Grundlagen der Datenbanksysteme II - B-Bäume · B-Bäume 1 Grundlagen der Datenbanksysteme II B*-BÄUME Beobachtung: • Ein Index ist seinerseits wieder nichts anderes als eine

B*-Bäume 1

Grundlagen der Datenbanksysteme II

B*-BÄUME

Beobachtung:

• Ein Index ist seinerseits wieder nichts anderes als eine Datei

mit unpinned Records.

• Es gibt keinen Grund, warum man nicht einen Index über

einem Index haben sollte, und so weiter, bis der letzte Index

in einen einzigen Block paßt.

• Eine solche Hierarchie von Indizes (Multi-Level-Index) kann

weitaus effektiver sein als ein einziger Index.

• Eine Multi-Level-Index Hierarchie kann als ein Baum

betrachtet werden.

• Beispiel: Jeder Index-Block kann fünf Einträge enthalten.

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First level index

Second level index

Third level index

File

2 21

2

2 8 14

21

2 ... 7 ... 8 ... 11 ... 14 ... 19 ... 21 ... 22 ...

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Anforderungen an einen Multi-Level-Index:

• Baum von Indizes mit einer unspezifizierten Anzahl von

Ebenen.

• Balancierter Baum:

Jeder Pfad von der Wurzel ( erste Index-Ebene ) zu

einem Blatt hat die gleiche Länge.

• Die Sätze der Hauptdatei sind unpinned.

B*-Baum

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Definition:

Ein B*-Baum ist ein Baum, dessen Knoten aus Blöcken

bestehen, mit den folgenden Eigenschaften:

• Jeder Blattknoten (außer der Wurzel) enthält zwischen k* und

2k*-1 sortierte Datensätze.

Jeder Block ist also mindestens zur Hälfte gefüllt.

• Jeder Nichtblattknoten mit Ausnahme der Wurzel enthält

zwischen k und 2k-1 Indexeinträge.

Der erste Eintrag jedes Knotens hat keinen zugeordneten

Schlüssel (dies spart Platz).

• Die Wurzel enthält maximal 2k-1 Indexeinträge oder maximal

2k*-1 Datensätze.

• Alle Blätter liegen auf gleicher Höhe.

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Eine Variante des B*-Baum ist es, die Blöcke der Hauptdatei zu

den Blättern des Baumes zu machen.

Dieser sehr einfache Ansatz ist allerdings nicht der Effizienteste

(insbesondere im Platzverbrauch).

Ein besserer Ansatz wird beim Betrachten von B*-Bäumen

mit pinned Records aufgezeigt.

B*-Bäume 6


Lookup

Gesucht wird ein Satz mit dem Schlüssel v.

Die Suche beginnt an der Wurzel des B*-Baumes.

Angenommen die Suche ist am Knoten B angekommen, dann

ist B entweder

• Ein Blatt (dies kann durch Zählen der durchlaufenen Ebenen

feststellen), oder

• Ein Knoten.

Wenn B ein Blatt ist, muß lediglich der Block nach dem Satz

durchsucht werden.

Ist B hingegen ein Knoten, dann ist B ein Index-Block.

B*-Bäume 7


Ist B ein Index-Block, wird festgestellt, welcher Indexeintrag den

Wert v überdeckt.

Anmerkung: Der erste Satz von B hat keinen Schlüssel, er

überdeckt alle Werte die kleiner sind als der Schlüsselwert des

zweiten Satzes.

25 144

Erster Satz(ohne Schlüssel)

Alle Wertekleiner als 25

Erster Satz(ohne Schlüssel)

Alle Werte xmit x ≥ 144

Alle Werte xmit 25 ≤ x < 144

Der Satz, der v überdeckt, enthält einen Zeiger zu einem

weiteren Block B’ dieser Block folgt dem Block B auf dem Pfad

zu dem gesuchten Satz.

Diese Schritte werde wiederholt bis ein Blatt erreicht wird.

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Modifikation

• Wenn der Schlüsselwert geändert wird,

Löschen und Einfügen.

• Wenn der Schlüsselwert unverändert bleibt,

Lookup und Rewrite.

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Einfügen

Es wird ein Satz mit dem Schlüssel v eingefügt.

• Lookup (v)

Block B.

• Wenn in B weniger als 2k*-1 Sätze sind, wird der neue

Satz an der richtigen Stelle der Sortierreihenfolge

eingefügt (unpinned Records).

• Der neue Satz kann niemals der erste in Block B sein,

außer wenn B der äußerst linke Block ist.

