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Modelle/Grundvorstellungen fur die Multiplikation Modelle/Grundvorstellungen fur die Division

Grundvorstellungen zuMultiplikation und Division

Dr. Elke Warmuth

Wintersemester 2017/18

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Modell Mengenvereinigung

Quelle: Zahlenbuch 2, S. 64

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Multiplikation als wiederholte Addition gleicher Summanden:

zeitlich nacheinander/dynamisch: Greife zweimal in den Schrankund nimm jedes Mal funf Teller:

2 · 5 = 5 + 5 = 10.

Das ergibt insgesamt 10 Teller.

raumlich simultan/statisch: Das Gewurzregal hat 3 Reihen, injeder Reihe stehen 6 Gewurzdosen:

3 · 6 = 6 + 6 + 6 = 18.

Das ergibt insgesamt 18 Gewurzdosen.

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I Vorteil: intuitive Vorstellungen werden in vertrautenSituationen aufgegriffen

I Nachteile:

1. Aus der Situation erschließt sich die Kommutativitat derMultiplikation nicht von selbst. Bei der Auffassung von 3 · 6 als6 + 6 + 6 haben die beiden Faktoren 3 und 6 unterschiedlicheBedeutung: 3 ist der Multiplikator, 6 der Multiplikand.

2. Multiplikation erscheint nur als verkurzende Schreibweise undnicht als eigenstandige Rechenoperation.

Dennoch ist es die ubliche Herangehensweise.

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Nachteil 1 wird durch (schnellen) Ubergang zu Punktmustern ge-mildert.

Quelle: https://kira.dzlm.de/arithmetik-bis-zum-2-schuljahr/

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https://kira.dzlm.de/arithmetik-bis-zum-2-schuljahr/




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Quelle: Zahlenbuch 2, S. 65 7 / 29



zum mundlichen und halbschriftlichen Rechnen:

”Wir wollen kein Normalverfahren den Kindern aufnoti-

gen. Nicht darauf kommt es an, dass das Kind einen be-stimmten Weg mit Sicherheit gehen lernt – das strebenwir an bei der Gewohnung der Pferde –, sondern dass esseinen Weg allein zu suchen und zu finden weiß.“

Quelle: J. Kuhnel: Neubau des Rechenunterrichts, 10. Aufl. Bad Heilbrunn: Klinkhardt, 1959.

I Verschiedene Wege der Kinder sind Anlass zurKommunikation.

I Kinder begrunden ihren Weg.

I Nicht jeder Weg ist gut fur jede Aufgabe.

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Beispiel fur schriftlich-reflektierendes Mathematiklernen:

Quelle: P. Gallin, U. Ruf: Sprache und Mathematik. 1. bis 3. Schuljahr. Zurich: Lehrmittelverlag des Kantons

Zurich, 1995

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Quelle: P. Gallin, U. Ruf: Sprache und Mathematik. 1. bis 3. Schuljahr. Zurich: Lehrmittelverlag des Kantons

Zurich, 1995 11 / 29



Videos aushttps://kira.dzlm.de/arithmetik-bis-zum-2-schuljahr/multiplikation-und-division-lernstaende-und-entwicklungen

4. Lernentwicklungen

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Modell Kartesisches Produkt

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nicht als Einfuhrung, aber spater:


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Operatorenmodell

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Modell Verteilen

Quelle: Matheprofis 2, S. 9017 / 29


Modell Verteilen



Modell Aufteilen



Modell Aufteilen

Quelle: Matheprofis 2, S. 91

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Modelle Aufteilen und Verteilen

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Quelle: https://www.rinkens-hd.de/de/skripte/didaktik-arithmetik

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https://www.rinkens-hd.de/de/skripte/didaktik-arithmetik



Videos aus https://kira.dzlm.de/node/190

I Yazid – Elternabend

I Yucel – Kartenspiel

I Stelian – Elternabend

Die Modelle Verteilen und Aufteilen sind kein Lehrstoff!

