

    A (x1 + x2) = A (x1) + A (x2)

    �A (x) = A (�x) ;

    für alle x1; x2 2 A und � 2 K. Lineare Abbildungen heißen auch Operatoren. Häug schreibt man für Operatoren Ax anstatt A (x). Die Vektorräume X;Y heißen isomorph falls es eine bijektive lineare Abbildung A :

    X ! Y gibt. Man schreibt in diesem Fall X �= Y: Das Isomorphismus ist eine Äquivalen- zrelation zwischen Vektorräumen, insbesondere, X �= Y und Y �= Z ergeben X �= Z. Gilt X �= Y , dann sind alle Eigenschaften von Addition und skalar Multiplikation in X und Y identisch.

    Unterraum und Faktorraum. Eine Teilmenge U 2 V heißtUnterraum falls U geschlossen bezüglich Addition und skalar Multiplikation ist, d.h. x; y 2 U ) x+ y 2 U und �x 2 U: Dann ist U selbst auch ein Vektorraum. Gegeben sei ein Unterraum U von V , man deniert eine Äquivalenzrelation � auf V :

    x � y genau dann wenn x� y 2 U .

    Behauptung. Die Relation � besitzt die folgenden Eigenschaften: 1. x � x (Reexivität)

    2. x � y ) y � x (Symmetrie)

    3. x � y und y � z ) x � z (Transitivität)

    Beweis. 1. Wir haben x � x da x� x = 0 2 U: 2. Gilt x � y so gilt x� y 2 U und somit auch y � x = � (x� y) 2 U und y � x. 3. Gelten x � y und y � z dann gilt x � y 2 U und y � z 2 U , woraus folgt

    x� z = (x� y) + (y � z) 2 U und somit x � z: Jede Relation � mit den o.g. drei Eigenschaften heißt auch eine Äquivalenzrelation. Für jedes x 2 V bezeichnen wir mit [x] die Äquivalenzklasse von x, d.h. die folgende

    Teilmenge von V : [x] = fz 2 V : z � xg :

    Es ist klar, dass x 2 [x].

  • 1.1. VEKTORRÄUME UND LINEARE OPERATOREN 3

    Äquivalenzklassen von x und y

    U