Generalità sui polinomi

Definizione. Si dice polinomio la somma algebrica di due o più monomi non tutti

simili.

I monomi che compongono il polinomio si dicono termini del polinomio. In parti-

colare i polinomi formati da due, tre, quattro, cinque, sei...... termini si dicono

rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio, polinomio di cinque termini,

polinomio di sei termini,.... Sono polinomi :

a3 - 3b (binomio)

4/3 - a - 2b2 + cd (trinomio)

1/5a2 – ab + c + 3/2c2d5 (quadrinomio)

2/7ab + 1/3a4 - 3abc3 + ab2 - cd3 (polinomio di cinque termini)

• Un polinomio si dice intero se sono interi i suoi termini; sono polinomi interi

quelli dell'esempio precedente.

• Si dice grado di un polinomio intero il maggiore dei gradi dei suoi termini.

• Si dice grado di un polinomio rispetto ad una lettera l'esponente più grande a cui

è elevata quella lettera nel polinomio.

I polinomi:

a4 - 3ab ; a3 + 2a2b3 + c4 ; a5 + 4a3b4 + 2ac3 + 2cd3

sono rispettivamente di grado 4, 5, 7; mentre rispetto alla

lettera a sono rispettivamente di grado 4 ; 3 ; 5

lettera b sono rispettivamente di grado 1 ; 3 ; 4

lettera e sono rispettivamente di grado 0 ; 4 ; 3

lettera d sono rispettivamente di grado 0 ; 0 ; 3.

• Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini che lo compongono sono dello

1

stesso grado.

I polinomi:

3a2 + 2ab – 3/5c2 ; 3a2 b + 4c3 ; - 2/3a4b2c + 48 a3b4 - 3c7

sono omogenei rispettivamente di 2° , 3° e 7° grado.

• Se alcuni o tutti i termini di un polinomio contengono una stessa lettera (con

diversi esponenti), questi termini si possono scrivere, mantenendo i segni

algebrici che li precedono, m modo che gli esponenti di quella lettera vadano

gradatamente crescendo o gradatamente decrescendo. In tal caso il polinomio si

dice ordinato secondo le potenze crescenti ovvero decrescenti di quella lettera la

quale prende il nome di lettera ordinatrice

I termini privi di lettera ordinatrice si possono considerare moltiplicati

ugualmente per quella lettera ordinatrice però con esponente zero.

Esempio 1. Dato il polinomio

6a2 – 2 a + 3/2a3 + 7 – 12a4

si ordini prima secondo le potenze decrescenti di a e successivamente secondo le

potenze crescenti,

Ordinando secondo le potenze decrescenti di a, sì ha:

– 12a4 + 3/2a3 + 6a2 – 2 a + 7

e, secondo le potenze crescenti, sempre della lettera a:

7 – 2 a + 6a2 + 3/2a3 – 12a4

• Un polinomio di un determinato grado rispetto ad una lettera si dice completo

quando nei suoi termini contiene tutte le potenze della lettera ordinatrice, da

quella di grado massimo (che come sappiamo da il grado del polinomio rispetto

alla lettera ordinatrice) fino a quella in cui essa non figura (ovvero figura con

2

esponente zero); altrimenti si dice incompleto. Il polinomio dell’esempio 1 è

completo rispetto alla lettera a.

Un polinomio completo di grado n contiene n + 1 termini.

Il termine in cui non compare la lettera ordinatrice si dice termine di grado zero.

Riduzione dei termini simili

Se in un polinomio compaiono due o più monomi simili o più gruppi di monomi

simili, a questi si sostituisce la somma effettuata; questa trasformazione si dice

riduzione dei termini simili del polinomio.

Infatti, dato il polinomio:

3y — x — 5z +7x — 2y + 3z — 9x + y + 6z + u ,

riducendo i termini simili si ottiene:

3y — x — 5z + 7x — 2y + 3z — 9x + y + 6z + u = — 3x + 2y + 4z + u .

Diventa manifesto che la somma algebrica di quanti si vogliano monomi tutti

simili non sia un polinomio, bensì un monomio simile a ciascun termine della

somma.

Se in un polinomio figurano coppie di monomi opposti questi, essendo la loro

somme uguale a zero, si possono elidere.

Operazioni sui polinomi

Addizione di polinomi

L'addizione di più polinomi si effettua scrivendo un solo polinomio che contenga

tutti i termini dei polinomi dati, conservando ciascun termine il proprio segno.

Esempio. Calcolare la somma dei seguenti polinomi:

3

x2 + 5ax — 3a2 ; y2 — 3x2 — 4ax ; a2 — x2 + 3y2 ; 3ax — 2a2 — 4x2 .

Si ha:

x2 + 5ax — 3a2 + y2 — 3x2 — 4ax + a2 — x2 + 3y2 + 3ax — 2a2 — 4x2

= 4y2 — 7x2 + 4ax — 4a2 .

Sottrazione di polinomi

Per effettuare la sottrazione di due polinomi, si scrivono, dopo il polinomio

minuendo tutti i termini del polinomio sottraendo ciascuno con i segni cambiati.

Esempio. Calcolare la differenza dei seguenti polinomi:

2x3y + 14y4 - 5x4 + 2x2y2 - 5xy3 ; 2x2y2 + 6y4 - 2x4 - 3x3y

Si ha:

2x3y + 14y4 - 5x4 + 2x2y2 - 5xy3 - 2x2y2 - 6y4 + 2x4 + 3x3y

== 8y4 - 5xy3 + 5x3y - 3x4 .

Moltiplicazione di polinomi

• Moltiplicazione di un polinomio per un monomio. La moltiplicazione di un

polinomio per un monomio o di un monomio per un polinomio si effettua

applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione,

ovvero moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio e

successivamente addizionando i prodotti parziali ottenuti.

Esempio. Moltiplicare il monomio – 3a2b per il polinomio a - 2c + b3 – 1/6 ab

Si ha:

– 3a2b (- 2c + b3 – 1/6 ab ) = – 3a3b + 6a2bc -3 a2b4 + 1/2a3b2

4

• Moltiplicazione di due polinomi. Questa operazione si effettua applicando la

proprietà distributiva della moltiplicazione, ovvero moltiplicando ciascun termine

del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio e sommando

successivamente i prodotti parziali ottenuti.

Esempio.

Moltiplicare il polinomio b2 + 2ab - 3a2 per il polinomio – b3 + 4ab2 - 5a2b + 7a3.

