١

دانشكده صنعت الكترونيكدانشكده صنعت الكترونيك

منطق فازي و سيستم هاي

فازي

اكبر رهيده

١٣٨٢

٢

منطق فازي و سيستم هاي فازي :فهرست مطالب

مقدمه .١

هوش مصنوعي .١,١

مقدمه اي بر منطق فازي .١,٢

تاريخچه منطق فازي .١,٣

ساختار سيستم هاي فازي .١,٤

تئوري منطق فازيمروري كلي بر .١,٥

برخي كاربردهاي سيستم هاي فازي .١,٦ مجموعه هاي فازي .٢

مقايسه اي بين مجموعه هاي كالسيك و مجموعه هاي فازي .٢,١

تعريف تابع عضويت .٢,٢

انواع توابع عضويت .٢,٣

معرفي مفاهيم اساسي مرتبط با مجموعه هاي فازي .٢,٤ عمليات بر مجموعه هاي فازي .٣

معادل بودن .٣,١

زير مجموعه بودن .٣,٢

مكمل .٣,٣

اجتماع .٣,٤

اشتراك .٣,٥

ميانگين .٣,٦ روابط فازي .٤

ازيتركيب روابط ف .٤,١ IF-THENمتغيرهاي زباني و قواعد .٥

قيود زباني .٥,١ پايگاه قواعد و موتور استنتاج فازي .٦ فازي سازها و فازي زداها .٧ MATLABبكار گيري جعبه ابزار فازي در محيط .٨

٣

چند مثال با استفاده از جعبه ابزار فوق .٩

:مراجعA course in fuzzy system and control by:Li-Xin Wang

۴

مقدمه -١

هوش مصنوعي -١-١

باعث شده كه روشهاي مرسوم در طراحي كنترلرها جاي خود را به تكنيك هاي مبتني كنترلپيشرفت هاي اخير در تئوري اين روشها بوسيلة اطالعات و دانش هاي قبلي دربارة . بدهند) عصبي و ژنتيك - عصبي، فازي، فازي (بر هوشهاي مصنوعي

بدليل مزاياي بيشماري كه اين روشها دارند در آينده نزديك استفاده از اين . توصيف مي شوند سيستم و عملكرد آن :برخي از مزاياي اصلي هوش هاي مصنوعي عبارتند از. روشهاي نوين در صنعت اجتناب ناپذير خواهد بود

اطالعات بعبارت ديگر طراحي بر مبناي . (طراحـي ايـن سيسـتم هـا نـيازي به مدل رياضي پروسه ندارد • )سيستم هدف مي باشد

طراحي مي تواند منحصرا برمبناي اطالعات زباني . در يـك سيسـتم فـازي كـه يك سيستم خبره مي باشد •استفاده از دسته بندي ) وقتي كه اطالعات كارشناسي در دسترس نباشد (گرفـته شـده از كارشناسـان و يا

.اطالعات باشد

عصبي كارشناس مي باشد طراحي مي تواند براساس قواعد در يـك سيسـتم فازي ـ عصبي كه يك شبكة •وقتي كه اطالعات كارشناسي در دسترس (زبانـي بدسـت آمـده از كارشناسـان و يا دسته بندي اطالعات

بنابراين مدل شبكه مي تواند فقط با استفاده از اطالعات سيستم هدف بنا شود و در . انجـام گيرد ) نباشـد هر چند دانش . عـات قبلـي از قواعـد فـازي و توابـع عضويت نمي باشد ابـتداي تعلـيم نـيازي بـه اطال

كارشناسـانه از سيسـتم هدف در انتخاب اوليه ساختار شبكه كمك مي نمايد و از اين طريق مي توان خطا .و زمان تعليم را كاهش داد

يند، اگر شبكه عصبي با روش تعليم تحت نظارت آموزش بب) بدون فازي(در يـك سيسـتم شبكه عصبي •طراحـي مبنـي بر اطالعات موجود براي تعليم بوده و اين اطالعات مي توانند از منابع متعددي استخراج

هرچند وقتي شبكه عصبي با روش تعليم بدون نظارت ). بعـنوان مـثال از طـريق انـدازه گـيري (شـوند طبق روش بكار ش مـي بيـند بعنوان مثال شبكه عصبي خود سازمانده، شبكه عصبي اطالعات را بر زآمـو

.گرفته، دسته بندي مي نمايد

.در سيستم هاي مبتني بر هوش مصنوعي تاثيرات تنظيم مي تواند بسيار كمتر از سيستم هاي معمولي باشد •

يعني مي توانند تخمين هاي خوبي را در قبال (اينگونه سيستم ها بخوبي خود را تعليم و عموميت مي دهند • .بنابراين مستقل از خصوصيات درايو هستند) د ارائه دهنداطالعات ورودي ناشناخته از خو

.اين سيستمها خصوصيت حذف نويز را بخوبي از خود نشان مي دهند •

بعبارت ديگر اگر در يك . ايـن سيسـتم ها در هنگام وقوع خطا تحمل نسبتا خوبي از خود نشان مي دهند • فازي ـ عصبي يك قاعده حذف شـبكه عصبي يك عصب خراب يا حذف شود و يا اينكه در يك شبكه

البته عملكرد (شـود سيسـتم مبتني بر هوش مصنوعي بدليل ساختار موازي مي تواند بكار خود ادامه دهد ).سيستم كمي دچار مشكل مي شود

۵

.سيستم هاي مبتني بر هوش مصنوعي مي توانند به آساني تعميم و توسعه و همچنين تعديل شوند •

.بل تغيير پارامترها بسيار مقاوم مي باشنداين سيستم ها همچنين در مقا •

مقدمه اي بر منطق فازي -٢-١

دقت شود . كلمه فازي در فرهنگ لغت با معاني مبهم، گنگ، نادقيق، گيج، مغشوش، درهم و نامشخص آورده شده است ي، تئوريي با وجود اينكه سيستم هاي فازي پديده هاي غير قطعي و نامشخص را توصيف مي نمايند ولي خود تئوري فاز

.كامال دقيق مي باشد

:در اينجا دو توجيه براي تئوري فازي بيان مي شود

.پيچيدگي سيستم هاي واقعي كه توصيف دقيق براي آنها ممكن نمي باشد •

فرموله كردن دانش بشري •

تاريخچه منطق فازي -٣-١

.مطرح شد" ه هاي فازيمجموع" توسط پرفسور لطفي زاده در مقاله اي بنام ١٩٦٥تئوري منطق فازي در سال Zadeh.L.A, [1965] , “Fuzzy Sets” , Information and Control, 8, pp. 338-353.

ساختار سيستم هاي فازي -٤-١

:بطور كلي سه نوع ساختار براي سيستم هاي فازي وجود دارد سيستم هاي فازي خالص •

(TSK)سوگنو و كانگ -سيستم هاي فازي تاكاگي •

زي ساز و فازي زداسيستم هاي فازي با فا •

١سيستم هاي فازي خالص .١-٤-١

.نشان داده شده است) ١-١(ساختار اصلي اين سيستم در شكل

ساختار اصلي سيستم فازي خالص): ١-١(شكل

مشكل اصلي در رابطه با سيستم هاي فازي خالص اين است كه ورودي و خروجي هاي آن مجموعه هاي فازي مي باشند حال آنكه 1 - Pure Fuzzy system

قواعد فازيپايگاه

مجموعه فازي مجموعه فازي فازيموتور استنتاج

۶

براي حل اين مشكل سيستم هاي فازي تاكاگي . ر سيستم هاي مهندسي ورودي و خروجي ها متغيرهايي با مقادير حقيقي مي باشند د .سوگنو و كانگ معرفي شد

(TSK) ١سوگنو و كانگ-سيستم هاي فازي تاكاگي .٢-٤-١ .نشان داده شده است) ٢-١(سوگنو و كانگ در شكل -ساختار اصلي سيستم فازي تاكاگي

سوگنو و كانگ-ساختار اصلي سيستم فازي تاكاگي): ٢-١(شكل

:سوگنو و كانگ نيز مشكالتي دارد كه عبارتند از-سيستم فازي تاكاگي

.بخش آنگاه قاعده فازي يك فرمول رياضي مي باشد و بنابراين بصورت دانش بشري بيان نمي شود •

. پياده سازي اصول منطق فازي كم مي شودانعطاف پذيري اين سيستم فازي بدليل عدم امكان •

