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MATEMÁTICAS
1 G.F.S.
Guía de cálculo Integral
Periodo
Agosto-Diciembre Maestro: Gabriel Flores Sánchez
Agosto diciembre 2019
MATEMÁTICAS
2 G.F.S.
ETAPA DE APERTURA Actividad 1 ETAPA DE APERTURA (reactivación de conocimientos previos) Se pretende que en esta etapa de la secuencia, y a través de la estrategia: ejercicio vivencial, el alumno identifique y describa las experiencias y conocimientos previos, mediante: Actividad 1. Identifique y describa las experiencias y conocimientos previos, mediante: Observa el video “Aplicación del cálculo integral”: https://www.youtube.com/watch?v=EuYmvzk5KM8
Con la información obtenida y con tu experiencia, participa respondiendo a la siguiente interrogante ¿Dónde aplicarías el cálculo integral?
_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________
Posteriormente, observa los videos para realizar las actividades que se te presentan.
Representación de gráficas en el plano cartesiano: https://www.youtube.com/watch?v=ebt9U93cvFM
Encontrar la función a partir de un gráfico: https://www.youtube.com/watch?v=mztUcquiy7U
Tomando en cuenta los conceptos de intervalo, incremento de una variable y de una función, la gráfica de una función, determine el área de figuras regulares, que se forman en un sistema cartesiano; rectángulos,
triángulos y trapecios. Concepto de intervalo: Concepto de intervalo:
https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/1BachCT/Intervalos,%20semirrectas,%20entornos%20y%20valor%20absoluto.pdf Concepto de incremento: https://www.youtube.com/watch?v=Nj7QkUefkLs
https://www.youtube.com/watch?v=O0giVeq3DgA
MATEMÁTICAS
3 G.F.S.
Gráfica de una función: https://www.youtube.com/watch?time_continue=11&v=PY3hri_MWfg
https://www.mathe-fa.de/es#result
ETAPA DE DESARROLLO APROXIMACIONES Actividad 2 Por lo general, estamos familiarizados con las fórmulas que nos proporcionan las áreas de figuras Geométricas como triángulos, rectángulos y circunferencias. A continuación, su representación gráfica:
Pero cuando el área es una región limitada en su parte superior por la gráfica de una función continua y positiva, en su parte inferior por el eje x, a la izquierda por la recta x = a y a la derecha por la recta x = b el problema es el siguiente: ¿cómo aproximar numéricamente el valor que represente el área A.
Antes de que pases a la lectura teórica del cálculo aproximado del área, te invito a que analices los siguientes videos:
Cálculo aproximado del área por defecto
(alturas por la izquierda). https://www.youtube.com/watch?v=mVXIysQc4nU
MATEMÁTICAS
4 G.F.S.
Cálculo aproximado del área por defecto y por exceso (alturas por la izquierda y por la derecha). https://www.youtube.com/watch?v=U-N_9I-Wb9Q
En cada una de las figuras sugeridas enseguida, intenta estimar el área A debajo de la parábola y= x2, desde x = O hasta x = 1, sumando las áreas de los rectángulos dibujados.
Por ejemplo
MATEMÁTICAS
5 G.F.S.
¿Qué nos enseña el ejercicio anterior? El cálculo del experimento anterior debió haberte quedado de la siguiente manera:
Es evidente que el área debajo de la curva es mayor que A1 y menor que A2 es decir:
0.21875 < A < 0.46875
Cuando aumentamos el número de franjas obtenemos mejores estimaciones tanto con los rectángulos por debajo de la curva como con los rectángulos por encima de ella.
