Geodesia Nuevo

Ciclo de formación sobre geodesia, referencial geográfico y proyecciones para los sistemas de

información geográficos.

Ministerio de Vivienda, Ordenamiento Territorial y Medio Ambiente.

Montevideo 7 - 11 de febrero 2000

Dr. Atilio FRANCOIS (h)

GeoConceptos Uruguay Sistemas de coordenadas y transformaciones pag. 1 de 29

INDICE

1. Sistemas de coordenadas y transformaciones........................................................................3

1. Nociones de geodesia..........................................................................................................3

2. Transformación de coordenadas..........................................................................................6

Transformación de coordenadas cartesianas (Similitud 3D)...............................................7

Pasaje de coordenadas geográficas a cartesianas.............................................................8

Pasaje de coordenadas cartesianas a geográficas.............................................................9

Pasaje de coordenadas geográficas a coordenadas planas...............................................9

Principales grupos de proyecciones ..................................................................................10

Cambio de coordenadas geográficas en coordenadas planas..........................................11

2. Fórmulas para la transformación de coordenadas tridimensionales cartesianas o geográficas entre dos sistemas geodésicos..................................................................................................13

1. Sistema geodésico, elipsoide y coordenadas....................................................................13

2. Transformación entre dos sistemas geodésicos................................................................18

3. Transformación entre sistemas geodésicos utilizando coordenadas geográficas.............21

4. Usos diversos.....................................................................................................................24

1. Sistemas de coordenadas y transformaciones.

1. Nociones de geodesia.

A partir de Cristóbal Colón, en general se admite que la tierra es redonda. Por el momento vamos a aceptar este consenso general y aceptaremos la idea de encontrarnos sobre un cuerpo esférico.


Si se nos ocurre la idea de situar un punto en el espacio, debemos indefectiblemente utilizar un sistema de coordenadas basado en tres ejes perpendiculares entre sí.

El punto O, donde se cruzan los tres ejes, lo colocaremos en el centro de la Tierra. Al eje Z, lo colocaremos de manera que coincida con el eje de rotación del planeta. Para terminar, haremos coincidir el plano definido por OXZ con un meridiano de origen (Greenwich, Paris, etc.). Acabamos de definir un sistema geodésico de referencia. Con este sistema de coordenadas, cualquier punto M puede ser situado con exactitud gracias a tres valores: X,Y,Z.

A este tipo de coordenadas se les llama coordenadas tridimensionales cartesianas, y los valores X,Y,Z se miden generalmente en metros. Volvamos a Cristóbal Colón, y digámoslo claramente, la Tierra no es redonda. Los que saben definen la forma de nuestro planeta como un geoide, es decir una forma entre la pelota de fútbol y la de rugby, pero vieja y desinflada, en una palabra, abollada.


Como es terriblemente complicado tratar de encontrar coordenadas que sigan punto a punto la forma del geoide, la gran mayoría de los geofísicos han optado por trabajar con una forma simple, el elipsoide, es decir una esfera achatada en los polos. La figura siguiente muestra las dos formas mencionadas. Como se ve en este esquema, el elipsoide es una manera de aproximación de la forma real de la Tierra, pero según el lugar considerado, esta aproximación podrá situarse sea por encima, sea por debajo de la verdadera superficie terrestre.

De lo que acabamos de ver, surge una primera constatación : como el geoide es de forma irregular, la definición del centro de la Tierra no es indiscutible (como lo sería en el caso de una esfera), y como todo lo que no es indiscutible, cada geofísico de renombre ha considerado como una obligación el encontrar un centro de la Tierra distinto a los de sus predecesores. Cada uno puede definir, a partir de su centro de la Tierra, un elipsoide diferente, es decir una sección elíptica con un gran eje y un coeficiente de achatamiento mejor adaptado a la zona en la cual trabajan.


Para situar un punto, a esta altura, necesitaremos un sistema de coordenadas tridimensionales geográficas.

Este sistema necesita que definamos un centro de la tierra (O), un gran eje del elipsoide (a) y un coeficiente de achatamiento (e).

Un punto M será situado gracias a tres coordenadas :

: la longitud, ángulo entre el plano del meridiano de origen y el meridiano sobre el cual se sitúa M.

: la latitud, ángulo entre la perpendicular al elipsoide que pasa por M y el plano ecuatorial.

h : la altura de M por encima del elipsoide, medida sobre la perpendicular entre M y el elipsoide.

