Jocurile şi amuzamentele matematice au fost punctul de plecare în ceea ce astãzi numim teoria grafurilor. Dezvoltându-se la început paralel cu algebra, aceastã ramurã a ştiinpropriu, devenind un tot unitar bine conturat şi bine fundamentat teoretic, cu largã aplicare practicã.Printre primii care s-au ocupat de acest domeniu au fost limbaj specific domeniului. Data naşterii teoriei grafurilor poate fi cpublicat în revista Comentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis

care a clarificat „problema celor şapte poduri”, stabilind astfel o metodã pentru rezolvareaunei întregi clase de probleme. Problema celor 7 poduri din KöenigsbergRâul Pregel împarte oraşul Köenigsberg (astãzi Kaliningrad), prin care trece, ca în figura. Porţiunile de uscat, notate A, B, C şi D sunt unite între ele prin şapte poduri notate a, b, c, d, e, f şi g. Întrebarea care dse punea era posibil ca, plecând dintr-un punct, sã se poatã trece pe toate podurile, câte o singurã datã. Euler a demonstrat că problema nu are soluDificultatea cu care s-a confruntat a fost să dezvolte de o tehnică adecvată de analiză, teste ulterioare, care să enunțe aceastafirmație cu rigoare matematică. Î n primul rând, Euler a subliniat că alegerea drumului prin interiorul fiecărei poreste irelevantă. Singura caracteristică importantă a unui traseu traversate. Acest lucru i-a permis să reformuleze problema în termeni abstrac(punând bazele teoriei grafurilor), eliminând toate caracteristicile, cu excepde mase de uscat și podurile de legătură. În termeni moderni, a înlocuit fiecare masă de uscat cu un „nod” sau vârf abstract, iar fiecare pod cu o legătură abstractă, o „muchie”, care servește doar pentru a înregistra care pereche de noduri (mase de uscat) este conectată prin pod. Structura matematică rezultată se numește graf. Deoarece numai informațiile de conectare sunt relevante, forma reprezentpicturale a grafului poate fi distorsionată în orice mod, fără a schimba graful în sine. Numai existența (sau absența) unei muchii între fiecare pereche de noduri este semnificativă. De exemplu, nu contează dacă marginile trasate sunt drepte sau curbe, sau dacă un nod este la stânga sau la d Apoi, Euler a observat că (cu excepția capetelor drumului), ori de câte ori se intrnod de pe un pod, se iese din nod tot printrgraf, numărul de intrări într-un nod netermintraversat exact o dată, rezultă că, pentru fiecare masă de uscat (cu excepsfârșit), numărul de poduri care duce în acea masă de uscat trebuie să fieparcurgere, vor fi traversate „spre” masa de uscat; cealaltă jumătate, „dinspre” ea). Cu toate acestea, toate cele patru mase de uscat din problema inipoduri, și fiecare dintre celelalte trei este atins de 3). Deoarece, cel mult două mase de uscat pot servi ca puncte finale ale unui drum, propunerea de drum care să traverseze fiecare pod o singură dată conduce la o contradicție.

1

GRAFURI

Jocurile şi amuzamentele matematice au fost punctul de plecare în ceea ce astãzi numim teoria grafurilor. se la început paralel cu algebra, aceastã ramurã a ştiinţei a cãpãtat în timp formã şi con

bine conturat şi bine fundamentat teoretic, cu largã aplicare practicã.au ocupat de acest domeniu au fost König şi Berge. Aceştia au stabilit primele noţiuni de

Data naşterii teoriei grafurilor poate fi consideratã anul 1736, când matematicianul elveComentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae un articol în limba latinã

Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (Soluţia unei probleme legate de geometria poziţiei) în care a clarificat „problema celor şapte poduri”, stabilind astfel o metodã pentru rezolvarea

Problema celor 7 poduri din Köenigsberg Râul Pregel împarte oraşul Köenigsberg (astãzi

prin care trece, ca în figura. Porţiunile de uscat, notate A, B, C şi D sunt unite între ele prin şapte poduri notate a, b, c,

care dse punea era este un punct, sã se poatã

singurã datã.

Euler a demonstrat că problema nu are soluție. a confruntat a fost să

dezvolte de o tehnică adecvată de analiză, și țe această

subliniat că alegerea drumului prin interiorul fiecărei porțiuni de oraș este irelevantă. Singura caracteristică importantă a unui traseu șirul de poduri

a permis să reformuleze problema în termeni abstracți grafurilor), eliminând toate caracteristicile, cu excepția listei

ătură. În termeni moderni, a înlocuit fiecare sau vârf abstract, iar fiecare pod cu o legătură

te doar pentru a înregistra care pereche de noduri (mase de uscat) este conectată prin pod. Structura matematică rezultată se

țiile de conectare sunt relevante, forma reprezentării sionată în orice mod, fără a schimba graful în sine.

ța (sau absența) unei muchii între fiecare pereche de noduri este semnificativă. De exemplu, nu contează dacă marginile trasate sunt drepte sau curbe, sau dacă un nod este la stânga sau la dreapta altui nod.

ția capetelor drumului), ori de câte ori se intră întrnod de pe un pod, se iese din nod tot printr-un pod. Cu alte cuvinte, în timpul oricărui drum

un nod neterminal este egal cu numărul ieșiri. Acum, dactraversat exact o dată, rezultă că, pentru fiecare masă de uscat (cu excepția celor alese pentru început și

ărul de poduri care duce în acea masă de uscat trebuie să fie par (jumătaparcurgere, vor fi traversate „spre” masa de uscat; cealaltă jumătate, „dinspre” ea). Cu toate acestea, toate cele patru mase de uscat din problema inițială sunt atinse de un număr impar de poduri (unul este atins de 5

dintre celelalte trei este atins de 3). Deoarece, cel mult două mase de uscat pot servi ca puncte finale ale unui drum, propunerea de drum care să traverseze fiecare pod o singură dată conduce la o

Jocurile şi amuzamentele matematice au fost punctul de plecare în ceea ce astãzi numim teoria grafurilor. ãpãtat în timp formã şi conţinut

bine conturat şi bine fundamentat teoretic, cu largã aplicare practicã. . Aceştia au stabilit primele noţiuni de

onsideratã anul 1736, când matematicianul elveţian Leonhard Euler a un articol în limba latinã

e de geometria poziţiei) în care a clarificat „problema celor şapte poduri”, stabilind astfel o metodã pentru rezolvarea

țiuni de oraș

ă într- un un pod. Cu alte cuvinte, în timpul oricărui drum prin

șiri. Acum, dacă fiecare podul este ția celor alese pentru început și

(jumătate dintre ele, în parcurgere, vor fi traversate „spre” masa de uscat; cealaltă jumătate, „dinspre” ea). Cu toate acestea, toate

de poduri (unul este atins de 5 dintre celelalte trei este atins de 3). Deoarece, cel mult două mase de uscat pot servi ca

puncte finale ale unui drum, propunerea de drum care să traverseze fiecare pod o singură dată conduce la o

2

În limbaj modern, Euler a arătat că posibilitatea de parcurgere a unui graf, prin traversarea fiecărei muchii exact o dată, depinde de gradele nodurilor. Gradul unui nod este numărul de muchii care îl ating. Argumentul lui Euler arată că o condiție necesară pentru mersul pe jos în forma dorită este ca graful să fie conex și să aibă exact zero sau două noduri de grad impar. Această condiție se dovedește a fi și suficientă—rezultat declarat de către Euler și demonstrat ulterior de Carl Hierholzer Un astfel de drum este astăzi numit drum eulerian. Mai mult, dacă există noduri de grad impar, atunci orice drum eulerian va începe de la unul dintre ele și se va termina la celălalt. Întrucât graful corespunzător Königsbergului istoric are patru noduri de grad impar, el nu poate avea un drum eulerian. O formă alternativă a problemei solicită un drum care traversează toate podurile și ajunge în final în punctul de început. Un astfel de drum este numit „ciclu eulerian”. Un astfel de ciclu există dacă și numai dacă graficul este conex și nu există niciun nod de grad impar. Toate ciclurile euleriene sunt și drumuri euleriene, dar nu toate drumurile euleriene sunt și cicluri euleriene.

DEFINIŢIA MATEMATICĂ A GRAFULUI Se numeşte graf (G) o pereche ordonată de mulţimi (X,U), unde X este o mulţime finită şi nevidă, iar U o mulţime de perechi formate cu elemente distincte din mulţimea X (familie de submulţimi cu două elemente din mulţimea X). Terminologie: _ Elementele mulţimii X se numesc vârfuri sau noduri. Mulţimea X se mai numeşte şi mulţimea vârfurilor sau mulţimea nodurilor grafului G. Ea este de forma: X = {x1, x2, x3, ..., xi, ..., xn} unde xi reprezintă nodul i al grafului G care are n noduri. _ Ordinul grafului reprezintă numărul de noduri ale grafului, n: ordinul grafului = card(X) = n _ Elementele mulţimii U sunt perechi de noduri, adică submulţimi cu două elemente din mulţimea X, şi se

notează cu uk. Elementul uk este definit de perechea de forma {xi, xj}, unde xi, xj∈X şi xi≠xj (elemente distincte din mulţimea X). Elementul uk leagă nodurile xi şi xj şi se notează astfel: [xi, xj]. Mulţimea U este de forma: U={u1, u2, u3, ..., uk, ..., um} Exemplul 1: O persoană doreşte să viziteze şapte obiective turistice care se găsesc în şapte localităţi, pe care le notăm cu A, B, C,E, F, G şi I. Între cele şase obiective turistice există mai multe căi de acces. Trebuie să se găsească un traseu, astfel încât turistul să plece din localitatea A şi să revină în localitatea A, vizitând toate cele şapte obiective fără să treacă de două ori prin aceeaşi localitate. Scop: exemplificarea modului în care identificaţi structura de date pe care o folosiţi pentru a rezolva problema.

Dacă există mai multe trasee, să se caute traseul cu drumul cel mai scurt.

3

Pentru rezolvarea problemei, trebuie stabilită structura de date care se va folosi. Localităţile reprezintă entităţi care pot fi legate sau nu prin căi de acces. Fiecare cale de acces este caracterizată de distanţa dintre cele două localităţi. Pentru a reprezenta la nivel conceptual această structură de date, vom reprezenta în plan harta zonei turistice prin intermediul unor elemente geometrice astfel: localităţile se reprezintă prin cercuri în interiorul cărora vom scrie identificatorul localităţii, iar căile de acces prin linii drepte care unesc anumite puncte. Acest model de reprezentare a datelor este un graf Clasificarea grafurilor: Criteriul de clasificare folosit este proprietatea de simetrie a mulţimii U. Mulţimea U are proprietatea de simetrie dacă şi numai dacă

pentru orice pereche de noduri (xi, xj), dacă {xi, xj}∈U, atunci şi {xj, xi}∈U În funcţie de proprietatea de simetrie, grafurile se clasifică în: _ Grafuri neorientate. Un graf G=(X,U) este un graf neorientat dacă mulţimea U are proprietatea de simetrie. Mulţimea U este formată din perechi neordonate {xj, xi}. _ Grafuri orientate. Un graf G=(X,U) este un graf orientat dacă mulţimea U nu are proprietatea de simetrie. Mulţimea U este formată din perechi ordonate {xj, xi}. Pentru a identifica tipul de graf pe care îl veţi folosi pentru a reprezenta datele, definiţi relaţia dintre nodurile grafului şi verificaţi dacă relaţia are proprietatea de simetrie, astfel: _ Dacă nodul x în relaţie cu nodul y implică şi că nodul y este în relaţie cu nodul x, atunci graful este neorientat. _ Dacă nodul x în relaţie cu nodul y nu implică şi că nodul y este în relaţie cu nodul x, atunci graful este orientat. Exemplul 2: Pe harta unui judeţ există mai multe localităţi care sunt legate de şosele pe care se circulă în ambele sensuri. Să se identifice traseele prin care se poate ajunge de la localitatea A la localitatea B. Scop: identificarea tipului de graf pe care îl folosiţi pentru a rezolva problema. Nodurile grafului sunt localităţile. Relaţia care se stabileşte între nodurile grafului este: nodul x este în relaţie cu nodul y, dacă există o şosea care leagă direct localitatea asociată nodului x cu localitatea asociată nodului y. Relaţia are proprietatea de simetrie, deoarece şoseaua care leagă direct localitatea asociată nodului x cu localitatea asociată nodului y leagă direct şi localitatea asociată nodului y cu localitatea asociată nodului x. Pentru reprezentarea căilor de comunicaţie dintre localităţi se va folosi un graf neorientat. Exemplul 3: Pe harta unui cartier există mai multe intersecţii care sunt legate de străzi. Pe unele străzi se poate circula în ambele sensuri, pe alte străzi numai într-un anumit sens. Să se identifice traseele prin care se poate ajunge de la intersecţia A la intersecţia B. Nodurile grafului sunt intersecţiile. Relaţia care se stabileşte între nodurile grafului este: nodul x este în relaţie cu nodul y, dacă există trafic care leagă direct intersecţia asociată nodului x cu intersecţia asociată nodului y (se poate circula de la nodul x la nodul y). Relaţia nu are proprietatea de simetrie deoarece, dacă există o stradă care leagă direct intersecţia asociată nodului x cu intersecţia asociată nodului y şi pe această stradă există trafic de la nodul x la nodul y, nu este obligatoriu ca pe acea stradă să existe trafic şi de la nodul y la nodul x. Pentru reprezentarea traficului auto dintre intersecţii se va folosi un graf orientat. Exemplul 4: La nivelul unui grup de persoane se face un studiu social. Între persoane se stabilesc relaţii de prietenie, dar şi relaţii de simpatie. Să se descrie cu ajutorul grafului relaţiile dintre persoane. Nodurile grafului sunt membrii grupului de persoane. Între persoane se pot stabili relaţiile: _ Relaţia de prietenie este o relaţie definită astfel: persoana x este în relaţie cu persoana y, dacă este prietenă cu ea. Relaţia este simetrică deoarece, dacă persoana x este prietenă cu persoana y, atunci şi persoana y este prietenă cu persoana x (relaţia de prietenie presupune reciprocitate). Pentru reprezentarea relaţiilor de prietenie dintre membrii grupului se va folosi un graf neorientat. _ Relaţia de simpatie este o relaţie definită astfel: persoana x este în relaţie cu persoana y, dacă o simpatizează. Relaţia nu este simetrică deoarece, dacă persoana x simpatizează persoana y, atunci nu este

4

obligatoriu ca persoana y să simpatizeze persoana x (relaţia de simpatie nu presupune reciprocitate). Pentru reprezentarea relaţiilor de simpatie dintre membrii grupului se va folosi un graf orientat.

GRAFUL NEORIENTAT Terminologie _ Elementele mulţimii U (perechile de noduri) se numesc muchii. Mulţimea U se mai numeşte şi mulţimea muchiilor grafului G. O muchie, fiind un element din mulţimea U, este determinată de o submulţime cu două elemente din mulţimea X: muchia k a grafului (uk), care uneşte nodurile xi şi xj, este determinată de submulţimea {xi, xj} şi se notează cu [xi, xj]. [xi, xj] şi [xj, xi] reprezintă aceeaşi muchie a grafului. Graful G are m muchii: numărul de muchii = card(U) = m

_ Numim noduri adiacente orice pereche de noduri care formează o muchie – {xi,xj} ∈U. Fiecare dintre cele două noduri (xi şi xj) este nod incident cu muchia uk = [xi,xj]. _ Nodurile vecine unui nod xi sunt toate nodurile xj care sunt adiacente cu el. _ Se numeşte nod extrem al unei muchii oricare dintre cele două noduri care se găsesc la capătul muchiei. Nodurile xi şi xj sunt extremităţile muchiei [xi, xj]. _ Se numesc muchii incidente două muchii ui şi uj care au o extremitate comună – nodul xk. Un graf neorientat G este definit de o pereche de mulţimi: mulţimea nodurilor sale – X şi mulţimea muchiilor sale – U. El poate fi considerat ca o mulţime de noduri din care unele pot fi unite două câte două printr-o muchie. Graful neorientat se reprezintă în plan prin intermediul unor elemente geometrice: nodurile se reprezintă prin cercuri, iar muchiile prin linii drepte care unesc anumite cercuri.

Elementele mulţimii X (nodurile) se identifică cu ajutorul unor etichete, care pot fi numere sau litere. Pentru simplificare, vom folosi ca etichete un şir de numere consecutive, începând cu numărul 1. De exemplu, pentru un graf cu n noduri, vom folosi etichetele: 1, 2, 3, …, n-1, n. O muchie se va nota cu [i,j], unde i şi j sunt etichetele nodurilor incidente cu muchia. De exemplu, muchia [2,3] este muchia care uneşte nodurile cu etichetele 2 şi 3 Exemplul 5: În graful G1=(X1,U1) din figura următoare

_ Ordinul grafului este 8. Graful are 8 noduri (n=8) şi mulţimea nodurilor este X1={1,2,3,4,5,6,7,8}. _ Graful are 9 muchii (m=9) şi mulţimea muchiilor este U1={[1,2], [1,3], [1,4], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [6,7], [6,8] }. _ Nodul 1 este nod adiacent cu nodurile 2, 3 şi 4, iar nodul 6 este adiacent cu nodurile 7 şi 8. Nodurile 3 şi 4

sunt adiacente deoarece perechea de noduri [3,4]∈U1. Nodurile 5 şi 6 nu sunt adiacente deoarece perechea

de noduri [5,6]∉U1. _ Nodul 5 este nod incident cu muchiile [2,5] şi [3,5], dar nu este incident cu muchia [1,2]. _ Nodul 3 este nod extrem muchiilor [1,3], [2,3], [3,4] şi [3,5].

5

_ Muchiile [1,2] şi [2,3] sunt muchii incidente deoarece au un nod comun (nodul 2). Muchiile [1,4] şi [2,3] nu sunt muchii incidente deoarece nu au un nod comun. Teorema 1 Dacă graful neorientat G are n noduri (x1, x2, ..., xn), atunci numărul total de grafuri neorientate care se pot

forma cu aceste noduri este g:

2

2 nC

Demonstraţie. Notăm cu X mulţimea nodurilor grafului, cu U mulţimea muchiilor, cu A mulţimea tuturor submulţimilor de două elemente din X şi cu B mulţimea {0,1}. Mulţimea are următoarele elemente (submulţimi): [1,2], [1,3], [1,4], …, [1,n] n-1 submulţimi [2,3], [2,4], …, [2,n] n-2 submulţimi ……………………………………………………………………… [n-1,n] 1 submulţime

Numărul total de submulţimi este: (n-1)+(n-2)+...+1=2

nC

Notăm cu a – card(A) şi cu b – card(B). Fiecărui graf îi putem asocia o

funcţie f : A→B definită alăturat. Invers, unei funcţii f:A_B îi putem ataşa un graf, astfel: f({x,y})=1 dacă

şi numai dacă [x,y]∈U. Rezultă că numărul total de grafuri care se pot

forma cu n noduri este egal cu numărul de funcţii f. Dar, numărul de funcţii f:A→B este egal cu ba, unde b=2 şi

a= 2

nC

Gradul unui nod al grafului neorientat Nodul unui graf este caracterizat prin grad. Gradul unui nod xk al grafului G este egal cu numărul muchiilor incidente cu nodul şi se notează cu d(xk). Terminologie: _ Se numeşte nod terminal un nod care are gradul egal cu 1 – d(xk) = 1 (este incident cu o singură muchie). _ Se numeşte nod izolat un nod care are gradul egal cu 0 – d(xk) = 0 (nu este adiacent cu nici un alt nod al grafului, adică nu se găseşte în extremitatea nici unei muchii). Observaţie: Într-un graf cu n noduri, oricare ar fi nodul xk, gradul său este mai mare sau egal cu 0 şi mai mic sau egal cu n-1 (0≤d(xk)≤n-1). Exemplul 6: Graful G2=(X2,U2) din figura alăturată este definit astfel: X2={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} U2={[1,2], [1,4], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [5,6], [5,7], [5,8], [7,9]}. În graful G2: _ Gradul nodului 5 este 4, deoarece are 4 muchii incidente: [3,5], [5,6], [5,7] şi [5,8]. _ Nodul 9 este nod terminal, deoarece are gradul 1 (o singură muchie incidentă: [7,9]). _ Nodul 10 este nod izolat, deoarece are gradul 0 (nicio muchie incidentă). Exemplul 7: Fie graful G3=(X3,U3), unde X3={1,2,3,4,5,6,7,8} şi U3={[1,2], [1,5], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,5], [4,6], [4,7]}. Din lista muchiilor unui graf neorientat, puteţi preciza următoarele informaţii: _ Determinaţi gradul unui nod – numărând de câte ori apare eticheta nodului în lista de muchii. Nodul 5 are gradul 3 (în mulţimea muchiilor, eticheta 5 apare de 3 ori: [1,5], [2,5], [3,5]). _ Determinaţi dacă un nod este terminal – verificând dacă eticheta lui apare o singură dată. Nodul 7 este nod terminal (eticheta lui apare numai într-o singură muchie: [4,7]).

6

_ Determinaţi dacă un nod este izolat – verificând dacă eticheta lui nu apare în lista de muchii. Nodul 8 este nod izolat (eticheta lui nu apare în lista muchiilor). _ Determinaţi numărul de noduri izolate (n1) astfel: număraţi etichetele distincte care apar în lista muchiilor (n2) şi n1=n-n2. În graful G3, în lista de muchii, există 7 etichete distincte. Numărul de noduri izolate este 1 (8-7). Teorema 2 Dacă graful G are m muchii (u1, u2, ..., um) şi n noduri (x1, x2, ..., xn), atunci între gradul nodurilor şi numărul de muchii există următoarea relaţie: suma gradelor tuturor nodurilor grafului este egală cu dublul numărului de

muchii:1

( ) 2n

i

i

d x m=

=∑

Demonstraţie. Fiecare muchie uk = [xi, xj] corespunde unei unităţi din gradul nodului xi şi unei unităţi din gradul nodului xj. Rezultă că fiecare muchie contribuie cu 2 unităţi la suma gradelor. Exemplul 8: În graful G2: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) + d(6) + d(7) + d(8) + d(9) + d(10) + d(11) = 2+2+3+2+4+1+2+1+1+0+0 = 18 = 2×9 = 2×m Propoziţia 1. Pentru orice graf G, numărul nodurilor de grad impar este par. Demonstraţie. Suma gradelor nodurilor fiind un număr par, această sumă trebuie să conţină un număr par de termeni care sunt numere impare. Exemplul 9: În graful G4 din imagine există 6 noduri cu grad impar (1, 2, 4, 5,6 şi 7). Propoziţia 2. Numărul minim de muchii, mmin, pe care trebuie să le aibă un graf neorientat, cu n

noduri, ca să nu existe noduri izolate, este: min

1

2

nm

+ =

Demonstraţie. Pentru ca un nod xi să nu fie izolat, trebuie ca d(xi)≥1. Pentru ca toate nodurile să nu fie izolate, trebuie ca suma gradelor să fie mai mare sau egală cu n. Dar, suma gradelor este dublul numărului de muchii – m. Înseamnă că, pentru n par – mmin=n/2, iar pentru n impar – mmin=(n+1)/2. Teorema 3 Dacă graful G are n noduri (n≥2), atunci cel puţin două noduri au acelaşi grad. Demonstraţie – prin reducere la absurd. Presupunem că nu este adevărat. Cum, oricare ar fi nodul xk, 0≤d(xk)≤n-1, înseamnă că singurul şir de n numere, diferite între ele două câte două, care pot reprezenta gradele unghiurilor este 0, 1, 2, …, n-1. Deoarece un nod este izolat, cel mai mare grad al unui nod nu poate fi decât n-2 (nodul nu se poate lega de el însuşi şi de nodul izolat). Rezultă că şirul de numere definit mai sus (singurul şir care se poate defini) nu poate reprezenta şirul gradelor în graf. Definiție: Secvența gradelor .

Fie G = (V; E) un grafic cu |V | = n. gradul secvenței lui G este d ∈Zn compus din gradele de vârfuri din V aranjate în ordine descrescătoare. Exemplul 10: Fie graful din figură. Gradele pentru nodurile acestuia sunt: (1) v1 = 4 (2) v2 = 3

7

(3) v3 = 2 (4) v4 = 2 (5) v5 = 1 Deci secvența gradelor este: d = (4; 3; 2; 2; 1).

PROBLEME 1) Prin ce tip de graf va fi reprezentat un grup de persoane între care s-au stabilit relaţii de vecinătate ? 2) În graful G1 a) cu ce noduri este adiacent nodul 1? b) cu ce muchii este incident nodul 1? c) Daţi exemple de două noduri adiacente şi de două noduri care nu sunt adiacente . d) Daţi exemple de două muchii incidente şi de două muchii care nu sunt 3) Fiind date n persoane şi m relaţii de prietenie între ele de forma: persoana i este prietenă cu persoana j, se cere să se stabilească corespondenţele între afirmaţiile din stânga şi cele din dreapta.

1. În grupul celor n persoane, fiecare persoană are cel puţin un prieten. 2. Fiecare persoană este prietenă cu oricare alta din grup. 3. Există persoane care nu au decât un singur prieten. 4. Există k persoane din grup astfel încât oricare dintre ele este prietenă cu toate celelalte k-1.

a. Graful asociat are noduri terminale. b. Graful asociat conţine un subgraf complet cu k noduri. c. Graful asociat este complet. d. Graful asociat nu are noduri izolate.

4) Numarul de grafuri neorientate cu n varfuri este; a) n2 ; b) )1(

2−nn ; c) 2/)1(

2−nn ; d) 2n.

5) Fiind dat un grup de n persoane, în care dintre situaţiile de mai jos se poate folosi pentru modelare un graf neorientat? a) Unele persoane din grup cunosc alte persoane din grup; b) Unele persoane din grup simpatizează alte persoane din grup; c) În cazul în care toate persoanele lucrează într-o firmă, unele persoane din grup sunt şefi pentru alte persoane din grup; d) Unele persoane din grup sunt prietene cu alte persoane din grup. 6) Într-un graf neorientat cu 20 muchii, fiecare nod al grafului are gradul un număr nenul. Doar patru dintre noduri au gradul un număr par, restul nodurilor având gradele numere impare. Care este numărul maxim de noduri pe care poate să le aibă graful? a. 32 b. 36 c. 10 d. 16 7) Pentru graful G3 din figura alăturată, precizaţi ordinul, numărul de noduri, numărul de muchii şi mulţimile X3 şi U3. Identificaţi nodurile care au gradul 2, precizaţi câte noduri au gradul impar şi care este nodul cu gradul cel mai mare. 8) Desenaţi graful judeţelor din România pentru 6 judete (între două judeţe există o muchie dacă cele două judeţe sunt învecinate). 9) O cunoştinţă mi-a zis: la mine în birou suntem 5 persoane. Fiecare dintre noi colaborează cu exact 3 persoane. A zis adevărul?

8

10) Care este numărul minim şi numărul maxim de noduri izolate pe care îl poate avea un graf neorientat cu 10 noduri şi 10 muchii? 11) Numărul maxim de noduri terminale într-un graf cu 20 de noduri şi 10 muchii este:

a) 16 b) 20 c) 10 d) 9

12) Se consideră un graf neorientat cu 50 noduri şi 32 muchii. Care este numărul maxim de vârfuri cu gradul 0 pe care le poate avea graful? a. 45 b. 40 c. 41 d. 50 13) Se consideră un graf neorientat 5 noduri şi 3 muchii. Care este numărul maxim de noduri cu grad 1 care pot exista în graf? a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 14) Se consideră graful neorientat: cu 60 de noduri şi 40 de muchii. Suma gradelor tuturor nodurilor este egală cu : a. 120 b. 80 c. 100 d. 20 15) Enumeraţi nodurile cu grad impar ale grafului neorientat cu 6 noduri numerotate de la 1 la 6 şi muchiile [1,6], [2,1], [2,6], [3,2], [3,4], [3,6], [4,5], [4,6], [6,5]. a. 2 3 4 6 b. 1 3 5 c. 2 4 6 d. 1 3 5 6 16) Se consideră un graf neorientat cu 7 noduri, numerotate de la 1 la 7, cu proprietatea că există muchie cu extremităţile în nodurile i şi respectiv j dacă numerele i şi j sunt de aceeaşi paritate sau dacă i este divizor al lui j. Gradul maxim al unui nod din acest graf este: a. 1 b. 7 c. 4 d. 6 17) Numărul minim de noduri cu gradul 1 pentru un graf neorientat conex cu 21 noduri şi 20 muchii este: a. 11 b. 3 c. 2 d. 1 18) Dacă G este un graf neorientat cu 4 noduri, atunci numărul maxim de muchii pe care le poate avea graful este: a. 5 b. 4 c. 3 d. 6 19) Se consideră un graf neorientat cu 5 noduri şi 9 muchii. Care dintre următoarele şiruri de numere pot fi gradele nodurilor grafului? (4p.) a. 4, 2, 6, 4, 2 b. 2, 2, 1, 2, 2 c. 1, 1, 1, 1, 1 d. 4, 3, 3, 4, 4

GRAFUL ORIENTAT Spre deosebire de graful neorientat, în graful orientat perechile de noduri sunt ordonate. Terminologie _ Elementele mulţimii U (perechile de noduri) se numesc arce. Mulţimea U se mai numeşte şi mulţimea arcelor grafului G. Un arc, fiind un element din mulţimea U, este determinat de o submulţime ordonată, cu două elemente, din mulţimea X: arcul k al grafului (uk), ce uneşte nodurile xi şi xj, este determinat de submulţimea {xi,xj} şi se notează cu [xi, xj]. [xi, xj] şi [xj, xi] nu reprezintă acelaşi arc al grafului. Graful G are m arce: numărul de arce = card(U) = m

_ Se numesc noduri adiacente în graful G oricare din perechile de noduri care formează un arc – (xi,xj)∈U sau

(xj,xi)∈U. Fiecare dintre cele două noduri (xi şi xj) este nod incident cu arcul uk = [xi, xj] sau cu arcul uk = [xj, xi]. _ Nodurile xi şi xj sunt extremităţile arcului [xi, xj]. Nodul xi este extremitatea iniţială a arcului, iar nodul xj este extremitatea finală a arcului. _ Se numesc arce incidente două arce ui şi uj care au o extremitate comună – nodul xk.

9

_ Se numeşte succesor al nodului xi orice nod la care ajunge un arc care iese din nodul xi. Mulţimea succesorilor nodului xi este formată din mulţimea nodurilor la care ajung arcele care ies din nodul xi. Se notează cu S(xi) şi se defineşte ca mulţimea:

S(x) = {xj∈X|(xi, xj)∈U}. _ Se numeşte predecesor al nodului xi orice nod de la care intră un arc în nodul xi. Mulţimea predecesorilor nodului xi este formată din mulţimea nodurilor de la care ajung arcele care intră în nodul xi. Se notează cu P(xi) şi se defineşte ca mulţimea:

P(x) = {xj∈X|(xj, xi)∈U}. _ Mulţimea arcelor care ies din nodul xi se notează cu U+(xi) şi se defineşte ca mulţimea

U+( xi) = { u=(xi, xj)|u∈U}. _ Mulţimea arcelor care intră în nodul xi se notează cu U-(xi) şi se defineşte ca mulţimea U-(xi) = { u=( xj, xi)|u∈U}. _ Nodul sursă al grafului este nodul care are mulţimea succesorilor formată din toate celelalte noduri, mai puţin el, iar mulţimea predecesorilor săi este mulţimea vidă. _ Nodul destinaţie al grafului este nodul care are mulţimea predecesorilor formată din toate celelalte noduri, mai puţin el, iar mulţimea succesorilor săi este mulţimea vidă. Observaţii 1. card(S(x))=card(U+(x)) şi card(P(x))=card(U-(x)). 2. Pentru nodul sursă al grafului card(S(x))=card(X)-1 şi card(P(x))=0. 3. Pentru nodul destinaţie al grafului card(P(x))=card(X)-1 şi card(S(x))=0. 4. Dacă un graf are un nod sursă, atunci nu poate avea un nod destinaţie, şi invers. Un graf orientat G este definit de o pereche de mulţimi: mulţimea nodurilor sale – X şi mulţimea arcelor sale – U. El poate fi considerat ca o mulţime de noduri din care unele pot fi unite două câte două, prin unul sau două arce. Graful orientat se reprezintă în plan prin intermediul unor elemente geometrice: nodurile se reprezintă prin cercuri, iar arcele prin linii drepte care unesc anumite cercuri şi care au o săgeată la capătul care corespunde extremităţii finale a arcului.

Exemplul 11: În graful G5=(X5,U5) – din figura alăturată: _ Ordinul grafului este 5. _ Graful are 5 noduri (n=5) şi mulţimea nodurilor este X5={1,2,3,4,5}. _ Graful are 7 arce (m=7) şi mulţimea arcelor este U5={[1,2], [1,4], [2,3], [4,1], [4,3], [5,2], [5,3] }. _ Nodul 1 este nod adiacent cu nodurile 2 şi 4, iar nodul 3 este adiacent cu nodurile 2, 4 şi 5. Nodurile 3 şi 4 sunt adiacente deoarece perechea de noduri [4,3]∈U. Nodurile 5 şi 4 nu sunt adiacente, deoarece nici una dintre perechile de noduri [4,5] şi [5,4] ∉U. _ Nodul 4 este nod incident cu arcele [1,4], [4,1] şi [4,3], dar nu este incident cu arcul [1,2]. _ Nodul 2 este extremitatea iniţială a arcului [2,3] şi extremitatea finală a arcelor [1,2] şi [5,2]. _ Arcele [1,2] şi [5,2] sunt arce incidente deoarece au un nod comun (nodul 2). Arcele [1,4] şi [2,3] nu sunt arce incidente, deoarece nu au un nod comun. _ Mulţimea succesorilor nodului 1 este formată din nodurile 2 şi 4. Nodul 2 este nod succesor al nodului 1, dar şi al nodului 5. Nodul 1 este nod succesor al nodului 4, dar şi nodul 4 este nod succesor al nodului 1. Nodul 3 nu are succesori.

10

_ Mulţimea predecesorilor nodului 3 este formată din nodurile 2, 4 şi 5. Nodul 2 este nod predecesor al nodului 3. Nodul 1 este nod predecesor al nodului 4, dar şi nodul 4 este nod predecesor al nodului 1. Nodul 5 nu are predecesori. Teorema 4 Dacă graful orientat G are n noduri (x1, x2, ..., xn), atunci numărul total de grafuri orientate care se pot forma

cu aceste noduri este g:

( 1)

24

n n−

Demonstraţie. Se demonstrează la fel ca Teorema 1 cu deosebirea că mulţimea B este {0,1,2,3} –card(B)=4, iar funcţia f este definită alăturat.

