Gamme de Zarlino

Construction de la gamme

Gamme de Zarlino : les tierces majeure et mineure

La gamme de Pythagore est construite à partir des harmoniques F, 2F, 3F et 4F induisant les intervalles :

[F;2F] = octave (coef multiplicateur 2) [2F;3F] = quinte (coef multiplicateur 3/2). [3F;4F] = quarte (coef multiplicateur 4/3).

La gamme de Zarlino est construite à partir des harmoniques F, 2F, 3F, 4F, 5F et 6F induisant les intervalles :

[F;2F] = octave (coef multiplicateur 2)[2F;3F] = quinte (coef multiplicateur 3/2)[3F;4F] = quarte (coef multiplicateur 4/3)[4F;5F] = tierce majeure (coef multiplicateur 5/4)[5F;6F] = tierce mineure (coef multiplicateur 6/5)

HertzF 5/4F 2F3/2F

quinte

X 3/2

quarte

x 4/3

tierce majeure

x 5/4

tierce mineure

x 6/5

octave

3 notes séparées d’une tierce majeure puis d’une tierce mineure forme un Accord Parfait Majeur (APM)

Les fréquences de ces 3 notes doivent être proportionnelles à (1,5/4,3/2) ou (4,5,6)La note N2 est la moyenne arithmétique des notes N1 et N3: (1+(3/2))/2 = 5/4

Gamme de Zarlino : l’accord majeur parfait

F 5/4F 3/2F

+ 1 tierce majeure

x 5/4

+ 1 tierce mineure

x 6/5

N1 N2 N3

La gamme diatonique de Zarlino va être définie grâce à l’accord parfait majeur. Les fréquences des notes obtenues ne seront pas toujours les mêmes que chez Pythagore.

L’accord parfait majeur « sonne » particulièrement bien (N2 enrichi l’accord N1-N3 de 2 harmoniques):La note N1 engendre les sons de fréquences F, 2F, 3F, 4F, 5F, 6F,…9F,…La note N2 engendre les sons de fréquences 1.25F, 2.5F, 3.75F, 5F, 6.25F, 7.5F …La note N3 engendre les sons de fréquences 1.5F, 3F, 4.5F, 6F, 7.5F, 9F …

Le même accord dans la gamme de Pythagore sonne moins bien (N2 ne « rappelle » aucune harmonique):La note N1 engendre les sons de fréquences F, 2F, 3F, 4F, 5F, 6F,…9F,…La note N2 engendre les sons de fréquences 1.27F, 2.53F, 3.79F, 5.06F, 6.33F, 7.59F…La note N3 engendre les sons de fréquences 1.5F, 3F, 4.5F, 6F, 7.5F, 9F …

La fréquence de N2 est la moyenne arithmétique des fréquences N1 et N3.Mais si on raisonne sur les longueurs comme autrefois:N1,N2,N3 sont en accord parfait majeur si les longueurs sont proportionnelles à (1,4/5,5/6) ou (30,24,25).L2 n’est plus la moyenne arithmétique de L1 et L3.Mais (1/L2) est la moyenne arithmétique de 1/L1 et 1/L3:C’est la moyenne harmonique: L2 est la moyenne harmonique de L1 et L3

Gamme de Zarlino : l’accord majeur parfait et moyenne harmonique

L 4/5 L 2/3L

+ 1 tierce majeure

x 4/5

+ 1 tierce mineure

x 5/6

N1 N2 N3

De l’antiquité à la renaissance, musique, mathématiques et astronomie n’étaient qu’une seule « discipline» (cf « Harmonia Mundi » de Képler). Les nombres rationnels, rapports d’entiers, étaient représentés par 2 segments (Thalès en fait).Les notes d’une gamme étaient représentées par des segments. Les fréquences sont inversement proportionnelles aux longueurs de cordes.

On veut représenter la gamme sur un cercle représentant l’octave:Le problème est de savoir quelle longueur donner aux arcs de cercle correspondant aux 2 tierces sachant que la circonférence totale fait 2 et correspond au coefficient multiplicateur 2 (octave).

La somme des longueurs des deux arcs correspondant à 6/5 et 5/4 doit être égale à un arc correspondant à 6/5*5/4.

La relation arc(6/5)+arc(5/4) = arc(6/5*5/4)suggère de prendre un logarithme:Arc(6/5)=k*LN(6/5)Arc(5/4)=k*LN(5/4)Arc(2)=k*LN(2) = 2 donc k=2/Ln(2)

Gamme de Zarlino : Représentation circulaire de la gamme

Il en résulte que :Arc(6/5) = LN(6/5)*2/Ln(2) 1,65 ou 94,6924°

Arc(5/4) = LN(5/4)*2/Ln(2) 2,02 ou 115,89411°

Arc(4/3) = LN(4/3)*2/Ln(2) 2,61 ou 149,4135°

Et on a bien la somme des 3 arcs égale à 2.1,65+2,02+2,61 6,28 2 94,6924°+ 115,8941°+ 149,4135° = 360°

DO est un point arbitraire du cercle correspondant à la fréquence 1.F, qu’on notera 1.