Si ha:

(b2 + 2ab - 3a2) (– b3 + 4ab2 - 5a2b + 7a3) =

= - b5 + 4ab4 - 5a2 b3 + 7a3b2 - 2ab4 + 8a2 b3- 10a3b2 + 14a4 b + 3a2 b3 - 12a3b2 +

15a4b - 21a5

Osserviamo che i termini del polinomio prodotto, risultato della moltiplicazione

dei due polinomi dati, è formato da un numero di termini pari al prodotto del

numero dei termini del polinomio moltiplicando per il numero dei termini del

polinomio moltiplicatore. Infatti, considerando l'esercizio precedente, i termini

del polinomio moltiplicando sono 3 e quelli del polinomio moltiplicatore sono 4;

quindi 3 • 4 = 12 sono i termini del polinomio prodotto.

Riducendo i termini simili, il polinomio prodotto diventa:

- b5 + 2ab4 + 6a2b3 - 15a3b2 + 29a4 b - 21a5

• II grado del polinomio prodotto, ottenuto dalla moltiplicazione di due o più

polinomi, è uguale alla somma dei gradi dei polinomi fattori. Nell'esempio

precedente il polinomio moltiplicando è di 3° grado mentre quello dei polinomio

moltiplicatore è di 2° grado, quindi il grado del polinomio prodotto è 3 + 2 = 5 ,

cioè di 5° grado.

5

• Teorema. Nel prodotto di due qualsiasi polinomi ordinati secondo le potenze

decrescenti o crescenti di una data lettera, il primo e l'ultimo termine non sono

simili con nessun altro termine.

Corollario I. Il prodotto di due polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti

o crescenti della stessa lettera, è un polinomio ordinato anch'esso allo stesso

modo secondo la stessa lettera in cui il suo primo termine è uguale al prodotto

dei primi due termini e l'ultimo termine è uguale al prodotto degli ultimi due.

Corollario II. Il prodotto di due polinomi non può avere meno di due termini,

ovvero non può essere un monomio.

Esempio. Moltiplicare il polinomio x4 + x3 + x2 + x + 1 per il polinomio x - 1.

= x5 - 1

dove possiamo osservare che il prodotto è formato da soli due termini essendosi

annullati, nella somma dei monomi simili, i termini intermedi.

Prodotti notevoli

Esistono sviluppi di alcune moltiplicazioni che per la regolarità dei loro risultati e

per la frequenza con cui si incontrano nelle espressioni algebriche, è bene

ricordare a memoria. Suddette operazioni prendono il nome di prodotti notevoli. I

più importanti sono:

I. Quadrato di un binomio.

Si debba determinare il quadrato della somma di due monomi a e b. Per

definizione di potenza si ha:

(a + b)2 =(a + b) (a+ b)

6

ed applicando la regola della moltiplicazione di polinomi si ottiene

= a2 + ab + ab + b2

ovvero, riducendo i termini simili:

Regola. Il quadrato di un binomio è un trinomio i cui termini sono : il quadrato

del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo, il

quadrato del secondo termine.

La regola ora scritta vale per elevare a quadrato qualsiasi binomio. E importante

però osservare che nello sviluppo del quadrato di un binomio, i quadrati sono

sempre positivi, mentre il doppio prodotto è positivo se i due termini del binomio

sono dello stesso segno, è invece negativo se i due termini del binomio sono di

segno discorde.

Applicando la suddetta regola ai seguenti binomi, si ottiene:

(- a - b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2

(- a + b) 2 = a2 - 2ab + b2

Confrontando osserviamo che:

(- a - b) 2 = (a + b) 2

(a - b) 2 = (- a + b) 2

II. Quadrato di un trinomio.

Siano a, b, e tre monomi e si voglia determinare il quadrato della loro somma. Per

definizione di potenza si ha:

(a + b + c)2 = (a + b + c) (a + b + c) =

= a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2

7

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

ovvero, riducendo i termini simili:

Regola. Il quadrato di un trinomio è un polinomio i cui termini sono: i quadrati

dei singoli termini del trinomio, i doppi prodotti di ciascuno di questi termini per

ciascuno di quelli che lo seguono.

Formule analoghe alla si ottengono per il quadrato di polinomi di quattro o più

termini per cui la regola precedente si generalizza sostituendo la parola trinomio

con quella di polinomio.

Esempi :

(2a - b2 + 3c)2 = 4a2 + b4 + 9c2 - 4ab2 + 12ac - 6b2c

(a + b - c + d) 2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab - 2ac + 2ad - 2bc + 2bd - 2cd.

III. Cubo di un binomio.

Il cubo di un binomio si ottiene moltiplicando quel binomio per il suo quadrato,

cioè :

(a + b) 3 = (a + b) (a + b) 2

quindi possiamo scrivere:

= (a + b) (a2 + 2ab + b2)

ed applicando la regola della moltiplicazione di polinomi, si ottiene:

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

da cui, riducendo i termini simili:

8

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab +2ac +2bc

(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Regola. Il cubo di un binomio è un quadrinomio i cui termini sono: il cubo del

primo termine del binomio, il triplo prodotto del quadrato del primo termine per

il secondo, il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, il

cubo del secondo termine.

Sostituendo - b al posto di b , si ottiene :

(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Sostituendo invece a con - a , si ottiene :

(- a + b) 3 = - a3 + 3a2b - 3ab2 + b3

Sostituendo infine a con - a e b con - b , si ha :

(- a - b) 3 = - a3 - 3a2b - 3ab2 - b3 = - ( a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)

Risulta allora evidente che:

(- a - b) 3 = - (a + b) 3

(a - b) 3 = - (b - a) 3

Esempio:

(3x2y+ 2xy2)3 = (3x2y) 3 + 3(3x2y)2 (2xy2) + 3(3x2y) (2xy2)2 + (2xy2)3 =

= 27x6y3 + 54x5y4 + 36x4y5 + 8x3y6

IV. Cubo di un trinomio.

Siano a, b e c tre monomi; si ha:

(a + b + e)3 = [(a + b) + c] 3 =

= (a + b) 3 + 3 (a + b) 2 • c + 3 (a + b) • c2 + c3 =

= a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 + 3a2c + 6abc + 3b2c + 3ac2 + 3bc2 + c3

ovvero :

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Regola. Il cubo di un trinomio è un polinomio i cui termini sono: i cubi dei

singoli termini del trinomio, i tripli prodotti del quadrato di ciascuno dei termini

per ciascuno degli altri, il sestuplo prodotto dei tre termini.

Esempio :

(3x - 5y + 2)3 = (3x)3 + (- 5y)3 + 23 + 3 (3x) 2(- 5y) +3 (3x)2 • 2 + 3 (- 5y)2 • 3x +

3(- 5y)2 • 2 + 3 • 22 • 3x + 3 • 22 (- 5y) + 6 • 3x (- 5y) • 2 =

= 27x3 - 125y3 + 8 – 135x2y + 54x2 + 225xy2 + 150y2 + 36x + 60y - 180xy .

V. Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza.

Siano a e b due monomi, effettuando la moltiplicazione della loro somma a + b

per la loro differenza a - b, si ottiene:

(a + b) (a — b) = a2 - ab + ab - b2

ovvero :

Regola. Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale

alla differenza dei loro quadrati.

Esempi:

(1 + a) (1 - a) = 1 - a2

(5a2b + 1/3 mp3 ) (5a2b - 1/3 mp3 ) = 25a4b2 – 1/9m2p6

(a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2) = [(a2 + b2) + ab] [(a2 + b2) - ab] =

= (a2 + b2) 2 - (ab) 2 =

10

(a + b + e)3 = a3+ b3+ c3+ 3a2b+ 3a2c+ 3b2a+ 3b2c+ 3c2a+ 3c2b+ 6abc

(a + b) (a - b) = a2 - b2

= a4 + 2a2b2 + b4 - a2b2 = a4 + a2b2 + b4

VI. Potenze successive di un binomio.

Occupiamoci ora dello sviluppo di (a + b)n dove n è un numero intero e maggiore

di 3 . A tale scopo consideriamo gli sviluppi del binomio già studiati, cioè :

(a + b)° = 1

(a + b) 1 = a + b

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

dove possiamo osservare:

a) ogni sviluppo è un polinomio omogeneo completo, di grado uguale

all'esponente della potenza e ordinato secondo le potenze decrescenti di a e

crescenti di b;

b) i coefficienti dei termini estremi e quelli equidistanti dagli estremi sono uguali;

c) il coefficiente del primo termine è 1, quello del secondo termine è uguale

all'esponente della potenza; i coefficienti dei termini successivi al secondo si

ottengono moltiplicando il coefficiente del termine precedente per l'esponente di

a e dividendo il numero ottenuto per l’esponente di b aumentato di 1;

d) indicando con n l'esponente, lo sviluppo si compone di n + 1 termini.

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Triangolo di Tartaglia

Può essere a volte più agevole determinare i coefficienti dello sviluppo di un

binomio mediante il triangolo di Tartaglia.

Potenze di (a + b) Coefficienti degli sviluppi

(a + b) 0 1

(a + b) 1 1 1

(a + b) 2 1 2 1

(a + b) 3 1 3 3 1

dove possiamo osservare che i coefficienti degli sviluppi, nella loro disposizione,

formano un triangolo i cui numeri che lo compongono, ad eccezione degli 1 ,

risultano dalla somma dei due numeri adiacenti appartenenti alla riga soprastante,

Risulta evidente che questo triangolo di numeri si può continuare fino alla riga

che si vuole, cioè fino alla riga che da i coefficienti dello sviluppo desiderato.

Il triangolo di Tartaglia sviluppato fino alla settima potenza è :

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

12

Esempio:

(a + b) 5 = a 5 + 5a 4b + 10a3b 2 + 10a 2b 3 + 5ab 4 + b 5 .

Divisione di polinomi

• Divisione di un polinomio per un monomio. Dati un polinomio ed un

monomio, se ciascun termine del polinomio è divisibile per quel monomio, allora

esiste un altro polinomio che moltiplicato per il suddetto monomio, da il

polinomio dato.

In queste condizioni il polinomio ed il monomio dati sono uno divisibile per

l'altro, perciò possiamo enunciare la seguente:

Regola. Il quoziente di un polinomio per un monomio si ottiene dividendo ciascun

termine del polinomio dividendo per il monomio divisore e successivamente

sommando i quozienti parziali ottenuti.

Esempio. Dividere il polinomio 5a2m2 + l0bm2 – l5c3m2 per il monomio 5m2 .

Si ha:

(5a2m2 + l0bm2 – l5c3m2) : 5m2 = + - = a2 + 2b – 3c3

Infatti:

(a2 + 2b – 3c3) • 5m2 = 5a2m2 + l0bm2 – l5c3m2

• Se uno o più termini del polinomio dividendo non sono divisibili per il monomio

divisore, la divisione non è possibile ovvero non esiste nessun polinomio intero

che moltiplicato per il monomio divisore dia il polinomio dividendo.

Pertanto la divisione di un polinomio per un monomio che non sia divisore di tutti

i termini del polinomio dividendo, si indica con una frazione algebrica che ha per

numeratore il polinomio dividendo e per denominatore il monomio divisore.

13

• Raccoglimento a fattor comune. Se tutti i termini del polinomio hanno un

fattore comune, questo può essere messo in evidenza, cioè il polinomio può essere

scritto sotto forma di prodotto di due fattori, di cui uno è il fattore comune, preso

con il segno + o con il segno — e l'altro è il quoziente del polinomio dato per il

fattore comune.

I termini del polinomio - 4a2b + 3bc - 5b2 hanno il fattore comune b, per cui si può

scrivere indifferentemente:

- 4a2b + 3bc - 5b2 = b (- 4a2 + 3c - 5b)

= - b (4a2 - 3c + 5b)

I termini del polinomio 3a3b2c - 12a2bd + 9a2bd3 hanno i fattori comuni 3 , a2 , b

per cui scriveremo indifferentemente:

3a3b2c - 12a2bd + 9a2bd3 = 3a2b (abc – 4d + 3d3)

= - 3a2b (- abc + 4d - 3d3)

Osserviamo ora che il fattore comune b del primo esempio e i fattori comuni 3a2b

del secondo esempio sono rispettivamente i M.C.D. dei termini del primo e del

secondo polinomio. Dunque il raccoglimento a fattor comune si effettua mettendo

in evidenza il M.C.D. dei termini del polinomio dato.

• Divisione di due polinomi. Si dice che un polinomio è divisibile per un secondo

polinomio se esiste un terzo polinomio che moltiplicato per il secondo dia il

primo. Non esistendo alcun criterio generale per riconoscere a prima vista se un

polinomio sia divisibile per un altro, ci proponiamo allora, dati due polinomi A e

B, interi e ordinati secondo le potenze decrescenti della comune lettera, ad

esempio la lettera x, rispetto alla quale il grado di A non sia inferiore al grado di

B , di determinare un polinomio intero, tale che, moltiplicato per il polinomio B e

14

sottraendo successivamente il prodotto ottenuto dal polinomio A , si abbia un

resto di grado inferiore a quello del polinomio B , rispetto alla stessa lettera

ordinatrice.

Siano :

A = 3x4 – 2x2 + x - 2 e B = 2x2 – x + 4,

due polinomi opportunamente ordinati secondo le potenze decrescenti della lettera

comune x.

Disponiamo l'operazione nel seguente modo:

3x4 – 2x2 + x – 2 : 2x2 – x + 4 x2 + x

– 29/8 → Q

- 3x4 – x3 – 6x2

x3 - 8x2 + x → R1

- x3 – x2 - 3x

- x2 - 2x - 2 → R2

+ x2 - x +

- x +

→ R

15

Cioè: si divide 3x4 (primo termine di A) per 2x2 (primo termine di B) da cui si

ottiene x2 (primo quoziente parziale) .

Si moltiplica x2 per tutti i termini di B e si sottrae il prodotto ottenuto dai

termini di A. Per fare ciò si dispongono i termini del prodotto stesso, con i segni

cambiati sotto i loro termini simili di A . Effettuata la prima somma algebrica si

ottiene il primo resto R1 che è di 3° grado, essendosi elisi i termini di 4° grado.

Si divide poi x3 (primo termine di R1) per 2x2 (primo termine di B) da cui si

ottiene x (secondo quoziente parziale) che si scrive accanto, con il proprio

segno al primo quoziente parziale.

Si moltiplica ora x per tutti i termini di B e si sottrae il prodotto ottenuto dai

termini di R1; si ottiene cosi il resto R2 che è di 2° grado, essendosi elisi i termini

di 3° grado.

Come si vede i resti R1, R2, ... diminuiscono il loro grado via via di una unità e

quindi l'operazione termina quando si giunge ad un resto R di grado inferiore al

grado del polinomio divisore B .

I polinomi Q ed R sono proprio i polinomi che soddisfano le condizioni che ci

eravamo poste all'inizio, ovvero:

a) Q è un polinomio intero detto quoziente della divisione;

b) R è il resto che si ottiene sottraendo da A il prodotto B • Q ;

e) R è di grado inferiore a quello di B .

Regola. Per dividere un polinomio per un altro che abbia con il primo una lettera

comune e, relativamente a questa, sia di grado non superiore a quello del primo,

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A- B-Q = R

si ordinano i due polinomi secondo le potenze decrescenti di quella lettera.

Successivamente si divide il primo termine del dividendo per il primo termine del

divisore, e si ottiene il primo termine del quoziente.

Si moltiplica poi questo termine per il divisore e si sottrae dal dividendo

ottenendo cosi il primo resto.

Si divide il primo termine del primo resto per il primo termine del divisore

ottenendo cosi il secondo termine del quoziente. Successivamente si moltiplica

questo termine per il divisore e si sottrae dal primo resto ottenendo il secondo

resto. Allo stesso modo si continua l'operazione fino a che si ottiene un resto

nullo o comunque un resto di grado inferiore del grado del divisore, sempre

rispetto a quella lettera ordinatrice.

• Dalla formula precedente, per definizione di sottrazione, si ha:

A = B • Q + R

od anche, dividendo ambo i membri per B : = Q +

Se chiamiamo Q + R/B quoziente completo e Q quoziente incompleto della

divisione A/B , possiamo enunciare il seguente :

Teorema. Quando il polinomio dividendo non è divisibile per il polinomio

divisore, il quoziente completo della divisione è uguale alla somma del quoziente

incompleto e di una frazione che ha per numeratore il resto e per denominatore il

divisore.

• Se il resto della divisione è nullo, allora: A = B • Q

ovvero: il dividendo è uguale al prodotto del divisore per il quoziente esatto, cioè

per il quoto.

17

Valore di un polinomio

Sia

α 0xn + α 1xn-1 + α 2xn-2 + ...... + α n-2x2 + α n-1x + α n

un polinomio intero ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera

ordinatrice x. Polinomi di questo tipo solitamente vengono indicati con le

notazioni:

A (x) ; B(x) ; C(x) ; .... ; P(x) ;

che si leggono rispettivamente : A di x ; B di x ; C di x ; . . . ; P di x .

Un'altra notazione di uso frequente è : f(x) che si legge « effe di x » . Qualsiasi

polinomio assume, in generale, valori diversi a seconda dei valori che si

attribuiscono alla lettera x . La lettera x , alla quale si danno valori arbitrari, si

dice variabile indipendente, mentre il polinomio stesso si dice variabile

dipendente o funzione della x , perché il suo valore dipende dai valori attribuiti

alla x.

Nel polinomio precedente α 0xn ; α 1xn-1 ; ...... ; α n-1x ; α n si dicono rispettivamente:

termine di grado n ; termine di grado n - 1 ; .... ; termine di grado 1 ; termine di

grado zero.

α 0; α 1 ; ...... ; α n-1 ; α n si dicono rispettivamente: coefficiente del termine di

grado n ; coefficiente del termine di grado n - 1 ; ..... ; coefficiente del termine di

grado uno; coefficiente del termine di grado zero. Si tenga presente che il termine

di grado zero, cioè α n essendo indipendente dalla lettera x è d'uso comune

chiamarlo termine noto.

Esempio. Dato il polinomio

A(x) =x2 - 3x - 2.

determiniamo i valori che esso assume in funzione di alcuni valori numerici

arbitrari attribuiti alla lettera x .

A(0) = - 2 ; A(l) = - 3 ; A(-l) = 3 , A(2) = 0 ; A(- ½) = 0; A(- 4) = 42;

18

Come si può osservare sia nel polinomio A (x) vi sono particolari valori della x

che rendono nullo il polinomio. Essi sono: \

2 e - 1/2

A questi particolari valori, se esistono, della x che rendono nullo un polinomio si

da il nome di zeri del polinomio.

Resto della divisione di un polinomio P(x) per il binomio x - a

Teorema. Il resto della divisione di un polinomio P (x), di grado n, per il binomio

x – a è il polinomio P (a) , cioè il polinomio che si ottiene sostituendo a al posto

della x .

