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pag. 1 de 41 René Zepeda G. GEODESIA RENÉ ZEPEDA G. agosto 2005

Geodesia Zepeda

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René Zepeda G.

GEODESIA

RENÉ ZEPEDA G.

agosto 2005

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René Zepeda G.

PARTE I – CONCEPTOS BÁSICOS DE GEODESIA

COORDENADAS ASTRONÓMICAS Todos los cuerpos en la Tierra están sujetos al campo gravitacional, resultante de la fuerza de atracción ejercida por la Tierra y la fuerza centrífuga. Superficies equipotenciales W=constante, denominados “geopes”. Líneas de fuerza perpendiculares a los geopes: líneas de fuerza de campo = verticales, representa la dirección del vector gravedad (eje de plomo o eje principal del teodolito). Latitud astronómica: ángulo entre la vertical e su proyección ecuatorial. Meridiano astronómico: plano vertical paralelo al eje de rotación terrestre Longitud astronómica: ángulo diedro entre el y el meridiano astronómico y el meridiano medio astronómico de Greenwich (origen). Por consecuencia del movimiento de los polos terrestres que alteran el eje de rotación y consecuentemente del ecuador, las coordenadas astronómicas son función del tiempo. Deben ser reducidas a una misma época. SUPERFICIES DE REFERENCIA En geodesia se relacionan 3 superficies: 1. Superficie física terrestre: donde se realizan las operaciones de medida 2. Superficie del modelo geométrico de referencia, elipsoide de revolución: donde se

realizan los cálculos geodésicos 3. Geoide, superficie que representa la forma real de la Tierra en función de su

campo gravitacional; es una superficie equipotencial; un geope que más se aproxima al Nivel Medio del Mar (NMM); coincide con la superficie de los océanos en reposo extendida idealmente sobre los continentes; es una superficie “horizontal”; es el origen para las altitudes o altura ortométrica (distancia por la vertical de un punto al geoide). Se obtiene por nivelación geométrica asociada a gravimetría.

Uno de los problemas geodésicos más importantes y complejos es la determinación de la separación entre geoide y elipsoide (ondulación geoidal)

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René Zepeda G.

yx

zGeóide Elip

soide

h = H + N

SUPERFICIETERRESTRE

GEOIDE

ELIPSOIDE

H

hN

P

concentración

de masa

verticales

superficieequipotencial

GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE Elipsoide de revolución: cuerpo geométrico generado por la rotación de una elipse alrededor del eje menor, el eje menor coincide con el eje polar terrestre. FQ + F´Q = constante = 2·a En el elipsoide tri-axial: a=c=b esfera c=b elipsoide de revolución El elipsoide de revolución es la “forma matemática de la Tierra”, donde se realizan los cálculos

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René Zepeda G.

F F´

a

b

a

o

d

φ

Q

X

Z

90+φF F´

a

b

a

o

d

φ

Q

X

Z

90+φ

Ecuación de la elipse generatriz: 12

2

2

2=+

bz

ax

Ecuación del elipsoide de revolución: 12

2

2

22

=++

bz

ayx

La excentricidad es la distancia focal expresada en términos del semi eje mayor (a)

2

2

2

222

22 1

ab

aba

ade

ad

aFOe

−=−

==

==

El achatamiento es la razón de la diferencia entre los semi ejes, respecto del semi eje mayor:

Achatamiento (f): ab

abaf −=

−= 1

1a excentricidad (e): 2

2

2

222 1

ab

abae −=

−=

2a excentricidad (e’): 1' 2

2

2

222 −=

−=

ba

bbae

Otras relaciones:

22 2 ffe −⋅= 2

22

'1'e

ee+

= 2

22

1'

eee−

=

2'11

ebf

ba +⋅=−

= 21)1( eafab −⋅=−⋅= )1( 222 eab −⋅=

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René Zepeda G.

COORDENADAS GEODÉSICAS Basadas en un elipsoide de revolución generado por una elipse girada en torno al eje polar; es el modelo matemático de la Tierra.

λ

Z

X

Y

P1

a

Q

Y1

X1

Plano ecuatorial

Meridiano origen

Sección 1er

vertical

Sección meridiana

Eje polar

φ

b

OZ1

R

P

h

Longitud

Altura elipsoidal

Latitud

λ

Z

X

Y

P1

a

Q

Y1

X1

Plano ecuatorial

Meridiano origen

Sección 1er

vertical

Sección meridiana

Eje polar

φ

b

OZ1

R

P

h

Longitud

Altura elipsoidal

Latitud

Sección Normal: sección que contiene la normal al elipsoide en P Sección Meridiana: sección normal particular, contiene el eje menor (polar) Sección 1º vertical: perpendicular a la sección meridiana en P Gran Normal: segmento PQ de la normal; desde P hasta el eje polar Pequeña Normal: segmento PR, hasta el plano ecuatorial Meridiano Geodésico: intersección de la sección meridiana con el elipsoide Paralelo Geodésico: intersección de un plano paralelo al ecuador y el elipsoide, es

un círculo Latitud Geodésica: ángulo formado por la normal en P y su proyección en el

ecuador; (-) al sur del ecuador; varía de +90º a -90º Longitud Geodésica: ángulo formado entre el meridiano origen y la sección

meridiana en P; (-) al este de Greenwich; varía 0º a 360º o a +/-180º Altura Geométrica o Elipsoidica: distancia por la normal entre el elipsoide (P) y el

punto P1

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René Zepeda G.

Desvío de la Vertical (δ): ángulo entre la vertical local (en P1) y la normal al elipsoide; ayuda a transformar magnitudes astronómicas a geodésicas:

Componente meridiana ξ = φa – φ Componente 1º vertical η = (λa – λ) cos φ = (Aa – A) cot φ Ecuación de Laplace: A = Aa – (λa – λ) sen φ

Usada en astronomía geodésica para orientar redes geodésicas. En vértices de triangulación que se realizan determinaciones astronómicas de azimut y longitud, se denominan “puntos de Laplace”

SISTEMA GEODÉSICO PSAD-56 SAD-69 WGS-84 SIRGAS2000

Elipsoide Internacional 24 GRS-67 WGS-84 GRS-80 a 6378388 6378160 6378137 6378137

1/f 297 298.25 298.257223563 298.257222101 b 6356911.946 6356774.719 6356752.3142 6356752.3141 e2 0.00672267002 0.00669454185 0.00669437999 0.00669438002 e´2 0.00676817020 0.00673966080 0.00673949674 0.00673949678

RADIOS DE CURVATURA DE SECCIONES NORMALES En un punto sobre el elipsoide pasa un número infinito de planos normales, la intersección de estos con el elipsoide forman las secciones normales, todas ellas con curvatura diferente, pero hay dos principales, mutuamente perpendiculares, cuyas curvaturas son máxima (sección normal meridiana) y mínima (sección normal del primer vertical), con radios de curvatura denotados por M y N respectivamente. Gran Normal (N): distancia normal al elipsoide entre el punto y la intersección con eje Z (H) Pequeña Normal (N’): distancia normal al elipsoide entre el punto y la intersección con ecuador

Elipse meridiana: 12

2

2

2=+

bz

ax (1)

Sarcodeliacióngenteladedireccióndeiación

S vartanvar Curvatura τ

=∆

τ∆=

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Radio de curvatura K

R 1= (2)

Según [Gemael, Rapp, Zakatov], para una curva plana z = f(x), el radio de curvatura es:

2

2

23

2)(1

dxzd

dxdz

R

+

= (3)

la tangente (pendiente) en el punto(x,y) es: φ−=φ+= gtgdxdz cot)90( (4)

pero. de 12

2

2

2=+

bz

ax → 222222 bazaxb =+ (5) , diferenciando:

022 =⋅+⋅ dzzadxxb → φφ−

=−

=senz

xab

dxdz cos

2

2 → φ⋅=φ⋅ cos22 zasenxb (6)

al cuadrado: 0cos224224 =φ⋅−φ⋅ zasenxb (7) multiplicando la (5) por (-b2 sen2φ) y sumando a la (7):

212222

2

)cos( φ+φ

φ=

senba

senbz (8)

de la misma manera se encuentra x:

212222

2

)cos(

cos

φ+φ

φ=

senba

ax (9)

pero 2

222

abae −

= → 2

122

2

)1(

cos

φ−

φ=

sene

ax y ( )2

122

2

)1(

1

φ−

φ−=

sene

seneaz (10)

PRIMER CAMINO:

M

M’

µ ψ φ

b

x

z

a

ab

z´M

M’

µ ψ φ

b

x

z

a

ab

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René Zepeda G.

diferenciando:

[ ] φφ⋅+φ−−φ−φ⋅=

φφ−⋅φ⋅φ⋅⋅φ−φ−φ−=

−−

desenesenesena

dsenesenesenesenadx

22222322

23222

212

122

cos)1()1(

))1(cos2cos)1(( (11)

2

322

2

)1(

)1(

φ−

φ−−=

φ sene

seneaddx (12) [Rapp]

análogamente: 2

322

2

)1(

cos)1(

φ−

φ−=

φ sene

eaddz

reemplazando en la 2ª derivada de:

φφ

φ=

ddxsendx

dsendx

zd 111222

2 (13)

))1(

)1(32

232

2

2

φ−

φ−−=

seneasene

dxzd (14)

:2

2Ren

dxzdy

dxdzdoreemplazan

Designando por M el radio de curvatura 2

322

2

)1(

)1(

φ⋅−

−⋅=

sene

eaM (15)

De la figura: x = N cosφ y z = N’ senφ

φ⋅−=

221 sene

aN (16)

φ⋅−

−⋅=

22

2

1

)1('sene

eaN (17)

)1(' 2eNN −= (18)

φ

φ

N

Nsenφ

x=Ncosφ

z=N´senφ

φ

φ

N

Nsenφ

x=Ncosφ

z=N´senφ

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SEGUNDO CAMINO:

2

2

2

2

22222 1

+=+=+=+=φ⋅=

dzdxdz

dzdx

dzdzdzdxdz

dzdzdxdzdMds

pero φ−= gdxdz cot → φ−= tg

dzdx

2322

2

)1(

cos)1(

φ−

φ−=

φ sene

eaddz

φ⋅=φ

=φ+= dMdztgdscos

1 2 → φφ

=ddzM

cos1

luego: 2

322

2

)1(

)1(

φ−

−=

sene

eaM

Secciones principales (para un punto): Sección meridiana, radio de curvatura mínimo Sección 1o vertical (acimut 90º), radio de curvatura máximo

Radio de curvatura de la sección meridiana (M):

2322

2

)1(

)1(

φ⋅−

−⋅=

sene

eaM

Radio de curvatura de la sección del primer vertical (N):

φ⋅−=

221 sene

aN

Radio de curvatura de una sección normal cualquiera con acimut α (Rα): Teorema de Euler:

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René Zepeda G.

Nsen

MRα

22cos1 α⋅+α⋅

⋅=α 22cos senMN

MNR

En los Polos α = 90º En el Ecuador α = 0º

Sección meridiana ba2

oPPP R N M === a

b2

E M =

Sección 1er vertical PP N M = a NE =

Radio medio de curvatura (Ro) φ⋅−

== 221 senebMNRo

Radio de un paralelo (r): φ⋅= cos r N r tiene valor máximo en el ecuador (=a) y nulo en los polos

LONGITUD DE UN ARCO DE ELIPSE MERIDIANA

[Geodesia Geométrica, DMA 1982, Richard Rapp] Para el caso de un arco circular: S = R·α Arco MM’ de la elipse meridiana . Radio de curvatura no varía.

Q O

P

φ

b

a

P’

∆φ

M

ds

x

y

S

αR

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René Zepeda G.

Z

X

Ya

b

o

A

B

D

C

∆λ

El radio de curvatura (M) de la sección meridiana es expresado como:

φ⋅= dMds de ese modo el arco S se obtiene integrando:

φφ⋅−⋅−⋅== −φ

φ

φ

φ ∫∫ dseneeadsS 2/3222

122

1)1()1(

Haciendo: )1( 22 φ⋅−= seneW

φ⋅−⋅= ∫∫φ

φ

φ

φd

Weads

3

2

122

1

1)1(

Usando el desarrollo en serie de McLaurin:

...128315

1635

815

2311 88664422

3+φ+φ+φ+φ+= senesenesenesene

W

Se reemplazan las potencias de senφ por ángulos múltiples:

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René Zepeda G.

φ+φ−φ+φ−=φ

φ−φ+φ−=φ

φ+φ−=φ

φ−=φ

8cos128

16cos1614cos

3272cos

167

12835

6cos3214cos

1632cos

3215

1615

4cos812cos

21

83

2cos21

21

8

6

4

2

sen

sen

sen

sen

[

...)]1010(101)88(

81)66(

61

)44(41)22(

21)1(

121212

1212122

+φ−φ⋅⋅−φ−φ⋅⋅+φ−φ⋅⋅−

−φ−φ⋅⋅+φ−φ⋅⋅−φ−φ⋅⋅−⋅=

sensenFsensenEsensenD

sensenCsensenB)(Aeas

...131072

693

...655363465

16384315

...13107231185

2048315

51235

...1638410395

40962205

256105

6415

...6553672765

20482205

512525

1615

43

...6553643659

1638411025

256176

6445

431

10

108

1086

10864

108642

108642

+⋅=

+⋅+⋅=

+⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+=

eF

eeE

eeeD

eeeeC

eeeeeB

eeeeeA

Para el cuadrante meridiano: φ1 = 0º ; φ2 = 90º s = a(1-e2) A π/2 Para SAD69 s = 10.002.001,23m [Rapp] Zakatov en 1962:

[ ]2cos81)4cos

64152cos

163

643()2cos

43

411 2242

mmmm ee(eas φ⋅φ∆⋅⋅+φ⋅−φ⋅+⋅−φ⋅+⋅−⋅φ∆⋅=

Se considera exacta para líneas hasta 600km Zakatov simplificada: Mm = radio de curvatura de la latitud media.

]2cos811[ 22

mm eMs φ⋅φ∆⋅⋅+⋅φ∆⋅= precisión 1mm hasta aprox. 400 km

.Para distancias muy cortas se puede simplificar por: φ∆⋅= mMs precisión 1mm hasta aprox. 1 km

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René Zepeda G.

LONGITUD DE UN ARCO PARALELO Puntos de longitudes λ1 y λ2 en el mismo paralelo, sea L el arco: r = N cosφ

λ∆⋅φ⋅=λ∆⋅= cosNrL (Calcular la distancia por el paralelo desde el Meridiano Greenwich a Santiago) (tarea: calcular y graficar 1” de arco meridiano y paralelo para diferentes latitudes en Chile) ÁREA DE UN CUADRILÁTERO ELIPSOIDICO Considerar el área en el elipsoide limitada por meridianos y paralelos conocidos (d y d). AB = CD = M dφ AD = BC = N cosφ dλ Ärea diferencial: dA = AB * AD = M N cosφ dφ dλ

∫∫ ∫φ

φ

φ

φ

λ

λ

ϕ⋅ϕ⋅⋅λ−λ=λ⋅ϕ⋅ϕ⋅⋅=2

112

2

1

2

1

cos)(cos dNMddNMA

Área de la zona elipsoidica (dφ x 2π)

10512

382304

5

10512158

25656

1121

10512458

6456

1614

803

10256458

192356

1634

1632

61

10256638

128356

1654

832

21

'

'

'

'

1'

eeE

eeeD

eeeeC

eeeeeB

eeeeeA

+=

++=

+++=

++++=

+++++=

212

12φ+φ

=φφ−φ=φ∆ my

Área del cuadrilátero elipsóidico (dφ x dλ) ...]5cos5'3cos3'cos'[2 2 −φ⋅φ∆⋅+φ⋅φ∆⋅−φ⋅φ∆⋅λ∆⋅⋅= −senCsenBsenAbA mm

2; 12

1212φ+φ

=φλ−λ=λ∆φ−φ=φ∆ my

APROXIMACIÓN ESFÉRICA En ciertos problemas la aproximación esférica (considerar la Tierra como esfera) puede ser suficiente, para triángulos geodésicos pequeños. Se adopta una familia de esferas con radios entre b2/a y a2/b, que son los radios medio de curvatura en el ecuador y en los polos, respectivamente.

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René Zepeda G.

A cada triángulo corresponde un radio NMR ⋅=0 calculado en función de la latitud

media del triángulo.