Gradele unui nod al grafului orientat Nodul unui graf orientat este caracterizat prin gradul intern şi gradul extern. Gradul intern al unui nod xi al grafului G este egal cu numărul arcelor care intră în nodul xi (arce de forma [xj, xi]) şi se notează cu d-(x). Gradul extern al unui nod xi al grafului G este egal cu numărul arcelor care ies din nodul xi (arce de forma [xi, xj]) şi se notează cu d+(x). Terminologie: _ Se numeşte nod terminal un nod care are suma gradelor egală cu 1 (gradul intern sau gradul extern egal cu 1 şi gradul extern, respectiv gradul intern, egal cu 0 – d+(xk) = 1 şi d-(xk) = 0 sau d-(xk) = 1 şi d+(xk) = 0). Nodul terminal este incident cu un singur arc. _ Se numeşte nod izolat un nod care are suma gradelor egală cu 0 (gradul intern şi gradul extern egale cu 0 – d+(xk) = d-(xk) = 0). Nodul izolat nu este adiacent cu nici un alt nod al grafului, adică nu se găseşte la extremitatea niciunui arc. Observaţii: 1. d+(x)=card(S(x)) şi d-(x)=card(P(x)). 2. Dacă graful are n noduri, pentru un nod sursă al grafului d+(x)=n-1 şi d-(x)=0, iar pentru un nod destinaţie al grafului d-(x)=n-1 şi d+(x)=0. 3. Într-un graf cu n noduri, oricare ar fi nodul xk, oricare dintre gradele sale este mai mare sau egal cu 0 şi mai mic sau egal cu n-1 (0≤d+(xk) ≤n-1 şi 0≤d-(xk) ≤n-1). Exemplul 12: Graful G6=(X6,U6) din figură este definit astfel: X6={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} U6={[1,2], [1,4], [2,1], [2,3], [2,5], [2,6], [2,7] [4,1], [7,2], [8,9], [9,8] }. În graful G6: _ Gradul intern al nodului 2 este 2, deoarece are 2 arce care intră: [1,2] şi [7,2]. Gradul extern al nodului 2 este 4, deoarece are 4 arce care ies: [2,1], [2,3], [2,5] şi [2,7]. _ Nodul 5 este nod terminal deoarece are suma gradelor egală cu 1 (gradul intern este 1 şi gradul extern este 0) şi un singur arc incident: [2,5]). _ Nodul 10 este nod izolat, deoarece are gradul 0 (niciun arc incident). Exemplul 13:

11

Fie graful G7=(X7,U7), unde X7={1,2,3,4,5,6,7,8} şi U7={[1,2], [1,5], [2,1], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,3], [4,5], [4,6], [4,7], [5,4]}. Din lista arcelor unui graf orientat, puteţi preciza următoarele informaţii: _ Gradul extern al unui nod – numărând de câte ori apare eticheta nodului în lista de arce, ca prim element din pereche. Nodul 3 are gradul extern 2 (în mulţimea arcelor, eticheta 3 apare de 2 ori ca prim element: [3,4] şi [3,5]). _ Gradul intern al unui nod – numărând de câte ori apare eticheta nodului în lista de arce, ca al doilea element din pereche. Nodul 5 are gradul 4 (în mulţimea arcelor, eticheta 5 apare de 4 ori ca al doilea element: [1,5], [2,5], [3,5] şi [3,5]). _ Mulţimea succesorilor unui nod este formată din nodurile a căror etichetă apare ca al doilea element în perechile în care primul element este nodul precizat. Mulţimea succesorilor nodului 4 este {3, 5, 6, 7} – arcele: [4,3], [4,5], [4,6] şi [4,7]. _ Mulţimea predecesorilor unui nod este formată din nodurile a căror etichetă apare ca prim element în perechile în care al doilea element este nodul precizat. Mulţimea predecesorilor nodului 3 este {2, 4} – arcele: [2,3] şi [4,3]. Exemplul 14: Fie grafurile G8=(X8,U8), unde X8={1,2,3,4} şi U8={[1,2], [1,3], [1,4] [2,3], [3,4], [4,3]}, şi G9=(X9,U9), unde X9={1,2,3,4} şi U9={[2,1], [2,3], [3,1], [3,4], [4,1], [4,3]}. Din lista muchiilor unui graf, puteţi preciza următoarele informaţii: _ Nodul sursă al unui graf apare pe primul loc din pereche de n-1 ori – şi niciodată pe locul al doilea. În graful G8, nodul 1 este nod sursă. Desenaţi graful G8 pentru a verifica această afirmaţie. _ Nodul destinaţie al unui graf apare pe al doilea loc din pereche de n-1 ori – şi niciodată pe primul loc. În graful G9, nodul 1 este nod destinaţie. Desenaţi graful G9 pentru a verifica această afirmaţie. Teorema 5 Dacă graful orientat G are m arce (u1, u2, ..., um) şi n noduri (x1, x2, ..., xn), atunci între gradele nodurilor şi numărul de muchii există următoarea relaţie: suma gradelor interne ale tuturor nodurilor este egală cu suma

gradelor externe ale tuturor nodurilor şi cu numărul de arce:1 1

( ) ( )n n

i i

i i

d x d x m+ −

= =

= =∑ ∑

Demonstraţie. Fiecare arc uk = [xi, xj] corespunde unei unităţi din gradul extern al nodului xi şi unei unităţi din gradul intern al nodului xj. Rezultă că fiecare arc contribuie cu o unitate la suma gradelor interne şi cu o unitate la suma gradelor externe. Exemplul 15: În graful G10 din figură: d+(1) + d+(2) + d+(3) + d+(4) + d+(5) + d+(6) = 1+3+1+2+2+1 = 10 şi d-(1) + d-(2) + d-(3) + d-(4) + d-(5) + d-(6) = 1+2+2+2+2+1 = 10, m fiind egal cu 10.

PROBLEME 1)Fie graful G10=(X10,U10), unde X10={1,2,3,4,5,6,7,8} şi U10={[1,2], [1,5], [2,1], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,3], [4,5], [4,6], [4,7], [5,4]}. Precizaţi gradul intern şi gradul extern ale nodului 4, identificaţi nodurile izolate şi nodurile terminale, identificaţi nodurile care au gradul extern maxim şi nodurile care au gradul intern egal cu gradul extern.

2) Numarul de grafuri orientate cu n varfuri este; a) n2 ; b) )1(

2−nn ; c) 2/)1(

2−nn ; d) 2n.

3) Fiind dat un grup de n persoane, în care dintre situaţiile de mai jos se poate folosi pentru modelare un graf neorientat?

a) Unele persoane din grup cunosc alte persoane din grup; b) Unele persoane din grup simpatizează alte persoane din grup; c) În cazul în care toate persoanele lucrează întrpersoane din grup; d) Unele persoane din grup sunt prietene cu alte persoane din grup.

4) Se consideră un graf orientat cu 6 noduri care are următoarele proprietăti:

- suma gradelor externe ale tuturor vârfurilor grafului este egală cu 6

- sunt numai 3 vârfuri care au gradul intern egal cu 1

Care este valoarea maximă pe care o poate avea gradul extern al unui vârf din graful dat?

5) Într-un grup de n persoane, anumite persoaModelând problema cu ajutorul grafurilor orientate, se cere să stabiliţi corespondenţa dintre afirmaţiile din stânga şi cele din dreapta. Observaţie: dacă persoana i împrumută cu bani persoana

1. Persoana i nu a împrumutat cu bani alte persoane din grup. 2. Persoana i nu a împrumutat bani de la alte persoane din grup.

6) Pentru un graf orientat G se cunosc multimile “U plus” aferente nodurilor.

(1) {2,4}U + = , (2) {4}U + = , (3) {5}U +

intern egal cu gradul extern, precum sisensuri. 7) Se consideră un graf orientat cu 5 exterioare ale vârfurilor acestui graf? a. 2, 3, 1, 1, 1 b. 2, 2, 6, 5, 1 c. 1, 0, 1, 1, 1, 1 d. 1, 1, 0, 2, 1 8) Se consideră graful orientat din figura alăturată. Câte dintre vârfurile grafului au gradul intern egal cu gradul extern? 9) Fie graful orientat G cu 5 vârfuri, numerotate cu 1,2,3,4,5, şi arcele (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (4,2), (4,5), (5,2), (2,4). Care dintre următoarele vârfuri au gradul extern egal cu gradul intern? a. 2 şi 4 b. 4 şi 5 c. 1 şi 2 d. 3 şi 4 10) Care dintre următoarele arce aparţine grafului orientat cu 4 vârfuri, având gradele din tabelul alăturat (x,ya. (2,3) b. (1,2) c. (1,4) d. (4,1)

REPREZENTAREA ŞI IMPLEMENTAREA GRAFULUI Există mai multe moduri de reprezentare la nivel logic a unui graf, care calculator, folosind diverse tipuri de structuri de date. Aceste reprezentări pot fi folosite în algoritmii care prelucrează grafuri şi, implicit, în programele prin care vor fi implementaţi în calculator aceşti algoritmPrintre modurile de reprezentare a unui graf se numără:_ reprezentarea prin matricea de adiacenţă;_ reprezentarea prin lista muchiilor (arcelor);_ reprezentarea prin lista de adiacenţă (listele vecinilor).

12

Unele persoane din grup cunosc alte persoane din grup; Unele persoane din grup simpatizează alte persoane din grup;

nele lucrează într-o firmă, unele persoane din grup sunt şefi pentru alte

Unele persoane din grup sunt prietene cu alte persoane din grup.

Se consideră un graf orientat cu 6 noduri care are următoarele proprietăti:

gradelor externe ale tuturor vârfurilor grafului este egală cu 6

sunt numai 3 vârfuri care au gradul intern egal cu 1

Care este valoarea maximă pe care o poate avea gradul extern al unui vârf din graful dat?

persoane, anumite persoane, împrumută altor persoane diverse sume de bani! Modelând problema cu ajutorul grafurilor orientate, se cere să stabiliţi corespondenţa dintre afirmaţiile din

împrumută cu bani persoana j, atunci există un arc de la i

nu a împrumutat cu bani alte

nu a împrumutat bani de la alte

a) gradul interior al nodului i este b) gradul exterior al nodului i este

orientat G se cunosc multimile “U plus” aferente nodurilor.

(3) {5}= , (4) {1,2,3}U + = . Precizati numarul de varfuri care au gradul

intern egal cu gradul extern, precum si numarul perechilor de varfuri (i, j) legate intre ele prin arce in ambele

5 vârfuri şi 8 arce. Care dintre următoarele şiruri de numere pot fi gradele exterioare ale vârfurilor acestui graf?

graful orientat din figura alăturată. Câte dintre vârfurile grafului au a. 3 b. 2 c. 1 d. 4

graful orientat G cu 5 vârfuri, numerotate cu 1,2,3,4,5, şi arcele (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (4,2), (4,5), (5,2), (2,4). Care dintre următoarele vârfuri au gradul extern egal cu gradul intern?

următoarele arce aparţine grafului orientat cu 4 vârfuri, având gradele din tabelul alăturat (x,y∈N)?

REPREZENTAREA ŞI IMPLEMENTAREA GRAFULUI

Există mai multe moduri de reprezentare la nivel logic a unui graf, care pot fi implementate în memoria unui calculator, folosind diverse tipuri de structuri de date. Aceste reprezentări pot fi folosite în algoritmii care prelucrează grafuri şi, implicit, în programele prin care vor fi implementaţi în calculator aceşti algoritmPrintre modurile de reprezentare a unui graf se numără: _ reprezentarea prin matricea de adiacenţă; _ reprezentarea prin lista muchiilor (arcelor); _ reprezentarea prin lista de adiacenţă (listele vecinilor).

o firmă, unele persoane din grup sunt şefi pentru alte

Care este valoarea maximă pe care o poate avea gradul extern al unui vârf din graful dat?

ne, împrumută altor persoane diverse sume de bani! Modelând problema cu ajutorul grafurilor orientate, se cere să stabiliţi corespondenţa dintre afirmaţiile din

i la j.

este 0. este 0.

. Precizati numarul de varfuri care au gradul

numarul perechilor de varfuri (i, j) legate intre ele prin arce in ambele

arce. Care dintre următoarele şiruri de numere pot fi gradele

(1,4), (2,3), (4,2), (4,5), (5,2), (2,4). Care dintre următoarele vârfuri au gradul extern egal cu gradul intern?

pot fi implementate în memoria unui calculator, folosind diverse tipuri de structuri de date. Aceste reprezentări pot fi folosite în algoritmii care prelucrează grafuri şi, implicit, în programele prin care vor fi implementaţi în calculator aceşti algoritmi.

13

Fiecare reprezentare prezintă avantaje în ceea ce priveşte utilizarea eficientă a memoriei interne, în funcţie de tipul grafului (cu noduri puţine, dar cu muchii multe – sau cu noduri multe, dar cu muchii puţine) şi din punct de vedere al eficienţei algoritmilor de prelucrare (în funcţie de aplicaţie). În următoarele reprezentări se consideră că graful G=(X,U) are n noduri şi m muchii Reprezentarea prin matricea de adiacenţă Matricea de adiacenţă a unui graf este o matrice pătrată binară de ordinul n (An,n), ale cărei elemente ai,j sunt

definite astfel:

,

1, [ , ]

0, [ , ]i j

daca i j Ua

daca i j U

∈=

∉

Implementarea grafului prin matricea de adiacenţă se face printr-un tablou bidimensional (o matrice pătrată cu dimensiunea n), astfel: int a[<n>][<n>]; Exemplul 16:

Proprietăţile matricei de adiacenţă: 1. Elementele de pe diagonala principală au valoarea 0 – din definiţia grafului rezultă că orice muchie (arc) [i, j] trebuie să respecte condiţia i≠j. 2. În cazul unui graf neorientat, matricea de adiacenţă este o matrice simetrică faţă de diagonala principală, deoarece, dacă există muchia [i, j], atunci există şi muchia [j, i]. Această reprezentare este recomandată pentru problemele în care se testează prezenţa unei muchii sau a unui arc între două noduri, se calculează gradul unui nod etc. – deoarece permite un acces rapid la nodurile şi muchiile (arcele) unui graf. Din matricea de adiacenţă puteţi obţine următoarele informaţii:

Graf neorientat Graf orientat

Suma elementelor matricei de adiacenţă este egală cu 2×m (dublul numărului de muchii).

Suma elementelor matricei de adiacenţă este egală cu m (numărul de arce).

Gradul unui nod i este egal cu suma elementelor de pe linia i (sau cu suma elementelor din coloana i).

Gradul extern al nodului i este egal cu suma elementelor de pe linia i. Gradul intern al nodului i este egal cu suma elementelor din coloana i.

Nodurile adiacente nodului i sunt nodurile j Succesorii nodului i sunt nodurile j (j=1,n) pentru

14

(j=1,n) pentru care elementele din linia i sunt egale cu 1 (a[i][j]=1). Mai pot fi definite ca nodurile j (j=1,n) pentru care elementele din coloana i sunt egale cu 1 (a[j][i]=1).

care elementele din linia i sunt egale cu 1 (a[i][j]=1). Predecesorii nodului i sunt nodurile j (j=1,n) pentru care elementele din coloana i sunt egale cu 1 (a[j][i]=1). Nodurile adiacente nodului i sunt nodurile j (j=1,n) pentru care elementele din linia i sau din coloana i sunt egale cu 1 (a[i][j]=1 sau a[j][i]=1) – reuniunea dintre mulţimea succesorilor şi mulţimea predecesorilor nodului

Numărul de vecini ai nodului i este egal cu gradul nodului

Numărul de vecini ai nodului i este egal cu cardinalul mulţimii de noduri adiacente nodului i.

Muchia [i,j] a grafului reprezintă un element al matricei de adiacenţă care îndeplineşte condiţia: a[i][j] = 1 (sau a[j][i] = 1).

Arcul [i,j] al grafului reprezintă un element al matricei de adiacenţă care îndeplineşte condiţia: a[i][j] = 1

Exemplul 17: Se consideră graful din figura alăturată. Identificaţi matricea de adiacenţă a grafului.

Răspunsul corect este matricea a). Pentru a identifica matricea de adiacenţă a grafului din figură, se vor elimina pe rând variantele incorecte, prin verificarea următoarelor condiţii: _ Matricea trebuie să fie binară – toate matricele îndeplinesc această condiţie; _ Elementele de pe diagonala principală trebuie să aibă valoarea 0 – matricea b) nu îndeplineşte această condiţie. _ Deoarece graful este neorientat, matricea trebuie să fie simetrică – matricea c) nu îndeplineşte această condiţie. _ Din analiza grafului se observă că două noduri au gradul 2 şi două noduri au gradul 3; în matricea de adiacenţă trebuie să existe două linii care să conţină două elemente cu valoarea 1 şi două linii care să conţină trei elemente cu valoarea 1 – matricea d) nu îndeplineşte această condiţie. Reprezentarea prin lista muchiilor Lista muchiilor unui graf este formată din m elemente care conţin, fiecare, câte o pereche de două noduri, xi şi xj, care formează o muchie, adică pentru care [xi, xj]∈U. Implementarea acestui tip de reprezentare se poate face folosind una dintre următoarele structuri de date: _ Matricea muchiilor u cu dimensiune m×2, în care fiecare linie corespunde unei muchii (arc) şi în fiecare linie se înregistrează, în cele două coloane etichetele nodurilor care se găsesc la extremităţile muchiei (arcului). int u [<m>][2]; Referirea la nodurile adiacente muchiei (arcului) i se face prin u[i][0] (extremitatea iniţială a arcului), respectiv u[i][1] (extremitatea finală a arcului). _ Vectorul muchiilor u cu dimensiunea m – numărul de muchii (arce) –, ale cărui elemente sunt înregistrări, fiecare înregistrare fiind formată din două câmpuri, x şi y, ce conţin etichetele nodurilor care se găsesc la extremităţile muchiei (arcului). Pentru elementele vectorului se defineşte tipul de dată muchie, de tip înregistrare. struct muchie {int x,y;}; muchie u[<m>];

15

Referirea la o muchie (arc) i se face prin u[i], iar la unul dintre nodurile adiacente muchiei (arcului) se face prin u[i].x (extremitatea iniţială a arcului), respectiv u[i].y (extremitatea finală a arcului). Dacă implementarea se face folosind matricea, atunci pentru orice muchie (arc) i, u[i][0]≠ u[i][1]. Dacă implementarea se face folosind vectorul de înregistrări, atunci pentru orice muchie (arc) i, u[i].x ≠ u[i].y . Această reprezentare este recomandată pentru problemele în care se face prelucrarea succesivă a muchiilor (arcelor). Are avantajul că permite adăugarea la tipul de dată muchie şi a altor câmpuri (lungime, cost, timp etc.), corespunzător unor mărimi care pot fi asociate muchiilor (arcelor). Exemplul 18: Fie graful neorientat G1 din figura

Implementarea cu matrice

Exemplul 19: Fie graful orientat G10 din figura Implementarea cu matrice

Din lista muchiilor puteţi obţine următoarele informaţii:

Graf neorientat Graf orientat

Gradul unui nod i este egal, în funcţie de implementare, cu numărul de apariţii ale etichetei nodului în matrice, respectiv în

Gradul extern al nodului i este egal, în funcţie de implementare, cu numărul de apariţii ale etichetei nodului în coloana 0 a matricei,

16

câmpurile vectorului de înregistrări.

respectiv în primul câmp, în vectorul de înregistrări. Gradul intern al nodului i este egal, în funcţie de implementare, cu numărul de apariţii ale etichetei nodului în coloana 1 a matricei, respectiv în al doilea câmp, în vectorul de înregistrări.

