GEODESIA PARA DUMMIES(PRELIMINAR)_270315_V1.pdf

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE

TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA

GEODESIA PARA DUMMIES

Preparado por: * Edilberto Niño N. [email protected]

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CAPÍTULO 1

LA ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los

puntos que cumplen la siguiente relación:

PF+PF=2a; donde Pes cualquier punto de la

elipse,F y F´ son los llamados focos de la

elipse ver, figura 1.

Elementos de la Elipse

F,F´: Focos

AA´: Eje mayor = 2a.

OA: Semieje mayor = a.

BB´: Eje menor = 2b.

OB: Semieje menor = b.

e: Excentricidad.

f: Aplanamiento.

La distancia AA´ es llamada eje mayor de

la elipse, con lo que OA= OA´ = AA´/2=a,

esllamado el semieje mayor de la elipse

denotado con la letra a.

La distancia BB´ es llamada eje mayor de la

elipse, con lo que OB= OB´ = BB´/2=b es

llamado el semieje menor de la elipse

denotado con la letra b.

De la definición de la elipse se puede

escribir:

𝐹𝑃 + 𝐹´𝑃 = 2𝑎 (1)

𝐴𝐹´ = A𝐹 = 𝐴´𝐹´ = 𝐴´𝐹 = 𝑎 (2)

Excentricidad.

En el área de las matemáticas y la geometría

la excentricidadse entiende como el

parámetro que determina el grado de

desviación de una sección cónica con

respecto a una circunferencia [1] ver figura

2. Así:

En el caso de una Elipse, la excentricidad

(e) está dada por relación

P

F´ F

a

b

O

2a

2b

Figura 1. Elementos geométricos de la Elipse

A´ A

B´

B

e=1

e=2

e=∞

e=0

e=0,5

Figura 2. La excentricidad de las

cónicas..

La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0).

La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0<e< 1).

La excentricidad de una parábola es 1 (e = 1).

La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1 (e> 1). [1]

mailto:[email protected]





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𝑂𝐹

𝑂𝐴´=

𝑂𝐹´

𝑂𝐴=

𝑂𝐹

𝑎=e.

Si OF, tiende a cero, entonces e = cero, y

los focos estarán en el centro O, así, la

elipse se convierte en una circunferencia.

Teniendo en cuenta que OF=OF´, y

FB+F´B=2a, y como FB=F´B (ver figura 3)

entonces FB=a

Por definición la excentricidad está dada

por la ecuación 3.

𝑒 =𝑂𝐹

𝑎=

𝑐

𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3,

Aplicando el teorema de Pitágoras,

tenemos:

𝑎2 = 𝑏2 + (𝑐)2𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 4

De la ecuación 3 se tiene 𝑐 = 𝑒𝑎 , y

reemplazando este valor en la ecuación 4,

tenemos.

𝑎2 = 𝑏2 + (𝑒𝑎)2𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 − 5

Realizando procesos algebraicos a esta

ecuación tenemos:

(𝑒𝑎)2 = 𝑎2 − 𝑏2 ,

𝑒2𝑎2 = 𝑎2 − 𝑏2,

𝑒2 =𝑎2 − 𝑏2

𝑎2 ,

𝑏2 = 𝑎2(1 − 𝑒2) , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 6

𝑒 = √𝑎2 − 𝑏2

𝑎2𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 7

La ecuación 6 se conoce como la primera

excentricidad de la elipse.

De manera similar se deriva la segunda

excentricidad de la elipse, la cual se muestra

en la ecuación 1-8.

𝑒´ = √𝑏2 − 𝑎2

𝑏2𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 8

El aplanamiento f, (de las iníciales del

vocablo en ingle flat), está dado por la

ecuación 8

𝑓 =𝑎−𝑏

𝑎𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 9.

Nota: Una elipse desde el punto de vista

geométrico queda definida, cuando se

conoce el semieje mayor y el inverso del

aplanamiento.

Ejemplo: La elipse que genera el Elipsoide

de Referencia Geodésico GRS80, tiene

parámetros geométricos básicos, los

siguientes:

a=6378137 m

f= 1/298,2572221008827.

Otros parámetros de una elipse:

𝐸 = √𝑎2 − 𝑏2 ∶ Excentricidad lineal[2].

𝑝´ =𝑎2

𝑏 ∶Radio de curvatura polar[2].

F´ F O

Figura 3. Elementos de la Elipse

A

P=B

a b

c c






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En la siguiente tabla se muestran los

parámetros de la elipse generadora del

elipsoide de revolución GRS80.

Ecuación de la Elipse

Se requiere hallar una expresión

matemática que permitadescribir una elipse

en un planoXY.

De la figura 4, tomando los triángulos

F´PM, y FMP, aplicando el teorema de

Pitágoras para dichos triángulos tenemos:

Para el triángulo: F´PM.

(𝐹´𝑃)2 = (𝐹´𝑀)2 + 𝑦2 ,

𝐹´𝑀 = 𝑐 − 𝑥 ,

(𝐹´𝑃)2 = (𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1− 10

Para: FMP.

(𝐹𝑃)2 = (𝐹𝑀)2 + 𝑦2,

𝐹𝑀 = 𝑐 + 𝑥 ,

(𝐹𝑃)2 = (𝑐 + 𝑥)2 + 𝑦2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1− 11

Se toma la ecuación 1, y se reemplaza en

ésta, los términos de la derecha de las

ecuaciones 1-10 y 1-11, resultando la

siguiente ecuación.

√(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2 + √(𝑐 + 𝑥)2 + 𝑦2 = 2𝑎

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 11,

Transponiendo el primer término de la

derecha en la ecuación 1-11, y elevando

todo al cuadrado, tenemos:

√(𝑐 + 𝑥)2 + 𝑦2 = 2𝑎 − √(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2,

(𝑐 + 𝑥)2 + 𝑦2 = (2𝑎 −

√(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2)2,

Expandiendo los trinomios cuadrados,

tenemos:

𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑎2

− 4𝑎√(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑐2

− 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2

Agrupando y suprimiendo términos

tenemos:

4𝑐𝑥 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2,

Eliminando el numero4 y transponiendo

términos se tiene:

𝑎√(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2 = 𝑎2 − 𝑐𝑥,

Elevando al cuadrado a ambos lados de la

ecuación tenemos.

𝑎2[(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2] = (𝑎2 − 𝑐𝑥)2,

F´ F O

Figura 4. Elipse en el plano XY

X

P(x, y) Y

x

y

c c

a

b

M






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Extendiendo los trinomios cuadradosy

realizando operaciones tenemos:

𝑎2𝑐2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 −2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2,

Suprimiendo términos tenemos:

𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 + 𝑐2𝑥2,

Transponiendo términos tenemos:

𝑎2𝑥2 − 𝑐2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2,

Agrupando términos se tiene:

𝑥2 (𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 −𝑐2) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 13,

De la ecuación 3 se tiene que:

𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2, por tanto la ecuación 1-12 de

convierte en:

𝑥2 𝑏2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2,

Y dividiendo por 𝑎2𝑏2, a ambos lados de la

ecuación tenemos:

𝑥2 𝑏2

𝑎2𝑏2 +𝑎2𝑦2

𝑎2𝑏2 =𝑎2𝑏2

𝑎2𝑏2,

Simplificando tenemos la ecuación de la

elipse con focos en los puntos F´(0, -x) y

F(0, x), eje mayor 2a, y, eje menor 2b,

figura 4, la cual se muestra en la ecuación

13:

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 13

EJERCICIOS1-1:

1. Calcular los parámetros (e, e´, b, f, E y

p´, de las elipses con semieje mayor (a)

igual a los números n, con n

perteneciendo a losdivisores propios de

los números amigos1 (220, 284). Y c

1Dos números amigos son dos enteros positivos a y b

tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a.

=n1/3, siendo n1, igual a los números

primos impares y menores a 41.

2. Dibujar 2 elipses, ayudándose con una

cuerda, dos tachuelas, un lápiz y una

regla. Comprobar empíricamente las

ecuaciones1 y 2.

3. Investigar el valor de los parámetros

geométricos de la elipse generadora del

elipsoide de Hayford o elipsoide

internacional.

4. Investigar el valor de los parámetros

geométricos de la elipse generadora del

elipsoide GRS80.

CAPÍTULO 2

El desarrollo de la geometría de la elipse y

del elipsoide, es una herramienta

fundamental en la conceptualización,

desarrollo y aplicación de la geodesia

geométrica.

El Elipsoide de Revolución

Al hacer girar una elipse sobre uno de sus

ejes a,ó,b, (figura 2-1) cada fracción

infinitesimal (muy pequeña) de giro, genera

una nueva elipse, con orientación distinta a

la anterior, ver figura 2-2. La suma de estas

elipses da como resultado una superficie

denominada Elipsoide Revolución.

O

Figura 2-1. Elipse

X

Y

a

b






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Sobre la superficie del elipsoide de

revolución se ubican “n” puntos. A fin de

explicitar las coordenadas X, Y de un punto

sobre el elipsoide, decimos que por cada

punto sobre la superficie del elipsoide pasa

una elipse, como se muestra en la figura 2-

3.

La Elipse Meridiana.

La elipse que pasa por cada punto de la

superficie del elipsoide, se le denomina

elipse meridiana. Ver figura 2-4.

Coordenadas Geográficas Latitud y

Longitud.

Los elementos vistos hasta acá, nos permite

introducir el concepto más importante y

estudiado en la geodesia y sobre el cual

descansa el desarrollo de las ciencias

cartográficas, topográficas, y en general

todas las disciplinas que están involucradas

en la Geomática y las disciplinas que tienen

que ver con las ciencias de la tierra, e

indirectamente con el desarrollo espacial,

las comunicaciones y en general la vida

cotidiana del hombre moderno.

Ese concepto es el de las coordenadas

geográficas Latitud y Longitud.

A continuación se desarrolla lo referente a

la latitud, en razón de que geométricamente

es un poco complejo su conceptualización y

su desarrollo matemático sobre el elipsoide.