Radio de esfera con media aritmética de los 3 ejes: 3

2 baR +⋅=

Radio de una esfera de igual área que el elipsoide (RA):

...)95

74

53

321(

48642 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

π= eeeeb

AR E

A

Radio de una esfera de igual volumen que el elipsoide (RV): 3

34

VESFERA RV ⋅π⋅= baVELIPSOIDE ⋅⋅π⋅= 234

6 23 2 )1( eabaRV −=⋅=

CURVAS SOBRE EL ELIPSOIDE SECCIONES NORMALES RECÍPROCAS Sección normal directa respecto al punto “A”: sección normal en A que contiene el punto. Sección normal recíproca respecto al punto “A”: sección normal en C que contiene el punto. En general, para puntos distintos, las normales en A y C no son coplanares secciones normales directa e inversa no son coplanares “camino” normal A-C ≠ “camino” normal C-A. Coplanares solo si los puntos están en la misma latitud o misma longitud. Se fuera posible calar con un teodolito, instalado en el elipsoide según la normal, los planos de observación A-C es diferente a C-A, o sea, son diferentes direcciones. Para punto más al sur curva directa más al sur. Secciones normales no definen un triángulo geodésico. El mejor camino entre los dos puntos es una curva, generalmente reversa, comprendida entre los planos directo y recíproco, denominada línea geodésica. SEPARACIÓN ENTRE SECCIONES NORMALES RECÍPROCAS Considérense dos puntos sobre el elipsoide (A y B) en diferentes latitudes y longitudes. Al estar a diferentes latitudes sus normales no son colineales (no se intercectan en el mismo punto sobre el eje de rotación). La visual directa (A→B) está contenida en la sección normal A→B, mientras que la visual recíproca (B→A) está en

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René Zepeda G.

la sección normal recíproca B→A. Esto quiere decir que la intersección entre los planos directo y reciproco se produce en la cuerda AB.

Z

X

Ya

A

BSección Normal A B

Sección Normal B A

Normal en A

Normal en B

φBφA

Z

X

Ya

A

BSección Normal A B

Sección Normal B A

Normal en A

Normal en B

φBφA

A

B

φA

NA

NB

φB

A

B

φA

NA

NB

φB

A

B

Sección normal A-B

Sección normal B-A

cuerda A-B

Ángulo entre planos normales

A

B

Sección normal A-B

Sección normal B-A

cuerda A-B

Ángulo entre planos normales

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René Zepeda G.

En la práctica interesan las diferencias en distancia y acimut entre secciones normales recíprocas.

Ángulo auxiliar (β [Gemael]

φ⋅φ⋅−φ⋅⋅+

φ⋅φ⋅−φ⋅⋅=β

sensenNsenNeNsenNsenNetg

)(cos)(

112

112

Ángulo ortogonal (V): [Gemael] senAV ⋅β=

A: acimut Z: ángulo cenital

[Rapp]: AsenNSeV m 2cos)(

21 2

1

2 ⋅φ⋅⋅=

S: distancia geodésica A: acimut Para S = 100km; φm = 45º; A = 45º : V = 6” (valor máximo en A = 45º) Separación acimutal (θ):

A1

BN

AA’

θ/32θ/3

S

A1

BN

AA’

θ/32θ/3

S

Ángulo en el plano tangente (horizontal) en N [Gemael]: gZsenA cot⋅⋅β=θ

[Rapp]: AsenNSe

m 2cos)(4

22

1

2⋅φ⋅⋅=θ

[Jordan]: )2

(coscos)(2 1

112121

22

1

2

NStgAsenA

NSe

⋅φ

−⋅⋅φ⋅⋅=θ

Para φm = 0º y A = 45º S 200km 100km 50km θ” 0,36” 0,09” 0,023”

Page 17: Geodesia Zepeda

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René Zepeda G.

Para φm = 52º y A = 45º S 150km 100km 30km θ” 0,057” 0,032” 0,003”

En la práctica se hacen correcciones a distancias > 30km

SEPARACIÓN ENTRE ARCOS En el punto medio entre A y C, la separación “L” será máxima:

[Gemael]: 2

232

16

2cos

N

AsenSeL

⋅φ⋅⋅=

Para φm = 45º y A = 45º S 200km 100km 50km L máximo 0,050m 0,006m 0,0008m

Para φm = 52º y A = 45º S 150km 100km 30km L máximo 0,013m 0,0038m 0,0001m

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René Zepeda G.

REDUCCIONES GEODÉSICAS ANGULARES 1- Corrección del acimut debido a la altura del punto observado Las direcciones se miden entre puntos sobre la superficie terrestre, sin embargo los cálculos se efectúan sobre la superficie del elipsoide, por lo tanto existe influencia de la altura del punto visado en el acimut calculado. Desde A se cala B, a altura h. Acimut deseado: A; Acimut observado: Ah

Puesto que el elipsoide es achatado, se debe considerar la diferencia (A – Ah)

A

B

δ2B´b’AAh

NANB

A

B

δ2B´b’AAh

NANB

[Rapp] ABmm

AeMS coscos22

2 ⋅φ⋅⋅=δ

⋅⋅φ⋅⋅=−=δ ABmm

h AseneMhAA 2cos

222

La corrección no depende de la distancia entre los puntos. Esta corrección se aplica solamente cuando el punto calado (B) está en altura, independiente si el punto origen (A) de las visadas está en altura. (tarea: hacer gráfico de corrección por altura, para diferentes latitudes)

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René Zepeda G.

LÍNEA GEODÉSICA

A

B

normal A-B

normal B-A

Geodésica entreA y B

A

B

C

meridiano

tangente

Para obtener un único triángulo elipsóidico, los vértices deben estar conectados por líneas geodésicas. Línea geodésica, yacente a una superficie, es la que en todos sus puntos el plano osculador es normal a la superficie

Es única entre dos puntos Es la distancia más corta sobre la superficie En el plano es una recta En una esfera es un arco de círculo máximo En el elipsoide es reversa (curvatura espacial) ; no es plana

Propiedad importante: la normal principal de la geodésica coincide, en cualquier punto, con la normal del elipsoide. La normal (principal) está contenida dentro del plano osculador que pasa por tres puntos infinitamente cercanos en la curva. La sección normal no tiene esta propiedad. característica: r senA = constante (¿Paralelos y meridianos son líneas geodésicas?)

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2- Corrección ángulo geodésica – sección normal. Se necesita transformar el acimut de una sección normal en el acimut correspondiente de la línea geodésica, ya que esta representa sin ambigüedad el lado de un triángulo geodésico. La línea geodésica divide el ángulo “θ” de las secciones normales recíprocas (excepto en los casos de acimut 90º o 270º), en razón 1:2, estando siempre más cerca de la sección normal directa. Designando por “τ” la corrección:

A1

BN

AA’

θ/32θ/3

S

A1

BN

AA’

θ/32θ/3

S

"]222[cos

12'

32

2

22"" ρ⋅

⋅φ⋅−⋅φ⋅

⋅=−=

θ=τ

NsenAsenSAsen

NSeAA

AsenNSeAA 2cos

12'

32

2

22"⋅φ⋅

⋅=−=

θ=τ

(tarea: calcular la reducción anterior para diferentes distancias en azimut 45º) Si los dos puntos están sobre el mismo meridiano, solo existe una sección normal entre ellos, la geodésica es el meridiano (τ = 0). Pero ..... Si los dos puntos están sobre el mismo paralelo, solo existe una sección normal entre ellos, sin embargo la geodésica NO coincide con esta sección normal. La geodésica estará fuera de las secciones normales. La diferencia no influye en la distancia.

r = N cos φ N cosφ sen A = cte = K Ecuador A = 90º K = N Meridiano A = 0 K = 0

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3- Corrección por deflexión de la vertical.

A

(cenit geodésico)Z

Z’

ξ

ηe meridiano

Debido a que las mediciones no se efectúan sobre el elipsoide y sí sobre la Tierra verdadera, bajo influencia del campo gravitacional, los ángulos se miden en la horizontal local (perpendicular a la vertical) y deben ser llevados al plano perpendicular a la normal del elipsoide. La diferencia se llama deflexión de la vertical, con componentes ξ (componente meridional) y η (componente en el 1er vertical).

"1)cos(3 ρ⋅⋅η−ξ−=δtgZ

AsenA ABAB

Z: distancia cenital del punto observado = (90-φ)

")90(

1)cos(3 ρ⋅φ−

⋅η−ξ−=δtg

AsenA ABAB

Esta corrección es normalmente muy pequeña Corrección total:

3δ+τ+δ+= oc AA

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REDUCCIONES GEOMÉTRICAS Para convertir la distancia electrónica en distancia geodésica se deben efectuar algunas correcciones geométricas. 1- Reducción de distancia geométrica a distancia inclinada REDUCCIÓN DE DISTANCIAS ELECTRÓNICAS. Se debe considerar que los distanciómetros, incorporados a las Estaciones Totales (ET), determinan las distancias electrónicamente, y es por ello que la magnitud original de la distancia está afectada principalmente de dos factores, constante del prisma y refracción atmosférica. Constante de prisma: usualmente las ET traen incorporada, en su configuración, los valores de las constantes de los diversos prismas que pueden ser utilizados, o bien, se considera una constante cero para el prisma que usa por defecto. Refracción atmosférica: generalmente la obtención de la distancia electrónica es calibrada para valores de una atmósfera estándar, es decir para 12ºC de temperatura, 60% de humedad y 1013 mb de presión. De las tres variables que influencian la distancia, la humedad es la que menos la afecta, no así la temperatura y la presión. Entre los diversos modelos de corrección por refracción, se encuentra el siguiente:

+−=

TPppmD

*003660.01*2904.08.281)(

D(ppm): es la corrección resultante en Partes Por Millón de la distancia P y T: presión em mb y temperatura en ºC, respectivamente, al instante de la medición La sensibilidad de la corrección es del orden de 1 ppm por cada 1ºC de variación de temperatura y 3 ppm para cada 10 mb de variación de presión, de esa manera, en trabajos de precisión geodésica, los valores de temperatura y presión deben ser tomados, al instante de la medición, con precisión absoluta de 1ºC y 3 mb, respectivamente. Como resultado de las correcciones anteriores, se obtiene la distancia geométrica (DG) entre los centros del distanciómetro y del prisma.

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Sean los datos de terreno: i: altura instrumental m: altura del prisma Z´: ángulo cenital observado DG: distancia geométrica

i

m-i

m

DG

Di

Di

Dh

Z

Cz

i

m-i

m

DG

Di

Di

Dh

Z

Cz

Cálculo de la distancia inclinada (Di). Di puede ser determinada por medio de la expresión proveniente de la aplicación del teorema del coseno:

´cos*)(**2)(* 22 ZimDGimDGDi −−−=

Cálculo de la distancia horizontal (Dh). Dh se determina a partir de Di y el ángulo cenital Z reducido a la línea.

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i

m

Di

Dh

Di´

DH

z

c

i

m

Di

Dh

Di´

DH

z

c

Z

c

(m-i)

Z

c

(m-i)

Di = Di´– c

c= (m-i) sen(z) (válido para distancias sobre 200 metros)

2- Reducción al horizonte. La distancia electrónica (Di) es inclinada y la distancia horizontal (Dh) es: Dh = Di * cosα ; α = ángulo vertical respecto al horizonte, o Dh2 = Di2 - ∆H2 ; ∆H = desnivel Siendo la corrección Ch = Dh – Di = (Di2 - ∆H2)1/2 – Di 3- Reducción al geoide (NMM). Designando por H la altura ortométrica conocida (al geoide) de la base, o del lado de la poligonal; por De el lado proyectado en el elipsoide: sea la corrección Ce = Dh – Dr

...)(2

2+−⋅=

RH

RHDC hP

terreno

NMMelipsoide

BA

hm

Rm

Dh

DrS

terreno

NMMelipsoide

BA

hm

Rm

Dh

DrS

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R: radio de la sección normal del acimut. Fórmula de Euler. En ciertos casos se puede tomar un radio medio. (notar semejanza con la corrección al NMM, deducida por otro camino)

MA

NAsen

RA

22 cos1+=

En rigor la corrección debe hacerse al elipsoide (superficie donde serán realizados los cálculos), pero recordar que H = h – N, y cuando N ó h eran desconocidos (antiguamente), los geodestas reducían las bases al geoide, no obstante los cálculos de la triangulación fueran realizadas en el elipsoide. Reducción al elipsoide Otra forma de realizar la reducción al elipsoide, es a través de un factor de escala debido a la altura (h) sobre el elipsoide, denominado factor de escala debido a la altura (Kh). De la semejanza de triángulos:

RhR

DD

e

h += = constante para un mismo h = Kh

Kh relaciona (como factor de escala) Dh y De.

RNHR

RhRKh ++

=+

=

Si no se conoce h (elipsoidal), se debe usar H (ortométrica) y N (ondulación geoidal). En caso de desconocer N, que en Chile varía entre 10 y 30 metros, aproximadamente respecto a WGS-84, se introduce un error, por ejemplo a N=20 m:

kmmm

N RNRK 7.41.00000470

6378000206378000

==+

=∆+

=∆ ∆

Nótese que aquí se ha usado un radio aproximado R=6378 km, debido a que siendo la variable del numerador (∆N ó h) de la expresión de Kh, muy pequeña respecto al radio, la precisión de Kh casi no es afectada.

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COORDENADAS CARTESIANAS. Comenzaron a tener uso más amplio con la geodesia satelital y los sistemas de referencia globales. Los cálculos 3-dimensionales se facilitan, pero tiene el inconveniente que es no es apto a la cartografía.

λ

Z

X

Y

P1

a

Q

Y1

X1

Plano ecuatorial

Meridiano origen

Sección 1er

vertical

Sección meridiana

Eje polar

φ

b

OZ1

R

P

h

Longitud

Altura elipsoidal

Latitud

λ

Z

X

Y

P1

a

Q

Y1

X1

Plano ecuatorial

Meridiano origen

Sección 1er

vertical

Sección meridiana

Eje polar

φ

b

OZ1

R

P

h

Longitud

Altura elipsoidal

Latitud

φ

φ

N

x=(N+h)cosφ

z=(N+h)senφ

h

φ

φ

N

x=(N+h)cosφ

z=(N+h)senφ

h

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Relación entre coordenadas geodésicas y cartesianas.

)1('

coscos)(

2

22

eNN

sendYdX

YXhNd

−⋅=

λ⋅=λ⋅=

+=φ+=

N: Gran Normal N’: Pequeña Normal

φ⋅+−⋅=

λ⋅φ⋅+=λ⋅φ⋅+=

senheNZ

senhNYhNX

))1((

cos)(coscos)(

2

Fórmulas directas de Bowring.

Ncos

dh

]XYarctan[λ

]ψcoseadψsene'bZarctan[

1

1

32

321

−φ

=

=

⋅⋅−

⋅⋅+=φ

]dbZaarctan[ψ

)Y(Xd

:auxiliaresvaloresb

bae':adexentricid2

22

2

222a

⋅⋅

=

+=

−=

SISTEMAS DE REFERENCIA CONVENCIONAL Sistema de Referencia Celeste Convencional (CCRS): Eje Xc apunta al equinoccio vernal medio de las 12h del 1º de enero de 2000 (día Juliano 2451545,0 – J2000); eje Zc apunta en la dirección del polo norte celeste medio de la misma época; eje Yc completa el sistema dextrógiro.

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Sistema de Referencia Terrestre Convencional (CTRS): Geocéntrico; centro de masa de la Tierra (Tierra y atmósfera) coincide con el

origen Fijo a la Tierra - ECEF Orientación dada por el BIH (Bureau International de L’Heure) en la época 1984,0 Sin rotación

Eje Z en la dirección del polo terrestre convencional (CTP); eje X en la dirección del meridiano medio de Greenwich . Se recomienda usar el elipsoide GRS80. El CTRS es definido como un ITRF (International Terrestrial Reference Frame) el cual es mantenido por el IERS (International Earth Rotation Service) La transformación entre CCRS y CTRS se efectúa usando rotaciones que consideran precesión, nutación rotación y orientación de la Tierra (incluyendo el movimiento del polo) Precesión: movimiento secular cónico del eje de rotación respecto a la eclíptica Nutación: movimiento del eje de rotación respecto del eje de la figura; es parte del movimiento del polo ITRS (International Terrestrial Reference System), es la idealización de un sistema CTRS definido por el IERS. ITRF (International Terrestrial Reference Frame), es el Marco de Referencia Terrestre Internacional del IERS - International Earth Rotation Service (Servicio Internacional de la Rotación Terrestre) es un referencial geocéntrico global de orden científico, tetradimensional SIRGAS - Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas. Sistema ITRF y elipsoide GRS80 (del WGS84). Materializado por 58 estaciones en ITRF 1995,4. En la prática identico al WGS84. En Chile 8 estaciones SIRGAS. SIRGAS2000, materialización en el año 2000 de SIRGAS, referencia ITRF2000, es el nuevo Sistema Geodésico en Chile. SISTEMAS DE REFERENCIA. Sistema Geodésico: adopta un elipsoide de referencia fijado espacialmente respecto al cuerpo terrestre. Los sistemas de referencia continentales o nacionales no son geocéntricos y a veces no paralelos al CTS.

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Un sistema de referencia puede ser : DEFINIDO: sistema abstracto Ð IDEAL: para no ser implementado Ð CONVENCIONAL: asociado a la implementación (constantes y modelos

físicos), ejemplo es el ITRF REALIZADO: asume características físicas. Un sistema realizado es una Red de

Referencia. La realización no siempre corresponde a la definición. La realización depende de las técnicas utilizadas. Ejemplo, SAD-69 es definido de forma única y realizado de formas diferentes. Se puede definir un sistema local pero al realizarlo se introducen errores. Al relacionar estos pueden aparecer rotaciones producto de las deformaciones naturales de la realización.