Dalla divisione di polinomi sappiamo che dividendo un polinomio P (x) per un

altro polinomio B (x) si ottiene per quoziente un terzo polinomio Q (x) e per resto

un quarto polinomio R (x) di grado inferiore al grado di B (x) , cioè:

P(x) = B(x) - Q(x) + R(x)

Se, in particolare, il divisore B (x) è di primo grado, allora il resto, dovendo essere

di grado inferiore al primo, deve necessariamente essere di grado zero, ovvero

essere indipendente della x .

Supponiamo ora che il divisore B (x) sia della forma x - a, allora per quanto si è

detto, si ha:

P(x) = (x-a) · Q(x) + R (22)

la quale deve essere vera per qualsiasi valore attribuito alla x .

In particolare per x = a, si ottiene:

P(a) = (a-a) · Q(a) + R

da cui, essendo ( a - a) • Q (a) = O , risulta:

P(a) = R

19

Teorema. Il resto della divisione di un polinomio P (x), di grado n, per il binomio

x + a è il polinomio P (- a) , cioè il polinomio che si ottiene sostituendo - a al

posto della x.

La dimostrazione di questo teorema è simile a quella del teorema precedente

considerando che x + a = x – (- a) .

Divisibilità di un polinomio P(x) , di grado n , per il binomio x - a

Teorema. Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio P(x) sia

divisibile per il binomio x - a è che il polinomio si annulli quando si sostituisce a

al posto di x , ovvero a sia uno zero di P (x) .

La condizione è necessaria.

Infatti si è dimostrato precedentemente che il resto della divisione di

P(x) = α 0xn + α 1xn-1 + α 2xn-2 + ...... + α n-1x + α n

per il binomio x - a è P (a) . Quindi se P (a) = O, il polinomio P (x) è certamente

divisibile per il binomio x - a .

La condizione è sufficiente.

Se il polinomio è divisibile per il binomio x - a deve necessariamente annullarsi il

polinomio P (a) che è il resto della divisione.

Teorema. Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio P(x) sia

divisibile per il binomio x + a è che il polinomio si annulli quando si sostituisce

- a al posto di x.

La dimostrazione di questo teorema è identica a quella del teorema precedente

considerando che x + a = x - (- a) .

20

Esempi :

P(x) = x2 - 7x + 10 è divisibile per il binomio x - 5 .

Infatti : R = P(5) = 52 - 7 • 5 + 10 = 25 — 35 + 10 = 0 .

P(x) = x4 – b4 è divisibile per il binomio x + b .

Infatti : R = P(- b) = (- b) 4 - b4 = b4 - b4 = O .

Ricerca degli zeri razionali di un polinomio intero in x

Teorema. Se la frazione, ridotta ai minimi termini, p/q è uno zero del polinomio

α 0xn + α 1xn-1 + α 2xn-2 + ...... + α n-1x + α n

allora il numeratore p non può essere che un divisore del termine noto α n ed il

denominatore q non può essere che un divisore del coefficiente α 0 del termine di

massimo grado.

Regola. Gli eventuali zeri razionali di un polinomio intero sono da ricercarsi tra

le frazioni aventi per numeratore un qualsiasi divisore, positivo o negativo, del

termine noto e per denominatore un qualsiasi divisore, positivo o negativo, del

coefficiente del termine di grado massimo.

• In particolare, se il coefficiente del termine di grado massimo è 1, allora gli

eventuali zeri razionali sono da ricercarsi solo tra i divisori, positivi o negativi, del

termine noto.

21

Regola di Ruffini

Abbiamo visto come facilmente si determina il resto della divisione di un

polinomio P(x) dì grado n per il binomio x - a. Proponiamoci ora di determinare,

oltre al resto, anche il quoziente della divisione di P(x) per x - a .

Essendo il polinomio dividendo P(x) di grado n ed il divisore di primo grado,

allora il quoziente sarà di grado n – 1 rispetto alla stessa lettera x.

Per determinare i coefficienti dei termini del quoziente richiesto, effettuiamo,

come esempio, la seguente divisione:

ax3 + bx2 + cx + d : x - m ax2 +

(am + b)x + (am + b) + c

- ax3 + amx2

(am + b)x2 + cx

- (am +b)x2 + (am +b)x

[(am + b)m + c]x + d

- [(am + b)m + c]x + [(am + b)m + c]m

[(am + b)m + c]m + d

22

Osservando il quoziente ottenuto, di grado inferiore di una unità rispetto al grado

del dividendo, si rileva che:

1) il coefficiente del primo termine del quoziente è uguale al coefficiente del

primo termine del divisore;

2) il coefficiente del secondo termine del quoziente risulta dalla somma del

coefficiente del secondo termine del dividendo con il prodotto di m per il primo

coefficiente del quoziente;

3) il coefficiente del terzo termine del quoziente risulta dalla somma del

coefficiente del terzo termine del dividendo con il prodotto di m per il secondo

coefficiente del quoziente;

4) il resto risulta sommando l'ultimo termine del dividendo al prodotto dell'ultimo

termine del quoziente per m.

Suddetto resto è lo stesso di quello che si determina ponendo m al posto della x

nel polinomio dividendo.

Infatti:

R = (am + b)m + cm + d = (am2 + bm + c)m + d = am3 + bm2 + cm + d = P(m).

Le osservazioni esposte nei punti 1) , 2) , 3) , 4) , ci consentono di enunciare la

seguente:

Regola Ruffini. Il quoziente della divisione di un polinomio P(x), di grado n,

ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x, per il binomio x-m

(oppure x + m) , è un polinomio di grado n -1 . Il primo coefficiente del quoziente

Q (x) è uguale al primo coefficiente del dividendo P(x). Ciascuno degli altri

successivi coefficienti di Q (x) si ottiene moltiplicando il coefficiente precedente

per m se il divisore è x-m (per - m se il divisore è x + m) e successivamente

addizionando il prodotto così ottenuto con il coefficiente di P(x) di uguale posto.

23

Il resto della divisione è la somma dell'ultimo coefficiente del polinomio di P(x)

con il prodotto dell'ultimo coefficiente di Q (x) per m se il divisore è x - m (per

– m se il divisore è x + m) .

Divisibilità di x n ± a n per x ± a

Come applicazione della regola di Ruffini vediamo quando la somma o la

differenza di due potenze simili, ovvero di due potenze aventi lo stesso esponente,

è divisibile per la somma o per la differenza delle basi.