٢سيستم هاي فازي با فازي ساز و فازي زدا .٣-٤-١ .نشان داده شده است) ٣-١(ساختار اصلي سيستم فازي با فازي ساز و فازي زدا در شكل

ساختار اصلي سيستم فازي با فازي ساز و فازي زدا ): ٣-١(شكل

از اين . را ندارد TSKمعايب دو سيستم فازي قبل يعني سيستم فازي خالص و سيستم فازي زداسيستم فازي با فازي ساز و فازي .پس منظور از سيستم فازي، سيستم فازي با فازي ساز و فازي زدا مي باشد مگر خالف آن مطرح شود

1 -Takagi-Sugeno-Kang Fuzzy System 2 -Fuzzy System with Fuzzifier & Defuzzifier

قواعد فازيپايگاه

مجموعه غير فازي مجموعه غير فازي ميانگين وزني

قواعد فازيپايگاه

فازيموتور استنتاج

مجموعه غير فازي مجموعه غير فازي فازي گر فازي زدا

عه فازيمجمو مجموعه فازي

٧

تئوري منطق فازيمروري كلي بر -٥-١

مهمترين اصل در منطق فازي ساختار . لي ظهور يافته است اخـيرا مـنطق فـازي بعـنوان زميـنه اي جـذاب در تحقيقات كنتر چندين نمونه كنترلر فازي وجود دارد . كنـترلرهاي فـازي مي باشد كه دانش هاي زباني اشخاص كارشناس را بكار مي گيرند

فازي مشاهده مي شود، يك كنترلر ) ٤-۱(همانطور كه در شكل . مي شود تشريح ١كـه در ايـنجا نـوع كنـترلر فـازي ممداني :]۸[شامل چهار قسمت است كه دو قسمت آن عمل تبديل را انجام مي دهند

)۱تبديل ( فازي گر •

پايگاه داده •

موتور استنتاج •

)۲تبديل ( فازي زدا •

.بنابراين تمامي سيگنالهاي ورودي بفرم فازي در مي آيند. را فازي مي نمايد ) سيگنالهاي واقعي ( فازي گر متغيرهاي ورودي اين تبديل توسط . عبارت ساده تر فازي گر متغيرهاي عددي را به متغيرهاي فازي و بعبارتي متغيرهاي زباني تبديل مي نمايد ب

.توابع عضويت انجام مي گيرد

تعلق دارد واگر مثبت كوچك بعـنوان مـثال اگـر سـيگنال ورودي كوچـك ولـي مثبت باشد اين سيگنال به مجموعه فازي به همين ترتيب مجموعه هاي فازي ديگري بصورت . متعلق است منفي كوچك به مجموعه فازي كوچـك ولـي منفي باشد

در يك كنترلر فازي معمولي، تعداد توابع عضويت و . نـيز مي تواند وجود داشته باشد … و مثبـت بـزرگ ، مثبـت متوسـط دارند و درجه تعلق يك كميت را به ۱ و ۰توابع عضويت مقاديري بين . شـكل آنهـا در ابـتدا توسـط كاربر تعيين مي شود

اگر تعلق يك كميت به يك مجموعة فازي بطور مطلق معين باشد آنگاه درجه تعلق آن . مجموعـه فازي مشخص مي نمايند اما اگر يك ) بعبارت ديگر اين كميت صد در صد به مجموعة فازي مزبور متعلق است ( به مجموعة فازي مزبور يك باشد

به همين . بـه يك مجموعة فازي متعلق نباشد درجه تعلق آن به مجموعة فازي مذكور صفر است كميـت بـه هـيچ عـنوان درصد باشد آنگاه درجه تعلق اين كميت به ۵۰ترتيـب اگـر به عنوان مثال تعلق يك كميت به يك مجموعة فازي به اندازة

مانند مثلثي، گوسي، ذوزنقه اي و بطور كلي تر توابع عضويت مي توانند اشكال متفاوتي . مي باشد ۵/۰ مجموعه فازي مذكور فرم اوليه توابع عضويت مي تواند بوسيلة بكارگيري مالحظات كارشناسي و يا دسته بندي . شـبه ذوزنقـه اي را بخـود بگـيرد .اطالعات ورودي انتخاب گردد

ا كه در تعيين قواعد زباني الزم مي باشد داده هاي مبنا اطالعاتي ر . پايگـاه داده شـامل اطالعـات مبنا و قواعد زباني مي باشد .هدف اصلي كنترل را توسط مجموعه اي از قواعد كنترل زباني بر آورده مي كند) قواعد خبره ( پايگاه داده . فراهم مي آورد

كنترلر منطق فازي سيگنالهاي . كه توسط افراد كارشناس فراهم آمده است استبعـبارت ديگـر پايگـاه داده شامل قواعدي –IFپايگاه داده شامل مجموعه اي از قواعد . ورودي را توسـط قواعـد خبره به سيگنالهاي خروجي مناسب تبديل مي نمايد

THENبرخي روشهاي اصلي تشكيل پايگاه داده بقرار زيرند. مي باشد:

بكارگيري دانش و تجربيات يك فرد كارشناس جهت برآورده كردن اهداف كنترل •

1 - Mamdani

٨

لمدلسازي عملكرد كنتر •

مدل كردن پروسه •

بكارگيري يك كنترلر فازي خود سازمانده •

بكارگيري شبكه هاي عصبي مصنوعي •

بلوك دياگرام يك سيستم كنترل شامل كنترلر فازي) ٤-١(شكل

ي براي وقتـي كه قواعد اوليه بوسيلة مالحظات كارشناسي بدست آمد اين قواعد مي توانند با در نظر گرفتن سه هدف اصل

:استفاده دركنترلر منطق فازي فرم داده شوند

كنترلريحذف هرگونه خطاي قابل مالحظه در خروجي پروسه بوسيله تنظيم مناسب خروج •

تخمين عملكرد كنترلي نزديك مقدار مطلوب •

.اجتناب از اينكه خروجي پروسه از مقادير تعيين شده توسط كاربر تجاوز ننمايد •

كنترلر منطق فازي مي باشد و توانايي شبيه سازي تصميم گيري بشري مبتني بر ايدة فازي و همچنين موتور استنتاج مغز يك بعبارت ديگر تمامي متغيرهاي ورودي . توانايـي نتـيجه گـيري عملكـرد كنترل فازي با بكارگيري قواعد منطق فازي را دارد

IF–THENوتور استنتاج مجموعه اي از قواعد توسـط فـازي گـر بـه متغـيرهاي زبانـي مربوط به خودشان تبديل شده و م موجـود در پايگـاه داده را ارزيابـي نمـوده و سـپس نتيجة بدست آمده از اين ارزيابي كه يك مقدار زباني مي باشد توسط

.زدا به خروجي واقعي تبديل مي شود فازي

تنتاج را توسط توابع عضويت به مقدار تـبديل دوم كـه توسـط فـازي زدا انجام مي پذيرد مقدار فازي در خروجي موتور اس چندين نمونه تكنيك براي فازي زدايي وجود دارد اما بدليل سادگي بكارگيري و الگوريتم . واقعي و عددي تبديل مي نمايد

.ساده تر روش ميانگين مراكز بكار گرفته مي شود برخي كاربردهاي سيستم هاي فازي -٦-١

ماشين شستشوي فازي .١-٦-١

بنابراين . تعيين تعداد دور مناسب براي ماشين با توجه به نوع كثيفي، ميزان كثيفي و اندازه بار مي باشد كاربرد هدف در اين

سيستم تحت كنترل

پايگاه داده

موتور استنتاج

فازي گر فازي زدا

جهت داده هاي فازي

جهت داده هاي

٩

.سيستم فازي داراي سه ورودي نوع كثيفي، ميزان كثيفي و اندازه بار و يك خروجي يعني تعداد دور مناسب مي باشد

١٠

مجموعه هاي فازي -٢ ١عه هاي فازيمقايسه اي بين مجموعه هاي كالسيك و مجمو -١-٢

:در اين قسمت با ذكر يك مثال مقايسه اي بين مجموعه هاي كالسيك و مجموعه هاي فازي انجام مي گيرد

: بفرم زير باشد٢ مجموعه مرجعUفرض كنيد : ١مثال{ }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0=U