Cuando se trata de definir una magnitud en

topografía o geodesia se debe tener muy

presente el siguiente principio: Cuando se

va a realizar una medición se debe siempre

realizar las siguientes tres preguntas

Figura 2-3. Superficie del elipsoide

X

Y

P1(x, y)

O

Figura 2-2. Elipsoide de revolución

X

Y

a

b

O

Figura 2-4. Elipse Meridiana del punto p(x,y)

X

Y

a

b

P(x,y)






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básicas, desde donde mido, sobre que mido

y hasta donde mido.

Latitud

En general la Latitud de un punto es el arco

medido desde el ecuador terrestre sobre el

meridiano o la meridiana que pasa por el

punto, hasta el punto.

Como se ve en la grafica (2-5) un punto en

la vida real no está sobre la superficie ideal

elipsoidal, sino que está en la superficie

amorfa lo que se denomina la topografía, es

decir el paisaje sobre el cual nos movemos.

Como esta superficie es completamente

amorfa, sobre ella no es posible realizar

cálculos matemáticos ni geodésicos, todos

los cálculos se realizan es sobre la

superficie del elipsoide.

De acuerdo a lo que se ve en la figura 2-6,

por un punto que este sobre la superficie

terrestre pasan tres verticales, dependiendo

a cual superficie se quiere referir dicho

punto. Así mismo se generan ángulos

distintos de latitud.

Latitud geodésica(𝜑) : Es el ángulo que

forma la vertical al elipsoide con el plano

del ecuador, como se observa en la figura 2-

6.

Geoide Elipsoide

Topografía P(x, y)

Vertical al Geoide

Vertical al Elipsoide

Figura 2-6. Verticales que se generan en un

mismo punto sobre la superficie terrestre.

Geoide

Elipsoide

Topografía

P(x, y)

Figura 2-5Superficies fundamentales en los

estudios geodésicos

Y

O X

𝝋

P

90𝑜 + 𝜑

A

B Q

Figura 2-7. Latitud geodésica(𝜑)






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Latitud reducida(𝛽) : Es el ángulo en el

centro de la circunferencia tangente a la

elipse en los extremos del eje mayor (2a)

formado entre el ecuador y el radio de la

circunferencia que va al punto interceptado

en ella por la línea recta perpendicular al

semieje mayor de la elipse que pasa por el

punto en consideración, como se ve en la

figura 2-8. Se denomina también latitud

paramétrica o latitud geométrica.

Latitud Geocéntrica(𝜓) : Es el ángulo en el

centro de la elipse entre con el plano del

ecuador y el radio geocéntrico del punto en

consideración. Como se ve en la figura 2-9.

Relación entre la latitud Geocéntrica y la

latitud reducida.

𝑡𝑔𝛽 =𝑏

𝑎𝑡𝑔𝜓 (2.1)

Relación entre la latitud Geodésica y la

latitud reducida.

𝑡𝑔𝜓 =𝑏

𝑎 (2.2)

Longitud Geodésica.

Longitud geodésica de un punto es el

ángulo formado por el plano meridiano

geodésico (elipse meridiana) del punto y el

plano meridiano geodésico origen o

meridiano de Greenwich, se mide sobre el

ecuador terrestre, positiva al este de

Greenwich y negativa al oeste de

Greenwich, ver figura 2-10.

Coordenadas Rectangulares X Y de un

punto sobre la Elipse.

A cada punto sobre la elipse meridiana le

corresponde unas coordenadas X, Y, las

Figura 2-8Latitud Reducida

Y

O

X 𝜷

P

Figura 2-9Latitud Geocéntrica

Y

O

X 𝝍

P

O

Figura 2-10. Longitud Geodésica

E

Z

W

Meridiano

Origen

𝜆𝑊 𝜆𝐸






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cuales están en función de la latitud

geodésica y los parámetros geométricos de

la elipse. A continuación se derivan la

métrica de dichas coordenadas.

De la figura 2-7, se deduce que la línea AB,

es la tangente a la elipse meridiana en un

punto P(x, y), de la gráfica tenemos que el

ángulo que forma la tangente con el ecuador

es 90 + 𝜑 , así, se puede plantear la

siguiente ecuación.

𝑡𝑔(90 + 𝜑) =𝑑𝑦

𝑑𝑥 (2.3)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑐𝑜𝑡𝑔𝜑 (2.4)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1

𝑡𝑔𝜑 (2.5)

De la ecuación 1-13, conocida como la

ecuación de la elipse.

𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1

Derivando parcialmente, la ecuación de la

elipse respecto ay, tenemos:

2𝑥

𝑎2+

2𝑦

𝑏2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0,

2𝑦

𝑏2

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥

𝑎2,

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

2𝑥𝑏2

2𝑦𝑎2, (2.6)

Igualando las ecuaciones 2-5con 2-6, se

tiene:

−1

𝑡𝑔𝜑= −

𝑥𝑏2

𝑦𝑎2,

1

𝑡𝑔𝜑=

𝑥𝑏2

𝑦𝑎2,

𝑦 =𝑥𝑏2𝑡𝑔𝜑

𝑎2,

Sustituyendo el término 𝑏2 de la ecuación

1-6, tenemos:

𝑦 =𝑥𝑎2(1 − 𝑒2) 𝑡𝑔𝜑

𝑎2,

𝑦 = 𝑥(1 − 𝑒2) 𝑡𝑔𝜑 (2.7)

Tomando la ecuación de la elipse y

reemplazando la ecuación 2-7 en la

tenemos.

𝑥2

𝑎2 +𝑥2(1−𝑒2)

2𝑡𝑔2𝜑

𝑎2 = 1 (2.8)

Desarrollando la ecuación 2-7, a fin de

obtener una ecuación de X en función de 𝜑

, a y 𝑒2

𝑥2 + 𝑥2(1 − 𝑒2)2𝑡𝑔2𝜑 = 𝑎2,

Se factoriza x2,

𝑥2(1 + (1 − 𝑒2)2𝑡𝑔2𝜑) = 𝑎2,

𝑥2(1 + 𝑡𝑔2𝜑−𝑒2𝑡𝑔2𝜑) = 𝑎2,

1 + 𝑡𝑔2𝜑 = 𝑠𝑒𝑐2𝜑

𝑥2(𝑠𝑒𝑐2𝜑– 𝑒2𝑡𝑔2𝜑) = 𝑎2,






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𝑥2 (1

𝑐𝑜𝑠2𝜑− 𝑒2

𝑠𝑒𝑛2𝜑

𝑐𝑜𝑠2𝜑) = 𝑎2,

𝑥2

𝑐𝑜𝑠2𝜑( 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑) = 𝑎2,

𝑥2( 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑) = 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜑,

𝑥2 =𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜑

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,

𝑥 =𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑

√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 9

Reemplazando en la ecuación 2-6, la

ecuación 2-8, tenemos:

𝑦 =𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑

√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑(1 − 𝑒2) 𝑡𝑔𝜑,

𝑦 =𝑎(1−𝑒2) 𝑠𝑒𝑛𝜑

√1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 (2.10)

Así, las ecuaciones 2-8 y 2-9 permiten

obtener las coordenadas x, y sobre la elipse

meridiana teniendo en cuanta una latitud

geodésica dada y los parámetros

geométricos de la elipse.

EJERCICIOS 2-1:

1) Teniendo en cuenta los parámetros de la

elipse generadora del elipsoide GRS 80,

a=6378137 m

f= 1/298,2572221008827

e2= 0.00669438002290

Calcular las coordenadas x, y sobre

dicha elipse para los siguientes valores

de latitud:

𝜑 = 4𝑜35`46.3215``𝑁 ,

𝜑 = 0𝑜0`0``.0

𝜑 = 15𝑜0`0``.0 𝑁

𝜑 = 15𝑜0`0``.0 𝑆

𝜑 = 45𝑜0`0``.0 𝑁

𝜑 = 45𝑜0`0``.0 𝑆

𝜑 = 75𝑜0`0``.0 𝑁

𝜑 = 75𝑜0`0``.0 𝑆

𝜑 = 90𝑜0`0``.0 𝑁

𝜑 = 90𝑜0`0``.0 𝑆

Radios principales de la elipse meridiana.

Plano meridiano:

Plano primer vertical

Plano meridiano

Superficie

Elipse

Meridiano

Paralelo P

Normal al Elipsoide

Figura 3-1. Planos: meridiano y primer vertical






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En la figura 2-11, la recta QP, se denomina

la gran normal, es el mayor de los posibles

radios de curvatura de la elipse meridiana

en el punto en consideración, así mismo de

dicha figura se deduce que:

𝑠𝑒𝑛(90 − 𝜑) =𝑥

𝑄𝑃

𝑐𝑜𝑠(𝜑) =𝑥

𝑄𝑃

𝑄𝑃 = 𝛶, 𝑙𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝛶).

𝛾 =𝑥

𝑐𝑜𝑠(𝜑)𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 9

Tomando la ecuación 2-8 y para reemplazar

el término x en la ecuación 2-10, se tiene:

𝛶 =

𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑

√1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑

𝑐𝑜𝑠(𝜑)

𝛶(𝜑) =𝑎

(1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)1/2𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2

− 11

𝛶(𝜑) =𝑎

√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑

La ecuación 2-11, permite el cálculo del

radio mayor de la elipse meridiana en un

punto dado, en función de la latitud

geodésica y los parámetros geométricos de

la elipse meridiana.

Radio meridiano de la primera vertical.

El otro radio de gran importancia en

geodesia geométrica es el llamado radio

meridiano de la primera vertical, se denota

con la letra griega 𝜌.

Seguidamente se deriva la ecuación de

radio meridiano de la primera vertical.

