ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR / APC 07

Disciplina: Matemática.

Professor (a): Fernanda Mendonça Ferreira.

Turmas: 3º ano A

Aluno (a): Turma:

Devolução da atividade: Via Classroom.

Horário de atendimento a dúvidas: De terça-feira à sexta- feira das 7h às 11h25m.

Meio de comunicação para atendimento remoto ao aluno: Classroom, email institucional

fernanda.474569@edutec.sed.ms.gov.br e whatsapp (67) 991371086.

Período para realização: de 19/07/2021 a 06/08/2021.

Prazo de entrega: 06/08/2021.

Valor da atividade: 4,0 pontos

Geometria Espacial

Noções primitivas

Na Geometria, ponto, reta e plano são algumas noções aceitas sem demonstração (definição) e por isso

são chamadas de noções primitivas. Como são produtos da mente humana, elas funcionam como

modelos para explicar a realidade.

• Um ponto não tem dimensão, nem massa, nem volume.

• Uma reta não tem espessura, nem começo, nem fim.

• Um plano não tem espessura nem fronteiras

Observação 1: Representaremos os pontos por letras maiúsculas (A, B, C,...), as retas por letras

minúsculas (r, s, t,...) e os planos por letras gregas minúsculas (α, β, γ,...).

Podemos imaginar um ponto ao ver um pequeno furo em um papel, uma reta ao ver uma linha esticada

ou um plano ao ver as águas tranquilas de um lago. Essas três noções fazem parte do espaço, conjunto

dos infinitos pontos existentes.

Definição 1: Dois ou mais pontos são denominados coplanares se existe um plano que contém

todos eles, ou seja, os pontos são coplanares se estiverem no mesmo plano.

Exemplo 1. Observe a Figura (1)

Figura 1: Pontos Coplanares.

• Os pontos A; B; C e D são coplanares, pois pertencem ao plano. Em linguagem

simbólica, indicamos: A ∈ α, B ∈ α, C ∈ α e D ∈ α

• O ponto P não é coplanar com A, B, C e D, pois P não pertence ao plano. Em linguagem simbólica,

escrevemos: P∉ α

Postulados e Teoremas

Em geometria, além das noções primitivas, são estabelecidas verdades iniciais aceitas sem

demonstração que são os postulados. Com base nos postulados, demonstramos, por meio de deduções

lógicas, outros fatos ou propriedades denominadas teoremas.

Iniciamos nossa revisão a respeito das bases sobre as quais se assenta o desenvolvimento da geometria

com as noções primitivas de ponto, reta e plano. Dando continuidade, foram estabelecidos como

propriedades fundamentais desses elementos alguns postulados, os quais são apresentados a seguir:

1. P1 - O espaço tem infinitos pontos.

2. P2 - Toda reta e todo plano são conjuntos de infinitos pontos.

3. P3 - fora de uma reta, bem como fora de um plano, há infinitos pontos.

4. P4 - Dois pontos determinam uma única reta.

5. P5 (Postulado de Euclides) - Por um ponto P fora de uma reta r passa somente uma reta s paralela

a r.

6. P6 - Três pontos não colineares, isto é, que não estão na mesma reta, determinam um único plano.

7. P7 - Se dois pontos distintos estão em um plano, à reta que passa por eles esta contida nesse plano.

8. P8 - Se dois planos distintos, α e β, interceptam-se, a intersecção é uma reta.

Observação 2: Uma reta que passa por dois pontos distintos, A e B como na figura

←→

do postulado P4, pode ser representada por r ou AB. Com esses postulados, é possível demonstrar

vários teoremas. Veremos alguns teoremas, porém não iremos demonstra-los.

Teorema 1: Dada uma reta m e um ponto X fora dela, existe um único plano que contém o ponto X e

a reta m. Veja a figura abaixo.

Paralelismo

Retas paralelas

Definição 2: Duas retas, r e s são paralelas se têm todos os pontos comuns (coincidem) ou se estão em

um mesmo plano α e não tem nenhum ponto comum (intersecção vazia).