Nodurile adiacente nodului i sunt, în funcţie de implementare, etichetele j din coloana 1, pentru care u[k][0]=i, sau din coloana 0, pentru care u[k][1]=i, respectiv etichetele j din câmpul u[k].y, pentru care u[k].x=i, sau din câmpul u[k].x, pentru care u[k].y=i (k=1,m).

Succesorii nodului i sunt, în funcţie de implementare, etichetele j din coloana 1 pentru care u[k][0]=i, respectiv etichetele j din câmpul u[k].y pentru care u[k].x=i (k=1,m). Predecesorii nodului i sunt, în funcţie de implementare, etichetele j din coloana 0 pentru care u[k][1]=i, respectiv etichetele j din câmpul u[k].x pentru care u[k].y=i (k=1,m). Nodurile adiacente nodului i sunt date de reuniunea dintre mulţimea succesorilor şi mulţimea predecesorilor nodului

Numărul de vecini ai nodului i este egal cu gradul nodului.

Numărul de vecini ai nodului i este egal cu cardinalul mulţimii de noduri adiacente nodului i.

Reprezentarea prin lista de adiacenţă Lista de adiacenţă este formată din listele Li (1≤i≤n) care conţin toţi vecinií unui nod xi la care se poate ajunge direct din nodul xi, adică toate nodurile xj pentru care [xi,xj]∈U. Observaţie. În cazul grafului neorientat, lista Li a vecinilor unui nod xi al grafului este formată din nodurile xj adiacente nodului xi. În cazul grafului orientat, lista Li a vecinilor unui nod xi al grafului este formată din nodurile xj care sunt succesorii nodului xi. Implementarea acestui tip de reprezentare se poate face folosind matricea listei de adiacenţă, L care are 2 linii şi n+2×m coloane pentru graful neorientat, respectiv n+m coloane pentru graful orientat. Ea este definită astfel: – Prima linie conţine etichetele nodurilor şi listele de adiacenţă ale fiecărui nod; este formată din două secţiuni: a. Primele n coloane conţin etichetele nodurilor: L[0][i]=i (1≤i≤n). b. Următoarele m×2 coloane, respectiv m coloane, conţin, în ordine, cele n liste de adiacenţă ale celor n noduri. Graful neorientat G1

Nod Lista de adiacenţă

1 2, 3, 4

2 1, 3, 5

3 1, 2, 4, 5

4 1, 3

5 2, 3

6 7, 8

7 6

8 6

– A doua linie conţine informaţiile necesare pentru a identifica, în prima linie, lista de adiacenţă a fiecărui nod; este formată din două secţiuni: a. Primele n coloane conţin, în ordine, pentru fiecare nod i (1≤i≤n), indicele coloanei din prima linie din care începe lista de adiacenţă a nodului: L[1][i]=j, unde j este indicele coloanei de unde începe lista de adiacenţă a

17

nodului i. Dacă nodul este izolat, se va memora valoarea 0 – L[1][i]=0 (nu există listă de adiacenţă pentru acel nod). b. Următoarele m×2 coloane, respectiv m coloane, conţin, în ordine, informaţii despre modul în care se înlănţuiesc elementele din listă. Dacă nodul L[0][i] se găseşte în interiorul listei, atunci L[1][i]=i+1 (indicele următorului element din listă). Dacă nodul L[0][i] se găseşte la sfârşitul listei, atunci L[1][i]=0 (s-a terminat lista de adiacenţă a nodului i) Graful orientat G6

Nod Listă de adiacenţă

1 2

2 1, 3, 4

3 5

4 2, 5

5 3, 6

6 5

Matricea este definită astfel: a) pentru graful neorientat: int L[2][<n>+2*<m>]; b) pentru graful orientat: int L[2][<n>+<m>]; Exemplul 20:

18

Observaţie. Fiecare listă de vecini Li, conţine indicii coloanelor j în care se găsesc valori de 1 în matricea de adiacenţă (a[i][j]=1). Această reprezentare este recomandată pentru grafurile care au un număr mare de noduri şi un număr mic de muchii. Din matricea listei de adiacenţă puteţi obţine următoarele informaţii:

Graf neorientat Graf orientat

Lungimea listei de adiacenţă a nodului i neizolat, cu eticheta mai mică decât n, este egală cu diferenţa dintre primul indice j (j=i+1, n-1) diferit de 0, din prima secţiune a liniei a doua (L[1][j]≠0), şi indicele coloanei din care începe lista de adiacenţă a nodului i (L[1][j] -L[1][i]). Pentru nodul n, lungimea listei de adiacenţă este egală cu diferenţa dintre numărul total de coloane, plus 1, şi indicele coloanei din care începe lista de adiacenţă a nodului n (n+2×m+1 - L[1][n]). Lungimea listei de adiacenţă se mai poate determina prin numărarea în linia a doua a elementelor diferite de 0, începând cu elementul din coloana L[1][i]), la care se adaugă 1. Gradul unui nod i este egal cu lungimea listei de adiacenţă a nodului sau cu numărul de apariţii ale etichetei nodului în a doua secţiune a primei linii a matricei (L[0][j]=i, cu j=n+1,n+2*m).

Lungimea listei de adiacenţă a nodului i neizolat, cu eticheta mai mică decât n, se calculează la fel ca şi în cazul grafului neorientat. Pentru nodul n lungimea listei de adiacenţă este egală cu (n+m+1 - L[1][n]). Gradul extern al nodului i este egal cu lungimea listei de adiacenţă a nodului. Gradul intern al nodului i este egal, cu numărul de apariţii ale etichetei nodului în a doua secţiune a primei linii a matricei (L[0][j]=i, cu j=n+1,n+m).

Nodurile adiacente nodului i sunt nodurile a căror etichetă apare în lista de adiacenţă a nodului i.

Succesorii nodului i sunt nodurile a căror etichetă apare în lista de adiacenţă a nodului i. Predecesorii nodului i sunt nodurile j în a căror listă de adiacenţă apare nodul i. Nodurile adiacente nodului i sunt date de reuniunea dintre mulţimea succesorilor şi mulţimea predecesorilor nodului.

Numărul de vecini ai nodului i este egal cu gradul nodului.

Numărul de vecini ai nodului i este egal cu cardinalul mulţimii de noduri adiacente nodului i.

Muchia [i,j] a grafului reprezintă nodul i şi un nod j din lista de adiacenţă a nodului i din prima linie a matricei (L[0][j]∈Li).

Arcul [i,j] al grafului reprezintă nodul i şi un nod j din lista de adiacenţă a nodului i din vectorul L (L[0][j]∈Li)

Matricea vârfuri – arce Este o matrice b cu n linii şi m coloane, în care fiecare element b[i,j] este: – 1, dacă nodul i este o extremitate iniţială a arcului uj; – -1, dacă nodul i este o extremitate finală a arcului uj; – 0, dacă nodul i nu este o extremitate a arcului uj. Exemplu: Pentru graful de mai jos cu n=4 noduri şi m=5 arce, matricea vârfuri – arce este:

19

Pentru a exemplifica construcţia matricei, vom deduce elementele liniei 3: – a[3,1]= 0 pentru că nodul 3 nu este o extremitate a arcului u1. Analog, a[3,3]= 0 deoarece nodul 3 nu este extremitate a arcului u3. – a[3,5]= -1 pentru că nodul 3 este o extremitate finală a arcului u5. – a[3,2]= 1 şi a[3,4]= 1 întrucât nodul 3 este o extremitate iniţială a arcului u2 respectiv u4. Observaţii: Pe fiecare coloană j (aferentă arcului uj), avem exact două elemente nenule: un 1 (linia i pe care se află reprezintă extremitatea iniţială a arcului uj) şi un -1 (linia i pe care se află reprezintă extremitatea finală a arcului uj) Numărul valorilor de 1 de pe linia i, reprezintă gradul exterior al nodului i (numărul arcelor ce au ca extremitate iniţială pe i), iar numărul valorilor de -1 de pe linia i reprezintă gradul interior al nodului i (numărul arcelor care au ca extremitate finală pe i).

20

PROBLEME 1) Graful neoriemtat G4=(X4,U4) este definit astfel: X4={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} U4={[1,2], [1,4], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [5,6], [5,7], [5,8], [7,9]}.Scrieţi matricea de adiacenţă a grafului G4. Folosind informaţiile dinmatricea de adiacenţă, determinaţi: gradul nodului 5, nodurile izolate şi nodurile terminale. 2) Care dintre matricele de mai jos ar putea fi matricea de adiacenţă a grafului alăturat?

3) Pentru graful din desenul alaturat sa se scrie a) matricea de adiacenta , b) lista vecinilor , c) vectorul de muchii. 4) Care dintre matricele de mai jos poate fi matricea de adiacenţă a unui graf neorientat?

5) Fie graful oriemtat G10=(X10,U10), unde X10={1,2,3,4,5,6,7,8} şi U10={[1,2], [1,5], [2,1], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,3], [4,5], [4,6], [4,7], [5,4]}. Scrieţi lista muchiilor a grafului G10. Folosind informaţiile din lista muchiilor, determinaţi: gradul intern al nodului 5, gradul extern al nodului 2, nodurile adiacente nodului 5, succesorii şi predecesorii nodului 4, nodurile terminale şi nodurile izolate. 6) Câte muchii are graful neorientat reprezentat de matricea de adiacenţă alăturată? 7) Care este numărul de cifre 0 pe care îl reţine matricea de adiacenţă a unui graf neorientat cu n noduri şi m muchii? 8) Fie graful orientat cu 5 varfuri si arcele: (1,2), (1,3), (1,5), (2,4), (3,5),(4,5). Sa se construiasca matricea de adiacenta si matricea varfuri-arce pentru acest graf. 9) Se consideră graful orientat reprezentat prin listele de adiacenţă alăturate. Câte noduri au gradul extern mai mare decât gradul intern? 10) Se considera graful orientat dat prin listele de vecini 1:2,4; 2:4; 3:1,5; 4:1,2,3; 5:2,3,4; Stabiliti numarul nodurilor care au gradul intern egal cu cel extern a. 3 b. 4 c. 2 d. 1

21

11) Precizati care dintre afirmatiile de mai jos caracterizeaza matricea varfuri-arce a unui graf orientat: a) Nu este simetrica fata de diagonala principala b) gradul interior al unui nod oarecare k este dat de numarul de valori egale cu 1 de pe linia k c) fiecare linie a matricei contine exact 2 valori nenule d) matricea contine numai un numar egal de valori de 1 si -1 12) Un graf orientat este reprezentat prin matricea de adiacenţă alăturată. Care sunt nodurile pentru care gradul interior este mai mare decât gradul exterior? 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 a. 2, 4, 5, 6 b. 2, 4, 5 c. 1, 4, 5 d. 1, 3, 6 13) Fie graful oriemtat G10=(X10,U10), unde X10={1,2,3,4,5,6,7,8} şi U10={[1,2], [1,5], [2,1], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,3], [4,5], [4,6], [4,7], [5,4]}.. Scrieţi matricea de adiacenţă a grafului G10. Folosind informaţiile din matricea de adiacenţă, determinaţi: gradul intern al nodului 5, gradul extern al nodului 2, nodurile adiacente nodului 5, succesorii şi predecesorii nodului 4, nodurile terminale şi nodurile izolate. 14) Scrieţi matricea de adiacenţă a grafului orientat din figura alaturata . 15) Scrieţi lista de adiacenţă a grafului G11=(X11,U11), unde X11={1,2,3,4} şi U11={[1,2], [1,3], [1,4] [2,3], [3,4], [4,3]}, Cum identificaţi, în lista de adiacenţă, nodul sursă al grafului? 16) Graful neorientat G este dat prin matricea de adiacenţă alăturată. Câte vârfuri ale grafului G au gradul 1? 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 a. 1 b. 2 c. 3 d. 0 17) Un graf orientat este reprezentat cu ajutorul listelor de adiacenţă 1:(5,6); 2:(1,5,4); 3:(1,5); 4:(1,2); 5:(2); 6:(2,4,5). Nodurile grafului care au gradul exterior egal cu 2 sunt: a. 2 şi 5 b. 1,3 şi 4 c. 6 d. 2 şi 3 18) Matricea de adiacenţă a unui graf neorientat G are numărul valorilor de 1 egal cu jumătate din numărul valorilor de 0. Care dintre numerele de mai jos poate fi numărul de noduri ale grafului G? a. 12 b. 14 c. 11 d. 13 19) Scrieţi matricea de adiacenţă a grafului G12=(X12,U12), unde X12={1,2,3,4} şi U12={[2,1], [2,3], [3,1], [3,4], [4,1], [4,3]}.. Cum identificaţi în matricea de adiacenţă nodul destinaţie al grafului? 20) Se considerã graful X = {1,2,3,4} şi U = {[1,2], [1,3], [1,4], [2,3], [3,4]}. Care este matricea sa de adiacenţã? 21) Scrieţi matricea de adiacenţă a grafului G11=(X11,U11), unde X11={1,2,3,4} şi U11={[1,2], [1,3], [1,4] [2,3], [3,4], [4,3]},Cum identificaţi în matricea de adiacenţă nodul sursă al grafului?

22

22) Se consideră un graf orientat cu 5 vârfuri reprezentat în figura alăturată. Care este matricea de adiacenţă corespunzătoare grafului? 23) Intr-un graf neorientat cu 20 de noduri exista muchii numai intre perechi de noduri i si j cu proprietatea ca abs(i – j) > 1. Care este numarul de valori egale cu 1 din matricea de adiacenta corespunzatoare grafului ? 24) Câte dintre vârfurile grafului neorientat G, reprezentat prin matricea de adiacenţă alăturată, au gradul un număr par? 0 1 0 0 1 a. 1 b. 3 c. 2 d. 5 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 25) Scrieţi lista muchiilor a grafului G7. Folosind informaţiile din lista muchiilor, determinaţi: gradul intern al nodului 5, gradul extern al nodului 4, succesorii şi predecesorii nodului 2 şi predecesorii nodului 3.??????? 26) Fie graful orientat cu 6 varfuri si arcele: (1,2), (1,6), (2,4), (3,5),(6,4). Sa se construiasca matricea de adiacenta si matricea varfuri-arce pentru acest graf. 27) Se considerã matricea de adiacenţã a unui graf neorientat alãturatã: Determinaţi gradele vârfurilor grafului şi stabiliţi care dintre urmãtoarele afirmaţii este adevãratã: a) toate vârfurile au grad par; b) gradele vârfurilor sunt diferite douã câte douã; c) gradele vârfurilor sunt egale douã câte douã; d) existã un unic vârf cu grad maxim. 28) Graful orientat G este reprezentat prin matricea de adiacenţă alăturată. Câte vârfuri din graful dat au gradul interior egal cu gradul exterior? 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 a.2 b.1 c.3 d.0 29) Scrieţi lista de adiacenţă a grafului G13=(X13,U13), unde X13={1,2,3,4} şi U13={[2,1], [2,3], [3,1], [3,4], [4,1],

[4,3]}. Din lista muchiilor unui graf, puteţi preciza următoarele informaţii:. Cum identificaţi – în lista de adiacenţă – nodul destinaţie al grafului? 30) Un graf orientat cu 6 vârfuri, numerotate de la 1 la 6, este reprezentat prin matricea de adiacenţă dată alăturat. Care dintre vârfurile grafului au gradul exterior un număr impar? a. 1, 3, 4, 5 b. 2, 3, 4, 5 c. 1, 4, 5, 6 d. 2, 3, 5

31) Scrieţi lista muchiilor a grafului G4=(X4,U4) definit astfel: X4={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} U4={[1,2], [1,4], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [5,6], [5,7], [5,8], [7,9]}. Folosind informaţiile din lista muchiilor,

determinaţi: gradul nodului 5, nodurile izolate şi nodurile terminale.

0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 1

1 1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0

23

0 1 1 0 1

0 0 1 1 0

1 1 0 0 0

0 1 1 0 1

0 1 0 1 0

32) Stabiliţi care dintre urmãtoarele variante este matricea de adiacenţã a unui subgraf al grafului. Se considerã graful X = {1,2,3,4} şi U = {[1,2], [1,3], [2,3]}.