CATEG REDES ORDEN ORDEN “CLÁSICO”

PRECISIÓN PPM

PRECISIÓN 1/X

GEODINÁMICA ITRF - SIRGAS AA - 0,01 100.000.000

REF NAC PRIMARIA DEFORMAC A - 0,1 10.000.000

REDES LOCALES INGENIERÍA B - 1 1.000.000

CONTROL MAPEO C 1er orden 10 100.000

? D 2o orden 20 50.000

SISTEMAS GLOBALES DE REFERENCIA. El posicionamiento con GPS, así como su homólogo ruso GLONASS (GLobal NAvigation Satellite System), requiere sistemas de referencia bien definidos y consistentes, globales y geocéntricos, esto implica que consideran todo el globo terrestre y tienen su origen en el centro de masa de la Tierra. Sistema ITRF.

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El Sistema de Referencia Terrestre Internacional – ITRF (International Terrestrial Reference Frame), materializa un sistema global de carácter científico establecido por el Servicio Internacional de Rotación Terrestre - IERS (International Earth Rotation Service) y está materializado por redes geodésicas continentales implantadas a través de técnicas geodésicas espaciales modernas. Debido a la precisión alcanzada en la implantación y a los movimientos tectónicos sufridos en la corteza terrestre, las coordenadas asignadas a las estaciones deben ser reducidas a una época de referencia común t0. Significa esto la puesta en práctica de la geodesia global 4D (tetra-dimensional), donde a las coordenadas geocéntricas 3D les son asignadas sus variaciones o velocidades, o sea, las coordenadas pasan a tener validez respecto a una determinada época. SISTEMA WGS-84. El Sistema Geodésico Mundial 1984 – WGS-84 (WorldGeodetic System 1984), es el sistema de referencia para el GPS y compatible con un ITRF básicamente bajo los siguientes aspectos: Posición: geocéntrico, con origen en el centro de masa de la Tierra, incluyendo

océanos y atmósfera; Orientación: Ð eje Z en la dirección del Polo de Referencia IERS; Ð eje X en la intersección del Meridiano de Referencia IERS y el plano ecuatorial; Ð eje Y completa el sistema ortogonal dextrógiro (sentido mano derecha).

Al sistema cartesiano se asigna un elipsoide denominado también de WGS-84. Este elipsoide posee los parámetros del Sistema Geodésico de Referencia 1980 – GRS-80. Refinamientos del WGS-84 han llevado a la realización del denominado WGS-84 (G730), WGS-84 (G873) y WGS-84 (G1150). El último WGS-84 es compatible con ITRF2000 Los parámetros del WG-S84 son:

Semieje mayor: a = 6 378 137m Achatamiento: f =1 / 298,257 223 563 Velocidad angular de la Tierra: ω = 7 292 115 *10-11 rad/s Constante gravitacional: µ = 3 986 004,418 *108 m3/s2

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SISTEMA SIRGAS. La comunidad geodésica de América del Sur ha desarrollado un proyecto, aún en ejecución, denominado SIRGAS (SIstema de Referencia Geocéntrico para las Américas), con fines de adoptar, para el continente, una red de referencia de precisión compatible con las técnicas modernas de posicionamiento, principalmente GPS. SIRGAS adopta como sistema de referencia el ITRF y elipsoide del WGS-84, que en la práctica es idéntico al WGS-84. El órgano representativo de Chile ante el Proyecto SIRGAS, es el Instituto Geográfico Militar – IGM, responsable por la Red Geodésica Nacional - RGN. La materialización de SIRGAS se realizó en dos etapas, mayo de 1995 y marzo 2000. La adopción de SIRGAS por parte de varios países sudamericanos como referencia para los sistemas geodésicos nacionales, refleja la tendencia global de compatibilizar éstos a las tecnologías modernas y Chile en el futuro no debe estar fuera de ese contexto. Chile cuenta oficialmente con 269 estaciones materializadas en SIRGAS2000. SISTEMAS PSAD-56 Y SAD-69. En las décadas de los años cincuenta y sesenta, para fines geodésicos y cartográficos fueron definidos los sistemas de referencia sudamericanos Datum Provisorio Sudamericano 1956 – PSAD-56, con su vértice de origen en La Canoa, Venezuela y Datum Sudamericano 1969 – SAD-69, con origen en Chua, Brasil. En Chile, el Instituto Geográfico Militar (IGM) implementó el PSAD-56 como sistema de referencia oficial para el territorio nacional desde el extremo norte hasta la latitud 43º 30‘ Sur, lo que coincide aproximadamente con el límite entre las regiones X y XI. En el sur de Chile se usa el SAD-69 como referencia cartográfica, como también el datum Hito XVIII en el extremo sur de la XII Región. La cartografía sistemática escala 1/50 000 editada por el IGM es referida a los datums PSAD-56, SAD-69 e Hito XVIII, en cada región correspondiente. Las cartas escala 1/25 000 son referidas al SAD-69.

Datum Elipsoide Semi-eje mayor (a) Achatamiento (1/f) PSAD-56 Internacional (Hayford) 6 378 388m 297 SAD-69 SAD-69 (UGGI-67) 6 378 160m 298,25

Hito XVIII Internacional (Hayford) 6 378 388m 297 WGS-84 GRS-80 6 378 137m 298,257223563

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Parámetros de Transformación entre Sistemas. La transformación de coordenadas respecto a diferentes sistemas es de fundamental relevancia al compatibilizar sistemas de referencia, especialmente en posicionamiento por GPS, donde esta fase de cálculo se realiza de forma automática por los programas que acompañan a los equipos y no siempre es clara la metodología ni los valores utilizados, llevando en algunos casos, al usuario a realizar una transformación poco rigurosa o incorrecta. La figura ejemplifica la relación entre el datum GPS, WGS-84 y el datum SAD-69. Por definición, ellos son considerados paralelos, habiendo en este caso solo translación tridimensional entre sus orígenes, aunque en su materialización puedan existir deformaciones que produzcan rotaciones. Por ese motivo, el trío de valores correspondientes a tal translación, se denominan “parámetros de transformación” – PT entre datums, a saber ∆X, ∆Y y ∆Z, los que deben ser adicionados (considerando su signo) a las coordenadas cartesianas (X, Y, Z) del punto a ser transformado.

XWGS-84

ZWGS-84

YWGS-84

XSAD-69

ZSAD-69

YSAD-69

TX

TZ

TY

Entre los diversos enfoques para la transformación de coordenadas, las formas más usadas de aplicar los PT, son: las Ecuaciones Diferenciales de Molodensky y los Modelos Cartesianos, aunque también existe el modelo de “Regresión Múltiple”, basados en desarrollo polinomial. A continuación se muestran los dos primeros modelos. Ecuaciones Diferenciales Simplificadas de Molodensky.

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René Zepeda G.

Estas ecuaciones se usaron en el pasado, son de mediana precisión (decímetros) Este modelo posee la particularidad de transformar coordenadas, del primer datum al segundo, en un solo modelo de ecuaciones, donde las coordenadas transformadas al 2o datum son dadas por: φ2 = φ1 + ∆φ , λ2 = λ1 + ∆λ y h2 = h1 + ∆h

∆asen∆a)f∆f(asenTZsenλcosTYcosλcosTX∆h

]cosλTYsenλTX[cosN1∆λ

]cosTZsenλsenTYcosλsenTXsen2∆a)f∆f[(aM1∆

12

1111111

1111

111111111

−φ⋅⋅+⋅+φ⋅+⋅φ⋅+⋅φ⋅=

⋅+⋅−φ⋅

=

φ⋅+⋅φ⋅−⋅φ⋅−φ⋅⋅+⋅=φ

∆φ = ∆φ ρ ∆λ = ∆λ ρ

Con: 223

122

1

211

1 ff2e;

)sene(1

)e(1aM −⋅=

φ⋅−

−⋅=

a1 , f1 : parámetros del primer elipsoide a2 , f2 : parámetros del segundo elipsoide ∆a = a2 – a1 , ∆f = f2 – f1 TX, TY, TZ : parámetros de translación entre los datums Modelo Cartesiano. Este modelo es exacto, se recomienda su uso. La aplicación de las ecuaciones trigonométricas de transformación de coordenadas geodésicas a cartesianas, y viceversa, comenzaron a emplearse preferentemente con el advenimiento de las computadoras y aunque siendo este método de mayor número fases analíticas, es de más fácil visualización en cuanto a su concepto.

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(φ, λ, h)2

(φ, λ, h)1 (X, Y, Z)1

Sist. Geodésico 1

(X, Y, Z)2

Sist. Geodésico 2

Sist. Geodésico 1

Sist. Geodésico 2MOLODENSKII CARTESIANO

Este se basa en la conversión a coordenadas cartesianas y aplicación por separado de los PT, de acuerdo a las siguientes etapas: Convertir las coordenadas geodésicas en el primer sistema a coordenadas

cartesianas en el mismo sistema: (φ,λ,h)1 (X,Y,Z) Aplicar los PT a las coordenadas cartesianas, trasladando el origen del sistema al

segundo sistema: (X,Y,Z)1 + (TX,TY,TZ) = (X,Y,Z)2 Convertir las coordenadas cartesianas del segundo sistema a coordenadas

geodésicas: (X,Y,Z)2 (φ,λ,h)2 Valores de Parámetros de Transformación. Considerando los sistemas geodésicos materializados según la región geográfica de que se trate, los programas utilizados y la literatura técnica consultada indican diferentes valores para los PT. Se muestra a título indicativo los valores de PT entre diferentes datums, calculados y difundidos por la Agencia Nacional Estadounidense de Imágenes y Mapas – NIMA, usados por muchos programas GPS y SIG:

TRANSFORMACIÓN VALORES [m] OBSERVACIÓN PSAD-56 WGS-84

TX = -270 ± 25 TY = +183 ± 25 TZ = -390 ± 25

Válidos para Chile, al norte del paralelo 19ºS aproximadamente; calculados con 1 estación

PSAD-56 WGS-84

TX = -305 ± 20 TY = +243 ± 20 TZ = -442 ± 20

Válidos para Chile, al sur del paralelo 19ºS aproximadamente; calculados con 3 estaciones

Hito XVIII WGS-84

TX = +16 ± 25 TY = +196 ± 25 TZ = +93 ± 25

Válidos para Chile, al sur del paralelo 53ºS aproximadamente; calculados con 2 estaciones

SAD-69 WGS-84

TX = -75 ± 15 TY = -1 ± 8 TZ = -44 ± 11

Válidos para todo Chile, calculados con 9 estaciones

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René Zepeda G.

Especial atención merecen las precisiones asociadas a los parámetros de translación. Programas que acompañan los equipos GPS, pueden tener incorporados diversos valores de PT, aplicados según diferentes modelos de transformación de sistemas, incluyendo una opción para que el usuario imponga valores de PT y modelo de transformación, según su propio criterio. El año 2003, el IGM anunció oficialmente la adopción de SIRGAS2000 como nuevo referencia geodésico para Chile. Junto a ello difundió las monografías de los 269 puntos que materializan el marco de referencia y los parámetros de transformación con los sistemas clásicos, por zonas delimitadas en latitud, con precisión de ±5 metros:

SIRGAS A PSAD-56

17° - 26° 26° - 36° 36° - 49°

TX = 302 328 352

TY= -272 -340 -403

TZ = 360 329 287

SIRGAS A SAD-69

17° - 32° 32° - 36° 36° - 49° 49° AL SUR

TX= 59 64 72 79

TY = 11 0 -10 -13

TZ = 52 32 32 14

RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE SISTEMAS GEODÉSICOS. La transformación de sistemas se puede realizar de varias formas. Parámetros geocéntricos Ð 3 parámetros: solo translación (sistemas paralelos) Ð 6 parámetros: translación (3) y rotación (3) Ð 7 parámetros: translación, rotación y escala Ð n parámetros: distorsiones

Modelos diferenciales: ej. Rapp, Veis, Molodensky, simplificadas de Molodensky, Vincenty.

Modelos Cartesianos (o matriciales): más fáciles de “comprender”

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René Zepeda G.

Ángulos de Euler.

X1

Y1

Z1ω

ω

ωX2

Y2

X2

Y2

Z1

ε

ε

ε

Z2

Y3

X2

Y3

Z2

ψ

ψ

ψ

Z3

X3 Haciendo rotar el eje Z en ω: X`= d+a Y´= -c+b a = Y senω b = Y cosω c = X senω d = X cosω X´= X cosω + Y senω Y´= -X senω + Y cosω

YX

sensen

YX

.cos

cos´´

ωω−ωω

= ≡ ZYX

sensen

ZYX

.1000cos0cos

´´´

ωω−ωω

=

1000cos0cos

)(3 ωω−ωω

=ω sensen

R

Haciendo rotar el eje Y en ε: Z`= h+e X´= -g+f e = X senε f = X cosε g = Z senε h = Z cosε X´= X cosε - Z senε Z´= X senε +Z cosε

ω

Y

ω XZ

X

Y

ω

ω

X´Y´

adc

b ω

Y

ω XZ

X

Y

ω

ω

X´Y´

adc

b

ε

X

ε ZY

Z

X

ε

ε

Z´X´

ehg

f ε

X

ε ZY

Z

X

ε

ε

Z´X´

ehg

f

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René Zepeda G.

ZX

sensen

ZX

.cos

cos´´

εεε−ε

= ≡ ZYX

sen

sen

ZYX

.cos0

0100cos

´´´

εε

ε−ε=

εε

ε−ε=ε

cos0010

0cos)(2

sen

senR

⋅ω⋅ε⋅ψ=

⋅ψ=

⋅ω⋅ε=

⋅ε=

⋅ω=

ZYX

RRRZYX

RZYX

ZYX

RRZYX

RZYX

ZYX

RZYX

)()()()(

)()()(

)(

312

2

2

2

2

3

3

3

31

1

1

1

1

2

2

2

3

1

1

1

ψψ

ψ−ψ=ψ

εε−εε=ε

ωω−ωω

=ωcos0

0100cos

)(cos0

cos0001

)(1000cos0cos

)( 213sen

senR

sensenRsen

senR

ψ⋅εψ⋅ε⋅ω−ψ⋅ωψ⋅ε⋅ω+ψ⋅ωεε⋅ωε⋅ω−

ψ⋅ε−ψ⋅ε⋅ω+ψ⋅ωψ⋅ε⋅ω−ψ⋅ω=ψ⋅ε⋅ω

coscoscoscoscoscoscoscoscos

coscoscoscoscos)(2)(1)(3

sensensensensensensensen

sensensensensensensenRRR

considerando que las rotaciones son pequeñas: sen(α) = α ; cos(α)= 1 ; sen(α)sen(α) = 0

ε−ψεω−ψ−ω

=1

11

E

ε−ψεω−ψ−ω

⋅+

=

1

1

1

3

3

3

11

1

ZYX

kTZTYTX

ZYX

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René Zepeda G.

Generalizando:

LkyZYX

ZYX

∆+=

=

1

3

3

3

LZYXZZZLYZXYYYLXZYXXX

∆⋅+⋅ε−⋅ψ++∆=

∆⋅+⋅ε+⋅ω−+∆=

∆⋅+⋅ψ−⋅ω++∆=

Este corresponde al modelo completo de 7 parámetros: 3 traslaciones de origen (TX, TY, TZ) 3 rotaciones (ω, ε, ψ) escala (k)

Los sistemas geodésicos son (generalmente) definidos y realizados (casi) paralelos al los sistemas convencionales; se utilizan mediciones modernas que no introducen escala. Se eliminan las rotaciones y escala.

+

=

1

1

1

3

3

3

ZYX

TZTYTX

ZYX

La estimación de parámetros se realiza mediante técnica de Mínimos Cuadrados, usando como datos las coordenadas de varios puntos con coordenadas conocidas en ambos sistemas.

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René Zepeda G.

ALTIMETRÍA.

h = H + N

SUPERFICIETERRESTRE

GEOIDE

ELIPSOIDE

H

hN

P

La superficie de referencia altimétrica es el geoide, el cual está definido como la superficie equipotencial (de igual valor de atracción gravitacional) que coincide con la superficie de los océanos en reposo, extendida sobre los continentes, su denominación más común es Nivel Medio del Mar – NMM. La altura sobre el geoide (o sobre el NMM) se denomina “altura ortométrica”, también referida como altitud o elevación. La “altura ortométrica” se definie como la distancia vertical desde el geoide a un punto en la superficie de la Tierra. La altura elipsóidica se mide por la normal al punto en la superficie terrestre, como muestra la figura. Para fines prácticos ellas se consideran colineales, aunque rigurosamente no lo son. La relación entre la superficie elipsoidal y la superficie del geoide está dada por la “ondulación geoidal” , designada por “N”, ella representa en un punto la altura del geoide respecto al elipsoide. El conocimiento de este valor es necesario para la reducción de alturas elipsóidicas a alturas sobre el NMM, de acuerdo a la expresión: h = H + N. La altura elipsóidica sólo interesa en posicionamiento con GPS. El tratamiento matemático del geoide es un problema complejo que se resuelve puntualmente y el usuario debe recurrir a modelos geoidales. Los modelos existentes están presentes en algunos programas computacionales de procesamiento GPS o se puede recurrir externamente a modelos continentales o aún, modelos globales modernos como el EGM96 (Earth Gravity Model 1996), para obtener valores de ondulación. El EGM96 es de uso público y está a disposición un programa de extracción automática, con su respectivo banco de datos, en el “web site” de la NASA (http://cddisa.gsfc.nasa.gov/926/egm96/egm96.html o http://164.214.2.59/GandG/wgs-84/egm96.html). Aún así, los usuarios deben estar atentos a nuevos modelos globales, continentales o regionales mejor adaptados a nuestro país.