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Hauptdatei

Daraus folgt, daß es unter keinen Umständen nötig wird, den

Schlüsselwert eines Vorfahren von B zu ändern, denn der erste

Satz jedes Indexblocks hat keinen Indexwert.

B*-Bäume 11


• Wenn aber in bereits 2k*-1 Sätze in Block B vorhanden sind

(der Block ist also voll), dann

• erzeuge einen neuen Block B’,

• teile die Sätze von B und den eingefügten Satz auf die

zwei Blöcke auf. Jeder Block ist danach mit k* Sätzen

gefüllt.

2k*-1 Sätze +1 Satz = 2k*

k* Sätze k* Sätze

B

B B’

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Jetzt muß noch der Index auf den neuen Stand gebracht

werden:

P sei der Vaterknoten von B. Dann wird in den Block P ein Satz

für den neuen Block B’ eingefügt, dies geschieht mit dem eben

beschriebenen Verfahren nur mit dem Wert k statt k*.

P

B

P

B B’

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Falls P schon mit 2k-1 Sätzen gefüllt war:

P

B B’

P’

Q

k Sätze

B*-Bäume 14


Diese Prozeß kann bis in die Wurzel propagiert werden, wobei

aber nur Vorfahren von B betroffen sind.

Falls der Prozeß die Wurzel erreicht, dann

• teile die Wurzel,

• Erzeuge eine neue Wurzel mit zwei Kindern.

v

Die neueWurzel

Die alte Wurzel

Anmerkung:

Dies ist die einzige Situation in der ein Index-Block weniger als

k Sätze haben kann.

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Löschen

Der Satz mit dem Schlüssel v soll gelöscht werden.

• Lookup v

Block B.

• Lösche den Satz in B.

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1. Falls nach dem Löschen in B k* oder mehr Sätze übrig sind,

ist der Vorgang beendet, es sei denn:

• Der gelöschte Satz war der erste Satz in B, dann muß

im Vater P von B der Schlüsselwert für B geändert

werden.

P

B

25

25 36 42

P

B

36

36 42

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• Falls B das erste Kind von P ist, hat P keinen Schlüssel

für B. Dann muß ein Vorfahre A von B gefunden werden

für den gilt, daß er nicht das erste Kind seines

Vaterknotens A’ ist.

Dann wird der neue (kleinste) Schlüssel von B in den

Satz von A’ eingetragen, der auf A verweist.

P = A

B

25 36 42

A’25

36

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2. Falls nach dem Löschen in B nur noch k*-1 Sätze übrig

sind, dann:

• Betrachte einen Block B’ der den selben Vaterknoten

P hat und der unmittelbar links oder rechts von B liegt.

P

B B’B’

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• Falls B’ mehr als k* Sätze hat, verteile die Sätze von B

und B’ gleichmäßig auf beide Blöcke.

Modifiziere den Schlüsselwert von B und/oder B’ und,

falls nötig, propagiere die Änderungen zu den Vorfahren

von B.

B B’

k*-1 > k*

B B’

k*1 k*2

k*1 ≥ k* k*2 ≥ k*

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• Falls B’ nur k* Sätze hat, dann vereinige B mit B’ zu

einem Block mit k*-1 + k* = 2k*-1 Sätzen.

Lösche den Eintrag des rechten der beiden Blöcke

(rekursiver Aufruf der Löschprozedur).

B B’

k*-1 ≤ k*

P

B

≤ 2k*-1

P

B*-Bäume 21


• Falls nach Anwendung dieses Verfahrens die Wurzel nur

noch einen Zeiger enthält, kann die Wurzel wegfallen

und das einzige Kind der Wurzel wird zur neuen Wurzel.

≤ 2k-1

Wurzel

B’≤ 2k-1

B’

Neue Wurzel

Anmerkung:

Dies ist der einzige Fall in dem die Anzahl der Ebenen des

Baumes kleiner wird.

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Beispiel:

Auf dem folgenden, bereits vorhandenen B*-Baum sollen zwei

Operationen durchgeführt werden:

1. Einfügen eines Satzes mit Schlüsselwert 32

2. Löschen des Satzes mit dem Schlüsselwert 64

B1 25 144

B4 196 – B3 64 100 B2 9 –

1 4 – 9 16 – 25 36 49 64 81 – 100 121 – 144 169 – 196 225 256

B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11

First record, key value omitted Second record Third record

B*-Bäume 23


1. Einfügen von 32

• Zuerst wird ein Pfad von der Wurzel zu dem Block, in

den der Wert 32 gehört, gesucht.