33) Se consideră un graf orientat dat prin matricea de adiacenţă alăturată. Câte vârfuri ale grafului au proprietatea că diferenţa absolută a gradelor (intern şi extern) este egală cu 2?

a. 5 b. 3 c. 4 d. 2

34) Scrieţi lista de adiacenţă a grafului orientat G10=(X10,U10), unde X10={1,2,3,4,5,6,7,8} şi U10={[1,2], [1,5], [2,1], [2,3], [2,5],[3,4], [3,5], [4,3], [4,5], [4,6], [4,7], [5,4]}.. Din lista de adiacenţă, determinaţi: gradul intern al nodului 5, gradul extern al nodului 2, nodurile adiacente nodului 5, succesorii şi predecesorii nodului 4, nodurile terminale şi nodurile izolate. 35) Scrieţi lista muchiilor a grafului orientat din figura . Folosind informaţiile din lista muchiilor, identificaţi nodurile izolate. 36) Scrieţi lista de adiacenţă a grafului orientat G7=(X7,U7), X7={1,2,3,4,5}, U7={[1,2], [1,4], [2,3], [4,1], [4,3], [5,2], [5,3] }. Folosind informaţiile din lista de adiacenţă, determinaţi: gradul intern al nodului 5, gradul extern al nodului 4, succesorii şi predecesorii nodului 2 şi predecesorii nodului 3. 37) Desenati grafurile orientate neorientate care au urmatoarele matrice de adiacenta, in cazul in care matricea este corecta

38) Scrieţi matricea de adiacenţă a grafului neorientat G14=(X14,U14), unde X14={1,2,3,4} şi U14={[1,2], [2,3], [3,4], [4,1]}. 39) Scrieţi lista de adiacenţă a grafului orientat G11=(X11,U11), unde X11={1,2,3,4,5,6,7,8} şi U11={[1,2], [1,5],

[2,1], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,3], [4,5], [4,6], [4,7], [5,4]}. Folosind informaţiile din lista muchiilor, identificaţi nodurile izolate.

24

GRAFURI SPECIALE Se definesc următoarele grafuri speciale: _ graful nul; _ graful complet. _graful bipartit _graful regulat Graful nul Graful G=(X,U) se numeşte graf nul dacă mulţimea U este vidă (U=∅), adică graful nu are muchii. Reprezentarea sa în plan se face prin noduri izolate. Exemplul 21: Graful N=(X,V) – unde mulţimea X={1,2,3,4} este mulţimea nodurilor, iar mulţimea V=∅ este mulţimea muchiilor – este un graf nul (graful are noduri dar nu are muchii) – figura 11. Observaţie. Matricea de adiacenţă a unui graf nul este matricea zero (nu conţine nici un element cu valoarea 1). Graful complet Un graf cu n noduri este un graf complet dacă are proprietatea că, oricare ar fi două noduri ale grafului, ele sunt adiacente. El se notează cu Kn. Observaţii. 1. Se poate construi un singur graf neorientat complet, cu n noduri, deoarece între două noduri, x şi y, există o singură muchie [x,y]. În figura alăturată este prezentat graful neorientat complet K4. El are 6 muchii. Teorema 6 Numărul m de muchii ale unui graf neorientat complet, cu n noduri (Kn), este:

( 1)

2

n nm

−=

Demonstraţie. Numărul de muchii este dat de numărul de submulţimi de 2 elemente care se pot forma dintr-

o mulţime cu n elemente, adică 2

nm C=

2. Se pot construi mai multe grafuri orientate complete, cu n noduri, deoarece două noduri x şi y pot fi adiacente în trei situaţii: există arcul [x,y], există arcul [y,x] sau există arcele [x,y] şi [y,x]. Teorema 7

Numărul de grafuri orientate complete care se pot construi cu n noduri este egal cu 2

3 nCm =

Demonstraţie. Deoarece numărul de submulţimi de 2 noduri care se pot forma dintr-o mulţime de n noduri

este 2

na C= , şi pentru fiecare pereche astfel definită se pot defini trei situaţii de adiacenţă, rezultă că

numărul de grafuri complete care se pot construi este de 3a. Exemplul 22: Pentru n=4 se pot defini 36= 729 grafuri orientate complete. În figura de mai jos sunt prezentate patru dintre acestea. Definiţi alte patru grafuri complete cu 4 noduri.

25

Observaţii 1. În cazul matricei de adiacenţă a unui graf neorientat complet, valoarea fiecărui element care nu se găseşte pe diagonala principală este 1. 2. În cazul matricei de adiacenţă a unui graf orientat complet – pentru orice pereche de noduri, i şi j, diferite între ele (i≠j) – a[i][j]=1 sau a[j][i]=1. 3. Numărul minim de arce într-un graf orientat, cu n noduri, este egal cu numărul de muchii ale grafului neorientat complet Kn. 4. Numărul maxim de arce într-un graf orientat, cu n noduri, este egal cu dublul numărului de muchii ale grafului neorientat complet Kn. Graf bipartit Un graf neorientat G=(V,E) se numeşte bipartit dacă mulţimea vârfurilor sale poate fi partiţionată în două submulţimi A şi B nevide astfel încât orice muchie are o extremitate în A şi una în B.

Exemplul 23: Considerăm graful neorientat G = ( X,U ) , in care mulţimea de varfuri este X = {1,2,3, 4,5,6,7} si mulţimea de muchii este U = {{1,2},{1,6},{2,3},{2,7},{4,5},{4,6},{5,7}} .

Se observă că putem realiza partiţia X = X1 ∪X2 , X1∩ X2 =∅ , cu X1 ={ 1,3, 4,7} si X2 ={

2,5,6} , deoarece pentru orice muchie {x, y}∈U avem x∈ X1 si y∈X2 . Graful considerat are următoarea reprezentare: Graf bipartit complet Un graf bipartit se numeşte complet dacă fiecare vârf din mulţimea A este adiacent cu fiecare vârf din mulţimea B. Observaţie: Dacă numărul de vârfuri din mulţimea A este p, iar numărul de vârfuri din mulţimea B este q, graful bipartit complet se notează Kp,q şi conţine pq muchii. Exemplul 24: În figura alăturată, este desenat un graf K3, 2 cu A = {1, 2, 3} şi B = {4, 5}. Exemplul 25:

26

Considerăm că mulţimea de varfuri X{1,2,3, 4,5,6,7} este partiţionată prin mulţimile

X1={1,3, 4,7} si X2={2,5,6 } are loc X =X1 ∪X2 si X1∩ X2 =∅. Avand p=|X1|=4 si q=|X2|=3, putem construi un graf bipartit K4,3=(X,U) , unde mul’imea de muchii este: U={(1,2) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2, 4) , (2,7) ,(3,5) , (3,6) , (4,5) , (4,6) , (5,7) , (6,7)} si avem |U|=12 ceea ce corespunde observaţiei. Acest graf are următoarea reprezentare Graf regulat Un graf neorientat se numeşte regulat dacă toate vârfurile sale au același grad.

PROBLEME 1) Fie graful G = (X,U) cu n = 9 vârfuri şi zece muchii, definit astfel: X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} şi U = {[1,2], [1,3], [2,3], [3,4], [3,9], [4,9], [5,6], [5,7], [5,8], [6,8]}. a) Stabiliţi dacã graful este bipartit. b) Stabiliţi suma gradelor vârfurilor. c) Stabiliţi dacã graful este complet. 2) Care este numãrul muchiilor grafului bipartit complet Kp,q , pentru p = 16 şi q = 14: a) 244; b) 124; c) 412; d) 224. 3) Un graf complet cu n noduri are proprietatea cã: a) nu existã noduri izolate; b) are n(n-1)/2 muchii; c) are n*n muchii; d) oricare douã noduri sunt adiacente; e) nu existã noduri terminale. 4) Care este cel mai mic număr de muchii care pot fi eliminate din K5 pentru a crea un graf bipartit? 5) Stabiliţi, cu justificarea răspunsurilor, care dintre grafurile din figurile 1,2,3 este : a) complet; b) bipartit; c) bipartit complet.

fig.1 fig.2 fig.3 6) Arătaţi că dacă ordinul unui graf este un multiplu de 4 si numărul de muchii este impar, atunci graficul nu este regulat. 7) Desenați grafurile complete cu 2,3,4,5 și 6 noduri

27

8) Determinați dacă graful imaginea este complet. Explicați raționamentul dvs.

9) Desenați grafurile regulate 4 noduri 10) Care dintre următoarele grafuri este regulat?

11) Cate noduri are un graf neorientat complet cu 15 muchii? a) 10 b) 6 c) 5 d) 12 12) Care este numărul total al muchiilor unui graf neorientat complet cu n vârfuri?:

a) n b) n*(n-1)/2 c) n*(n-1) d) 2*n

13) Se consideră un graf neorientat cu nodurile 1,2,3,4,5,6,7,8,9 şi muchiile [1,2], [8,4], [5,9], [3,2], [8,7], [7,3], [6,9], [6,7],[ 4,6],[ 4,5], [1,7]. Câte muchii trebuiesc pentru a se obţine un graf complet? 14) Câte muchii are un graf complet cu a) 10 vârfuri b) 12 vârfuri 15) Se considera un graf neorientat cu 10 varfuri si 37 de muchii. Care dintre urmatoarele afirmatii este adevarata? a. Graful este complet. b. Suma elementelor matricei de adiacenta asociata grafului este egala cu 37. c. Toate varfurile grafului au gradul 1. d. Graful nu are varfuri izolate. 16) Se considera graful neorientat din figura alaturata. Numarul de muchii care pot fi adaugate astfel incat graful sa devina complet este: a). 10 b). 16 c). 8 d). 2

28

GRAFURI DERIVATE DINTR-UN GRAF Se definesc următoarele grafuri: _ graful parţial; _ subgraful. Graful parţial Fie graful G = (X,U) şi mulţimea V⊆U. Graful Gp = (X,V) se numeşte graf parţial al grafului G. Altfel spus, un graf parţial al grafului G este el însuşi sau un graf care s-a obţinut prin eliminarea unor muchii (arce) din graful G. Exemplul 26: Pentru graful neorientat G1 = (X1,U1), definit anterior, graful G1p = (X1,U1p), definit astfel: _ mulţimea nodurilor este X1={1,2,3,4,5,6,7,8}. _ mulţimea muchiilor este U1p ={[1,2], [1,3], [1,4], [2,3], [2,5], [3,4], [6,7]}. este subgraf al grafului G1 – figura 14.

Exemplul 27: Pentru graful orientat G6=(X6,U6) definit anterior, graful G6p = (X6, U6p) definit astfel: _ mulţimea nodurilor este X6p ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. _ mulţimea muchiilor este U6p ={[2,3], [2,5], [2,6], [2,7], [4,1], [7,2], [8,9], [9,8]}. este subgraf al grafului G6

Teorema 8 Numărul de grafuri parţiale ale unui graf cu m muchii (arce) este egal cu 2m. Demonstraţie. Grafurile parţiale se pot obţine: fără eliminarea unei muchii (arc) – obţinându-se graful iniţial; prin eliminarea unei muchii (unui arc) – obţinându-se grafurile parţiale cu m-1 muchii); ...; prin eliminarea a m-1 muchii (arce) – obţinându-se grafurile parţiale cu o muchie (un arc); şi a tuturor muchiilor (arcelor) – obţinându-se un graf parţial numai cu noduri şi fără muchii (arce), adică graful vid:

Numărul de grafuri parţiale care se pot obţine cu m muchii (arce): m

mC

Numărul de grafuri parţiale care se pot obţine cu m-1 muchii (arce): 1m

mC−

Numărul de grafuri parţiale care se pot obţine cu m-2 muchii (arce):

2m

mC−

.........................................................................................................

Numărul de grafuri parţiale care se pot obţine cu o muchie (un arc): 1

mC

Numărul de grafuri parţiale care se pot obţine fără nici o muchie (nici un arc): 0

mC

Numărul total de grafuri parţiale este: m 1 2 1 0

... 2m m m m

m m m m mC C C C C− −

+ + + + + =

29

Subgraful Fie graful G = (X,U). Graful Gs = (Y,V) se numeşte subgraf al grafului G dacă Y⊆X(subgraful conţine numai noduri ale grafului) şi muchiile (arcele) din mulţimea V sunt toate muchiile (arcele) din mulţimea U care au ambele extremităţi în mulţimea de noduri Y. Se spune că subgraful Gs este indus sau generat de mulţimea de noduri Y. Altfel spus, un subgraf al grafului G este el însuşi sau un graf care s-a obţinut prin suprimarea din graful G a unor noduri şi a tuturor muchiilor (arcelor) incidente cu aceste noduri. Exemplul 28: Pentru graful neorientat G1 = (X1,U1), definit anterior, graful G1s = (Y1,V1), definit astfel: _ mulţimea nodurilor este Y1={1,2,4,5,6,7}. _ mulţimea muchiilor este V1={[1,2], [1,4], [2,5], [6,7]}. este subgraf al grafului G1 – figura 16.

Exemplul 28: Pentru graful orientat G6=(X6,U6), definit anterior, graful G6s = (Y6, V6) definit astfel: _ mulţimea nodurilor este Y6s={1,2,3,6,7,9,10}. _ mulţimea muchiilor este U6s={[1,2], [2,1], [2,3], [2,6], [2,7], [7,2]}. este subgraf al grafului G6

Teorema 9 Numărul de subgrafuri ale unui graf cu n noduri este egal cu 2n-1. Demonstraţie. Subgrafurile se pot obţine: prin eliminarea niciunui nod (obţinându-se graful iniţial); a unui nod (obţinându-se subgrafurile cu n-1 noduri); ...; a n-1 noduri (obţinându-se subgrafurile cu un nod):

Numărul de subgrafuri care se pot obţine cu n noduri: n

nC

Numărul de subgrafuri care se pot obţine cu n-1 noduri: 1n

nC−

Numărul de subgrafuri care se pot obţine cu n-2 noduri: 2n

nC−

.........................................................................................................

Numărul de subgrafuri care se pot obţine cu 1 nod: 1

nC

Numărul total de subgrafuri este: 1 2 1

... 2 1n n n n

n n n nC C C C

− −+ + + + = −

Grafuri complementare Fie � un graf simplu şi G’ un graf care are aceleaşi vârfuri ca G, iar muchia [a,b] este prezentă în �’, dacă şi numai dacă nu este prezentă în G. Aceasta înseamnă că două vârfuri sunt adiacente în �’ dacă două şi numai dacă nu sunt adiacente în G. Graful G’ se numeşte complementarul lui G Observaţie Dacă muchiile care există în graficul I sunt absente într-un alt grafic II și dacă graful I și graful II sunt combinate împreună pentru a forma un graf complet, atunci graful I și graful II sunt complementare unele cu altele.

30

Exemplul 29: În exemplul următor, graficul-I are două margini "cd" și "bd". Graficul complementului-II are patru margini.

Observați că muchiile din graficul I nu sunt prezente în graficul II și invers. Prin urmare, combinația ambelor grafice oferă un graf complet. Observaţie Dacă G este un graf simplu şi G’ este complementarul său , atunci | E (G) | + | E (G’) | = | E(Kn) |, unde n = numărul de noduri ale grafului G si E(G) mulţimea muchiilor lui G. Exemplul 30: Fie G un graf simplu cu nouă vârfuri și doisprezece muchii, găsiți numărul de muchii ale complementarului său �'. Avem, |E(G)| + |E(G’)| = |E(Kn)| ⇒ 12 + |E(G’)|=9(9-1)/2=36⇒E(G’)=24

Exemplul 31: G este un graf simplu cu 40 de muchii, iar complementarul său � are 38 de muchii. Găsiți numărul de noduri din graficul G sau G’. Fie n numărul nodurilor din graf. |E(G)| + |E(G’)| = |E(Kn)|

40 + 38 = �(�−1)/2 ⇒156 = n (n–1) ⇒ 13(12) = n (n–1) ⇒n = 13

PROBLEME 1) Dacă eliminăm câteva noduri dintr-un graf împreună cu muchiile aferente vom obţine …………………. 2) Se consideră graful orientat cu 6 noduri reprezentat prin matricea de adiacenţă alăturată. Care este numărul tuturor grafurilor parţiale distincteale grafului dat? Doua grafuri parţiale sunt distincte dacă matricele lor de adiacenţă sunt diferite. 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3) Se considerã un graf cu n = 5 noduri şi U = {[1,2], [1,3], [2,3], [2,4], [3,4], [4,5]}. Eliminând muchiile [1,2] şi [3,4], se obţine: a) un subgraf; b) un graf parţial; c) un graf parţial ca subgraf al lui G. 4) Într-un graf neorientat cu 10 noduri, numerotate de la 1 la 10, există câte o muchie între oricare două noduri numerotate cu numere consecutive şi câte o muchie între nodul numerotat cu 10 şi fiecare dintre celelalte noduri. Câte subgrafuri cu exact 3 noduri, toate adiacente două câte două, are graful dat? 5) Care este numărul minim de muchii ce pot fi eliminate din graful alăturat astfel încât în graful parţial rezultat să existe exact un vârf de grad 0? a. 1 b. 3 c. 2 d. 5

31

6) Un graf subgraf se obţine……… 7) Pentru graful din figura ccoonnssttrruuiiţţii ssuubbggrraaffuull oobbţţiinnuutt pprriinn eelliimmiinnaarreeaa vvâârrffuurriilloorr 1111 şşii 1122;;

8) Se dă următorul graf neorientat: Construiţi graful parţial obţinut prin eliminarea muchiilor care trec prin vârfurile 2 şi 6. Construiţi subgraful obţinut prin eliminarea varfurilor 6, 4, 5 9) Fie graful neorientat G=(X,U) cu X={1,2,3,4,5} şi ={[1,2];[2,3];[1,5];[1,4];[2,5];[3,4];[4,5]}. Dacă se elimină muchiile [1,2], [3,4] şi [4,5] se obţine: a) Un graf parţial al grafului iniţial b) Un subgraf al grafului iniţial c) Un graf complet d) Un graf bipartit 10) Se da graful orientat din fig.3 a) Construiţi graful parţial obţinut prin eliminarea arcelor u2,u3,u6 b) Construiţi subgraful obţinut prin eliminarea nodurilor 4, 5 11) Se consideră graful neorientat G(V,U), unde |V|=6 şi U={(3,4), (4,6), (3,5), (1,2), (1,3), (6,5), (2,3), (2,5), (1,4), (2,4)}. Identificaţi care este numărul minim de noduri care trebuie eliminate pentru a se obţine un subgraf complet al lui G 12) Care dintre următoarele matrici de adiacenţe reprezintă un subgraf al grafului alăturat a) 0 0 0 b) 0 1 0 c ) 0 1 1 d) 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

13) Într−un graf neorientat cu 6 noduri, numerotate de la 1 la 6, există câte o muchie între oricare două

noduri numerotate cu numere consecutive şi câte o muchie între nodul numerotat cu 6 şi fiecare dintre

celelalte noduri. Câte subgrafuri cu exact 3 noduri, toate adiacente două câte două, are graful dat?