0.273475 < A < 0.398437 5
En particular, al usar 50 franjas, el área se encuentra entre 0.3234 y 0.3434. Con 1,000 franjas se halla entre 0.3328335 y 0.3338335. Al promediar estos números se obtiene que A "'0.3333335. Se puede demostrar que a medida que el número de franjas n crece indefinidamente, las sumas inferiores y superiores tienden a 1/3 como límite; es decir,
MATEMÁTICAS
6 G.F.S.
MÉTODO DE LOS TRAPECIOS El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente a partir de la figura mostrada. Lo importante es recordar la formación de un trapecio como figura geométrica. https://www.youtube.com/watch?v=w7pkzRcWLm0
Eligiendo un espaciado, cualquiera, para nuestro caso:
Se divide el intervalo [a, b] por medio de puntos igualmente espaciados
Tenemos que, las ordenadas de dichos puntos son
En cada intervalo (x i , x i+1 ) se sustituye la función f(x) por la recta que une los puntos (x i , y i ) y (x i+1 , y i+1 ) tal como se aprecia en la figura. La parte sombreada, un trapecio, se toma como el área aproximada, su valor se puede calcular fácilmente
El área total aproximada es la suma de las áreas de los n pequeños trapecios de anchura h
MATEMÁTICAS
7 G.F.S.
O bien, agrupando términos
Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos, menor será h , y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el computador maneja números de precisión limitada.
CÁLCULO DE ÁREA POR APROXIMACIÓN
Arquímedes calculó el área de un círculo por medio de aproximaciones sucesivas, inscribió rectángulos dentro del círculo, calculó el área de cada rectángulo y sumó todas éstas. Después construyó rectángulos más estrechos de modo que la suma de las áreas de los rectángulos se aproximaba cada vez más al área del círculo. Para una función, la idea intuitiva de continuidad es que la curva que represente a la gráfica debe dibujarse con un trazo continuo, o sea, que no tenga saltos. Por ejemplo: sea A el área de una
región limitada por el eje “x” y la gráfica de una función no negativa y = f(x), la cual está definida en
un cierto intervalo cerrado a, b, como se observa en la siguiente figura.
El cálculo del área A se lleva a cabo dividiendo dicha área en un determinado número de
rectángulos, es decir, en “n” rectángulos sobre el intervalo a, b.
Lo anterior se representa en la gráfica siguiente:
MATEMÁTICAS
8 G.F.S.
La gráfica anterior representa las áreas de los rectángulos, la cual es una aproximación al área real. Generalmente dichas áreas se representan en unidades cuadradas (u
2).
Como podrás observar, la suma de todas las áreas de los rectángulos son una aproximación
al área bajo la curva, esta área se representa con la siguiente definición, donde el símbolo
(sigma) indica una suma.
Por lo tanto. Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado a, b y f(x) 0, para toda “x” en
el intervalo a, b. Se define el área bajo la gráfica en el intervalo como:
n
k
kk xxfA1
* )( I.1
De la fórmula anterior,*
kx , kx y )( *
kxf , se representan en la siguiente gráfica.
Donde *
kx representa el punto que será evaluado por la función y )( *
kxf representa la altura del
rectángulo, el valor x representa la base de cada rectángulo.
A partir de la gráfica, se tienen las siguientes condiciones:
Al dividir el área en “n” rectángulos, el lado derecho de cada uno éstos, está representado por *
kx .
La amplitud (base del rectángulo) en cada uno de ellos es igual a x .
La altura del rectángulo construido bajo la curva se representa por: )( *
kxf .
Para utilizar la fórmula de la definición 1.1, es conveniente realizar los siguientes pasos:
Paso 1: Divide el intervalo a, b en “n” subintervalos, esto es:
n
abx
Paso 2: Haz que los *
kx sean los lados derecho de cada subintervalo. Si x0 = a, entonces para
efectuar los cálculos se utiliza la siguiente fórmula:
MATEMÁTICAS
9 G.F.S.
n
abaxxx 110
*
1
n
abaxxx 220
*
2
n
abaxxx 330
*
3
n
abkaxkxxk 0
*
baban
abnaxnxxn
0
*
Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar correctamente las
operaciones. Por otra parte el ultimo valor de *
kx depende del valor de “n”, por ejemplo si n = 4,
entonces *
kx debe calcularse hasta n-1, en esta caso *
3x .
Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos )( *
kxf , se sustituyen los valores de ,, *
2
*
1 xx
...*
1kx en la función.
Las condiciones anteriores no siempre se satisfacen en la solución de problemas. