\ .1d;11 C ={:.:=a+ bila.li ER} reprezinta. mul~in11~a 111.unerelor com- 1rl1x1. iar 1rn (-'lt>nwnt al ac

7

'

J

1 robleme rezolvate

I '11111 (rt1 + ibt)(a2 + ib2) = a1a:i + a1ib2 + ib1a2 + i2b1b2 = a1a2 - b1b2 + ( 11, /12 + a2b1 )i arata di P

Q

,

l

l1~xercitii propuse I) J )c ... t t>t1W11tu :: 1 111m11111 ltj>ll"ll 11] .: .

l'11tr11 :1. > E c :-.11111

11

'.l. Sa se df'tennine numerele reale :r, y pentru care (~ + ;r,i)( 1 - i) + (2 - :Ji)(y + i) = 10. .

U. Ef, ceea ce 111st>amna di nu putem compara in seusul relatiilor de mai sus doua nu- 111

I >tttionstratie. Fie :::1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + bl,i, doult numere complexe 1111!1.rn carf' z1 + Zz = a1 + a2 + (b1 + b2)i. Avem

1 I :::2 = a1 +a2-(b1 +b:.1)i = a1 +a2-b1i-b2i = (a1-b1i)+(a2-b2i) = I I ::2.

t>hservatii. 1) Proprieta.tea ramane adevarata. i pentru n numere com- pl1xp z1, z2, z11 i scriem &/

:\. ( :onjugatn1 surnei a doua numere complexe este ega1 cu suma 1 ouju.e;atelor celnr doua numere complexe.

I IP111onstratie. Fif' z =a+ bi i z = a - bi conjugatul luj z. Atunci =(a+ bi)(a.- bi)= a'l. - li"1i2 = a2 + b2 2 0.

i. Prod11sul a dona. numerf' complex conjugate este un munar real. ::; z E R. (\i) ::: E C.

I >nuina 1w z r--viue la a ,e:asi numerele realr- ;r si .If peutru care :)(.r + iy) = 8i(.1 + 1.y) +(KI - fri) sau 5.z: + !'iyi = -~y + 81 + i(~a~- !'5). Arcast.a f'galita.t.e intro llo11a numere complexe sub Iorrna algf'bnca con

{ !'i.r = -8y + 81 I . !'.; - d11cP la sisternul: ) cu so u~1a .r = .). Y = I 'f)y = 8;r - !)

Prrn nrmare numarul complex z care vPriffra er uatj a c->ste z = 5 + 7i.

, A

5. Conjugatul ca.tuiui a doua numere complexe este egal cu catul nmjngatelor celor doua. uumere.

(Conj ugatul pl'.lteri i unui numar r.omplex este egal cu puterea conjugat ului acelui numar).

I I .!

I I

ln caiul particular cand n11merde complexe snnt egale z1 = .z2 Zu = z, atunci

lkvcni1_n la impartirea a dona nurnere cornplexe z1 = a1 + bti z2 = ''' I b2.,1, =2 f ~- Catul lor ;;- este de asemenea un uumar comple~. Tre-

= ... = 1111111' sa precizam J)t>tltl""~l acest numar partea reala i partea imaginara, I 1111 ru aceasta Sf' amplifica fractia ;;- cu z2 ( deci cu conjugatul complex 111 lui .:2) caud avem:

tt1+b1i = (a1H1i)(1t2-b2i) _ A+Bi _ A B - 2+b21 (rt2+b>i)(a?-b.,i) - 1l2+b2 - 112+b2 + 2+b2 i, I - - - 2 2 2 2 ''2 2

'"" c am notat cu A, B partea reala ~i respectiv imaginara a numarului , 11111phx de la numarator. l:ximple. 1) Calculati :::-1 peutru:

") z = 1 + i; . b) z = -:l - i. Ir Av-m: a) z-1 = !. = _1 __ = t-i _ 1-i _ 1-i _ 1 1.

:: I+ (I+i)(t-i) - 1+1 - T - 2 - 22 I 1) - - I = ! = _1 -r-r = -:Hi _ -3+i _ -3 1

s -3-t (-3-i}(-3+i) - 9+1 - lO + IOZ. i, 1) ( 'alculati =i. in cazurile: ' z2 .

::: = -:: ( Pcntru Ct pro ha di un nnmar romp lex este pur imaginer se demonstreaz{i egalitatea ::: = -z)

11 .. mo1~stratie. _Dae.a z_ E R"i, atunci z = bi, b E R" i deci:; = -bi, iar - In = :::. R.enproc, fie z =a+ bi cu proprietatea z = -z .

111 aici a+ bi= -(a - bi)-::> ~a= 0 :?a= 0, p;al en difereuta conjugatelor pen- tru doua n11111ere complexe, adica

.:1 - ::2 = .:1 - ::2., (V) Z1' :::2 E C. 1

n n E ::k = E ::k k=l k=l

It>

I'

~ Calrulati: a)!..!.. h) :i-2~- c) 1+2i. ]) 1+i. ) -:i+1. f) -lt:li :l-1 ' 2+:h, 1+i ' ( 1-si' e 2+:ii ' :1-si

) Fie> ::1=l+1.i. ::2 = -:t Z3 = !5+ !5i. ::4 = -8 - 6i. '-1.i :w calr uleze: a) =1::' h) =1+z2 c) :3-::~ d) ::1z3. f') ~ _ :::i .

Z3 1 2z4 ' ::1.:::1 ~ Z1Z:4' ZJ Z I. Fie ;:;1 = !j + 2i, ::2 = -:l + 5i. Sa se calculeze: i) Bt"' (:i-_-2); b) re(z1J. c) Im (_3L_). :l) lm(::2l

le(z2)' z1 -z2 ' ( lm(zi)+R:

1) ( ~)(; + (-17v5)'' = 2: b) ( vq-i)" + (-1ti.)6 = -2. \rata~i di.:

ll+t)b-1 = I.). ( I). {l+1i)3+(1-:.!i)3 - _ lli. (I f-1)8+1 17' \ __:., {2-i)2-(2+i)2 - 4 ,

' ( 1-4i)(1-i) - (:34i)(2+i) - - 48i :.!+ "2-i - ,r;'

l ( I + Lf) ( l + ( iii ) 2) ( I + ( lf) 4) . . . ( l + ( lf) 1") ( I - 2~,, ) ( I + i), n E N. n 2: 2;

1 I (1 + ~-) (1 + (J.ir) (1 + (1;.Jr) .. (1 + (71)2") = 0, n E N II .....: :!.

II '-l;i 'W clf-'t,f'nni1w lllllllt-'l'P!P l"f-'

11 .. monstratie. Fif':; =a+ bi. Atunci 11 a2+b2=(a+bi)(a-bi)=zz.

t lliHervatie. Acnm cat11l a doua nmnere comph~xe se poate exprima prin

:i. Produsul dintre ui1 nmnar complex i conjugatul sau este c,gal cu pat rat ul mod11l nl u i ac

= :-~~:. uude at I';" ''rcitii rezolvate I ( ';.lnda.~i morlulul peutru fiecare din uuuierele:

I ,1) ;~ + li: h) ~~:. 1 II I ):idi .: = :r + yi. a.t.nuci modulul a.cestui numar complex este

I hmonstratie. Verificam a doua inegalitate. Cum ambii membri sunt I'" 1t ivi. ridicam la piitrat i avern echivalent I 1 I .:212:::; (lzd + l.::.!1)2 {::? (z1 + z2)(z1 + =2):::; (lz1I + lz2l)2 {::}

1=1 + Z1Z2 + Z2Z1 + Z2Z2:::; lz1I:.! + lz2l2 + 2Jz1l lz2l- l l111 -1z1 = lz112, ::2z2 = lz212 i ultima inegalitate se reduce la

, I- .:2::1 :::; 21.:1 I l.:21 {::} z1.:2 + =1z2:::; 2lz1 I lz2I {::? 1H1->(z1::2):::; 2lz11 l=2I {::} Re(.:lZ2):::; lz1z21, adevarat deoarece daca

''+bi. atuuci a= Re(z) :=:;; .Ja2 + b2 = lzj. 1 v1d.ER (daca .:1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b21., 111111 0 {::} \i 1 IJ ~ 0 {::} .A ~ 0.

111 11111rl117.iXt' Z1 . .:2. , .:,, ,

Demonstratie. Fit> .::1 = a1 + b1 i; z:.! = a2 + b2i. Atunci .:1=2 = a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i ~i l.:1.::.!I = y'(a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + a2b1)2 = J(af + bf)(a~ + b~) = = Jar+ hfJa~ + b~ = lz1l lz2I-

4. Modulul produsului a doua numere complexe este egal cu produsul modulelor celor doua uumere.

l.:1.:::.!I = lz1l lz2!, (V) z1, Zz EC.

( r;:;)3 1-iv3 . e) 2(i+i) '

I obleme propuse I ''.ilrHla.ti modulele urmatoarelor nurnere complexe:

) "1+t)i h) I+.112).

1 l1'i1 :::1,::2, z:3 EC astJd 1ncat lz1I = :3, lz2l = 4, lz:3I = 5 i I I }. + Z:~ = o. Sa se arate ca 16zf + 9zi = o.

11 l)i11 =1 + :::2 + :::3 = 0 rczulU1 z1 + z2 + za = 0 (1), iar din lz112 = 'I , il2 = 16, lz:3J2 == 25 deducem ::1z1 = 9, z.iz2 = 16, Z;3Z:3 = 25

111 1 - .2.., ::2 = 16 z3 = 25. Cu aceste exprimari relatia (1) devine: Z1 :2 ' Z:J S I I 11; 2~ 0 . .II'~ z1, z2 E R, atnnci zf = lz1 I:.!, zi == lz:i 12 i relatia se verifica.

l daca z = z.

1 1,1 - .r + iy i se face verificarea imediat. l -2 ')I 12 2 -:.! 21 12 ( ) Al A d I u 2 I It 1 1 1 + :::, :::; ~ ::1 , z'2 + z2 :::; z2 * . ( unan rezu ta z1 +

1 I ~ + z2'2:::; 2(lz11'2 + lz212). Cum mai sus rela~ia este cu egalitate se d1 .J11ct' di trebuie sa avem egaJit,ate lll (*), adica Z1 = Z12, Z2 = Z2.