No sé si habrán notado que, por el momento, no hemos abordado el tema de las proyecciones. Estamos todavía en latitud - longitud, pero ya hemos visto lo suficiente como para entender que cuando se obtiene una posición en grados de longitud y de latitud, no alcanza como información para situar ese punto : es necesario saber cual sistema geodésico y qué elipsoide de referencia se han utilizado.


Contrariamente a una idea general entre quienes trabajan en los distintos campos de la ecología, una posición en latitud-longitud no es única de por sí: según el sistema utilizado la posición real de un valor latitud-longitud puede estar hasta 500m de distancia el uno del otro.

Veamos ahora un tercer tipo de coordenadas, además de las coordenadas cartesianas y geográficas : las coordenadas planas.

Para obtener este tipo de coordenadas es necesario representar sobre un plano la superficie del elipsoide. Obtenemos entonces una representación plana o proyección. Cuando realizamos esta operación, perdemos parte de la información, es decir que perdemos la altura (h). Pero como en nuestro trabajo este tipo de información, cuando es utilizado, se maneja por separado, esto no representa un problema. El punto M será situado ahora con respecto a un punto o, arbitrario, y de dos distancias N (por Norte) y E (por Este), respectivamente medidas sobre dos ejes perpendiculares a partir de o. Generalmente, estas distancias están medidas en metros.Existen numerosos tipos de proyecciones diferentes, pero las que nos interesan en particular son las proyecciones Mercator (utilizada por el SOHMA) y Gauss (utilizada por el Geográfico Militar).

Aquí se impone una precisión y lean y relean lo que sigue ya que les evitará un trabajo inútil.

Para situar un punto sobre una carta marina, se pueden usar dos tipos de escalas situadas sobre los bordes de la misma : una escala en grados, y una escala en metros. Si se utiliza la


escala en grados, las posiciones no estarán en la proyección Mercator, estarán en coordenadas geográficas.

Si se utiliza la escala en metros, las posiciones estarán dadas en coordenadas planas y sí, estarán en proyección Mercator.

Veremos a continuación cómo realizar la transformación entre tipos de coordenadas, y quedará más claro que según qué escala se use, el trabajo a realizar será diferente.

2. Transformación de coordenadas.

El esquema muestra cuales son los diferentes tipos de transformación posibles. Pero, ATENCIÓN!, cuando se observa en el esquema que se puede pasar de un tipo de coordenadas planas a otro, utilizando una transformación polinomial, esto es cierto solamente si el elipsoide y el sistema geodésico de ambas coordenadas son idénticos. De la misma manera, las fórmulas de Molodensky permiten pasar de un elipsoide a otra, solamente si el sistema geodésico es el mismo.

Entonces, ¿cómo se debe proceder?

Si se tienen valores de latitud y longitud de un GPS, calibrado en WGS84 y se desea transformarlos en metros Gauss deberán seguirse los siguientes pasos:


primero, se deben transformar las coordenadas geográficas en coordenadas cartesianas;

segundo, cambiar de sistema geodésico gracias a una operación de similitud 3D;

tercero, pasar las coordenadas cartesianas en el nuevo sistema a coordenadas geográficas;

cuarto, proyectar las nuevas coordenadas geográficas en coordenadas planas, es decir en metros Gauss.

Si se tienen valores en metros Mercator, hay que efectuar previamente la transformación hacia coordenadas geográficas.

Transformación de coordenadas cartesianas (Similitud 3D).

.

Para pasar de un sistema geodésico a otro, en principio son necesarias tres operaciones :

- una traslación del centro de la Tierra O con un x, y , z (por supuesto si los dos sistemas no tienen el mismo centro)

- una rotación (si los tres ejes no son paralelos entre sí)

- un cambio de escala (si las unidades utilizadas no son las mismas)

En todos los casos que se presentan para nuestro trabajo, afortunadamente, los ejes son paralelos y las escalas son las mismas. por lo tanto, la única operación necesaria es la traslación del punto O.

(Ver el capitulo Sistemas geodésicos)


Por ejemplo, para pasar del sistema WGS84 al sistema Yacaré los valores de los deltas son:

x : +155

y : -171

z : -37

Pasaje de coordenadas geográficas a cartesianas.

Para pasar de coordenadas geográficas a coordenadas cartesianas, hay que resolver el problema planteado por el hecho que la latitud es el ángulo formado por la perpendicular a la elipsoide con el plano ecuatorial. Como se puede ver en el esquema, la perpendicular a la elipsoide no pasa por el centro de la Tierra. Para calcular las coordenadas cartesianas es necesario calcular primero la distancia NM, llamada gran normal(N).