De la figura 2-12 tenemos que:

Y

O X

𝝋

P

90𝑜 + 𝜑

A

B Q

x

y

(90 − 𝜑)

Figura 2-11Esquema de la Gran Normal

M

Y

O

X

𝒅𝝋

ds

Figura 2-12. Esquema de la radio de la

primera vertical

𝝆

𝛶(𝜑)






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𝑑𝑠 = 𝜌𝑑𝜑,

𝜌 = 𝑑𝑠

𝑑𝜑𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 12

Como ds se supone un arco infinitesimal, se

puede asimilar a una recta, por tanto,

𝑑𝑠 = √𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 13

De otra parte la tangente del ángulo 𝜑 se

expresa mediante:

𝑡𝑔(𝜑) = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 (2.14)

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑑𝑦/𝑑𝑥) (2.15)

Derivando la ecuación 2-15 respecto a x,

tenemos:

𝑑𝜑

𝑑𝑥=

𝑑2𝑦

(𝑑𝑥)2

1+(𝑑𝑦

𝑑𝑥)2 (2.16)

Tomando la ecuación 2-12 y multiplicando

y dividiendo por dx en el término derecho

de la ecuación, tenemos:

𝜌 = 𝑑𝑠

𝑑𝑥𝑑𝜑

𝑑𝑥

(2.17)

Tomado la ecuación 2.13 y dividiendo a

cada lado de la ecuación por dx, tenemos

𝑑𝑠

𝑑𝑥= √

𝑑𝑥2

𝑑𝑥2 +𝑑𝑦2

𝑑𝑥2 (2.18)

Simplificando al interior del radical se

tiene:

𝑑𝑠

𝑑𝑥= √1 +

𝑑𝑦2

𝑑𝑥2 (2.19)

Reemplazando en la ecuación 2-17, las

ecuaciones 2-16 y 2-19, tenemos:

𝜌 = √1+

𝑑𝑦2

𝑑𝑥2

𝑑2𝑦

(𝑑𝑥)2

1+(𝑑𝑦𝑑𝑥

)2

(2.20)

Haciendo producto de medios y extremos

tenemos

𝜌 = (1+

𝑑𝑦2

𝑑𝑥2)1/2

(1+(𝑑𝑦

𝑑𝑥)2)2/2

𝑑2𝑦

(𝑑𝑥)2

(2.21)

Agrupando el numerador,

𝜌 = (1+(

𝑑𝑦

𝑑𝑥)2)3/2

𝑑2𝑦

(𝑑𝑥)2

(2.22)

Tomando la ecuación 2.3, y derivando se

tiene

𝑑2𝑦

(𝑑𝑥)2= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝜑)

𝑑𝜑

𝑑𝑥 (2.23)

𝑑2𝑦

(𝑑𝑥)2=

1

𝑠𝑒𝑛 𝜑(𝑑𝜑

𝑑𝑥) (2.24)

Luego se debe hallar el valor de (𝑑𝜑

𝑑𝑥), para

ello tomamos la ecuación 2-9 y derivamos

𝑑𝑥

𝑑𝜑=

(−𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)12)−(𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑(

1

2(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)

−12)(−2𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑))

1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑

(2.25)

Eliminado el 2, y agrupando 𝑐𝑜𝑠𝜑 ,

enviando el radical negativo al

denominador, tenemos

𝑑𝑥

𝑑𝜑=

(−𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)12)−

(𝑎𝑐𝑜𝑠2𝜑(−𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑))

(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)

12

1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑

(2.26)

Sacando común divisor y factorizando

(𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑), tenemos:






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𝑑𝑥

𝑑𝜑

=

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 [−(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)−(𝑐𝑜𝑠2𝜑(−𝑒2))

(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)12

]

1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 27

Agrupando el numerador y haciendo

producto de medios y producto de extremos

tenemos.

𝑑𝑥

𝑑𝜑=

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(−1+𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑+𝑒2𝑐𝑜𝑠2𝜑)

(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32

(2.28)

Factorizando 𝑒2, y sabiendo que 𝑠𝑒𝑛2𝜑 +𝑐𝑜𝑠2𝜑 = 1, y sacando el signo menos del

paréntesis, tenemos:

𝑑𝑥

𝑑𝜑= −

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1−𝑒2)

(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32

(2.29)

Transponiendo términos tenemos,

𝑑𝜑

𝑑𝑥= −

(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1−𝑒2) (2.30)

Reemplazando esta ecuación en la ecuación

2-24, se tiene:

𝑑2𝑦

(𝑑𝑥)2= −

1

𝑠𝑒𝑛2𝜑

(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1−𝑒2) (2.31)

Reemplazando en el denominador de la

ecuación 2-22, se tiene:

𝜌 = (1+𝑐𝑜𝑡𝑔2)

3/2

1

𝑠𝑒𝑛2𝜑

(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)

32

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1−𝑒2)

(2.32)

Reemplazando (1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2)3/2 por su

equivalente (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑)3/2 y efectuando

producto de medios y extremos, tenemos

𝜌 = (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑)

3/2𝑎(1−𝑒2)𝑠𝑒𝑛3𝜑

(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32

(2.33)

Como 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑 = 1/𝑠𝑒𝑛2𝜑

𝜌 =

1

𝑠𝑒𝑛3𝜑𝑎(1−𝑒2)𝑠𝑒𝑛3𝜑

(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32

(2.34)

Simplificando en el numerador se tiene

finalmente la ecuación del Radio de

curvatura de la sección normal meridiana

𝜌(𝜑) =𝑎(1 −𝑒2)

(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)3/2 (2.35)

El radio de curvatura de la sección normal

meridiana puede definirse también como el

radio de curvatura que presenta el elipsoide

en un punto de latitud 𝜑en la dirección de

acimut 0o ó 180o.

RADIOS MEDIOS DE CURVATURA

Radio de curvatura de una sección normal

cualquiera.

Euler demostró que si las líneas

coordenadas son perpendiculares entre sí,

en un punto dado y coincidentes, con las

direcciones principales, el radio de

curvatura de una sección normal cualquiera

se puede escribir en función de los radios de

curvatura de las secciones normales

principales mediante la fórmula de Euler.

1

𝑅∝=

𝑐𝑜𝑠2(∝)

𝜌+

𝑠𝑒𝑛2(∝)

𝛶 (2 − 36)

Siendo ∝el acimut de la sección normal

considerada. Otra forma de expresarlo es

𝑅∝ =𝜌𝛶

𝜌 𝑠𝑒𝑛2(𝛼) 𝛶 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) ( 2 − 37)






Página13 de 33

Radio medio.

Se denomina curvatura media de una

superficie en un determinado punto a la

semisuma de las curvaturas de las secciones

normales principales.

1

𝑅𝑚=

1

2(

1

𝜌(𝜑)+

1

𝛶(𝜑)) (2.38)

El correspondiente radio medio vale por

tanto

𝑅𝑚 =2𝜌(𝜑)𝛶(𝜑)

𝜌(𝜑)+𝛶(𝜑) (2.39)

𝑅𝑚 =2𝜌(𝜑)𝛶(𝜑)

𝜌(𝜑)+𝛶(𝜑) (2.40)

Radio medio de Gauss.

Se define el radio medio de Gauss como la

media aritmética de los radios de curvatura

de las infinitas secciones normales de un

punto. Es decir:

𝑅0 =4

2𝜋∫

𝜌𝛶

𝜌 𝑠𝑒𝑛2(𝛼) 𝛶 𝑐𝑜𝑠2(𝛼)𝑑𝛼

𝜋

20

(2.41)

𝑅0 = √𝜌𝛶 (2.42)

𝑅0 =𝑎√1−𝑒2

1−𝑒2(sin �̅�)2 (2.42)

La esfera de radio RG es una esfera tangente

al elipsoide en el punto considerado y se

emplea en ocasiones como aproximación al

elipsoide.

EJERCICIOS 2-2:

Teniendo en cuenta los parámetros de la


a = 6378137 m

f = 1/298,2572221008827

e2 = 0.00672267002233

e´2 = 0.00673949677548

b= 6356752.31414 m

2-2-1). Calcular las coordenadas x, y, y los

radios: ρ y γ, sobre dicha elipse para los

siguientes valores de latitud:

𝜑 = 4𝑜35`46.3215``𝑁 ,

𝜑 = 45𝑜0`0``.0 𝑁

𝜑 = 90𝑜0`0``.0 𝑁

2-2-2). Calcular los valores de𝜌 y 𝛾 sobre

la elipse generadora del elipsoide GRS80,

para los valores de latitud de cero a noventa

grados, cada diez grados, realizar la gráfica

comparativa y realizar el análisis

cuantitativo y cualitativo de los dos radios

principales.

2-2-3). Calcular los valores de 𝑅∝𝑅𝑚 y 𝑅𝐺

sobre la elipse generadora del elipsoide

GRS80, para los valores de latitud de cero a

noventa grados, cada diez grados, con valor

de azimut de 45º. Realizar la gráfica

comparativa y realizar el análisis

cuantitativo y cualitativo de los dos radios

medios.

CAPÍTULO 3

Coordenadas Cartesianas Geocéntricas

elipsoidales (X, Y, Z)






Página14 de 33

Las coordenadas cartesianas geocéntricas

elipsoidales (x, y, z), para un punto

cualquiera sobre la superficie terrestre

vienen dadas por la siguiente métrica,

donde los parámetros son de la figura 2-13,

es posible derivar dicha métrica:

𝜑 = 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑑𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜

𝜆 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑑𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜

h= altura del punto desde la superficie del

elipsoide.

x= Coordenada X geocéntrica del punto P

y= Coordenada Y geocéntrica del punto P

z= Coordenada Z geocéntrica del punto P

Para un punto sobre el elipsoide.