1 I l.11'i1 :::1, ::2. :::3 E C i z1 + z2 + .z:3 = z1z2 + z2za + Z;3Z1 = 0, atunci I ii l~2l == l::::JI I( 11111 ~:3 = -::, - Z2 i Z1Z2 + Z2Z:3 + Z;3Z1 = 0 rezulta zf + Z1Z2 + zJ = 0, ' ''' 11111111ltita. rn .:1-:::2 da. zl == z]. Luand aici modulul gasim lzil = lz2I ' 11 ii 11.C. I ::2 I = I .::31.

I>, ;iici se obtiue sisternul ( dupa uncle calcule din prima i a doua egali- ( 8;r + 2y - 11 = 0 . . 7 s

I tic): ~ ., O cu solutia :r = ;;, '.II= -6 lx+y-L= v I '1111 urrnare uumarul cautat care verifica egalitatile din euun] este

7 t5i () .

lzl = -J.r2 + y2. a) Aveni 13 + 4il = .J;p + 42 = v'25 = 5. A b ) Modulul catului este egal cu catul modulelor. ln acest caz avem:

1 1-i I = II-ii = Ji+i_i = 1 (Am utilizat egalitatea lzl = lzl). l+i II+il IHI 2. Sa se arate ca:

a) Jz + 2iJ2 + 4 Im(z) = lzJ2 + 4, (V) z E C. b) lzl2 == 2Re2(z) - Re(::-2), (V) z EC.

R. a) Fie z = :r + iy. Atunci . . lz + 2il2 == j:i: + (y + 2)i\2 = .t:2_+ (y + 2)2_-= ::.2 + ~2 + 4y + 4. Cum Im(z) = -y. membrul stang al egahtatn devine

. z I 12 4 x2 + y2 + 4v + 4 - 4y == ::c2 + y + 4 == z + . . . . I 12 2 2 C 2 2 y2 + 2xyi b) Dac.a z == .r + yi, atunci z = x + y . .-urn z == x -

membrul drept devine . . . . 2;1:2 _ (x2 _ y2) == .r2 + yz = lzl2 i prin urmare cei doi membri sunt egali, 3. Sa sf> arate dt oricare ar fi:: E C -{-1}, lzl = 1, exista a E iR astfe . 't 1.!!i (1) inca z == l-(i' . .., =-I R. Fie z E C - {-1}, lzl =I. Drn (1) reznlta a= i(z+l)" Trebuie aratat di a E R. Se stie ca a E iR q a == a. _ Probam ultima egalitate calculaud a. Avern (utilizam ca lzl == 1 q z z

- 1 . 1-1 --1 - =- - = - -~- - a l ): a= -i(.~+1) - -i(f+1) - i(::+1) - . A ) - D .x - - i+m atnnci..,-'- -1 Observatie. re oc sr recrproca. a

l111licatii i raspunsuri

.11 JlK: b) l c) l d) Ji e) -1- f) Ji g) fi'i(i'. . ' ' 2 ' . 2Ji' 8 , v .:., .. ,, I >.11;1 .r esk uumarul dat, .atunci .r E R {::? :l' = x. Din 1;1 + 1;1 = x

11 il.t.i :2+1.:-12 = .~:zl.:I sau ~2 = ;rlzlz-: lzl2 Acum se ia a_= xjz_L. l!_- 1

4 . ) ') .31 . l ) .3 + 2 . ) .3 . d) (} (' . ' . ) a - - 'T. ) - 2 i; c 4 - 1.; o - n; -8 - 6i; e 11 1' f) (-2 + J7)i, (2 - VT)'i, 1, :{.

1)~1'{i; h).r=y=-l~v'3; c)6+I7i,6+8i. 111 S z1 .:::2 .::1 E C ast.frI lucat :.:1 + ::2 + z:1 # 0 .. :f + ::i + z:~ = 0 :-Ji

. (1-i)2(i+i)3 . f) (t+iJ3}3(I-i-fi)2'

It ciolvarea ecuatiei de gradul al doilea cu coeficienti ' 0111pleci I 111o1~i1~ a.r2+b:c+c = 0. a, b, c E R, a =J 0 a fost rezolvata anul precedent

I tt I dis O, atunci z , y au acelasi semn (ori amandoua negative, arnandoua positive), iar peutru b < 0, uumerele z , y au semne coutrar Deci In toate cazurile z admite doua radacini opuse.

Teorema. Orice numar complex uenul admite doua radacini patrate opuse.