Una vez calculada esta gran normal, las fórmulas siguientes permiten calcular fácilmente X, Y et Z.


X= (N+h) cos cos

Y= (N+h) cos sin

Z= N(1-e²) sin

Pasaje de coordenadas cartesianas a geográficas.

El mecanismo inverso al precedente es más complicado. El cálculo de la longitud se hace gracias a una fórmula simple. Pero para calcular la latitud, no existe fórmula simple, y es necesario un cálculo por iteraciones sucesivas.

El método utilizado por el Instituto Geográfico Nacional Francés, y que hemos adoptado en nuestros programas, es el método de Heiskanen-Moritz-Boucher.

Lo que realmente importa retener de este cálculo, es que, no habiendo una fórmula exacta, los resultados pueden ser ligeramente diferentes según el método empleado. Como siempre, esto no es importante mientras las diferencias sean menores que la precisión de nuestros valores.

Pasaje de coordenadas geográficas a coordenadas planas.

Se utiliza una representación plana (o proyección) de la Tierra con el objetivo de :

representar sobre una superficie plana parte de un modelo elipsoidal de la superficie terrestre,

obtener valores métricos mas prácticos de utilización que las unidades angulares,

facilitar la evaluación de las distancias.

Pero no se puede efectuar una proyección sin provocar algún tipo de deformación . Para convencerse alcanza con intentar achatar la cascara de una naranja.

No obstante, por cálculo, se puede definir el tipo y los parámetros de una proyección para minimizar ciertas deformaciones. Se opta entonces por :

respetar los valores de las superficies (proyecciones equivalentes),

respetar localmente los ángulos (proyecciones conformes),

no respetar ni las superficies ni los ángulos (proyecciones afilácticas). GeoConceptos Uruguay Sistemas de coordenadas y transformaciones pag. 10 de 29

Se dice de una proyección que es equidistante cuando la misma respeta las distancias a partir de un punto dado. En todos los casos, ninguna proyección puede conservar todas las distancias. Se introducen entonces las nociones de módulo lineal y de alteración lineal. Hoy por hoy, la mayoría de las proyecciones utilizadas en geodesia y en topografía son del tipo conforme. Cuando se hace cartografía a pequeña escala, se utilizan a menudo las proyecciones equivalentes.

Principales grupos de proyecciones .

Proyección cilíndrica : la superficie de proyección es un cilindro

tangente o secante al modelo terrestre ( Ejemplos : UTM, Gauss...)


Representación cilíndrica Representación cilíndrica Representación cilíndrica

directa oblicua transversa

Proyección cónica : la superficie de proyección es un cono tangente o secante

Representación cónica Representación cónica

directa tangente directa secante


Cambio de coordenadas geográficas en coordenadas planas.

Esta etapa es, ni mas ni menos, la proyección de las coordenadas geográficas en metros Gauss, por ejemplo.

La representación Gauss es una proyección cónica conforme : si se proyecta el elipsoide sobre un plano, los paralelos se transforman en círculos concéntricos con un centro (P) ubicado en el polo Sur, mientras que los meridianos se transforman en rectas convergentes en ese punto P.

Para situar un punto en este tipo de proyección alcanza con dar la distancia de ese punto con respecto al punto P y su ángulo ( ) con respecto a un meridiano de referencia. Este tipo de posicionamiento es llamado coordenadas angulares. El defecto de este sistema es su poca practicidad cuando se debe situar un punto sobre un mapa.

Un sistema más práctico es ubicar todo punto usando dos coordenadas X e Y, distancias calculadas con respecto a un punto arbitrario llamado origen de la proyecciones. Para no confundir las coordenadas planas con las coordenadas cartesianas se prefiere llamarlas E (Este) en lugar de X y N (Norte) en lugar de Y.



1. Fórmulas para la transformación entre dos sistemas geodésicos de coordenadas tridimensionales cartesianas o geográficas.

1.Sistema geodésico, elipsoide y coordenadas.

Un sistema geodésico tridimensional es un sistema de referencia ortogonal (o, X, Y, Z) en el cual los vectores básicos pueden ser considerados como de la misma norma.

Tanto para un sistema global (relacionado con una técnica espacial: Doppler, por ejemplo) como para un sistema geodésico terrestre (punto fundamental, etc.), su origen o se encuentra en las cercanías del centro de masa de la Tierra, su eje oZ se aproxima al eje de los polos y oX define el meridiano de origen (Greenwich, Paris, etc.).Con este tipo de sistema se puede asociar a todo punto P un trío de coordenadas cartesianas (X, Y, Z).

