Grafuri Orientate Def, Teoreme, Cod

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Definitii si teoreme grafuri orientate

Citation preview

Definiii

Se numetegraf orientatsau digraf o pereche de mulimi (X, U), unde X este o mulime finit i nevid de elemente numitenoduri sau vrfuri, iar U este o mulime deperechi ordonateformate cu elemente distincte din mulimea X, numitearce.Mulimea arcelor care ies dintr-un nod:+Mulimea arcelor care intr ntr-un nod:-

n graful G=(X,U) avem:X = 1, 2, 3, 4, 5.U={ (5,3), (1, 2), (1, 3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2, 5), (3,4), (4, 5)}

Numimvrfuri adiacenteorice pereche de vrfuri care formeaz un arc. Dou vrfuri spunem c sunt incidente cu arcul pe care l formeaz.Pentru arcul (x, y) spunem c x esteextremitatea iniiali y esteextremitatea final.Spunem c doua arce suntincidentedac au o extremitate comun.

Se numetesuccesoral vrfului x orice vrf la care ajunge un arc care iese din x.Mulimea succesorilor se noteaz:+.Se numetepredecesoral vrfului x orice vrf de la care intr un arc n vrful x.Mulimea predecesorilor se noteaz:-.

Gradul internal unui nod este egal cu numrul arcelor care intr n nod i se noteazd-(x).Gradul external unui nod este egal cu numrul arcelor care ies din nod i se noteazd+(x).

Teoreme

Teorema 1:Numrul total de grafuri orientate cu n noduri esten(n-1)/2;Teorema 2:ntr-un graf orientat cu n noduri suma gradelor interne este egal cu suma gradelor externe i este egal cu numrul arcelor.

Aplicaii ale definiiilor

Mulimea arcelor care intr n nodul 2:+(2)= {(2, 5), (2, 3), (2, 4)};Mulimea arcelor care ies din nodul 2:- (2)={(1, 2)};Nodurile2 si 4 suntadiacente.Pentru arcul (2, 3) spunem ca 2 esteextremitatea iniiali 3 esteextremitatea final.Arcele(2, 3) i (3, 4) suntincidente.Nodul 4 estesuccesoral nodului 2.Nodul 2 estepredecesoral nodului 4.Mulimea succesorilor nodului 2:+2= {3, 4, 5};Mulimea predecesorilor nodului 2:-2={1};Gradul external nodului 2: 3Grad internal nodului 2: 1

Graf parial

Fie graful G=(X,U). Se numetegraf parialal lui G, un graf G1=(X,V), cu V inclus n U. Altfel spus, un graf parial al lui G este chiar G, sau se obine din G, pstrnd toate vrfurile i suprimnd nite arce.

Se consider graful G=(X, U), n care X={1, 2, 3, 4, 5, 6} i U={(2,1), (1, 3), (4, 3), (3, 5), (6,4), (5, 6).Graful parialal lui G este G1=(X, V), n care X={1, 2, 3, 4, 5, 6} i V={(2, 1), (3, 2), (4, 3), (6, 4), (5, 6)}.

SubgrafFie graful G=(X, U). Unsubgrafal lui G este un graf G2=(Y, V), unde Y inclus in U, iar V va conine toate arcele din U, care au ambele extremiti n Y. Altfel spus, un subgraf al unui graf se obine eliminnd nite noduri i arcele incidente acestor noduri.

Se consider graful G=(X, U), n care X={1, 2, 3, 4, 5, 6} i U={ (2, 1), (1, 3), (3, 2), (4, 3), (3, 5), (6, 4), (5, 6).Subgrafullui G este G2=(Y, V), n care Y={3, 4, 5, 6} i V={(4, 3), (3, 5), (6, 4), (5, 6).

Matricea de adiacen

Matricea de adiacen este o matrice ptratic cu n linii i n coloane, iar a[i][j] = 0, dac nu exist arc de la i la j sau a[i][j]=1, dac exist arc de la i la j.

Matricea de inciden

Matricea de inciden este o matrice cu n linii i m coloane. Pe fiecare coloan vom avea o valoare de 1 care corespunde extremitii iniiale a unui arc, o valoare de -1 care corespunde extremitii finale a unui arc, toate celelalte fiind 0.

Lista arcelorEste format din m elemente care conin fiecare, cte o pereche de noduri, x i y care formeaz un arc.

Lista vecinilorn lista vecinilor pentru fiecare nod se specific succesorii.

Numimdrumo succesiune de noduri care au proprietatea c oricare ar fi dou noduri succesive acestea sunt legate printr-un arc.Numimcircuitun drum n care toate arcele sunt distincte dou cte dou i exist un arc de la ultimul nod la primul (numrul minin de noduri este 3).

Undrumpoate fi: Elementar- un drum care conine doar noduri distincte. Neelementar- un drum carenuconine doar noduri distincte. Simplu- un drum care conine doar muchii distincte. Compus- un drum carenuconine doar muchii distincte.

Uncircuitpoate fi: Elementar- un circuit care conine doar noduri distincte (cu excepia primului i a ultimului, care coincid). Neelementar- un circuit carenuconine doar noduri distincte (cu excepia primului i a ultimului, care coincid).Observaii! Noiunea delan/ciclueste valabil i n cazul grafurilor orientate (nu are importan sensul arcelor). Ladrumuri/circuitetoate arcele trebuie s aib aceeai orientare.

Exemple de drumuri i circuite

Drum elementar

Drum neelementar

Circuit elementar

Circuit neelementar

Un graf G se numetegraf tare conexdac are proprietatea c pentru oricare pereche de noduri diferite ntre ele exist un drum.Dac un graf orientat G nu este tare conex, se numetecomponent tare conexa grafului un subgraf tare conex al su maximal n raport cu aceast proprietate, adic conine numrul maxim de noduri din G care au proprietatea c sunt legate printr-un drum.Unsubgraf tare conexare o singur component tare conex. Componentatare conexdin care face parte un nod este dat de intersecia dintre subgraful predecesorilor i subgraful succesorilor acelui nod. Graful componentelor tare conexe ale unui graf care nu este tare conex se obine prin reducerea fiecrei componente conexe la un nod.

Graful G1 este tare conex, iar graful G2 nu este tare conex. Graful G2 are 3 componente conexe.

Graf tare conexUn graf G se numetegraf tare conexdac are proprietatea c pentru oricare pereche de noduri diferite ntre ele exist un drum.Dac un graf orientat G nu este tare conex, se numetecomponent tare conexa grafului un subgraf tare conex al su maximal n raport cu aceast proprietate, adic conine numrul maxim de noduri din G care au proprietatea c sunt legate printr-un drum.Unsubgraf tare conexare o singur component tare conex. Componentatare conexdin care face parte un nod este dat de intersecia dintre subgraful predecesorilor i subgraful succesorilor acelui nod. Graful componentelor tare conexe ale unui graf care nu este tare conex se obine prin reducerea fiecrei componente conexe la un nod.

Graful G1 este tare conex, iar graful G2 nu este tare conex. Graful G2 are 3 componente conexe.