Exemplu. Numarul complex "i = 1 + i este o radacina patrata a l z = 2i. deoarece ri = (1+i)2=1+2i + i2 = 2i = z. De asemenea uumarul complex r2 = -( 1 + i) este Inca 0 radacina patra

2 [ ( ')]2 2. sv b v cav 7' - -7' a lui :; peutru ca r2 = - 1 + i = Z = ::. , a 0 servam 2 - adic{L 12 este opusul lui 11. Are loc urmatoarea:

Definitie. Fie z E c. Se uumeste radacina patrata a lui z 1111 numar complex r E C en proprietatea r2 = z ,

Radacinile patr ate ale unui numar complex

I II' In C t>rnatiile: 2

11(1 I) =169; b)(:t+l)2=-16; c)(:c-2)2=-'.l5. 1'1111LJ1d :; = .r + iy rf'zolvati eeuatiik: d

1 -1(): h) -2=-GO: ;)::2=frii d). z2=-10z

I J ~ 1 F ') 1. ' >+ -1: I - :IL>t2~i; g)-2==1fi-:30i.

It) I' i~.1~i:t/ rezolve ecuatia ::2 - (2 + 3i)z - (5 - i) = 0. R. Calculam discrimiuautul ecuatiei ~i avem:

~ = (2 + :li)2 + .+(!) - i) = 15 + 8i. 0 radacina. atrat{t a lui /j,, este 7'1 = 4 + i ( cealaltji este ?'2 -4 - i). Atunci solutiile erna~iei datf' sunt:

Z - :.1+:li(4+t) ~ dt>_tenni1w valoarea parametrului real ni daca ecuatia I - ( m. - I. ):r + 2Q + !')i = 0 admite 0 radacina reala .

I '/''I p;mrna~i p~.ram~trul complex ni .ru = -.1. Din prirna f'CLmtie pentru :i:u = -5 se obtine

1 l'iin;~ncl z = l - i In t>cnati obtinf' 1111( t - i)2 + ( + ')(1 ') . .) . m 1 - t + i. - l = 0 sau m(l - 5i) = 2- 2i.

I 11 .111 I W = l(l-'.) = ((j + 4i). J_ 1-.5t . l ;3.

I ~ 1 s1 rezolve in c eruatiile: I 2 1 1 l) ~-9; b)(.r+;J)2=~5; c):c:i-:r+l=O.

If '') Dae a puueui z = .c - l at 1111

' ,, M' forn1eze ecuatia de gra.dul al doilea daca se cunosc radacinile , 111 ni.zuri le:

l) I - l, Z2 = i; b) Zt = l - i, Zz = 1 + i . I 1 1t:1.~i'"- = ; 5. S{t se rezol ve ecnatiile: _ . . . ') (.1 ') _ 0

a)( l + i):.:2 + ( i - 6).: '. (2 - :Ji) = ?; - l~) 2tz2+.3(1 + i z + > - i - c) ('i - :3)z2 + (7 - lli).: + (~- + 6i) - O, i) _,'l._(1+12i.)z-(l:l+~h)=0; . ( p:'l. + (5 - i)z + 6 = O; f) z'l. + (4 - 6i)z + 10 - ~01. = O; ;)-iz'l. + (1 + i)z + 1 = 0; h) zz + (2i - 1 )= - 1 - 1. = 0.

{ xy = 2 - 2i

6. Sa se rezolve sistemul: x _ {1 - i)y = 0. ..., ..., " . . . 7. Determiuati valorile parametr:ului re~l .1.n daca radaciuile ecuati

I I 2 .. + 1 - o m 'I= O apartin multimii C - R. m I - ni.t. - ' . 1' ) z + 2--;v + I) - O b) 2-z2 + 6z + 11 = 8. Sa se rezolve In C ecnat11 e: a z H e - '...,

A v v tia _:3 + .; - - 1 = 0 nu are raclacull reale. 9. rata\1 ca e)r-.)-0 b)x4-(5-2i)x -lOi-, a .1: > .i, -- -

1) x4 - 8x2 - 9 = 0. 11. Rezol va\i in C ecuatiile: d) x6 - 9x:3 + 8 =

a) ~r:~ + l = O; b) :c:3 - 8 = 0; c) :c4 + 81 = O;

c) .:-2 + z + l = O; b) (l = 9; X1 =

c) x2-x+1-i X2+(2i-l)X-i-1"

11' I Clllsidc->ra, f'CUatia ;z;2 + :J.i; + ;3 = Q CU radarini)~ :1:1, ;C2. 1 ,. 1 ;tlrnleze: a) xi + ;c~: b) :r:{ + xl; c) .rt+ :r~; d) xi + x~;

I ) ,1 f .+-; f) ~ + :!:L; g) :i + :1. h) l:!-:33j+1 + x2-3x~+1 I I 2 3 2 3' I :r.2 .c I ' , . 1 - ., r2 x3 'j 2 . - I > I 2 -. Xz

1 1 ,,. formi->zt> PC11a~ia d t-'Clla~ia .r2 - .r + 2 = 0 i ;C1. ;r2 radacinilt> ei. 1) Sa se calculeze: a) r2 + r2 h) r;3 + -r;3 c) r4 + x4 d) r5 + x.s. e) .L + ...!... ' ' 1 ; 2" ' I ''21 -- ' 1 2' ' I 2) - XI X2 1