داد نزديك به عدد بصورت اع 'A بصـورت عدد مياني مجموعه مرجع و مجموعه فازي Aحـال ابـتدا مجموعـه كالسـيك بصورت كوچكترين عدد در مجموعه مرجع و Bميانـي مجموعـه مـرجع را بدسـت آوريـد و سـپس مجموعـه كالسيك

.بصورت اعداد كوچك در مجموعه مرجع را بدست آوريد'B مجموعه فازي

:داريم 'A و مجموعه فازي Aابتدا براي مجموعه كالسيك : حل

{ }

==

100,

90,

80,

70,

60,

51,

40,

30,

20,

10,

005 AorA

هستند و U اعداد قرار گرفته در مخرج كسرها همان اعداد مجموعه مرجع A دوم نمايش مجموعه كالسيك كه در فرم . نشان مي دهندAاعداد قرار گرفته در صورت كسرها مقدار عضويت عدد مخرج را به مجموعه

=′

100,

92.0,

84.0,

76.0,

68.0,

51,

48.0,

36.0,

24.0,

12.0,

00A

: بصورت زير مي باشد'Aكه فرم ديگر مجموعه فازي

100

92.0

84.0

76.0

68.0

51

48.0

36.0

24.0

12.0

00

++++++++++=′A

: داريم'B و مجموعه فازي Bحال براي مجموعه كالسيك

{ }

==

100,

90,

80,

70,

60,

50,

40,

30,

20,

10,

010 BorB

=′

100,

91.0,

82.0,

73.0,

64.0,

55.0,

46.0,

37.0,

28.0,

19.0,

01B

٣تعريف تابع عضويت -٢-٢

بعنوان مثال تابع . تابع عضويت ميزان وابستگي هر عضو را به مجموعه مورد نظر بفرم يك تابع رياضي بيان مي كند :بصورت زير مي باشد نمايش داده مي شود، µ كه با نماد 'A و مجموعه فازي Aعضويت براي مجموعه كالسيك

≠=

=5051

)(xx

xAµ

1 - Fuzzy Sets 2 - Universal Set 3 - Membership Function

µA (x)

1

5

١١

≤≤−≤≤><

=′

1055/2505/

1000)(

xxxxxorx

xAµ

انواع توابع عضويت -٣-٢

.آنها را نشان مي دهد) ١-٢(در زير انواع توابع عضويت ذكر شده است كه شكل

(trimf) ١تابع عضويت مثلثي • (trapmf) 2قه ايتابع عضويت ذوزن •

(gaussmf) 3تابع عضويت گوسي •

2

2

2)(

),;( σσcx

ecxf−−

=

(gbellmf) 4تابع عضويت زنگوله اي تعميم يافته •

b

acx

cbaxf 2

1

1),,;(−

+

=

(gauss2mf) 5تابع عضويت گوسي دو طرفه • (smf) 6 شكلSتابع عضويت • (zmf) 7 شكلZتابع عضويت • (sigmf) 8تابع عضويت سيگمويد •

)(11),;( cxae

caxf −−+=

1 - Triangular Membership Function 2 - Trapezoidal Membership Function 3 - Gaussian Curve Membership Function 4 - Generalized Bell Membership Function 5 - Two-sided Gaussian Curve Membership Function 6 - S-shaped Curve Membership Function 7 - Z-shaped Curve Membership Function 8 - Sigmoid Curve Membership Function

µA’(x)

1

5

١٢

(psigmf) 1تابع عضويت حاصلضرب دو سيگمويد • (dsigmf) 2تابع عضويت تفاضل دو سيگمويد • (pimf) 3 شكلπتابع عضويت •

انواع توابع عضويت ) : ١-٢(شكل

معرفي مفاهيم اساسي مرتب با مجموعه هاي فازي -٤-٢

وعه فازي تهي، مركز، نقطه تقاطع، ارتفاع و برش آلفا را بررسي در اين قسمت مفاهيم تكيه گاه فازي، منفرد فازي، مجم :مي شود

است كه شامل ) كالسيك( يك مجموعه غير فازي U در فضاي مجموعه مرجع Aتكيه گاه مجموعه فازي : ٤ تكيه گاه -١

مي شود يعنيUتمامي عضوهاي غير صفر }0)(|{)( >∈= xUxASupp Aµ

. تكيه گاه را بدست آوريد'B و 'Aاي فازي براي مجموعه ه١ در مثال:٢مثال

}9,8,7,6,5,4,3,2,1{)( =′ASupp

}9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{)( =′BSupp

1 - Product of two Sigmoid Membership Function 2 - Difference between two Sigmoid Membership Function 3 - Pi-shaped Curve Membership Function 4 - Support

١٣

. باشدU يك مجموعه فازي است كه تكيه گاه آن يك نقطه واحد در :١ منفرد فازي-٢

.يك مجموعه فازي است كه تكيه گاه آن تهي باشد: ٢ مجموعه فازي تهي-٣

: فازي به صورت زير تعريف مي شودمركز يك مجموعه: ٣ مركز-٤

.اگر حداكثر تابع عضويت متعلق به نقاط محدودي باشد آنگاه ميانگين نقاط مركز، مجموعه فازي مي باشد • اگر حداكثر تابع عضويت متعلق به نقاط نامحدودي باشد آنگاه كوچكترين يا بزرگترين نقطه اي كه در آن نقطه •

.د مي رسد بعنوان مركز مجموعه فازي تعريف مي شودتابع به حداكثر مقدار خو . مي شود٥/٠ است كه در آن مقدار تابع عضويت برابر با Uنقطه تقاطع يك مجموعه فازي نقطه اي در : ٤ نقطه تقاطع-٥

.ارتفاع يك مجموعه فازي بزرگترين مقدار يك تابع عضويت است: ٥ ارتفاع-٦

.يك مجموعه فازي برابر با يك باشد در آن صورت آنرا يك مجموعه فازي نرمال گوينداگر ارتفاع : تذكر

است كه مقادير U است كه شامل تمامي عضوهاي Aαبرش آلفاي يك مجموعه فازي، مجموعه غير فازي : ٦ برش آلفا-٧

1 - Fuzzy Singleton 2 - Empty Fuzzy Set 3 - Center 4 - Crossover Point 5 - Height 6 - α-Cut

Center Center

Center Center

Crossover

0.5

١۴

:دارندαبزرگتر يا مساوي 10})(|{ <<≥∈= ααµα xUxA A

. را بدست آوريد'B براي ٧/٠ و برش 'A براي ٨/٠ برش ١راي مثال ب:٣مثال

}6,5,4{8.0 =′A

}3,2,1,0{7.0 =′B

١۵

عمليات بر روي مجموعه فازي -٣ :در اين قسمت عمليات هاي معادل بودن، زير مجموعه بودن، مكمل، اجتماع و اشتراك را معرفي مي نماييم

١ معادل بودن-١

Uxxx معادل هستند اگر و فقط اگر براي تمامي مقادير B و Aدو مجموعه BA ∈= )()( µµ ٢ زير مجموعه بودن-٢

Uxxx است اگر و فقط اگر براي تمامي مقادير B زير مجموعه Aمجموعه BA ∈≤ )()( µµ

٣ مكمل-٣

Uxxx است اگر U،A در Aمكمل AA ∈−= )(1)( µµ

٤ اجتماع-٤

BA يك مجموعه فازي است كه باB و Aاجتماع Uنشان داده مي شود و داراي تابع عضويت زير است : )](),(max[)( xxx BABA µµµ =U

٥ اشتراك-٥

BA يك مجموعه فازي است كه باB و Aاشتراك I تابع عضويت زير است نشان داده مي شود و داراي: )](),(min[)( xxx BABA µµµ =I

1 - Equal 2 - Containment 3 - Complement 4 - Union 5 - Intersection

µA (x)

µB (x)

µA (x) 1−µA (x)

µA (x) µB (x)

µA (x) µB (x) BAIµ

BAUµ

١۶

و A را بدست آوريد و سپس اجتماع و اشتراك B وA داده شده است، ابتدا مكمل فازي B و Aدو مجموعه فازي : ٤مثال

Bرا نيز محاسبه نماييد .