Distinguiamo i seguenti casi:

a) (xn - an) : (x - a)

b) (xn - an) : (x + a)

c) (xn + an) : (x - a)

d) (xn + an) : (x + a)

a) Consideriamo la divisione:

(xn - an) : (x - a)

in essa, per il teorema del resto, si ha:

R = P (a) = an - an = 0

Essendo nullo il resto della divisione, segue che a è uno zero del polinomio xn-an

il quale quindi è divisibile per il binomio x - a . Segue allora:

La differenza xn-an, di due potenze di ugual grado è sempre divisibile per la

differenza delle basi x - a .

Si deduce allora che:

il quoziente della differenza di due potenze, che hanno lo stesso esponente, per la

differenza delle basi, è un polinomio di grado inferiore di una unità rispetto al

24

grado del dividendo, omogeneo ordinato e completo secondo le potenze

decrescenti della prima base e crescenti dell'altra, con tutti i coefficienti uguali ad

1 .

Esempi:

(x5 - a5) : (x - a) = x4 + ax3 + a2x2 + a3x + a4

(x4 - 16) : (x - 2) = x3 + 2x2 + 22x + 23 = x3 + 2x2 + 4x + 8

b) Consideriamo la divisione:

(xn - an) : (x + a)

e distinguiamo i casi in cui n sia pari o dispari, ovvero n = 2p , oppure n = 2p + 1.

Nel caso dell'esponente pari, n = 2p , cioè:

(x2p – a2p) : (x + a)

per il teorema del resto, si ha:

R = P (- a) = (- a) 2p - a2p = a2p - a2p = 0

Essendo nullo il resto della divisione, allora - a è uno zero del polinomio x2p – a2p

che risulta quindi divisibile per il binomio x + a .

Nel caso dell'esponente dispari, n = 2p + 1 , cioè:

(x2p+1 – a2p+1) : (x + a)

per il teorema del resto, si ha :

R = P (- a) = (- a) 2p+1 - a2p+1 = - a2p+1 - a2p+1 = - 2a2p+1

Il resto della divisione non è zero e pertanto x2p+1 – a2p+1 non è divisibile per x + a

Segue allora:

La differenza xn - an, di due potenze di ugual grado, è divisibile per la somma

delle basi x + a solo e solo quando l'esponente è pari.

25

Osserviamo che: il quoziente di xn - an, con n pari, per la somma delle basi, è un

polinomio di grado inferiore di una unità rispetto al grado del dividendo,

omogeneo ordinato e completo secondo le potenze decrescenti della prima lettera

e crescenti dell'altra e che ha per coefficienti + 1 e - 1 alternativamente.

c) Consideriamo la divisione:

(xn + an) : (x - a)

in essa, per il teorema del resto, si ha :

R = P (a) = an + an = 2 an

Poiché il resto della divisione non è zero, possiamo concludere:

La somma xn + an , di due potenze di ugual grado, non è mai divisibile per la

differenza delle basi x – a.

d) Consideriamo la divisione:

(xn + an) : (x + a)

e distinguiamo i casi in cui n sia pari, ovvero n = 2p, oppure dispari, ovvero n =

2p + 1.

Nel caso dell'esponente pari, n = 2p , si ha:

(x2p + a2p) : (x + a)

per il teorema del resto, si ha:

R = P (- a) = (- a) 2p + a2p = a2p + a2p = 2a2p

Poichè il resto della divisione non è zero, xn + an, con n pari, non è divisibile per la

somma delle basi x + a .

Nel caso dell'esponente dispari, cioè n = 2p + 1 , si ha:

(x2p+1 + a2p+1) : (x + a)

per il teorema del resto, si ha :

26

R = P (- a) = (- a) 2p+1 + a2p+1 = - a2p+1 + a2p+1 = 0

Essendo nullo il resto della divisione, xn + an , con n dispari è divisibile per il

binomio x + a

Segue allora:

La somma xn + an, di due potenze di ugual grado, è divisibile per la somma delle

basi x + a solo e solo quando l'esponente è dispari.

Osserviamo che: il quoziente di xn + an, con n dispari, per la somma delle basi x +

a, è un polinomio di grado inferiore di una unità rispetto al grado del dividendo,

omogeneo e completo secondo le potenze decrescenti della prima lettera e

crescenti dell'altra e che ha per coefficienti + 1 e - 1 alternativamente.

Esempio 1. Calcolare (x3 + 27) : {x + 3)

Scriveremo direttamente:

{x3 + 27) : (x + 3) = x2 - 3x + 32 = x2 - 3x + 9 .

Esempio 2. Calcolare (x5 + 32) : (x + 2) .

Scriveremo direttamente:

(x5 + 32) : (x — 2) = x4 - 2x3 + 22x2 - 23x + 24 =

= x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16

Riassumendo i suddetti criteri di divisibilità nel seguente prospetto scriveremo:

xn - an è sempre divisibile per x - a ;

xn - an è divisibile per x + a solo per n pari ;

xn + an non è mai divisibile per x - a ;

xn + an è divisibile per x + a solo per n dispari.

27

Scomposizione di un polinomio in fattori

Un polinomio si dice primo o irriducibile se ammette come divisori solo se stesso

e l'unità.

Si dice invece riducibile se ammette altri divisori oltre se stesso e l'unità.

Ad esempio il polinomio a2 + ab + c è irriducibile in quanto ammette come

divisori solo se stesso e l'unità; mentre il polinomio 2a2 + 4ab + 2b2 è riducibile in

quanto ammette come divisori, oltre se stesso e l'unità, anche: 2; a+b; (a+b)2; 2(a

+ b),

Un'operazione molto importante e che ha frequenti applicazioni nel calcolo

algebrico è quella della scomposizione dei polinomi riducibili in un prodotto di

fattori primi, cioè in un prodotto di monomi, binomi, polinomi che non siano

ulteriormente decomponibili, ovvero che siano irriducibili. Allo scopo diamo

alcune norme per risolvere questo problema nei casi più semplici, cioè nei casi

che più frequentemente si incontrano nel calcolo algebrico.

Raccoglimento a fattor comune

Se tutti i termini di un polinomio sono divisibili per uno stesso fattore, allora

questo fattore si può mettere in evidenza, ovvero il polinomio dato si può scrivere

mediante il prodotto di due fattori, di cui uno è il fattore comune messo in

evidenza e l'altro è il quoziente della divisione tra il polinomio dato per quel

fattore comune.

Il fattore da mettere in evidenza è, come è noto, il M.C.D. dei termini del

polinomio.

Esempio:

12a2 + 9b - 30c = 3 (4a2 + 3b – l0c).

