Geometria Espacial

Elementos de Geometria Espacial

Introduo

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliao da Geometriaplana (euclidiana) e trata dos mtodos apropriados para o estudo de objetosespaciais assim como a relao entre esses elementos. Os objetos primitivosdo ponto de vista espacial, so: pontos, retas, segmentos de retas, planos,curvas, ngulos e superfcies. Os principais tipos de clculos que podemosrealizar so: comprimentos de curvas, reas de superfcies e volumes deregies slidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, osquais sero aceitos sem definio.

Planos e retas

Um plano um subconjunto do espao R3 de tal modo que quaisquer doispontos desse conjunto, podem ser ligados por um segmento de retainteiramente contido no conjunto.

Duas retas (segmentos de reta) no espao R3 podem ser: paralelas,concorrentes ou reversas.

Retas paralelas: Duas retas so paralelas se elas no possuem interseo eesto em um mesmo plano.

Retas concorrentes: Duas retas so concorrentes se elas tm um ponto emcomum. As retas perpendiculares so retas concorrentes que formam entre sium ngulo reto.

MATEMTICAGeometria Espacial

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Retas reversas: Duas retas so ditas reversas quando uma no tem interseocom a outra e elas no so paralelas. Isto significa que elas esto em planosdiferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no cho de uma casa euma reta s, no paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.

Posies de pontos, retas e planos

Um plano no espao R3 pode ser determinado por qualquer uma dassituaes:

Trs pontos no colineares (no pertencentes mesma reta).1.

Um ponto e uma reta ou um segmento de reta que no contm o ponto.2.

Um ponto e um segmento de reta que no contm o ponto.3.

Duas retas paralelas que no se sobrepe.4.

Dois segmentos de reta paralelos que no se sobrepe.5.

Duas retas concorrentes.6.

Dois segmentos de reta concorrentes.7.

Posies de retas e planos

H duas relaes importantes, relacionando uma reta e um plano no espao

R3.

Reta paralela a um plano: Uma reta r paralela a um plano no espao R3, seexiste uma reta s inteiramente contida no plano que paralela reta dada.



Reta perpendicular a um plano: Uma reta perpendicular a um plano no

espao R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de retacontido no plano que tem P como uma de suas extremidades perpendicular reta.

Distncia de um ponto a um plano

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distncia do ponto ao plano amedida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade o ponto P e a outra extremidade o ponto que a interseo entre o plano eo segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distncia nula.

Posies entre planos

Planos concorrentes no espao R3 so planos cuja interseo uma reta.1.

Planos paralelos no espao R3 so planos que no tem interseo.2.

Diedro: Quando dois planos so concorrentes, dizemos que tais planosformam um diedro.

3.

ngulo diedral: ngulo formado por dois planos concorrentes. Para obtero ngulo diedral, basta tomar o ngulo formado por quaisquer duas retasperpendiculares aos planos concorrentes.

4.

Planos normais so aqueles cujo ngulo diedral um ngulo reto (90graus).

5.



Noo de Espao

O que espao?

O que o espao? Reconhecemos e usamos o espao, mas se algumperguntar o que o espao, muitos iro ter dificuldades em explicar. Naverdade, mais fcil explicar o que se pode fazer com este ente primitivo queno tem definio para ns.

"Na casa de meu Pai h muitas moradas; se no fosse

assim, eu vo-lo teria dito; vou preparar-vos lugar."

Joo 14:2, A Bblia Sagrada

Uma primeira tentativa para explicar isto, dizer que tudo o que nos envolvee o local onde podemos nos mover para a frente, para o lado e para cima.

Pelo conceito expresso, observamos que vivemos em umambiente tridimensional. Basta ento conhecer as trsdirees para identificar a posio relativa queocupamos.

Quando afirmamos que vamos andar para a frente, parao lado e para cima, devemos quantificar e identificar oquanto iremos nos deslocar nestas direes, logonecessitamos conhecer uma origem para o sistema eidentificar este ponto como (0,0,0) pois esperamos que ele esteja localizado auma distncia num ponto de referncia para todos os outros pontos.

O Sistema Cartesiano tridimensional

Um procedimento matemtico simples tomar um ponto genrico como:

P=(x,y,z)

onde x indicar a quantidade deslocada na direo positiva do eixo que contemos deslocamentos para frente, y indicar a quantidade deslocada na direopositiva do eixo que contem os deslocamentos para o lado e z indicar a



quantidade deslocada na direo positiva do eixo que contem osdeslocamentos para cima.

Para facilitar as coisas do ponto de vista matemtico,iremos denominar tais direes por: Eixo OX, EixoOY e Eixo OZ.

O sistema tridimensional o conjunto de todos osternos ordenados (x,y,z), sendo que ordem no podeser mudada sob pena de nos deslocarmos para outrolugar. A palavra cartesiano se deve a RenDescartes, conhecido como cartesius. x recebe onome de abscissa, y o nome de afastamento e z onome de cota.

Exemplo: Se um indivduo est no centro da cidade emuma posio O=(0,0,0) e quer andar para a frente 3quadras, depois andar para o lado 5 quadras e depoissubir at o 10o. andar de um prdio a posio final domesmo aps o percurso ser o ponto P=(3,5,10) epodemos observar que as unidades no sonecessariamente as mesmas. Se este mesmoindivduo se deslocasse para a posio final P=(3,10,5), certamente chegaria aum lugar diferente.

Outros sistemas de localizao

Existem outras formas de localizao no espao tridimensional como o casodo sistema de coordenadas cilndricas, sistema de coordenadas esfricas,dentre outros. Particularmente importantes so os sistemas de corrdenadas noplano. O sistema cartesiano plano um caso particular do sistema cartesianoespacial tridimensional, mas existe um outro sistema muito importante que osistema de coordenadas polares.