=

100,

92.0,

84.0,

76.0,

68.0,

51,

48.0,

36.0,

24.0,

12.0,

00A

=

100,

91.0,

82.0,

73.0,

64.0,

55.0,

46.0,

37.0,

28.0,

19.0,

01B

=

101,

98.0,

86.0,

74.0,

62.0,

50,

42.0,

34.0,

26.0,

18.0,

01A

=

101,

99.0,

88.0,

77.0,

66.0,

55.0,

44.0,

33.0,

22.0,

11.0,

00B

=

100,

92.0,

84.0,

76.0,

68.0,

51,

48.0,

37.0,

28.0,

19.0,

01BA U

=

100,

91.0,

82.0,

73.0,

64.0,

55.0,

46.0,

36.0,

24.0,

12.0,

00BA I

١٧

عمليات ديگري بر روي مجموعه هاي فازي -٤

عالوه بر مكمل، اجتماع و اشتراك تعريف شده بصورت قبل، صورت هاي ديگري نيز از تعريف مكمل، اجتماع و اشتراك :رند كه در اينجا به بررسي آنها مي پردازيممجموعه هاي فازي وجود دا

١ مكمل فازي-١

٢مكمل فازي اساسي •[ ] )(1)( xxC AA µµ −=

٣كالس سوگنو •

[ ] ),1()(1

)(1)( ∞−∈+−

= λλµµ

µλ xxxC

A

AA

٤كالس ياگر •

[ ] { } ),0()]([1)(1

∞∈−= wxxC wwAAw µµ

) نرم-S (٥ اجتماع فازي-٢

٦كالس ماكزيمم •[ ] [ ])(,)(max)(,)( xxxxS BABA µµµµ =

٧كالس دومبي •

[ ][ ]

),0()1()1(1

1)(,)( 1

)(1

)(1

∞∈−+−+

= −−−

λµµλλ

µλ

µ

λ

xx

BA

BA

xxS

٨پريد-كالس دبويس •

[ ] ]1,0[]),(1),(1max[

]1),(),(min[)()()()()(,)( ∈−−

−−−+= α

αµµαµµµµµµ

µµα xxxxxxxxxxS

BA

BABABABA

٩كالس ياگر •

[ ] ),0(]))]([)](([,1min[)(,)(1

∞∈+= wxxxxS wwB

wABAw µµµµ

1 - Fuzzy Complement 2 - Basic Fuzzy Complement 3 - Sugeno Class 4 - Yager Class 5 - Fuzzy Union 6 - Maximum Class 7 - Dombi Calss 8 - Dubois-Prade Class 9 - Yager Class

١٨

١جمع دراستيك •

[ ]

==

=otherwise

xifxxifx

xxS AB

BA

BAds

10)()(0)()(

)(,)( µµµµ

µµ

٢جمع اينشتين •

[ ])(.)(1

)()()(,)(xx

xxxxSBA

BABAes µµ

µµµµ

++

=

٣جمع جبري •[ ] )(.)()()()(,)( xxxxxxS BABABAas µµµµµµ −+=

) نرم-T (٤ اشتراك فازي-٣

كالس مينيمم •[ ] [ ])(,)(min)(,)( xxxxt BABA µµµµ =

كالس دومبي •

[ ][ ]

),0()1()1(1

1)(,)( 1

)(1

)(1

∞∈−+−+

= λµµλλ

µλ

µ

λ

xx

BA

BA

xxt

پريد-كالس دبويس •

[ ] ]1,0[]),(),(max[

)()()(,)( ∈= ααµµ

µµµµα xx

xxxxtBA

BABA

كالس ياگر •

[ ] ),0(]})](1[)](1{[,1min[1)(,)(1

∞∈−+−−= wxxxxt wwB

wABAw µµµµ

ضرب دراستيك •

[ ]

==

=otherwise

xifxxifx

xxt AB

BA

BAdp

01)()(1)()(

)(,)( µµµµ

µµ

1 - Drastic Sum 2 - Einstein Sum 3 - Algebraic Sum 4 -Fuzzy Intersection

١٩

ضرب اينشتين •

[ ])](.)()()([2

)(.)()(,)(xxxx

xxxxtBABA

BABAep µµµµ

µµµµ

−+−=

ضرب جبري •

[ ] )(.)()(,)( xxxxt BABAap µµµµ =

)(,)(محدوده كامل عملگرهاي فازي ) ١-٤(شكل xbxa BA µµ ==

مي توان ديد كه عملكرد هاي اجتماع و اشتراك نمي توانند تمامي محدوده ها را پوشش دهند ) ١-٤(با توجه به شكل :بنابراين عملگر ميانگين معرفي مي شود

) نرم-v (١ ميانگين فازي-٤

٢ Max-Minميانگين •[ ] [ ] [ ] ]1,0[)(,)(min)1()(,)(max)(,)( ∈−+= λµµλµµλµµλ xxxxxxV BABABA

٣ميانگين تعميم يافته •

[ ] )0(2

)]([)]([)(,)(1

≠∈

+

= ααµµ

µµααα

α RxxxxV BABA

1 - Fuzzy Averaging 2 - Max-Min Averaging 3 - Generalized Means

Minimum Drastic Product Einstein Product Algebraic Product Dombi T-norm λ Yager T-norm ω

Maximum Drastic Sum Einstein Sum Algebraic Sum Dombi S-norm λ Yager S-norm ω

Fuzzy AND Fuzzy OR

Max-Min Averages λ

Generalized Means α

Intersection Averaging Union Operators Operators Operators

tdp (a,b) min (a,b) max (a,b) Sds (a,b)

٢٠

• ANDفازي

[ ] [ ] [ ] ]1,0[2

)()().1()(,)(min.)(,)( ∈+−

+= PxxPxxPxxV BABABAP

µµµµµµ

• ORفازي

[ ] [ ] [ ]]1,0[

2)()().1(

)(,)(max.)(,)( ∈+−

+= γµµγ

µµγµµγ

xxxxxxV BA

BABA

٢١

روابط فازي -٥

: دو مجموعه كالسيك باشندB و Aفرض كنيد }1,0{}3,2,1{ == BA

: مي باشندa) و (b هاي مرتب خود يك مجموعه كالسيك شامل زوج×BAآنگاه { })1,3(,)0,3(,)1,2(,)0,2(,)1,1(,)0,1(=× BA

عنصر اول يك واحد از عنصر دوم " يك رابطه بدين صورت است كه a C) و (bحال فرض كنيد مجموعه كالسيك ":بزرگتر باشد

{ })1,2(,)0,1(),( =baC

: بصورت زير مي باشدCبنابراين تابع عضويت مجموعه

B µc 0 1

1 1 0 2 0 1 A 3 0 0

١ رابطه فازي-١

: دو مجموعه باشند'B و 'Aفرض كنيد

},{},,{

KongHongBostonBTokyoKongHongFranciscoSanA

=′=′

: را بين اين دو مجموعه بنويسيم Qحال مي خواهيم رابطه فازي خيلي دور

B' µQ Boston HK SF 0.3 0.9 HK 1 0 A'

Tokyo 0.95 0.1

:مايش داد را بفرم زير نيز نQكه مي توان رابطه فازي

=),(

1.0,),(

0,),(

9.0,),(

95.0,),(

1,),(

3.0HKTokyoHKHKHKSFBostonTokyoBostonHKBostonSF

Q

٢ تصاوير-٢

: نشان داده مي شودQ1 بصورت 'A بر روي Qتصوير رابطه فازي

1 - Fuzzy Relation 2 - Projections

٢٢

),(max)(1

baa QBbQ ′′=′′∈′

µµ

TokyoHKSFQ 95.019.0

1 ++=

: نشان داده مي شودQ2 بصورت 'Bتصوير اين رابطه فازي بر روي ),(max)(

2bab QAaQ ′′=′

′∈′µµ

HKBostonQ 9.01

2 +=

١ تركيب روابط فازي-٣

: در آنها مشترك مي باشد'B دو رابطه فازي باشند كه مجموعه P(B',C') و Q(A',B')فرض كنيد

},{},{

},,{

BeijingNYCCKongHongBostonB

TokyoKongHongFranciscoSanA

=′=′=′

=′′),(

1.0,),(

0,),(

9.0,),(

95.0,),(

1,),(

3.0),(HKTokyoHKHKHKSFBostonTokyoBostonHKBostonSF

BAQ

=′′),(

9.0,),(

1.0,),(

1.0,),(

95.0),(BeijingHKNYCHKBeijingBostonNYCBoston

CBP

'Bي خيلي نزديك بين مجموعه هاي رابطه فازP(B',C') و 'B و 'A رابطه فازي خيلي دور بين مجموعه هاي Q(A',B')كه . مي باشد'Cو

