Genetische Algorithmen für die Variogrammanpassung

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Genetische Algorithmen für die Variogrammanpassung. Inhalt: Einleitung: zufälliges Feld, Isotropie,... Motivation: Variogramm-Anpassung Genetische (Such-)Algorithmen: Zielstellung Beschreibung des Algorithmus anhand eines Beispiels Anwendung: Variogramm-Anpassung. Einleitung. - PowerPoint PPT Presentation

Text of Genetische Algorithmen für die Variogrammanpassung

  • Genetische Algorithmen fr die VariogrammanpassungInhalt:Einleitung: zuflliges Feld, Isotropie,...Motivation: Variogramm-AnpassungGenetische (Such-)Algorithmen: ZielstellungBeschreibung des Algorithmus anhand eines BeispielsAnwendung: Variogramm-Anpassung

  • EinleitungEin Zufallsfeld Z(x, ) ist eine zufllige Funktion, die sowohl von den Elementarereignissen als auch von einem Vektor x abhngt. Z(x, ) ist also eine Zufallsvariable.

    Ein stationres Zufallsfeld heit isotrop, falls Z(x, ) seine Eigenschaften bei Verschiebungen und Drehungen nicht ndert; dies wird bei diesem Vortrag stets vorausgesetzt.

  • EinleitungAls empirisches Variogramm bezeichnet man die Funktion

    Diese Funktion soll durch x(h) approximiert werdenNimmt man als Funktionenklasse fr x(h) exponentielle Funktionen mit Nugget-Effekt, so ergibt sich

    mit x = (a, b, c)

  • exponentiell mit Nuggeteffekt:

    x = (a, b, c)empirisches Variogramm:

    (mit im Bild: theoretischesVariogramm: sphrisch mitNugget-Effekt)

  • Motivation: Variogrammanpassung gegeben:-empirisches Variogramm-parametrisches isotropes Variogramm-Modell x(h)

    z.B. exponentiell mit Nugget-Effekt:

    mit x = (a, b, c); a, b, c

    gesucht:-mglichst gute Parameter fr das theoretische Variogramm-Modell

  • Parameteranpassung z. B. mittels GAen

    Bewertungsfunktionsoll minimiert werden

    mit oder

  • GAen: GrundideeNachbau der genetischen Selektion:-berleben der Strksten-Kreuzung / Paarung-Mutation (selten)

  • Gegeben:-diskreter Parameterraum P; meist: P={0,1}b-Bewertungsfunktion f: P R+-Populationen Popk: m-Tupel mit Elementen aus P,Pop1 zufllig

    Zielstellung: -Bewertungsfunktion f maximierenProblem- und Zielstellungdes Algorithmus

  • Beispiel: BlackboxBlackbox mit 5 SchalternSchalter entsprechen Bits=> P={0,1}5={0,...,31}-Bewertungsfkt: f(x) = xBild: x = (10110)2 = 22=> f(x) = 22 = 484Die Eigenschaften (z.B. lokale Minima o. .) sind dem GA unbekannt!

  • Vorab: 1. Populationm=Populationsgre;Popk=(xk,1,...,xk,m); xk,i=(xk,i,1,...,xk,i,b)hier: m=4; b=5=> Pop1 = (x1,1,...,x1,4)

    und - zufllig gewhlt:x1,1 = (0, 1, 1, 0, 0) = 13; x1,2 = (1, 1, 0, 0, 0) = 24;x1,3 = (0, 1, 0, 0, 0) = 8; x1,4 = (1, 0, 0, 1, 1) = 19

  • Grundmuster der GAenEin GA besteht aus 3 Teilen:1.Reproduktion

    2. Kreuzung

    3.Mutation

  • 1. Teil: Reproduktion-Population Popk bewertet mit f(xk,i) (i=1,...,m)-xk,i erhlt Reproduktionswkt. pi:

    -neue Population Popk+1: xk+1,i = xk,j mit Wkt. pj (i,j=1,...,m)

  • Bsp: Berechnung der Wkten pix1,1 = (0, 1, 1, 0, 0)=> f(x1,1) = 169=> p1 = 0,14x1,2 = (1, 1, 0, 0, 0)=> f(x1,2) = 576=> p2 = 0,49x1,3 = (0, 1, 0, 0, 0)=> f(x1,3) = 64=> p3 = 0,06x1,4 = (1, 0, 0, 1, 1) => f(x1,4) = 361=> p4 = 0,31

    =>

  • Bsp: Reproduktionx1,1 = (0, 1, 1, 0, 0) => p1 = 0,14 => 1x1,2 = (1, 1, 0, 0, 0) => p2 = 0,49 => 2x1,3 = (0, 1, 0, 0, 0) => p3 = 0,06 => 0x1,4 = (1, 0, 0, 1, 1) => p4 = 0,31 => 1

    => Pop2 = (x1,1, x1,2, x1,2, x1,4)- vorerst!