'> > 3+2 s 3 3+2 f) ...!.. + .L. ) X1-'X1 + X2- T2 ri xi !.:?; .z:4 x4 1

- I 2 1 2

~) Sit sf' forrneze enmtia. de gradul al doilea in y in cazurile: ) IJ - r + l 1., - ,. + l b) y _ 1+x1 Y _ 1+x2. c) Pi-utru a ralrula .rt + .i:~. scriem ca :c1, .c2 verificii eruatia data. DP a.11 lu1 l"galit.a~ilt>: .rf - .r.1 + 2 = 0 .. d - .c2 + 2 = 0, ( 1 ). Inmultim prin wla.tit:> cu .rf. a dona. cu :c1 t le adunam. Obtiuern: :cf+ x~ - (:ci + :cD 2( ;d + .d) = 0 san .r~ + ;r.~ + !) + 2( -:3) = 0. De::;iLt-> .1:~ = -:h1+2. Analog st:' procedeazii i pentru a do f

. A , , 1 . ) l . 2x1+14 2x2+14 _ -12x1x2-38(x1+x2)+56 urn \If'. Ar um ttV< 111tf"caa ecuatiei dt> gradul al doilea in y care are radacin y1, y2 se calculf'aza S = y1 + Y2 i P = y1y2. Atunci ecuatia est y2 - Sy+ P = O. a) ..; = Yt + .\l'l. = .r1 + 1+:c2+1 = (:c1+.1:2)+2 = 1+2 = :3, P = Y1Y2 (.r1+l)(:r'2+1) = ..i:1.i:2 + :c1+x2+1=2+1 + l = 4. Asadar ecua este: y2 - :~y + 4 = 0. Observatie. Rema.ream cit relatia iutre radacinile ecuatiei in x i c ale t->cua.tiei in y este data de depeudenta y = x + 1. De aici z = y - Substituind x en y - 1 in ecuatia in z se obtiue ecuatia (y - 1 )2 - (y 1 ) + 2 = () sau y'2 - :~y + 4 = 0. adica tocmai ecnatia. diutata. b) .... = 1' + IJ = l+x1 + 1+x2 = ~1 +x2+2x1x2 = 1~22 = ~ si

,Jl 2 X( X2 XtX2 2 2 'S p =YI ?'j = l+x1 . l+.c2 = 1+x1+x2+x1x2 = 1+:+2 = 2.

1. 2 .c1 3:2 .c1x2 2

Ecuatia f'ste y2 - %Y + 2 = 0 sau 2y2 - 5y + 4 = 0.

3. Dett-rnuua~i r111i11;1rP:t :tl'f.~tlllH'Utului red us ..,:: E (0 .. ~7r) s

I. ~: ) 1: 2) -~: :{) '2i.; 4) -2-i: !i) l + i; 6) l - i; 7) -I+ i; t:l) -l - i;

ii 1 ~ iJ3; 10) -I+ iJ;3; 11) J3- 1:: 12) -JJ - i; l:{) '(/' + ~; 11 ~+.. 1-) l._dl. '16) _l._dl. 1~) ., ,r:;+ . 18'') ') /:) :. i 2' ,) 2 2 ' - 2 2 ' ~+v.) 1,, ~+v-)-t, I) ., - 0 - - v.1 t.

Sc riP~i urmatoarek 111111H~r0 complt>XP sub forma algehrica: } 1(rns~+isin*); 2) :3(cos0+isin0); :n rosrr+isin7l";

ll l(nJsJr+isiurr): :)) cm;~+isinI; G) 9(cos-I+isin~); J I 11.., 'I; + j_ Sill :3;: K) 11 (COS ;j; + i sin ;j}.ir ); 9) 4( COS~; + i sin ~; );

II l -11 r - 11"' 11 ) . _ . 51!' + : . . src I I CIS T + I Sll1 If; cos G 1. Slll (;"'.

Probleme propuse Fig. 26

A x 1

P1111ct.1'I

!17

Observatii. 1) in ca.zul particular rand unul din nurnerele :;1 sau z2 este zero, atnnci ~i produsul lor este zero. Ace] nurnar complex uul a.re argumentul nedekrminat. La fel se 1ntlmpla. ~i cu argument11l produsului .::1Z2.

2) In genera.I noi vom spune ca un argument a.I produsului a doua nurnere complext-> este ega.l cu suma argnmentelor. Restul impartirii Jui 'P1 + cp2 prin 271' da argumentul redus peutru z1z2. I 1

z1.:i = r1r2[cos(91 + cp2) + i sin(cp1 + tpi)]; modnlul produsului este ega.l cu produsu1 rnod11l

!)Q

Probleme rezolvate 1. Sil. st> ca.ln1lf7.

L. Sa. s1' udcnl

Fig. 28 x 0

c( ~;)

:q l11t.erpn'tarea . .f!; =1 = r1(cos cp1 + i sincp1),

::2 = r:i( cos (

1. . )" = 1. . =COS 1/.

1i.1

I 1

I '-la -;e n1lcult>zP ;-, !->criiud11-l snh fonna t.rigouonietrir:a, i'u ca'.l::uril(~: "l _, = I (cos 7[)0 + i sin 7:l0 ). ::2 = ~(cos :rn + i sin :rn ): lij .:1 =~)(rn:-.:ltl+isin'.20), .::2= J5(cos40+i:-.1ntl0); c) :-1 = J}(cos ~; + i.siu ~;7). ;:;2 = :J(cos ~; + isin ~n; d) .:1 = (1 + i)2 => = Ji(1os{f- + i.sin :!f).