O Sistema de Coordenadas Polares (R2)

Vamos considerar agora um mundo plano onde os pontos so indicados porP=(x,y). No sistema bidimensional a medida x recebe o nome de abscissa e amedida y recebe o nome de ordenada.



Existe um sistema que considera uma linha bsicahorizontal de referncia, por exemplo, o Eixo OXindicado positivamente e outra forma de indicar umponto P=(x,y). Consideremos que a distncia da origemO=(0,0) ao ponto P=(x,y) seja indicada por r e que ongulo formado entre o segmento OP e o Eixo OXindicado positivamente seja indicado por t. Neste caso ongulo dever ser um parmetro tal que 0

P=(x,y,z). A projeo deste ponto no plano do choque indicada pelo plano z=0 o ponto Po=(x,y,0) edeterminamos as coordenadas polares do parordenado (x,y) considerado como um ponto de umplano e no do espao.

Exemplo: Para um indivduo se deslocar da origem O=(0,0,0) ao pontoP=(3,4,10), ele dever se deslocar 5 unidades na direo da reta que forma umngulo de t=36.87 graus com o Eixo OX e subir 10 unidades, logo o ponto serdescrito como P=(3,4,10) ou em coordenadas cilndricas como:

P=(5, 36.87, 10)

O Sistema de Coordenadas Esfricas

Este sistema considera o plano do cho (z=0) quepassa pela origem O=(0,0,0) contendo o Eixo OXorientado positivamente e o Eixo OZ orientadopositivamente, que uma linha reta perpendicular aoplano do cho.

Neste sistema, o ponto P=(x,y,z) indicado por trsmedidas: r a distncia entre O=(0,0,0) e o pontoP=(x,y,z), u o ngulo formado entre projeo no planodo cho do segmento OP e o Eixo OX indicadopositivamente e v o ngulo formado entre o segmentoOP e o Eixo OZ indicado positivamente.

Enquanto o ngulo u pode ser tal que 0

Um Sistema Geogrfico

H um Sistema Geogrfico de identificao de posio na face da Terra queleva em considerao outros objetos como: meridianos e paralelos, paraindicar a longitude e a latitude do ponto na superfcie do globo terrestre. Comouma circunferncia de crculo tem um arco com 360 graus, os cientistasdividiram 360 graus por 24 (horas) para obter 15 graus por hora.

Consideraram a planificao do globo terrestre traaram linhas imaginriasgeodsicas (verticais) sobre a superfcie terrestre, as quais passam pelos polosNorte e Sul e estas so denominadas meridianos e a referncia bsica foi acidade de Greenwich (Inglaterra) que tem o meridiano 0.

Fizeram o mesmo com linhas horizontais na planificao e denominaram taislinhas de paralelos. Hoje podemos observar a localizao de uma cidade emqualquer lugar do mundo situada no meridiano M e paralelo P. E lgico quecada local est localizado com a cota z acima do nvel do mar, razo pela qualeste sistema pode ser indicado como:

P=(M,P,z)

Exemplo: O Terminal Rodovirio da cidade XYZ est localizada na posio(a,b,c). Resolva este problema para a sua cidade.

O Sistema cartesiano R4

Voc j pensou que ao invs de estar num sistema tridimensional comodissemos antes, talvez voc esteja num sistema tetradimensional? Na verdade,

vivemos num sistema R4, pois so necessrias 4 coordenadas para indicar aposio relativa de um objeto.

Um objeto colocado s 12:00 h no ponto (3,4,12) no o mesmo objetocolocado s 13:00 h no mesmo ponto (3,4,12).

Para entender melhor, exija um sacrifcio de uma pessoa e a coloque parada(se possvel, esttica) s 12:00 h em um local de sua casa, que tomaremoscomo o ponto (3,4,12). Voc espera que esta pessoa seja a mesma pessoa s13:00 h? bvio que aconteceram modificaes no comportamento damesma, mesmo que voc no tenha observado.

Voc acha que uma rvore plantada em um local por mais de 20 anos amesma a cada instante? O corpo humano tambm composto de tomos que



se movem a uma velocidade que no pode ser visualizada, assim, um corpoest em constante movimento e dependendo dos estmulos recebidos das maisdiversas fontes, ter alterao, logo no ser o mesmo de antes, nem mesmo1 segundo depois!

At o momento j observamos como possvel estender o conceito de espaoa algo alm daquilo que possamos desenhar ou conceber geometricamente.

Uma idia sobre o Rn

Quando o governo calcula a inflao de um determinado perodo, ele afirmaque a inflao inf uma funo que depende de vrias variveis como X(xuxu),A(abacate), Co(Condomnio), Ca(Carro), E(Escola), I(Indeciso do governo),D(Dvida Interna), E(etc) e outros "objetos". Uma pessoa normal colocaria oXuxu ou limo como um dos itens para a anlise e clculo da inflao?

Isto significa a um matemtico srio, que

inf = f(X,A,Co,Ca,E,I,D,E)

e logico que esta funo bem construda e consistente, no entanto vocno consegue desenhar o grfico da mesma nesse ambiente tridimensionalque voc vive. Isto indica que voc est trabalhando em um sistema com as 8coordenadas (X,A,Co,Ca,E,I,D,E), logo o grfico desta funo deve estar em

R9. Para obter seriamente a inflao voc precisa medir o comportamento de n(ou centenas de) variveis e no somente de poucas.