Em linguagem matemática, escrevemos: r // s ⇔ r ≡ s ou r ⊂ α, s ⊂ α e r ∩ s = ∅

Teorema 2: Duas retas paralelas, não coincidentes, determinam um único Plano. Veja a figura abaixo.

Planos paralelos

Definição 3: Dois planos, α e β são paralelos se coincidem (têm todos os pontos comuns) ou se não

tem nenhum ponto comum (intersecção vazia).

Em linguagem matemática, escrevemos: α // β ⇔ α ≡ β ou α ∩ β = ∅.

Reta e plano paralelos

Definição 4: Uma reta r e um plano α são paralelos se a reta r está contida no plano ou se a reta r e o

plano não tem nenhum ponto comum. Em linguagem matemática, escrevemos: r // α ⇔ r ⊂ α ou r ∩ α

= ∅

Propriedades do paralelismo

Veja a seguir algumas propriedades do paralelismo. Todas elas podem ser demonstradas.

Retas reversas

Definição 5: Duas retas, r e s, são reversas quando não existe um mesmo plano que as contenha.

Na figura abaixo, é possível visualizar que não existe um mesmo plano que contenha as retas r e s;

portanto, elas são reversas.

Em linguagem matemática, escrevemos: ∃ α tal que r ⊂ α e s ⊂ α. Observe, ainda, que as retas r e s

não tem nenhum ponto, comum, ou seja, r ∩ s = ∅.

Perpendicularismo

Retas concorrentes

Definição 6: Duas retas, r e s, são concorrentes quando tem apenas um ponto P comum.

Em linguagem matemática, escrevemos: r ∩ s = P

←→ ←→

Na figura I, observe duas retas concorrentes, AB e MN, que se interceptam no ponto P.

Nelas, identificamos os ângulos A ˆ PM, M ˆ PB, B ˆ PN e N ˆ PA. Além de determinar esses ângulos,

duas retas concorrentes também determinam um plano conforme a figura II.

Teorema 3: Se duas retas r e s, são concorrentes em um ponto P, então elas determinam um único

plano α.

Retas perpendiculares

Definição 7: Duas retas, r e s são perpendiculares quando são concorrentes e determinam quatro

ângulos retos.

r ┴ s (lemos: “a reta r é perpendicular a reta s").

Retas Ortogonais

Definição 8: Duas retas, r e s são ortogonais quando existe uma reta t que é paralela (não coincidente)

a s e perpendicular a r.

Na figura abaixo, em que os pontos A, B, C, M e P são vértices de um cubo, as retas 𝐴 𝐵 →e 𝐶 𝑀 →são

ortogonais, pois a reta e 𝑃 𝑀 → é paralela a 𝐴 𝐵 → e e perpendicular a e 𝐶 𝑀 →.

Reta e plano perpendiculares

Definição 9: Dados uma reta r e um plano α , concorrentes no ponto P, dizemos que r é

perpendicular a α quando r é perpendicular a todas as retas de α que passam por P.

Planos concorrentes

Definição 10: Dois planos distintos, e, são concorrentes quando tem pelo menos um ponto comum

(intersecção não vazia).

Como, pelo postulado P 8, a intersecção de dois planos distintos não paralelos é uma reta, podemos

escrever: α ∩ β = r

Considere a figura do cubo abaixo.

A intersecção dos planos α e β e a reta que contém o segmento AB, ou seja, a reta ←→ ←→ AB, isto é: α ∩ β = AB.

Planos perpendiculares

Definição 11: Dois planos, α e β, são perpendiculares quando um deles contém uma reta r

perpendicular ao outro plano.

Poliedros

Poliedro (do grego poli significa “muitas, varias", e edro, “face"), isto é, o sólido que possui

muitas faces.

