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Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik I für Maschinenbau Frühjahr 2010 Seite 1/20 Musterlösungen (ohne Gewähr) Frage 1 ( 2 Punkte) Eine homogene Walze (Gewicht G) lehnt an einer glatten Wand. Die Walze wird, wie in der Zeich- nung dargestellt von einem masselosen Stab ge- stützt. Gegeben: G, tan α = 3 4 . a) Zeichnen Sie den Kräfteplan für das beschrie- bene System! b) Ermitteln Sie die in dem Stab wirkende Kraft S ! S = G G glatt g a Frühjahr 2010 Klausur Technische Mechanik I für Maschinenbau 25.02.2010

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Frühjahr 2010Seite 1/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Frage 1 ( ≈ 2 Punkte)

Eine homogene Walze (Gewicht G) lehnt an einerglatten Wand. Die Walze wird, wie in der Zeich-nung dargestellt von einem masselosen Stab ge-stützt.

Gegeben: G, tan α =3

4.

a) Zeichnen Sie den Kräfteplan für das beschrie-bene System!

b) Ermitteln Sie die in dem Stab wirkendeKraft S!

glattg

G

G

S G

N

G

G

G

G

S =

G

G

glattg

G

G

S G

N

G

G

G

G

S =

G

G

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Frühjahr 2010Seite 2/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Lösung

a) Kräfteplan:

glattg

G

G

S G

N

G

G

G

G

S =

G

G

b)

S =G

sin α=

5

3G

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Frühjahr 2010Seite 3/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Frage 2 (≈ 2 Punkte)

Bestimmen Sie alle offensichtlichen Nullstäbe desdargestellten Fachwerks!

Stabnummern:

FFFFFFFFF

FFFFFF

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Lösung

Nullstäbe: Stabnummern 1,2,7,12

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Frühjahr 2010Seite 4/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Frage 3 (≈ 1 Punkt)

Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf des Biegemo-ments für das dargestellte Tragwerk!

Biegemomentenverlauf:

F

Lösung

Biegemomentenverlauf:

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Frühjahr 2010Seite 5/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Frage 4 (≈ 2 Punkte)

Für das abgebildete dünne Blech mit Loch sind derFlächeninhalt A, sowie die Schwerpunktskoordina-te xS bezogen auf das eingezeichnete Koordinaten-system zu ermitteln!

Gegeben: a, r =a

2.

A = xS =

x

y

a 2aa

a

2a

a

r

Lösung

Flächeninhalt: A = 12a2 + πr2 = a2(12− π

4) =

a2

4(48− π)

Schwerpunkt: xS =20a3 − aπr2

A=

a3(20− π4)

A=

a3(20− π4)

a2

4(48− π)

=80− π

48− πa

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Frühjahr 2010Seite 6/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Frage 5 (≈ 2 Punkte)

Eine Kiste ist wie skizziert durch eine Kraft F be-lastet. Die rechte Wand ist glatt, die linke Wandist rau (Haftreibkoeffizient µ0).

Gegeben: a, h, F .

a) Bestimmen Sie die Normalkräfte, die in A undB zwischen den Wänden und der Kiste wirken!

NA = NB =

b) Wie groß muss der Haftreibkoeffizient µ0 in A

mindestens sein, damit die Kiste klemmt?

µ0 ≥

rauglatt

F

a

h

A

B

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Frühjahr 2010Seite 7/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Lösung

a)

F

a

h

NB

NA

H

NA = NB = Fa

h

b)

µ0 ≥h

a

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Frühjahr 2010Seite 8/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Frage 6 (≈ 2 Punkte)

Gegeben ist ein Balken der Länge `. Der Balken istinhomogen und besitzt die Massenbelegung ν(x).

a) Bestimmen Sie die Masse m des Balkens!

b) Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinate xS!

Gegeben: m0, `, ν(x) = 4m0

`2x.

Hinweis: xS =

∫̀0

x · ν(x)dx

∫̀0

ν(x)dx

m = xS =

x

Lösung

a) m =

`∫0

ν(x)dx = 4m0

`2

[1

2x2

]`

0

= 2m0

b) xS =1

m

`∫0

x · ν(x)dx =1

m4m0

`2

[1

3x3

]`

0

=2

3`

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Frühjahr 2010Seite 9/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Frage 7 (≈ 2 Punkte)

Ein Seil ist wie skizziert über zwei feststehende Zy-linder geführt. Auf der einen Seite hängt ein Klotz(Masse m) und auf der anderen Seite wirkt dieKraft F . Der Haftreibwert zwischen Seil und Zy-linder beträgt µ0.

a) Wie groß ist der Umschlingungswinkel α?

b) Welche minimale Kraft F = Fmin ist notwendig,damit gerade noch kein Rutschen auftritt?

Gegeben: β =π

6, m, g, µ0 = 0, 25.