Isto no quer dizer que a inflao uma funo construda para enganar opovo. Na verdade, o que deveria ser feito para obter a inflao aconsiderao das principais variveis que causam esta alterao no SistemaFinanceiro Nacional, mas uma coisa bvia: O governo no leva emconsiderao os fatores que realmente distorcem o processo inflacionrio poisno considera nesses clculos os fatores que geram tal inflao mas somentealguns elementos da cesta bsica que nada tem a ver com a realidadenacional.

Com este exemplo, eu espero ter dado uma idia sobre o significado do

espao Rn, que uma mera extenso dos espaos bidimensional etridimensional, nossos velhos conhecidos.

A nossa capacidade ainda muito pequena para entender um espao

multidimensional Rn.



Observemos a passagem bblica citada no incio deste trabalho, que nos dizque existem outros ambientes (espaos) que o senso de um homem comum incapaz de conceber.

Ha uma necessidade do ser humano alterar o seu comportamento para veralgo alm das coisas comuns desse mundo. H muitas pessoas que olhampara uma parede de uma casa e no conseguem ver nada alm dela. Voc jse imaginou num quarto de uma casa, pensando exatamente que estivesse noquarto vizinho com todas as coisas boas ou ruins que o mesmo possui? Serque voc daqueles que percorre o trajeto de sua casa at o seu serviosempre usando o mesmo caminho? Voc j pensou que na outra rua existem(coisas ruins e) coisas belas que voc nunca percebeu porque nunca passoupor l?

Exerccios de criatividade

Exerccio de criatividade sobre o R5: Pense em uma pessoa no espao R esimule a possibilidade dessa pessoa ter duas outras caractersticas como idadee beleza. Observamos aqui que este indivduo j um ente pentadimensional etalvez no tivesse percebido isto, pois alm de ser tridimensional, ele tem pelomenos 2 outras caractersticas.

Exerccio para voc: Simule as carcatersticas principais do ser humano econsidere tais objetos como coordenadas de um sistema cartesiano.

Exerccio para o governo: Tome a conta do Condomnio do local onde vocmora, faa uma medida ms a ms dos custos de cada tem e monte umafuno com vrias variveis para determinar o custo mensal condomnio.Analise a variao entre dois meses consecutivos e observe que a inflao deseu condomnio no tem absolutamente nada a ver com a inflao do governo.



Cilindros

Introduo aos cilindros

O conceito de cilindro muito importante. Nas cozinhas encontramosaplicaes intensas do uso de cilindros. Nas construes, observamos caixasd'gua, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formascilndricas.

Existem outras formas cilndricas diferentes das comuns, como por exemplo ocilindro sinuzoidal obtido pela translao da funo seno.

Aplicaes prticas: Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicao importanteem sua vida?

A Construo de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um crculo de raio r e tomemostambm um segmento de reta AB que no seja paralelo ao plano P e nemesteja contido neste plano P. Um cilindro circular a reunio de todos ossegmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no crculo.



Observamos que um cilindro uma superfcie no espao R, mas muitas vezesvale a pena considerar o cilindro como a regio slida contida dentro docilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um slido usaremos aspas,isto , "cilindro" e quando for superfcie, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contm o segmento AB denominada geratriz e a curva que fica noplano do "cho" a diretriz.

Em funo da inclinao do segmento AB em relao ao plano do "cho", ocilindro ser chamado reto ou oblquo, respectivamente, se o segmento AB forperpendicular ou oblquo ao plano que contm a curva diretriz.

Objetos geomtricos em um "cilindro"

Em um cilindro, podemos identificar vrios elementos:

Base: a regio plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Numcilindro existem duas bases.

1.

Eixo: o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".2.

Altura: A altura de um cilindro a distncia entre os dois planos paralelosque contm as bases do "cilindro".

3.

Superfcie Lateral: o conjunto de todos os pontos do espao, que noestejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre

4.



apoiada sobre a curva diretriz.

Superfcie Total: o conjunto de todos os pontos da superfcie lateralreunido com os pontos das bases do cilindro.

5.

rea lateral: a medida da superfcie lateral do cilindro.6.

rea total: a medida da superfcie total do cilindro.7.

Seo meridiana de um cilindro: uma regio poligonal obtida pelainterseo de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com ocilindro.

8.

Extenso do conceito de cilindro

As caractersticas apresentadas antes para cilindros circulares, so tambmpossveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parbola,hiprbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.

Mesmo que a diretriz no seja uma curva conhecida, ainda assim existemcilindros obtidos quando a curva diretriz formada por uma reunio de curvassimples. Por exemplo, se a diretriz uma curva retangular, temos uma situaopatolgica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.

Em funo da curva diretriz, o cilindro ter o nome de cilindro: elptico,parablico, hiperblico, sinuzoidal (telha de eternit).

Classificao dos cilindros circulares

Cilindro circular oblquo: Apresenta as geratrizes oblquas em relao aos1.



planos das bases.

Cilindro circular reto: As geratrizes so perpendiculares aos planos dasbases. Este tipo de cilindro tambm chamado de cilindro de revoluo,pois gerado pela rotao de um retngulo.

2.

Cilindro eqiltero: um cilindro de revoluo cuja seo meridiana umquadrado.

3.

Volume de um "cilindro"

Em um cilindro, o volume dado pelo produto da rea da base pela altura.

V = A(base) h

Se a base um crculo de raio r, e pi=3,141593..., ento:

V = pi r h

Exerccio: Calcular o volume de um cilindro oblquo com base elptica(semi-eixos a e b) e altura h. Sugesto: Veja nesta mesma Pgina um materialsobre a rea da regio elptica.

rea lateral e rea total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a rea lateral dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r o raio da base e h a altura do cilindro. A rea total corresponde soma darea lateral com o dobro da rea da base.