. - 1) ,,

H. Dara .:1 = r1(niscp1 +isiucpi), .":2 = r2(rnsi.p2+isin-p2), .":2 -=f 0, 2L r1 [ ( ) ( 1 .1111un ;, = -;::; cos ;'1 - ;'1 + 1 srn 4-'2i b'2 2 \It.ft>] St' wrifid. t>p; verifind 1'a ,d-r: E iff".

l-fJ.

\ \'t>m: rl-, = -:i-'.>i = i E iR*. h-rt -h+l1

\ltfrl s a.ratf' di pa.tndatt'rnl :1/J

' - ,,

lndicatii i raspunsuri 1. ll :1(rnslXOO+isin IK0): :2) :2Ji(cos:3:30+isi11:3:30); 1) tr'.(. -,"+ : '>r.). 1)- -')( ~~.

4)) 1+1,l:-.0-zsin(r,. ._ 1-""1 .... t\+islno,

;~) 1 +~O" ,,+i sin (t 1+1.osn-1.Mnn

l ) 1 -v).

\ "+ ")n ( "+ ") (l+ "+' .. ") [)

{I rr c.-)5 - l Sill - - ('.'QS - l Sill - - (_,I.)~ - l ~Jll l CCI ~ + 1. == 11 n . . 11 71 == rr n . -r/ == o~ ;;+1 sm ;;--1 ,.,,_ ;;-1 +1 "n:;;

( 1 2 T' +) TC rr ) '2 ,,. ( T:' + 1T \ _ 1T _ - ~n~ 2U" -l~ln~cn~I?; _ cos In cos2 1s111~, _ icos2n _ , ~tO'..!I_ - . ,,. . . ;r ,,. - - ., . rr ( rr + , . rr ) - " - Z l- o ~ 2 -'2 ~in"' ln +'.lL Mll 2,, tn~ 2,,, :.:;1 Sill 2n CO:-i Zn 't Sil\ 2n :-i!ll 2n U Din Pp;alitatea (l dona lll.llllt'rt:' complexe dedurem ca s = 0, T = dg '.l~i .

2. Detcrminati modulul ~i arguruentul redus pentru numerele cojnplexe:

) ( I +i y'1 ) 20 h \ ( 1 -:31 ). 6

a Ji-1Ji , . I '2-i . R. snit> numarul complex= = 1 - ~ + i( l + /J) sub forruii trigonome . ~ A I I ') MJ. ;r + l t . /3-l t . ( 11' 1r) trica. vetu rc =~v.t,~1.;>=2 o unue go.=H./J= g 3--:j' =

;-; l) . r. r: 77' = 1,g 1'2. (JCI y = l + J:l = }2 A . 1 +1J3 __ L, ) 0( . , 711' , .: 711') _ . Tr .: 7;r .: ' fi I ( Hn1 A-i.Ji - 2./2 ~v ,!, cos 12 1 1 :sm 12 - < os u + 1 sm 12 ~1 rn na.

1 )ti 1 ) 20 = r os .r;."' -i- i sin i~r. = cos s_3" + i sin S3r . \ 2-1 2 ) > '

fhci modulul nunuirului cst(' l , iar argumeutul rPd11s t>stt'

Dt>1nonstratie. Pentrn /.: E Z. scri1111,,.+'ir17r n+li'r [ I),. llla.1 ~ms ::?:....L..::.. = - - = _.,., __ + :!.qn ~ p.;a.lit.ate r lox C' a nna- gi nea ,E!;

71

I I

Observatii. 1) To pntt~l ilt> tk, k =- 0. n - l sunt. u11mere comp I ext> di..;trnclt> sa11 incii. dadt nrnl~illl ordin n alr- nnita.tii dat

II I 7't

R. Daca numarul complex (din care se cere sa sf' ext.raga radicalul) este dat sub forma algehricii z: = :i.; + iy. atunci trebnic adus la form a. trigono- met rica :: = r( cos t.p + -i sin 'P ). . a) i = cos ~ + i. sin ~. At unci rada.cinile elf' ordin trei din i sunt numerele

I Z ( !f+21.:r) (t+2kr.) / romp exe A = cos -=--y- + 1. sin ~ , ti.'.= 0, 1, 2, sau scrise detaliat Zo = cos * + i si 11 f,, Z1 = 1os 0;, + i sin .-;~, Z2 = cot> :~; + i siu 32n ..;a11 scrise sub iorrua al,e;ehridi

Z - ..fl+ i 7, - _fl+ ,;l_ ~2 = -t .. ~u -- 2 2, '1 - 2 2 /, b) 1 + i.\/'3 = 2(cos ~ + i sill~) ~i dcci radacinile de ordin patru din el

Z 4(.)[ ( E+2k-r.) . E+:.!krr ] - snut: k = v 1. l'OS -~ -,-1 - + 1. sm(-1-4-) , k = 0, :3. c) Aici sc poaJe aducc rn1m{\.rnJ complex de snh radical la o forma mai -;im1)la l# = (1+i)2 = i. = cos!!. + t' Sl0ll !!. l-1 2 . 2 ' 2 . H~idiLcinilt> sale df' ordiu pat,rn snnt:

:r.+2kr. . . :!!:+21.:,,.. - zk = rns(-2-4-) + /,sm(-2-4-), /.: = o,:3. d) S1ri

sau

k = 0, n - 1, l = 0, m - 1.

illl 0 sing11r{L ra.da.cina radacinile Zk = cos lkr. + 1: sill lh.