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René Zepeda G.

APUNTE COMPLEMENTARIO Preparado por René Zepeda G.

TOLERANCIA, PRECISIÓN, DEFORMACIÓN Y ESCALA Para magnitudes lineales, se definen Tolerancia (T), como siendo el valor de deformación máxima aceptable y Error, la discrepancia entre la medición sin corregir y la corregida (o reducida), por lo cual debe cumplirse siempre que el error tiene que ser menor que la tolerancia. En los proyectos de ingeniería las precisiones, tolerancias y deformaciones son expresadas de diferentes maneras, por ejemplo:

una red GPS de apoyo con precisión de 21.8 PPM (partes por millón) STC con tolerancia de 1/45870 deformación permitida de 1.00002180

Las tres expresiones citadas son equivalentes entre ellas. Sea una longitud “L” que se puede deformarse, o variar, en una magnitud “dL”:

L dLL dL

Partes proporcionales a la unidad (1/P):

Si la deformación permitida es proporcional a L y dL es pequeño respecto a L, la razón LdL

puede expresar su tolerancia, deformación o precisión. Ejemplo, sean los valores:

L= 1183.446 m dL=0.0258 m

resulta para LdL = 0.000021801

El inverso de este valor es 45870000021801.0

1≅=

dLL

Rescribiendo 45870

1≅

LdL , lo que finalmente indica la razón entre L y dL.

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René Zepeda G.

LdL

P=

1

Partes Por Millón (PPM): Otra forma de expresar lo anterior es en Partes Por Millón (PPM) de la longitud L. Para el

mismo ejemplo anterior, LdL también puede interpretarse como la deformación de

0.000021801 partes en el total (la unidad) Multiplicando este valor por 1 millón, resulta 21.8 millonésimos de L, o sea, 21.8PPM.

PPM = 610⋅LdL = 6101

⋅P

Factor de Escala (k):

Si LdL es constante y la longitud resultante es (L+dL), la razón

LdLL )( + también es

constante, k = 1.000021801 k es un factor de escala específico (no debe ser confundido con otros factores de escala).

LdL

LdLLk +=

+= 1

Relación entre Precisión y Desnivel:

El factor de escala asociado a la reducción por altura es R

hRKh += . Para desniveles

(alturas relativas) tiene el mismo significado, R

hRhK ∆+=∆

Por lo tanto, si se conoce la tolerancia de deformación lineal K, esta puede ser asociada a un desnivel, simplemente despejando RRhKh −⋅∆=∆ )( . Adoptando un R=6378000 y reemplazando la tolerancia de 21.8PPM (k=1.000021801) en la fórmula, resulta mh 139≅∆ El valor anterior se interpreta como el desnivel máximo permitido, respecto del plano de referencia del PTL, hasta el cual no es necesario realizar correcciones a las distancias, para que ellas sean consideradas dentro de tolerancia. Es decir, a mayor precisión (menor tolerancia) hay más restricción respecto a los desniveles (menor desnivel entre PTLs).

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René Zepeda G.

PARTE II – CONCEPTOS BÁSICOS DE GPS INTRODUCCIÓN AL GPS El GPS (Global Positioning System), Sistema Global de Pocisionamiento, es un sistema de radio navegación desarrollado por el Departamento de Defensa – DoD (Department of Defense) de los Estados Unidos con fines de navegación militar. En razón de su precisión y el grado de desarrollo de la tecnología de los receptores, emergieron las aplicaciones de uso civil, tales como: navegación, geodesia, topografía, señales de tiempo, etc. El servicio de posicionamiento estándar - SPS (Standard Positioning Service) pone a disposición las señales de uso civil 24 horas/día, en cualquier lugar del planeta, posibilitando la obtención de tiempo (fecha/hora) y de coordenadas (latitud, longitud y altura) con precisión nominal de 20 y 30 metros en las componentes horizontal y vertical respectivamente, en el 95% de los casos El principio básico del sistema permite calcular las coordenadas de un observador (receptor GPS), el cualquier lugar de la Tierra y a cualquier hora, basado en mediciones efectuadas entre el receptor y los satélites GPS que tienen coordenadas conocidas a lo largo del tiempo. Análogamente al principio de medición electrónica de distancias, en el método conocido como “estación libre”, se trata de determinar coordenadas de un punto (coordenadas desconocidas) a partir de mediciones de distancia a puntos de coordenadas conocidas. En que el número de puntos conocidos debe ser al menos igual al número de incógnitas), para haber una solución trivial. De esa forma, el modelo de observación es: 222 )()()( RSiRSiRSi ZZYYXXDi −+−+−=

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René Zepeda G.

El principio geométrico del sistema permite determinar la posición de un receptor (R), de coordenadas cartesianas geocéntricas (X,Y,Z)R, a partir de mediciones de distancias (Di), efectuadas desde tierra, a puntos en el espacio (satélites), de coordenadas conocidas (X,Y,Z)S. La solución para determinar el vector (X,Y,Z)R, es tener tantas observaciones Di como incógnitas y disponer de las coordenadas de los satélites. De lo anterior se presentan dos principios fundamentales a ser estudiados:

1. obtener las coordenadas de los satélites (datos) 2. medir las distancias a los satélites (observaciones)

SEGMENTOS. El sistema está compuesto por tres segmentos, estos son: segmento de control, segmento espacial y segmento usuario:

XWGS-84

ZWGS-84

YWGS-84

Recepto

o

S1

S2

S3

S4

S5

D1 D2

D3

D4

D5

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Segmentos GPS

• Colorado Springs• Diego Garcia• Ascension• Kwajalein• Hawaii

Segmento de control

Segmento Espacial

Segmento Usuário

SEGMENTO DE CONTROL. El segmento de control y monitoreo del sistema está compuesto por 5 estaciones, distribuidas por todo el globo en las zonas entre los trópicos terrestres. La función básica es rastrear las señales de todos los satélites, tomar datos meteorológicos, y retransmitir estos al centro de control. El centro de control se encarga de la predicción orbital, cálculo de correcciones de los relojes de los satélites, determinación de modelos ionosféricos e inyección de datos a los satélites, los que serán transmitidos por los satélites y captados por las antenas de los receptores GPS. El segmento de Control materializa el sistema de referencia WGS-84, adoptado por el sistema GPS.

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René Zepeda G.

El DMA (actualmente NIMA) adoptó el WGS-84 en 1987 y tuvo, hasta ahora, 3 refinamientos, resultando en las realizaciones denominadas WGS-84(G730) (29/06/94), WGS-84(G873) (29/01/97) y últimamente WGS-84 (G1150) (01/02), G indica la semana GPS. El último es compatible con ITRF2000 con precisión mejor que 3 centímetros. SEGMENTO USUARIO. Universo de receptores de señales GPS capaces de recibir, decodificar y procesar las señales en diversas aplicaciones. SEGMENTO ESPACIAL. Compuesto por los satélites GPS, denominados satélites NAVSTAR (NAVigation Satellite with Time And Ranging). La constelación GPS posee las siguientes características: 24 satélites en la constelación final; 6 planos orbitales inclinados 55º respecto al Ecuador, 4 satélites por plano; órbitas a aproximadamente a 20.000 km de altura; período de 12 horas siderales; transmiteN datos en dos frecuencias, L1=1575,42MHz y L2=1227,60Mhz.

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René Zepeda G.

Los satélites del Bloque I fueron prototipos, los del Bloque II y IIA (advanced) son de la 2ª generación, que serán reemplazados por la 3ª generación del Bloque IIR (replenishment). Entre las nuevas capacidades de los últimos está en medir distancias entre ellos. La 4ª generación serán los del Bloque IIF (follow-on), que incorporarán las modernizaciones del sistema, por ejemplo, frecuencias adicionales y relojes aún más precisos. Más informaciones en: http://www.navcen.uscg.gov/

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René Zepeda G.

CONSTELACIÓN ACTUAL SATÉLITES BLOQUE II / IIA / IIR

satélite PRN SVN fecha frec. plano *II-1 14 14-feb-89 II-2 2 13 10-jun-89 Cs B5 *II-3 16 18-ago-89 *II-4 19 21-oct-89 II-5 17 17 11-dic-89 Rb D6 *II-6 18 24-ene-90 *II-7 20 26-mar-90 *II-8 21 02-ago-90 II-9 15 15 01-oct-90 Cs D5

IIA-10 23 23 26-nov-90 Rb E5 IIA-11 24 24 04-jul-91 Cs D1 IIA-12 25 25 23-feb-92 Cs A2 *IIA-13 28 10-abr-92 IIA-14 26 26 07-jul-92 Rb F2 IIA-15 27 27 09-sep-92 Rb A4 IIA-16 1 32 22-nov-92 Cs F4 IIA-17 29 29 18-dic-92 Rb F5 *IIA-18 22 03-feb-93 IIA-19 31 31 30-mar-93 Rb C3 IIA-20 7 37 13-may-93 Rb C4 IIA-21 9 39 26-jun-93 Cs A1 IIA-22 5 35 30-ago-93 Cs B4 IIA-23 4 34 26-oct-93 Rb D4 IIA-24 6 36 10-mar-94 Cs C1 IIA-25 3 33 28-mar-96 Cs C2 IIA-26 10 40 16-jul-96 Cs E3 IIA-27 30 30 12-sep-96 Rb B2 IIA-28 8 38 06-nov-97 Rb A3

***IIR-1 42 17-ene-97 IIR-2 13 43 23-jul-97 Rb F3 IIR-3 11 46 07-oct-99 Rb D2 IIR-4 20 51 11-may-00 Rb E1 IIR-5 28 44 16-jul-00 Rb B3 IIR-6 14 41 10-nov-00 Rb F1 IIR-7 18 54 30-ene-01 Rb E4 IIR-8 16 56 29-ene-03 Rb B1 IIR-9 21 45 31-mar-03 Rb D3

IIR-10 22 47 21-dic-03 Rb E2

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René Zepeda G.

En los planes de modernización del sistema está la incorporación de una nueva frecuencia L5 (1176.45 MHz) en el Bloque IIR y agregar señales de código C/A en L2 y L5, mejorando las capacidades civiles del sistema.

Señal/SV Bloque R Bloque IIR-M (2005) Bloque IIF (2009?) L1 C/A * * * L1 P/Y * * * L1 M * *

L2 Civil * * L2 P/Y * * * L2 M * *

L5 Civil *

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René Zepeda G.

ÓRBITA DE UN SATÉLITE

Elementos del movimiento kepleriano del satélite (órbita normal) a semi-eje mayor de la elipse e excentricidad i inclinación (entre ecuador y elipse)

Ω ascención recta (del nodo ascendente) ϖ argumento del perigeo f anomalía (posición del satélite en el plano de la órbita)

La órbita de un satélite GPS es calculada previamente, es decir es predicha, por el segmento de control. Una órbita de un satélite en particular es definida para un arco de 28 horas, dividida en intervalos de 4 horas, con superposición (traslape) de 1 hora, la cual es inyectada en la memoria de los satélites al menos 1 vez por día, en forma de elementos keplerianos y sus perturbaciones. Uso de satélites artificiales conocimiento de la posición de satélites en órbita terrestre, sometidos a fuerza gravitacional y perturbaciones. Fuerzas perturbadoras gravitacionales Ð no esfericidad y no homogeneidad de la Tierra Ð atracción de cuerpos celestes (luna, sol, planetas) Ð mareas terrestres y oceánicas

i

i

Ω ω

f

satélite

anomalía perigeo

nodo ascendente ascención recta del nodo ascendente

argumento del perigeo

a·(1-

ecuador

γ (X)

Y

Z

equinoccio vernal

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René Zepeda G.

No gravitacionales Ð roce atmosférico Ð presión de radiación solar

Otras perturbaciones Ð roce con partículas en la atmósfera Ð radiación térmica del satélite Ð campo magnético terrestre Efemérides GPS para cada satélite (fuente: Seeber G., 1994)

parámetros de tiempo unidades toe tiempo origen de las efemérides s toc tiempo origen del reloj s

a0, a1, a2 coef. Polinomio de correc. reloj satélite s, s/s, s/s2 iod número de identificación arbitrario (issue of data) -

elementos keplerianos

a raíz de a metros

e excentricidad - io inclinación en toe rad

Ω0 ascensión recta del nodo ascendente en toe rad

ω0 argumento del perigeo rad M0 anomalía media en toe rad

parámetros perturbadores

∆ν corrección al movimiento medio rad/s

Ω τοδ variación de ascensión recta rad/s i dot variación de la inclinación rad/s CUS amplitud harmónico seno de corr. del argumento de latitud rad CUC amplitud harmónico cos de corr. del argumento de latitud rad CIS amplitud harmónico seno de corr. de la inclinación rad CIC amplitud harmónico cos de corr. de la inclinación rad CRS amplitud harmónico seno de corr. del radio vector m CRC amplitud harmónico cos de corr. del radio vector m

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SEÑAL GPS Actualmente cada satélite transmite informaciones moduladas en dos frecuencias de la banda L, generadas a partir de una fundamental fo=10,23MHz: L1=1575,42 MHz, longitud de onda λ=19cm; L2=1227,60 MHz, longitud de onda λ=24cm. Son tres las modulaciones de las portadoras:

Código binario de Adquisición Bruta o Grosera - C/A (Coarse Aquisition) en L1, de uso civil;

Código binario Preciso - P (ó Y) en L1 y L2, de uso restringido; Mensaje de navegación (NAVDATA) en L1 y L2.

Código Duración Frecuencia Longitud de onda λ

P(Y) 266.4 días (7 por sat.) 10,23MHz 29 metros

C/A 1 milisegundo 1,023MHz 293 metros

Códigos. Los códigos son secuencias binarias (combinación de ceros y unos) de formación seudo aleatoria, llamados Ruidos Seudo Aleatórios – PRN (Pseudo Random Noise), modulados en las frecuencias portadoras. Las principales características de los códigos son: El Código C/A es modulado solo en la portadora L1, a una frecuencia de 1,023 MHz, en períodos de 1 milisegundo. Cada satélite transmite un código diferente. El Código P es modulado en ambas portadoras (L1 y L2) a una frecuencia de 10,23 MHz, su duración es de 266,4 días y es separado en segmentos de 7 días. A cada satélite se le asigna un segmento de 7 días del código PRN (P ó Y), que identifica a cada satélite en particular, esto es, cada satélite transmite un segmento de una semana PRN de las 37 disponibles, todos ellos comenzando a las 0 horas TUC (Tiempo Universal Coordinado) de cada Domingo. Este código puede ser encriptado por la técnica Anti Spoofing–AS (Anti Fraude), resultando el código Y.

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La señal es descrita por Langley como:

SL1(t) = A P(t)Wi(t)D(t)cos(wt+Φ) + A C(t)D(t)sen(wt+Φ) SL2(t) = B P(t)Wi(t)D(t)cos(wt+Φ)

A,B: amplitud del código P P(t): secuencia del código P W: criptografía del código P D: Datos de navegación C: amplitud del código C/A w: frecuencia portadora L1 Φ: ruido de la fase

Los códigos son secuencias binarias y estos no alteran la fase, pero en razón del código P, ser de largo período es de difícil acceso. Mensaje de Navegación Los datos de navegación son modulados en ambas portadoras a una tasa de 50 bps, con duración de 30 segundos, resultando un mensaje de 1500 bits, denominado data frame, dividido en 5 subcuadros: Cuadro del mensaje:

Subcuadro 1 Coeficientes corrección reloj del satélite Número semana GPS, salud del satélite Edad de los datos

Subcuadro 2 Parámetros orbitales

Subcuadro 3 Cont. parámetros orbitales

Subcuadro 4

Almanaque satélites 25 a 32 Modelos ionósfera, dif. de tiempo GPS-TUC Información AS Salud satélites 25 a 32 Mensajes especiales

Subcuadro 5 Almanaque satélites 1 a 24 Salud satélites 1 a 24

En cada cuadro se transmiten dos palabras especiales TLM`(telemetry) y HOW (hand over word). TLM es alterada cuando se transmiten mensajes a los satélites.

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HOW contiene información sobre TOW (time of week) del siguiente subcuadro, es decir, permite acceso al tiempo GPS. Los subcuadros se repiten en todos los cuadros, hasta que sean renovados, mientras que los subcuadros 4 y 5, al ser compuestos de 25 páginas, cada cuadro contendrá una de sus páginas, haciendo que la transmisión de un mensaje completo dure 12,5 minutos.

