Document
PROSIDINGISBN:9789791635332 Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5
Desember
2009srrrT5PENENTUANHUBUNGANEKSPONENSPEKTRALDANDIMENSIFRAKTALSINYALULFGEOMAGNETJohnMaspupuPusfatsainsaLAPAN,Jl.Dr.Djundjunan
No.133Bandung40173,Tlp.0226012602Pes.106.Fax.0226014998Email:[email protected]
Makalah ini membahas hubungan antara dua jenis karakteristik
fraktalsinyalULF (Ultra low Frequency) geomagnet yaitu eksponen
spektral dan
dimensifraktal.JikahubunganmatematisantarakeduajeniskarakteristikfraktalsinyalULFinitelah
diketahui atau ditentukan maka selain dimensi fraktal, pendekatan
eksponenspektral ini juga dapat digunakan sebagai ciri untuk
mengindikasi eksistensi
anomalipadasinyalULFtersebut.Anomalidimaksudadalahterjadinyakenaikkanamplitudoyangcukup
besar pada variasi medan geomagnet komponen H, dibandingkan
dengankomponenkomponenlainnya(komponenDdanZ).OlehkarenaitutujuanpembahasanmakalahiniadalahmenyelidikiketerkaitankeduakarakteristikfraktalsinyalULFtersebutdan
sekaligus menentukan hubungan matematisnya. Metode analisis yang
digunakanuntukmencapaitujuandiatas,antaralainmenyangkutkonsepkonsepdimensifraktal,fraksigerakangerakanBrown(fractionalBrownmotions)dankuatspektralyangterkaitdenganeksponenHurst.Hasilpembahasandarihubungankeduakarakteristiktersebutadalah
untuk saling memperkuat dukungan pada proses fisis terkait yang
nantinyamemunculkan informasi tentang aktivitas geomagnet,
sehubungan dengan akanterjadinyabadaigeomagnet.Katakunci:
Eksponenspektral,dimensifraktal,sinyalULFgeomagnet.1.PendahuluanPengertiantentangeksponen
spektral sinyal ULF umumnya merupakan
faktorpangkatdariukuranpresisi
f1dalamskalafrekuensi.Dipihaklainenersifungsidensitasspektral(powerspectrum)umumnyasebandingdenganukuranpresisidipangkatkaneksponenspektralnya(lihat[6]).Pernyataandiatasinimengacupadasuatuhukumyang
dikenal dengan sebutan hukum pangkat (power law). Sedangkan
kontruksidimensi fraktal yang didasarkan pada bentukbentuk geometri
serupa diri (self
PROSIDINGISBN:9789791635332 Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5
Desember
2009srrssimilarity),ataupunpadajumlahhitungankotak(Boxcounting)jugadiperolehmelaluirelasihukumpangkat(lihat[4]).Dengandemikianeksponenspektralmaupundimensifraktal
juga merupakan suatu karakteristik fraktal dari sinyal ULF.
Pernyataan inidiperkuat ataupun didukung dengan penyelidikkan
tentang dinamika karakteristiksinyal ULF pada suatu kondisi
geomagnet lokal, yang dapat dibaca dalam makalahHayakawa et. al.