Par définition les notes MI et SOL sont telles que (DO, MI, SOL) soit un accord parfait majeur.

Gamme de Zarlino : Construction des notes DO, MI, SOL

Les fréquences de MI et SOL sont donc:

MI : 1*5/4 = 5/4 = 1,25

SOL: 5/4*6/5 = 3/2

Chez Pythagore:DO: 1 MI: 81/64 1,2656 SOL: 3/2

Le MI de Zarlino diffère du MI Pythagore:L’écart entre les 2 MI est 81/80

81/80 est le coefficient multiplicateur du comma de Zarlino (ou comma syntonique).

DO 1MI 5/4SOL 3/2

Par définition les notes SI et RE sont telles que (SOL, SI, RE) soit un accord parfait majeur.

Gamme de Zarlino : Construction des notes SI, RE

Les fréquences de MI et SOL sont donc:

SI : 3/2*5/4 = 15/8 = 1,875

RE: 15/8*6/5 = 9/4 = 2,25Qu’on ramène à l’octave en divisant par 2:RE: 9/8 = 1,125

Chez Pythagore:RE: 9/8 SI: 243/128 1,898

Le SI de Zarlino diffère du SI Pythagore:L’écart entre les 2 SI est 81/80 (comma de Zarlino).

DO 1RE 9/8MI 5/4SOL 3/2SI 15/8

Par définition les notes FA et LA sont telles que (FA, LA, DO) soit un accord parfait majeur.

Gamme de Zarlino : Construction des notes FA, LA

Les fréquences de FA et LA sont donc:

LA : 1/(6/5) = 5/6 0,875Qu’on ramène à l’octave en multipliant par 2: LA: 5/3 1,67

FA : (5/3)/(5/4) = 4/3 1,33

Chez Pythagore:FA: 4/3 LA: 27/16 = 1,6875

Le LA de Zarlino diffère du LA Pythagore:L’écart entre les 2 LA est 81/80 (comma de Zarlino). DO 1

RE 9/8MI 5/4FA 4/3SOL 3/2LA 5/3SI 15/8

On obtient donc La gamme diatonique de Zarlino et 3 nouveaux petits intervalles:

Gamme de Zarlino : La gamme diatonique de Zarlino

[DO;RE] = [FA;SOL] = [LA;SI] = TON MAJEURRE/DO = SOL/FA = SI/LA = 9/8

DO 1RE 9/8MI 5/4FA 4/3SOL 3/2LA 5/3SI 15/8

[RE;MI] = [SOL;LA] = TON MINEURMI/RE = LA/SOL = 10/9

[MI;FA] = [SI;DO] = DEMI TON MAJEURFA/MI = DO/SI = 16/15

INTERVALLES et leurs « inverses »:OCTAVE ([DO;DO]) 2QUINTE ([DO;SOL]) 3/2QUARTE ([SOL;DO]) 4/3TIERCE MAJEURE ([DO;MI]) 5/4SIXTE MINEURE ([MI;DO]) 8/5 TIERCE MINEUR ([MI;SOL]) 6/5SIXTE MAJEURE ([SOL;MI]) 5/3 TON MAJEUR ([DO;RE]) 9/8Septième majeure faible ([RE;DO]) 16/9 TON MINEUR ([RE;MI]) 10/9Septième mineure ([MI;RE]) 9/5 DEMI TON MAJEUR ([MI;FA]) 16/15Septième majeure ([FA;MI]) 15/8

Par définition la note SOL# est telle que (MI, SOL# , SI) soit un accord parfait majeur.

Gamme de Zarlino : De nouvelles notes SOL# et DO#

La fréquence de SOL# est donc:

SOL# = (5/4)*(5/4) = 25/16 1,56

Chez Pythagore, SOL# = 6561/4096 1,60

DO 1RE 9/8MI 5/4FA 4/3SOL 3/2SOL# 25/16 LA 5/3SI 15/8

Par définition la note DO# est telle que (LA, DO# , MI) soit un accord parfait majeur.

La fréquence de DOL# est donc:

DO# = (5/3)*(5/4)/2 = 25/24 1,04

Chez Pythagore, DO# = 2187/2048 1,07

DO 1DO# 25/24 RE 9/8MI 5/4FA 4/3SOL 3/2SOL# 25/16 LA 5/3SI 15/8

Par définition les notes RE# et FA# sont telles que (SI, RE# , FA #) soit un accord parfait majeur.