Son dos las observables usadas en posicionamiento GPS: seudo-distancia a partir del código C/A y fase de la onda portadora L1 o L1 y L2. Cada una de las observables será tratada en tópicos separados. En síntesis, el mensaje de navegación o NAVDATA es un conjunto de datos transmitidos por cada satélite y está compuesto principalmente por: efemérides de los satélites: información que refleja el movimiento del satélite en

su órbita y permite calcular la posición de este al instante de la medición; almanaque: información simplificada sobre la posición de todos los satélites de

la constelación; tiempo del sistema: posibilita el sincronismo del receptor al tiempo GPS; correcciones a los relojes de los satélites: factores de corrección de tiempo; numero de identificación del satélite; estado (salud) del satélite, entre otros.

1 cuadro = 5 subcuadros

30 segundos

1 2 3

4 5

6 segundos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.6 segundos

0.02 segundos

1 subcuadro = 10 palabras

1 palabra = 30 bits

1 cuadro = 5 subcuadros

30 segundos

1 2 3

4 5

6 segundos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.6 segundos

0.02 segundos

30 segundos

1 2 3

4 5

30 segundos

1 2 3

4 5

6 segundos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 segundos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.6 segundos

0.02 segundos

0.6 segundos

0.02 segundos

1 subcuadro = 10 palabras

1 palabra = 30 bits

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OBSERVABLES GPS Recordando que las señales GPS son:

SL1(t) = A P(t)Wi(t)D(t)cos(wt+Φ) + A C(t)D(t)sen(wt+Φ) SL2(t) = B P(t)Wi(t)D(t)cos(wt+Φ)

A,B: amplitud del código P P(t): secuencia del código P W: criptografía del código P D: Datos de navegación C: amplitud del código C/A w: frecuencia portadora L1 Φ: ruido de la fase

... y el modelo matemático básico de la observación de distancias es:

222 )()()( RSiRSiRSi ZZYYXXDi −+−+−=

… el sistema permite, al menos, dos tipos de observaciones:

1. seudodistancia a partir del código C/A 2. fase de la(s) onda(s) portadora(s) L1 y L2

XWGS-84

ZWGS-84

YWGS-84

Recepto

o

S1

S2

S3

S4

S5

D1 D2

D3

D4

D5

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observable

código C/A λ = 300m

fase(s) portadora(s) L1 / L2

λ = 0.2m

autónomo navegadores ±10m –

posi

cion

amie

nto

relativo DGPS / SIG ±0.3 a 3m

alta precisión geodesia

± (mm + 1 a 2 ppm)

POSICIONAMIENTO CON CODIGO C/A. POSICIONAMIENTO AUTÓNOMO. El fundamento básico del posicionamiento a partir del código C/A, es la determinación de distancias a partir del tiempo de propagación del código generado en el satélite, comparado con una réplica del mismo generado por el receptor. El código generado en el satélite llega “atrasado” un cierto lapso “∆t”, que corresponde al tiempo demorado por la señal desde el satélite hasta el receptor. Debido a que la señal en el vacío viaja a la velocidad (conocida) de la luz “c”, se puede determinar la distancia “D”, al satélite mediante la expresión tcD ∆⋅= , D es conocida como “seudodistancia”.

D = c * ∆T

1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1satélite

receptor∆t

D = c * ∆T

1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1satélite

receptor∆t

La obtención de ∆t es realizada por correlación máxima de producto binario entre las señales recibida y del receptor GPS. Precisión de la seudodistancia (SD): según Wells, la resolución de una onda electromagnética es dada por 1/100 de su longitud de onda, pero con los avances el la microelectrónica en los últimos 10 años, especialmente los superconductores, el ruido de los circuitos se ha reducido mejorando la resolución hasta 1/1000. Si se

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considera la frecuencia del código C/A (1,023 MHz), su longitud de onda es aproximadamente de 300 metros, por lo tanto la actual precisión posible para una medición de seudodistancia, es del orden de 0.3 metros. Cada satélite lleva osciladores atómicos, como patrón de tiempo, de cesio o rubidio, con estabilidad de 10-12 y 10-13 (∆t/t), formando una base de tiempo muy preciso. Por otro lado los receptores, por su costo, llevan osciladores de cuarzo, con estabilidad inferior al patrón atómico, 10-7 (∆t/t) por lo tanto existe una falta de sincronismo (∆t) entre el tiempo GPS y el tiempo mantenido en el receptor (denotado anteriormente por dtr), que es tratado como una incógnita más en el sistema de ecuaciones del modelo matemático utilizado. Existe también una corrección al sincronismo de los relojes de los satélites (∆T) (denotado anteriormente por dtS), cuyos factores del polinomio de corrección son transmitidos en el mensaje de navegación. tGPS

s = ts – ∆Ts tGPSr = tr – ∆tr De esa forma la ecuación de seudo distancia queda:

srRSiRSiRSi TctcZZYYXXSDi ∆−∆+−+−+−= 222 )()()(

Si se considera la distancia geométrica receptor-satélite como ρr

s: )1()()()( 222

RSiRSiRSiSi ZZYYXX −+−+−=ρ

TITctcSDi sr

Sr ++ε+∆−∆+ρ=

TITctcZZYYXXSDi sr

S

rRSiRSiRSi ++ε+∆−∆+−+−+−= 222 )()()(

ε: errores de medición de SD I: efecto de refracción ionosférica T: efecto de refracción troposférica Para el caso de 4 medidas de seudo distancias a 4 satélites, de acuerdo a la figura, se tienen las expresiones:

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)()()()(

)()()()(

)2()()()()(

)()()()(

44222

4

33222

3

22222

2

11222

1

SSRSiRSiRSiS

SSRSiRSiRSiS

SSRSiRSiRSiS

SSRSiRSiRSiS

TtcZZYYXXSD

TtcZZYYXXSD

TtcZZYYXXSD

TtcZZYYXXSD

∆−∆⋅+−+−+−=

∆−∆⋅+−+−+−=

∆−∆⋅+−+−+−=

∆−∆⋅+−+−+−=

SD es la seudo distancia observada a cada satélite por el receptor ρ es la distancia real (geométrica) de cada satélite al receptor; (X,Y,Z)Si son las coordenadas de cada satélite considerado, calculadas a partir de las

efemérides (X,Y,Z)R son las coordenadas incógnitas del receptor GPS c es la velocidad de la luz (constante en el vacío) ∆T es la corrección de sincronismo del reloj de cada satélite, dado en el mensaje

de navegación del satélite ∆t es la corrección de sincronismo incógnita del reloj del receptor.

El sistema presenta 4 incógnitas: XR, YR, ZR, y ∆t a ser resueltas, lo que implica poseer un mínimo de 4 ecuaciones, que en la práctica significa medir o rastrear al menos 4 satélites simultáneamente y de esa manera obtener coordenadas del receptor. Este modelo básico está presente en todos los receptores GPS y el sistema de ecuaciones se calcula continuamente, normalmente cada 1 segundo, la solución es llamada de “posicionamiento autónomo”, o sea, respecto a un solo receptor, con precisión de ±10 metros GPS DIFERENCIAL – DGPS. El modo DGPS se basa el principio en que estaciones próximas, distantes hasta algunas centenas de kilómetros, están sujetas a errores comunes, principalmente debido a la SA (Disponibilidad Selectiva) cuando está activada y efectos atmosféricos, afectando la medición de las SD en forma casi idéntica.

sup. terrestre

atmósfera

est. Aest. Bsup. terrestre

atmósfera

est. Aest. B

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René Zepeda G.

Una forma de remover este efecto en una estación es conocer los mismos efectos en otra estación, denominada de referencia o estación base. La estación base debe rastrear simultáneamente la constelación visible de satélites.

Un receptor GPS instalado en una estación base de coordenadas fijas, efectúa medidas de seudo distancias erróneas. Al compararse las coordenadas determinadas con las coordenadas fijas es posible calcular una corrección a cada seudo distancia medida en la misma estación. Este procedimiento se conoce como GPS Diferencial o DGPS. Aplicando las mismas ecuaciones citadas anteriormente: Observación en la Base (B):

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

44222

4

33222

3

22222

2

11222

1

SBSBSiBSiBSiSB

SBSBSiBSiBSiSB

SBSBSiBSiBSiSB

SBSBSiBSiBSiSB

TtcZZYYXXSD

TtcZZYYXXSD

TtcZZYYXXSD

TtcZZYYXXSD

∆−∆⋅+−+−+−=

∆−∆⋅+−+−+−=

∆−∆⋅+−+−+−=

∆−∆⋅+−+−+−=

SD : seudo distancias medidas en el receptor base; es la medición

fundamental; dSD : correcciones a las seudo distancias, también llamadas

diferenciales; (X,Y,Z)Si : coordenadas de cada satélite considerado, calculadas a partir de

las efemérides; (X,Y,Z)B : coordenadas fijas del receptor GPS base. Siendo SDi observaciones desde B y si las coordenadas de B (XB,YB,ZB) son conocidas, se puede determinar una SDi teórica, la diferencia entre ellas es una corrección diferencial dSDi, la que puede ser usada en otra estación considerada cercana.

Base Movil

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Las SDi de un receptor móvil (M) están sujetas a los mismos errores de B, en ese caso esas SDi pueden ser corregidas previas al cálculo de la posición:

)()Z(Z)Y(Y)X(XdSDSD

...)()Z(Z)Y(Y)X(XdSDSD

)()Z(Z)Y(Y)X(XdSDSD

)()Z(Z)Y(Y)X(XdSDSD

)()Z(Z)Y(Y)X(XdSDSD

12

MSN2

MSN2

MSNSNSNM

12

MS42

MS42

MS4S4S4M

12

MS32

MS32

MS3S3S3M

12

MS22

MS22

MS2S2S2M

12

MS12

MS12

MS1S1S1M

SM

SM

SM

SM

SM

Ttc

Ttc

Ttc

Ttc

Ttc

∆−∆⋅+−+−+−=+

∆−∆⋅+−+−+−=+

∆−∆⋅+−+−+−=+

∆−∆⋅+−+−+−=+

∆−∆⋅+−+−+−=+

SDM : seudo distancias medidas en el receptor móvil dSDi: correcciones diferenciales a las SDi generadas de los datos de B (X,Y,Z)Si : coordenadas de cada satélite considerado, calculadas a partir de

las efemérides; (X,Y,Z)R : Coordenadas del receptor móvil (M) corregidas (DGPS). Dependiendo de la calidad de procesador de código C/A que utilice el receptor Base, métrico (1/100 de λ) o submétrico (1/1000 de λ), las coordenadas corregidas tendrán una precisión del orden de ±3 a ±0,3 metros, respectivamente (sin considerar otro errores). Cabe destacar que esta solución requiere sólo de una observación para poder resolver la coordenada. Intervalo de grabación de datos. Se asume que una corrección DGPS tiene una validez en torno de 20 a 30 segundos, o sea, un receptor remoto puede usar una corrección generada en una época con 20 segundos de “antigüedad” y aún mantener su precisión nominal. Por este motivo los intervalos de grabación en la estación base y remota no necesariamente deben ser iguales. En la estación base se usan comúnmente intervalos entre 5 y 15 segundos, pudiendo ser incluso mayores, intervalos menores no mejoran las correcciones y aumentan innecesariamente el tamaño de los archivos. Para la estación remota se recomiendan intervalos entre 1 y 5 segundos, o mayores en el caso de levantamientos dinámicos con el receptor en baja velocidad. Siendo que las posiciones pueden ser todas corregidas, la principal ventaja del modo DGPS es la rapidez, de la toma de datos, y su desventaja es el límite de precisión (hasta aprox. ±0,3 metros). Entre las principales aplicaciones se encuentra el mapeo para SIG (posiciones DGPS de elementos punto, línea y polígono con atributos), hidrografía (DGPS en tiempo real) y navegación en general.

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OBSERVACIÓN DE LA FASE PORTADORA Principio. Una observable más precisa que la seudo distancia es la fase de la onda portadora, la principal ventaja reside en el hecho de que la longitud de onda (~0,20m) de las portadoras es mucho menor que la del código C/A (~300m), lográndose precisiones hasta del orden de los milímetros. El problema geométrico de la medida de distancias satélite-receptor puede también ser solucionado usando las portadoras L1 ó, L1 y L2 combinadas.. Para este propósito la distancia se obtiene, dicho en forma simple, contando el número de ciclos (N) multiplicado por su longitud. Entretanto su gran desventaja es que, por usar un patrón del tipo sinusoidal, en que debe contarse el número entero de ciclos de onda portadora, procedimiento analítico que no es inmediato.

Sea una onda portadora (Φ), SΦ la fase generada en el satélite y rΦ la fase de

comparación generada en el receptor. La fase observada en el receptor, en ciclos, en un instante (t) es la frecuencia de la diferencia entre ellas y es dada por: Al sintonizar una señal el receptor observa longitudes de onda, en forma de fracción de λ, después de eso, el receptor solo cuenta ciclos sucesivos (continuos).

D = N*λD = N*λ

XWGS-84

ZWGS-84

YWGS-84

Recepto

o

S1

S2

S3

S4

Φ5

Φ1 Φ2

Φ3

Φ4

D5

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El receptor no conoce el Nº entero de ciclos que hay entre el receptor y el satélite. N, es llamada ambigüedad entera ambigüedad de la fase

[ ] )4(N )(t-)(t sr

sr

sr tropion

srciclos ∆+∆++ΦΦ=Φ

tr : Instante de recepción de la señal en la estación r ts : Instante de transmisión de la señal en satélite s Φ: fase observada a cada satélite por el receptor, en unidades de

ciclos N: número entero de ciclos de onda a cada satélite, llamados de

ambigüedades enteras ∆ion, ∆trop: correcciones debido a refracción ionosférica y troposférica,

respectivamente

El tiempo de propagación c

tt sr

ρ=− )( es compuesto por la parte geométrica y los

efectos de refracción, )(** s

r ttcN −=λ=ρ donde: 222 )()()( r

sr

sr

ssr ZZYYXX −+−+−=ρ

t es el tiempo de propagación de la señal y c la velocidad de la luz (vacío) c = 299 792,458 m/s

.

---> portadora del satélite

tiempo

Num.

de c

iclos

---> portadora recibida

N(to)=entero inicial

Int(Φ;to,t)=num. de ciclos enteros recibidos

Fr(Φ)=fracción de ciclo

---> portadora del satélite

tiempo

Num.

de c

iclos

---> portadora recibida

N(to)=entero inicial

Int(Φ;to,t)=num. de ciclos enteros recibidos

Fr(Φ)=fracción de ciclo

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Los relojes del receptor y satélite poseen sus errores propios, dtr y dTs, respectivamente.

Considerando que [ ]

[ ][ ]ciclosm

sciclos

sm

frecc

.=λ , resulta:

Φ=λ

c

Multiplicando la (4) por λ, para representarla en unidades de longitud, además incluyendo los errores de los relojes y haciendo s

rΦ⋅λ=Φ , se tiene:

[ ] tropions

srr

ccm ∆+∆+λ++ΦΦ

+ΦΦ

=Φλ sr

ssrr N )dT)(t(-)dt)(t(

tropioncc ∆+∆+λ++=Φ sr

ssrr N dT-)(t-dt)(t

tropionc ∆+∆+λ++=Φ sr

sr

sr N dT-dt)t-(t

pero: 222s

r )()()( )t-(t rs

rs

rss

r ZZYYXXc −+−+−=ρ=

222

tropionsr

)()()(

)5(∆∆λN)dc(d

rs

rs

rss

r

sr

sr

ZZYYXX

Tt

−+−+−=ρ

+++−+ρ=Φ

. La ecuación (5) es conocida como modelo de “fase pura”, en ella son incógnitas las coordenadas cartesianas del receptor (X,Y,Z)R , la falta de sincronismo (dtr) y la ambigüedad (N).

Si se compara la ecuación anterior con la ecuación de seudo distancias, se observa que se agregan como incógnitas, las ambigüedades enteras N, resultando un número mayor de incógnitas que de ecuaciones. Esto implica que no es posible una solución observaciones en solo una época, en la práctica significa que el posicionamiento no es instantáneo.

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MODELOS MATEMÁTICOS El modelo más comúnmente usado en los programas de procesamiento GPS, para resolver las coordenadas y ambigüedades, es de la diferenciación de observaciones entre dos receptores a varios satélites. La ecuación de la observación básica es:

222

tropionsr

)()()(

∆∆λN)dc(d

rs

rs

rss

r

sr

sr

ZZYYXX

Tt

−+−+−=ρ

+++−+ρ=Φ

Φ : fase observada en unidades lineales ρs

r : distancia geométrica entre satélite y receptor ∆tr : corrección al tiempo del receptor ∆Ts : corrección al tiempo del satélite λ : longitud de onda Ns

r : ambigüedad entera entre satélite y receptor ∆ion ∆trop: correcciones de refracción En el modelo son incógnitas las 3 coordenadas del receptor (X,Y,Z)r y las ambigüedades Ni a cada satélite, es decir, siempre existirán más incógnitas que ecuaciones, consecuentemente no hay solución. Se recurre ala combinación de la observable de fase portadora (Φ) para determinar diferencia de coordenadas (∆X,∆Y,∆Z), o sea, el vector entre las estaciones. Este modelo consiste básicamente (en forma simplificada) en la diferenciación de observaciones realizadas por ambos receptores a los satélites y permite remover errores comunes a dos estaciones y a los satélites.