dan Smirnova et.al. (lihat [2], [3], dan [5]). Oleh karena itu
denganmempertimbangkan beberapa referensi yang telah dikemukakan di
atas,munculpemikiran untuk menentukan hubungan matematis antara
eksponen spektral dandimensi fraktal sinyal ULF. Adapun tujuan
pembahasan makalah ini antara lain,
a).MenyelidikiketerkaitankeduakarakteristikfraktalsinyalULFtersebut.b).Menentukanhubunganmatematisantaradimensiserupa(D)dengantangensarahS(d)padakurvasuatudataderetwaktu.c).Menentukanhubunganmatematisantaradimensihitungankotak(D
) dengan eksponen spektral (B ). Namun yang menjadimasalah adalah
bagaimana caranya menyelidiki keterkaitan kedua
karakteristiktersebut?Danmetodeapayangdigunakanuntukprosespenyelidikkannya?Untukituperludirancangsuatumetodologiyangmampumenyelesaikanpermasalahantersebutdiatas.Selainitumanfaatdaridiperolehnyahubungankeduakarakteristiktersebutadalah
untuk saling memperkuat dukungan pada proses fisis terkait yang
nantinyamemunculkan informasi tentang aktivitas geomagnet,
sehubungan dengan
akanterjadinyabadaigeomagnet.2.MetodologiKonsepkonsep yang
digunakan dalam pembahasan makalah ini adalah antara lain,analisis
dimensi serupa(similarity dimension),analisis dimensi hitungan
kotak (Boxcounting dimension), relasi hukum pangkat (power law
relationships), fraksi gerakangerakan Brown (fractional Brown
motions) dan kuat spektral atau fungsi
densitasspektral(spectraldensityfunctionpower spectrum) yang
terkait dengan
eksponenHurst.Untukjelasnya,berikutinidiberikantahapantahapanpembahasansebagaimanamestinya.i).Gunakanrelasihukumpangkatpadapanjangkurvasuatudataderetwaktu.
PROSIDINGISBN:9789791635332 Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5
Desember
2009srrtii).Gunakanrelasihukumpangkatpadadimensiserupadiridarikurvafraktal.iii).Nyatakanhubunganantarapanjangkurva(
)denganbanyaknyapotonganpotongankurva(
)menurutskalayangditentukan(x ).iv).KlaimdimensiserupaD
=d+1.Sv).GunakanrelasihukumpangkatpadarataratamutlakpertambahannilaifungsijejakgerakanBrownterhadapwaktusebagaiberikut:
B~TsG(lihat[1]).vi).Kembangkanrelasidilangkahv),untukfraksigerakangerakanBrowndenganmelibatkaneksponenHurstsehinggamenjadi,
BH~TsH.vii).Lakukananalisisperhitungankotak(boxcountinganalysis)dangunakanformulasiD
=B )1ln()(lnHHN(lihat[4]).viii).KlaimdimensihitungankotakD
=2H.Bix).Gunakanrelasihukumpangkatpadakuatspektraluntuksemuaderauyangterkaitdenganeksponenspektralyaitu,P(f)~
fE1.x).GunakanformulasikuatspektraluntukfraksigerakangerakanBrownyangterkaitdenganeksponenHurstyaitu,
||122)(fHHBfPH+V.xi).Lakukananalisispadalangkahlangkahviii),ix),danx).xii).KlaimD
=B25E.3.HasildanPembahasanMisalkan
adalahpanjangkurvasuatudataderetwaktu.x
adalahaturanpetunjukpengukuran( compasssetting )dalamsatuan
panjang. H1adalahukuranataufaktorpresisi.d
adalahtangensarah(slope)padakurvasuatudataderetwaktudalamdiagramlog
versuslog H1.
PROSIDINGISBN:9789791635332 Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5
Desember 2009srruMenurut relasi hukum pangkat panjang kurva suatu
data deret waktu
sebandingdenganfaktorpresisiyangdipangkatkantangensarahpadakurvadataderetwaktutersebut.Iniberartisecarasimbolik
~ H1.Ataujikaksuatukonstanta,makasecaramatematisdapatditulis =
Hdk..........(1)Dipihaklainmenurutkonsepdimensiserupadiri(selfsimilaritydimension)darikurvafraktaljugaberlakurelasihukumpangkat
= HDkS............(2)Selanjutnya jika merupakan banyaknya
potonganpotongan kurva yang dapatmenutup secara utuh panjang kurva
( ) maka dapat dikatakan sebagai
hasilperkalianantarabanyaknyapotonganpotongan(
)dengankebalikkanukuranskalapresisinya(x
).Dengandemikiandiperolehrelasisebagaiberikut, = . x
.........(3)Subtitusi persamaanpersamaan (1) dan (2) ke persamaan
(3) akan diperoleh relasiberikut, Hdk=HDkS.x ,
atauHDS=H1+d............(4)Jika kedua ruas persamaan (4) diambil
logaritmanya maka dihasilkan suatu relasisebagai berikut, D = d+1.