[ 𝑥𝑦𝑧

]

=

[

𝛾𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜆𝛾𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜆

(𝛾(1 − 𝑒2))𝑠𝑒𝑛𝜑]

(3.1)

Para un punto a una altura dada (h), sobre el

elipsoide

[ 𝑥𝑦𝑧

]

=

[ (𝛾 + ℎ)𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜆

(𝛾 + ℎ)𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜆

(𝛾(1 − 𝑒2) + ℎ)𝑠𝑒𝑛𝜑]

(3.2)

Así, mismo se derivan

𝜑 = 𝑡𝑔−1 [𝑍+(𝑒′)2𝑏 𝑠𝑒𝑛3𝜗

√𝑋2+𝑌2−𝑒2𝑎 𝑐𝑜𝑠3𝜗] (3.3)

𝜗 = 𝑡𝑔−1 [𝑍𝑎

√𝑋2+𝑌2∗𝑏] (3.4)

𝜆 = 𝑡𝑔−1 [𝑌

𝑋] (3.5)

ℎ =√𝑋2+𝑌2

𝑐𝑜𝑠𝜑− 𝛾 (3.6)

EJERCICIOS 3_1:



a =6378.137 km

f = 1/298,2572221008827

e2 = 0.00669438002290

e´2 = 0.00673949677548

b =6356.75231414 km

Resolver los siguientes ejercicios:

3.1.1). Calcular las coordenadas X, Y, Z

para el punto sobre la superficie elipsoidal

que tiene coordenadas elipsoidales:

𝜑 = 4𝑜35`46.3215``𝑁 ,

𝜆 = 74𝑜04`39.0285``𝑊

h= 2620 m

O

Figura 2-13. Coordenadas rectangulares X, Y, Z

geocéntricas

Y

Z

X Y

X

Z

γ

P(X,Y,Z)

h

𝜆 𝜑






Página15 de 33

3.1.2). Calcular las coordenadas φ, λ, h para

el punto sobre la superficie elipsoidal que

tiene coordenadas cartesianas geocéntricas:

X = 1744890.24 m

Y = -6116370.86 m

Z = 507899.216 m.

3.1.3). Suponiendo la tierra un modelo

elipsoidal, con parámetros de GRS80, y un

satélite artificial con órbita polar. Calcular:

a) La altitud del satélite sobre el polo norte,

para un observador ubicado en un punto

de latitud φ=37o N

b) La altitud del satélite sobre el polo sur,

para un observador ubicado en un punto

de latitud φ=37o S

CAPITULO4.

Reducción al elipsoide

Las mediciones clásicas están referidas al

sistema astronómico local materializado

por el instrumento.

Se denomina reducción al conjunto de

operaciones necesarias para referir las

mediciones a la superficie de referencia

escogida, generalmente un elipsoide de

revolución.

Reducción de distancias

Reducción al plano del horizonte local

La distancia reducida al plano tangente al

horizonte local viene dada por la ecuación

4-1.

𝐷𝑟 = 𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽) (4.1)

En terminología topográfica esta distancia

se suele llamar simplemente distancia

reducida. En la figura 3-1 es evidente que la

distancia reducida al plano tangente al

horizonte local del punto de estación no

tiene por qué coincidir con la distancia

reducida al horizonte del punto visado.

En los levantamientos topográficos se

suelen considerar las verticales paralelas.

En ese supuesto, la distancia reducida entre

dos puntos es independiente de la altitud

considerada y basta con emplear la

expresión 4-1. En realidad las verticales

convergen y por tanto, la distancia reducida

entre dos puntos depende de la altitud

considerada. Para evitar ambigüedades y

variaciones de escala, es necesario reducir

todas las distancias a una altitud común.

Lo lógico es reducir al elipsoide, ya que es

la superficie de referencia. En determinadas

aplicaciones no geodésicas puede interesar,

Dr

Shl

Sg

Se

Horizonte

local

Geoide

Elipsoide

R

h

H

N

D ∆ℎ

∆𝑧 𝛽

𝛾

Figura 4-1. Reducción de distancias mediante

pasos sucesivos






Página16 de 33

por el contrario, reducir al horizonte medio

local.

Reducción al horizonte local

El plano tangente al horizonte local es una

aproximación del horizonte local. De la

figura 3-1, se deduce:

𝑆ℎ𝑙 = (𝑅0 + ℎ)𝛾𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3 − 2

Siendo:

𝑡𝑔(𝛾) =𝐷𝑟

(𝑅0 + ℎ) + ∆𝑍

𝑡𝑔(𝛾) =𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑖)

(𝑅0 + ℎ𝑖) + 𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑖)

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3 − 3

y sustituyendo, tenemos:

𝑆ℎ𝑙

= (𝑅0 + ℎ𝑖)𝑡𝑔−1 [

𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑖)

(𝑅0 + ℎ𝑖) + 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑖)]

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3 − 4

Teniendo en cuenta que las visuales suelen

ser prácticamente horizontales, el suponer

que ℎ ≅ 0 conduce a errores relativos

menores de 1 ppm. Si además se considera

un radio terrestre constante para la zona de

trabajo, se llega a la expresión que suelen

aplicar las estaciones totales.

𝑆ℎ𝑙 = 𝑅0𝑡𝑔−1 [

𝐷∗𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑖)

𝑅0+𝐷∗𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑖)] (3-5)

Shl: distancia reducida al horizonte local

R0=radio medio de gauss en km

D: distancia geométrica medida

𝛽𝑖: ángulo cenital medido

Reducción al geoide

Como las verticales convergen, la distancia

horizontal depende de la altitud

considerada.

Si se dispone únicamente de altitudes

ortométricas, la altitud H = 0 corresponde

al geoide, por lo que solamente se podrán

reducir las distancias al nivel del mar.

Como puede apreciarse en la figura 4_1, la

distancia reducida al horizonte local y la

distancia reducida al geoide pertenecen a

figuras semejantes, por lo que se establece

la relación

𝑆𝑔

𝑆ℎ𝑙=

𝑅0

𝑅0+𝐻𝑖 (3-6)

Esta ecuación conduce fácilmente a:

𝑆𝑔 =𝑅0

𝑅0+𝐻𝑖𝑆ℎ𝑙 (3-7)

Que pone de manifiesto que ambas

distancias están relacionadas por el factor

de escala

𝑅0

𝑅0+𝐻𝑖 (3-8)

En pequeños trabajos de ámbito topográfico

puede adoptarse un valor constante de 3-8

para toda la zona de actuación,

considerando una altitud promedio.

Reducción al elipsoide.

En la actualidad es factible el acceso a

modelos de ondulación de geoide y

mediante la ecuación 3-9, es posible

manejar tanto altitudes ortométricas como

elipsoídicas.

ℎ𝑖 = 𝐻𝑖 + 𝑁𝑖 (3-9)

Conocida la altitud elipsoidal del punto de

estación, la distancia reducida al elipsoide

se obtiene a partir de la distancia reducida

al horizonte local mediante la ecuación 3-

10.

𝑆𝑒 =𝑅0

𝑅0+ℎ𝑖𝑆ℎ𝑙 (3-10)

También se puede obtener a partir de la

distancia reducida al geoide mediante la

ecuación 3-11






Página17 de 33

𝑆𝑒 =𝑅0

𝑅0+𝑁𝑖

∗ 𝑆𝑔 (3-11)

En este caso ambas distancias están

relacionadas por el factor de escala, como

se muestra en la ecuación 3-12.

𝑅0

𝑅0+𝑁𝑖

(3-12)

En Colombia el valor promedio de la

ondulación del geoide respecto al elipsoide

de Hayford es de unos - 20 m. En tal caso,

el hecho de no considerar la ondulación del

geoide supone, unas 3 ppm.

Como el error relativo de un distanciómetro

de infrarrojos (5mm + 3 ppm) es de unas 8

ppm para distancias ≈ 1000 m, en

mediciones de ámbito topográfico se puede

trabajar indistintamente con distancias

reducidas al geoide o al elipsoide, es decir

Del ≈ Dge (3.13)

No ocurre igual si se utiliza, por ejemplo,

un distanciómetro laser (3mm + 1 ppm)

para medir 10 km. En este caso, el error

relativo es de 1.3 ppm, unas tres veces

inferior a la corrección que establece el

factor de escala de la ecuación 3.8.

Reducción de ángulos horizontales.

Las correcciones que han de efectuarse a un

acimut observado son las siguientes:

1) Por desviación de la vertical.

2) Por la altitud del punto de estación.

3) Por la altitud del punto visado.

4) Por el paso de la sección normal a la

línea geodésica.

Corrección por desviación de la vertical

Los acimutes astronómicos observados

sobre la superficie terrestre están referidos

a la vertical astronómica, que depende del

campo gravitatorio.

Para efectuar cálculos sobre el elipsoide, el

acimut debe estar referido a la vertical

geodésica. La corrección debida al efecto

del campo gravitatorio sobre un acimut

observado viene dado por la ecuación

completa de Laplace.

𝐶1 + 𝐶2 = −𝜂𝑖𝑡𝑔𝜑𝑖 − (𝜉𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼𝑖𝑗 −

𝜂𝐼𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖𝑗)𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽𝑖𝑗 (3.14)

Siendo

𝜉𝑖=Desviación de la vertical en la

dirección del meridiano

𝜂𝐼=Desviación de la vertical en la

dirección del primer vertical

𝜑𝑖=Latitud geodésica del punto i.

𝛼𝑖𝑗=Acimut geodésico entre los puntos i y

j

S

R

D

h2

𝛾

Figura 4-2. Reducción de la distancia

geométrica a la cuerda del elipsoide

h1

C

R

P2

P1






Página18 de 33

𝛽𝑖𝑗=Ángulo cenital entre los puntos i y j

Si el ángulo cenital está próximo a 90º esta

reducción es prácticamente despreciable,

pero en observaciones con mucha

pendiente, ésta, es la responsable de que los

cierres en los grandes triángulos geodésicos

alcancen valores de hasta 10” y 15’’.

Por altura del punto de estación

La reducción anterior correge la desviación

de la vertical en el geoide. La línea de la

plomada es perpendicular a todas las

superficies equipotenciales que atraviesa.

Al no ser éstas paralelas, la altitud del punto

de observación sobre el geoide se traducirá

en un diferencial de desviación de la

vertical.

Esta corrección es mucho menor que la

anterior y se suele despreciar.

Figura 4.3: Reducción por altura del punto visado.