14) Un graf neorientat este reprezentat prin matricea de adiacenţă alăturată. Câte grafuri parţiale distincte,

formate doar din noduri cu gradul egal cu 2, se pot obţine din graful dat? Două grafuri sunt distincte dacă

matricele lor de adiacenţă diferă.

0 1 0 0 1

1 0 1 1 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

1 0 1 1 0

a. 3 b. 1 c. 2 d. 0

32

LANŢUL

Definiţie Într-un graf G= (X,U) se defineşte lanţul ca fiind o succesiune de noduri care au proprietatea că, oricare ar fi două noduri succesive, ele sunt adiacente. Graful neorientat Dacă mulţimea nodurilor unui graf neorientat este X={x1, x2, ..., xn}, un lanţ de la nodul l1 la nodul lk – L(l1,lk) – va fi definit prin mulţimea L(l1,lk)={l1, l2, ..., li , …, lk}, unde li∈X pentru orice i (1≤i≤k), iar muchiile [l1,l2], [l2,l3], [l3,l4], ..., [lk-1,lk] ∈ U. Lanţul poate fi interpretat ca un traseu prin care se parcurg anumite muchii ale grafului, traseul fiind ordinea în care se parcurg aceste muchii: [l1,l2], [l2,l3], [l3,l4], ..., [lk-1,lk]. Fiecare pereche de noduri succesive din lanţ reprezintă parcurgerea unei muchii. Dacă există L(xi,xj), se spune că nodul xj este accesibil din nodul xi. Graful orientat Dacă mulţimea nodurilor unui graf orientat este X={x1, x2, ..., xn}, un lanţ de la nodul l1 la nodul lk – L(l1,lk) – va fi definit prin mulţimea L(l1,lk)=[l1, l2, ..., li , …, lk], unde li∈X, pentru orice i (1≤i≤k). Arcele [l1,l2], [l2,l3], [l3,l4], ..., [lk-

1,lk] au proprietatea că, oricare ar fi două arce succesive, ele au o extremitate comună. La definirea unui lanţ, nu se ţine cont de orientarea arcelor, ci numai de faptul că două noduri sunt legate de un arc. Terminologie: _ Lungimea unui lanţ reprezintă numărul de parcurgeri ale muchiilor, respectiv arcelor. De exemplu, lungimea lanţului L(l1,lk) este k-1. Dacă o muchie (un arc) este parcursă de mai multe ori, se va număra fiecare dintre parcurgerile sale. _ Lanţul de lungime minimă dintre nodul xi şi nodul xj – Lmin(xi,xj) – este lanţul cu numărul minim de muchii (arce), din mulţimea nevidă de lanţuri L(xi,xj). _ Extremităţile unui lanţ sunt formate din nodul cu care începe şi nodul cu care se termină lanţul (l1 şi lk). _ Sublanţul este format dintr-un şir continuu de noduri din lanţ. De exemplu, pentru lanţul L(l1, lk)={l1, l2, ..., li, ..., lj, ..., lk}, Ls (li, lj), definit astfel: Ls(li, lj)={li, li+1, ..., lj-1, lj} este un sublanţ al lanţului L. Definiţie. Fie G =(X,U) un graf. Lanţul L din G se numeste lanţ elementar dacă pentru orice 0 ≤i, j ≤r , i ≠j , avem xi ≠xj (lanţul trece prin noduri distincte). Exemplul 32: Pentru graful neorientat G11 = (X11,U11), definit astfel: _ mulţimea nodurilor este X11={1,2,3,4,5,6,7,8}. _ mulţimea muchiilor este U11 ={[1,2], [1,5], [1,6], [2,3], [2,5], [2,6], [3,4], [3,6], [3,7], [3,8], [4,8], [5,6], [6,7], [7,8]}. L1(1,7)= {1, 2, 3, 8, 4, 3, 6, 5, 2, 3, 7} este un lanţ între nodul cu eticheta 1 şi nodul cu eticheta 7. Lungimea lanţului este 10. Exemplul 33: Pentru graful orientat G12 = (X12,U12), definit astfel: _ mulţimea nodurilor este X12={1,2,3,4,5,6,7}. _ mulţimea arcelor este U12 ={[1,2], [1,4], [2,3], [2,4], [3,6], [3,7], [4,1], [4,5], [5,2], [5,4], [6,3], [6,5], [7,6]}. L1(1,5)= {1, 2, 5, 6, 3, 6, 7, 6, 5} este un lanţ între nodul cu eticheta 1 şi nodul cu eticheta 5. Lungimea lanţului este 8.

33

Exemplul 34: Pentru graful neorientat G11: _ Lanţul L1(1,7) )= {1, 2, 3, 8, 4, 3, 6, 5, 2, 3, 7} este un lanţ neelementar, deoarece se repetă nodul cu eticheta 3. Este un lanţ compus, deoarece în lanţ se repetă muchia [2,3]. _ Lanţul L2(1,7) = {1, 2, 3, 6, 7} este un lanţ elementar deoarece fiecare nod este parcurs o singură dată. _ Lanţul L3(1,7) = {1, 6, 3, 2, 6, 7} este un lanţ simplu, deoarece nici o muchie nu se repetă, dar este un lanţ neelementar, deoarece se repetă nodul cu eticheta 6. Exemplul 35: Pentru graful orientat G12: _ Lanţul L1(1,5) = {1, 2, 5, 6, 3, 6, 7, 6, 5} este un lanţ neelementar, deoarece se repetă nodul cu eticheta 6. Este un lanţ compus, deoarece în lanţ se repetă arcul [6,7]. _ Lanţul L2(1,5) = {1, 2, 3, 7, 6, 5} este un lanţ elementar, deoarece fiecare nod este parcurs o singură dată. _ Lanţul L3(1,5) = {1, 2, 4, 5, 2, 3, 6, 5} este un lanţ simplu, deoarece nici un arc nu se repetă, dar este un lanţ neelementar deoarece se repetă nodul cu eticheta 2. Teorema 10 Dacă un graf conţine un lanţ între două noduri, x şi y, atunci conţine un lanţ elementar între nodurile x şi y. Demonstraţie. Considerăm lanţul L(x,y)={x, l1, l2, ..., lk, y}. Dacă lanţul nu este elementar, el conţine cel puţin un nod z care se repetă – există i şi j, astfel încât li= lj=z: L(x,y)={x, l1, l2, ..., li, ..., lj, ..., lk, y}. Nodul z aparţinând lanţului L(x,y), înseamnă că el este accesibil din nodul x, iar nodul y este accesibil din nodul z. Înseamnă că din lanţ se poate elimina sublanţul care leagă nodul z de el însuşi: L(x,y)={x, l1, l2, ..., li, lj+1, ..., lk, y} În acelaşi mod, se pot elimina din lanţ, toate sublanţurile care leagă un nod de el însuşi, obţinându-se în final un lanţ în care fiecare nod nu apare decât o singură dată, adică un lanţ elementar. Exemplul 36: În graful neorientat G11, lanţul L1(1,7) = {1, 2, 3, 8, 4, 3, 6, 5, 2, 3, 7} este un lanţ neelementar. Prin eliminarea din acest lanţ a sublanţului {8, 4 ,3}, se obţine lanţul {1, 2, 3, 6, 5, 2, 3, 7}, care este un lanţ neelementar. Prin eliminarea din acest lanţ a sublanţului {6, 5, 2, 3}, se obţine lanţul {1, 2, 3, 7}, care este un lanţ elementar. Exemplul 37: Considerăm graful G ={X,U }care corespunde reprezentării alăturată

34

Fie succesiunea de varfuri L1 ={1,2,4,1,3,6} . Se formează un lanţ în G deoarece perechile [1,2], [2, 4], [4,1], [1,3],[3,6] sunt muchii in U . Acest lanţ este de extremităţi 1 si 6 iar deoarece numărul varfurilor din lanţ este egal cu 6 avem |L|=5 . Acest lanţ poate fi dat si prin muchiile sale sub forma L1={[1, 2] , [2,4] , [1, 4] , [1,3] , [3,6]}. Fie succesiunea de varfuri L2={1,2,4,3,5 . Această succesiune nu descrie un lanţ deoarece graful considerat nu conţine nicio muchie intre varfurile 3 si 5. Lanţul L1={1,2,4,1,3,6 } din exemplu are in poziţiile 1 si 4 varful 1 si astfel nu este un lanţ elementar (trece de două ori prin varful 1) Un lanţ elementar este L3={1,2,4,3,6} Definiţie. Fie G={X,U } un graf. Lanţul L din G se numeste lanţ simplu dacă toate muchiile sale sunt distincte. Exemplul 38: Lanţurile L1={1,2,4,1,3,6} , L2={1,2,4,3,5} şi L3={1,2,4,3,6} din graful alăturat sunt toate lanţuri simple. Cel mai bine se observă acest lucru la exprimarea lanţurilor prin muchiile lor, asa cum este cazul pentru lanţul L1={1,2,4,1,3,6} , care este exprimat si prin muchii prin L1={(1, 2) , (2,4) , (1, 4) , (1,3) , (3,6)}. Putem considera si lanţul L4={2,1, 4,3,1, 4,5} care nu este un lanţ simplu deoarece conţine de două ori muchia (1,4). Teorema 11 Dacă un lanţ este elementar, atunci este şi lanţ simplu. Demonstraţie – prin reducere la absurd. Presupunem că lanţul elementar este şi lanţ compus. Dacă este lanţ compus, el trebuie să parcurgă de două ori aceeaşi muchie (arc), ceea ce ar însemna să treacă de două ori prin nodurile adiacente muchiei (arcului). Lanţul fiind elementar, nu trece însă de două ori prin acelaşi nod.

CICLUL Definiţie Un lanţ care are toate muchiile distincte două câte două şi extremităţi care coincid – se numeşte ciclu. Ciclul este un lanţ simplu ([l1,l2] ≠ [l2,l3]; [l1,l2] ≠ [l3,l4]; ...; [l1,l2] ≠ [lk-1,lk]; ...; [lk-2,lk-1] ≠ [lk-1,lk]), în care extremităţile coincid: l1=lk. Un graf fără cicluri se numeşte graf aciclic. Dacă toate nodurile unui ciclu sunt distincte două câte două, cu excepţia extremităţilor, ciclul se numeşte ciclu elementar. Exemplul 39: Pentru graful neorientat G11: _ Lanţul L4(1,1) ={1, 2, 3, 6, 2, 1} nu este un ciclu deoarece în lanţ se repetă muchia [1,2]. _ Lanţul L5(1,1) = {1, 2, 6, 3, 7, 6, 1}=C1 este un ciclu neelementar deoarece se repetă nodul cu eticheta 6.

35

_ Lanţul L6(1,1) = {1, 2, 3, 7, 6, 1}=C2 este un ciclu elementar deoarece nu se repetă nici un nod. Exemplul 40: Un circuit electric poate fi reprezentat cu ajutorul unui graf orientat G13, în care nodurile reţelei sunt nodurile grafului, iar sensul arcelor este dat de sensul ales pentru curentul electric. Un ochi al reţelei electrice reprezintă un ciclu în graful orientat. Fiecare arc k are asociate trei mărimi: rezistenţa Rk, intensitatea curentului Ik şi tensiunea electromotoare a sursei Ek. Semnul curentului electric este dat de sensul arcului: dacă arcul intră în nod, curentul electric are semnul plus, iar dacă arcul iese din nod, curentul electric are semnul minus.

Pentru fiecare nod din graf, se aplică teorema întâi a lui Kirchhoff:1

p

k

k

I=

∑

unde p este suma dintre gradul intern şi gradul extern ale nodului.

Pentru fiecare ciclu din graf, se aplică teorema a doua a lui Kirchhoff: 1

q

k

k

E=

∑

unde q este numărul de arce ale ciclului. Teorema 12 Dacă un graf conţine un ciclu, atunci conţine şi un ciclu elementar.

DRUMUL Definiţie Într-un graf orientat G= (X,U) se defineşte un drum ca fiind o succesiune de noduri care au proprietatea că – oricare ar fi două noduri succesive – ele sunt legate printr-un arc. Dacă, într-un graf orientat, mulţimea nodurilor este X={x1, x2, ..., xn}, iar mulţimea arcelor este U={u1, u2, ..., um}, un drum de la nodul d1 la nodul dk – D(d1,dk) – va fi definit prin mulţimea nodurilor D(d1,dk) = {d1, d2, ..., dk}, unde di∈U, pentru orice i (1≤i≤k), iar arcele [d1,d2], [d2,d3], [d3,d4], ..., [dk-1,dk] ∈ U. Drumul poate fi privit ca un lanţ în care parcurgerea de la un nod la altul trebuie să se facă în sensul arcului care leagă nodurile. Dacă există D(xi,xj), se spune că nodul xj este accesibil din nodul xi. Terminologie: _ Lungimea unui drum este dată de numărul de arce care îl compun. În cazul în care arcele au asociate lungimi, lungimea unui drum este dată de suma lungimilor arcelor care îl compun. _ Drumul de lungime minimă dintre nodul di şi nodul dj – Dmin(di,dj) – este drumul cu numărul minim de arce din mulţimea nevidă de drumuri D(di,dj).

36

_ Subdrumul este format dintr-un şir continuu de noduri din drum. De exemplu, pentru lanţul D(d1, dk)={d1, d2, ..., di, ..., dj, ..., dk}, Ds (di, dj) definit astfel: Ds(di, dj) = {di, di+1, ...,dj-1, dj} – este un subdrum al drumului D. Drumul elementar este drumul în care nodurile sunt distincte două câte două. Drumul simplu este drumul în care arcele sunt distincte două câte două. Exemplul 41: Pentru graful orientat G12: _ Lanţul L7(1,6) = {1, 2, 5, 6} nu este un drum deoarece parcurgerea nu se face în sensul săgeţilor. _ Lanţul L8(1,6) = {1, 2, 3, 6, 3, 6} = D1 este un drum neelementar, deoarece se repetă eticheta nodurilor 3 şi 6 – şi compus, deoarece prin arcul [3,6] s-a trecut de două ori. _ Lanţul L9(1,6) = {1, 2, 3, 7, 6} = D2 este un drum elementar, deoarece nu se repetă nici un nod. Teorema 13 Dacă un graf neorientat conţine un drum între două noduri, x şi y, atunci, conţine şi un drum elementar, între nodurile x şi y.

CIRCUITUL Definiţie Într-un graf orientat un drum care are toate arcele distincte două câte două şi extremităţi care coincid se numeşte circuit. Circuitul este un drum simplu (arcele sunt distincte două câte două ([d1,d2]≠[d2,d3]; [d1,d2]≠[d3,d4]; [d1,d2]≠[d4,d5]; ...; [d1,d2]≠[dk-1,dk]; ...; [dk-2,dk-1]≠[dk-1,dk]) în care extremităţile coincid (d1=dk). Circuitul elementar este circuitul în care toate nodurile sunt distincte două câte două, cu excepţia primului şi a ultimului – care coincid. Exemplul 42: În graful alăturat, circuitul C=(1, 3, 2, 4, 1) este circuit elementar. Exemplul 43: în graful de mai jos circuitul C=(1, 3, 4, 2, 5, 4, 1) este circuit neelementar (prin 4 s-a trecut de două ori). Exemplul 44: Pentru graful orientat G12:

_ Lanţul L10(1,1) ={1, 2, 3, 6, 3, 6, 3, 7, 6, 5, 4, 1} nu este un circuit, deoarece arcele [3,6] şi [6,3] au fost parcurse de două ori. _ Lanţul L11(1,1) = {1, 2, 3, 6, 3, 7, 6, 5, 2, 4, 1}=C1 este un circuit neelementar, deoarece se repetă eticheta nodurilor 3 şi 6. _ Lanţul L12(1,1) = {1, 2, 3, 7, 6, 5, 4, 1} =C2 este un circuit elementar, deoarece nu se repetă eticheta niciunui nod. Teorema 14 Dacă un graf conţine un circuit, atunci conţine şi un circuit elementar. Exemplul 45:

37

Considerăm graful orientat G ={X,U }, unde X ={1,2,3, 4,5,6} si U ={(1, 2),(1,5),(2,3), (3,1),(4,3),(4,6),(5, 4), (6,1)}. Graful considerat, anuland orientarea arcelor, conduce la un graf neorientat si L1 ={1,2,3,1,5,4,6,1} este un ciclu simplu, in timp ce L2={1,2,3,4,6,1} este un ciclu elementar. Scrierea ciclului L1 prin arce esteL1={(1, 2) , (2,3) , (3,1) , (1,5) , (5,4) , (4,6) , (6,1)}. Din această scriere se observă că in ciclul L1 toate arcele sunt in sensul de la extremitatea stangă la cea dreaptă si astfel L1 este si un circuit in G . Deoarece in L1 fiecare arc intervine o singură dată, rezultă că L1 este un circuit simplu. Putem astfel scrie L1( 1, 2,3,1,5, 4,6,1) sau L1=((1, 2) , (2,3) , (3,1) , (1,5) , (5, 4) , (4,6) , (6,1)). Considerăm in G lanţul L3 =(1,5,4,3,1) care este un ciclu elementar deoarece trece o singură dată prin fiecare varf si, in plus, avand arcele in sensul scrierii lanţului, este si drum. Astfel, 3 L este un circuit elementar in G . Graful considerat are reprezentarea alăturată si in aceasta am ingrosat arcele ce formează circuitul L3 .