α = Fmin =

�F

m

��

��

g

Lösung

Umschlingungswinkel: α =4

3π = 240◦

Fmin = mg · e−µ0α = mg · e−π/3

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Frühjahr 2010Seite 10/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Frage 8 (≈ 2 Punkte)

Für den skizzierten Balken ist der Schnittgrößenverlauf der Querkraft gegeben. Schließen Sie rück-wirkend aus dem Querkraftverlauf auf die Last, die am Balken angreift. Tragen Sie diese Belastungan den Balken an und geben Sie Eckwerte an!

Gegeben: `, F .

+

-

� � �Q(x)

x

F

F-

x

Lösung

+

-

� � �Q(x)

x

F

F-

x

FF2�2�

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Frühjahr 2010Seite 11/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Aufgabe 9 (≈ 7 Punkte)

Ein homogener Klotz (Gewicht G) liegt reibungs-frei auf einem gewichtslosen, schräg eingespanntenBalken und wird durch einen Puffer gehalten.Der Puffer ist biegesteif mit dem Balken verbun-den und gewichtslos. Die Koordinate x verläuftlängs des Balkens. An der Einspannung istx = 0. Bei x = ` greift eine Kraft F am Balken an.

Gegeben: `, G, F .

a) Zeichnen Sie die Freikörperbilder für den Klotz und den Balken!

b) Berechnen Sie sämtliche Lagerreaktionen in der Einspannung!

c) Wie groß muss die Kraft F = F ∗ gewählt werden, damit die Einspannung durch ein Festlagerersetzt werden kann?

F

2�

�/2

reibungsfrei

30°

150° gG

x

Lösung

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Frühjahr 2010Seite 12/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

a)

FKB:

x

y

g

FAx

�/2

MA

FAy

A

�/2

G

Gx=sin(30°)G

Gy=cos(30°)G

F

F Fx=cos(30°)

F Fy=sin(30°)

30°

30°

Fy

Fx

GxGy

Nx

Nx

Ny

Ny

b)

Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für den Klotz:∑Fx = 0 = Gx −Nx ⇒ Nx = Gx =

1

2G

∑Fy = 0 = Ny −Gy ⇒ Ny = Gy =

√3

2G

Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen für den Balken und Berechnung der Lagerreaktionen:∑Fx = 0 = FAx − Fx + Nx

⇒ FAx =

√3

2F − 1

2G

∑Fy = 0 = FAy + Fy −Ny

⇒ FAy =

√3

2G− 1

2F

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Frühjahr 2010Seite 13/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

∑ xMA

z = 0 = MA + Fy`−Ny3`−Nx1

2`

⇒MA = −1

2F` +

3√

3

2G` +

1

4G`

⇒MA = −1

2F` +

6√

3 + 1

4G`

c) Formulierung des Momentengleichgewichts um den Punkt A unter Berücksichtigung von MA = 0 :

(Oder MA = 0 setzen! aus Aufgabenteil b))∑ xMA

z = 0 = Fy`−Ny3`−Nx1

2`

⇒ 1

2F` =

3√

3

2G` +

1

4G`

⇒ F =1

2G(6

√3 + 1)

Bei Verwendung eines alternativen Koordinatensystems mit horizontal und vertikal wirken-den Einspannkräften FAh und FAv folgt

FAh =1

2F

FAv = G−√

3

2F

als Ergebnis in Aufgabenteil b)

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Frühjahr 2010Seite 14/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Aufgabe 10 (≈ 8 Punkte)

Der skizzierte masselose Balken wird durch einedreieckförmige Streckenlast (Maximalwert q0) be-lastet und durch ein Seil gestützt. In dem Seil wirddie Kraft F mit einer Spannvorrichtung eingestellt.Der Balken ist in der Wand fest eingespannt.

a) Bestimmen Sie die resultierende Ersatzkraft fürdie Streckenlast!

b) Stellen Sie die auf den Balken wirkende Seil-kraft vektoriell nach Betrag und Richtung auf!

c) Zeichnen Sie das vollständige Freikörperbild desSystems!

d) Berechnen Sie die Reaktionsgrößen in der Ein-spannstelle!

Gegeben: `, F , q0 =2F

`.

2�

6�

3�

q0

3�

x

y

z

Lösung

Resultierende Ersatzkraft für die Streckenlast: FRes =1

2q0 · 3` =

3

2q0` = 3F

Angriffspunkt von FRes: −→r Res =

4`

0

6`

Seilkraftvektor:−→S = S · −→eS = F

1

7

−2

3

−6

Freikörperbild:

q0�=3Fx

y

z

Fz

F

Mz

2�

Fx

Fy

Mx

My

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Frühjahr 2010Seite 15/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Kräftesumme:∑−→

F =−→0 =

Fx

Fy

Fz

+ F1

7

−2

3

−6

+ 3F

0

−1

0

Fx

Fy

Fz

= F1

7

2

18

6

Momentensumme:∑−→

M =−→0 =

Mx

My

Mz

+ F1

7

2`

0

6`

×−2

3

−6

+ 3F

4`

0

6`

× 0

−1

0

Mx

My

Mz

= F`1

7

−108

0

78

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Frühjahr 2010Seite 16/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Aufgabe 11 (≈ 6 Punkte)

Das dargestellte ebene Fachwerk wird durch zweiKräfte F belastet.

a) Ist das System statisch bestimmt? BegründenSie Ihre Antwort!

b) Bestimmen Sie die Nullstäbe!

c) Bestimmen Sie die Auflagerkräfte!

d) Bestimmen Sie die Kräfte in den Stäben 4, 5und 6!