Corrección por altura del punto visado

Suponiendo corregida la desviación relativa

de la vertical, el plano formado normal que

contiene al punto visado no coincide con el

plano normal que contiene a la proyección

del punto visado. Esto es debido a que las

normales de P1 y P2 no se cortan, excepto

cuando estén en el mismo meridiano o en el

mismo paralelo.

Las secciones normales correspondientes al

punto visado y a la proyección del punto

visado formarán un ángulo que debe ser

corregido. Ésta corrección, proporcional a

la altura del punto visado y a la torsión

geodésica, viene dada por

𝐶3 =ℎ𝑗

2𝜌𝑚𝑒2𝑐𝑜𝑠2𝜑𝑚𝑠𝑒𝑛2𝛼𝑖𝑗

(3.15)

𝜑𝑚 =1

2(𝜑𝑖 + 𝜑𝑗) (3.16)

𝜌𝑚 =1

2(𝜌𝑖 + 𝜌𝑗) (3.17)

Paso de la sección normal a la línea

geodésica

Un acimut corregido por desviación de la

vertical y por altura del punto visado está

referido a la sección normal directa. Es

necesario efectuar una nueva corrección

para referirlo a la línea geodésica.

Se demuestra que la línea geodésica triseca

al ángulo formado por las secciones

normales recíprocas. La corrección para

pasar del acimut de la sección normal al

acimut de la línea geodésica viene dada por:

𝐶4 =𝑒2𝑠2

12𝜈𝑚2 𝑐𝑜𝑠2𝜑𝑚𝑠𝑒𝑛2𝛼𝑖𝑗

(3.18)

𝜈𝑚 =1

2(𝜈𝑖 + 𝜈𝑗) (3.19)

Ésta corrección comienza a suponer alguna

décima a partir de 200 km.






Página19 de 33

Figura 4.4: Paso de la sección normal a la

línea geodésica.

Obtención de acimutes y ángulos

reducidos

Una vez determinadas las correcciones

anteriores, el acimut reducido se obtiene

empleando

𝛼𝑖𝑗(𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑜) = 𝛼𝑖𝑗(𝑜𝑏𝑠𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜) + 𝐶1 + 𝐶2 +

𝐶3 + 𝐶4 (3.20)

Como un ángulo es la diferencia de dos

acimutes, aplicando las reducciones a cada

uno de los acimutes que conforman el

ángulo se obtiene la expresión para reducir

un ángulo. La corrección C1 se anularía,

obteniéndose la expresión.

ωcorreg = ωobs + ΔC2 + ΔC3 + ΔC4 (3.21)

Reducción de ángulos verticales

Como muestra la figura xx1, los ángulos

cenitales medidos en campo están referidos

al eje principal del instrumento, que intenta

materializar la vertical verdadera definida

por el campo gravitatorio. En los cálculos

geodésicos, por el contrario, se emplea la

normal al elipsoide. La relación entre

ambas verticales depende de la desviación

de la vertical en el punto considerado, de

forma que

ζ𝑖𝑗 = 𝛽𝑖𝑗 + 𝜖𝑖𝑗 (3.22)

Donde:

ζij ángulo cenital corregido de desviación

βij ángulo cenital de la cuerda

𝝐𝒊𝒋 Corrección angular debida a la

desviación de la vertical

La corrección angular debida a la

desviación de la vertical se obtiene

mediante la ecuación 3.25.

𝜉 = Φ − 𝜑 (3.23)

𝜂 = (Λ − 𝜆)𝑐𝑜𝑠𝜑 (3.24)

𝜀 = 𝜉𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖𝑗 + 𝜂𝑠𝑖𝑛𝛼𝑖𝑗 (3.25)

Figura 4.5 Ángulo cenital, ángulo de

refracción y desviación de la vertical.

EJERCICIOS 3_1:


elipse generadora del elipsoide GRS80,

a =6378137 m

f = 1/298,2572221008827

e2 = 0.00669438002290

e´2 = 0.00673949677548






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b =6356.75231414 km

Resolver los siguientes ejercicios:

Entre dos puntos P1, P2, de altitudes

aproximadas h1=557 m, h2=945 m, se ha

medido la distancia geométrica de 6545.53

m. Obtener la distancia reducida al

elipsoide para el cálculo de coordenadas. (φ

= 04°35'46,32150", latitud media de la

zona y 𝛼 = 45𝑜).

Dados:

Calcular el azimut reducido al elipsoide

𝛼𝑖𝑗(𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑜) = 𝛼𝑖𝑗(𝑜𝑏𝑠𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜) + 𝐶1 + 𝐶2

+ 𝐶3 + 𝐶4

φi = 4o 10′ 25′′. 854 N

φj = 4o 05′ 56′′. 288 N

λi = 74o 15′ 25′′. 741 W

λj = 74o 08′ 30′′. 375 W

𝜂𝑖 = 20′′

𝜉𝑖 = 20′′

𝛼𝑖𝑗 = 122𝑜 52′32′′. 654

𝛽𝑖𝑗 = 85𝑜 39′ 54′′. 822 (Observado)

Sij =15254.22 m

hi= 2600 m

hj= 2635.65 m

Exceso Esférico

La topografía opera sobre porciones

pequeñas de terreno, no teniendo en cuenta

la verdadera forma de La Tierra, sino

considerando la superficie terrestre como

un plano [4].

El error cometido con esta hipótesis es

despreciable, cuando se trata de extensiones

que no sean excesivamente grandes, si se

considera un arco en la superficie terrestre

de 18 km de longitud es tan sólo 1,5 cm

más largo que la cuerda subtendida, y que

sólo se comete un error de 1” de exceso [4].

Se llama exceso esférico de un triángulo al

valor en que la suma de sus tres ángulos

excede de dos ángulos rectos [4].

Si en el triángulo APB, de la figura 4-10,

limitado por tres círculos máximos, el arco

AB coincide con el plano de la figura. Cada

vértice del triángulo, produce sobre la

esfera un huso de superficie conocida. En

efecto conociderando como 1 al área de la

esfera A° el valor en grados del huso, se

puede escribir

O

P

Figura 5-1. Exceso Esférico

P’

H1

H3

H2 H4

A

B

360º→1

𝐴°→x






Página21 de 33

𝑥 =𝐴°

360° (5-1)

Por otra parte, sumando las áreas de los tres

husos de ángulos, A,P,B resulta contando

dos veces el triángulo, cuya superficie se

denomina Hi, es decir

𝐴

360°+

𝑃

360°+

𝐵

360°=

1

2+ 2𝐻 (5-2)

El sumando ½, corresponde a media esfera.

Por otra parte, escribiendo el área del

triángulo como parte del área de la esfera,

cuyo valor es

4𝜋𝑅2 (5-3)

𝐴+𝑃+𝐵

360°=

1

2+ 2

𝐻

4𝜋𝑅2 (5-4)

Pasando el 360º a multiplicar, se tiene:

𝐴 + 𝑃 + 𝐵

360°=

1

2+ 2

𝐻

4𝜋𝑅2

(𝐴 + 𝑃 + 𝐵) = (360°) (1

2+

𝐻

2𝜋𝑅2)

Factorizando el 2, del denominador y

dividiendo 360º en 2, se tiene,

(𝐴 + 𝑃 + 𝐵) = (180°) (1 +𝐻

𝜋𝑅2) ,

realizando la multiplicación,

(𝐴 + 𝑃 + 𝐵) = 180° +𝐻180°

𝜋𝑅2 ,

simplificando, 180º con π, y transponiendo

términos se tiene,

𝐻

𝑅2= (𝐴 + 𝑃 + 𝐵) − 180° = 𝜀(5-5)

Teniendo, H= área del triángulo=A, y

transformando el radio R a radianes se

tiene,

𝜀ˮ =𝐴

𝑅2 𝑆𝑒𝑛𝑜 1ˮ (5-6)

se toma 𝑅 = √𝜈𝜌

Tomando el área de un triángulo, como

𝐴° =1

2𝑏𝑐𝑠𝑒𝑛𝑜(𝐴) (5-7)

Ejercicio:

Se desea calcular el error de cierre de un

triángulo elipsóidico ABC cuyos datos se

muestran en la tabla 5-1.

Teniendo también las coordenadas

geodésicas de los puntos A, B, C las cuales

se muestran en la tabla 5-2.

Tabla 5-2. Coordenadas geodésicas de los

vértices A,B,C

Estación Longitud Latitud

A 1º 47´14.84´´ W 41º 37´43.09´´ N

B 1º 19´45.88´´ W 41º 33´26.98´´ N

C 1º 30´48.00´´ W 41º 43´33.00´´ N

Valor medio 41º 38´14,35668´´

Tabla 5-1. Coordenadas geodésicas de

los vértices A,B,C

Esta

ción

Ang

ulo

Lectu

ra a:

Valor del Angulo

o ´ ´´

A α C 0 0 3.8

B 36 55 38.4

B β A 0 0 2.8

C 38 53 39.2

C θ B 359 59 58.8

C 104 10 51.0






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La longitud del arco AB, reducido al

elipsoide es de AB=39001 m.

Tomando los datos de la tabla 4-1, se

deducen los valores de los ángulos α, β, θ,

que se muestran en la tabla 5-3.

Error de cierre de un triángulo geodésico,

viene dado por la siguiente expresión:

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = α + β + θ − 180° − 𝜀ˮ (5-8)

Como la sumatoria de los ángulos del

triángulo ABC es 180º 0´4´´, entonces la

ecuación 4-8, queda:

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 4´´ − 𝜀ˮ (5-9)

Se debe entonces calcular el exceso esférico

del triángulo.

Calculo del exceso esférico.

Se toma la ecuación 5-6 y reemplazando en

esta la ecuación 5-7, queda:

𝜀ˮ =1

2𝑏𝑐𝑠𝑒𝑛𝑜(𝐴)

𝑅2 𝑆𝑒𝑛𝑜 1ˮ (5-10)

Teniendo en cuenta esta ecuación basta con

hallar los arcos b y c del triángulo para

hallar el valor del exceso esférico, dado que

A= α=36º 55´ 34.6´´ y R, se toma como se

dijo anteriormente como 𝑅 = √𝜈𝜌, para el

cálculos de los radios de curvatura (ρ) y

normal (ν), se toma una latitud media, que

resulta de la media de los valores de la

latitud de los tres vértices: latitud media=

41º 38´ 14,35668´´, y los parámetros del

elipsoide GRS80.