• B1 : Der Wert 25 überdeckt 32. Wir gehen also weiter zu

Block B3.

25 144

B3 B4B2

B1

• B3 : 32 ist kleiner als der Schlüsselwert 64 der zweiten

Satzes von B3, daher wird em Zeiger des ersten Satzes

zu Block B7 gefolgt.

64 100

B8 B9B7

B3

B*-Bäume 24


• B7 : Der Block B7 ist ein Blatt und daher ein Block der

Hauptdatei. Der Wert 32 gehört hier zwischen die Werte

25 und 36.

25 49

B7

36

32

• Der Block B7 ist allerdings bereits voll, daher wird ein

neuer Block B12 angelegt. Die Werte 25 und 32 kommen

dann in Block B7 und die Werte 36 und 49 in Block B12.

25

B7

32 36 49

B12

B*-Bäume 25


• Nun muß ein Satz mit dem ersten Schlüssel von Block

B12 in B3 (der Vorfahre von B7) eingefügt werden.

Der Block B3 ist aber auch schon voll, daher wird ein

weiterer Block (B13) angelegt. Die Sätze mit den Zeigern

auf B7 und B12 kommen in Block B3 und die Sätze mit

Zeigern auf B8 und B9 kommen in Block B13.

36

B12B7

B3

100

B9B8

B13

• Jetzt muß ein Satz mit dem Schlüsselwert 64 und einem

Zeiger auf B13 in B1 eingefügt werden. Leider bekommt

B1 dadurch 4 Sätze. Deshalb wird ein neuer Block B14

angelegt. Die Sätze mit Zeigern auf B2 und B3 kommen

in Block B1 und die Sätze mit Zeigern auf B13 und B4

kommen in Block B14.

25

B3B2

B1

144

B4B13

B14

B*-Bäume 26


• Da B1 die Wurzel war und gesplittet wurde, wird jetzt ein

neuer Block B15 erzeugt, der zur Wurzel wird und Zeiger

auf B1 und B14 hat.

Der endgültige Baum sieht dann wie folgt aus:

1 4 – 9 16 – 25 32 – 36 49 – 64 81 – 100 121 – 144 169 – 196 225 256

B5 B6 B7 B12 B8 B9 B10 B11

B15 64 –

B13 100 – B3 36 – B2 9 –

B14 144 – B1 25 –

B4 196 –

B*-Bäume 27


2. Löschen von 64.

• Durch suchen (lookup) findet man heraus, daß der Pfad

zu dem Block der den Wert 64 enthält wie folgt ist:

B15, B14, B13, B8

• Der Wert 64 wird aus dem Block B8 gelöscht.

64

B8

81 81

B8

• Da es der erste Satz in dem Block war, muß auch der

neue Schlüsselwert (81) in der Hierarchie nach oben

propagiert werden.

• Da B8 das links-außen liegende Kind von B13 ist, wird B13

nicht geändert, das gleiche gilt für B14 da für B14 der

Block B13 das links-außen liegende Kind ist.

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• B14 ist allerdings nicht links-außen in B15 verankert,

daher muß ein Schlüsselwert von B15 geändert werden.

64

B14B1

B15

81

B14B1

B15

• Durch das löschen von 64 in Block B8 hat dieser nur

noch einen einzigen Satz. Dies widerspricht der

Vorschrift, daß jeder Block mindestens k, also in diesem

Fall 2, Sätze haben muß.

Da B8 keinen linken Geschwister hat, wird sein rechter

Geschwister B9 überprüft. B9 hat zwei Sätze, B8 und B9

können also zusammengefaßt werden.

81

B8

100

B9

121 81

B8

100 121

B*-Bäume 29


• B13 hat jetzt nur noch das eine Kind B8. B13 wird deshalb

mit B4 zusammengefaßt:

B8

B13

196

B11B10

B4

144

B10 B8

B13

196

B11

• Jetzt hat auch B14 nur noch ein Kind und wird mit B1

zusammengefaßt:

25

B2

B1

B3 B13

B14

25

B3B2

B14

81

B13

B*-Bäume 30


• Block B15 hat jetzt nur noch ein Kind und, da er die

Wurzel ist, wird er gelöscht. B14 wird zur neuen Wurzel:

B14 25 81

B13 144 196 B3 36 – B2 9 –

1 4 – 9 16 – 25 32 – 36 49 – 81 100 121 144 169 – 196 225 256

B5 B6 B7 B12 B8 B10 B11

B*-Bäume 31


Leerer B*-Baum:

k = k* = 2

Einfügen der Werte

2, 5, 8, 9, 3, 11, 50

⇓

Aufbauen des B*-Baumes.

