Gheorghe Enescu - Logica SimbolicaGheorghe Enescu - Logica simbolica

  • View
    298

  • Download
    16

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Gheorghe Enescu - Logica simbolica

Text of Gheorghe Enescu - Logica SimbolicaGheorghe Enescu - Logica simbolica

Dr.

GHEORGHE ENESCU

Logica simbolicEDITURA TIINIFIC. BUCURETI 1971

PREFATAast lucrare urmeaz crilor noastre Introducere n matematic (1965) i Logic i adevr (1967). Prima era at iniierii cititorului n logica simbolic (n special cuIul propoziiilor i calculul predicatelor), a doua P1: unere original a principalelor prohleme metateoretice ;icii moderne. Rapiditatea cu care ele s-au epuizat din i dovedete n ce msur publicul nostru este interesat menea probleme. De atunci a crescut numrul celor ai (printre ei un mare numt de studeni) i se resimte unei noi lucrri n acest domeniu. Cartea de fa vine lund acestei cerine. n ce raport ee afl ea cu alte anterioare puhlicate de noi (inclusiv cele dou cri)? 'roducerea n logica ma'ematic noi am reintegrat aproape a informaie refuitoare la logica propoziiilor, logica telor i logica relaiilqr (se nelege, cu excepia anumi :aje pe care le-am reprodus aproape fr schimbri, I fost revizuit). Nu au fost reintegrate capitolul intro capitolul de istoria logicii matematice i cel de logic l. Din aceste capitole am extras numai unele informaii. asaje (puine la numr) au fost reproduse din lucrarea i adevr. O serie de studii i articole cu caracter didactic e de noi n revistele "Analele Universitii" "Revista ofie" i "Gazeta matematic" au fost integrate n J.ei reprelucrri adecvate. !mnat cantitate de informaie nu a mal fost expusa lucrri anterioare. Ca arie tematic, lucrarea cuprinde toate capitolele de importan din logica modern.

Prin aceasta cititorul romn va avea n limba sa ideile d baz ale logicii moderne, ceea ce i propune lucrarea de fal Expunerea nu cere din partea cititorului cunotine speciale: Lucrrile utilizate n special au {ost:H i l b e r t, W. A e k e r m a n n, Bazele logicii Ioorf1lice (lucra. cla.ic sub aspect pedagogic); 2. S. C. K l e e n e, Inlroducere in ,,",amalemOlie (lucrare cu caracte: 1. D.!I.

,

A.

enciclopedic, dar imposibil pentru cei ce vor sii se iniieze); C hu r e h, 1nlroducerea n logic. malemalic (carte .pecioasii, dr

extrem de util pentru precizarea anumitor concepte); 4. C. I. L e w i., Lan g fo r d, Logiea simbolic;5. Ja

n L u k asi e li' i cA.C.

z,

SilogiBtica aristolelic din pUndul

4" unde nu e posibil dect un caz (,,2 < 4"). n limba latin pentru " sau" neexclusiv se folosete "vel", iar pentru cel exclusiv "aut" (aut Caesar aut nihil). n rom nete exist o conjuncie popular asemntoare cu "aut" anume "au" ("da au ba?"). n vederea exprimrii excluderii se mai poate folosi " sau" repetat ("sau p sau q") . Sensul lui "sau" neexelusiv este prin urmare acesta : cel puin una din strile de fapt are loc, iar sensul lui "sau" exclusiv este acesta : numai una din strile de fapt (exprimate de propoziiile com ponente) are loc. Exemplele pentru "sau" neexclusiv sint mai greu de dat. Iat nc un exemplu : "n triunghiul ABC, unghiul B sau unghiul C este ascuit". Vom conveni s numim pur i simplu "disjuncie" propozi ia disjunctiv-neexclusiv (sau "alternativ"), iar pe cea exclusiv "excludere". Excluderea o notm cu + i vom scrie "p + q" (citete "p exclude q") . Ca i conjuncia disjuncia poate s se afle ntre termeni sau intre propoziii. Ex. "Unii S snt PI sau P2 sau . . . P,," i "Unii S sint PI sau unii S snt P2 sau . . . sau unii S sint P,,". (Nu in toate cazurile formulrile snt echivalente). n continuare ne vom ocupa de disjuncia (neexclusiv). Reguli de adevr i) Dac disjuncia este adevrat atunci cel puin un membru este adevrat. ii) Dac nici un membru nu este adevrat, disjuncia este fals. iii) Dac cel puin un membru este aqevrat, disjuncia este adevrat etc. Pentru cazul n care, disjuncia este adev rat conform cu regula i) vom avea trei posibiliti (pentru doi membri) : (v v), (v f), (f v). Iat exemple pentru fiecare : "Ptratul este dreptunghi cu toate laturile egale sau romb cu toate unghiurile egale" (ambele componente sint adevrate, deci avem cazul v v). "Orice numr natural n (n 1) este divizibil cu 2 sau este divizibil cu 21" (componentele snt v f). "Orice n\lmr natural este o putere a lui 2 sau orice numr natural n (n > O) este divizibil cu 2" (componentele snt