PROBLEME 1) Se considera un graf orientat cu sase noduri, numerotate de la 1 la 6, astfel incat din fiecare nod i pleaca un arc care ajunge in nodul:

- 2 * i daca exista acel nod - i – 1 in caz contrar

Care este lungimea maxima a unui drum elementar in acest graf? Dar lungimea maxima a unui circuit? Justificati! 2) Se consideră un graf orientat cu 6 noduri numerotate de la 1 la 6 şi cu mulţimea arcelor formată doar din arcele: - de la fiecare nod numerotat cu un număr neprim i (i>1) la toate nodurile numerotate cu numere ce aparţin mulţimii divizorilor proprii ai lui i (divizori diferiţi de 1 şi de i) - de la nodul numerotat cu 1 la nodul numerotat cu 6 - de la fiecare nod numerotat cu un număr prim i la nodul numerotat cu i-1 Pentru graful dat, care este lungimea celui mai mare drum, format doar din noduri distincte? 3) Între n firme există relaţii de colaborare. O relaţie de colaborare este dată ca o pereche de forma i⇔j şi are semnificaţia că firma i colaborează cu firma j. Stabiliţi corespondenţa între afirmaţiile din stânga şi cele din dreapta.

1. Orice firmă colaborează cu toate celelalte. 2. Anumite firme îşi întrerup relaţia de colaborare. 3. Anumite firme dau faliment şi nu mai funcţionează. 4. O firmă colaborează cu toate celelalte. 5. Cu ajutorul unor firme interme-diare dintre cel n firme, firma i poate face afaceri cu firma j.

a. Există un lanţ de la i la j. b. Graful asociat are un nod de grad n-1. c. Graful asociat se transformă într-un graf parţial al său. d. Graful asociat este complet. e. Graful asociat se transformă într-un subgraf al său.

4) Care din următoarele proprietăţi este adevărată pentru un graf orientat cu n vârfuri şi n arce (n>3) care are un circuit de lungime n: a. există un vârf cu gradul n-1 b. pentru orice vârf gradul intern şi gradul extern sunt egale c. graful nu are drumuri de lungime strict mai mare decât 2 d. gradul intern al oricărui vârf este egal cu 2

38

5) Se consideră graful orientat reprezentat prin matricea de adiacenţă alăturată. Care este lungimea maximă a unui drum, de la vârful 4 până la vârful 6, format din vârfuri distincte două câte două (lungimea unui drum este egală cu numărul de arce care compun acel drum)? 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 6) În graful din figura alăturată care este lungimea celui mai lung lanţ elementar şi care este lungimea celui mai lung drum elementar? a) 3 2; b) 2 2; c) 2 3; d) 1 2.

7) Se dă graful din fig 1.1 : Care dintre următoarele secvenţe de noduri reprezintă lanţuri/drumuri/circuite în graful dat? Precizaţi tipul fiecărui lanţ/drum/circuit găsit.

a) S = (3 , 4 , 3 , 1 , 2 , 3 ) b) S = (4 , 2 , 1 , 3 ) c) S = (1 , 2 , 4, 3 , 1 ) d) S = (2 , 4 , 3, 1 )

8) În fiecare dintre următoarele grafuri, aflaţi lanţuri de lungime 9 și 11, și cicluri de lungime 5, 6, 8 și 9, dacă este posibil. 9) Fie graful G=(V,E) cu V={1,2,3,4,5,6} şi E={(1,2);(2,3);(1,5);(5,3);(3,4);(4,6);(5,4)}. Următorii 4 itemi se referă la acest graf (i) Numarul nodurilor terminale este:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 2. Numărul ciclurilor elementare de lungime 5 în graful G este: a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 3. Cel mai lung lanţ elementar în G este: a) 2,1,5,3,4,6 b) 2,5,1,5,3,4,6 c) 5,4,3,5,1,2 d) 1,2,3,4,5,1 4. Care este numărul maxim de cicluri de lungime 3, dacă se adaugă 3 muchii ? 2 b) 5 c) 3 d) 4 10) Se consideră graful neorientat cu 6 noduri şi având muchiile (1 , 2) , (1 , 4) , (2 , 3) , (3 , 5) , (3 , 6), (4 , 5) , (5 , 6). Scrieti lanţurile elementare distincte de la nodul 1 la nodul 6 în graful dat. 11) Se dă următorul graf neorientat a) Scrieti un lant elementar si unul neelementar b) Scrieti un ciclu elementar si unul neelementar 12) Se consideră graful orientat cu nodurile numerotate de la 1 la 5 şi arcele (1,2), (1,5),(2,1), (2,3), (2,5), (3,4), (5,2), (5,4). Care este lungimea maximă a unui drum de la nodul 1 la nodul 4, format doar din arce distincte? a. 5 b. 6 c. 4 d. 7 13) Se consideră un graf neorientat dat prin matricea de adiacenţe alăturată. 0 0 1 0 Să se determine lungimea minimă a unui lanţ care uneşte vârful 1 cu 3 0 0 0 0 a). 1 b). 2 c). 0 d). 4 1 0 0 0 0 0 0 0 14) Într-un graf neorientat două cicluri sunt disjuncte dacă nu au niciun nod comun. Pentru graful neorientat cu 9 noduri, reprezentat alăturat, se construiește o mulțime formată din cicluri elementare, cu proprietatea că oricare două dintre acestea sunt disjuncte.Numărul maxim de cicluri dintr-o astfel de mulțime este: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

39

0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0

1: 4,5,6 2: 5

3: 4 4: 1,3 5: 1,2,6 6: 1,5

1: 2 6 2: 3 3: 4: 3 5: 4 6 6: 3

15) Se consideră graful neorientat cu 6 noduri, definit cu ajutorul listelor de adiacenţă alăturate. Care dintre mulţimile următoare de noduri are toate elementele extremităţi ale unor lanţuri de lungime 2 cu cealaltă extremitate în nodul 5? a. {1,4,6} b. {2} c. {3} d. {2,6}

16) Pentru graful din figura alăturată care este lungimea maximă a lanţului elementar dintre nodurile 4 şi 5. a. 4 b. 5 c. 6 d. 10 17) Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată pentru orice graf neorientat G cu 5 noduri şi 6 muchii? a. G are cel puţin un ciclu; b. G este conex; c. G are gradele tuturor nodurilor numere pare; d. G nu poate avea noduri cu gradul 0. 18) Se consideră graful orientat G, cu 6 vârfuri, definit cu ajutorul listelor de adiacenţă alăturate.Construiţi matricea de adiacenţă corespunzătoare grafului orientat G1, cu 6 vârfuri, în care există arc între vârfurile distincte i şi j dacă şi numai dacă în graful G există cel puţin un drum de la i la j. 19) Care dintre următoarele propoziţii este falsă pentru graful orientat G, dat prin matricea de adiacenţă alăturată? a. există cel puţin un nod în graful G care are gradul intern egal cu cel extern b. graful G nu are circuite c. există cel puţin un drum între oricare două noduri ale grafului G d. graful G are 9 arce 20) Care este numărul minim de arce ce trebuie adăugate în graful orientat din figura alăturată astfel încât fiecare vârf să aparţină unui circuit ? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 21) Se consideră graful orientat cu nodurile numerotate de la 1 la 5 şi arcele (2,1), (5,1), (1,2), (3,2), (5,2), (4,3), (2,5), (4,5). Care este lungimea maximă a unui drum de la nodul 4 la nodul 1, format doar din arce distincte? a. 6 b. 5 c. 4 d. 7

22) Care dintre următoarele secvenţe de noduri reprezinta un lant intr-un graf neorientat dat de matricea de adiacente alaturata: a). 2 1 3 4 b). 1 5 3 4 2 4 c). 4 1 2 4 5 d). 3 4 1 2 5

23) Fie graful orientat G=(X, U) de mai jos. Daţi un exemplu de lanţ care nu e drum

24) Numărul maxim de muchii ale unui graf neorientat, cu 100 de noduri, care nu conţine niciun ciclu, este: a. 50 b. 99 c. 100 d. 4950 25) Un graf neorientat cu 8 noduri, numerotate de la 1 la 8, are muchiile [1,2], [1,6], [4,6], [3,6], [6,5], [5,3], [3,4], [7,8], [8,2]. Enumerați trei noduri care nu aparţin niciunui ciclu în acest graf.

0 1 0 1 0

1 0 0 1 0

0 0 0 1 0

1 1 1 0 1

0 0 0 1 0

40

CONEXITATE Definiţie Un graf G se numeşte graf conex dacă are proprietatea că, pentru orice pereche de noduri diferite între ele, există un lanţ care să le lege. Altfel spus, un graf este conex dacă, pentru orice pereche de noduri {xi, xj}, care au proprietatea xi≠xj există un lanţ de la xi la xj. Exemplul 46: Graful neorientat G11 = (X11,U11) este un graf conex, deoarece oricare ar fi două noduri din mulţimea X11, ele pot fi legate printr-un lanţ. De exemplu, (1,2) ⇒ {1,2} sau {1,5,2}; (1,3) ⇒ {1,2,3} sau {1,6,3}; (1,3) ⇒ {1,2,3} sau {1,6,3}; (1,4) ⇒ {1,2,3,4} sau {1,6,7,4}; (1,5) ⇒ {1,5} sau {1,2,6,5} etc.

Exemplul 47: Graful orientat G12 = (X12,U12) definit anterior este un graf conex, deoarece oricare ar fi două noduri din mulţimea Xx, ele pot fi legate printr-un lanţ. De exemplu, (1,2) ⇒ {1,2} sau {1,4,2}; (1,3) ⇒ {1,2,3} sau {1,2,5,6,3}; (1,3) ⇒ {1,2, 3} sau {1,2,5,6,3}; (1,4) ⇒ {1,4} sau {1,2,5,4}; (1,5) ⇒ {1,2,5} sau {1,4,5} etc.

Exemplul 48: Graful neorientat G14 = (X14,U14) din figura alăturată – definit astfel: _ mulţimea nodurilor este X14={1,2,3,4,5,6,7,8}. _ mulţimea muchiilor este U14={[1,2], [1,4], [2,3], [2,4], [3,4], [5,6], [5,7] }. nu este conex, deoarece nu există nici un lanţ între un nod din mulţimea C1={1,2,3,4} şi un nod din mulţimea C2={5,6,7}, sau din mulţimea C3={8}. Exemplul 49: Graful alăturat este conex, deoarece oricare ar fi vârfurile x si

y, x≠y, există un lanţ in G care să le lege. Exemplul 50: Graful alăturat nu este conex, deoarece există două vârfuri, cum ar fi 1 si 4, pentru care nu există nici un lanţ în graf care să le lege. Dacă un graf G=(X,U) nu este conex, se poate defini un subgraf conex al grafului G, adică se poate defini o mulţime X'⊂X care să inducă subgraful G'=(X',U'), ce are proprietatea că este conex. Definiţie Dacă un graf G=(X,U) nu este conex, se numeşte componentă conexă a grafului un

41

subgraf conex al său C=(X',U'), maximal în raport cu această proprietate (conţine numărul maxim de noduri din G care au proprietatea că sunt legate cu un lanţ). Altfel spus, subgraful conex C este o componentă conexă a grafului dacă are proprietatea că nu există nici un lanţ, al grafului G, care să unească un nod xi al subgrafului C (xi∈X') cu un nod xj care nu aparţine subgrafului C (xj∈X–X'). Observaţie: Un graf conex are o singură componentă conexă (graful însuşi). Exemplul 51: În graful neorientat G14 definit alăturat, fiecare dintre cele trei mulţimi de noduri, C1, C2 şi C3, induce câte o componentă conexă. Dacă un graf G15 este definit prin mulţimea nodurilor şi mulţimea muchiilor, _ mulţimea nodurilor este X15={1,2,3,4,5,6,7,8}. _ mulţimea muchiilor este U15 ={[1,2], [1,4], [2,3], [2,4], [3,4], [5,6], [5,7] }. pentru identificarea componentelor conexe, procedaţi astfel: PAS1. Se formează prima componentă conexă, pornind de la prima muchie. Se scriu nodurile incidente cu muchia în prima componentă conexă – C1={1,2} – şi se marchează muchia: [1,2]. Componenta conexă C1 este componenta curentă. PAS2. Se parcurg celelalte muchii. Dacă se găseşte o muchie nemarcată, care conţine noduri din componenta conexă curentă, se adaugă nodurile la componentă: C1={1,2,4,3}, şi se marchează muchia: [1,4], [2,3], [2,4], [3,4]. PAS3. Dacă mai există muchii nemarcate, se identifică prima muchie nemarcată şi se formează următoarea componentă conexă, scriind nodurile incidente cu muchia – C2={5,6} – şi se marchează muchia: [5,6]. Componenta conexă C2 este componenta curentă. PAS4. Se parcurg celelalte muchii. Dacă se găseşte o muchie nemarcată care conţine noduri din componenta conexă curentă, se adaugă nodurile la componentă: C2={5,6,7} şi se marchează muchia: [5,7]. PAS5. Se execută Pasul 3 şi Pasul 4 până se marchează toate muchiile, identificând următoarele componente conexe. PAS6. Se verifică dacă toate nodurile din mulţimea nodurilor se regăsesc într-o componentă conexă. Dacă există noduri care nu aparţin unei componente conexe, acestea sunt noduri izolate, şi vor forma, fiecare dintre ele, o componentă conexă. C3={8}. Teorema 15 Numărul minim de muchii mmin necesare pentru ca un graf neorientat, cu n noduri, să fie conex este n–1. Altfel spus, într-un graf neorientat conex cu m muchii şi n noduri: m≥n–1. Demonstraţie. Notăm cele două propoziţii, astfel: (1) – Graful G neorientat, cu n noduri, are n-1 muchii şi este conex. (2) – Graful G neorientat, cu n noduri, este conex şi minimal cu această proprietate (dacă se înlătură orice muchie din graf, el devine neconex). Trebuie să demonstrăm că (1)⇒(2) – Se foloseşte principiul inducţiei matematice (se notează cu Pi propoziţia i): P1 – Graful G1, cu un nod şi nici o muchie (m=1-1=0), este conex şi este minimal cu această proprietate (nu mai există muchii care să fie eliminate). P2 – Graful G2, cu două noduri şi o muchie (m=2-1=1), este conex (muchia nu poate lega decât cele două noduri) şi este minimal cu această proprietate (prin eliminarea muchiei, nodurile sunt izolate obţinându-se două componente conexe). P3 – Graful G3, cu trei noduri şi două muchii (m=3-1=2), este conex (cele două muchii sunt incidente; unul dintre noduri este adiacent cu cele două muchii – şi prin el va trece lanţul care leagă celelalte două noduri) şi

42

este minimal cu această proprietate (prin eliminarea unei muchii, unul dintre noduri este izolat, obţinându-se două componente conexe). ……………………………………………………………………………………………………………….…… Pn – Graful Gn, cu n noduri şi n-1 muchii, este conex şi minimal cu această proprietate (se presupune adevărată). Pn+1 – Considerând propoziţia Pn adevărată, trebuie să demonstrăm că graful Gn+1, cu n+1 noduri şi n+2 muchii, este conex şi minimal cu această proprietate. Prin adăugarea unui nod şi a unei muchii la graful Gn, se poate obţine un graf conex. Nodul adăugat se leagă cu muchia nouă de graful Gn (şi, implicit, la lanţurile din acest graf), obţinându-se un nou graf conex. Presupunem că graful obţinut nu este minimal cu această proprietate. Înseamnă că, prin eliminarea unei muchii, se obţine un graf conex. Dacă eliminăm muchia adăugată, se izolează nodul n+1, obţinându-se două componente conexe. Dacă se elimină o muchie din graful Gn, se obţin două componente conexe, deoarece graful Gn este minimal cu această proprietate. Rezultă că graful Gn este minimal cu această proprietate. Exemplul 52: Exemple de grafuri conexe cu n noduri şi număr minim de muchii: _ Fiecare nod este legat de alte două, cu excepţia a două noduri terminale. Există n–2 noduri cu gradul 2 şi

două noduri cu gradul 1: min

2( 2) 2 11

2

nm n

− + ⋅= = −

_ Un nod este legat de celelalte n–1 noduri. Există un nod cu gradul n–1, şi n–1 noduri cu gradul 1:

min

1 ( 1) ( 1) 11

2

n nm n

⋅ − + − ⋅= = −

Propoziţia 3. Dacă un graf cu n noduri are p componente conexe, atunci numărul minim de muchii care trebuie adăugate, ca să devină conex, este p–1. Demonstraţie. Putem considera fiecare componentă conexă ca un nod al unui graf cu p noduri. Numărul minim de muchii necesare pentru ca acest graf să fie conex este p–1. Propoziţia 4. Dacă un graf conex cu n noduri are n-1 muchii, atunci orice pereche de noduri este legată printr-un lanţ, şi numai unul. Demonstraţie – prin reducere la absurd. Graful G fiind conex, înseamnă că există cel puţin un lanţ care leagă oricare două noduri, x şi y. Presupunem că există cel puţin două lanţuri între nodurile x şi y: L1 şi L2. Înseamnă că, suprimând o muchie din lanţul al doilea, graful rămâne conex, deoarece nodurile x şi y vor fi legate prin lanţul L1. Înseamnă că un graf cu n noduri şi n-2 muchii este conex, ceea ce contrazice Teorema 15. Rezultă că cele două noduri, x şi y, nu sunt legate decât printr-un singur lanţ. Propoziţia 5. Dacă un graf neorientat cu n noduri şi m muchii este conex, numărul maxim de muchii care se pot elimina pentru a obţine un graf parţial conex este: m–n+1. Demonstraţie. Deoarece numărul minim de muchii necesare pentru ca un graf să fie conex este n–1, atunci din graf se pot elimina restul muchiilor: m–n+1. Teorema 16 Un graf neorientat conex, cu n noduri şi n–1 muchii, este aciclic şi maximal cu această proprietate. Demonstraţie: Notăm cele două propoziţii, astfel: (1) – Graful G neorientat, cu n noduri, este conex şi are n-1 muchii. (2) – Graful G neorientat, cu n noduri, este aciclic şi maximal cu această proprietate. Trebuie să demonstrăm că (1)⇒(2). 1) Este aciclic – prin reducere la absurd. Presupunem că acest graf conţine cel puţin un ciclu, C={x1, x2, x3, ..., xi, x1}. Înseamnă că, dacă vom înlătura din graf muchia [x1, x2], se obţine un graf conex – nodul va fi legat de toate