28

Raccoglimento a fattor comune parziale

Nei polinomi in cui i termini hanno a coppie un fattore comune, si può effettuare

un primo raccoglimento a fattor comune in suddette coppie; dopo aver effettuato i

raccoglimenti parziali suddetti, se la forma del polinomio si presenta quale

somma di termini tutti aventi un polinomio come fattore comune, questi si mette

ulteriormente in evidenza.

Ha senso procedere in questo modo solo se i raccoglimenti parziali individuano

un polinomio comune.

Esempio. Scomporre in fattori primi:

ac - bc + ad - bd

Nel primo e secondo termine mettiamo in evidenza c; nel terzo e quarto termine

mettiamo in evidenza d :

ac - bc + ad – bd = c(a - b) + d (a - b)

e con ulteriore raccoglimento del fattore comune a - b , si ottiene:

= (a - b) (c + d)

Allo stesso risultato si perviene se si mette in evidenza a nel primo e terzo termine

e - b nel secondo e quarto termine. Si ha infatti:

ac - bc + ad – bd = a (c + d) - b (c + d) =

= (c + d) (a - b).

Trinomi sviluppi di quadrati di binomi.

Se il polinomio dato è lo sviluppo del quadrato di un binomio, ovvero è della

forma:

a2 + 2ab + b2 ,

29

allora si ha:

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

Esempio. Scomporre in fattori primi il trinomio:

9a6 – 3a3b2 + ¼ b4

Per riconoscere in un trinomio lo sviluppo del quadrato di un binomio, anzitutto

bisogna individuare i due quadrati e successivamente il doppio del prodotto delle

basi dei suddetti due quadrati. Nel trinomio dato osserviamo che 9a6 è il quadrato

di ± 3a3 e che ¼ b4 è il quadrato di ± ½ b2 . Rilevando altresì che 3a3b2 risulta dal

prodotto di 2 • 3a3 • ½ b2 e che è preceduto dal segno -, i due termini del binomio

sono da scegliersi discordi, cioè:

9a6 – 3a3b2 + ¼ b4 = (3a3 - ½ b2 )2

oppure :

9a6 – 3a3b2 + ¼ b4 = (½ b2 - 3a3)2

Quadrinomi sviluppi di cubi di binomi

Se il polinomio dato è lo sviluppo del cubo di un binomio, ovvero è della forma:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

allora si ha:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b) 3

Esempio. Scomporre m fattori primi il quadrinomio:

8a6 + 60a4b + 150a2b2 + 125b3

Osserviamo che 8a6 è il cubo di 2a2 , che 125b3 è il cubo di 5b. Affinché il

quadrinomio dato sia il cubo del binomio di termini 2a2 e 5b, il secondo termine

deve risultare dal triplo prodotto del quadrato di 2a2 per 5b e l'altro deve risultare

dal triplo prodotto di 2a2 per il quadrato di 5b.

30

Essendo:

3 • (2a2)2 • 5b = 60a4b e 3 • 2a2 • (5b)2 = 150a2b2

possiamo concludere che:

8a6 + 60a4b + 150a2b2 + 125b3 = (2a2 + 5b)3

Sviluppo di quadrati di polinomi

Se un dato polinomio è lo sviluppo del quadrato di un polinomio, si dovranno

riconoscere oltre ai quadrati dei singoli termini anche tutti i doppi prodotti di

ciascun termine per tutti quelli che lo seguono.

Esempio. Scomporre in fattori primi il polinomio:

4a4 + 9b2 + c6 – 12a2b + 4a2c3 – 6bc3

Scrivendo il polinomio dato nella forma:

(2a2) 2 + (- 3b) 2 + (c3) 2 + 2 • (2a2) ( (- 3b) + 2 • (2a2)c3 + 2 • (- 3b)c3

possiamo osservare che i primi tre termini sono dei quadrati e che i termini

restanti risultano dal doppio prodotto delle basi di ciascuno di questi termini per

ciascuna delle basi dei termini successivi. Possiamo perciò concludere che:

4a4 + 9b2 + c6 – 12a2b + 4a2c3 – 6bc3 = (2a2 - 3b + c3) 2

Differenza di due quadrati

Se il polinomio dato è la differenza di due quadrati, cioè è della forma:

a2 - b2

allora si ha:

a2 - b2 = (a + b) (a - b) .

Segue perciò: La differenza di due quadrati è uguale al prodotto della somma

delle due basi per la loro differenza.

31

Esempi.

1) a2 - 1 = (a - 1) (a + 1) .

2) 81x4y2- 16 = (9x2y - 4) (9x2y + 4)

3) 4a2 + 4ab + b2 - 4c2 = (2a + b) 2 - (2c) 2 = (2a + b- 2c) (2a + b + 2c)

4) 9c2 - a2 + 8ab – 16b2 = (3c) 2 - (a2 - 8ab + 16b2) = (3c2) - (a - 4b) 2 =

= (3c – a + 4b)(3c + a - 4b)

Differenza di due cubi e somma di due cubi

Il binomio della forma x3 - a3 oppure x3 + a3, tenendo presente i criteri di

divisibilità esposti, si scompone in fattori primi secondo le formule:

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Esempi:

1) 8a3 - 27b3 = (2a) 3 - (3b) 3 = (2a - 3b) [(2a) 2 + 2a • 3b + (3b) 2] =

= (2a - 3b) (4a2 + 6ab + 9b2)

2) 125x3- 64y3 = (5x) 3 - (4y) 3= (5x - 4y) [(5x) 2 + 5x • 4y + (4y) 2] =

= (5x - 4y) (25x2 + 20xy + l6y2)

3) 27a6b3 + 8x3y6 = (3a2b) 3 + (2xy2) 3 =

= (3a2b+ 2xy2) [(3a2b) 2 - 3a2b • 2xy2 + (2xy2) 2] =

= (3a2b+ 2xy2) (9°4b2 - 6a2bxy2 + 4x2y4)

32

Trinomi di secondo grado

Se nel trinomio di secondo grado:

x2 + sx + p ,

il coefficiente del secondo termine si può scomporre nella somma di due numeri

tali che il loro prodotto sia uguale al terzo termine, allora questo trinomio si può

scomporre in un prodotto di due fattori di primo grado.

Infatti: se s = a + b e p == ab , si ha:

x2 + sx + p = x2 + (a + b) x + ab = x2 + ax + bx + ab ==

= x (x + a) + b (x + a) = (x + a) (x + b) .

La scomposizione in fattori di trinomi di questo tipo è perciò subordinata

all'esistenza dei due numeri a e b tali che a + b =s e ab = p.

