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GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI

GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI. CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

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GEOMETRIA EUCLIDEA

PROF. VINCENZO LO PRESTI

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CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

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GEOMETRIA

Letteralmente geometria significa misura (metron) della terra (geo).

Lo scopo principale della geometria è quello di studiare e descrivere le forme che l’uomo riscontra nella natura.

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GEOMETRIA

• Ricostruire i confini dei campi cancellati dalle inondazioni dei fiumi;

• Conoscere la capacità di un vaso;

• Misurare il volume delle costruzioni.

Nelle civiltà primitive la geometria aveva un carattere empirico e veniva utilizzata per scopi esclusivamente di ordine pratico:

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STORIA DELLA GEOMETRIA

Nella cultura della civiltà greca la geometria nel corso dei secoli venne sottoposta ad un processo di astrazione per opera di matematici e filosofi greci come Talete, Pitagora, Eudosso.

Presso la civiltà Assiro-Babilonese la geometria cominciò ad assumere un significato astratto indipendentemente dalla sua funzione pratica.

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GEOMETRIA EUCLIDEA

Il processo di astrazione della geometria venne profondamente influenzato da Euclide (III secolo a.c.) che con la sua opera gli “Elementi”, articolata in ben 13 libri, espose in maniera sistematica e generalizzata tutte le conoscenze di geometria.

Nasce quindi la geometria euclidea che per diversi secoli è rimasta il più grande esempio di teoria matematica e di costruzione strutturata delle mente umana.

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STRUTTURA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

TEOREMA DI PITAGORA

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

TRIANGOLO: un poligono di tre lati

POLIGONO: figura geometrica formata da una poligonale e dalla parte finita di piano da essa delimitata

POLIGONALE: spezzata chiusa non intrecciata

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GEOMETRIA EUCLIDEA

SPEZZATA: due o più segmenti consecutivi

SEGMENTO: l’insieme dei punti di una retta compresi tra due punti qualsiasi della retta stessa

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STRUTTURA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

CONCETTI PRIMITIVI

(elementi di base)

POSTULATI(Regole fondamentali)

NUOVI ENTI

Da cui si deducono

mediante definizioni

mediante dimostrazioni

NUOVE PROPRIETA’

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ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

Gli enti primitivi sono quei concetti immediati che si suppongono accettati da tutti.

Gli enti primitivi della geometria euclidea sono:

PUNTO

RETTA

PIANO

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ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia:

PUNTI: con le lettere maiuscole dell’alfabeto

A

C

P

B

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ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia:

RETTE: con le lettere minuscole dell’alfabeto

a

r

s

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ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia:

PIANI: con le lettere minuscole dell’alfabeto greco

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POSTULATI

I postulati sono delle affermazioni che si devono accettare a priori, cioè proprietà che si suppongono vere e che pertanto non si dimostrano.

(Regole del gioco)

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POSTULATI DI APPARTENENZA

Primo Postulato – Per due punti distinti passa una sola retta

A B

Secondo postulato – Su di una retta ci sono almeno due punti

A B

Terzo postulato – Data una retta e un piano che la contiene esiste un punto del piano che non appartiene alla retta

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POSTULATI DI APPARTENENZA DEL PIANO

Postulato – Per tre punti non allineati passa un solo piano.

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Postulato – Se due punti di una retta appartengono a un piano allora la retta giace interamente sul piano

A

B

r

P

POSTULATI DI APPARTENENZA DEL PIANO

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POSTULATI DI ORDINAMENTO

Postulato – La retta gode delle seguenti proprietà:

P BA RQ

la retta è un insieme ordinato di punti (si può fissare sulla retta un verso di percorrenza tra i due possibili)

non esiste un primo e un ultimo punto (la retta e illimitata)

fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto (la retta e densa)

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PRIME DEFINIZIONI

FIGURA GEOMETRICA:

Si chiama figura geometrica un qualsiasi insieme di punti.

SPAZIO:

Si chiama spazio l’insieme di tutti i punti.

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DEFINIZIONI

Semiretta

Data una retta orientata su cui viene fissato un punto P, si chiama semiretta l’insieme formato da P e da tutti i punti che lo seguono o che lo precedono.

P

Origine

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DEFINIZIONI

Segmento

Data una retta orientata e due suoi punti A e B, si chiama segmento l’insieme dei punti A e B e di quelli che sono compresi tra essi.

AEstremo

BEstremo

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DEFINIZIONI

Segmenti consecutivi

Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune.

AB

C

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DEFINIZIONI

Segmenti adiacenti

Due segmenti si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta

AB

C

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Si chiama poligonale un insieme di segmenti consecutivi

DEFINIZIONI

Lati

Vertici

A

B

C

D

E

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POSTULATO DI PARTIZIONEDEL PIANO

Postulato- Data una retta r su un piano , presi due punti qualsiasi A e B del piano, se A e B appartengono alla stessa regione il segmento AB non interseca la retta r, se A e B appartengono a regioni diverse il segmento AB interseca la retta r.

A’ B’

rA

B

(Per passare da una parte all’altra si deve per forza attraversare la retta che non può essere aggirata)

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DEFINIZIONI

Semipiano

Data una retta r su di un piano , si chiama semipiano di origine r ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso dalla retta r.

Origine o frontiera

r

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DEFINIZIONI

Angolo Date due semirette con l’origine in comune si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui viene diviso il piano.

AngoloAngolo

Lati

Vertice

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DEFINIZIONI

ab

Modi per indicare un angolo

a

b

V

B

A

AVB

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DEFINIZIONI

Angoli consecutivi: Quando hanno il vertice e un lato in comune

a

b

c

V

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DEFINIZIONI

Angoli adiacenti Quando sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta

a

b

c

V

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DEFINIZIONI

Angolo piatto Quando i lati sono semirette opposte.

a

b

V

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DEFINIZIONI

Angolo giro Quando i lati sono semirette sovrapposte cioè coincidenti e l’angolo coincide con l’intero piano.

b

V

a

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DEFINIZIONI

Angolo nullo

b=0

V

a

Quando i lati sono semirette sovrapposte cioè coincidenti e l’angolo comprende soltanto i punti delle semirette.

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Una figura geometrica può essere:• Convessa – quando il segmento

che unisce due punti qualsiasi della figura appartiene per intero alla stessa figura

concava

convessa

• Concava – quando esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non

appartiene per intero alla figura

FIGURE GEOMETRICHE CONCAVE E CONVESSE

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

F2

F1

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

V

F1

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

V

F1

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

V

F1

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

V

F1

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

V

F1

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

V

F1

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

V

F1

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

V

F1

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

V

F1

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DEFINIZIONI

Figure congruenti

Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido.

V

F1 F2

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POSTULATO SULLA CONGRUENZA

La relazione di congruenza tra figure geometriche è una relazione di equivalenza perchè gode delle proprietà:- Riflessiva – Ogni figura è congruente a se stessa;- Simmetrica – Se F1F2 risulta anche F2F1

- Transitiva – Se F1F2 e F2F3 risulta anche F1F3

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POSTULATO DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI

Dato un segmento AB e una semiretta di origine O esiste ed è unico il punto P sulla semiretta in modo che OPAB

O

A

B

P

OPAB

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POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI

Dato un angolo ab e un fascio orientato di semirette con origine nella semiretta c, esiste ed è unica la semiretta d tale che cdab

a

b

O

c

d

cdab

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DEFINIZIONI

Lunghezza di un segmento

Si chiama lunghezza di un segmento la caratteristica comune che hanno un insieme di segmenti congruenti fra loro

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DEFINIZIONI

Ampiezza di un angolo

Si chiama ampiezza di un angolo la caratteristica comune che hanno un insieme di angoli congruenti fra loro

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CONFRONTO TRA SEGMENTI

C

B

D

Il confronto tra due segmenti viene eseguito sovrapponendoli l’uno sull’altro in modo da far coincidere un estremo.

A

C

B

D

A

AB<CD AB>CD

C

B

D

A

AB CD

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SOMMA DI SEGMENTI

Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro

A BC D

A

B

D

C

AB+CD=AD

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DIFFERENZA DI SEGMENTI

Dati due segmenti AB e CD con AB>CD la differenza AB-CD è il segmento DB che si ottiene sovrapponendo i due segmenti facendo coincidere gli estremi A e C.

BAC D

C

D

B

A

AB-CD=DB

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MULTIPLO DI UN SEGMENTO

Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 si chiama multiplo di AB secondo il numero n la somma di n segmenti congruenti con AB.

BA

n.AB = AF

n=3

BC DE FA

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SOTTOMULTIPLO DI UN SEGMENTO

Il seguente postulato (Eudosso-Archimede) ci assicura la divisibilità di un segmento in un numero qualsiasi di segmenti congruenti.

BA AC = AB/3n=3

DC

Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo di AB rispetto al numero n

BAn=5

EC D F AC = AB/5

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PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

BA

Punto medio del segmento AB

M

Dato un segmento AB esiste ed è unico il punto che divide il segmento in due parti congruenti. Questo punto prende il nome di punto medio.

AMMB

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CONFRONTO TRA ANGOLI

P

a

b

Qc

d

R

f e

S

g

h

b

ac

d

Oab<cd

f

ae

b

Oab>ef

ag

bh

Oab=gh

a a a

b

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SOMMA TRA ANGOLI

P

a

b

Qc

d

bbcd

O

ad= ab+cd

a

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DIFFERENZA TRA ANGOLI

P

a

b

Qc

d

b

ac

d

O

db= ab-cd

a

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MULTIPLO DI UN ANGOLO

Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 si chiama multiplo di ab secondo il numero n la somma di n angoli congruenti con ab.

n=3

P

a

b

b

d

O

ad= 3 ab

a

c

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SOTTOMULTIPLO DI UN ANGOLO

Il seguente postulato (Eudosso-Archiemde) ci assicura la divisibilità di un angolo in un numero qualsiasi di angoli congruenti.

Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo dell’angolo ab rispetto al numero n

n=3

P

a

b

ac= ab/3

c

n=5

P

a

b

ac= ab/5

c

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BISETTRICE DI UN ANGOLO

O

a

b

c

Dato un angolo ab esiste ed è unica la semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti. Questa semiretta prende il nome di bisettrice.

Bisettrice dell’angolo ab

accb

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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI

O

a

b

c → bisettrice

Si chiama angolo retto ciascuno dei due angoli in cui la bisettrice divide l’angolo piatto.

Angolo retto

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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI

Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un angolo piatto

P

c

d

Qa

b

bbcd

O

Se ab+cd = π gli angoli ab e cd si dicono supplementari

a

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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI

Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un angolo retto

P

c

d

Qa

b

bbc

d

O

Se ab+cd = π/2 gli angoli ab e cd si dicono complementari

a

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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI

Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un angolo giro

O

Se ab+cd = 2π gli angoli ab e cd si dicono

esplementari

ad

bc

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DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI

Un angolo si dice acuto se è minore dell’angolo retto

Qa

b

Se ab< π/2 ab è acuto

Un angolo convesso si dice ottuso se è maggiore dell’angolo retto

Qa

b

Se ab>π/2 ab è ottuso

π/2 π/2