A(total) = A(lateral) + 2 A(base)A(total) = 2 pi r h + 2 pi r

A(total) = 2 pi r(h+r)

Exemplo: Um cilindro circular equiltero aquele cuja altura igual aodimetro da base, isto h=2r. Neste caso, para calcular a rea lateral, a rea



total e o volume, podemos usar as frmulas, dadas por:

A(lateral) = 4 pi rA(base) = pi r

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi rVolume = A(base).h = pi r.2r = 2 pi r

Exerccio: Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm.Calcular a rea lateral, rea total e o seu volume.

A(base) = pi.r = pi.2 = 4 pi cmA(lateral) = 2.pi.r.h = 2.pi.2.3 = 12 pi cm

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 12pi + 8pi = 20 pi cmVolume = A(base).h = pi.rh = pi.4.3 = 12 pi cm



Cones

O conceito de cone

Considere uma regio plana limitada por uma curva suave (sem quinas),fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao slido formado pela reunio de todos os segmentos dereta que tm uma extremidade em um ponto P (vrtice) e a outra num pontoqualquer da regio.

Elementos do cone

Vrtice de um cone o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de1.


reta.


Base de um cone a regio plana contida no interior da curva, inclusive aprpria curva.

2.

Eixo do cone quando a base do cone uma regio que possui centro, oeixo o segmento de reta que passa pelo vrtice P e pelo centro da base.

3.

Geratriz qualquer segmento que tenha uma extremidade no vrtice docone e a outra na curva que envolve a base.

4.

Altura a distncia do vrtice do cone ao plano da base.5.

Superfcie lateral de um cone a reunio de todos os segmentos de retaque tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

6.

Superfcie do cone a reunio da superfcie lateral com a base do coneque o crculo.

7.

Seo meridiana de um cone uma regio triangular obtida pelainterseo do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

8.

Classificao do cone

Ao observar a posio relativa do eixo em relao base, os cones podem serclassificados como retos ou oblquos. Um cone dito reto quando o eixo perpendicular ao plano da base e oblquo quando no um cone reto. Aolado apresentamos um cone oblquo.

Observao: Para efeito de aplicaes, os cones mais importantes so oscones retos. Em funo das bases, os cones recebem nomes especiais. Porexemplo, um cone dito circular se a base um crculo e dito elptico se abase uma regio elptica.



Observaes sobre um cone circular reto

Um cone circular reto denominado cone de revoluo por ser obtido pelarotao (revoluo) de um tringulo retngulo em torno de um de seus catetos

A seo meridiana do cone circular reto a interseo do cone com um planoque contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seo meridiana a regiotriangular limitada pelo tringulo issceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes so congruentes entre si. Se g a medida da geratriz ento, pelo Teorema de Pitgoras, temos uma relaonotvel no cone: g=h+r, que pode ser "vista" na figura abaixo:

A rea Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em funo de g(medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(lateral) = pi.r.g

A rea total de um cone circular reto pode ser obtida em funo de g (medidada geratriz) e r (raio da base do cone):

A(total) = pi.r.g + pi.r = = pi.r.(g+r)

Cones Equilteros

Um cone circular reto um cone equiltero se a sua seo meridiana umaregio triangular equiltera e neste caso a medida da geratriz igual medida



do dimetro da base.

A rea da base do cone dada por:

A(base) = pi r

Pelo Teorema de Pitgoras temos que (2r)=h+r, logo h=4r-r=3r, assim:

h = r

Como o volume do cone obtido por 1/3 do produto da rea da base pelaaltura, ento:

V = (1/3) pi r3

Como a rea lateral pode ser obtida por:

A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r

ento a rea total ser dada por:

A(total) = 3 pi r

Exerccios resolvidos

Notao: Usaremos a notao R[3] para representar a raiz quadrada de 3.

A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ngulo de 60graus com o plano da base. Determinar a rea lateral, rea total e ovolume do cone.

Como sen(60o)=h/20, ento

(1/2) R[3] = h/20

h = 10 R[3] cm

1.



Como V = (1/3)(A(base).h, ento:

V = (1/3) pi.rhV = (1/3) pi.10.10 R[3]V = (1/3) 1000.R[3].pi cm

Se r=10cm; g=20cm e A(lateral)=pi.r.g, escreveremos:

A(lataral) = pi.r.g = pi.10.20 = 200.pi cmA(total) = A(lateral) + A(base) = pi.r.g + pi.r = pi.r.(r+g) = pi.10.(10+20) = 300 pi cm

A hipotenusa de um tringulo retngulomede 2cm e um dos ngulos mede 60graus. Girando-se o tringulo em tornodo cateto menor, obtem-se um cone.Qual o seu volume? Comosen(60)=r/2, segue que:

R[3]/2 = r/2r = R[3] cm

Substituindo os valores de g e de r, na relao g=h+r, obtemos

h = 1cmV = (1/3).A(base).h = (1/3) pi.rh = (1/3).pi.3 = pi cm

2.

Os catetos de um tringulo retngulomedem b e c, e a sua rea mede 2m. Ocone obtido pela rotao do tringulo emtorno do cateto b tem volume 16 pi m.Obteremos a medida do cateto c. Comoa rea do tringulo mede 2m, segueque: (1/2)bc=2, o que garante que bc=4. Como a rea da base dada porA(base)=pi.r=pi.c, temos que

3.



V = 16 pi = (1/3) pi c bc = 12 m

As reas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangularreto so iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro dovolume do cone. Determinar a altura do cone.