Hal yang serupa juga berlaku untuk hubungan antaraSdimensikompas(D
) dengantangensarah (Kd)padakurvadataderetwaktuyaituD = d+1.
Selanjutnya perhatikan pasangan titiktitik pada jejak gerakan Brown
yangKdipisahdenganwaktuT
,sepertiterlihatpadagambar1.,dibawahini:SGambar1.PertambahanskalawaktudarijejaksuatugerakanBrown.
PROSIDINGISBN:9789791635332 Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5
Desember
2009srrvJikaB(t)fungsijejakgerakanBrownterhadapwaktumakamenurutrelasihukumpangkatberlaku:
B= )()(tBTtBS+~TsG..........(5)Bila w
=21makawdigantidenganHdandisebuteksponenHurst,sehinggaB(t)akanmemberikan
gerakan Brown yang reguler (regular Brown motion).
Selanjutnyasebutlah B (t) adalah sebagian kecil dari gerakangerakan
Brown (fractional BrownHmotionsfBm) dengan daerah definisi eksponen
Hurst di antara 0 dan 1 (0 < H <
1).SebagiankecilgerakangerakanBrownsecarastatistikadalahprosesGaussianserupadiri(fractal)
dan
merupakanmodelmodelyangrelevanuntukberbagaijenisklasdarisuatufenomena
alam.WalaupungerakangerakanBrown initidakstasioner,namunsatuhalyang
dapat didefinisikan adalah kuat spektralyang
memilikienersifungsidensitasluruhan(powerdecay).PerludiketahuibahwakondisinonstasionerdariB
(t)HakanterlihatdalamenersiyangmunculdifrekuensirendahsepertipadasinyalsinyalULF.Dengandemikianrelasi(5)diatasdapatdimodifikasimenjadi
BH~TsH.........(6)Untukmenyederhanakanpembahasanini,tinjaulahfraksigerakangerakanBrowndalamsuatusistemkoordinatB
(t)terhadapwaktutdengan0 Gt G1dan 0 GB (t)
G1sepertiHHterlihatpadagambar2.,dibawahini:Gambar2.SifatskalasuatufraksigerakanBrownyangtermuatdalamkotaksatuan.
PROSIDINGISBN:9789791635332 Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5
Desember 2009srrwJikaselangsatuanwaktu tdanselangsatuanB
(t)inimasingmasingdibagimenjadi nHsubselang
makapanjangtiapsubselangwaktuadalah x=n1danpanjangsubselangB
(t)adalahHHHHn1.Dengan demikianluas dari persegi panjang tersebut
adalahsebesar H1111.1++HHHnnn...........(7)Akan
tetapiluasdaribujursangkarterkecildenganrusuk
n1yangdigunakanuntukmenutupiseluruhpersegipanjangtersebutdiatasadalah
H221n.Jadibanyaknyabujur sangkar yang digunakan untuk menutup
persegi panjang tersebut setiapsubselangwaktuadalahsebesar
HHH121+HH...........(8)Karenaada n=H1subselang
waktudenganpanjangmasingmasingsubselang waktux=n1, jadi total
banyaknya kotak sepanjang satu satuan waktu adalah sebesar
N=H1.H1H=H2H............(9)Menurutformulasidimensihitungankotak(lihat[4])
D =B )1ln()(lnHHN..........(10)Daripersamaan
persamaan(9)dn(10)diperoleh D
=2HB..........(11)MenurutkonsepThecolourandPowerofnoise(lihat[1]),jejakwaktusuatuvariabelacak
dengan distribusi Gaussian biasanya dikenal sebagai derau putih
(white
noise)sepertiyangterlihatpadagambar3.,dibawahini:Gambar3.HasilprosessimulasivariabelacakR(t)dengandistribusiGaussian(menurutkonstruksi
gerakan Brown)yangdisamplingdisetiapsatuanpertambahanwaktu.