Elementos de um poliedro

Em um poliedro, podemos destacar os seguintes elementos:

• Face: cada uma das superfícies poligonais que compõem a superfície do poliedro.

• Aresta: lado comum a duas faces.

• Vértice: ponto comum a três ou mais arestas.

Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com o número de faces que possui. Para isso, justapõem-

se dois elementos: um de origem grega, indicativo do número de faces, e o elemento de composição

edro. Por exemplo, um poliedro de 4 faces chama-se tetraedro: tetra (4) + edro (faces).

Poliedro convexo e poliedro não convexo

Os poliedros que não apresentam “reentrâncias” em sua superfície são denominados convexos; os que

têm “reentrâncias” são denominados não convexos (ou côncavos).

Em outras palavras reentrâncias significa uma curva para o interior, ou seja, uma cavidade. Logo

poliedros convexos são os poliedros que não possui uma cavidade e caso tenha e chamado de côncavo.

Veja a figura abaixo.

Relação de Euler

Os elementos dos poliedros mantêm entre si muitas relações geométricas, numéricas e métricas. Entre

as relações numéricas, uma das mais importantes e a denominada relação de Euler, que relaciona o

número de vértices ( V ), de arestas ( A ) e de faces ( F ) de qualquer poliedro convexo. Essa relação

pode ser escrita assim: V + F - A = 2

Poliedros regulares

ou

V + F = A + 2

Um poliedro convexo é regular quando satisfaz as seguintes condições:

• apresenta todas as faces poligonais regulares e congruentes entre si;

• em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas.

Existem exatamente cinco classes de poliedros regulares. Observe abaixo um exemplo de cada uma

dessas classes.

Prismas

O prisma é um sólido geométrico que faz parte dos estudos de geometria espacial.

É caracterizado por ser um poliedro convexo com duas bases (polígonos iguais) congruentes e paralelas,

além das faces planas laterais (paralelogramos).

Composição do Prisma

Os elementos que compõem o prisma são: base, altura, arestas, vértices e faces laterais.

Assim, as arestas das bases do prisma são os lados das bases do polígono, enquanto que as arestas

laterais correspondem aos lados das faces que não pertencem às bases.

Os vértices do prisma são os pontos de encontro das arestas e a altura é calculada pela distância entre

os planos das bases.

Classificação dos Prismas

Os primas são classificados em Retos e Oblíquos:

Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à base, cujas faces laterais são retângulos.

Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à base, cujas faces laterais são paralelogramos.

Prisma reto (A) e prisma oblíquo (B)

Bases do Prisma

De acordo com o formato das bases, os primas são classificados em:

Prisma Triangular: base formada por triângulo.

Prisma Quadrangular: base formada por quadrado.

Prisma Pentagonal: base formada por pentágono.

Prisma Hexagonal: base formada por hexágono.

Prisma Heptagonal: base formada por heptágono.

Prisma Octogonal: base formada por octógono.

Importante ressaltar que os chamados “prismas regulares” são aqueles cujas bases

são polígonos regulares e, portanto, formados por prismas retos.

Note que se todas as faces do prisma forem quadrados, trata-se de um cubo; e, se todas as faces são

paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo.

Para calcular a área da base (Ab) de um prisma deve-se levar em conta o formato que apresenta. Por exemplo,

se for um prisma triangular a área da base será um triângulo.

Fórmulas do Prisma

Áreas do Prisma

Área Lateral: para calcular a área lateral do prisma, basta somar as áreas das faces laterais. Num prisma

reto, que possui todas as áreas das faces laterais congruentes, a fórmula da área lateral é:

Al = n . a n: número de lados a: face lateral

Área Total: para calcular a área total de um prisma, basta somar as áreas das faces laterais e as áreas

das bases:

At = Sl + 2.Sb

Sl: Soma das áreas das faces laterais

Sb: soma das áreas das bases

Diagonal do bloco retangular

Para encontrar a medida da diagonal do bloco retangular, utilize a seguinte fórmula:

É importante conhecer a estratégia usada para encontrar essa fórmula, pois ela também pode ser usada

para encontrar a diagonal do bloco retangular. Essa estratégia está detalhada a seguir:

Encontrando a fórmula pelo teorema de Pitágoras

Considere que a imagem a seguir é um bloco retangular, a é seu comprimento; b, sua largura; h, sua

altura; e CF, uma de suas diagonais:

Observe que ACF forma um triângulo retângulo. Além disso, perceba que d (a medida da diagonal

do bloco retangular) é também hipotenusa desse triângulo, logo, pode ser obtido

pelo teorema de Pitágoras. Entretanto, é necessário conhecer a medida do segmento AF.

Para encontrar essa medida, perceba que ABF também é um triângulo retângulo, e a hipotenusa é

justamente o segmento AF. Podemos calculá-lo também pelo teorema de Pitágoras, uma vez que

conhecemos as medidas a e b de seus catetos.

Pelo teorema de Pitágoras:

A partir do comprimento de AF, podemos descobrir o comprimento de d, que é a diagonal

do bloco retangular. Para isso, observe novamente o triângulo retângulo ACF:

Coloque a medida do segmento AF como feito na imagem acima e use o teorema de Pitágoras para

descobrir a medida do segmento d:

Feito isso, utilize as propriedades dos radicais para encontrar:

Dessa maneira, caso seja necessário, utilize o teorema de Pitágoras para descobrir a medida AF do

triângulo retângulo; depois, use o mesmo teorema para descobrir a medida

da diagonal do bloco retangular.

Volume do Prisma

O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula:

V = Ab . h

Ab: área da base

h: altura

Pirâmides

Chamamos de pirâmide ao poliedro que possui todos os vértices em um plano, chamado plano de base,

exceto um, denominado vértice da pirâmide.

Pirâmide Regular

Quando a base é um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro

desta. Em uma pirâmide regular as arestas laterais são iguais e consequentemente as faces laterais são

triângulos isósceles iguais.

Área Total:

Volume:

Elementos da Pirâmide

AB – aresta da base

VA – aresta lateral

VO – altura

VM – apótema

OM – apótema da base

O A – raio da circunferência circunscrita (R)

As relações entre os elementos de uma pirâmide regular através dos triângulos retângulos conforme

indicados na figura, são:

Fórmulas da Pirâmide

Área Lateral: SL = soma das áreas de todas as faces laterais.

Seções Transversais e Tronco de Pirâmide

Considere uma pirâmide qualquer de altura h, seccionada por um plano paralelo a base e distante d do

vértice. O polígono da seção é semelhante à base, sendo a razão de semelhança igual a K = d/h.

Valem as seguintes relações:

O volume do tronco de pirâmide de bases paralelas é igual à diferença dos volumes das pirâmides (V –

v), ou seja:

Cone

Cone é um sólido geométrico que faz parte dos estudos da geometria espacial.

Ele possui uma base circular (r) formada por segmentos de reta que têm uma extremidade num vértice

(V) em comum.

Além disso, o cone possui a altura (h), caracterizada pela distância do vértice do cone ao plano da base.

Possui também a denominada geratriz, ou seja, a lateral formada por qualquer segmento que tenha uma

extremidade no vértice e a outra na base do cone.

Classificação dos Cones

Os cones, dependendo da posição do eixo em relação à base, são classificados em:

● Cone Reto: No cone reto, o eixo é perpendicular à base, ou seja, a altura e o centro da base do cone

formam um ângulo de 90º, donde todas as geratrizes são congruentes entre si e, de acordo com

o Teorema de Pitágoras, tem-se a relação: g²=h²+r². O cone reto é também chamado de “cone de

revolução” obtido pela rotação de um triângulo em torno de um de seus catetos.

● Cone Oblíquo: No cone oblíquo, o eixo não é perpendicular à base da figura.

Observe que o chamado “cone elíptico” possui base elíptica e pode ser reto ou oblíquo.