Gamme de Zarlino : De nouvelles notes RE # et FA#

Les fréquences de RE# et FA# sont donc:RE# = (15/8)*(5/4)/2 = 75/64 1,17FA# = (75/64)*(6/5) = 45/32 1,41

Chez Pythagore:RE# = 19683/16384 1,20FA# = 729/512 1,42

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64 MI 5/4FA 4/3FA# 45/32 SOL 3/2SOL# 25/16 LA 5/3SI 15/8

Par définition la note LA+ est telle que

(RE, FA# , LA+) soit un accord parfait majeur.

Gamme de Zarlino : De nouvelles notes LA+ et MI#

La fréquence de LA+ est donc:

LA+ = (9/8)*(3/2) = 27/16 1,69

Chez Pythagore: LA = 27/16 1,69LA+ de Zarlino = LA de Pythagore

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64 MI 5/4FA 4/3FA# 45/32 SOL 3/2SOL# 25/16 LA 5/3LA+ 27/16SI 15/8

Par définition la note MI# est telle que (DO#, MI# , SOL#) soit un accord parfait majeur.

La fréquence de MI# est donc:MI# = (25/24)*(5/4) = 125/96 1,30

Chez Pythagore: MI# 1,35

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64 MI 5/4MI# 125/96 FA 4/3FA# 45/32 SOL 3/2SOL# 25/16 LA 5/3LA+ 27/16SI 15/8

Par définition la note SI# est telle que (SOL#, SI# , RE#) soit un accord parfait majeur.

Gamme de Zarlino : Une nouvelle note SI#

La fréquence de SI# est donc:SI# = (25/16)*(5/4) = 125/64 1,95

Chez Pythagore: SI# 2,02 (DO+ 1 comma P.)

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64 MI 5/4MI# 125/96 FA 4/3FA# 45/32 SOL 3/2SOL# 25/16 LA 5/3LA+ 27/16SI 15/8SI# 125/96

En résumé les accords parfaits majeurs sont:

( DO, MI , SOL ) ( DO#, MI# , SOL# ) ( RE, FA# , LA+ ) ( MI, SOL# , SI )( FA, LA , DO ) ( SOL, SI , RE )( SOL#, SI# , RE# ) ( LA, DO# , MI ) ( SI, RE # , FA# )

3 notes séparées d’une tierce mineure puis d’une tierce majeure forme un Accord Parfait Mineur

Les fréquences de ces 3 notes doivent être proportionnelles à (1,6/5,3/2) ou (10,12,15)Comme par exemple (MI, SOL, SI) , (LA, DO, MI), (SI, RE, FA#)

Gamme de Zarlino : l’accord parfait mineur

F 6/5F 3/2F

+ 1 tierce mineure

x 6/5

+ 1 tierce majeure

x 5/4

N1 N2 N3

Par définition la note MIb est telle que (DO, MIb , SOL) soit un accord parfait mineur.

Gamme de Zarlino : De nouvelles notes LAb et MIb

La fréquence de MIb est donc:MIb = 1*(6/5) = 6/5 = 1,2

Chez Pythagore: MIb = 32/27 1,18

Par définition la note LAb est telle que (FA, LAb , DO) soit un accord parfait mineur.

La fréquence de LAb est donc:LAb = (4/3)*(6/5) = 8/5 = 1,6

Chez Pythagore: LAb =128/81 1,58

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64MI 5/4FA 4/3FA# 45/32 SOL 3/2SOL# 25/16LA 5/3LA+ 27/16SI 15/8SI# 125/96

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64MIb 6/5MI 5/4FA 4/3FA# 45/32 SOL 3/2SOL# 25/16LAb 8/5 LA 5/3LA+ 27/16SI 15/8SI# 125/96

Par définition la note SIb est telle que (SOL, SIb , RE) soit un accord parfait mineur.

Gamme de Zarlino : De nouvelles notes SIb et SOLb

La fréquence de SIb est donc:SIb = (3/2)*(6/5) = 9/5 = 1,8Chez Pythagore: SIb = 16/9 1,78

Par définition la note SOLb est telle que (MIb, SOLb , SIb) soit un accord parfait mineur.

La fréquence de SOLb est donc:SOLb = (6/5)*(6/5) = 36/25 = 1,44Chez Pythagore: SOLb =1024/729 1,40

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64MIb 6/5 MI 5/4FA 4/3FA# 45/32 SOL 3/2SOL# 25/16MIb 6/5 LA 5/3LA+ 27/16SI 15/8SI# 125/96

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64MIb 6/5MI 5/4FA 4/3FA# 45/32 SOLb 36/25SOL 3/2SOL# 25/16LAb 8/5 LA 5/3LA+ 27/16SIb 9/5SI 15/8SI# 125/96

Par définition la note FA+ est telle que

(RE, FA+ , LA+) soit un accord parfait mineur.