PROSIDINGISBN:9789791635332 Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5
Desember
2009srrxPenjumlahansecarautuhdariderauputihinimemberikansuatugerakanBrownregulerreguleryangjugadikenalsebagaiderauBrown(Brownnoise)denganeksponenHurst(H=
0,5 ).Derau putih dan derau Brown ini sering teramati di alam ,
oleh karena
itumenurutrelasihukumpangkat,enersifungsidensitasspektralataukuatspektralsemuaderauselalusebandingdengan
fE1.Atauditulis P(f) ~
fE1...........(12)Dalamhalinifadalahbesaranfrekuensi,dan
adalaheksponenspektralyangdidefininisikansebagaiminuskemiringan(slope)regresilinierdarihasilplotlogf
versuslogP(f).Dalamhalinikemiringanadalahtg v dan v
adalahsudutmiringdenganarahberlawananjarumjamterhadapsumbukoordinatlogfpositif,sepertiterlihatpadagambar4.Dengandemikiandapatditulistg
v = atau = tg v.Gambar4. Garisregresilinierdarilogf
versuslogP(f)Dipihaklain,kuatspektraldariderauderaufraktalsepertipada
fBm,secaramatematisdinyatakansebagaiberikut,
|122|)(+HHHffBPV...........(13)DalamhaliniV2Hadalahvariansidaridistribusi
fBm
danHadalaheksponenHurst.Denganmemperhatikanrelasi(12)danpersamaan(13),akibatnyadapatditentukanhubungan
=2H+1.............(14) 00.511.522.533.5-4-3-2-10 log flog P(f)
PROSIDINGISBN:9789791635332 Seminar Nasional Matematika dan
Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5
Desember
2009srryDenganmensubtitusikanpersamaan(11)kedalampersamaan(14),akibatnyadiperolehdiperolehhubunganantaraeksponenspektraldandimensifraktalsebagaiberikutyaitu,
25EDBatau =52DB..........(15)Dari relasirelasi (14) dan (15) ini,
dapat dihitung nilainilai eksponen spektral,eksponen Hurst dan
dimensi fraktal hitungan kotak yang semuanya
dicantumkandalamtabel1.Tabel1.Hasilperhitungan danD denganB0G H G
1EksponenHurst HEksponenSpektral
hitungankotakDimensifraktalDBEksponenHurst HEksponenSpektral
hitungankotakDimensifraktalDB 1,003,01,000,451,91,55
0,952,91,050,401,81,60 0,902,81,100,351,71,65
0,852,71,150,301,61,70 0,802,61,200,251,51,75
0,752,51,250,201,41,80 0,702,41,300,151,31,85
0,652,31,350,101,21,90 0,602,21,400,051,11,95
0,552,11,450,011,021,99 0,502,01,500,001,02,00 Dari tabel1.,diatas
terlihat bahwa untuk eksponen Hurstdiantara1dan0,dimensifraktal
DBsecara bertahap cenderung membesar (menaik),
namuneksponenspektralnya secaragradualjugacenderungmengecil
(menurun). Selanjutnyamenurut[1],
kondisiderauhitam(blacknoise)akanmunculdidaerahnilaieksponenspektralyanglebihbesardaripada
dua(>2,0)atau tercatatdalamtabel1.,didaerahnilai dimensi
fraktalyanglebihkecildaripada satusetengah (D
0,50).Situasisepertiinibiasanyadikenalsebagai
kondisipersistensi(persistenceconditions).Sedangkan kondisi anti
persistensi (lihat [1]) terjadi didaerah nilai eksponen
Hurstyanglebihkecildaripada
setengah(H1,50)disertaiBdaerahnilaieksponenspektralyanglebihkecildaripadadua(