Para compreender melhor a classificação dos cones, observe as figuras abaixo:

Fórmulas do Cone

Área da Base: Para calcular a área da base de um cone (circunferência), utiliza-se a seguinte fórmula:

Ab = п.r2

Donde:

Ab: área da base

п (Pi) = 3,14

r: raio

Área Lateral: formada pela geratriz do cone, a área lateral é calculada através da fórmula:

Al = п.r.g

Donde:

Al: área lateral

п (PI) = 3,14

r: raio

g: geratriz

Área Total: para calcular a área total do cone, soma-se a área da lateral e a área da base. Para isso

utiliza-se a seguinte expressão: At = п.r (g+r)

Donde:

At: área total

п = 3,14

r: raio

g: geratriz

O volume do cone corresponde a 1/3 do produto da área da base pela altura, calculado pela seguinte

fórmula:

V = 1/3 п.r2. h

Donde:

V = volume

п = 3,14

r: raio

h: altura

Cilindro

O cilindro ou cilindro circular é um sólido geométrico alongado e arredondado que possui o mesmo

diâmetro ao longo de todo o comprimento.

Essa figura geométrica, que faz parte dos estudos de geometria espacial, apresenta dois círculos com

raios de medidas equivalentes os quais estão situados em planos paralelos.

Componentes do Cilindro

● Raio: distância entre o centro do cilindro e a extremidade.

● Base: plano que contém a diretriz e no caso dos cilindros são duas bases (superior e inferior).

● Geratriz: corresponde à altura (h=g) do cilindro.

● Diretriz: corresponde à curva do plano da base.

Classificação dos Cilindros

Dependendo da inclinação do eixo, ou seja, do ângulo formado pela geratriz, os cilindros são

classificados em:

Cilindro Reto: Nos cilindros circulares retos, a geratriz (altura) está perpendicular ao plano da base.

Cilindro Oblíquo: Nos cilindros circulares oblíquos, a geratriz (altura) está oblíqua ao plano da base.

O chamado “cilindro equilátero” ou “cilindro de revolução” é caracterizado pela mesma medida do

diâmetro da base e da geratriz (g=2r). Isso porque sua seção meridiana corresponde a um quadrado.

Fórmulas do Cilindro

Área da Base: Para calcular a área da base do cilindro, utiliza-se a seguinte fórmula: Ab= π.r2

Onde:

Ab: área da base

π (Pi): 3,14

r: raio

Área Lateral: Para calcular a área lateral do cilindro, ou seja, a medida da superfície lateral, utiliza-se a

fórmula: Al= 2 π.r.h

Onde:

Al: área lateral

π (Pi): 3,14

r: raio

h: altura

Área Total: Para calcular a área total do cilindro, ou seja, a medida total da superfície da figura, soma-

se 2 vezes a área da base à área lateral, a saber: At= 2.Ab+Al ou At = 2(π.r2) + 2(π.r.h)

Onde:

At: área total

Ab: área da base

Al: área lateral

π (Pi): 3,14

r: raio

h: altura

O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura (geratriz):

V = Ab . h ou V = π.r2.h

Onde:

V: volume

Ab: área da base

π (Pi): 3,14

r: raio

h: altura

ESFERA

A Esfera é uma figura simétrica tridimensional que faz parte dos estudos de geometria espacial.

A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo. É

composto por uma superfície fechada na medida em que todos os pontos estão equidistantes do centro

(O).

Alguns exemplos de esfera são o planeta, uma laranja, uma melancia, uma bola de futebol, dentre

outros.

Componentes da Esfera

● Superfície Esférica: corresponde ao conjunto de pontos do espaço no qual a distância do centro (O)

é equivalente ao raio (R).

● Cunha Esférica: corresponde à parte da esfera obtida ao girar um semicírculo em torno de seu eixo. ● Fuso Esférico: corresponde à parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma

semicircunferência de um ângulo em torno de seu eixo.