2

_

Evident, ca ,i in cazul conjunciei ne intereseazi disjunoia Intre G:I:preeii propozitioDale.

29

f, v). Pentru cazul cnd disjuncia este fals putem folosi exemplul : "Qrice numr natural satisface teorema lui Fermat sau orice numr natural infirm teorema lui Fermat" (componentele snt f, f ). Simbolizare. Disjuncia se simbolizeaz prin semnul "V" i se scrie "p V q" (citete "p sau q"). Se mai utilizeaz sem nele " U ", "A" i se scrie respectiv "P U q, A P q". O disjuncie poate avea mai muli membri, ex. "p V q V r V V s". Ea poate fi aplicat i negaiilor, ex. lIP V q". precum i conjunciilor (n care caz se folosesc paranteze), exemplu ,,(p q) V (P r) " , or att negaiilor ct i conjunciilor, ex. ,,(p . q) V (p q)", or i disjunciilor ,,(P Vq) V (q V r) " i ,,(pVq) V r" i p V (q r) etc. Conjuncia i negaia pot fi aplicate disjunciei "p . (q V r)", "p V7' etc. Pentru simplificarea scrierii putem face o convenie : cnd avem o expresie care coninea att conjuncia ct i disjuncia convenim s omitem semnul care ne intereseaz mai puin i s scriem literele (or, expresii mai complicate) una lrig alta nelegnd c ele se leag mai nti ntre ele i apoi cu semnul scris. Ex. n loc de (p . q) V r putem scrie pq V r (omiterea conjunciei) sau (p q)r (omiterea disjunciei). Dac termenii disjunciei snt ordonai : Pl' P2 P,. atunci putem scrie :" "

(unde "L" nseamn suma logic adic disjuncia numit astfel din cauza unor analogii cu suma aritmetic). Disjuncia poate fi aplicat ' i sumelor logice (deci putem utiliza ambele semne) :

Pi = P l V P2 V E ..... 1

n

VA

qj E AV E .-1 j_ l Termenii "produs logic" i "sum logic" snt adesea folosii respectiv n loc de conjuncie i de disjuncie.

n

...

' C9 Propoziii im.plicative. Unele propoziii compuse au tbrma " dac a atunci b" unde "a" i "b" pot desemna o cauz i respectiv un efect (implicaia cauzaI), dou proprieti (implicaia conceptual), o mulime de premise i respectiv30