Diferencia simple La primera diferencia puede ser formada por las observaciones entre: dos receptores, dos satélites, o dos épocas. Normalmente se realizan entre satélites o entre receptores. Designando por ∆ la diferencia:

1 By A receptores los entre (to)(to))(

:ó , 2y 1 satélites los entre(to)(to))(1B

1A

1B-A

2A

1A

2-1A

satélitealrespectoto

Areceptoralrespectoto

Φ−Φ=∆Φ

Φ−Φ=∆Φ

En el esquema simplificado de la primera diferencia, considerando 2 estaciones (A, B) y 3 satélites (S1, S2, S3), se remueven los errores comunes de los relojes del receptor:

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S2

S1

RBRA

∆X, ∆Y, ∆Z

Φ(1-A)

Φ(1-B)Φ(2-A)

Φ(2-B)

S2

S1

RBRA

∆X, ∆Y, ∆Z

S2

S1

RBRA

∆X, ∆Y, ∆Z

Φ(1-A)

Φ(1-B)Φ(2-A)

Φ(2-B)

Observaciones en A primera diferencia (entre satélites) A 1 1

A111 Nλ)∆(∆c ⋅+−⋅+ρ=Φ TtAAA (satélite de referencia: sat 1)

)NN(λ)∆(∆c 2A

1A

122121 −⋅+−⋅+ρ=∆Φ −− TTAA

A 2 2A

222 Nλ)∆(∆c ⋅+−⋅+ρ=Φ TtAAA )NN(λ)∆(∆c 3

A1A

133131 −⋅+−⋅+ρ=∆Φ −− TTAA

A 3 3A

333 Nλ)∆(∆c ⋅+−⋅+ρ=Φ TtAAA

Observaciones en B B 1 1

B111 Nλ)∆(∆c ⋅+−⋅+ρ=Φ TtBBB

)NN(λ)∆(∆c 2B

1B

122121 −⋅+−⋅+ρ=∆Φ −− TTBB

B 2 2B

222 Nλ)∆(∆c ⋅+−⋅+ρ=Φ TtBBB )NN(λ)∆(∆c 3

B1B

133131 −⋅+−⋅+ρ=∆Φ −− TTBB

B 3 3B

333 Nλ)∆(∆c ⋅+−⋅+ρ=Φ TtBBB Doble Diferencia (DD): La DD es la diferencia entre dos primeras diferencias, es expresada como:

2-1A

2-1B

2-1B-A

2-1B-A

2-1A

2-1B

1B-A

2B-A

2-1B-A

∆N∆Ncf

(T)(T)(T)(T)

++ρ∆⋅=∆Φ∇

∆Φ−∆Φ=∆Φ−∆Φ=∆Φ∇

El término 2-1

A2-1

B ∆N∆N + es llamado “ambigüedad de la DD”.

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La ecuación de DD es la observable más usada por los programas de procesamiento de datos GPS de fase portadora. Es la que entrega los mejores resultados. Continuando con el esquema anterior de las primeras diferencias, resultan las DD, que remueven los errores comunes a los satélites, errores de órbita y de relojes de los satélites:

primera diferencia (entre satélites) DOBLE DIFERENCIA (entre 1as dif)

(satélite de referencia: sat 1) A 1-2 )NN(λ)∆(∆c 2

A1A

122121 −⋅+−⋅+ρ=∆Φ −− TTAA )NNNN(λ 2

B1B

2A

1A

1212 +−−⋅+ρ=∆Φ∇ ABAB

A 1-3 )NN(λ)∆(∆c 3A

1A

133131 −⋅+−⋅+ρ=∆Φ −− TTAA

B 1-2 )NN(λ)∆(∆c 2B

1B

122121 −⋅+−⋅+ρ=∆Φ −− TTBB )NNNN(λ 3

B1B

3A

1A

1313 −+−⋅+ρ=∆Φ∇ ABAB

B 1-3 )NN(λ)∆(∆c 3B

1B

133131 −⋅+−⋅+ρ=∆Φ −− TTBB En la ecuación de DD los términos de corrección de sincronismo de los receptores son eliminados; las incógnitas que permanecen son las ambigüedades y la diferencia de coordenadas entre receptores. Los programas de procesamiento GPS acostumbran designar a la solución calculada por doble diferencia con las ambigüedades enteras como FIX (FIJA A la misma solución pero con las ambigüedades aproximadas (no enteras) se llama FLOAT (FLOTANTE). Normalmente una sesión de rastreo con datos “limpios” de fase portadora, conducirá a una solución FIX, resultando coordenadas con precisión relativa en torno de 1 a 2 ppm (partes por millón) de la distancia entre estaciones. La solución FLOAT no garantiza precisión relativa mejor que 10 a 20 centímetros. Por ese motivo, el usuario debe estar atento al tipo de solución final lograda por los programas utilizados, de otra manera se escapa de la precisión nominal prevista para el modo de medida con la fase portadora. Aún así la solución FLOAT, para líneas más extensas, puede entregar precisión absoluta de varios centímetros y corresponder a una precisión relativa mejor que 2ppm. Por ejemplo, una precisión de 10cm en 50km equivale a 2ppm.

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En esta solución se resuelven las ambigüedades (N) e implícitamente en el término ∆ρ las diferencias de coordenadas cartesianas (∆X,∆Y,∆Z) entre los receptores. La solución puede ser muy precisa pero su exactitud depende de las coordenadas de la estación base (fija).

Existe también la triple diferencia, que es la diferencia, en épocas diferentes, entre dos dobles diferencias. Esta es más simple de implementar, pero no tan precisa como la doble diferencia, aún así es útil para una estimación de las ambigüedades. Intervalo de grabación de datos. A diferencia de DGPS, en este método las medidas (de fase portadora) deben ser sincronizadas. Para posicionamiento de alta precisión, el intervalo de grabación o generación de datos, correspondientes a las épocas de observación, pueden ser entre 0,1 y 30 segundos. En método estático normalmente se usan intervalos entre 10 y 20 segundos (comúnmente 15); en método cinemático se usan intervalos entre 1 y 5 segundos, dependiendo de la velocidad del receptor y la tasa de muestreo deseada. Receptores de alto rendimiento permiten tasas menores que 1 segundo, para aplicaciones de alto dinamismo, por ejemplo control de máquinas en tiempo-real. Queda claro que para una sola época de observación no existe solución, de esa forma la solución en la etapa de ajuste, la matriz de los coeficientes linealizados (A), de orden (nxu), n corresponderá al Nº de ecuaciones de observación, igual al Nº de dobles diferencias (Nº satélites -1), mientras que u corresponderá al Nº de parámetros (incógnitas), siendo igual a (Nº satélites * 2 + 3). Observaciones adicionales en otras épocas (t2, t3, …) Debido a que las ambigüedades corresponden a la época inicial y considerando que en épocas sucesivas el Nº de satélites se mantiene constante, y además que los receptores permanecen estáticos en las estaciones, al realizar observaciones adicionales (en épocas sucesivas) no se adicionarán parámetros incógnitas al sistema de ecuaciones. Vectores Independientes La DD, entre dos estaciones A y B, dada por: )NNNN(λ 2

B1B

2A

1A

1212 +−−⋅+ρ=∆Φ∇ ABAB , Si se agregaran las observaciones de una estación adicional C, correspondientes al mismo lapso de los datos de A y B (misma sesión), aparentemente son posibles 3 soluciones: AB, AC y BC:

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1- )NNNN(λ 2B

1B

2A

1A

1212 +−−⋅+ρ=∆Φ∇ ABAB 2- )NNNN(λ 2

C1C

2A

1A

1212 +−−⋅+ρ=∆Φ∇ ACAC 3- )NNNN(λ 2

C1C

2B

1B

1212 +−−⋅+ρ=∆Φ∇ BCBC

Si se suman dos ecuaciones, se obtiene la tercera, es decir esta dependiente de las dos primeras [Seeber], significa que en la última se incluyen las mismas constantes (en las efemérides) de coordenadas de satélites y sus correcciones, que las primeras. Por otro lado, los parámetros incógnitas en el ajuste (vectores y ambigüedades), ya están presentes en las ecuaciones anteriores. Se concluye que, en una sesión, el Nº de líneas independientes es igual al (Nº de receptores -1), es decir en solo una sesión, no se forman figuras cerradas. Esto será estudiado más adelante. En la práctica, cuando se usan al menos 3 receptores simultáneamente, el grado de dependencia (correlación) entre vectores varían entre un valor máximo (covarianza cruzadas de valor alto), cuando el lapso de datos y satélites son exactamente iguales, y un valor mínimo (covarianzas cruzadas igual a cero), cuando no existe ninguna de las dos condiciones anteriores. Tercera o Triple Diferencia. Además es posible realizar una tercera diferencia, denominada comúnmente como TRIPLE DIFERENCIA (respecto al tiempo), que es la diferencia entre dos dobles diferencias en 2 épocas. Queda a cargo del alumno verificar que en esta solución no existen ambigüedades como incógnitas. Por otro lado esta solución es más inestable que la Doble Diferencia, más sensible a la pérdida de ciclos, razón por la cual no es considerada la más precisa y no se usa en la solución final. Solución vs. Precisión Típica Clasificando en forma aproximada las precisiones típicas, respecto al modo de solución, se pueden hacer las siguientes aproximaciones acerca de los pasos de obtención de un vector GPS.

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SOLUCIÓN PRECISIÓN TÍPICA

autónomo ≈ ± 10 m DGPS ≈ ± 0,5 m Triple Diferencia ≈ ± 0,2 m DD Flotante (N aproximados como num. real) ≈ ± 0,05 m DD Fija (N como num. entero) ≈ ± 0,01 m

PRECISIÓN

TIEMPO OBS.

10 m

0,5 m

0,2 m

0,05 m

0,01 m

autónomo

DGPS

triple dif

DD flotanteDD fija

PRECISIÓN

TIEMPO OBS.

10 m

0,5 m

0,2 m

0,05 m

0,01 m

autónomo

DGPS

triple dif

DD flotanteDD fija

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ERRORES DE LAS OBSERVACIONES Según (Monico) las fuentes de error son:

Fuente Error

Satélite Error de órbita Error del reloj Relatividad Atraso en el hardware del

satélite Propagación Refracción troposférica

Refracción ionosférica Pérdida de ciclos Multitrayectoria de las señales Rotación terrestre

Receptor / antena Error del reloj Error de los canales Centro de fase

Estación Error de coordenadas Multitrayectoria Efectos geodinámicos

La mayoría de ellos son sistemáticos, es decir son modelados, otros son minimizados y algunos tiene carácter de “grave”, por ejemplo, la multitrayectoria. El efecto combinado de los errores sobre la determinación de la distancia, se denomina UERE (User Equivalent Range Error). Un valor medio de UERE es:

Fuente Error típico sin SA

Error típico con SA

Reloj y efemérides 3.0 3.0 Efemérides 1.0 1.0 SA 0 32.3 Refracción ionosférica 7.0 7.0 Refracción troposférica 1.5 1.5 Receptor 1.5 1.5 Mutitrayectoria 2.5 2.5 Canales receptor 0.5 0.5 Total UERE 8.4 m 33.4 m

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Dilución de la Precisión (DOP) La Dilución de la Precisión – DOP, es un concepto para evaluar la calidad geométrica de la constelación de satélites visibles, respecto a un punto sobre la superficie terrestre. Se deduce a partir del concepto de posicionamiento autónomo. La precisión de la observación de la seudodistancia (SD) es expresada por el UERE (User Equivalent User Error), el cual se asocia a la desviación estándar de la observación (σR), de tal forma: σ(posición) = DOP*σR La interpretación geométrica del DOP es el inverso del volumen (V) formado por el tetraedro formado por la estación y 4 satélites. El mismo resultado se obtiene de las reglas del ajuste y de propagación de errores. La matriz de covarianzas de los parámetros (coordenadas) es: 12 )( −σ=Σ PAAx T

R A es la matriz de diseño (Jacobiana) compuesta de escalares conocidos (ver

linealización de la ecuación de distancia: D

xxo −), y depende de las coordenadas

aproximadas de la estación y de las coordenadas de los satélites. Si se consideran las SD independientes y de igual precisión, la matriz P = I (identidad). En pre análisis la matriz Σx puede ser calculada antes de la etapa de terreno, entonces, ella es compuesta de las varianzas y covarianzas de las coordenadas de los satélites:

2

2

2

2

2

tzttytx

ztzzyzx

ytyzyyx

xtxzxyx

Rx

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σ=Σ

La estimativa de error de una posición es: )( 22222

zyxRP σ+σ+σσ=σ

Que corresponde a: PDOPRP ⋅σ=σ

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Transformando la MC en coordenadas horizontales, N, E, h, se tienen los siguientes DOP: Componente horizontal: )( 2222

NERH σ+σσ=σ → HDOPRH ⋅σ=σ

3D: )( 22222hNERP σ+σ+σσ=σ → PDOPRP ⋅σ=σ

3D + tiempo: )( 222222thNERG σ+σ+σ+σσ=σ → GDOPRG ⋅σ=σ

)( 222

hNEPDOP σ+σ+σ= )( 22

NEHDOP σ+σ=

)( 2222thNEGDOP σ+σ+σ+σ= = 1)( −Σ AAdiagonal T (trazo)

Normalmente se aceptan los siguientes valores empíricos: PDOP < 4 : bueno 4 < PDOP < 6 : aceptable 6 < PDOP < 8 : condicional PDOP > 8 : inaceptable

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René Zepeda G.

GLONASS Un sistema análogo al GPS manejado por la Federación Rusa, con los mismos principios y fines que el GPS, es el Sistema Satelital de Navegación Global – GLONASS (Global Navigation Satellite System). A diferencia del GPS en que los satélites transmiten la misma frecuencia con códigos PRN diferentes, en el GLONASS los satélites transmiten en frecuencias diferentes, diferenciándose por el canal asignado. Las frecuencias GLONASS, de la banda L, son: L1=1602. + 0.5625k (MHz) y L2 =1246. + 0,4375k (MHz), donde “k” representa el número del canal correspondiente a cada satélite. Totalmente implantado GLONASS tendrá 24 satélites, de los cuales a la fecha existen 7 en servicio más uno de reserva, en órbita a 19.100km, inclinadas 65º respecto al ecuador, con período de 11 horas y 15 minutos aproximadamente. Este sistema no tiene implementada la Disponibilidad Selectiva – SA. GPS y GLONASS usan diferentes referencias para posición y tiempo, aunque se hacen esfuerzos para reducirlas. Las efemérides GLONASS son respecto al datum PZ-90 (Parametry Zemli 1990) el cual difiere del WGS-84. La escala de tiempo GLONASS es UTC(SU) – Tiempo Atómico Coordinado Unión Soviética, mientras que en GPS es UTC(USNO) UTC Observatorio Naval de EEUU. Para aplicaciones en topografía y geodesia GLONASS por sí solo no es más eficaz que GPS, pero en combinación con GPS trae grandes beneficios, el principal de ellos es el aumento de la constelación disponible, lo que lleva a un incremento de mediciones y finalmente más rapidez y consistencia en la solución de las coordenadas. Algunos fabricantes de receptores GPS para uso en topografía y geodesia ya disponen de equipos capaces de rastrear las dos constelaciones, con sus respectivos programas de procesamiento.

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René Zepeda G.

