Geometria Espacial Descritiva

Determinao de um Plano

1o) Trs pontos no colineares determinam um Plano.

P M

NPostulado.

2o) Uma reta r e um ponto , determinam um plano. P r

P r Ateno

Unicidade

Geometria Espacial

Determinao de um Plano

r

3o) Duas retas r e s, determinam um Plano. r s {P};

P rs

s

4o) Duas retas r e s, determinam um plano. r // s;

r s

M

N

Geometria Espacial

Teorema

Por uma reta passam infinitos planos.

1) r s

P

M

r

2) s {K}

K

1

2

Geometria Espacial

r

Geometria Espacial

Posies Relativas

Reta e Plano Possibilidades.

r

s

tP A B

t A e B

Reta Contida no Plano

r secante a r {P}

Reta secante ao Plano

s // r

Reta paralela ao Plano

Geometria Espacial

Julgue Verdadeiro (V) ou Falso (F)

(a) Se r paralela a um plano , ento r paralela

a todas retas contidas em . (F)

(b) Se r paralela a um plano , ento r paralela

a infinitas retas contidas em . (V)

(c) Dado um plano , e P um ponto no

pertencente a esse plano, ento existe uma nica

reta que paralela a e que passa por P. (F)

(d) Duas retas paralelas a um mesmo plano so

paralelas entre si. (F) (e) Se um ponto A no pertence a uma reta r,

ento existem infinitos planos que passam por A

e so paralelos a r. (V)

Geometria Espacial

Posies Relativas

(Plano e Plano) Possibilidades.

// ou Planos Paralelos

P Dado um plano e um ponto P

existe um nico plano // ,

tal que P

P

Geometria Espacial

Postulado

Sejam e planos dist int os e P um ponto.

PSe r

P

P

r

e so secantes r

Planos Secantes

Geometria Espacial

Perpendicularismo

ngulos entre retas reversas.

r

ss ' ab

Definimos a e b como ngulos

formados pelas retas, reversas, r e s.

Geometria Espacial

Perpendicularismo

rt P

s

y

o

r , t er t

APB 90

B

A

r perpendicular a t r ortogonal a s

t , s et ortogonal a s

t || y s

y '

y ''

Geometria Espacial

Perpendicularismo

s

r

Ps '

s ''

ii i

r {P}r r s tal que

s e s r {P}

Reta e Plano

Geometria Espacial

Teorema Se uma reta r perpendicular a um plano, por um ponto A pertencente ao plano, ento a reta r forma um

ngulo reto com todas as retas contidas no plano.

A

iy

r

ss '

Consideremos

01) as retas r e s so ortogonais.

02) o segmento AB representa a distncia entre as duas

retas reversas.

AB a nica reta perpendicular a r e s ao mesmo tempo.

A medida do segmento AB , por definio, a distncia entre

as retas reversas r e s.

Geometria Espacial

Geometria Espacial 02. Com base nos conhecimentos sobre

geometria espacial, pode-se afirmar:

(01) Se uma reta r e um plano so paralelos, ento toda reta perpendicular reta r tambm perpendicular ao plano . (02) Se um ponto P no pertence a uma reta s, ento existe

um nico plano passando por P, paralelo reta s.

(04) Se uma reta r est contida em um plano , e a reta s reversa a r, ento a reta s intercepta o plano . (08) Se e so dois planos perpendiculares, e r uma perpendicular a , que no est contida em , ento r paralela a . (16) Se dois planos so perpendiculares, ento toda reta de

um deles perpendicular ao outro.

(32) Trs planos distintos interceptam-se segundo uma reta ou

um ponto.

Geometria Espacial

(01) Se uma reta r e um plano so paralelos, ento toda reta perpendicular reta r tambm perpendicular ao plano .

r

A

t

Estratgia: Procure um contra exemplo.

// | rt //

t | r t

Sentena Falsa

Geometria Espacial

(02) Se um ponto P no pertence a uma reta s, ento existe

um nico plano passando por P, paralelo reta s.

s

P

s '

Sentena Falsa

s '

Geometria Espacial

(04) Se uma reta r est contida em um plano , e a reta s reversa a r, ento a reta s intercepta o plano .

r

s '

Sentena Falsa

t e t

ts

Geometria Espacial

(08) Se e so dois planos perpendiculares, e r uma perpendicular a , que no est contida em , ento r paralela a .

r

Sentena Verdadeira

Geometria Espacial

(16) Se dois planos so perpendiculares, ento toda reta de

um deles perpendicular ao outro.

r, r ' (ou ), tal que r || r '.

ts

r

r '

Sentena Falsa

Geometria Espacial

(32) Trs planos distintos interceptam-se segundo uma reta

ou um ponto.

r

Sentena Falsa

P

Geometria Espacial

Diedros.

Def. Unio de dois semiplanos de mesma

origem no contidos no mesmo plano.

e Faces do diedro.

r

r : aresta do diedro.

representao : r

r

r

Geometria Espacial

Seces de um Diedros.

r

AB

P

A interseo de um diedro com

um plano secante aresta gera

um ngulo plano.

BPA a seco do Diedro

Geometria Espacial Seces de um Diedros.

r

AB

P

A seco reta (normal) aquela

cujo plano secante perpendicular

a aresta, neste caso:

M

oAPM BPM 90

A medida de um diedro corresponde ao ngulo plano

formado por sua seco reta. med r med APB

Geometria Espacial

r

AB

P

Classificao

med APB

o

o

o

90 diedro agudo

90 diedro reto

90 diedro obtuso

Geometria Espacial

r

r

r

Diedros opostos

pela aresta o plano bisetor

do diedro r

A

B

C

V

O

O'

oVB V'B 90 OB O'B

Os planos delimitados pelas retas so as faces do triedro

Geometria Espacial

Triedros.

A

rst

Consideremos a construo

De um ponto A traamos trs

semi-retas no coplanares.

O espao interno delimitado pela

construo denominado triedro. M

N

O

t, r e s so as arestas do triedro

A o vrtice do triedro.

OM, ON e MN so os gulos das faces

OMN uma seco do triedro.

Geometria Espacial

Definio

Triedro tri retngulo.

Possui ngulos das faces

retngulos.

1B 2B

3BnB

Geometria Espacial

Geometria Mtrica Espacial

Prisma Sejam e planos paralelos

que distam de um comprimento h.

h

1A 2A

3AnA

Tomemos em cada plano polgonos

convexos congruentes.

Tracemos retas secantes aos planos

ligando os vrtices correspondentes.

Geometria Espacial

1B 2B

3BnB

h

1A 2A

3AnA

Elementos

Altura (h)

i i 1 1 nArestas da base(B B e B B )*

i iArestas laterais A B ( h)

Face lateral (paralelogramo)

Base (polgono convexo)

Geometria Espacial

Natureza. Funo da Base

Prisma Quadrangular Prisma Pentagonal

Geometria Espacial

Prisma Reto.

Quando as faces laterais forem Retngulos

A

B

D

C

A D

CBh AB

Geometria Espacial

Prisma Regular.

Quando so prismas retos e os polgonos da base

so regulares.

baseSh

A

A

B C

D

EFF

BC D

E

Aptema

da Base

Volume, reas.

Geometria Espacial

Paraleleppedo

Reto retngulo Cubo

Diagonal, volume, ngulos, reas.

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