QP o تركيبQ(A',B') و P(B',C')است اگر و فقط اگر :

)],(,),([max),( bacbtca QPBbQP ′′′′=′′′∈′

µµµ o

:در اينجا دو نوع تركيب را معرفي مي كنيم

٢مينيمم-تركيب ماكزيمم -١)],(,),([minmax),( bacbca QPBbQP ′′′′=′′

′∈′µµµ o

٣حاصلضرب- تركيب ماكزيمم-٢

)],(.),([max),( bacbca QPBbQP ′′′′=′′′∈′

µµµ o

رابطه فازي خيلي دور بين Q(A',B') و 'C و 'B رابطه فازي خيلي نزديك بين مجموعه هاي P(B',C')اگر : مثال

: را بدست آوريدQ و Pحاصلضرب بين -مينيمم و تركيب ماكزيمم- باشد تركيب ماكزيمم'B و 'Aمجموعه هاي

1 - Composition of Fuzzy Relation 2 - Max-Min Composition 3 - Max-Product Composition

٢٣

=′′),(

1.0,),(

0,),(

9.0,),(

95.0,),(

1,),(

3.0),(HKTokyoHKHKHKSFBostonTokyoBostonHKBostonSF

BAQ

=′′),(

9.0,),(

1.0,),(

1.0,),(

95.0),(BeijingHKNYCHKBeijingBostonNYCBoston

CBP

{ }),(,),(,),(,),(,),(,),( BeijingTokyoNYCTokyoBeijingHKNYCHKBeijingSFNYCSFCA =′×′

CAدر اين مرحله هدف تعيين ميزان عضويت هر عضو مجموعه : مي باشد′×′

براي محاسبه تركيبMax-Minعملگر : الف

3.0]}1.0,9.0min[,]95.0,3.0max{min[),(

)]},(,),(min[,)],(,),(max{min[),(:1

==⇒

=

NYCSF

NYCHKHKSFNYCBostonBostonSFNYCSF

QP

QPQPQP

o

o

µ

µµµµµ

9.0]}9.0,9.0min[,]1.0,3.0max{min[),(

)]},(,),(min[,)],(,),(max{min[),(:2

==⇒

=

BeijingSF

BeijingHKHKSFBeijingBostonBostonSFBeijingSF

QP

QPQPQP

o

o

µ

µµµµµ

M

:صورت زير مي باشد بmin-maxبنابراين نتيجه تركيب

=),(

1.0,),(

95.0,),(

1.0,),(

95.0,),(

9.0,),(

3.0BeijingTokyoNYCTokyoBeijingHKNYCHKBeijingSFNYCSF

QP o

براي محاسبه تركيبMax-Productعملگر : ب

285.0]}1.09.0[,]95.03.0max{[),(

)]},().,([,)],().,(max{[),(:1

=××=⇒

=

NYCSF

NYCHKHKSFNYCBostonBostonSFNYCSF

QP

QPQPQP

o

o

µ

µµµµµ

81.0]}9.09.0[,]1.03.0max{[),(

)]},(.),([,)],().,(max{[),(:2

=××=⇒

=

BeijingSF

BeijingHKHKSFBeijingBostonBostonSFBeijingSF

QP

QPQPQP

o

o

µ

µµµµµ

M

: بصورت زير مي باشدMax-Productبنابراين نتيجه تركيب

=),(

095.0,),(

9025.0,),(

1.0,),(

95.0,),(

81.0,),(

285.0BeijingTokyoNYCTokyoBeijingHKNYCHKBeijingSFNYCSF

QP o

ابتدا دو مجموعه اي را كه مي خواهيم تركيب كنيم بصورت ماتريس نوشته و مثل ضرب Max-Min براي تركيب :١نتيجه : استفاده مي كنيمmin و به جاي ضرب از Maxدو ماتريس عمليات را انجام مي دهيم با اين تفاوت كه به جاي جمع از

=

1.095.01.095.09.03.0

9.01.01.095.0

1.095.0019.03.0o

٢۴

را كه مي خواهيم تركيب كنيم بصورت ماتريس نوشته و مثل ضرب دو مجموعه اي Max-Product براي تركيب :٢نتيجه : استفاده مي كنيمMaxدو ماتريس عمليات را انجام مي دهيم با اين تفاوت كه به جاي جمع از

=

095.09025.01.095.081.0285.0

9.01.01.095.0

1.095.0019.03.0o

-مم و ماكزيمم ميني-تركيب هاي ماكزيمم . سه رابطه فازي توسط ماتريس هاي رابطه اي زير تعريف مي شوند : تمرين2131321حاصلضرب ,, QQQQQQQ ooooرا محاسبه نماييد .

=

=

=

107.00107.001

,01.001.06.00

06.06.0,

15.0002.03.07.001

321 QQQ

٢۵

IF THEN ١متغير هاي زباني و قواعد فازي -٦ باشد مي خواهيم سرعت خودرو را بصورت متغير زباني كه mph[0,110] فرض كنيد سرعت يك خودرو در محدوده :مثال

: مي باشد درآوريمSlow و Fast ،Mediumداراي سه تابع عضويت

: مشخص مي گردد(X, T, U, M) يك متغير زباني بوسيله چهار پارامتر :تعريف

Xسرعت خودرودر اين مثال . نام متغير زباني است

Tآهسته، متوسط، سريع{در اين مثال . مجموعه مقادير زباني مربوطه است {

U[0,110]در اين مثال . دامنه واقعي استmph

M يك قاعده لغوي است كه هر مقدار زباني T را به يك مجموعه فازي در Uمرتبط مي كند .

٢قيود زباني

Slow, Medium, Fastمانند : اصطالحات پايه •

Not مانند : مكمل كننده •

And, Orمانند : متصل كننده •

Very, Slightly, More or less مانند : قيود •

Positive, Negativeمانند : عالمت •

21

)]([)()]([)( 2 xxxx AAlessorMoreAAVery µµµµ ==

را More or less A و Very A ، Very very A بصورت زير تعريف شود مجموعه فازي Aاگر مجموعه فازي : مثال

:بدست آوريد

50016.0

40256.0

31296.0

24096.0

11

504.0

416.0

336.0

264.0

11

52.0

44.0

36.0

28.0

11

++++=

++++=

++++=

AveryVery

AVery

A

1 - Linguistic Variables and Fuzzy IF-THEN Rules 2 - Linguistic Hedge

Slow Medium Fast

0 35 55 75 110 Speed(mph)

٢۶

IF-THENقواعد فازي

:فرم كلي يك قاعده فازي بصورت زير مي باشد

IF < عبارت فازي > THEN < عبارت فازي >

:حال به بررسي عبارت فازي مي پردازيم

١عبارت فازي

. ساده و مركب:دو نوع عبارت فازي وجود دارد

: عبارت فازي مركب سه عبارت فازي ساده و سه:مثالX is S X is M X is F X is S or X is not M X is not S or X is not F (X is S and X is not F) or X is M

.زباني مي باشد يك متغير X مي باشند و Fast و Slow ، Medium مجموعه هاي فازي F و M و Sكه

: در نظر بگيريدY و يك خروجي X1 ، X2 ، X3سيستمي را با سه ورودي : مثال

توسط فازي گر تبديل به متغير هاي فازي X1 ، X2 ، X3همانطور كه قبال ذكرشد در اين سيستم ابتدا سه ورودي غير فازي . مي شوند

٥ داراي X2 مي باشد، PL ،PM ،PS ،Z ،NS ،NM ،NLجموعه هاي فازي تابع عضويت بصورت م ٧ داراي X1فرض كنيد تابع عضويت بصورت ٣ داراي X3 مي باشد و PL ،PS ،Z ،NS ،NLتابع عضويت بصورت مجموعه هاي فازي

تابع عضويت است كه بصورت مجموعه هاي فازي٥ نيز داراي Yاز طرفي خروجي . مي باشدP ،Z ،Nمجموعه هاي فازي

1 - Fuzzy Proposition

قواعد فازيپايگاه

فازيموتور استنتاج

فازي زدا

فازي گر

ر فازيمجموعه غي مجموعه غير فازي

مجموعه فازي مجموعه فازي

X1 X2 X3

Y

٢٧

PL ،PS ،Z ،NS ،NLهستند .