Formato RINEX El formato RINEX (Receiver Independent Exchange Format) fue desarrollado para permitir el intercambio de observaciones GPS independientes de marca y tipo de receptores. La Asociación Internacional de Geodesia (IAG) oficializó este formato y hoy día todos los productores de receptores GPS ofrecen programas convertidores para sus propios formatos binarios al formato RINEX. Casi todos los programas de procesamiento aceptan datos en formato RINEX. RINEX considera diferentes archivos para:

Datos de observaciones GPS (*.Oaa) Informaciones de navegación de los satélites (*.Naa) Datos meteorológicos (*.Maa)

aa: año A continuación un ejemplo de dos archivos Rinex, observaciones y efemérides, correspondiente a la estación Sant del IGS. Cuando se trata de conservar en el tiempo los archivos, es frecuente la pérdida de informaciones, es por eso que cobra especial importancia asegurarse que algunos datos vitales queden grabados en los archivos, como nombre de la estación y, tipo y altura de la antena. Mayores informaciones en: http://igscb.jpl.nasa.gov/newformats.html

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2.10 OBSERVATION DATA G (GPS) RINEX VERSION / TYPE teqc 2002Jun14 gpsops 20020928 00:08:58UTCPGM / RUN BY / DATE 30.0000 INTERVAL 1 1 WAVELENGTH FACT L1/2 5 L1 L2 P1 P2 C1 # / TYPES OF OBSERV 2002 9 27 0 0 0.0000000 GPS TIME OF FIRST OBS GGN JPL OBSERVER / AGENCY 251 AOAD/M_T ANT # / TYPE 1769693.3295 -5044574.1436 -3468321.0883 APPROX POSITION XYZ 0.0614 0.0000 0.0000 ANTENNA: DELTA H/E/N LP020003803 ASHTECH Z-XII3 CC00 1s soc2rnx REC # / TYPE / VERS SANT MARKER NAME 41705M003 MARKER NUMBER END OF HEADER 02 9 27 0 0 0.0000000 0 7G25G 4G11G 1G20G 7G13 120822359.47648 94147245.25948 22991767.0434 22991778.7974 22991766.1134 131867123.17148 102753543.89248 25093521.8044 25093537.4594 25093526.6224 110479639.34148 86087969.53548 21023621.7584 21023637.6414 21023621.1334 106056000.07448 82640985.21048 20181825.7564 20181839.2294 20181825.4074 109930547.81848 85660103.58148 20919134.8194 20919145.9734 20919134.5324 121502191.30548 94676972.38748 23121142.9494 23121160.2814 23121143.1124 116746493.63648 90971215.47148 22216178.1724 22216197.9744 22216177.0634 02 9 27 0 0 30.0000000 0 7G25G 4G11G 1G20G 7G13 120878430.73248 94190937.23348 23002436.9724 23002448.6584 23002436.1454 131758463.01948 102668873.82648 25072844.6854 25072860.1564 25072848.0474 110544546.76148 86138546.49548 21035973.3854 21035989.3424 21035972.7544 106037735.05248 82626752.83348 20178349.9834 20178363.3814 20178349.5384 109935068.24348 85663625.98648 20919995.0704 20920006.2124 20919994.7734 121522197.80548 94692561.66648 23124950.5304 23124967.7284 23124950.3364 116674668.60248 90915248.29148 22202510.0664 22202529.5404 22202508.8814 02 9 27 0 1 0.0000000 0 7G25G 4G11G 1G20G 7G13 120935019.95748 94235032.82048 23013205.0924 23013216.9024 23013204.2144 131649813.08148 102584211.65348 25052170.6264 25052184.8084 25052167.1064 110609881.21748 86189456.21248 21048406.3224 21048422.3244 21048405.7964 106019941.63548 82612887.93948 20174963.9574 20174977.2894 20174963.3824 109939761.06948 85667282.73548 20920888.1344 20920899.2724 20920887.8904 121542710.71848 94708545.54548 23128854.4554 23128871.3814 23128853.8814 116603168.08048 90859533.98548 22188903.7254 22188923.0654 22188902.6234 02 9 27 0 1 30.0000000 0 7G25G 4G11G 1G20G 7G13 120992126.74548 94279531.70048 23024072.3674 23024083.6914 23024071.4834 131541176.39948 102499559.79648 25031497.9984 25031511.7904 25031495.1164 110675642.21548 86240698.29348 21060920.4394 21060936.4544 21060919.8444 106002620.09648 82599390.74348 20171667.6584 20171681.0304 20171667.2794 109944627.56548 85671074.81048 20921814.1984 20921825.3184 20921813.9364 121563729.31948 94724923.47748 23132854.0064 23132871.2364 23132853.4104 116531993.79348 90804073.86948 22175359.4264 22175378.7004 22175358.1024 ............... …………………………………

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2.10 N: GPS NAV DATA RINEX VERSION / TYPE teqc 2002Jun14 gpsops 20021005 00:08:11UTCPGM / RUN BY / DATE END OF HEADER 1 02 10 4 2 0 0.0 2.517085522413D-04 2.046363078989D-12 0.000000000000D+00 5.500000000000D+01-2.343750000000D+00 4.688052419058D-09 5.615402489196D-01 -5.401670932770D-08 5.089976824820D-03 1.844018697739D-06 5.153580999374D+03 4.392000000000D+05-5.029141902924D-08 1.222203113368D+00-2.235174179077D-08 9.704319348882D-01 3.510937500000D+02-1.728239717858D+00-8.553213418528D-09 2.500104139373D-11 1.000000000000D+00 1.186000000000D+03 0.000000000000D+00 2.000000000000D+00 0.000000000000D+00-3.259629011154D-09 5.670000000000D+02 4.320000000000D+05 7 02 10 4 2 0 0.0 3.915652632713D-04-3.376499080332D-11 0.000000000000D+00 1.640000000000D+02 1.659375000000D+01 5.469513541479D-09 2.610846991160D+00 7.487833499908D-07 1.239259098656D-02 3.298744559288D-06 5.153710784912D+03 4.392000000000D+05 3.725290298462D-08-1.979661648054D+00-1.918524503708D-07 9.411593083886D-01 3.024687500000D+02-1.922824332894D+00-8.476424505676D-09 -1.107188976008D-11 1.000000000000D+00 1.186000000000D+03 0.000000000000D+00 0.000000000000D+00 0.000000000000D+00-1.862645149231D-09 1.640000000000D+02 4.320000000000D+05 11 02 10 4 2 0 0.0 2.211285755038D-05 9.094947017729D-13 0.000000000000D+00 7.800000000000D+01-6.084375000000D+01 5.693451440820D-09 1.891511014672D+00 -3.078952431679D-06 9.777098894119D-04 9.074807167053D-06 5.153663276672D+03 4.392000000000D+05 0.000000000000D+00-9.643664834263D-01-2.793967723846D-08 9.156195133994D-01 1.774062500000D+02-7.790458658845D-01-8.646431587153D-09 -6.393123442110D-10 1.000000000000D+00 1.186000000000D+03 0.000000000000D+00 1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-1.210719347000D-08 5.900000000000D+02 4.320000000000D+05 4 02 10 4 2 0 0.0 3.258869983256D-04 9.549694368616D-12 0.000000000000D+00 0.000000000000D+00-3.015625000000D+01 4.309108063076D-09-3.167264630542D-01 -1.626089215279D-06 5.911589250900D-03 1.069344580173D-05 5.153773435593D+03 4.392000000000D+05 9.126961231232D-08-8.677697949180D-01-4.097819328308D-08 9.682420386873D-01 1.791875000000D+02-2.991289746653D-01-7.964260314838D-09 -5.825242644738D-10 1.000000000000D+00 1.186000000000D+03 0.000000000000D+00 0.000000000000D+00 0.000000000000D+00-6.053596735001D-09 0.000000000000D+00 4.320000000000D+05 13 02 10 4 2 0 0.0-1.507578417659D-05-7.958078640513D-13 0.000000000000D+00 5.000000000000D+00 7.187500000000D-01 4.514830917973D-09-2.191998690595D+00 1.620501279831D-07 1.859816024080D-03 1.905485987663D-06 5.153740640640D+03 4.392000000000D+05 2.235174179077D-08 1.202559614086D+00-2.980232238770D-08 9.746633903224D-01 3.495000000000D+02 4.800845299277D-01-8.395706857747D-09 7.678891285216D-11 1.000000000000D+00 1.186000000000D+03 0.000000000000D+00 0.000000000000D+00 0.000000000000D+00-1.117587089539D-08 5.000000000000D+00 4.320000000000D+05 …………….. ……………..

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TRANSPORTE DE COORDENADAS En posicionamiento relativo de alta precisión se determinan las componentes relativas ∆X, ∆Y, ∆Z del vector que sumadas a las coordenadas fijas del punto base, proporcionan las coordenadas deseadas. Se denomina sesión de rastreo, al intervalo de tiempo en que dos o más receptores graban datos simultáneamente en modo estático, con objeto de realizar el transporte de coordenadas. Líneas o vectores independientes. Para cada sesión de rastreo habrá un número (Nb) de líneas independientes igual a: Nb = Nr –1 ; Nr = número de receptores Independiente del número de receptores rastreando simultáneamente en una misma sesión, no se formarán figuras cerradas que permitan el control de una red; deberá por lo tanto haber medidas superabundantes, de forma análoga a una red de triangulación. Para posibilitar el control (ajuste) de figuras medidas con GPS estas se deben formar con observaciones de más de una sesión. Por ejemplo, en el caso de 3 receptores instalados simultáneamente en los puntos A, B y C, forman el triángulo ABC, si bien es posible procesar las líneas AB, AC y BC, una de ellas es combinación (dependiente) de las otras dos, por el hecho de provenir del mismo conjunto de observaciones. En este caso existen sólo dos líneas independientes (estudiado anteriormente), por lo tanto no se forma una figura cerrada. En el ejemplo, para permitir algún control de cierre de la figura y posterior ajuste, se debe rastrear en otra sesión, una de las líneas de la figura ABC. Para la misma figura, se puede obtener una figura cerrada a partir de 3 sesiones usando solo 2 receptores. Determinación de vectores. Cuando se requiera determinaciones de precisión en métodos GPS geodésicos, el transporte de coordenadas debe realizarse mediante observación directa sobre la línea en que se desea alta precisión relativa, dicho de otro modo, las coordenadas relativas entre dos puntos GPS obedecen a las leyes de propagación de errores de la misma forma que en geodesia y topografía convencional. Eso adquiere especial significado al implantarse Bases GPS con vértices cercanos e intervisibles, que serán empleados como lados de inicio y/o cierre para poligonales.

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Ejemplo 1, Empleando 2 Receptores. En cada sesión de rastreo se podrá determinar solo una base GPS, sea esta Línea Base o de conexión, que equivale a determinar las coordenadas de un vértice de cada Línea Base. Se requiere además, una sesión adicional para cerrar la figura, de esa forma serán necesarias 7 sesiones.

LB1LB2

LB3V1

V2 V3

V4

V5

V6

P0

S1

S2

S3

S4 S5

S6

S7LB = Línea BaseS = SesiónP0 = Punto de ligazón

Linea BaseLínea de conexión

LB1LB2

LB3V1

V2 V3

V4

V5

V6

P0

S1

S2

S3

S4 S5

S6

S7LB = Línea BaseS = SesiónP0 = Punto de ligazón

LB1LB2

LB3V1

V2 V3

V4

V5

V6

P0

S1

S2

S3

S4 S5

S6

S7LB = Línea BaseS = SesiónP0 = Punto de ligazón

Linea BaseLínea de conexiónLinea BaseLínea de conexión

Los receptores, representados por R1 y R2, pueden trasladarse ocupando todos los vértices GPS de acuerdo al siguiente esquema:

Sesiones

Receptor 1 2 3 4 5 6 7

R1 P0 V2 4 6

R2 V1 V3 V5 P0

Ejemplo 2, Empleando 3 Receptores. En cada sesión de rastreo se podrá determinar dos bases GPS, sean estas una Línea Base y una base de conexión, o bien dos del mismo tipo, que equivale a determinar las coordenadas de dos vértices. Se requiere además, una sesión adicional para cerrar la figura, de esa forma serán necesarias 4 sesiones.

LB1LB2

LB3V1

V2 V3

V4

V5

V6

P0

S1

S1

S2

S2 S3

S3

S4LB = Línea BaseS = SesiónP0 = Punto de ligazón

Linea BaseLínea de conexión

LB1LB2

LB3V1

V2 V3

V4

V5

V6

P0

S1

S1

S2

S2 S3

S3

S4LB = Línea BaseS = SesiónP0 = Punto de ligazón

LB1LB2

LB3V1

V2 V3

V4

V5

V6

P0

S1

S1

S2

S2 S3

S3

S4

LB1LB2

LB3V1

V2 V3

V4

V5

V6

P0

S1

S1

S2

S2 S3

S3

S4LB = Línea BaseS = SesiónP0 = Punto de ligazón

Linea BaseLínea de conexiónLinea BaseLínea de conexión

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Los receptores, representados por R1, R2 y R3, pueden trasladarse ocupando todos los vértices GPS de acuerdo al siguiente esquema:

Sesiones

Receptor 1 2 3 4

R1 P0 V4 V4

R2 V1 V3 V5 P0

R3 V2 V6 Es evidente que dependiendo de la logística, entre ello, el número de vehículos y la accesibilidad a los puntos, es posible diseñar diferentes secuencias de traslado de los receptores, siempre respetando los criterios establecidos precedentemente El número mínimo de sesiones para formar una figura cerrada puede ser calculado a partir del número de vértices a ser medidos y del número de receptores disponibles, de acuerdo a la siguiente relación:

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ALTIMETRIA La altura geométrica o elipsoidica es un concepto puramente analítico y tiene uso práctico en posicionamiento por GPS, no así la altura ortométrica o altitud, que es la coordenada vertical respecto al geoide, superficie ondulada que coincide aproximadamente con el Nivel Medio del Mar - NMM. En cualquier método GPS relativo, el transporte de coordenadas se realiza a partir del elipsoide del sistema WGS-84 y los valores finales de coordenadas, pos procesamiento o ajuste, se transforman respecto al datum o sistema de coordenadas de interés del usuario, por lo tanto la componente altimétrica continuará siendo geométrica (respecto al elipsoide). Para compatibilizar alturas elipsoidicas con las ortométricas se debe recurrir a valores de “ondulación geoidal” (N) que relacione el geoide a la superficie elipsoidica; debido a que estas dos superficies rigurosamente no son paralelas, el valor de N varía punto a punto y debe ser conocido en cada estación GPS que sea parte en el transporte. La diferencia de nivel respecto al geoide entre los puntos A y B esta dada por: ∆H = HB – HA siendo: HA = hA – NA y HB = hB – NB ; resulta ∆H = (hB – NB) – (hA – NA) = hB - hA – (NB – NA) ∆H = ∆h - ∆N Finalmente, HB = HA + ∆h - ∆N con : HA : altura de A respecto al geoide ∼ NMM ∆h : desnivel entre A y B respecto al eilpsoide (obtenido con GPS) ∆N: diferencia de ondulación geoidal entre A y B (obtenido de un modelo geoidal) Obviamente las alturas determinadas estarán sujetas al error propagado de ∆h y ∆n, a través de:

22NhH ∆∆ σ+σ=σ

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Diversos criterios se pueden adoptar para realizar la reducción al geoide:

Asumir que el área del levantamiento es suficientemente pequeña y que la tolerancia del levantamiento sea mayor que los errores. En este caso el geoide puede ser considerado plano y paralelo al elipsoide. Luego se está omitiendo la ondulación del geoide en extensiones de pocos kilómetros (dependiendo de la ubicación geográfica, esta extensión puede variar entre 0 y 3 kilómetros). Obviamente, se deberá determinar el valor de N para al menos uno de los puntos GPS, comparando la cota nivelada de dicho punto con la Cota GPS de él y aplicar esa corrección a todos los demás puntos GPS del área.

Asumir que el geoide es plano y no paralelo al elipsoide. Este caso es más

preciso que el anterior y se puede determinar con la ocupación de un mínimo de 3 puntos GPS con altura ortométrica conocida en la periferia del área considerada, las diferencias entre las alturas elipsoidicas y ortométricas en esos puntos determinan un plano considerado como un geoide local plano. Las reducciones a ese plano se aplican proporcionalmente de acuerdo a la posición de cada punto GPS restante.

Uso directo de un modelo. De los modelos hoy disponibles, por ejemplo el

EGM96, se pueden extraer en forma automática, valores de N para puntos con coordenadas determinadas, de esa manera basta aplicar los valores extraídos a cada punto del levantamiento. Se debe prestar atención al valor usado en la estación GPS base al reducir la altura al elipsoide, antes del procesamiento; este debe ser el mismo usado en la fase posterior al procesamiento, al momento de aplicar los diversos valores a todos los restantes puntos.

Determinación de un geoide local. Igualmente como en el caso 2, pero con un

mayor numero de puntos GPS uniformemente distribuidos con altura elipsoidica y ortométrica conocidas. En este caso se puede generar una superficie tridimensional que refleje más fielmente el comportamiento del geoide en la región a ser levantada. En este sentido el IGM inició el año 2000 la recuperación de la red de Nivelación Geodésica, con corrección gravimétrica. Esto implica el establecimiento de alturas ortométricas en los Pilares de Nivelación, por lo cual es fundamental proteger, mantener y preservar estas marcas.

El EGM-96 es de uso público y está a disposición un programa de extracción automática de ondulaciones, con su respectivo banco de datos, en la página

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internet de la NASA: http://cddisa.gsfc.nasa.gov/926/egm96/egm96.html o en: http://164.214.2.59/GandG/wgs-84/egm96.html. Aún así, los usuarios deben estar atentos a nuevos modelos globales, continentales o regionales mejor adaptados a nuestro país. Se destaca que el Modelo EGM-96, si bien corrige en algún grado la determinación altimétrica hecha con GPS, por tratarse de un modelo global (mundial), no posee una discriminación suficiente como para corregir la totalidad de la discrepancia Una regla válida para cualquier caso de posicionamiento GPS es: el error de la altura elipsoidica determinada es aproximadamente el doble del error planimétrico. La precisión final de la altura ortométrica transportada, depende de la precisión anteriormente citada y de la precisión en la reducción de la altura elipsoidica al geoide, siendo este último, por lo general, mucho mayor que el primero.