  • 2. Teil: Kreuzung-Paare werden zufllig gebildet

    -Eigenschaften (xk,i,j) , k festwerden zufllig gekreuzt

    -mit zuflliger Wkt. pc (meist pc 0,9)

    -angepasst an Problem

  • Bsp: Kreuzungx2,1 = (0, 1, 1, 0, 1)=> (0, 1, 1, 0, 0) x2,2 = (1, 1, 0, 0, 0) => (1, 1, 0, 0, 1) x2,3 = (1, 1, 0, 0, 0) => (1, 1, 0, 1, 1) x2,4 = (1, 0, 0, 1, 1) => (1, 0, 0, 0, 0)

    Kreuzungen:-nach zuflliger Stelle-mit zuflliger Wkt. pc = 0,9

  • 3. Teil: Mutation-zufllige nderung jedes Parameters xk,i,jmit Wkt. pm 0,001

    -Ziel: ungewhnliche Maxima finden(Sprungstelle o. .)

  • Bsp: Mutation

    x2,1 = (0, 1, 1, 0, 0) bleibtx2,2 = (1, 1, 0, 0, 0) bleibtx2,3 = (1, 1, 0, 1, 1) =>(1, 1, 0, 1, 0)x2,4 = (1, 0, 0, 1, 1) bleibt

  • Endpopulation nach 1. Schrittx2,1 = (0, 1, 1, 0, 0) = 12=> f(x2,1) = 144x2,2 = (1, 1, 0, 0, 1) = 25=> f(x2,2) = 625x2,3 = (1, 1, 0, 1, 0) = 26=> f(x2,3) = 676x2,4 = (1, 0, 0, 0, 0) = 16=> f(x2,4) = 256

    Ergebnis nach 1. Durchlauf: x2,2 (=26).

  • AbbruchbedingungZ. B.:Verbesserung der Bewertung gering (~0,1%)feste Anzahl von Durchlufen

  • Besonderheiten von GAenmehrere Elemente gleichzeitig(im Gegensatz zum Newton-Verfahren o. .)direkte Bewertungsfunktionprobabilistischer Ansatz

  • Vor- und Nachteile von GAen+finden globale Maxima +Unempfindlichkeit gegenber Strungen und Rauschen+universelle Einsetzbarkeitkeine Verwendung von Zusatzinformationen

    => gut geeignet fr Variogrammanpassung

  • Anwendung: exponentielles Variogramm mit NuggeteffektGegeben:-Messdaten z(x1),...,z(xn)=> zu approximierendes empirisches Variogramm

    -Parameterraum P=R+mit: -Nugget-Effekt-Parameter: Sill a -exponentielle Parameter: Sill b & Range cx=(a, b, c)

  • Anpassung des Algorithmusdiskreter ParameterraumAnfangspopulationBewertungsfunktionReproduktionKreuzungMutationAbbruchbedingung

  • 1. Parameterraum3 Parameter: Nugget-Sill a, exp. Sill b, exp. Range c

    sinnvollen Parameterbereich definieren

    Abbildung vom 2b in den jeweiligen Parameterbereich

  • 2. AnfangspopulationPop1=(x1,1,..., x1,m);x1,i = (a1,i, b1,i, c1,i)

    zufllig gewhlt

    aus der Erfahrung ergibt sich:mindestens m=100 (je nach Rechenzeit)

  • 3. BewertungsfunktionEs gilt:

    wobei f(x) minimiert werden soll!!

    : Wert der Modellfunktion bei hi: Wert der empirischen Funktion bei hi

  • 4. ReproduktionWegen Minimierung anders:

    mit

  • 5. Kreuzungfindet mit pc statt (pc 0,9)

    Mglichkeit 1: Parameter vertauschen

    Mglichkeit 2: innerhalb der Parameter kreuzenjeweils an Stelle j mit Wahrscheinlichkeit qj

  • vorhervorhernachhernachherBeispiel zu Mglichkeit 1:

  • 6. Mutationan jeder Stelle mit Wkt. rj 0,001

  • 7. Abbruchbedingungnur minimale Verbesserung des bestentheoretischen Variogramms (~0,1%)

    feste Anzahl von Durchlufen

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