Se

h(prisma) = 12A(base do prisma) = A(base do cone) = AV(prisma) = 2V(cone)

assim:

Ah(prisma) = 2(A h)/3A 12 = (2/3)A hh = 18 cm

4.

Anderson colocou uma casquinha de sorvetedentro de uma lata cilndrica de mesma base,mesmo raio r e mesma altura h da casquinha.Qual o volume do espao (vazio) compreendidoentre a lata e a casquinha de sorvete?

V = V(cilindro) - V(cone) = A(base).h - (1/3) A(base).h = pi.r.h - (1/3).pi.r.h = (2/3) pi.r.h cm

5.



Esferas

O conceito de esfera

A esfera no espao R uma superfcie muito importante em funo de suasaplicaes a problemas da vida. Do ponto de vista matemtico, a esfera noespao R confundida com o slido geomtrico (disco esfrico) envolvidopela mesma, razo pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Namaioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera tratada como sefosse um slido, herana da Geometria Euclidiana.

Embora no seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejamentendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esferano espao R um objeto matemtico parametrizado por duas dimenses, oque significa que podemos obter medidas de rea e de comprimento mas ovolume tem medida nula. H outras esferas, cada uma definida no seurespectivo espao n-dimensional. Um caso interessante a esfera na retaunidimensional:

So = {x em R: x=1} = {+1,-1}

Por exemplo, a esfera

S1 = { (x,y) em R: x + y = 1 }

conhecida por ns como uma circunferncia de raio unitrio centrada naorigem do plano cartesiano.

Aplicao: volumes de lquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam lquidos emtanques esfricos, cilndricos ou esfricos e cilndricos a necessidade derealizar clculos de volumes de regies esfricas a partir do conhecimento daaltura do lquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque esfrico, ele possui um orifcio na parte superior (polo Norte) por onde introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a



vara, observa-se o nvel de lquido que fica impregnado na vara e esta medidacorresponde altura de lquido contido na regio esfrica. Este no umproblema trivial, como observaremos pelos clculos realizados na sequncia.

A seguir apresentaremos elementos esfricos bsicos e algumas frmulas paraclculos de reas na esfera e volumes em um slido esfrico.

A superfcie esfrica

A esfera no espao R o conjunto de todos os pontos do espao que estolocalizados a uma mesma distncia denominada raio de um ponto fixochamado centro.

Uma notao para a esfera com raio unitrio centrada na origem de R :

S = { (x,y,z) em R: x + y + z = 1 }

Uma esfera de raio unitrio centrada na origem de R4 dada por:

S = { (w,x,y,z) em R4: w + x + y + z = 1 }

Voc conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?

Do ponto de vista prtico, a esfera pode ser pensada como a pelcula fina queenvolve um slido esfrico. Em uma melancia esfrica, a esfera poderia serconsiderada a pelcula verde (casca) que envolve a fruta.

comum encontrarmos na literatura bsica a definio de esfera como sendoo slido esfrico, no entanto no se deve confundir estes conceitos. Se houverinteresse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algumbom livro de Geometria Diferencial que a rea da Matemtica que trata do



detalhamento de tais situaes.

O disco esfrico o conjunto de todos os pontos do espao que estolocalizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prtico, o discoesfrico pode ser pensado como a reunio da pelcula fina que envolve o slidoesfrico com a regio slida dentro da esfera. Em uma melancia esfrica, odisco esfrico pode ser visto como toda a fruta.

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto(0,0,0), a equao da esfera dada por:

x + y + z = R

e a relao matemtica que define o disco esfrico o conjunto que contm acasca reunido com o interior, isto :

x + y + z < R

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto(xo,yo,zo), a equao da esfera dada por:

(x-xo) + (y-yo) + (z-zo) = R

e a relao matemtica que define o disco esfrico o conjunto que contm acasca reunido com o interior, isto , o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em Rtal que:

(x-xo) + (y-yo) + (z-zo) < R

Da forma como est definida, a esfera centrada na origem pode ser construdano espao euclidiano R de modo que o centro da mesma venha a coincidircom a origem do sistema cartesiano R, logo podemos fazer passar os eixosOX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).



Seccionando a esfera x+y+z=R com o plano z=0, obteremos duassuperfcies semelhantes: o hemisfrio Norte ("boca para baixo") que oconjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z no negativa e ohemisfrio Sul ("boca para cima") que o conjunto de todos os pontos daesfera onde a cota z no positiva.

Se seccionarmos a esfera x+y+z=R por um plano vertical que passa em(0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferncia maximal C daesfera que uma circunferncia contida na esfera cuja medida do raio coincidecom a medida do raio da esfera, construda no plano YZ e a equao destacircunferncia ser:

x=0, y + z = R2

sendo que esta circunferncia intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas(0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferncias maximais em uma esfera.

Se rodarmos esta circunferncia maximal C em torno do eixo OZ, obteremos aesfera atravs da rotao e por este motivo, a esfera uma superfcie derevoluo.

Se tomarmos um arco contido na circunferncia maximal cujas extremidadesso os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p+q=R e rodarmos este arco em tornodo eixo OZ, obteremos uma superfcie denominada calota esfrica.

Na prtica, as pessoas usam o termo calota esfrica para representar tanto asuperfcie como o slido geomtrico envolvido pela calota esfrica. Para evitarconfuses, usarei "calota esfrica" com aspas para o slido e sem aspas paraa superfcie.



A partir da rotao, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo queas extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p+q=R no primeirocaso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos(0,0,-R) e (0,r,-s) com r+s=R e retirarmos estas duas calotas da esfera,teremos uma superfcie de revoluo denominada zona esfrica.