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PARTE III – CONCEPTOS BÁSICOS DE PROYECCIONES

PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR (TM)

Algoritmos del Sistema de Proyección TM Gerhardus Mercator, nombre latinizado de Gerhard Kramer (1462-1532) creó la proyección cilíndrica entre 1511 y 1513 como ayuda a la navegación, situando el eje de un cilindro coincidente con el eje del mundo. En 1559, Edward Wright desarrolló la proyección matemáticamente. El inconveniente de la proyección es que las superficies se deforman significativamente con el aumento de la latitud. Johan Heirich Lambert (1782-1777) resolvió el problema de pérdida de escala y resolvió colocar el cilindro perpendicular al eje del mundo (transversal) pero fue Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que la desarrolló matemáticamente a partir de 1822, posteriormente L. Krugger, entre 1912 y 1919 publicó las fórmulas referentes al elipsoide. En Europa la proyección es conocida como Gauss-Krugger mientras que en otros países se la denomina como Transversal de Mercator - TM. Los meridianos y paralelos no son proyectadas como rectas, sino como curvas complejas, excepto el ecuador y el meridiano central. En 1947 Estados Unidos adoptó la TM estandarizada recibiendo el nombre de Universal Transversal de Mercator – UTM, con constantes definidas y de uso entre las latitudes 80ºN y 80ºS. La proyección Transversal de Mercator es conforme, es decir mantiene en la proyección la magnitud de los ángulos infinitesimales formados en el elipsoide, es equivalente a decir que mantiene las formas infinitesimales. La proyección se forma implantando un cilindro cuyo eje es transversal al eje terciario del elipsoide adoptado (eje Z) y coincidente con el ecuador.

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Elipsoide Meridiano Central

Huso UTM

Plano UTMElipsoide Meridiano

Central

Huso UTM

Plano UTM

01

1918

60

λ=0ºMeridiano

Origen

λ=180º

Este

Polo Sur

01

1918

60

λ=0ºMeridiano

Origen

λ=180º

Este

Polo Sur

Husos UTM

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René Zepeda G.

Se adoptaron husos de 6º de amplitud en longitud, numerados desde 1 a 60, partiendo del anti meridiano origen, en sentido Este. A Chile continental le corresponden los Husos 18 y 19. Las demás constantes son: Factor de Escala en el Meridiano Central (MC) = 0,9996 Norte Falso (NF) para el hemisferio sur = 10.000 km Este Falso (EF) = 500 km. El origen de las coordenadas ortogonales formada por la cuadrícula es en la intersección de las proyecciones del ecuador y el meridiano central.

-78 -72 -66-16

-20

-24

-28

-32

-36

-40

-44

-48

-52

-56

Huso 18-69-75

Huso 19-78 -72 -66

-16

-20

-24

-28

-32

-36

-40

-44

-48

-52

-56

Huso 18-69-75

Huso 19

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René Zepeda G.

HUSO UTM PARA EL HEMISFERIO SUR

ESTE

NORTE

NF = 10.000 km EF =

500 k

m Meridianos y ParalelosProyectadosCuadrícula

UTM

Origen: Meridiano Central / Ecuador

NV NC NC NV

ESTE

NORTE

NF = 10.000 km EF =

500 k

m Meridianos y ParalelosProyectadosCuadrícula

UTM

Origen: Meridiano Central / Ecuador

NV NCNV NC NC NVNC NV

Ko=0,9996

K=1 K=1

Huso: 6ºKo= 1-1/2.500 = 0,9996FN(Y) = 10.000kmFE(X) = 500km

K>1K>1

Ko=0,9996

K=1 K=1

Huso: 6ºKo= 1-1/2.500 = 0,9996FN(Y) = 10.000kmFE(X) = 500km

K>1K>1

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René Zepeda G.

ELEMENTOS DE LA PROYECCIÓN

ECUADOR

MC

ESTEEF= 500 km

NF=10.000 km

NVNC

O

E’1

N’1B

1

meridiano de P1

paralelo de P1

N

CM

polo

NVNC CM

2

φ1

φ2E’2

∆λ1

∆λ2

t 1-2

T1-2

t 2-1

T 2-1

N’2

N=NF+N´E=EF+E´

t: azimut planoT: azimut geodésico proyectado

α: ángulo observadoβ: ángulo plano de cuadrícula

3

αβ

ECUADOR

MC

ESTEEF= 500 km

NF=10.000 km

NVNC

O

E’1

N’1B

1

meridiano de P1

paralelo de P1

N

CM

polo

NVNC CM

2

φ1

φ2E’2

∆λ1

∆λ2

t 1-2

T1-2

t 2-1

T 2-1

N’2

N=NF+N´E=EF+E´

t: azimut planoT: azimut geodésico proyectado

α: ángulo observadoβ: ángulo plano de cuadrícula

3

αβ

Las fórmulas que se presentan a continuación provienen de un estudio realizado en la Universidad de Sao Paulo, Brasil, y son NO iterativas en el cálculo de la latitud. Las presentes fórmulas son diferentes a las expuestas en el Volumen 2 del Manual de Carreteras, Edición 2001, las cuales son de más amplio conocimiento pero son iterativas. Los resultados numéricos usando ambos conjuntos de fórmulas son idénticos. El lector puede utilizar unas u otras, de acuerdo a su facilidad de uso.

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René Zepeda G.

ALGORITMO SISTEMA DE PROYECCIÓN TM Valores auxiliares

10)1(

8)1(

6)1(

4)1(

2)1()1(

222

222

eaFeaEeaD

eaCeaBeaAo

−⋅⋅=ξ

−⋅⋅=ε

−⋅⋅=δ

−⋅⋅=γ

−⋅⋅=β

ρ−⋅⋅

(1)

...

...

...

...

...

...

"3600*

...082513779295,57

"

+=

++=

+++=

++++=

+++++=

++++++=

==π

10

108

1086

10864

108642

108642

o

oo

o

e131072

639F

e655363465e

16384315E

e13107231185e

2048315e

51235D

e1638410395e

40962205e

256105e

6415C

e6553672765e

20482205e

512525e

1615e

43B

e6553643659e

1638411025e

256175e

6445e

431A

1" sen1 56424709635512062648,06180

180

(2)

2

222

2

222

2

222

'

1')2(

bbae

abae

abaf

eeeffe

−=

−=

−=

−=−=

(3)

TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS PLANAS (ESTE Y NORTE) N = NF + N’ (=10.000.000m + N’) N (-) al sur del Ecuador E = EF + E’ (=500.000m + E’) E (+) al este del MC E (-) al oeste del MC

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( )( )2224265

16

7201

422431

4241

21

221

0

33027045861"1cos"3

495"1cos"2

"1cos"1

)321('

η−η++−⋅φφλ∆=

η+η+−⋅φφλ∆=

φφλ∆=

+++⋅=

tttsensenNN

tsensenNN

sensenNN

NNNBkN

(4)

( )( )2224255

15

1201

22331

361

1

0

5814185"1cos"3

1"1cos"2

"1cos"1)321('

η−η++−⋅φφλ∆=

η+−⋅φλ∆=

φλ∆=

++⋅=

tttsenNE

tsenNE

senNEEEEkE

(5)

con

φ=ηφ=

=

φξ−φε+φδ−φγ+φβ−φα=

⋅λ−λ=λ∆

φ−

cos'

108642

3600)("

2211

0

etgt

NsensensensensenB

senea

o

oo

(6)

φ latitud del punto considerado λ longitud del punto considerado λ0 longitud del MC del huso ∆λ diferencia en longitud entre el punto considerado y el MC del huso B arco de meridiano desde el ecuador, sobre el MC correspondiente a la latitud

del punto K0 factor de escala en el MC (0,9996 para UTM) NF constante N en el ecuador (10.000.000 para UTM en el hemisferio sur) EF constante E en el MC (500.000 para UTM) N’ distancia plana del punto al ecuador E’ distancia plana del punto al MC a, b, e, e’ constantes del elipsoide del sistema (datum) de referencia TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS GEODÉSICAS (LATITUD Y LONGITUD)

60

61

41

21

21

21

21

41

211

6

40

41

21

41

41

21

21

21

211

4

20

21

211

21

"1720)45162107459061('

"124)936635('

"12)1('"

ksenNtttttE

ksenNttttE

ksenNtEc

c

η−η−η+++−

−η−η−η−η++

+η+

−=φ

φ+φ=φ

(*)(7)

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René Zepeda G.

501

51

21

21

21

41

21

5

301

31

21

21

3

011 "1cos120)8624285('

"1cos6)21('

"1cos'"

ksenNtttE

ksenNtE

ksenNE

φ

η+η++++

φ

η++−

φ=λ∆

(*)(8) (*)términos de correcciones de la latitud y longitud en segundos primera aproximación de φ1:

okNρα

=φ0

' (9)

φβ+β+β+β+β+=φ∆

φ∆+φ=φ

decorrecciónTTTTTT ...65

54

43

32

21

1 (10)

φ1 latitud del pié de la perpendicular del punto al MC; corresponde a la latitud de B.

φξ−φε+φδ−φγ+φβ−ρα= 10cos108cos86cos64cos42cos2oL (11) Funciones auxiliares:

( )( )( )( )( )φδ+φγ−φβ−=α

φδ−φγ+φβ−=α

φδ−φγ+φβ−=α

φδ+φγ−φβ−=α

φδ+φγ−φβ−=α

642

6cos4cos2cos

65442

6cos364cos2cos

6184822

5324

45256

1541

5

5324

15128

1541

4

332

321

3

332

341

2

11

sensensen

sensensen

sensensen

L

L

L

L

L

(12)

( ) ( )( )φξ+φε−φδ+φγ−φβ=

α+αα+αα+αα+αα+αα+α=β

α+αα+α+αα+α=β

α+αα+α=β

α+α=β

α=β

1086424284287

142136

55

2

1

512

31

2213

21324155

412

21

223144

312133

2122

11

sensensensensenT L

(13)

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René Zepeda G.

FACTOR DE ESCALA EN FUNCIÓN DE N, E

++=

+= 4

4

2

2

022

42

024

'2

'124

'2

'R

ER

EkNM

ENM

Ekk (14)

k medio entre los puntos 1 y 2

( )

∆++=

+++=

220

22022

0

2221

210

21

121'1

21''''

311

RkEEk

RkEEEEkk m (15)

Fórmula aproximada

+= 2

2

02

'1R

Ekk (16)

322

2

220 1

1

1 )sene(

)e(aMsene

aNρk

N'o

mm

φ−

−=

φ−=

α=φ

FACTOR DE ESCALA EN FUNCIÓN DE φ, λ

( ))45("1cos")1("1cos"1 24442412222

21

0 tsensenkk −φλ∆+η+φλ∆+= (17)

Fórmula aproximada

φλ∆+=

2cos1

22

0kk ∆λ=(λ–λo) en rad (18)

CORRECCIÓN POR ALTURA. Es la corrección a las distancias horizontales para ser reducidas a geodésicas, expresada en términos de factor de escala, de allí su denominación Factor de Escala debido a la Altura h (Kh). Ella relaciona las distancias por: Kh * S = Dhz

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RNHR

RhRKh

++=

+= (20)

Para H>0 KH>0 distancia elipsóidica x KH = distancia terreno También sirve como Factor de Escala para una proyección TM genérica Local, que se comporta como un Plano Topográfico Local (PTL), es decir, para una proyección cuyo cilindro pase por el terreno a la altura “h”, convirtiéndose en una proyección considerada con deformaciones mínimas respecto a las distancias horizontales, tal como se adopta en el Manual de Carreteras. CORRECCIÓN ANGULAR (t-T) = ψ :

[ ] )1(6

)32)(( 222

021 m

m

BABA

RkFEEENNrad η+⋅

−+−=ψ − (21)

Fórmulas simplificadas (en segundos de arco)

[ ] "·6

)32)((" 220

21 ρ−+−

=ψ −m

BABA

RkFEEENN Nótese que: 1221 −− ψ−=ψ

De otra fuente:

20

2

2222'

1212

)1()cos1()31'(

kaseneeEEN mm

⋅⋅

φ⋅−⋅φ⋅+⋅∆⋅−∆−=ψ −

Fórmulas simplificadas (en segundos de arco)

[ ] "·2

)31'(

" 20

2

121 ρ

⋅⋅

∆⋅−∆−=ψ −

ka

EEN

Debido a que esta corrección es pequeña, se puede reemplazar R por un radio aproximado, por ejemplo R=6.780.000 m, sin perjudicar la precisión de la corrección.

CONVERGENCIA MERIDIANA EN FUNCIÓN DE φ, λ

)2(cos)231(cos 2451514223

31 tsensensenCM −φφλ∆+η+η+φφλ∆+φλ∆= (22)

Fórmula simplificada:

φλ∆= senCM

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René Zepeda G.

Nótese que las unidades en que resultará expresada la CM dependerán de las unidades de ∆λ.

CONVERGENCIA MERIDIANA EN FUNCIÓN DE N, E

[ ] )352(15

')21(3

'' 41

215

15

0

15

41

21

213

13

0

13

10

1 ttNk

tgEtNk

tgENk

tgEradCM ++φ

+η−η−+φ

−φ

= (23)

Fórmula simplificada:

[ ] "·'"10

1 ρφ

=NktgECM

Secuencia de cálculo para conversión de coordenadas: Dados (φ, λ) calcular (N, E) 1- Definir parámetros del elipsoide:

a, e, e’ 2- Calcular A,B,C,D,E,F usando (2) 3- Calcular α, β, γ, δ, ε, ξ usando (1)

y (2) 4- Calcular ∆λ” usando (6) 5- Calcular B usando (6) 6- Calcular N’ usando (4) 7- Calcular E’ usando (5)

Dados (N, E) calcular (φ, λ) 1- Definir parámetros del elipsoide: a, e, e’ 2- Calcular A,B,C,D,E,F usando (2) 3- Calcular α, β, γ, δ, ε, ξ, ρo usando (1) 4- Calcular N’ 5- Calcular φ usando (9) 6- Calcular función auxiliar L y T usando (11)

y (13) 7- Calcular los αi usando (12) 8- Calcular los βi usando (13) 9- Calcular φ∆ usando (10) 10- Calcular φ1 usando (10) 11- Calcular N1, t1 y η1 usando (6) 12- Calcular E’ = E – EF 13- Calcular φ usando (7) 14- Calcular ∆λ usando (8)

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René Zepeda G.

DATOS DE EJEMPLO DE TRANSFORMACION UTM → GEODESICAS (GG.MMSS) DATOS DE ENTRADA (WGS84) : A,E^2,E, 6378137.00000000 0.669437999014132D-002 0.818191908426215D-001 N,E,H,MC 6297641.737 343637.923 546.490000000000 -69 A,B,C,D,E,F: 1.00505250178821 0.506310859723875D-002 0.106275901587118D-004 0.208203782644488D-007 0.393237129380285D-010 0.655454778252015D-013 ALFA,BETA,... 111132.952547913 16038.5086626504 16.8326131614633 0.219843738776170D-001 0.311416246803449D-004 0.415259397939981D-007 57.2957795130823 DEQ(E'),FIMEDIO -3702358.26300000 -0.581683451896783 ELE(L) 6354692.54940169 T -0.231535674055095D-002 ALFA1, ALFA2... 0.461913030138781D-002 -0.135271845489754D-002 0.156547935730516D-002 -0.251396118487884D-003 0.607054662959559D-003 BET1, BET2... 0.461913030138781D-002 -0.131004572541514D-002 0.153473022052833D-002 -0.203119388634888D-003 0.585263273219358D-003 FIMEDIO,DELTAFIM,FI1,FI1(GRAD) -0.581683451896783 -0.231533196165746D-002 -0.583998783858441 -33.4606655558614 N,t,n,E' 6384637.02633239 -0.660898736573758 0.684884784189982D-001 -156362.077000000 TÉRMINOS DE CORRECCIONES A LA LATITUD (SEG) FI11-12-13 -41.1055412559478 -0.129466677784492D-001 -0.446447776928301D-005 FI1,DALAT(SEG),DALAT9RAAD) -0.583998783858441 -41.0925990526471 -0.199222542130721D-003 LAT,LAT(GRAD) -0.583799561316310 -33.4492509450135 TÉRMINOS DE CORRECCIONES A LA LONGITUD DEA1,DEA2.. -6057.45672639476 -1.13824006053108 -0.397469044983469D-003 DEA(SEG),DEA(RAAD) -6056.31888380328 -0.293618625202986D-001 LON(RAD),ALON(GRAD) -1.23363904639639 -70.6823108010565 CONVERGENCIA A PARTIR DE PLANAS TÉRMINOS CP1,CP2,CP3,CP(SEG),CP(GRAD) 3339.86587050979 0.956983923071687 0.381576390025727D-003 3338.90926816310 0.927474796711974 CONV RAD 0.161874889318890D-001 A PARTIR DE GEODESICAS TÉRMINOS CG1,CG2,CG3,CG(SEG),CG(GRAD) 3338.23185212101 0.931649828744238 0.125350663919404D-003 3339.16362730041 0.927545452027893 M: 6354816.89348335 ESCALA RIGU (PLANAS),PPM 0.999901190776070 -98.8092239301108 ESCALA APRX (PLANAS),PPM 0.999901175652225 -98.8243477752311 ESCALA RIGU (GEOD),PPM 0.999901431488548 -98.5685114520022 ESCALA APRX (GEOD),PMM 0.999899975205923 -100.024794077512 FACT ESCALA ALTURA, PPM 1.00008579512130 85.7951212997262 FACT ESCALA COMB, PPM 1.00018462258764 184.622587644538