'lt 'll ,

l n tn ' 4 1:1?/ti ita~ilt> a.11 Joe ::;inrn It au da.ca p este par. In acest caz: lk:r :.II;- + .. , E 71 k l I. (l ) -,,- = -;;: L:rr "'. 8 "- sa.u m : = n + nm.8 => rnn.: = n + rn. ccnatiei datP. Dcua~ia data. an' solu~iilsin na = 0. De aici no= lat , l: E Z i deci o: = ~~ Cum n E [0,7r] se- r

77

7. S~ St' n~zoln- t'Cll: I) I + - + -~ -L. + -"'-1 + _11. - O - -~ - --, :!) l _.: + :;2 _ .::~ + ... + ,.::2n-2 _ ;:;2n-l + ,.::21, = (); :n c~ t + ( ~) 2 + ( ~) + J = o.

P('llH.~iilt>: l) (:: + o)'' - (:: - a)11 = 0: 2) (.:: + oi)n - (z - o,-i)" = O; :n (.:.+w)"+i(.:-(li)" = 0: I) (.:+11.i)11-(cnsn+isinO')(z-ai)n = O.

9. Si1 s t r_.,_:i_-J_O )) -8+4-4+"3-0 1) -8 ") 4+2 0 _. -- ) - , '-" .,,, - - J - - - ~ ' 1 - .;.,J,t., - ' I) .:rn - (1 + :2i).::" + i - l = )\//:3-i; 10) "~ 11 \ 4~- 12) Ei -h+i. 1 .. }'J d -Hiv'1. v h+i' ! v i~iJ'.3' -2-2i. ) i+i-fi ,

8) {164( cos i + i. sin*). "i) "' Hl24( cos "" + i siu f>r ); I 4

- \ :l R>) ( rr ,,. ) ')) y.c, detenniue perechile {Ai, A.2) E IR x R peutru earl' ccuatia

(:r: + i,\1 t + (:r + i,\2)n = 0 arc toate solutiile .reale pentru orice n E N* i gasiti aceste solutii. R. Numerele complexe (:r + iA.1yi, (:r + i/\2)"" avand snrna nula, sun! opuso ~i cleci au module t>gale. Fie :r:o ER o soluti (,\1, ,\2) suut lementele multirnii {(,\,-A.); ,\ E IR} Rezol vare-a ecuatiei ( *) conduce la .1:k = ,\ctg (l ~~tk}'lf, l: = 0. n - l . 9 ." Fit> .::1, =:2 E c radacinile ecuatiei (sin(\'+.: cos (\')2 = ros 2n+i sin 2n, n (2/,: + l)f, A: E Z. S{L ~w arate di lzf + :::i + 2124. R. Din ecuatie ded11n111 sin o + c cos o = (coscv + / sin o}. D

I !-n=~E{'11.

70

'- 1\, -

11: = - ../2 - v'2i ll = -v'2+J4 + -{Z-J6i 'lt- = -v'2-../6 + -v'2+v'Gi. l 2 2 4 4 . 4 ,, " 4 4 1

I) 11 = Ji - ../ii 1l = L1.:::..:lli + -v'2-fi; U = -v'2-ft. + /!-.fi:. (I 2 2 1 4 4 (2k~l)rr + i sin (21.:~I)r., !..: = 0. 1, 2; 2) 2( ros ~7:" + i sin~), ('--:J. ?) )[, , (1+4k)rr +. .' (1+41.:)1r] 1, _ O l ) 1. >. l ~ Co::; ti i SIU G , t.; - , , ~,

I) os P+4k)1r + i s'111 (:3+,lk)rr 1: = 0 ~). ' ' 12 . l:t , h '.'

") -" _ 1-i./3. 121.'l'.2[ , (1724/.:);r +: .' (17+:l4k)rr] 1. -O ~. d - - lt , V L 11' + isin (l~~'kl'lr, V'2[c.os (7~i;;)r. + isin (7~~,k)rr], /...: = O,:l; I) ('OS (1+1~kJ,,. + isin (+1:)1.:)11', 1V"2[rns (l2~k)7r + isiu (1+2~/.:)rr], /.; = 0,~;

(,r.)[ (l+:tk)r. (l+:tk)11'] (14k)rr (1+4k)1r /, -) r- 1 ) v ) cos ,, + I s l ll f) ' co::; 12 + l s l 11 12 ' ;: = l ' '). 7. 1) Sc" lunrnlt pc11atia la forma. ( ~=~~ )" = cos 2n: + i sin 2n:. Sf' ga~c~sc