Gegeben: a, F .

F

A

B

C

F

a aa

a

a

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1213

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Frühjahr 2010Seite 17/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Lösung

a) 2k = s + f ⇔ 2 · 8 = 13 + 3X

b) Nullstäbe: Stabnummern 12 und 3

c)F

F

a aa

a

a

a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1213

FC

FB

FA

FKB:

∑FV = 0 = FA − 2F ⇒ FA = 2F∑M (B) = 0 = FCa + Fa + F3a ⇒ FC = −4F∑FH = 0 = −FC − FB ⇒ FB = 4F

d)

F

1

2

3

4

5

6

F4

FKB:

F5

F6

Aus Momenten und Kräftesummen folgt F4 = 2F ; F5 = −√

2F ; F6 = −F

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Frühjahr 2010Seite 18/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

Aufgabe 12 (≈ 9 Punkte)

Ein L-förmiger Rahmen ist wie skizziert gelagert.Auf den kürzeren Abschnitt wirkt eine konstanteStreckenlast mit Höhe

√2q0.

a) Zeichnen Sie das Freikörperbild des Systems!

b) Bestimmen Sie sämtliche Auflagerreaktionen!

c) Berechnen Sie die Schnittgrößenverläufe derbeiden Teilsysteme als Funktionen von x1 bezie-hungsweise x2 in den angegebenen lokalen Ko-ordinatensystemen!

Gegeben: `, q0.

2q0x

1

z1

x 2

z 2

2�

45o

Lösung

a) FKB:A

H

AV

BR

�/2

45o

2� �/2

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Frühjahr 2010Seite 19/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

b) Resultierende der Streckenlast

R =√

2q0`

Auflagerreaktionen ∑FH = 0 = AH −B ⇒ AH = B

∑FV = 0 = AV −R ⇒ AV = R =

√2q0`

∑ xMA = 0 = −R ·

√2

2

5

2`−B ·

√2

2` ⇒ B = −5

2R = −5

2

√2q0` = AH

c) Bereich I: (0 ≤ xI ≤ 2`) positives Schnittufer

45o

xI

Mb,I

QI NI

x1

z1

�-x I

Mb,II

QII

NII

x 2

z 2

2q0�

2

5

2q0�

2q0�

2

5

x I

q0( -x )� I q

0( -x )� IN(xI) =

√2

2

5

2

√2q0` +

√2

2

√2q0` =

7

2q0`

Q(xI) = −√

2

2

5

2

√2q0` +

√2

2

√2q0` = −3

2q0`

Mb(xI) = −√

2

2

5

2

√2q0` · xI +

√2

2

√2q0` · xI = −3

2q0` · xI

Eckwerte (nicht gefragt):⇒

{Mb(xI = 0) = 0

Mb(xI = 2`) = −3q0`2

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Frühjahr 2010Seite 20/20

Musterlösungen (ohne Gewähr)

d) Bereich II: (0 ≤ xII ≤ `) negatives Schnittufer

45o

xI

Mb,I

QI NI

x1

z1

�-x II

Mb,II

QII

NII

x 2

z 2

2q0�

2

5

2q0�

2q0�

2

5

x II

q0( -x )� II q

0( -x )� II

N(xII) = −q0(`− xII) +

√2

2

5

2

√2q0` =

3

2q0` + q0xII

Eckwerte (nicht gefragt):⇒

N(xII = 0) =

3

2q0`

N(xII = `) =5

2q0`

Q(xII) = q0(`− xII) +

√2

2

5

2

√2q0` =

7

2q0`− q0xII

Eckwerte (nicht gefragt):⇒

Q(xII = 0) =

7

2q0`

Q(xII = `) =5

2q0`

Mb(xII) = −√

2

2

5

2

√2q0`(`− xII)− q0(`− xII)

1

2(`− xII)

Mb(xII) = −5

2q0`

2 +5

2q0`xII − q0

1

2(`2 − 2`xII + x2

II)

Mb(xII) = −3q0`2 +

7

2q0`xII − q0

1

2x2

II

Eckwerte (nicht gefragt):⇒

{Mb(xII = 0) = −3q0`

2

Mb(xII = `) = 0

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