De um ponto de vista prtico, consideremos uma melafaca, cortamos uma "calota esfrica" superior e uma "calota esfrica" inferior. Oque sobra da melancia uma regio slida envolvida pela zona esfrica,algumas vezes denominada zona esfrica.

Consideremos uma "calota esfrica" com altura h1 e raio da base r1 e retiremosdesta calota uma outra "calota esfrica" com altura h2 e raio da base r2, de talmodo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A regio slidadeterminada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome desegmento esfrico com bases paralelas.

No que segue, usaremos esfera tanto para o slido como para a superfcie,"calota esfrica" para o slido envolvido pela calota esfrica, a letra maisculaR para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os clculos,V ser o volume, A(lateral) ser a rea lateral e e A(total) ser a rea total.

Algumas frmulas (relaes) para objetos esfricos

Objeto Relaes e frmulas

EsferaVolume = (4/3) Pi RA(total) = 4 Pi R



Calota esfrica(altura h, raio da base r)

R = h (2R-h)A(lateral) = 2 Pi R hA(total) = Pi h (4R-h)

V=Pi.h(3R-h)/3=Pi(3R+h)/6

Segmento esfrico(altura h, raios das bases r1>r)

R = a + [(r1 -r2-h)/2h)]A(lateral) = 2 Pi R h

A(total) = Pi(2Rh+r1+r2)Volume=Pi.h(3r1+3r2+h)/6

Estas frmulas podem ser obtidas como aplicaes do Clculo Diferencial eIntegral, mas ns nos limitaremos a apresentar um processo matemtico paraa obteno da frmula do clculo do volume da "calota esfrica" em funo daaltura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfrio Sul

Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A equao desta esfera ser dada por:

x + y + (z-R) = R

A altura da calota ser indicada pela letra h e o plano que coincide com o nveldo lquido (cota) ser indicado por z=h. A interseo entre a esfera e este plano dado pela circunferncia

x + y = R - (h-R)

Obteremos o volume da calota esfrica com a altura h menor ou igual ao raio Rda esfera, isto , h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemosexplicitar o valor de z em funo de x e y para obter:



Para simplificar as operaes algbricas, usaremos a letra r para indicar:

r = R - (h-R) = h(2R-h)

A regio circular S de integrao ser descrita por x+y

Aps alguns clculos obtemos:

VC(h) = Pi (h-R) [R -(h-R)] - (2/3)Pi[(R-h) - R]

e assim temos a frmula para o clculo do volume da calota esfrica nohemisfrio Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por:

VC(h) = Pi h(3R-h)/3

Volume de uma calota no hemisfrio Norte

Se o nvel do lquido mostra que a altura h j ultrapassou o raio R da regioesfrica, ento a altura h est no intervalo [R,2R]

Lanaremos mo de uma propriedades de simetria da esfera que nos diz que ovolume da calota superior assim como da calota inferior somente depende doraio R da esfera e da altura h e no da posio relativa ocupada.

Aproveitaremos o resultado do clculo utilizado para a calota do hemisfrio Sul.Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d a altura da regio que nocontm o lquido. Como o volume desta calota vazia dado por:

VC(d) = Pi d(3R-d)/3

e como h=2R-d, ento para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever ovolume da calota vazia em funo de h:

VC(h) = Pi (2R-h)(R+h)/3

Para obter o volume ocupado pelo lquido, em funo da altura, basta tomar ovolume total da regio esfrica e retirar o volume da calota vazia, para obter:



V(h) = 4Pi R/3 - Pi (2R-h)(R+h)/3

que pode ser simplificada para:

V(h) = Pi h(3R-h)/3

Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R] oude uma forma geral em [0,2R], o clculo do volume ocupado pelo lquido dado por:

V(h) = Pi h(3R-h)/3



Pirmides

Utilizaremos R[z] para denotar a raiz quadrada de z>0.

O conceito de pirmide

Consideremos um polgono contido em um plano (por exemplo, o planohorizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirmide areunio de todos os segmentos que tm uma extremidade em P e a outra numponto qualquer do polgono. O ponto V recebe o nome de vrtice da pirmide.

Exemplo: As pirmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faras, bemcomo as pirmides no Mxico e nos Andes, que serviam a finalidades deadorao aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribosindgenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Elementos de uma pirmide

Em uma pirmide, podemos identificar vrios elementos:



Base: A base da pirmide a regio plana poligonal sobre a qual se apoiaa pirmide.

1.

Vrtice: O vrtice da pirmide o ponto isolado P mais distante da baseda pirmide.

2.

Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto , quando a regiopoligonal simtrica ou regular, o eixo da pirmide a reta que passapelo vrtice e pelo centro da base.

3.

Altura: Distncia do vrtice da pirmide ao plano da base.4.

Faces laterais: So regies planas triangulares que passam pelo vrticeda pirmide e por dois vrtices consecutivos da base.

5.

Arestas Laterais: So segmentos que tm um extremo no vrtice dapirmide e outro extremo num vrtice do polgono situado no plano dabase.

6.

Aptema: a altura de cada face lateral.7.

Superfcie Lateral: a superfcie polidrica formada por todas as faceslaterais.

8.

Aresta da base: qualquer um dos lados do polgono da base.9.



base:tringulo base:quadrado base:pentgono base:hexgono

Pirmide Regular reta

Pirmide regular reta aquela que tem uma base poligonal regular e aprojeo ortogonal do vrtice V sobre o plano da base coincide com o centroda base.