En la tabla 5-4, se presentan los cálculos de

los radios y del área del triángulo.

Tabla 5-4, valores de los radios y del área del triángulo

Arco c Arco b ρ (m) ν (m) Ro (m)

39001,0 25223,89 6346823,2 6387622,27 6367190,08

Reemplazando estos valores en la ecuación

5-10, se tiene:

𝜀ˮ =

1

2 (39001,0 ∗ 25223,89) ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑜(36º 55´ 34.6´´)

(6367190,08)2 𝑆𝑒𝑛𝑜 1ˮ

𝜀ˮ = 1.5´´

y el error de cierre del triángulo es:

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 4´´ − 1.5ˮ = 2.5´´

Tabla 5-3. Valores de los ángulos

definitivos, y suma total de los ángulos

del triangulo

Angulo Valor del Ángulo

o ´ ´´

α 36 55 34.6

β 38 53 37.2

θ 104 10 52.2

TOTAL 180 0 4,00






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CAPITULO 5.

CURVAS SOBRE EL ELIPSOIDE DE

REVOLUCIÓN

Plano Normal:

Se denominan plano normal de un punto a

aquel que contiene a la normal al elipsoide

en dicho punto.

De los infinitos planos normales de un

punto del elipsoide existen dos de especial

relevancia. Uno es el que contiene el

semieje menor del elipsoide, denominado

plano meridiano y el otro, perpendicular a

plano meridiano denominado primer

vertical.

Plano normal Meridiano:

El que contiene al eje menor del elipsoide

se denomina plano meridiano.

Plano normal perpendicular:

Es aquel plano que es perpendicular al

plano meridiano, se denomina también

primer vertical y contiene la gran normal.

Sección Normal

Es aquella curva plana formada al

interceptar un plano normal cualquiera con

la superficie del elipsoide. En general se

denominan secciones normales las curvas

que resultan de la intersección de los planos

normales con el elipsoide,

Cada sección normal tendrá un radio de

curvatura diferente. El radio de curvatura

mínimo y máximo lo producen las

secciones normales principales, que son las

definidas por el plano meridiano y por el

primer vertical respectivamente. A dichas

secciones se las denomina secciones

normales principales, ver figura5-1.

La sección normal meridiana en un punto es

la intersección de su plano meridiano con el

elipsoide y su radio de curvatura (𝜌) es el

mínimo de todas las posibles secciones

normales.

La sección normal del primer vertical en un

punto es la intersección de su primer

vertical con el elipsoide y su radio de

curvatura (𝛾) es el máximo de todas las

posibles secciones normales

Secciones Normales Mutuas

Tomando sobre la superficie del elipsoide

de revolución los puntos i y j como se

muestra en la figura 5-2, con latitudes 𝜑𝑖 y

𝜑𝑗 respectivamente, con 𝜑𝑗 mayor que 𝜑𝑖.

Plano primer vertical

Plano meridiano

Superficie

Elipse

Meridiano

Paralelo P

Normal al Elipsoide

Figura 5-1. Planos: meridiano y primer vertical

P

Qi

Qj

O

Figura 5-2. Secciones normales mutuas

E W

ij

i

j

ji

P´

Qi

i´

Qj

𝜑𝑖






Página24 de 33

Trazando las normales a la superficie del

elipsoide en los puntos i y j, estas normales

están contenidas en los planos de las elipses

meridianas que pasan atreves de los puntos

i y j, y se interceptan con el eje menor PP´

de la elipse, en los puntos Qi y Qj,

respectivamente. Las normales de los

puntos i y j se interceptan en distintos

puntos con el eje PP´, como se muestra a

continuación, de la figura 5-2 se tiene:

𝑖𝑄𝑖 = 𝛶(𝜑𝑖) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 − 1

𝑖𝑄𝑖 = 𝑎

(1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖)1/2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5

− 2

Y

𝑦𝑖 =𝑎(1 − 𝑒2) 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖

√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖

, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5

− 3

𝑦𝑖 = 𝑖´ 0 ;

𝑖´ 0 =𝑎(1 − 𝑒2) 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖


, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5

− 4

De la figura 5-2, se tiene:

𝑖´𝑄𝑖=𝑖 𝑄𝑖 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 − 5

𝑖´𝑄𝑖=

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖


, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5

− 6

De otra parte la distancia entre el origen del

elipsoide y el punto Qi, se puede expresar

como: 𝑂𝑄𝑖 = 𝑖´𝑄𝑖 − 𝑖´ 𝑂 ,

𝑂𝑄𝑖 =𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖


−𝑎(1 − 𝑒2) 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖


𝑂𝑄𝑖 =𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖(1 − 𝑒2)


𝑂𝑄𝑖 =𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖 + 𝑎 𝑒2 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖


𝑂𝑄𝑖 =𝑎 𝑒2 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖


, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 − 7

De manera análoga se tiene para la distancia

OQi, que:

𝑂𝑄𝑗 =𝑎 𝑒2 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗

√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑗

, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 − 8

Por definición se tiene 𝜑𝑗>𝜑𝑖, por tanto:

OQj > OQi, es decir, la normal a la

superficie del elipsoide, trazada en el punto

i el cual posee menor latitud que el punto j,

corta el eje menor del elipsoide más cerca

al centro del elipsoide que la normal al

punto j.

De esta forma las normales a la superficie

del elipsoide en los puntos i y j, son dos

rectas que se cruzan en el espacio, pero que

no se cortan (se cortaran únicamente si

pertenecen a la misma elipse meridiana o en

el mismo paralelo).

P

Qi

Qj

O

Figura 5-3. Sección normal de i a j

E W

ij

i

j

ji

P´






Página25 de 33

Si se traza un plano a través de los puntos i-

Qi y j, es evidente que este plano contiene

la línea i Qi, este plano es normal en el

punto i, como se muestra en la figura 5-3.

El plano i-Qi-j, engendra la curva ij la cual

se llama sección normal directa desde el

punto i al punto j. De manera similar si se

traza un plano a través de los puntos j-Qj e

i, es evidente que este plano contiene la

línea j Qj, este plano es normal en el punto

j, como se muestra en la figura 5-4. El plano

j-Qj-i, engendra la curva ji la cual se llama

sección normal directa desde el punto j al

punto i.

Por lo tanto, entre los dos puntos i y j,

situados sobre la superficie del elipsoide

pasan dos secciones normales, así, las

curvas ij y ji se denominan secciones

normales reciprocas inversas.

De la misma forma si se tiene un punto

tercer punto “k” se puede realizar el mismo

análisis, se tiene entonces las secciones

normales ik, ki, jk y kj; como se observa en

la grafica 5-5, está representa un triangulo

esférico sobre la superficie del elipsoide, se

puede deducir de esta la manera como se

observaran los ángulos esféricos en los

diferentes vértices.

Los ángulos desde luego son medidos desde

un punto sobre las secciones normales que

se generan desde cada uno de los puntos al

dar visual a los otros dos puntos como se

observa en la figura 5-5. “No es difícil

observar que los ángulos horizontales

medidos en los tres puntos, no formen sobre

la superficie del elipsoide, un triangulo

cerrado”[4], es decir el triangulo será una

figura abierta, y generará una

indeterminación en la formación de los

triángulos geodésicos sobre el elipsoide. Lo

anterior se soluciona si los puntos i, j y k se

unan con Líneas Geodésicas.

LÍNEA GEODÉSICA….

PROBLEMAS GEODESICOS

PROBLEMA GEODÉSICO DIRECTO

P

Qi

Qj

O

Figura 5-4. Sección normal de j a i

E W

ij

i

j

ji

P´

𝜽

𝜷

𝜶 i

j

k

ij

ji

ik

ki

kj jk

Figura 5-5. Triangulo sobre la elipse,

formado por secciones normales






Página26 de 33

Consiste en que conocidas las

coordenadas geodésicas (Elipsoidales)

de un punto 𝑃1(𝜑1, 𝜆1) , la distancia

geodésica entre el punto 1 y el punto 2,

también se debe conocer el azimut

geodésico la línea geodésica desde el

punto 1. Se deben hallar las

coordenadas geodésicas de

𝑃2(𝜑2, 𝜆2) , y el azimut de la línea

medido desde el punto 2

(contra_azimut).

Solución: Existen múltiples algoritmos

para la solución del problema

geodésico directo. Uno de las más

eficientes es el Método de Legendre

(método de expansión en series).

𝜑2

= 𝜑1

+ ∫𝑐𝑜𝑠𝛼1_2

𝑀

𝑠

0

𝑑𝑠 ……… . . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 1

2

= 1

+ ∫𝑠𝑒𝑛𝑜𝛼1_2

𝑐𝑜𝑠𝜑1

𝑠

0

𝑑𝑠 ……… . . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 2

2_1

= 1_2 ± 𝜋

+ ∫1

𝜈

𝑠

0

𝑡𝑎𝑛𝜑 𝑠𝑒𝑛𝑜1_2 𝑑𝑠 ……… . . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 3

Se realiza un expansión en serie

de las ecuaciones anteriores, se

toma 𝜑0 y 0 como la latitud del

punto inicial, en este caso el

punto 1, y el azimut geodésico

de la línea medido desde el

punto 1.