Gamme de Zarlino : une nouvelle note FA+

La fréquence de FA+ est donc:

FA+ = (9/8)*(6/5) = 27/20 = 1,8

Chez Pythagore: SIb = 16/9 1,78DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64MIb 6/5 MI 5/4FA 4/3FA# 45/32SOLb 36/25 SOL 3/2SOL# 25/16MIb 6/5 LA 5/3LA+ 27/16SIb 9/5 SI 15/8SI# 125/96

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64MIb 6/5MI 5/4FA 4/3FA+ 27/20 FA# 45/32 SOLb 36/25SOL 3/2SOL# 25/16LAb 8/5 LA 5/3LA+ 27/16SIb 9/5SI 15/8SI# 125/96

Par définition la note LA# est telle que (RE#, FA# , LA#) soit un accord parfait mineur. LA# = (45/32)*(5/4) = 225/128 = 1,76

Chez Pythagore: LA# 1,80

Gamme de Zarlino : nouvelle note LA#

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64MIb 6/5MI 5/4MI# 125/96 FA 4/3FA+ 27/20 FA# 45/32 SOLb 36/25SOL 3/2SOL# 25/16LAb 8/5 LA 5/3LA+ 27/16SIb 9/5SI 15/8SI# 125/96

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64MIb 6/5MI 5/4MI# 125/96 FA 4/3FA+ 27/20 FA# 45/32 SOLb 36/25SOL 3/2SOL# 25/16LAb 8/5 LA 5/3LA+ 27/16LA# 225/128

SIb 9/5SI 15/8SI# 125/96

Gamme de Zarlino : Deux Reb !: Reb et Reb+

Pour des raisons de symétries (et obtenir 3 sortes d’arcs sur le cercle de Zarlino) on est amené à définir deux Reb (on a déjà 2 FA et 2 LA):REb = DO + 1 Demi ton majeur : REb = 1*16/15 = 16/15REb

+ = REb + 1 comma Zarlino : REb + = (16/15)*(81/80) = 27/25

DO 1DO# 25/24 RE 9/8RE# 75/64MIb 6/5MI 5/4MI# 125/96 FA 4/3FA+ 27/20 FA# 45/32 SOLb 36/25SOL 3/2SOL# 25/16LAb 8/5 LA 5/3LA+ 27/16LA# 225/128

SIb 9/5SI 15/8SI# 125/96

DO 1DO# 25/24 REb 16/15 REb

+ 27/25 RE 9/8RE# 75/64MIb 6/5MI 5/4MI# 125/96 FA 4/3FA+ 27/20 FA# 45/32 SOLb 36/25SOL 3/2SOL# 25/16LAb 8/5 LA 5/3LA+ 27/16LA# 225/128

SIb 9/5SI 15/8SI# 125/96

Gamme de Zarlino : Gamme chromatique

Arc rouge = DEMI TON MINEURArc rouge + arc bleu = DEMI TON MAJEURArc vert = COMMA ZARLINO

DO 1DO# 25/24 REb 16/15 REb

+ 27/25 RE 9/8RE# 75/64MIb 6/5MI 5/4MI# 125/96 FA 4/3FA+ 27/20 FA# 45/32 SOLb 36/25SOL 3/2SOL# 25/16LAb 8/5 LA 5/3LA+ 27/16LA# 225/128

SIb 9/5SI 15/8SI# 125/96

Diéser une note revient à augmenter

d’un demi ton mineur(attention pour FA et LA, on prend les notes +)

Bémoliser une note revient à diminuer

d’un demi ton mineur(attention aux notes LA et RE)

Accords parfaits majeurs

( DO, MI , SOL ) ( DO#, MI# , SOL# ) ( RE, FA# , LA+ )( MI b, SOL , SI b ) ( MI, SOL# , SI )( FA, LA , DO )( SOL b, SI b , RE b

+ ) ( SOL, SI , RE )( SOL #, SI # , RE # ) ( LA b, DO , MI b ) ( LA, DO# , MI ) ( SI b, RE , FA +) ( SI, RE # , FA# )

Gamme de Zarlino : Les accords parfaits majeurs et mineurs

Accords parfaits mineurs

( DO, MI b , SOL ) ( DO#, MI , SOL# ) ( RE, FA + , LA+ )( RE#, FA# , LA#

) ( MI b, SOL b , SI b )( MI, SOL, SI )( MI#, SOL#, SI# ) ( FA, LA b , DO )( SOL, SI b , RE ) ( SOL#, SI , RE# )( LA , DO , MI ) ( SI b, RE b

+ , FA +) ( SI, RE , FA# )