.هر كدام از متغير هاي غير فازي يك دامنه تغييرات دارند كه اين توابع عضويت در اين محدوده تعريف مي شوند: نكته

.

: ورودي از رابطه زير بدست مي آيدNحداكثر تعداد قواعد زباني براي سيستم با : تذكر

(IF-THEN ) حداكثر تعداد قواعد فازي = )بع عضويت متغير اولتعداد توا ( ) * ام … * N ) تعداد توابع عضويت متغير

فرض كنيد يكي از قواعد فازي در پايگاه قواعد . مي باشد ١٠٥بنابراين حداكثر تعداد قواعد زباني براي سيستم مذبور :فازي به فرم زير باشد

IF {(X1 is NL or X2 is PS) and X3 is Z} THEN Y is NS بودند، مشكلي نبود ولي چون اين ) غير فازي (اگر مجموعه هاي بكار رفته در اين سيستم مجموعه هاي كالسيك

:مجموعه ها فازي مي باشند بنابراين

از مكمل هاي فازيnotبه جاي

از اجتماع فازي orبه جاي

. از اشتراك فازي استفاده مي شودandبه جاي

٢٨

IF-THEN ١ قواعد فازيتفسير -٧

:اگر عبارات كالسيك باشند داريمIF-THEN در تفسير قواعد فازي IF p THEN q (p q)

pجدول صحت q

p q p q T T T T F F F T T F F T

p) بنابراين معادل q)مي تواند يكي از جمالت زير باشد:

pqpqppqp

∨∧≡→∨≡→

)( q

∧∨−كه نيز استفاده مي كنيم با اين IF-THENاز اين معادل ها در قواعد فازي . مي باشند and و not ، or بترتيب ,,

. از مكمل فازي، اجتماع فازي و اشتراك فازي استفاده مي شودand و not ،orتفاوت كه به جاي

.زي از استلزام فازي استفاده مي شودبراي تعيين نوع مكمل فازي، اجتماع فازي و اشتراك فا

٢استلزام فازي

٣رشر- استلزام دنيس-١

→≡∨qدر اين استلزام از معادل pqp استفاده مي شود و به جاي عملگر not از مكمل فازي اساسي و به جاي or از :اجتماع فازي ماكزيمم استفاده مي گردد

⟩⟨⟩⟨ 21 FPTHENFPIF : با تابع عضويت زير تبديل مي شودQDين قاعده فازي فوق بصورت يك رابطه فازي بنابرا

)](,)(1[max),( 21 yxyx FPFPQDµµµ −=

. مي باشندFP2 و FP1 متغير هاي فازي y و xكه

٤ استلزام لوكازويچ-٢

→≡∨qدر اين استلزام از معادل pqp استفاده مي شود و به جاي عملگر not ي اساسي و به جاي از مكمل فازor از

1 - Interpretation of Fuzzy IF-THEN Rules 2 - Fuzzy Implication 3 - Dienes Rescher Implication 4 - Lukasiewicz Implication

٢٩

S-norm ياگر با w=1استفاده ميگردد : ⟩⟨⟩⟨ 21 FPTHENFPIF

: با تابع عضويت زير تبديل مي شودQL بنابراين قاعده فازي فوق بصورت يك رابطه فازي )]()(1,1[min),( 21 yxyx FPFPQL

µµµ +−= ١ استلزام زاده-٣

pqpqpدر اين استلزام از معادل ∨∧≡→ از مكمل فازي اساسي و به جاي notاده مي شود و به جاي عملگر استف )(or از اجتماع فازي ماكزيمم و به جاي and از اشتراك فازي مينيمم استفاده مي شود :

⟩⟨⟩⟨ 21 FPTHENFPIF : با تابع عضويت زير تبديل مي شودQZبنابراين قاعده فازي فوق بصورت يك رابطه فازي

})(1,)](,)([max{min),( 121 xyxyx FPFPFPQZµµµµ −=

٢ استلزام گودل-٤

⟩⟨⟩⟨ 21 FPTHENFPIF : با تابع عضويت زير تبديل مي شودQGبنابراين قاعده فازي فوق بصورت يك رابطه فازي

≤

=otherwisey

yxifyx

FP

FPFPQG )(

)()(1),(

2

21

µµµ

µ

٣ استلزام ممداني-٥

qpqp )(در منطق فازي مي توان از معادل يا ضرب جبري استفاده min از and استفاده كرد و به جاي عملگر →≡∧ :مي شود

)(.)(),(

)](,)([min),(

21

21

yxyx

yxyx

FPFPQ

FPFPQ

MP

MM

µµµ

µµµ

=

=

:قاعده زير را در نظر بگيريد. نيز نيروي اعمالي به پدال گاز باشدy شتاب و x2 سرعت يك ماشين، x1فرض كنيد : مثال

⟩⟨⟩⟨ elisyTHENsmallisxandslowisxIF arg21 :ند بصورت زير تعريف مي شوlarge و slow ، smallكه مجموعه هاي فازي

>

≤<−

≤

=

550

553520

55351

)(

1

11

1

1

xif

xifxxif

xslowµ

1 - Zadeh Implication 2 - Godel Implication 3 - Mamdani Implication

Slow

0 35 55 75 100 x1

1

µ(x1)

٣٠

>

≤≤−

=100

10010

10)(

2

22

2xif

xifx

xsmallµ

>≤<−≤

=2121110

)(arg

yifyifyyif

yelµ

]3,0[,]30,0[,]100,0[ بترتيبy و x1 ، x2فرض كنيد دامنه متغير هاي زباني 12 === UUVباشد .

.ري نيز مي باشند عالوه بر مجموعه هاي فوق داراي مجموعه هاي فازي ديگy و x1 ، x2 دقت شود كه متغير هاي :تذكر

),,(رشر - و استفاده از استلزام دنيسandبا استفاده از حاصلضرب جبري به جاي 21 yxxDQµرا بدست آوريد .

smallisxandslowisxFP 211 =

≤≤<−−

≤≤−

>>

==

105535200

)10)(55(

103510

1010550

)()(),(

2121

212

21

21211

xandxifxx

xandxifxxorxif

xxxx smallslowFP µµµ

:رشر-با اسلزام دنيس)](,),(1[max),,( arg21121 yxxyxx elFPQD

µµµ −=

≤≤<−−

−

≤≤

>>

=−

105535200

)10)(55(1

103510

10551

),(1

2121

212

21

211

xandxifxx

xandxifxxorxif

xxFPµ

Small

0 10 20 30 x2

1

µ(x2)

Large

0 1 2 3 y

1

µ(y)

Slow

0 35 55 x1

1

µ(x1)

Small

10 0

x2

1 µ(x2)

٣١

<<≤≤<−−

−−

<<≤≤−

≤≤≤<−−

−

≤≤≤

>>>

=

21105535]200

)10)(55(1,1max[

211035]10

,1max[

1105535200

)10)(55(1

1103510

210551

),,(

2121

212

2121

212

21

21

yandxandxifxxy

yandxandxifxy

yandxandxifxx

yandxandxifxyorxorxif

yxxDQµ

.مثال فوق را با استفاده از استلزام لوكازويچ و ممداني انجام دهيد: تمرين

2>y

21 ≤< y

1≤y

1055

2

1

>>

xorx

1035

2

1

<<

xandx

105535

2

1

<≤<

xandx

٣٢

١منطق فازي و استدالل تقريبي -٨

:سه نمونه از قواعد استنتاج بصورت زيرند

٢ مودس پوننس-١

pqpبا توجه به دو عبارت :نتيجه گرفته مي شودqعبارت درستي →,qqpp →→∧ ))((

Premise 1: x is A Premise 2: IF x is A THEN y is B Conclusion: y is B

٣ مودس تولنس-٢

qqpبا توجه به دو عبارت : نتيجه گرفته مي شودp درستي عبارت→,pqpq →→∧ ))((

Premise 1: y is not B Premise 2: IF x is A THEN y is B Conclusion: x is not A

٤ قياس فرضي-٣

qprqبا توجه به دو عبارت →→ rp درستي عبارت, : نتيجه گرفته مي شود→)()()(( rprqqp →→→∧→

Premise 1: IF x is A THEN y is B Premise 2: IF y is B THEN z is C Conclusion: IF x is A THEN z is C