o mulime de concluzii (implicaia deductiv). Exemple : fropoziia "dac se nclzete termometrul atunci mercurul se urc" exprim o implicaie cauzal ; propoziia "dac poli gonul (euclidian) are trei laturi suma unghiurilor sale are 180 '''' exprim o relaie ntre dou proprieti ("concepte" cum mai denumesc unii proprietile), iar propoziia "dac 21 i 2 1 + 1 atunci 21 1 + 1" este o implicaie 2 deductiv. Indiferent de ce "obiecte" vor desemna "a" i "b" dac propoziiile care se refer la aceste obiecte snt de aa natur c de la prima se poate ajunge prin deducie la ultima noi vom putea spune c avem o implicaie deductiv de la "a" la "b ". Vom exprima aceast implicaie astfel "dac p atunci q" . Prin urmare "dac p atunci q" va nsemna "q se deduce din p" (unde p este condiie suficient pentru q sau q este condiie necesar pentru p) . Membrul "p" (care poate fi la rndul lui o propoziie compus) se va numi ante cedent, iar "q" consecvent.= = =

i) Este imposibil ca o implicaie adevrat s aib antece dentul adevrat i consecventul fals. ii) Dac antecedentul este adevrat i consecventul este fals, implicaia este fals. Pentru implicaia adevrat membrii se pot afla n una din situaiile (v v), (fv), (f f). Exemple. Pentru cele trei cazuri de implicaie adevrat : "dac 20 1 i 1 = 30 atunci 20 3" (vv) "dac 2 12 i 1 2 20 + 20 atunci 2 20 + 20" (f, v) "dac 2 12 i 1 2 01 atunci 2 OI" (ff). Toate aceste trei implicaii snt adevrate n virtutea teore mei "pentru orice (a, b, c) dac a b i b c atunci a = c". Se observ c antecedentul (P) este o conjuncie de dou propoziii (ex. ,,2 1 i 1 = 30 ") . Pentru regula ii) avem exemplul : "dac triunghiul dreptunghic are dou laturi per pendiculare atunci el are dou unghiuri ascuite egale". Este adevrat c "triunghiul (adic orice triunghi) dreptunghic are dou laturi perpendiculare", dar nu este adevrat c "orice triunghi dreptunghic are dou unghiuri ascuite egale". Simbolizare. Vom simboliza implicaia prin _ i vom scrie "p of' q" (citete "p implic q" sau "dac p atunci q" ) . Pentru implicaie se folosesc i alte semne ca =) , ::J. C i se scrie res pectiv p -> q, P ::J q i Cpq.= = = = = = = = = = =

Reguli de adevr

31

e. Propoziii de echiv alen (notate p = q) . Propoziiile de echivalen au forma "p dac i numai dac q". Astfel de expresii pot avea de asemenea mai multe sensuri (printre care i dependena exclusiv a lui p de q) dar noi vom avea n vedere numai sensul : "p se deduce din q i q se deduce din p". Prin urmare echivalena se reduce la o conjuncie de dou implicaii p _ q i q _ p. Exemplu : "Rombul este ptrat dac i numai dac are toate unghiurile drepte" se descompune n "dac rombul este ptrat atunci el are toate unghiurile drepte" (implicaia direct) i "dac rombul are toate unghiurile drepte atunci el este ptrat" (implicaia reciproc). Consideraiile referi toare la sensurile implicaiei pot fi extinse i asupra propo ziiilor de forma "p dac i numai dac q" .

Implicaiei p _ q i corespunde inversa (recipro(!a) q _ p_ Implicaia poate fi aplicat expresiilor fOrIqate prin - , . , V dup cum acestea pot fi aplicate implicaiei. Ex. (pq V r) _ _ r}. Ea poate fi aplicat i unor expresii formate tot cu implicaia : (p _ q) _ r etc.

Reguli de adevr

i) Dac echivalena este adevrat atunci ambii membri snt adevrai (vv) sau ambii membri snt fali (ff). ii) Dac echivalena este fals atunci valoarea membrilor ei difer (vf) sau (fv). Simbolizare. Vom simboliza echivalena prin = llIi vom scrie "p q" (citete "p este echivalent cu q" sau "p dac i numai dac q"). Se mai folosesc semnele, ..... , =, ,... llIi E i se scrie respectiv "p - q", "p = q", "p ,... q", "Epq". Noi vom folosi uneori semnul ,,=" pentru a marca o echivalen logic adev rat. Echivalena poate fi folosit de asemenea n combinaie cu propoziiile introduse mai sus, ex. "p = (q