Ändern des Schlüsselwertes 50 nach 7.

50 7

B*-Bäume 32


LAUFZEITANALYSE FÜR OPERATIONEN

AUF B*-BÄUMEN

Annahme:

gegeben ist eine Datei mit n Sätzen, die in einem B*-Baum mit

den Parametern k und k * organisiert ist.

• Der Baum wird nicht mehr als

nk * Blätter haben.

• Der Baum wird nicht mehr als

nk k⋅ * Eltern von Blättern haben.

• Des weiteren kann er nicht mehr als

nk k2 ⋅ *

Eltern von Eltern von Blättern haben.

• und so weiter ...

B*-Bäume 33


Wenn ein Pfad von der Wurzel zu den Blätter i Knoten hat,

dann gilt:

n k ki≥ ⋅−1 *

Es folgt hieraus:

i n kk≤ +1 log ( *)

Für eine Datei mit n Sätzen in einem B*-Baum mit den

Parametern k und k* folgt daher:

Für einen lookup benötigt man

i n kk≤ +1 log ( *) Zugriffe,

für alle anderen Operationen

2 + log ( *)k n k Zugriffe.

B*-Bäume 34


Beispiel:

nkk

==

=

1000 0005

50

. .*

⇓

( )2 200 000 650+ ≤log .

Für eine hashed Datei wären es ≅ 3 Zugriffe gewesen.

Der B*-Baum ist also besser als eine Ein-Level Index

Struktur.

Der Vorteil gegenüber Hashing ist, daß die

Datei immer sortiert vorliegt.

B*-Bäume 35


DATEIEN MIT EINEM

DENSE INDEX

Wenn die Hauptdatei nicht sortiert vorliegen muß, dann

• kann man teilgefüllte Blöcke in der Hauptdatei

vermeiden.

• kann man eine einfache Einfüge-Strategie anwenden:

immer am Ende einfügen.

Für die dann beim Löschen auftretenden „Löcher“ in der

Hauptdatei kann man zwei Strategien wählen:

• Man ignoriert die Tatsache und lebt mit den Löchern,

oder

B*-Bäume 36


• Man hält eine separate Datei mit Zeigern auf die Blöcke

mit leeren Subblöcken, oder sogar direkt auf die leeren

Subblöcke:

Dadurch werden aber keine Blockzugriffe eingespart, es

wird nur der freie Platz besser verwaltet.

B*-Bäume 37


Wenn die Hauptdatei unsortiert vorliegt,

• wie findet man einen Satz?

Dense Index

Ein Dense Index ist eine Datei mit einem Satz der Form

(v,p) für jeden Schlüsselwert v in der Hauptdatei.

Ein Dense Index kann bei den bisher besprochenen

Verfahren anstelle der Hauptdatei verwendet werden.

Der Dense Index kann also als

• Hash-Datei

• Index

• B*-Baum

organisiert sein.

B*-Bäume 38


Suchen (Lookup)

V1 V2 V3 V4 V5V0

V1 V3 V2 V5V4V0

• Bestimmen des Blockes der Hauptdatei.

• Lesen des Blocks.

• evtl. Ändern/Zurückschreiben des Blocks.

Modifikation

B*-Bäume 39


Löschen

• Löschen des Blockeintrages.

• Zurückschreiben des Blocks.

• Löschen des Indexeintrags.

B*-Bäume 40


Einfügen

• Einfügen eines Satzes am Ende der Hauptdatei (evtl. In

einem neuen Block).

• Einfügen eines entsprechenden Eintrags im Index.

Anmerkung: Durch die zusätzlichen Zugriffe auf die

Hauptdatei werden immer 2 Zugriffe mehr benötigt als

wenn die Organisation des Dense Index direkt auf die

Hauptdatei angewendet würde.

B*-Bäume 41


Wozu Dense Index?

Wenn jede Operation über den Dense Index grundsätzlich 2

Zugriffe mehr benötigt als ohne Dense Index, muß der Einsatz

eines Dense Index begründet werden.

DenseIndex

Haupt-datei

B*-Bäume 42


Gründe für einen Dense Index:

1. Die Sätze in der Hauptdatei sind evtl. pinned, Die Sätze

im Dense Index hingegen nicht.

Es kann eine einfachere oder effizientere

Organisationsform für den Dense Index gewählt

werden.