:حال اين قواعد استنتاج را براي عبارات فازي تعميم مي دهيم

٥ مودس پوننس تعميم يافته-١Premise 1: x is A' Premise 2: IF x is A THEN y is B Conclusion: y is B'

1 - Fuzzy Logic and Approximate Reasoning 2 - Modus Ponens 3 - Modus Tollens 4 - Hypothetical Syllogism 5 - Generalized Modus Ponens

٣٣

. نزديكتر خواهد بودB نيز به 'B نزديكتر باشد A به 'Aهر چقدر ١ مودس تولنس تعميم يافته-٢

Premise 1: y is B' Premise 2: IF x is A THEN y is B Conclusion: x is A'

. نيز بيشتر خواهد بودA و 'A زيادتر باشد اختالفB و 'B هر چقدر اختالف ٢ قياس فرضي تعميم يافته-٣

Premise 1: IF x is A THEN y is B Premise 2: IF y is B' THEN z is C Conclusion: IF x is A THEN z is C'

. نزديكتر مي باشد'C نيز به C نزديكتر باشد 'B به Bهر چقدر

٣قواعد تركيبي استنتاج

:حال مي خواهيم با داشتن توابع عضويت قسمت مقدمه توابع عضويت قسمت نتيجه را بدست آوريم

مودس پوننس تعميم يافته-١)],(),([)( yxxtSUPy BAAUxB →′

∈′ = µµµ

مودس تولنس تعميم يافته-٢

)],(),([)( yxytSUPx BABVyA →′∈

′ = µµµ

قياس فرضي تعميم يافته-٣

)],(),,([),( zyyxtSUPzx CBBAVyCA →′→∈′→ = µµµ

1 - Generalizes Modus Tollens 2 - Generalized Hypothetical Syllogism 3 - The Compositional Rule of Inference

٣۴

١پايگاه قواعد فازي و موتور استنتاج فازي -٩ پايگاه قواعد فازي-١

:پايگاه قواعد فازي بايد تمامي داده هاي ورودي را پوشش دهد

Ux فازي را كامل گويند اگر براي هر IF-THENيك مجموعه از قواعد : كاملقواعد فازي حداقل يك قاعده در ∋ .پايگاه قواعد فازي وجود داشته باشد

فازي را سازگار گويند اگر قواعدي يافت نشوند كه بخش هاي IF-THENيك مجموعه از قواعد : قواعد فازي سازگار .ش هاي آنگاه متفاوت داشته باشنداگر يكسان و بخ

فازي را پيوسته گويند اگر قواعد همسايه اي وجود نداشته باشند IF-THENيك مجموعه از قواعد : قواعد فازي پيوسته . آنها تهي باشدTHENكه اشتراك مجموعه هاي فازي قسمت

S1 شامل سه مجموعه فازي x1 اول فرض كنيد يك سيستم فازي شامل دو ورودي و يك خروجي باشد كه ورودي : مثال

،M1 و L1 و ورودي دوم x2 شامل دو مجموعه فازي S2 ، L2باشد مي توان پايگاه قواعد فازي را به فرم زير نوشت :

IF x1 is S1 and x2 is S2 THEN y is B1 IF x1 is S1 and x2 is L2 THEN y is B2 IF x1 is M1 and x2 is S2 THEN y is B3 IF x1 is M1 and x2 is L2 THEN y is B4 IF x1 is L1 and x2 is S2 THEN y is B5 IF x1 is L1 and x2 is L2 THEN y is B6

موتور استنتاج فازي-٢

:بررسي چگونگي نتيجه گيري از روي يك مجموعه از قواعد ٢ استنتاج مبتني بر تركيب قواعد-١

فازي IF-THENتمامي قواعد موجود در پايگاه قواعد فازي در يك رابطه فازي تركيب شده و آنگاه بديده يك قاعده .تنها نگريسته مي شود

:ني بر تركيب قواعدمراحل محاسبات استنتاج مبت

قاعده فازي توابع عضويت را محاسبه مي كنيمMبراي : مرحله اول

Mlxxxx nAAnAA ln

lln

l ,,2,1)()(),,( 1111

KLLK

=∗∗=××

µµµ

. تعداد ورودي مي باشدnنرم و -t نمايانگر *كه عالمت

1 - Fuzzy Rule Base & Fuzzy Inference Engine 2 - Composition Based Inference

٣۵

l: مرحله دوم

n

lAA ×× K1 را به عنوان مقدمه(FP1) و Bl را به عنوان نتيجه (FP2) گفته شده در نظر در استلزام هاي :مي گيريم و داريم

Mlyxxyxx nBAAnRu ln

ll ,,2,1),,,(),,,( 111

)( KLLK

==→××

µµ

),(محاسبه: مرحله سوم yx

MQµ يا ),( yxGQµ) بترتيب تركيب ممداني يا گودل:(

),(),(),( )()1()(

1yxyxyxRuQ MM RuRuQ

lM

lM µµµ

••

=++=⇒= LU

),(),(),( )()1()(

1yxyxyxRuQ M

M RuRuQl

M

lG µµµ ∗∗=⇒=

=LI

نرم و -t نمايانگر *كه عالمت •

.نرم است-Sنمايانگر +

: است از روابط زير محاسبه مي كنيم'B خروجي موتور استنتاج را كه همان 'Aبراي يك ورودي داده شده : مرحله چهارم

)(]),(),[(براي تركيب ممداني yxxtSUPyMQAUxB µµµ ′

∈′ =

)(]),(),[( براي تركيب گودل yxxtSUPyGQAUxB µµµ ′

∈′ =

١ استنتاج مبتني بر قواعد جداگانه-٢

خروجي جداگانه Mهر قاعده در پايگاه قواعد فازي يك خروجي فازي را معين كرده و خروجي نهايي تركيب .مجموعه هاي فازي خواهد بود

:اسبات استنتاج مبتني بر قواعد جداگانهمراحل مح

مشابه استنتاج مبتني بر تركيب قواعد: مرحله اول و دوم

Ru(l) را براي هر قاعده جداگانه V در 'Bl ، خروجي مجموعه فازي U در 'Aبراي مجموعه فازي داده شده : مرحله سوم :مطابق با مودس پوننس تعميم يافته محاسبه مي كنيمMlyxxtSUPy ll RuAUxB ,,2,1)],(),([)( )( K== ′

∈′ µµµ

: خواهد بود{'B1' , B2' , ..., BM}خروجي موتور استنتاج فازي، تركيب خروجي فازي : مرحله چهارم

)()()( :بصورت اجتماع1

yyyMBBB ′

••

′′ ++= µµµ L

)()()( : بصورت اشتراك1

yyyMBBB ′′′ ∗∗= µµµ L

1 - Individual Rule Based Inference

٣۶

جزئيات چند موتور استنتاج

موتور استنتاج حاصلضرب ممداني -١ :در اين موتور استنتاج از

استنتاج مبتني بر قواعد جداگانه با تركيب اجتماع •

استلزام حاصلضرب ممداني •

نرم هاs براي max نرم ها و tضرب جبري براي •

.استفاده مي شود

= ∏

=′

∈=′

n

iBiAAUx

M

lB yxxSUPy lli

11))())(()((max)( µµµµ

موتور استنتاج مينيمم ممداني -٢

:در اين موتور استنتاج از

استنتاج مبتني بر قواعد جداگانه با تركيب اجتماع •

استلزام مينيمم ممداني •

• min براي t نرم ها و max براي sنرم ها

.استفاده مي شود

[ ]))(),(),...,(),(min(max)( 11 1yxxxSUPy ll

nl BnAAAUx

M

lB µµµµµ ′∈=

′ =

موتور استنتاج لوكازويج -٣

:در اين موتور استنتاج از

استنتاج مبتني بر قواعد جداگانه با تركيب اشتراك •

لوكازويجاستلزام •

• min براي t نرم ها

.استفاده مي شود

( )

+−=

=′

∈=′ )()(min1),(minmin)(

11yxxSUPy ll

i BiA

n

iAUx

M

lB µµµµ

موتور استنتاج زاده -٤

:در اين موتور استنتاج از

كيب اشتراكاستنتاج مبتني بر قواعد جداگانه با تر •

زادهاستلزام •

• min براي t نرم ها

.استفاده مي شود

٣٧

( )

−=

=′

∈=′ )(min1)),(),(),...,(min(max),(minmin)(

111 1iA

n

iBnAAAUx

M

lB xyxxxSUPy li

lln

l µµµµµµ

رشر-موتور استنتاج دنيس -٥

:در اين موتور استنتاج از

استنتاج مبتني بر قواعد جداگانه با تركيب اشتراك •

رشر-دنيساستلزام •

• min براي t نرم ها

.استفاده مي شود

( )

−=

=′

∈=′ )(,)(min1max),(minmin)(

11yxxSUPy ll

i BiA

n

iAUx

M

lB µµµµ

. تعداد كل وروديها مي باشدn تعداد قواعد موجود در پايگاه قواعد مي باشد و Mكه در روابط فوق

: به يكي از سه فرم زير معرفي مي گرددxA′µ)(در اين روابط

منفرد فازي •

=

=′ otherwiseXXif

xA 01

)(*

µ

][كه 21 nxxxX L= و ][ **2

*1

*nxxxX L= مي باشد.