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Videos aus https://kira.dzlm.de/node/190

I Stelian - Sportfest

Zahlenwerte suggerieren Verteilansatz. Umdeutung auf den Sach-verhalt gelingt nicht.

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Modelle Subtraktion und Umkehroperation

Subtraktion Beispiel:12 Quadrate werden in Zweierreihen aufgeteilt:

12− 2− 2− 2− 2− 2− 2 = 0⇒ 12 : 2 = 6

Es ergibt 6 Zweierreihen.

Umkehroperation Beispiel:Mit 20 : 5 bezeichnen wir die Zahl, die mit 5multipliziert 20 ergibt.

20 : 5 = x ⇒ x · 5 = 20

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Missverstandnisse:

Lina wurde zu Beginn des 3. Schuljahrs die kontextfrei dargebote-ne Aufgabe 60:4 gestellt. Ihr Losungsansatz bestand zunachst dar-in, die Zahl zu suchen, deren Vierfaches 60 ergibt: Sie begann mit20, probierte es dann mit 18 und 21 und versuchte es anschließendmit 16. An dieser Stelle setzt der folgende Gesprachsausschnittein.

L: Ahm, 16 mal ... ah, 16 mal 4 ist ... 4 Zehner sind erst malwieder 40, dann 46 und plus 4 ... 50 ... 52 plus 6 sind 58 ...passt auch nicht.I: Wieso hast du gerade plus 6 gesagt?L: Was, wo?I: Du hast gerade plus 6 gesagt. 52 plus 6 sind 58.L: Ja.I: Wieso 6?

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L: Weil ich da noch einmal ... ich hatte ja 16 mal 4 gerech-net. Da muss ich noch eine 6 dazurechnen. Weil ich erst dieganzen vier Zehner gemacht habe und denn die Sechser.I: Aber wenn du 16 mal 4 rechnest, sind es ja nicht 4 Sech-ser, sondern 6 Vierer, ne, die du dazurechnen musst. Aber duweißt ja, dass zehnmal 4 vierzig ist, hast du eben gesagt, ne?L: Ja.I: Und wievielmal 4 sind 20? (Lina uberlegt, lacht) Hilft dirdas vielleicht?L: Wievielmal 4 Zehner oder ... ?I: Zehnmal 4 sind 40.L: Ja.I: Und wie viel fehlen dann noch bis 60?L: 20.I: Und wievielmal 4 sind 20?

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L: Was? Wievielmal 4 sind 20? (leise) 8 ... 12 ... 16 ... 20.(laut) Ah, jetzt hab ich nicht mitgezahlt, ich Doofi, ahm, maleben zahlen. Also 4, 8, 12, 16, 20 (zahlt mit den Fingern dieeinzelnen Vierer mit) ... 5.I: Hm, und wenn du jetzt weißt, dass zehnmal 4 vierzig sindund funfmal 4 zwanzig ist?L: (nach 24 Sekunden, unsicher) 5? Nee ... oder doch ... (nach25 Sekunden)I: Die 4 passt zehnmal in die 40 und funfmal in die 20. Und 40und 20 ist ja 60. Wie oft passt sie dann in die 60?L: Die 4 ...I: Wenn sie zehnmal in die 40 passt und dann noch funfmaldazu...L: 15.I: 15, ne.L: Hm.

Quelle: C. Selter, H. Spiegel: Wie Kinder rechnen. Leipzig: Klett, 1997. 28 / 29



Aufgabe Wieso (und an welchen Stellen) reden Lina und dieInterviewerin aneinander vorbei? Welchen Rechenwegschlagt Lina ein? Welchen die Interviewerin?

I Lina verteilt die 60 an vier gleich große Teilmengen.

4 · x = 60

Sie lost die Aufgabe durch Probieren und pruft mit Hilfe derUmkehroperation.

I Die Interviewerin denkt, dass Lina herausfinden will, wie oftdie 4 in die 60 passt.

x · 4 = 60

Sie interpretiert also die Divisionsaufgabe als Aufteilen.

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