Tradicionalmente se define un elipsoide de revolución en torno de oZ como pequeño eje y de centro o, a fines de aproximación de la superficie terrestre, o más exactamente de una superficie equi-potencial vecina tomada como referencia (geoide).

La forma de este elipsoide esta definida por dos parámetros independientes, elegidos generalmente entre los siguientes :

a : semi-eje principal

b : semi-eje secundario

e : excentricidad

f : aplastamiento

Las fórmulas siguientes establecen las relaciones entre estos parámetros :


(1)

El valor de estos parámetros depende de la técnica de estimación.

Los elipsoides asociados a los sistemas espaciales están determinados como elipsoides globales promedio según las técnicas geométricas y dinámicas. Sus dimensiones son relativamente cercanas. Por ejemplo, el sistema oficial de la AIG(1967) (GRS67) es :

a= 6 378 160 m

f-1=298,247167


Los valores recomendados en 1975 por la AIG son:

a= 6 378 140 m

f-1=298,257

Los elipsoides relacionados con los sistemas de origen terrestre han sido elegidos sobre todo como una aproximación de una región específica del geoide (un país, un continente, etc.). Los valores son bastante disímiles. En la tabla 1 se pueden ver diversos valores de elipsoides utilizados.

Habiendo elegido un elipsoide asociado a l sistema (o, X, Y, Z), se puede entonces definir para cada punto P (salvo en ciertos lugares especiales como el eje de los polos) un trío de coordenadas geográficas (, , he) donde :

: es la longitud geográfica,

: es la latitud geográfica,

he : es la altura con respecto al elipsoide.

Estos valores están definidos tomando el semi-plano meridiano que contiene P y la normal a partir de P con respecto al elipsoide cuyo pie Pe se halla en ese semi-plano.

es el ángulo diedro entre el semi-meridiano de origen y ese semi-meridiano (- o 02)

es el ángulo entre la normal y el plano oXY, he es la distancia algebraica , tomando como vector unidad el vector normal unidad exterior ( figura 1).

Sin entrar en los detalles fundamentales de la geometría de la elipse de revolución, aplicaremos las fórmulas siguientes :

La gran normal (N) :

(2)

el radio de curvatura (M) de la elipse meridiana :

(3)


En estas condiciones, la transformación de las coordenadas entre (X,Y,Z) y (, , he) se obtiene como se describe a continuación:

A)(, , he) (X,Y,Z)

X= (N+he) cos cos

Y= (N+he) cos sin

Z= [N (1-e²)+ he] sin

Donde :

B) (X,Y,Z) (, , he)

Un gran número de algoritmos han sido propuestos para realizar esta transformación (algebraicos, iterativos, etc.).

Damos aquí a título de ejemplo el algoritmo iterativo de HEISKANEN-MORITZ (1967) modificado por BOUCHER(1977).

Cálculo de P :

Cálculo de

Cálculo de y de he por iteración

Paso 1 :

*


*i =*

Paso 2:

*i

*

*

*

*Prueba de fin

i+1 - i <

NO :

*i = * i+1 ir al paso 2

SI :

= i+1

FIN


Transformación entre dos sistemas geodésicos.

Dado dos sistemas geodésicos (1) y (2), y admitiendo la posibilidad que los dos conjuntos de vectores de base no tengan la misma norma (problema de escala o de definición de las unidades de distancia), la transformación más corriente será una similitud (con 7 parámetros: 3 de translación, 3 de rotación y 1 de factor de escala).

Si (Xi, Yi, Zi) son las coordenadas de un punto P en el sistema (i), con i=1 o 2, la transformación será, matricialmente:

(5)

TX, TY, y TZ son los tres parámetros de translación.

es el factor de escala

R es una matriz de rotación dependiente de tres parámetros.

Como se ha dicho anteriormente, los diferentes sistemas no son demasiado distantes, lo que numéricamente, significa que:

TX, TY, y TZ no exceden algunos centenares de metros;

Que no excede algunos 10-6;

Que R es una rotación infinitesimal:

(6)

donde , yson rotaciones sobre X, Y, Z que no exceden algunos segundos de arco.

Se observa entonces que (5) puede ser remplazada a un nivel milimétrico por su modelo linealizado:


(7)

donde:

Cuando se desea interpretar correctamente estos 7 parámetros, se debe considerar (5) como la expresión de pasaje de (2)(1).

Se tiene entonces que:

(TX, TY,TZ) son los componentes de (2) del punto 01, o dicho de otra forma (al mm), los

componentes en (2) o en (1) del vector .