گوسين •

2*2

1

*11

**)(

−−

−−

′ = n

nn

axx

axx

A eex Lµ

. انتخاب مي گرددmin نرم مي باشد و معموال از نوع ضرب يا t نشان دهنده *ها پارامترهاي مثبت و aiكه مثلثي •

=

−−

−−=′

otherwise

XXifb

xx

b

xxx

n

nn

A

0

1**1)(*

*

1

*11

Lµ

. ب مي گردد انتخاmin نرم مي باشد و معموال از نوع ضرب يا t نشان دهنده *ها پارامترهاي مثبت و bi كه

. نوع منفرد فازي محاسبات را بسيار ساده كرده و بنابراين بسيار مورد استفاده قرار مي گيرد xA′µ)(از ميان انتخابهاي فوق براي .ولي از طرفي توانايي حذف نويز را ندارد

٣٨

:كر شده بصورت زير ساده مي شوند موتورهاي استنتاج ذxA′µ)(با انتخاب منفرد فازي

ممداني استنتاج حاصلضرب موتور

( )

= ∏

==

′

n

iBiA

M

lB yxy lli

1

*

1)()(max)( µµµ

ممداني استنتاج مينيمم موتور

[ ]))(),(),...,(min(max)( **11 1

yxxy lln

l BnAA

M

lB µµµµ=

′ =

استنتاج لوكازويجموتور

( )

+−=

==′ )()(min1,1min)( *

11yxy ll

i BiA

n

i

M

lB µµµ

استنتاج زادهموتور

( )

−=

==′ )(min1)),(),(),...,(min(maxmin)( *

1

**11 1

iA

n

iBnAA

M

lB xyxxy li

lln

l µµµµµ

رشر- استنتاج دنيسموتور

( )

−=

==′ )(,)(min1maxmin)( *

11yxy ll

i BiA

n

i

M

lB µµµ

٣٩

١ فازي ساز ها و فازي زدها -١٠ فازي سازها-١

.در قسمت توابع عضويت انواع آنها مطرح شد از هر كدام از اين نمونه ها مي توان بعنوان فازي ساز استفاده كرد

فازي زداها-٢

٢ فازي زداي مركز ثقل-١

∫

∫′

′∗ =

VB

VB

dyy

dyyyy

)(

)(.

µ

µ

٣ فازي زداي ميانگين مراكز-٢

∑

∑

=

=∗ = M

ll

M

ll

l

w

wyy

1

1

ˆ

. تعداد كل مجموعه هاي فازي مي باشدM درجه ارتفاع آن و wl ام ، l مركز مجموعه فازي lyكه ٤ فازي زداي ماكزيمم-٣

1 - Fuzzifiers & Defuzzifiers 2 - Center of Gravity Defuzzifier 3 - Center Average Defuzzifier 4 - Maximum Defuzzifier

y* V

W1

2y 1y

W2

۴٠

} يك نقطه باشد hgt(B')اگر })()(|)( ySUPyVyBhgty BVyB ′∈

′∗ =∈=′= µµ

:صورت از يكي از موارد زير استفاده مي كنيمدر غير اين

}فازي زداي كوچكترين ماكزيما })(inf Bhgtyy ′∈=∗

}فازي زداي بزرگترين ماكزيما })(BhgtySUPy ′∈=∗

زي زداي ميانگين ماكزيما فا∫∫

′

′∗ =)(

)(

Bhgt

Bhgt

dy

dyyy

حال فازي زداي ميانگين مراكز، مركز ثقل و . اجتماع دو مجموعه فازي زير باشد 'Bفرض كنيد مجموعه فازي : مثال (w1>w2): ماكزيمم را محاسبه كنيد

فازي زداي ميانگين مراكز-١

21

2

21

22

11

2

1

2

121 ˆˆˆ

1ˆ0ˆww

www

wywy

w

wyyyy

ll

ll

l

+=

++

====

∑

∑

=

=∗

فازي زداي مركز ثقل-٢

8.02

2121

21

2

1 2

1

20 8.01

0

8.0 18.0

1

8.01

2

18.01

2

111

8.08.0

)2()()()(

)(

)(.

w

w

ww

www

VB

VB

wwwww

dyyywdyywydyywydywyy

dyy

dyyyy

w

w

+−+

−++−++

==∫∫∫∫

∫

∫+

+−

′

′∗

µ

µ

فازي زداي ماكزيمم-٣

0)( =′=∗ Bhgty

در شكل هاي زير فازي زداي ماكزيمم را مشخص نموده و اگر بيش از يك نقطه مي باشد با تعيين نوع آن هر سه : مثال :ا مشخص نماييدنوع آنر

W1

W2

-0.8 0 0.8 1 2 y

µB'(y)

y* V y* V

y* Largest of Maxima V

Smallest of Maxima y* y* Mean of Maxima

۴١

قواعد فازي آن نيز در . توابع عضويت زير مفروض است با Y يك خروجي و X2 و X1 يك سيستم فازي با دو ورودي :مثال استنتاج حاصلضرب موتور را با استفاده از Y مقدار خروجي X2=8.5 و X1=20به ازاء مقادير . جدول زير داده شده است

با فرض رشر - استنتاج دنيس موتور و استنتاج زاده موتور، استنتاج لوكازويج موتور، نتاج مينيمم ممداني است موتور، ممداني .فازي گر منفرد بدست آوريد

توابع عضويت ورودي اول

توابع عضويت ورودي دوم

توابع عضويت خروجي

قواعد فازيجدول

X2 S2 L2

S1 Sy My M1 Sy Ly

X1 L1 My Ly

۴٢

6.0)20( 11 ==XSµ 15.0)5.8( 22 ==XSµ 4.0)20( 11 ==XMµ 85.0)5.8( 22 ==XLµ

0)20( 11 ==XLµ

نتاج مينيمم ممداني استموتور

[ ] 15.015.0,6.0min)](),(min[),( *22

*11

*2

*121 ===× XXXX SSSS µµµ

[ ] 6.085.0,6.0min)](),(min[),( *

22*11

*2

*121 ===× XXXX LSLS µµµ

[ ] 15.015.0,4.0min)](),(min[),( *

22*11

*2

*121 ===× XXXX SMSM µµµ

[ ] 4.085.0,4.0min)](),(min[),( *

22*11

*2

*121 ===× XXXX LMLM µµµ

[ ] 015.0,0min)](),(min[),( *

22*11

*2

*121 ===× XXXX SLSL µµµ

[ ] 085.0,0min)](),(min[),( *

22*11

*2

*121 ===× XXXX LLLL µµµ

۴٣

۴۴

۴۵

Fuzzy Logic and Systems Contents: 1. Introduction to fuzzy logic

1.1. The history of fuzzy logic 1.2. Configuration of fuzzy systems 1.3. some applications of fuzzy systems

2. Fuzzy sets

2.1. A comparison between classic and fuzzy sets 2.2. Introduction to basic concepts associated with fuzzy sets

3. Operation on fuzzy sets

3.1. Equal 3.2. Containment 3.3. Complement 3.4. Union 3.5. Intersection 3.6. Average

4. Fuzzy relations and the extension principle

4.1. Composition of fuzzy relations 5. Linguistic variable and fuzzy IF-THEN rules

5.1. Linguistic hedges 6. Fuzzy rule base & fuzzy inference engine 7. Fuzzifiers & Defuzzifiers 8. Using fuzzy toolbox in MATLAB 9. Some examples with fuzzy toolbox References: A course in fuzzy system and control by:Li-Xin Wang