X

Z

Y

Polo

E. T. 𝜆1

𝜆2

1

2

P

1

P

2 1_2 2_1 S

Figura 1. Esquema gráfico de los

problemas geodésicos






Página27 de 33

𝜑2

= 𝜑1 + 𝑆𝑐𝑜𝑠𝛼1_2

𝜌1

−𝑆2

2(3

2𝑒2

𝜈12

𝑎2𝜌12 𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠2𝛼12

+𝑡𝑎𝑛𝜑1

𝜌1𝜈1𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼12

)

+𝑆3

6(3𝑒4𝜈1

4

𝑎4𝜌13 𝑠𝑒𝑛2(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠3𝛼12

−3𝑒2𝜈1

2

𝑎2𝜌13 𝑐𝑜𝑠(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠3𝛼12

−𝑠𝑒𝑛2𝛼12

𝑐𝑜𝑠𝛼12

𝜌12𝜈1 𝑐𝑜𝑠2𝜑1

+5𝑒2𝜈1

𝑎2𝜌12 𝑠𝑒𝑛(2𝜑1) 𝑡𝑎𝑛𝜑1 𝑠𝑒𝑛

2𝛼12 𝑐𝑜𝑠𝛼12

− 2𝑡𝑎𝑛2𝜑1

𝜌1𝜈12 𝑐𝑜𝑠𝛼12

𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼12)… . (4)

T1=𝜑1

𝑇2 = 𝑆𝑐𝑜𝑠𝛼1_2

𝜌1

𝑡31 =3

2𝑒2

𝜈12

𝑎2𝜌12

𝑡32 = 𝑠𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠2𝛼1_2

𝑡33 =𝑡𝑎𝑛𝜑1

𝜌1𝜈1𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼1_2

𝑇3 =𝑆2

2((t31*t32)+t33)

t41=3𝑒4𝜈1

4

𝑎4𝜌13

𝑡42 = 𝑠𝑒𝑛2(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠3𝛼1_2

𝑡43 =3𝑒2𝜈1

2

𝑎2𝜌13

𝑡44 = 𝑐𝑜𝑠(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠3𝛼1_2

t45 =𝑠𝑒𝑛2𝛼1_2 𝑐𝑜𝑠𝛼1_2

𝜌12𝜈1 𝑐𝑜𝑠2𝜑1

𝑡46 =5𝑒2𝜈1

𝑎2𝜌12

𝑡47 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜑1) 𝑡𝑎𝑛𝜑1 𝑠𝑒𝑛2𝛼1_2 𝑐𝑜𝑠𝛼1_2

𝑡48 = 2𝑡𝑎𝑛2𝜑1

𝜌1𝜈12

𝑡49 = 𝑐𝑜𝑠𝛼12 𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼12

𝑇4 = (𝑆3

6) ∗ [(𝑡41 ∗ 𝑡42) − (𝑡43 ∗ 𝑡44)

− 𝑡45 + (𝑡46 ∗ 𝑡47)

− (𝑡48 ∗ 𝑡49)]






Página28 de 33

Longitud geodésica

𝜆2

= 𝜆1 + 𝑆𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)

𝜌1

+𝑆2

2(−

𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(𝜑1)

𝑎2𝜌1+

𝑠𝑒𝑛(𝜑1)

𝜌1𝜈1𝑐𝑜𝑠2(𝜑1)

+𝑡𝑔𝜑1

𝜈12𝑐𝑜𝑠(𝜑1)

) 𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠(𝛼1_2)

+𝑆3

6[𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠2(𝛼1_2)

𝜌1(𝑒4𝜈1

3𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)𝑠𝑒𝑛(𝜑1)

𝑎4𝜌1

−𝑒2𝜈1𝑐𝑜𝑠(𝜑1)

𝑎2𝜌1

−2𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)𝑠𝑒𝑛(𝜑1)

𝑎2𝜌1𝑐𝑜𝑠2𝜑1

+2𝑡𝑔2𝜑1

𝜈1𝜌1𝑐𝑜𝑠(𝜑1)+

1

𝜈1𝜌1𝑐𝑜𝑠(𝜑1)

−𝑒2𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)

𝑎2𝑐𝑜𝑠(𝜑1)+

1

𝜈12𝑐𝑜𝑠3𝜑1

+𝑡𝑔2𝜑1

𝜈12 )

−𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(𝜑1)𝑐𝑜𝑠(2𝛼1_2)𝑡𝑔𝜑1𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)

𝑎2𝜌1𝜈1

+𝑡𝑔2𝜑1𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠(2𝛼1_2)

𝜈12𝜌1𝑐𝑜𝑠(𝜑1)

+𝑡𝑔2𝜑1𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠(2𝛼1_2)


] ( 5)

𝑇1 = 𝜆1

𝑇2 = 𝑆𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)

𝜌1

𝑡31 =𝑆2

2

t32 = −𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(𝜑1)

𝑎2𝜌1

𝑡33 =𝑠𝑒𝑛(𝜑1)

𝜌1𝜈1𝑐𝑜𝑠2(𝜑1)

𝑡34 =𝑡𝑔𝜑1


𝑡35 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠(𝛼1_2)𝑆2

𝑇3 =𝑆2

2(−𝑡31 + 𝑡32 + 𝑡33)

𝑡41 =3𝑒4𝜈0

4

𝑎4𝑀03

𝑡42 = 𝑠𝑒𝑛𝑜2(2𝜑0)𝑐𝑜𝑠3𝛼0

𝑡43 =3𝑒2𝜈0

2

𝑎2𝑀03

𝑡44 = 𝑐𝑜𝑠(2𝜑0)𝑐𝑜𝑠3𝛼0

𝑡45 =𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼0 𝑐𝑜𝑠𝛼0

𝑀02𝜈0 𝑐𝑜𝑠2𝜑0

𝑡46 =5𝑒2𝜈0

𝑎2𝑀02

𝑡47 = 𝑠𝑒𝑛𝑜(2𝜑0) 𝑡𝑎𝑛𝜑0 𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼0 𝑐𝑜𝑠𝛼0

𝑡48 = 2𝑡𝑎𝑛2𝜑0

𝑀0𝜈02

𝑡49 = 𝑐𝑜𝑠𝛼0 𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼0

𝑇4 =𝑆3

6[(𝑡41 ∗ 𝑡42) − (𝑡43 ∗ 𝑡44)

− 𝑡45 + (𝑡46 ∗ 𝑡47)

− (𝑡48 ∗ 𝑡49)]






Página29 de 33

Azimut Geodésico

𝛼2_1

= 𝛼1_2 + 𝑆𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)

𝜈1

+𝑆2𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠(𝛼1_2)

2(−

𝑒2𝜈1𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)

2𝑎2𝜌1

+1

𝜈1𝜌1𝑐𝑜𝑠2𝜑1+

𝑡𝑔2(𝜑1)

𝜈12 )

+𝑆3𝑐𝑜𝑠(2𝛼1_2)𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛(𝜑1)

6𝜈1(−

𝑒2𝜈1𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)

2𝑎2𝜌1

+1

𝜈1𝜌1𝑐𝑜𝑠2𝜑1+

𝑡𝑔2(𝜑1)

𝜈12 )

+𝑆3𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠2(𝛼1_2)

6𝜌1(𝑒4𝜈1

3𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛2(2𝜑1)

2𝑎4𝜌1

−𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)

2𝑎2𝜌1𝑐𝑜𝑠2𝜑1

−2𝑒2𝜈1𝑡𝑔(𝜑1)𝑐𝑜𝑠(2𝜑1)

2𝑎2𝜌1

−2𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)

𝑎2𝜌1𝑐𝑜𝑠2𝜑1+

2𝑠𝑒𝑛(𝜑1)

𝜈1𝜌1𝑐𝑜𝑠3𝜑1

−𝑒2𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)𝑡𝑔

2(𝜑1)

2𝑎2+

1

𝜈12𝑐𝑜𝑠2𝜑1

)






Página30 de 33

PROBLEMA GEODESICO DIRECTO.

(DESARROLLO FORMULAS DE

PUISSANT)

Se supone conocido:

La posición Geográfica de un punto

La distancia Geodésica entre el punto

cuya posición es conocida y el punto

al que se le van a trasladar

coordenadas geográficas.

El azimut geodésico del arco que une

los dos puntos.

Superficie de referencia

Se debe hallar:

La posición del punto 2

El azimut geodésico del arco entre el

punto 2 y el punto 1.

1. CALCULO DE LA LATITUD

Se utiliza aproximación esférica

Precisión hasta 100k una parte por

millón

Mayor a 100k cuatro partes por millón.

Método iterativo:

Inicialmente se calcula un valor inicial

para el valor de la diferencia de

longitud entre el punto inicial

(Conocido) y el punto 2, el cual es

desconocido.

𝑑𝜑0 =𝑆0

𝜈0𝑐𝑜𝑠𝛼0 −

𝑆02

2𝜈02𝑡𝑎𝑛𝜑0𝑠𝑒𝑛𝛼0

− [𝑆0

3

6𝜈03𝑐𝑜𝑠𝛼0(𝑠𝑒𝑛𝛼0)

2(1

+ 3𝑡𝑎𝑛2𝜑0)]

𝑇1 =𝑆0

𝜈0𝑐𝑜𝑠𝛼0

𝑇2 =𝑆0

2

2𝜈02𝑡𝑎𝑛𝜑0𝑠𝑒𝑛𝛼0

𝑇3 =𝑆0

3

6𝜈03𝑐𝑜𝑠𝛼0(𝑠𝑒𝑛𝛼0)

2

𝑇4 = (1 + 3𝑡𝑎𝑛2𝜑0)

𝑑𝜑0 = 𝑇1 − 𝑇2 − (𝑇3 ∗ 𝑇4)

𝑑𝜑𝑛 = [(𝑆0

𝑀0𝑐𝑜𝑠𝛼0 −

𝑆02

2𝑀0𝜈0𝑡𝑎𝑛𝜑0𝑠𝑒𝑛

2𝛼0

−𝑆0

3

6𝑀0𝜈02𝑐𝑜𝑠𝛼0𝑠𝑒𝑛

2𝛼0(1

+ 3𝑡𝑎𝑛2𝜑0)) (1

−3

2

𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑0𝑐𝑜𝑠𝜑0

(1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑0)𝑑𝜑0)]

𝑑𝜑0𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠.