1 + es el cociente donde ei es un vector de base de (i), es decir donde Di es una distancia expresada por las coordenadas (i) :

, , son las rotaciones sobre X, Y, y Z para llevar la base (2) sobre la base (1).


Transformación entre sistemas geodésicos utilizando coordenadas geográficas.

Dados dos sistemas (1) y (2) a los cuales se han asociado los elipsoides (a1, f1) y (a2, f2) respectivamente, se puede calcular la relación entre las coordenadas geográficas (1, 1, he1) y (2, 2, he2) de un punto P.

La transformación exacta es:

(1, 1, he1)

Transformación (4)

(X1, Y1, Z1)

Fórmula (5)

(X2, Y2, Z2)

Transformación (4)

(2, 2, he2)

La expresión de las variaciones:

D = 2 - 1

D = 2 - 1

Dhe = he2 – he1


en función de los 9 parámetros necesarios :

TX, TY, TZ, , , , , Da = a2-a1 y Df = f2-F1

son el objeto de las fórmulas diferenciales dadas a continuación. Se puede asumir que la linealización no introduce errores superiores al milímetro. Además, la expresión de los coeficientes con este grado de precisión puede ser calculada utilizando indiferentemente 1 o 2 (que llamaremos ), 1 o 2 (que llamaremos ), y he1 o he2 (que llamaremos he).

Fórmula en función de DX, DY, DZ, DA y DF:

Fórmula en función de TX, TY, TZ, , , , , Da, Df :


Las fórmulas (8) y (9) pueden ser aproximadas por diferentes vías.

Las fórmulas MOLODENSKY-DMA son las siguientes:

Los errores relativos son:

La aproximación corresponde entonces a algunos decímetros.

Para (9) se obtiene:


Usos diversos

Las fórmulas antedichas pueden ser utilizadas para numerosas aplicaciones.

A título de ejemplo se puede citar:

la búsqueda de una fórmula de transformación entre dos sistemas tridimensionales

si se tiene las coordenadas tridimensionales se puede usar (7) como relación observada,

si no, se puede usar (9) o (11).

Transformación de coordenadas geográficas gracias a parámetros conocidos: (9) o (11).

Transposición del geoide: (9) o (11).

TABLA I

Elipsoide a b f-1 f e²

Internacional Hayford 1909

6 378 388.00 6 356 911.946 297.000 00 0.003 367 0034 0.006 722 670 0

WGS84 6 378 137.00 6 356 752.314 298.257 22 0.003 352 8106 0.006 694 380 0

Clarke 1880 6 378 249.20 6 356 515.000 293.466 02 0.003 407 5495 0.006 803 487 7


Anexo

Instrucciones para el uso de la extension ArcView “Proyecciones ROU”.

1- Instalación de la extension

El archivo rouproy.avx debe ser copiado en el directorio ESRI/Arcview/Ext32.

En el menu File, seleccionar Extensions

En la ventana de extensiones disponibles, marcar la opción “Proyecciones ROU”.

GeoConceptos Uruguay Algoritmos para la transformación de coordenadas p26 de 29 tridimensionales cartesianas o geográficas entre dos sistemas geodésicos.

La extension agrega una opción de en la barra de menus de la ventana de vista : "Proyecciones ROU"

2- Cambio de referencial

En la ventana de vista, activar el tema que se desea transformar.

Las modificaciones de coordenadas serán realizadas directamente sobre el archivo original. Como medida de precaución se recomienda hacer siempre una copie de respaldo ANTES de efectuar toda transformación.

Seleccionar en el menu "Proyecciones ROU", "Cambio de referencial".


Un mensaje de advertencia aparece. Si el archivo de respaldo ha sido creado, cliquear Yes.

A continuación, el script solicita la entrada de los parámetros del tema a transformar y del tema resultante.

A.El sistema geodésico.

Dos sistemas geodésicos son propuestos :

El SOHMA utiliza generalmente el sistema WGS84.


El IGM utiliza generalmente el sistema Yacaré.

El sistema WGS 84 es utilizado generalmente como sistema por defecto de los GPS.

A.La proyección

Si los datos no están proyectados (valores en grados de latitud y longitud), elegir la opción “Geográfica”.

Por el momento las proyecciones disponibles son la proyección Gauss y la UTM.

B.La elipsoide de referencia

El IGM utiliza generalmente la elipsoide Hayford 1909 (Internationale 1924).

El SOHMA utiliza la elipsoide IAG GRS 80.

Los GPS utilizan generalmente la elipsoide IAG GRS 80.


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