Geometria Espacial

Prismas RegularesE

Cilindros

Classificação Um prisma pode ser:•reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;

Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

Prismas

Prisma reto

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

Prismas

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Prismas

Prisma regular triangular

Prisma regular hexagonal

Planificação para construção de um prisma de base hexagonal

Prismas

Superfície lateral

AT = 2.Ab + AL

Volume do prisma retoO volume do prisma é calculado pelo produto da área (Ab) pela altura (h), ou ainda:

V = Ab.h

Exercícios1 – Um prisma triangular regular apresenta 9 cm de aresta lateral e 4 cm de aresta da base.Determinar:a) Área da base;b) Área lateral;c) Área total;d) Volume.

a) A superfície da base é um triângulo equilátero e a sua área, em função do lado na geometria plana dada por:

b) A superfície lateral planificada é um retângulo de lados 4 cm e 9 cm. Portanto:

AL = 3.4.9AL = 108 cm2

c) A área total é dada por:AT = 2.Ab + AL

AT = 2.4.√3 + 108AT = 8.√3 + 108 cm2

d) O volume á dado por:V = Ab.h V = 4.√3.9V = 36.√3 cm3

A altura é igual à aresta lateral.

2 – seja um prisma quadrangular de aresta da base igual a 6 cm e aresta lateral igual a 12 cm. Determine:a) Área da baseb) Área lateralc) Área totald) volume

3 – Um prisma hexagonal regular tem 6√3m de aresta lateral e 2m de aresta da base. Determinar:a)Área da base;b)Área lateral;c) Área total;d)Volume.

a) A superfície da base é um hexágono regular de lado l.

A superfície lateral planificada é um retângulo de lados 12 m e 6√3m.

Exercícios4 – Considere o prisma hexagonal representado ao lado. Indicar:a) As faces visíveis;b) Dois planos

concorrentes;c) Dois planos paralelos que

não sejam da base.

5 – Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso:a) Prisma quadrangular de aresta lateral 8

cm e aresta da base 4 cm.b) Prisma triangular regular de aresta

lateral 2 cm e aresta da base 4 cmc) Prisma hexagonal regular de aresta

lateral 6 cm e aresta da base 3 cm

CILINDRO

É um tipo de corpo redondo. Possui duas faces planas circulares (bases) e uma face não-plana (arredondada). O volume de um cilindro é determinado pelo produto

da área da base pela medida da altura.V = Ab . hV = r² . h

PLANIFICAÇÕES DO CILINDRO

CILINDRO

• Cilindro circular reto é um corpo redondo formado pela ligação entre infinitos vértices pertencentes a dois círculos iguais e paralelos.

Fórmulas: • Área da base(AB): nr2 • Área lateral(AL): 2.n.r.h• Área total(AT): 2.AB + AL

CILINDRO CIRCULAR RETO

É o cilindro em que o eixo é perpendicular à base.

CILINDRO EQUILÁTERO

É O CILINDRO EM QUE AS GERATRIZES SÃO IGUAIS AO DIÂMETRO DAS BASES.

VOLUME DE UM CILINDRO

H.R V 2

ÁREA DE UM CILINDRO

)(2

.2

2

22

HRRA

HRA

RA

AAA

T

L

B

LBT

Secção

α

Meridiana: é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

Classificações

g h

Cilindro reto: quando as geratrizes(g) forem perpendicular as bases.

•g = h• g perpendicular as base• g // eixo•Secção meridiana é um retângulo

Obs.: também chamado de revolução , por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados.

Cilindro de revolução

g

h

2r

Cilindro eqüilátero: todo cilindro reto que obedeça os seguintes itens :

• g = h• h = 2r•Secção meridiana forma um quadrado

PlanificaçãoSe trata de um retângulo cujo comprimento tem tamanho igual ao comprimento da circunferência, e teremos dois círculos congruentes.

comp.=2 π rr

Larg.=h

Área At = Al + Ab

Al

Ab

Ab

Al = c.hAl = 2πr . h

Ab = πr²Obs.: sendo duas bases congruentes temos:Ab = 2πr²

.: At = 2πr (h + r)

Volume

V = Ab . h

Se Ab = πr²

.: V = πr² . h

r

h

Exercícios1. Um tanque, na forma de um cilindro regular

com 10cm de altura e de diâmetro (medidas externas), tampado superiormente, é usado como deposito de óleo combustível. Anualmente, é feita uma pintura de sua superfície externa (excluindo-se a pintura da base inferior).Sabe-se que, com uma lata de tinta, pintam-se 26m² da superfície. Considerando π=3,14, para se pintar todo o tanque são necessários, aproximadamente:

h=10cm

d=10cm

a) 7 latasb) 15 latasc) 18 latasd) 20 latas e) 21 latas

2. Para medir o volume de uma pedra irregular,um estudante utilizou um copo de forma cilíndrica, de diâmetro 6cm, com água até certa altura. Marcou o nível da água em repouso, deixou a pedra mergulhar e marcou o novo nível. Considerando π=3,14, se o desnível observado foi de 2cm, então o volume da pedra é:

R: 56,52 CM3

3 – Calcule a área total e o volume de um cilindro que tem raio da base r= 2 cm e altura h= 5cm.4 – Determine a área total de um cilindro eqüilátero que possui volume igual a 128π cm3.

4 – Se um cilindro eqüilátero tem volume 16π cm3, dê o valor de:•A medida do raio da base;•A altura;•A área total.

5 – Calcule o raio e a altura de um cilindro reto, sabendo que o seu volume é 28π cm3 e sua área lateral é 28π cm2.

6 – Calcule a área total de um cilindro reto, sabendo que seu volume é 144π cm3 e sua secção meridiana tem área de 72 cm2.

7 – Calcular a área e o volume do cilindro equilátero de altura 10 cm.

8 – (UFMG) Achar a área total da superfície de um cilindro reto, sabendo que o raio da base é de 10cm e a altura é de 20cm.

Resp. → At = 1.884cm

9 – A altura de um cilindro reto vale 6cm e o raio da base mede 2cm. Determine a área total e o volume do cilindro..

10 – O volume de um cilindro equilátero vale 54 cm3. Determine o raio da base e a área total desse cilindro

Em um cilinro circular reto a área lateral é 54 π cm² e a medida da altura é o triplo da medida do raio da base. Calcule o volume desse cilindro.

Calcule o volume de um cilindro equilátero cujo raio da base mede 4 cm

Um cilindro equilátero tem volume V = 16 π cm³. Calcule a altura desse cilindro.

A área lateral de um cilindro equilátero é 16 π cm². Calcule a área da base

Uma secção meridiana de um cilindro equilátero tem 144 π cm² de área. Calcule a área lateral, área total e o volume desse cilindro.

Um cilindro circular reto re raio da base 5 cm possui uma secção meridiana equivalente a uma de suas bases ( Asm = Ab ). Calcule a área lateral, a área total e o volume desse cilindro.