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„Gekoppelte Oszillatoren“

Gekoppelte Oszillatoren. Inhalt Gekoppelte Pendel Gekoppelte elektrische Schwingkreise Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie –Orbitale

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„Gekoppelte Oszillatoren“

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Inhalt

• Gekoppelte Pendel

• Gekoppelte elektrische Schwingkreise

• Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie– Orbitale der Elektronen– Molekülschwingungen– Schwingungen in Festkörpern

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Feder und Massenpunkt

Einheit Bezeichnung

1 N Federkraft

1 N Trägheitskraft

1 NSchwingungs-gleichung

skF

smF d‘ Alembertsches Prinzip

smsk

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Erste Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren

Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht

Symmetrische Auslenkungen

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Zweite Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren

Höhere Frequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht

Anti-Symmetrische Auslenkungen

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Versuch: Gekoppelte Pendel

• Verhalten eines einzelnen Schwingkreises• Kopplung über die Feder• Schwebungen durch Überlagerung von zwei

Schwingungen unterschiedlicher Frequenz• Suche nach den Eigenfrequenzen durch

spezielle Startbedingungen• Unterschiedliche Eigenschwingungen zeigen

unterschiedliche Symmetrie

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SchwingungartSymmetrie bei

SpiegelungMuster

Erste

EigenschwingungSymmetrisch

Zweite Eigenschwingung

„Anti“-symmetrisch

Beliebig, das ist eine Überlagerung beider

Eigenschwingungen

Unsymmetrisch

„Schlüsselexperiment“ Doppelpendel

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Effekt der Kopplung

• Ohne Kopplung: Beide Oszillatoren zeigen die gleiche Eigenfrequenz

• Mit Kopplung: – Zwei „Schwingungsmoden“ mit

unterschiedlichen Eigenfrequenzen– Die Symmetrie der Auslenkungen beider

Moden ist unterschiedlich

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Versuch: Gekoppelte elektrische Schwingkreise

• Verhalten eines einzelnen Schwingkreises• Kopplung über die Feldstärken• Schwebungen durch Überlagerung von

zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz

• Suche nach den Eigenfrequenzen mit Fourier-Analyse

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Kopplung von zwei elektrischen Schwingkreisen über das magnetische Feld

Kopplung ohne Materie gibt es nur in elektromagnetischen Feldern!

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Über das Magnetfeld gekoppelte Schwingkreise

• Schwebungen aufgrund des Austauschs der Energie zwischen den Schwingkreisen

• Grund: Überlagerung der beiden Eigenschwingungen mit– leicht unterschiedlichen Frequenzen– unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften

• Erste Eigenschwingung mit „gleichphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen

• Zweite Eigenschwingung mit „gegenphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen

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Gekoppelte Schwingungen in der Materie

• Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“

• Bei Teilchenzahl n wächst - im dreidimensionalen Raum - die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n

• Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen– Symmetrie-Eigenschaften– Energie-Werten

• An jeder Eigenschwingung sind immer alle Oszillatoren beteiligt

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Beispiele

• „Gekoppelte Pendel“

• Orbitale des Elektronensystems

• Molekülschwingungen

• Schwingungen im Festkörper, „Phononen“

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Orbitale

• Die Elektronen in einer „Schale“ n eines Atoms bilden ein System identischer, gekoppelter Oszillatoren– Hier verlässt man das Bohrsche Atommodell

• Die Eigenschwingungen dieses Systems werden mit den Quantenzahlen l, m bezeichnet– und zeigen unterschiedliche Symmetrie-Eigenschaften

• Orbitale zeigen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen– was bei Oszillatoren sinnvoll ist

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Drehung erlaubt? X-Achse Y-Achse Z-Achse

Ja Nein Nein

Nein Ja Nein

Nein Nein Ja

Symmetrie der drei p Orbitale einer Unterschale (l=1)

bei beliebiger Drehung um eine Achse

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Orbitale mit ihren Quantenzahlen

Symmetrie

0m 1m 1m

gt1

1l

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Haupt-quantenzahl

Drehimpuls- oder Nebenquantenzahl

Orientie-rungs-Quanten-zahl

Max. Zahl der Zustände

Form derOrbitale

N SchaleSchale, Orbital

TypSpin

1 K 0 s 0 2

2 L

0 s 0 2

1 p

-1

60

1

Beispiel: Orbitale im Neon

1N0 l lml

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Molekülschwingungen, Beispiel CO2, erste Streckschwingung, symmetrisch

z

x

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Beispiel CO2, zweite Streckschwingung antisymmetrisch

z

x

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Beispiel CO2, erste Deformationsschwingung

z

x

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Beispiel CO2, erste Deformationschwingungen, Ansicht von der Längs-Seite

z

y

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Beispiel CO2, zweite Deformationschwingung, Ansicht von der Längs-Seite

z

y

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1

ja ja ja ja

ja nein nein ja

ja nein ja nein

Symmetrieeigenschaften dieser Schwingungen bei der Einheitsoperation, Drehung und Spiegelung

Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?

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Beispiel: Anregung der ersten Deformationsschwingung von CO2 im

Infrarot-Bereich

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Kristalline Festkörper

• Bei n Teilchen gibt es n „Schwingungsmoden“ mit Auslenkungsmuster unterschiedlicher Symmetrie

• Die n Eigenfrequenzen der Moden liegen zum Teil sehr dicht beisammen, es entstehen Energiebänder

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Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte

Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

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Translation Innere Schwingung

Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle

Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

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Beispiel für eine Eigenschwingung

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Phononen

• Zu jedem Auslenkungsmuster gehört eine „Eigenfrequenz“

• Normalschwingungen der Teilchen in kristallinen Festkörpern werden „Phononen“ genannt

• Die Schwingungen der Teilchen, die Phononen, koppeln an die Anregung der Elektronen

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Wirkung der Kopplung: Vergleich der Spektren von

Gasen/Flüssigkeiten/Festkörpern

C6H6

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Beispiele für Emission und Absorption an freien Atomen und im Vergleich dazu – an heißen Festkörpern

Abbildung: Emissionsspektrum der Quecksilberdampflampe und Absorptionslinien im Sonnenspektrum. Quelle: Meyers Enzyklopädisches Lexikon

Absorptionslinien von Wasserstoff vor der „Weissen“ Strahlung der Sonne (an der Oberfläche ca. 6000 K)

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Zuammenfassung

• Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“

• Bei Teilchenzahl n wächst die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n

• Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen– Symmetrie-Eigenschaften– Energie-Werten

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Finis

Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht

Symmetrische Auslenkungen