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Funzioni elementari: funzionitrigonometriche
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La circonferenza goniometricaLa circonferenza di equazione
x2 + y2 = 1
é detta circonferenza goniometrica.
0 A
1
− 1
− 1
P
α
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La circonferenza goniometrica
I suoi angoli sono misurati in radianti la cui misura é datacome
α =
_APOA
dove_AP indica la lunghezza del corrispondente arco di cir-
conferenza, mentre OA indica la lunghezza del raggio.
La misura dell’angolo in radianti é un semplice numeroreale senza alcuna dimensione.
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La circonferenza goniometrica
I suoi angoli sono misurati in radianti la cui misura é datacome
α =
_APOA
dove_AP indica la lunghezza del corrispondente arco di cir-
conferenza, mentre OA indica la lunghezza del raggio.
La misura dell’angolo in radianti é un semplice numeroreale senza alcuna dimensione.
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La circonferenza goniometrica
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Seno e coseno
Dato un angolo α ∈ [0,2π] definiamo
sin(α) = ordinata di P, ∀α ∈ [0,π]
cos(α) = ascissa di P, ∀α ∈ [0,π]
Per come é definita la circonferenza goniometrica si hainoltre
sin(α) ∈ [−1,1] e cos(α) ∈ [−1,1]
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Seno e coseno
Dato un angolo α ∈ [0,2π] definiamo
sin(α) = ordinata di P, ∀α ∈ [0,π]
cos(α) = ascissa di P, ∀α ∈ [0,π]
Per come é definita la circonferenza goniometrica si hainoltre
sin(α) ∈ [−1,1] e cos(α) ∈ [−1,1]
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Seno e coseno
Dato un angolo α ∈ [0,2π] definiamo
sin(α) = ordinata di P, ∀α ∈ [0,π]
cos(α) = ascissa di P, ∀α ∈ [0,π]
Per come é definita la circonferenza goniometrica si hainoltre
sin(α) ∈ [−1,1] e cos(α) ∈ [−1,1]
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Seno e sue proprietáLa funzione seno ha il seguente andamento
Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suoandamento.
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Seno e sue proprietáLa funzione seno ha il seguente andamento
Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suoandamento.
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Seno e sue proprietá
La funzione seno é periodica su R di periodo T = 2π, si hacioé
sin(x) = sin(x+ kT), ∀x ∈ R,k ∈ Z
La funzione seno é una funzione dispari
sin(−x) =−sin(x)
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Seno e sue proprietá
La funzione seno é periodica su R di periodo T = 2π, si hacioé
sin(x) = sin(x+ kT), ∀x ∈ R,k ∈ Z
La funzione seno é una funzione dispari
sin(−x) =−sin(x)
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Coseno e sue proprietáLa funzione coseno ha il seguente andamento
Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suoandamento.
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Coseno e sue proprietáLa funzione coseno ha il seguente andamento
Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suoandamento.
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Coseno e sue proprietá
La funzione coseno é periodica su R di periodo T = 2π, siha cioé
cos(x) = cos(x+ kT), ∀x ∈ R,k ∈ Z
La funzione coseno é una funzione pari
cos(x) = cos(−x)
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Coseno e sue proprietá
La funzione coseno é periodica su R di periodo T = 2π, siha cioé
cos(x) = cos(x+ kT), ∀x ∈ R,k ∈ Z
La funzione coseno é una funzione pari
cos(x) = cos(−x)
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Archi associati
Valgono le seguenti relazioni tra archi associati:
sin(x+π) =−sin(x) sin(π− x) = sin(x)
cos(x+π) =−cos(x) cos(π− x) =−cos(x)
sin(x+π
2) = cos(x) cos(x+
π
2) =−sin(x)
sin(π
2− x) = cos(x) cos(
π
2− x) = sin(x)
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Ancora sulle proprietá
La seguente relazione tra seno e coseno é nota come re-lazione fondamentale della trigonometria:
sin2(x)+ cos2(x) = 1
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Valori notevoli
Sfruttando le proprietá dei triangoli inscritti nella circon-ferenza goniometrica possiamo ricavare i valori delle fun-zioni seno e coseno per alcuni angoli particolari.
• α = π
4 sin(α) =√
22 , cos(α) =
√2
2
• α = π
3 sin(α) =√
32 , cos(α) = 1
2
• α = π
6 sin(α) = 12 , cos(α) =
√3
2
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Valori notevoli
Sfruttando le proprietá dei triangoli inscritti nella circon-ferenza goniometrica possiamo ricavare i valori delle fun-zioni seno e coseno per alcuni angoli particolari.
• α = π
4 sin(α) =√
22 , cos(α) =
√2
2
• α = π
3 sin(α) =√
32 , cos(α) = 1
2
• α = π
6 sin(α) = 12 , cos(α) =
√3
2
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Teorema del triangolo rettangolo
Si consideri il triangolo rettangolo di lati a,b,c in figura eil triangolo rettangolo di ipotenusa unitario inscritto nellacirconferenza goniometrica.
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Teorema del triangolo rettangolo
Dal confronto tra le due figure é possibile dimostrare cheb = ccos(α)
a = csin(α)ab = sin(α
cos(α)
Basta osservare che i due triangoli ABC e OHP sono duetriangoli simili e vale pertanto la seguente proporzione:
AB : OH = AC : OP
che equivale ab : cos(α) = c : 1
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Tangente
Si definisce tangente dell’angolo α il seguente rapporto:
tanα =sinα
cosα,
∀α ∈ R tale che cosα 6= 0, cioé ∀α ∈ R tale che α 6= π
2 +kπcon k ∈ Z
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Riassumendo
x
y
−1 −12
1
−1
−12
12
1
α
sinα
cosα
tanα =sinα
cosα
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Grafico Tangente
La funzione tangente ha il seguente andamento
Dal grafico possiamo osservare diverse proprietá sul suoandamento.
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Tangente e sue proprietá
La funzione tangente é periodica su R di periodo T = π, siha cioé
tan(x) = tangente(x+ kT), ∀x 6= π
2+ kπ,k ∈ Z
La funzione tangente é una funzione dispari
tan(x) =−tan(−x)
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Tangente e sue proprietá
La funzione tangente é periodica su R di periodo T = π, siha cioé
tan(x) = tangente(x+ kT), ∀x 6= π
2+ kπ,k ∈ Z
La funzione tangente é una funzione dispari
tan(x) =−tan(−x)
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