● Calota Esférica: corresponde a parte da esfera (semiesfera) cortada por um plano.

Para compreender melhor os componentes da esfera, analise as figuras abaixo:

Fórmulas da Esfera

Área da Esfera

Para calcular a área da superfície esférica, utiliza-se a fórmula: Ae = 4.п.r2

Donde:

Ae= área da esfera П (Pi): 3,14 r: raio

Volume da Esfera

Para calcular o volume da esfera, utiliza-se a fórmula: Ve = 4.п.r3/3

Donde:

Ve: volume da esfera П (Pi): 3,14 r: raio

EXERCÍCIOS

1. Quais das afirmações abaixo são verdadeiras:

a) Dois pontos distintos determinam uma única reta.

b) Por um ponto passa uma única reta.

c) Três pontos quaisquer determinam um único plano.

d) Num plano existem infinitos pontos e fora dele também.

2. Classifique cada uma das às afirmações em verdadeiro (V) ou falsa (F).

a) ( ) Se duas retas não são coplanares, elas são reversas.

b) ( ) Duas retas reversas podem ser coplanares.

c) ( ) Duas retas paralelas podem não ser coplanares.

d) ( ) Se dois planos, α e β , são coincidentes, então são paralelos.

3. Classifique em convexo e não convexo:

4. Um poliedro convexo tem 9 faces e 16 arestas. Desse modo, o total de vértices desse poliedro é?

5. Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm, qual a medida da sua diagonal?

6. Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm, qual a área total do

paralelepípedo?

7. Qual volume de argila necessário para produzir 5.000 tijolos, tendo cada tijolo a forma de um

paralelepípedo com dimensões 18 cm, 9 cm e 6 cm?

8. Uma fábrica de doces e balas irá produzir chocolates na forma de guarda-chuva, com as seguintes

medidas: 10 cm de altura e 8 cm de diâmetro. Qual a quantidade de chocolate utilizada na produção de 2000 peças?

9. Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 18 m³ de água e 54 m³ de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de

12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.

10. A área da superfície coberta de água corresponde a aproximadamente 3/4 da superfície da Terra.

Considerando que a Terra seja uma esfera de raio 6.370km, determine a área da superfície da Terra que é coberta pela água.

Tema contemporâneo 3° bimestre: Educação Ambiental (Consumo

consciente de energia)

Assista e reflita

Acessar o link: https://www.youtube.com/watch?v=SjyU2CQ29pI

ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR / APC 07

Disciplina: MATEMÁTICA

Professor (a):

Aluno (a): Turma:

EXERCÍCIOS PREPARATÓRIOS PARA A OBMEP (Valor: 0,5).

1. Os estudantes de uma escola foram divididos em equipes de 8 meninas e 5 meninos cada uma. Se

nessa escola há 60 meninas a mais do que meninos, qual é o número total de estudantes?

a) 130

b) 260

c) 390

d) 520

e) 650

2. Se 𝑎 − 𝑏 = 1 e 𝑎𝑏 = 1, qual é o valor de 𝑎2 + 𝑏2 ?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

3. No refeitório da escola de Quixajuba, na hora do almoço, 130 alunos comeram carne e 150

comeram macarrão, sendo que 1/6 dos alunos comeram carne e também macarrão. Além disso, 70

alunos não comeram carne nem macarrão. Quantos alunos comeram carne, mas não comeram

macarrão?

a) 80

b) 90

c) 100

d) 120

e) 130

4. Joãozinho subtraiu o menor número de três algarismos diferentes do maior número de três

algarismos diferentes. Que resultado ele obteve?

a) 882

b) 883

c) 885

d) 886

e) 888

5. Caetano fez cinco cartões, cada um com uma letra na frente e um número atrás. As letras formam a

palavra OBMEP e os números são 1, 2, 3, 4 e 5. Observe os quadrinhos e responda: qual é o número

atrás do cartão com a letra M?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5