Detti numeri, se esistono, si devono trovare fra i divisori del terzo termine p e di

tutti questi divisori si devono considerare solo quelli la cui somma è uguale a s.

Esempio 1. Scomporre in fattori primi il trinomio:

x2 – x - 6

I divisori di - 6 sono: ± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 6. Poiché l’unica coppia che da per somma

- 1 è (+ 2 ; -3) , scriveremo allora:

x2 – x – 6 = x2 + (2 – 3)x + (2) (- 3) = x2 + 2x – 3x - 6

= x (x + 2) -3 (x + 2) = (x + 2) (x - 3)

Esempio 2. Scomporre in fattori primi il trinomio:

x2 - 15x + 56

Poiché (- 7) (- 8) = + 56 e (- 7) + (- 8) = - 15, allora:

x2 - 15x + 56 = (x - 7) (x - 8) .

33

Scomposizione di un polinomio in fattori mediante la regola di Ruffini

Se un polinomio P (x) si annulla per x = a, esso è divisibile per x - a e pertanto, |

indicando con Q (x) il quoziente della sua divisione, esso si può scomporre nel

prodotto:

P(x) = (x – a) • Q(x)

Se, inoltre, il polinomio Q (x) si annulla per x = b, esso è divisibile per x - b e,

indicando con Q'(x) il quoziente di questa divisione, la precedente diventa:

P (x) = (x - a) (x - b) • Q'(x)

Questo procedimento si può continuare fino a quando il quoziente ottenuto è un

polinomio irriducibile.

Per la ricerca degli zeri del polinomio P(x) si dovranno seguire le nozioni esposte

precedentemente.

Esempio 1. Scomporre in fattori primi il polinomio:

x3 - 4x2 – 11x + 30

II coefficiente del termine di grado massimo è 1, perciò gli eventuali zeri del

polinomio dato sono da ricercarsi fra i divisori del termine noto i quali sono: ±1;

±2; ±3; ±5; ±6; ±15; ±30. Poiché gli zeri come facilmente si può verificare, sono:

- 3 ; 2 ; 5 ; applicando successivamente la regola di Ruffini, si ha:

x3 - 4x2 – 11x + 30 = (x + 3) (x — 2) (x —S).

Esempio 2. Scomporre in fattori primi il polinomio:

3x3 - 8x2 - 41x + 30 :

Il coefficiente del termine di grado massimo non è 1 . Poiché i divisori di 30 sono:

± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 5 ; ± 6 ; ± 10 ; ± 15 ; ± 30 ; e i divisori di 3 sono: ± 1 ; ± 3; gli

eventuali zeri del polinomio dato sono da ricercarsi tra : ± 1 ; ± 1/3 ; ± 2 ; ± 2/3 ;

± 3; ± 5; ± 5/3 ; ± 6 ; ± 10 ; ± 10/3 ; ± 15 ; ± 30.

34

Poiché, come è facile verificare, gli zeri del polinomio sono : 2/3 ; - 3 ; - 5 ;

applicando due volte la regola di Ruffini si ha:

3x3 - 8x2 - 41x + 30 = ( x – 2/3) (x + 3) (3x – 15) =

= ( x – 2/3) (x + 3) 3 (x – 5) = 3 ( x – 2/3) (x + 3) (x – 5) =

= (3x – 2) (x + 3) (x – 5)

Osservazione

Nella scomposizione in fattori primi di un polinomio si possono presentare

contemporaneamente alcuni casi di scomposizione già studiati. In queste

condizioni, se nei termini del polinomio vi è un fattore comune è bene mettere

subito in evidenza questo fattore e poi procedere per l'ulteriore scomposizione.

Massimo comune divisore di più polinomi

Si dice massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più polinomi interi,

l'espressione algebrica intera, di grado più elevato, per la quale suddetti polinomi

sono divisibili.

Regola. Il M.C.D. di due o più polinomi, ciascuno dei quali è scomposto in fattori

primi, è dato dal prodotto dei fattori comuni a tutti i polinomi presi, ciascuno una

volta sola, con il minimo esponente.

Minimo comune multiplo di più polinomi

Si dice minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più polinomi interi,

l'espressione algebrica intera di più piccolo grado, la quale sia divisibile per

ciascuno dei polinomi dati.

Regola. Il m.c.m. di due o più polinomi, ciascuno dei quali è scomposto in fattori

primi, è dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni dei polinomi presi,

ciascuno una sola volta, con il massimo esponente.

35

Esempio 1. Determinare il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi:

12a2 – 18ab ; 12a2 – 36ab + 27b2 ; 36a2 – 81b2

Scomponendo i polinomi in fattori primi, si ha:

12a2 – 18ab = 6a (2a —3b) = 2 • 3 • a (2a -3b)

12a2 – 36ab + 27b2 = 3 (4a2 -12ab + 9b2) = 3 (2a - 3b) 2

36a2 – 81b2 = 9 (4a2 - 9b2) = 32 (2a - 3b) (2a + 3b)

Il M.C.D. dei polinomi dati è: 3 (2a - 3b)

e il m.c.m. è: 2 • 32 • a (2a - 3b) 2 (2a + 3b) = 18a (2a - 3b) 2 (2a + b)

Esempio 2. Determinare il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi

a3 + b3 ; 5a2 - 5ab + 5b2 ; a4 + a2b2 + b4

Scomponendo i polinomi in prodotto di fattori primi, si ha:

a3 + b3 =(a + b)(a2 – ab + b2)

5a2 - 5ab + 5b2 = 5 (a2 - ab + b2)

a4 + a2b2 + b4 = a4 + a2b2 + a2b2 + b4 - a2b2 = (a2 + b2) 2 – a2b2 =

= (a2 + b2 –ab) (a2 + b2 + ab2)

Il M.C.D. dei polinomi dati è: a2 - ab + b2 ,

e il m.c.m. è: 5 (a + b) (a2 - ab + b2) (a2 + ab + b2) .

Esempio 3. Determinare il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi:

x2 – 3x + 2 ; x2 + 2x – 3 ; x2 + 3x - 4

Scomponendo i polinomi in prodotto di fattori primi, si ha:

x2 – 3x + 2 = (x - l) (x - 2)

x2 + 2x – 3 = (x - l) (x + 3)

x2 + 3x – 4 = (x - 1) (x + 4) .

Il M.C.D. dei polinomi dati è : x - 1,

e il m.c.m. è: (x - 1) (x - 2) (x + 3) (x + 4)

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