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑑𝜑0

= 𝑑𝜑𝑛,

𝑦 𝑎𝑠𝑖 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 |𝑑𝜑𝑛

− 𝑑𝜑𝑛+1| ≤ 0.001´´

𝑇5 =𝑆0

𝑀0𝑐𝑜𝑠𝛼0






Página31 de 33

𝑇6 =𝑆0

2

2𝑀0𝜈0𝑡𝑎𝑛𝜑0𝑠𝑒𝑛

2𝛼0

𝑇7 =𝑆0

3

6𝑀0𝜈02𝑐𝑜𝑠𝛼0𝑠𝑒𝑛

2𝛼0

𝑇8 = (1 + 3𝑡𝑎𝑛2𝜑0)

𝑇9 =3

2

𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑0𝑐𝑜𝑠𝜑0

(1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑0)𝑑𝜑0

𝑑𝜑𝑛 = [(𝑇5 − 𝑇6 − (𝑇7 ∗ 𝑇8))(1 − 𝑇9)]

𝜑2 =𝜑1 + 𝑑𝜑𝑛.

Problema Geodésico Inverso.

El problema inverso de la geodesia consiste

en determinar el acimut y la longitud de la

línea geodésica entre dos puntos dados o de

los cuales se conoce las coordenadas

elipsoidales, así; Pi(φi, λi) y Pj(φj, λj). Al

igual que en el problema directo, existen

múltiples métodos para resolverlo.

Soluciones al problema geodésico

inverso.

1) Solución basada en el

procedimiento de Molodensky.

Este método implica la utilización

de la geodesia espacial o

tridimensional, es decir se introduce

la altura de los puntos sobre el

elipsoide.

𝑆𝑖𝑗2

= (𝜐𝑖+ℎ𝑖)2 + (𝜐𝑗+ℎ𝑗)

2

− 2(𝜐𝑖+ℎ𝑖)2(𝜐𝑗+ℎ𝑗)

2(𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗

+ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖𝑐𝑜𝑠𝜑𝑗𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑗 − 𝜆𝑖))

− (𝑒2)2(𝜐𝑗𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗 − 𝜐𝑖𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖)2

− (𝑒2)(𝜐𝑗𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗 − 𝜐𝑖𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖)2(ℎ𝑗𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗

− ℎ𝑖𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖)

Donde:

𝑆𝑖𝑗: Distancia geodésica desde el punto i al

j.

𝜐𝑖 Gran normal del punto 1.

𝜐𝑗 Gran normal del punto 2.

ℎ𝑖 Altura elipsoidal del punto 1.

ℎ𝑗 Altura elipsoidal del punto 2.

Calculo del azimut de la línea geodésica

desde el punto i al punto j.

X

Z

Y

Polo

E. T. 𝜆1

𝜆2

1

2

P

1

P

2 1_2 2_1 S

Figura 2. Esquema gráfico del

problema geodésico inverso






Página32 de 33

𝑐𝑡𝑔(𝛼𝑖𝑗)

=𝑒2 (𝜐𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑖) − 𝜐𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑗)) 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑖)

(𝜐𝑗+ℎ𝑗)𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑗)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑗)

+𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑗 − 𝜑𝑖)

𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑗)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑗)+ 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑖)𝑡𝑔 (

𝜆𝑗

2)

Calculo del azimut de la línea geodésica

desde el punto j al punto i.

𝑐𝑡𝑔(𝛼𝑗𝑖)

=𝑒2 (𝜐𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑗) − 𝜐𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑖)) 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑗)

(𝜐𝑖+ℎ𝑖)𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑖)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑗)

−𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑖 − 𝜑𝑗)

𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑖)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑗)− 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗𝑡𝑔 (

𝜆𝑗

2)

2) Solución basada en el método de

Bessel.

El método de Bessel para la solución del

problema inverso de la geodesia, el

método está basado en trasladar el

problema del elipsoide a una solución en

la esfera y una vez solucionado

proyectarlo nuevamente al elipsoide. La

esfera utilizada es la llamada esfera de

Jacobi 2 ., también llamado imagen

esférica del elipsoide.

2 Esfera tangente al elipsoide en el ecuador.

El azimut de la línea geodésica se

obtiene, de la siguiente ecuación:

𝛼𝑖𝑗 = 𝑠𝑒𝑛−1 (𝑐𝑜𝑠(�̅�𝑖)𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑖𝑗)

𝑐𝑜𝑠(�̅�𝑗))

𝛼𝑗𝑖 = 𝑠𝑒𝑛−1 (𝜈𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑖)𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑖𝑗)

𝜈𝑗𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑗)) ± 𝜋

La línea geodésica Si j, sobre el

elipsoide, se le hace corresponder otra

“σ” sobre la esfera de Jacobi, a estas se

les hace corresponder el azimut, lo que

permite deducir que la latitud del punto

sobre la esfera es la latitud reducida

sobre el elipsoide.

Z

𝑃𝑁

Δλ

Pi

Pj

𝑖_𝑗

𝑗_𝑖 Si j

Figura 3. Triangulo geodésico sobre el elipsoide

900 − 𝜑𝑖 900 − 𝜑𝑗






Página33 de 33

�̅� = 𝑡𝑔−1 (𝑏

𝑎𝑡𝑔𝜑)…ecuación xx

�̅�𝑖𝑗 = 𝛼𝑖𝑗

�̅�𝑗𝑖 = 𝛼𝑗𝑖

Dadas las condiciones la distancia

geodésica entre los puntos ij se calcula

así:

𝑑𝑠 =

𝑎√1 − 𝑒2√𝑒´2𝑐𝑜𝑠2(𝑚) 𝑠𝑒𝑛2(𝑀 + 𝜎)𝑑𝜎

,

𝑑𝑠 = 𝑏√1 + 𝑘2 𝑠𝑒𝑛2(𝑀 + 𝜎)𝑑𝜎

Donde:

𝑘2 = 𝑒´2𝑐𝑜𝑠2(𝑚)

𝑀 = 𝑡𝑔−1 (2𝑡𝑔�̅�

𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖𝑗)

𝑚 = 𝑐𝑜𝑠−1(𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑖𝑗) 𝑐𝑜𝑠�̅�)

Integrando este diferencial se tiene:

𝑆𝑖𝑗

= 𝑏 [(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)1

2𝜎

+𝑘2𝑠𝑒𝑛𝑀𝑐𝑜𝑠𝑀

2(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)1

2

𝜎2

+𝑘2(−𝑠𝑒𝑛2𝑀 + 𝑐𝑜𝑠2𝑀)

6(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)1

2

𝜎3

−𝑘4𝑠𝑒𝑛2𝑀𝑐𝑜𝑠2𝑀

6(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)3

2

𝜎3

−𝑘4𝑠𝑒𝑛𝑀𝑐𝑜𝑠𝑀(−𝑠𝑒𝑛2𝑀 + 𝑐𝑜𝑠2𝑀)

8(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)3

2

𝜎4

−2

12

𝑘2𝑠𝑒𝑛𝑀𝑐𝑜𝑠𝑀

(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)1

2

𝜎4

+1

8

𝑘6𝑠𝑒𝑛3𝑀𝑐𝑜𝑠3𝑀

(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)5

2

𝜎4]

Solución del problema Geodésico inverso

Método No. 3. Este método fue

desarrollado por los geodestas italianos,

COTICCHIA y SURACE.

�̅� =𝜑𝑖+𝜑𝑗

2 , los subíndices i y j corresponden a los

datos de los puntos 1 y 2 respectivamente.

𝜂2 = 𝑒´2 cos2 �̅�

𝑚2 = 1 + 𝜂2

𝜉 =1

2𝑚2 (𝜑𝑗 − 𝜑𝑖)

𝑙 =1

2(𝜆𝑗 − 𝜆𝑖)

𝑥1 = sin(𝜉) cos(𝑙)

𝑦1 = sin(𝑙) cos(𝜉)

𝑧1 =tg(𝑚∗𝑙) sin(�̅�)

cos(𝑚2∗𝜉)

𝑡2 = tan2 �̅�

𝑝 = 𝜂2 ∗ 𝑥12

𝑥2 = 𝑥1 {1 −1

3𝜂2𝑦2

2 +1

2𝑝[𝑚2 − 𝑡2(5 − 4𝑚2)]}

𝑦2 = 𝑦1 {1 +1

6𝑝[1 + 𝑡2(2𝑚2 + 7)]}






Página34 de 33

𝑧2 = 𝑧1 [1 +1

3𝑝]

𝛾 =𝑎𝑡𝑎𝑛(𝑧2)

√1+𝜂2

𝑑 = √𝑥22 + 𝑦2

2

𝛼 = 𝑎𝑡𝑎𝑛𝑦1

𝑥1

Con estos valores se obtiene, la distancia

geodésica (s) entre los puntos i y j.

𝒔 =2∗𝑐

√1+𝜂2∗ (asin (𝑑))

Donde s es la distancia geodésica entre los

puntos i y j, y c es el radio polar de

curvatura del elipsoide de referencia. En

este caso para WGS84, c= 6399593,6258m.

Y los azimuts directo e inverso.

𝛼(𝑖−𝑗) = 𝛼 − 𝛾

𝛼(𝑗−𝑖) = 𝛼 + 𝛾 ± 𝜋

Notas Bibliográficas:

[2].Asenjo Villamayor, Luis García -

Hernández López, David. Universidad

Politécnica de Valencia. Geodesia - 2003 -

530 páginas

[3].José Raúl Ramírez Pinillos. Geodesia

Geométrica.

[4] Fernando Martin Asin, Geodesia y

Cartografía Matemática. Madrid 1983.

Notas Bibliográficas:

[1]. http://es.wikipedia.org .

[2]. Asenjo Villamayor, Luis García -

Hernández López, David. Universidad

Politécnica de Valencia. Geodesia - 2003 -

530 páginas

[3].José Raúl Ramírez Pinillos. Geodesia

Geométrica.

[4].P. S. Zakatov, Curso de Geodesia

uperior.


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GEODESIA PARA DUMMIES(PRELIMINAR)_270315_V1.pdf