B*-Bäume 43


Hauptdatei

pinned Recordsunsortiert

Dense Index

unpinned Recordssortiert

B*-Bäume 44


B*-Baum

B*-Bäume 45


Hash

B*-Bäume 46


SparseIndex

B*-Bäume 47


2. Falls die Sätze der Hauptdatei sehr groß sind, wird die

Anzahl der Blocks, die für einen Dense Index benötigt

werden, viel kleiner sein, als wenn ein Sparse Index oder ein

B*-Baum auf der Hauptdatei anwendet würde.

Gleiches gilt für einen Zugriff per Hashing, auch hier kann die

durchschnittliche Anzahl der Blocks pro Bucket geringer

ausfallen, wenn über den Dense Index statt über der

Hauptdatei gehashed wird.

n Blocks B*-Baum oderSparse Indexüber derHauptdatei

m Blocks

n ≤ m

B*-Bäume 48


B*-Baum vs. Dense Index mit B*-Baum

Hauptdatei Dense Index

Hauptdatei

+2: Block lesen;Block schreiben.

Beispiel:

Hauptdatei mit

n = 1.000.000 Sätzen

B*-Baum mit

k* = 5

k = 50

B*-Bäume 49


B*-Baum über der Hauptdatei:

( )22 200 000 650

+ =+ ≤

log ( / *)log .

k n k

B*-Baum über Dense Index:

• Größe der Dense Index Record = Größe der Knoten des B*-

Baumes. k* = 50

2

2 1000 00050

550

+ =

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤

log ( / *)

log . .k n k

Es müssen hierzu noch die 2 Zusätzlichen Zugriffe auf die

Hauptdatei hinzugezählt werden:

2+5 = 7

Es werden mehr Zugriffe benötigt als für einen B*-Baum über

der Hauptdatei.

Aber ...

B*-Bäume 50


Kompensations Faktoren

Es gibt zwei Faktoren die den Nachteil der zusätzlichen Zugriffe

kompensieren:

1. Platzersparnis

Die Blöcke der Hauptdatei können jetzt immer dicht gepackt

werden. In einer B*-Baum Organisation wären sie dagegen

zwischen halb und ganz gefüllt. Platzersparnis 25% bei der

Hauptdatei.

Der Platz der für die Blätter des B*-Baumes beim Dense

Index benötigt wird ist ca. 10% des Platzes der Hauptdatei.

Die reale Ersparnis beträgt also ca. 25% - 10% = 15%

B*-Bäume 51


2. Falls die Sätze der Hauptdatei pinned down sind, kann die

Organisationsform B*-Baum nicht benutzt werden.

Dies kann durch benutzen eines Dense Index gelöst

werden.

Dense Index

Hauptdatei

unpinned

pinned

B*-Bäume 52


Methoden zum Unpinning von Sätzen

Eine andere Verwendung des Dense Index ist es, die Sätze der

Hauptdatei unpinned zu machen.

r

P

Dense Index

Hauptdatei

1:1

i

( - ) Es muß 2 Zeigern zum Satz r gefolgt werden.

( + ) Sätze der Hauptdatei sind nicht pinned.

( - ) Sätze des Dense Index sind pinned.

( + ) Beim Verschieben eines Satzes in der Hauptdatei muß nur

ein Zeiger verändert werden.

B*-Bäume 53


Alternative Methoden zum Unpinnen von Sätzen

• Kein Dense Index für die Hauptdatei, sondern Zeiger in

jedem Blockheader auf die Sätze in dem Block.

r

Header Block

Alle Zeiger auf den Satz r zeigen nun auf den Block, der r

enthält.

• Sätze können nicht zwischen Blocks ausgetauscht werden.

• Sätze sind innerhalb eines Blocks unpinned und daher frei

beweglich.

B*-Bäume 54


Kosten des Verfahrens:

• Der Platz, der für die Zeiger im Blockheader verbraucht wird.

• Die Zeit, die benötigt wird dem zusätzlichen Zeiger innerhalb

des Blocks zu folgen ist nicht relevant, da kein weiterer

Blockzugriff erforderlich wird.

• System R benutzt dieses Verfahren für Sätze mit variabler

Länge.

• Eine Generalisierung des Verfahrens ist es auf das Bucket

eines Satzes zu zeigen statt auf den Satz direkt. (Hashing)

B*-Bäume 55


Eine weitere Möglichkeit ist es,

• die Schlüsselwerte anstelle von Zeigern als Referenz zu

benutzen.

r v

v Dense Index

IBM nutzt dieses Verfahren bei der IMS-Datenbank.

( + ) Dense Index und Haupdatei sind unpinned.

( - ) Um einer Referenz zu folgen muß nach dem Schlüsselwert

gesucht werden.

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