43

celelalte noduri din ciclu prin lanţul L={x2, x3, ..., xi, x1} – ceea ce contrazice teorema anterioară, că un graf cu n noduri şi n-1 muchii este conex şi minimal cu această proprietate. 2) Este maximal cu această proprietate (dacă se adaugă o nouă muchie, graful nu mai este aciclic) – prin reducere la absurd. Presupunem că, prin adăugarea unei muchii oarecare [x,y], se obţine un graf aciclic. Graful fiind conex, înseamnă că între nodurile x şi y există un lanţ L(x,y) ={x,..., z, …, y}, iar prin adăugarea muchiei [x,y] lanţul se închide, formând un ciclu C={x, ..., z,…, y , x} – ceea ce contrazice presupunerea că graful este aciclic. Propoziţia 6. Dacă un graf neorientat conex are n noduri şi m muchii, numărul de muchii care trebuie eliminate, pentru a obţine un graf parţial conex aciclic, este egal cu m–n+1. Demonstraţie. Din Propoziţia 5, rezultă că – înlăturând din graf m–n+1 muchii – se obţine un graf parţial conex, iar din Teorema 16 rezultă că acest graf este aciclic. Graful fiind conex, înseamnă că între oricare două noduri, xi şi xj, există un lanţ elementar şi numai unul (Propoziţia 4). Orice nouă muchie [xi, xj] adăugată va forma cu acest lanţ un ciclu elementar. Propoziţia 7. Dacă un graf are n noduri, m muchii şi p componente conexe, numărul de muchii care trebuie eliminate, pentru a obţine un graf parţial aciclic, este egal cu m-n+p. Demonstraţie. Fiecare componentă conexă i (1≤i≤ p) va avea ni noduri şi mi muchii, iar:

1 1

,p p

i i

i i

n n m m= =

= =∑ ∑

Numărul de muchii care trebuie eliminate din componenta conexă i, pentru a obţine un graf parţial conex aciclic, este egal cu mi - ni +1 (Propoziţia 5). Rezultă că numărul total de muchii care trebuie eliminate din graf, pentru a obţine graf parţial conex aciclic, este egal cu:

( )1 1 1

1p p p

i i i i

i i i

n m n m p n m p= = =

− + = − + = − +∑ ∑ ∑

Propoziţia 8. Pentru a obţine, dintr-un graf neorientat conex, două componente conexe, numărul minim de muchii care trebuie înlăturate mmin este egal cu gradul minim din graf: mmin = gradmin. Demonstraţie. Cele două componente conexe ale unui graf neorientat conex G=(X,U) se obţin astfel: _ Componenta conexă C1=(X1,U1) se formează dintr-un nod izolat xi – pentru a elimina un număr minim de muchii, nodul se alege dintre nodurile care au gradul minim: X1={xi} şi U1=∅. _ Componenta conexă C2=(X2,U2) se formează din restul nodurilor din graf: X2=X–{xi} şi card(U1)=m–gradmin. Definiţie Graful tare conex Un graf orientat G se numeşte graf tare conex dacă are proprietatea că, pentru orice pereche de noduri diferite între ele, există un drum care să le lege. Altfel spus, un graf orientat este tare conex dacă – pentru orice pereche de noduri {xi, xj}, care au proprietatea xi≠xj – există un drum de la xi la xj. Exemplul 53: Graful orientat G12 = (X12,U12), definit alăturat, este un graf tare conex, deoarece există un circuit elementar care trece prin toate nodurile grafului: {1,2,3,7,6,5,4,1}; altfel spus, oricare ar fi două noduri din mulţimea X20, ele pot fi legate printr-un drum.

44

Exemplul 54: Graful orientat G16 = (X16,U16) din figura definit astfel: _ mulţimea nodurilor este X16={1,2,3,4,5,6}. _ mulţimea arcelor este U16 ={[1,2], [1,4], [2,3], [3,1], [4,5], [5,4]}. nu este conex, deoarece nu există nici un drum între un nod din mulţimea C2={4,5} şi un nod din mulţimea C1={1,2,3}, sau din mulţimea C3={6}. Exemplul 55: Graf tare conex. Graful alăturat este tare conex, deoarece, oricare ar fi vârfurile x si y, există un drum in G de la x la y si un drum de la y la x. Dacă un graf orientat G=(X,U) nu este tare conex, se poate defini un subgraf tare conex al grafului G, adică se poate defini o mulţime X'⊂X care să inducă subgraful G'=(X',U'), ce are proprietatea că este tare conex. Dacă un graf G=(X,U) nu este conex, se numeşte componentă tare conexă a grafului un subgraf conex C=(X',U') al său, maximal în raport cu această proprietate (conţine numărul maxim de noduri din G care au proprietatea că sunt legate printr-un drum). Altfel spus, subgraful tare conex C este o componentă tare conexă a grafului dacă are proprietatea că nu există nici un drum al grafului G care să unească un nod xi al subgrafului C (xi∈X') cu un nod xj care nu aparţine subgrafului C (xj∈X-X'). Exemplu – În graful orientat G16 definit anterior, fiecare dintre cele trei mulţimi de noduri – C1, C2 şi C3 – induce câte o componentă tare conexă. Observaţie: Un graf tare conex are o singură componentă tare conexă (graful însuşi). Terminologie: _ Subgraful predecesorilor unui nod este format din acel nod şi din mulţimea nodurilor din care este accesibil nodul. _ Subgraful succesorilor unui nod este format din acel nod şi din mulţimea nodurilor care sunt accesibile din el. Observaţie: Componenta tare conexă din care face parte un nod este dată de intersecţia dintre subgraful predecesorilor şi subgraful succesorilor acelui nod. Dacă un graf G17 este definit prin mulţimea nodurilor şi mulţimea muchiilor, _ mulţimea nodurilor este X17={1,2,3,4,5,6}. _ mulţimea arcelor este U17 ={[1,2], [1,4], [2,3], [3,1], [4,5], [5,4]}. pentru identificarea componentelor tare conexe procedaţi astfel: PAS1. Se identifică subgraful succesorilor primului nod din primul arc (în exemplu, nodul 1), folosind algoritmul de determinare a unei componente conexe: S1={1,2,3,4,5}. PAS2. Se identifică subgraful predecesorilor primului nod din primul arc (în exemplu, nodul 1), folosind algoritmul de determinare a unei componente conexe, în care se iau în calcul numai nodurile care apar în arc în a doua poziţie: P1={1,2,3}. PAS3. Se determină componenta tare conexă – prin intersecţia celor două mulţimi de noduri: C1= S1∩P1 ={1,2,3}.

45

PAS4. Se identifică, în mulţimea arcelor, primul nod care nu face parte din componenta tare conexă evidenţiată anterior (în exemplu, nodul 4) şi se reiau Pasul 1, Pasul 2 şi Pasul 3, pentru a determina subgraful succesorilor, respectiv subgraful predecesorilor nodului şi apoi următoarea componentă conexă, prin intersecţia celor două mulţimi (în exemplu, nodul 4 şi S2={14,5}, P2={1,2,3,4,5} şi C2= S2∩ P2 ={4,5}). Se repetă acest pas până când nu se mai identifică în mulţimea arcelor niciun nod care să nu aparţină unei componente tare conexe. PAS5. Se verifică dacă toate nodurile din mulţimea nodurilor se regăsesc într-o componentă tare conexă. Dacă există noduri care nu aparţin unei componente tare conexe, acestea sunt noduri izolate – şi vor forma, fiecare dintre ele o componentă conexă. C3={6}.

PROBLEME 1) Fie graful G = (X,U) cu n = 9 vârfuri şi zece muchii, definit astfel: X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} şi U = {[1, 2], [1, 3], [2, 3], [3, 4], [3, 9], [4, 9], [5, 6], [5, 7], [5, 8], [6, 8]}. Sã se determine, în cazul în care existã: a) toate ciclurile elementare; b) toate ciclurile neelementare; c) toate componentele conexe; d) toate lanţurile care nu sunt elementare; e) toate lanţurile elementare de la vârful 1 la vârful 9. 2) Care este numărul maxim de componente conexe pentru un graf neorientat cu 5 noduri şi 4 muchii? 3) Un graf orientat este conex dacă……şi tare conex dacă……. 4) Se consideră un graf neorientat G cu 12 noduri si 7 muchii. Care este numărul maxim de componente conexe din care poate fi format graful G? 5) a) Se dau n mulţimi de numere naturale: A1, A2...An. Acestor mulţimi li se asociază un graf orientat astfel: dacă mulţimea Ai este inclusă în mulţimea Aj, în graful asociat vom avea arcul (Ai,Aj). Nu vom considera cazul de incluziune a unei mulţimi în ea însăşi. Stabiliţi corespondenţa dintre operaţiile din stânga şi din dreapta.

1. Ai⊂Aj⊂Ak. 2. Ai⊂Aj; Ak⊂Aj. 3. A1⊂A2⊂... An-1⊂An. 4. A1=A2=... An-1=An.

a) De la A1 la An există un lanţ de lungime n-1. b) De la Ak la Ai există un lanţ de lungime 2. c) Graful este tare conex. d) De la Ai la Ak există un drum de lungime 2.

b) Refaceţi problema anterioară în cazul în care se consideră n numere naturale şi relaţia de divizibilitate. De asemenea, încercaţi să adăugaţi noi situaţii în care se cere corespondenţa. 6) Un graf de ordin 13 are 3 componente conexe. Arătaşi că una dintre componente are cel puțin 5 vârfuri. 7) Se consideră graful neorientat definit prin mulţimea vârfurilor {1,2,3,4,5,6} şi mulţimea muchiilor {[1,2],[2,3],[3,4],[3,5],[4,5],[1,3],[2,6],[2,4],[4,6]}. Care este numărul minim de muchii ce pot fi eliminate astfel încât graful parţial obţinut să nu mai fie conex? 8) Scrieţi matricea de adiacenţă a unui graf neorientat cu 6 noduri în care toate nodurile au gradul 2 şi care are două componente conexe. 9) Se consideră graful neorientat G(V,U), unde |V|=12 şi E={(1,2),(1,3),(4,5),(5,6), (6,7),(4,6), (1,8)}.Identificaţi care sunt nodurile situate în componenta conexă cu număr maxim de noduri terminale:

a. 4 5 6 7 b. 9 10 11 12 c. 2 3 8 d. 1 2 3 8

10) Care este numărul minim de arce pe care le poate avea un graf orientat cu 6 vârfuri şi 3 componente tare conexe? a) 4; b) 5; c) 6; d) 10

46

0 1 1 0

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

11) Fie urmatoarea reprezentare grafica pentru un graf neorientat G=(X,U): a) Multimile X si U sunt:

i) X={1,2,3,4,5}, U={(1,3),(1,6),(6,5),(2,4),(2,7),(4,7)} ii) X= {1,2,3,4,5,6,7}, U={(1,3),(1,6),(6,5),(5,2),(2,4),(3,4),(4,7)(1,7),(6,7)} iii) X={1,2,3,4,5,6,7}, U={(1,3),(1,6),(6,5),(6,4),(2,7),(4,7)} iv) X={1,2,3,4,5,6,7}, U={(1,3),(1,6),(6,5),(2,1),(2,7),(4,7)}

b) Stabiliti valoarea de adevar a fiecareia dintre propozitii: i) Nodurile 1 si 5 sunt adiacente. ii) Nodul 6 are gradul 1. iii) G este un graf conex . iv) G este un graf complet

12) Fie un graf conex cu 6 vârfuri şi 8 muchii. Este adevărat că:

a) exista un graf G cu cel putin 3 cicluri elementare b) orice G are cel putin 3 varfuri izolate c) intre oricare doua noduri exista muchie; d) exista G cu toate varfurile de grad 1

13) Sa se adauge un numar minim de muchii grafului din desenul de mai jos astfel incat sa devina conex. 14) Se consideră un graf neorientat cu 6 noduri şi muchiile: (1, 3) , (1 , 5) , (2 , 3) , (2 , 4) , (2 , 6) , (5 , 3) , (6 , 4). a) Care este gradul maxim al unui nod din acest graf si care sunt nodurile care au gradul maxim? b) Care este numărul minim de muchii ce trebuie eliminate din graful iniţial dat astfel încât graful parţial obţinut să aibă exact două componente conexe? 15) Fie un graf neorientat care are 8 noduri şi care are următoarele proprietăţi: - are trei componente conexe; - nu are noduri izolate; - are un număr maxim de muchii. Care este numarul de valori egale cu 0 din matricea de adiacenta corespunzatoare grafului ? 16) Câte componente tare conexe are graful alăturat? a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 Precizaţi numărul minim de arce care trebuie adăugate grafului astfel încât să devină tare conex a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 17) Care este numărul minim de arce pe care le poate avea un graf orientat cu 9 vârfuri şi 3 componente tare conexe?

a) 6; b) 7; c) 8; d) 10. 18) Fie graful orientat dat prin matricea de adiacenţă alăturată I. Câte componente tari conexe are graful ? a). 0 b).1 c).3 d).2 II. Construiţi matricea drumurilor asociată grafului. III. Numărul de drumuri elementare de la nodul 1 la nodul 2 ? IV să se determine numărul maxim de muchii care pot fi adaugate pentru a obţine un graf complet 19) Se consideră un graf neorientat cu nodurile: 1,2,3,4,5,6,7,8 şi muchiile: (1,3), (1,7), (2,6), (3,7), (5,2), (5,6), (8,4). Câte componente conexe are graful? a . 2 b. 3 c. 8 d. 1 Care este numărul minim de muchii ce pot fi adăugate astfel încât graful să devină conex? a. 0 b. 2 c. 3 d. 4

47

20) Se consideră un graf neorientat complet, cu 9 noduri. Pentru a obține un graf parțial al său cu două componente conexe, fiecare dintre acestea fiind grafuri complete, numărul maxim de muchii care pot fi eliminate este: a. 14 b. 18 c. 20 d. 24 21) Câte componente tare conexe are graful alăturat? a) 0 b) 2 c) 1 d) 3 Precizaţi numărul minim de arce care trebuie adăugate grafului astfel încât să devină tare conex a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 22) Se consideră graful neorientat având nodurile notate cu 1, 2, 3, 4, 5 corespunzător liniilor matricei de adiacentă alăturate, care dintre următoarele propoziţii este adevărată.

a. orice nouă muchie s-ar adăuga graful devine conex b. graful este conex c. orice muchie s-ar elimina graful devine aciclic(fără cicluri) d. graful este aciclic

23) Care este numărul minim de muchii ce trebuie eliminate din graful alăturat astfel încât graful să aibă două componente conexe? a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 Care este numărul minim de muchii ce trebuie eliminate astfel încât graful să aibă trei componente conexe? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 24) Se considera graful neorientat dat prin matricea de adiacenţă alăturată. Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată? a. nodurile 1. 2. 4 se afla în aceeaşi componentă conexă b. graful conţine 3 componente conexe şi cel puţin un nod Izolat c. graful conţine 2 componente conexe şi nu are cicluri d. graful conţine 3 componente conexe şi nu are cicluri 25) Numărul minim de muchii care trebuie eliminate din graful neorientat alăturat astfel încât să devină neconex este: a. 2 b. 4 c. 1 d. 3 26) Daca un graf neorientat are n noduri şi p componente conexe atunci numărul minim de muchii care trebuie adăugate astfel încât graful să devină conex este: a. p b. p-1 c. n-1 d. n 27) Se consideră graful neorientat din figura alăturata. Numărul maxim de muchii ce pot fi eliminate din graf astfel încât in graful parţial rezultat sa fie conex este:

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 28) Se dă un graf neorientat cu 75 de noduri numerotate de la 1 la 75 . şi muchiile [21,40], [30, 38], [21,30], [60, 75] . Atunci numărul de componente conexe ale grafului este: a. 69 b. 71 c. 2 d. 73 29) Un graf orientat cu 5 vârfuri, numerotate de la 1 la 5, este reprezentat alăturat. Numărul maxim de arce care se pot elimina, astfel încât graful parţial obţinut să fie tare conex este: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5

30) Matricea de adiacenţă a unui graf neorientat cu 7 noduri are 10 elemente nenule. Numărul maxim de componente conexe ale grafului este: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5