R raio do circulo circunscrito

r raio do crculo inscrito

l aresta da base

ap aptema de uma face lateral

h altura da pirmide

al aresta lateral

As faces laterais so tringulos issceles congruentes

rea Lateral de uma pirmide

s vezes podemos construir frmulas para obter as reas das superfcies queenvolvem um determinado slido. Tal processo conhecido como aplanificao desse slido. Isto pode ser realizado se tomarmos o slido deforma que a sua superfcie externa seja feita de papelo ou algum outromaterial.

No caso da pirmide, a idia tomar uma tesoura e cortar (o papelo d)apirmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regies obtidasnum plano que pode ser o plano de uma mesa.

Classificao das pirmides pelo nmero de lados da base

triangular quadrangular pentagonal hexagonal



As regies planas obtidas so congruentes s faces laterais e tambm baseda pirmide.

Se considerarmos uma pirmide regular cuja base tem n lados e indicarmospor A(face) a rea de uma face lateral da pirmide, ento a soma das reasdas faces laterais recebe o nome de rea lateral da pirmide e pode ser obtidapor:

A(lateral) = n A(face)

Exemplo: Seja a pirmide quadrangular regular que est planificada na figuraacima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo aptema mede 4cm.

Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirmide quadrangular temos n=4tringulos issceles, a rea da face lateral igual rea de um dos tringulos,assim:

A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12A(lateral) = 4.12 = 48 cm

Exemplo: A aresta da base de uma pirmide hexagonalregular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a realateral.Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10cm. Primeiro vamos calcular a medida do aptema da



face lateral da pirmide hexagonal. Calcularemos o raior da base.Como a base um hexgono regular temos quer=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relao dPitgoras, segue que (ap)=r+h, logo:

A rea da face e a rea lateral, so dadas por:

A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

rea total de uma Pirmide

A rea total de uma pirmide a soma da rea da base com a rea lateral, isto:

A(total) = A(lateral) + A(base)

Exemplo: As faces laterais de uma pirmide quadrangular regular formamngulos de 60 graus com a base e tm as arestas da base medindo 18 cm.Qual a rea total?

J vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60)=(lado/2)/a, ento 1/2=9/adonde segue que a=18, assim:

A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162A(lateral) = 4.162 = 648

A(base) = 18 = 324

Conclumos que:

A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a reatotal de suas barracas, as quais tm forma piramidalquadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras.Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. Abarraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2passos de aptema. Calcular a rea da base, realateral e a rea total.

e(ap)= (4R[3])+10 = 48+100 = 148 = 437 = 2R[37]



A(base) = 2.2 = 4 mA(lateral) = 4.2.1 = 8 m

Logo, a rea total da barraca

A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m

Volume de uma Pirmide

O volume de uma pirmide pode ser obtido como um tero do produto da reada base pela altura da pirmide, isto :

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frascocom a forma de uma pirmide regular com base quadrada.A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que ofrasco contm. Para isso ela usou uma rgua e tirou duasinformaes: a medida da aresta da base de 4cm e amedida da aresta lateral de 6cm.Como V(pirmide)=A(base).h/3, devemos calcular a reada base e a medida da altura. Como a base tem formaquadrada de lado a=4cm, temos queA(base)=a=4cm.4cm=16 cm.

A altura h da pirmide pode ser obtida como a medida de umcateto de um tringulo retngulo cuja hipotenusa dada pelaaltura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2R[2] que ametade da medida da diagonal do quadrado. Dessa formah=L-Q, se onde segue que h=36-8=28 e assim temos queh=2R[7] e o volume ser dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seo Transversal de uma pirmide

Seo transversal de uma pirmide a interseo da pirmide com um planoparalelo base da mesma. A seo transversal tem a mesma forma que abase, isto , as suas arestas correspondentes so proporcionais. A razo entreuma aresta da seo transversal e uma aresta correspondente da base ditarazo de semelhana.



Observaes sobre sees transversais:

Em uma pirmide qualquer, a seo transversal e a base so regiespoligonais semelhantes. A razo entre a rea da seo transversal e area da base igual ao quadrado da razo de semelhana.

1.

Ao seccionar uma pirmide por um plano paralelo base, obtemos outrapirmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos pirmide original.

2.

Se duas pirmides tm a mesma altura e as reas das bases so iguais,ento as sees transversais localizadas mesma distncia do vrticetm reas iguais.

3.

V(seo)Volume da seo at o vrtice(volume da pirmide menor)

V(piram) Volume da pirmide (maior)

A(seo)rea da seo transversal(base da pirmide menor)

A(base) rea da base da pirmide (maior)

hDistncia do vrtice seo(altura da pirmide menor)

H Altura da pirmide (maior)

Assim:

V(seo)

V(base) =

A(seo)

A(piram)

h

H

A(seo)

A(base) =

h

H



V(seo)

V(base) =

h

H

Exemplo: Uma pirmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm.Qual o volume do tronco desta pirmide, obtido pelo corte desta pirmide porum plano paralelo base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco dapirmide 3cm?

Como

V(pirMenor)/V(pirmide) = h/HV(pirMenor)/108 = 6/9V(pirMenor) = 32

ento

V(tronco)=V(pirmide)-V(pirMenor)= 108cm-2cm = 76 cm


Ento:


Poliedros

Poliedro

Poliedro um slido limitado externamente por planos no espao R. Asregies planas que limitam este slido so as faces do poliedro. As interseesdas faces so as arestas do poliedro. As intersees das arestas so osvrtices do poliedro. Cada face uma regio poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos so aqueles cujos ngulos diedrais formados por planosadjacentes tm medidas menores do que 180 graus. Outra definio: Dadosquaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem essespontos como extremidades, dever estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros Regulares

Um poliedro regular se todas as suas faces so regies poligonais regularescom n lados, o que significa que o mesmo nmero de arestas se encontram emcada vrtice.

Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro

Caractersticas dos poliedros convexos

Notaes para poliedros convexos: V: Nmero de vrtices, F: Nmero de faces,A: Nmero de arestas, n: Nmero de lados da regio poligonal regular (de cadaface), a: Medida da aresta A e m: Nmero de ngulos entre as arestas dopoliedro convexo.



Caracterstica dopoliedro convexo

Medida da caracterstica

Relao de Euler V + F = A + 2

Nmero m de ngulos diedrais m = 2 A

ngulo diedral

Raio do crculo inscrito

Raio do crculo circunscrito

rea da superfcie externa

Volume do slido polidrico

Relaes de Euler em poliedros regulares

As relaes de Euler so duas importantes relaes entre o nmero F defaces, o nmero V de vrtices, o nmero A de arestas e o nmero m dengulos entre as arestas.

F + V = A + 2, m = 2 A

Na tabela abaixo, voc pode observar o cumprimento de tais relaes para oscinco (5) poliedros regulares convexos.



Isocaedrotringulo

equiltero20 12 30 60

Raios de crculos e ngulo diedral

Poliedroregular

Raio do crculoinscrito (r)

Raio do crculocircunscrito (R)

ngulodiedral (d)

Tetraedro (a/12) R[6] (a/4) R[6] 70o31'44"

Hexaedro a/2 (a/2) R[3] 90o00'00"

Octaedro (a/6) R[6] (a/2) R[2] 109o28'16"

Dodecaedro (a/100)R{50+22R[5]} (a/4)(R[3]+R[15]) 116o33'54"

Icosaedro (a/2)R{(7+R[45])/6} (a/4) R{10+R[20]} 138o11'23"Nesta tabela, a notao R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

reas e Volumes

Poliedro regular rea Volume

Tetraedro a2 R[3] (1/12) a R[2]

Hexaedro 6 a2 a

Octaedro 2 a2 R[3] (1/3) a R[2]

Dodecaedro 3a2 R{25+10R[5]} (1/4) a (15+7R[5])

Icosaedro 5a2 R[3] (5/12) a (3+R[5])

Nesta tabela, a notao R[z] significa a raiz quadrada de z>0.


Poliedro regularconvexo

Cada face um

Faces(F)

Vrtices(V)

Arestas(A)

ngulos entreas arestas (m)

Tetraedrotringulo

equiltero4 4 6 12

Hexaedro quadrado 6 8 12 24

Octaedrotringulo

equiltero8 6 12 24

Dodecaedropentgono

regular12 20 30 60


Prismas

Prisma

Prisma um slido geomtrico delimitado por faces planas, no qual as basesse situam em planos paralelos. Quanto inclinao das arestas laterais, osprismas podem ser retos ou oblquos.

Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblquo

Bases so regiespoligonais congruentes

A altura a distnciaentre as bases

Arestas laterais soparalelas com as mesmas medidas

Faces laterais soparalelogramos

Objeto Prisma reto Prisma oblquoArestas laterais tm a mesma medida tm a mesma medida

Arestas lateraisso perpendiculares ao plano da base

so oblquas ao plano da base

Faces laterais so retangulares no so retangulares

Quanto base, os prismas mais comuns esto mostrados na tabela:



Base:Tringulo Base:Quadrado Base:Pentgono Base:Hexgono

Sees de um prisma

Seo transversal: a regio poligonal obtida pelainterseo do prisma com um plano paralelo s bases,sendo que esta regio poligonal congruente a cadauma das bases.

Seo reta (seo normal): uma seo determinada porum plano perpendicular s arestas laterais.

Princpio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre oqual esto apoiados dois slidos com a mesma altura. Setodo plano paralelo ao plano dado interceptar os slidoscom sees de reas iguais, ento os volumes dosslidos tambm sero iguais.

Prisma regular

um prisma reto cujas bases so regies poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular um prisma reto cuja base umtringulo equiltero. Um prisma quadrangular regular um prisma reto cujabase um quadrado.

Planificao do prisma

Um prisma um slido formado por todos os pontos do espao localizadosdentro dos planos que contm as faces laterais e os planos das bases.


Prisma triangularPrisma quadrangular Prisma pentagonalPrisma hexagonal


As faces laterais e as bases formam a envoltria deste slido. Esta envoltria uma "superfcie" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificaose realiza como se cortssemos com uma tesoura esta envoltria exatamentesobre as arestas para obter uma regio plana formada por reas congruentess faces laterais e s bases. A planificao til para facilitar os clculos dasreas lateral e total.

Volume de um prisma

O volume de um prisma dado por:

V(prisma) = A(base).h

rea lateral do prisma reto com base poligonal regular

A rea lateral de um prisma reto que tem por base uma regio poligonal regularde n lados dada pela soma das reas das faces laterais. Como neste casotodas as reas das faces laterais so iguais, basta tomar a rea lateral como:

A(lateral) = n A(Face Lateral)



Uma forma alternativa para obter a rea lateral de um prisma reto tendo comobase um polgono regular de n lados tomar P como o permetro dessepolgono e h como a altura do prisma.

A(lateral) = P.h

Tronco de prisma

Quando seccionamos um prisma por um plano noparalelo aos planos das bases, a regio espaciallocalizada dentro do prisma, acima da base inferior eabaixo do plano seccionante denominado tronco deprisma. Para calcular o volume do tronco de prisma,multiplicamos a mdia aritmtica das arestas laterais dotronco de prisma pela rea da base.



Documents

Geometria Espacial