I t"I - - ''+kr k - 0 1 ~ll 11 11 ,W' = 1. De asemenea 1 - fj = 1~0 a.re proprietatea

a (I - })"' = L cf'ea n' arata c.a 1 - /3 E U,,. 1) l).S . 1-11 ( :fi.:: P ...t 0) t 11 - 1,. ... =} . t> 1a o u se ve11 ca. p -r . 1wn ,111 1.a.w o. - I

Irrdi cat ii i raspurisur-i 1. 1) cos] 450+~~1800) + i sin( 450+~;1800), !..: = 0. L 2; sunt varfuri!e unui triunghi (chilateral iuscris Ill CPl'CUl de centru () i rnza l; 2) 2[cos( 20"+~t''1800) + i sin( 200+24k1800 )], k = 0, :3; s1111t. varfurilc unui pfi.trat inscris In ("f'l'l'Ul cle- CPULI'U () i clt- raza. 2; ;~) cos] 2"00+~1.:1800) + l siu] :.lf.fJ+;,klSOo ), l: = Q, 4; sunt varfurile IU)IJj pentagon regulat inscris Ill CP.JTlll de n'ntrn 0 !ii de ra.za l: 4) cos( 600+~~1800 )+i si11(000+~t1800 ). k: = 0 . .'i; suut varfurile 11n11i hexago regulat inscris In rr-rcul de centru 0 i l ~ 1 ~) ~M[ ( .!C4 +21.:ri) . . ( ~+:tl.:1r )] I 0 I 2 A f 1 ct' raza : :) . v 2 cos -:3- + z sin .z, -:J- , Ii" = , , ; snnt var urt rentru 0 i

1 v 4 u) )[ (.?r(.+2br) .. (~+21.::r)] 1 -0 ~ 'f 'I - , 1t: = ,:); sunt var nn e1111111 hcxagou rc~p;11]a1 iuscris iu ('f'ITHJ de ceutru (} ~j clt> raza 2.

2. J) l, t(-li\/'1); ~)-1. i(livf:{); :l) 2, -li0: 4)-:3, 1(1 i:v'1): :l) 1. i: ()) 4(li). '7(-li): 7) r.f(li) .. ;f(-1 1:): x) L t(l i\1'1), t(-1 ivi1); 9) i. i(vi}i), i(-JJi). 3 l ) ,;0[' . (:3+1:\l1)r. +: . (:$+8k}r.l I. - (I 1 ) ')) .J0[- . (5+12k)r. + V- cos 12 tSlll 12 le - , ,~, ~ V COS IS i sin (5+:~1.:)""]. l: = 0. l. 2: :1) if'.2[cos (l~~;k)rr + i sin (l~~k)1r], I.:= 0. :l; l) \YI[cos (-l~~l.:)11' + i siu (-l~c~k),.-]. u = 0, :l; f1) ~[cos (7~~k)rr +

(7+S")7r] 1 -0 > (") i:r.;[ (HGl.:)-:r + (l+ci/.:)rr] 1 -0 r:: z stn 1li , /\'. = ,.); ) VL COS 18 z siu 18 , 11: = ,,); 7 ) 1;0r .. '-H6k)ir + . ,. (-1+13k)""] t. _ 0 r-. '"') ';r.'5[ . (r.+12k)11'+ v .!,,(OS 18 z Sill 18 ' h. - '), n v .!, I.OS :Jo 1. sin (5+::~'*], k = 0 .. ): 9) ~[cos (7+~:,1.:)r. + i si. ('+:~~k)r.], k = 0, 5; 1 (')) -.1 [ .. (lH+:Mk)rr + . (l9+241.:)1r] k = () l ') l I) _1 [ . {n+24/.:)r.+ . V2 cos :~1> 1. sm :3t, , , ~, V2 cos 48 : .: . (1:H24k)rrl 1. _ ) , l')) _l_[ . (-5+24k)11' + .: (-5+24k)1rj i. _ -0 r::. 1.s1u ,1~ , 1>. - 1 .d, - 1V2 cos 7:t z sm 72 , n: - ,.), '1'') ,. , (I+Gk)r. +: . (l+G/.:)1rl k -0 ~. l4) ')[ "(:3+81.:)11' +: .' (:3+8J.:)7rl ., c us

2,1 1 Sil) :t4 , - , I, ~ CU.. 24 i Sill 24 ,

I -() r:: lr::) l [ . (17241.:)rr + (17+2lk)7r] 1 -0 r- ;: = , d: ,1 1Vl ros 72 l s111 72 1; = .. ). 4 b). 1) 'U = l + /. u = -1-vG + -Hv'\ 'IJ, =: lJ3 + -1-/\. 0 . ' 1 2 :t . 1. :t 2 ., )) u = 1 - i u = -i-./3 + 1-111 11 = -1+./3 + 1+.J3-i:. ~ (l ' l 2 2 " 2 2 2 '

"') - Ji+ Ji. 'I - Ji-J6 + ~i 'I' - -Ji-../6 + -Ji+J6;. J U(l - '2 '2 /., r l - 4 4 2 - 4 4 ,

13. A DadL m., n E N, ( m, n) = d; atunci solutiile comune ale ecuatiilor z'" - 1 = 0 .. z" - I = 0 sunt solufiilc ecuatici :::d - 1 = 0.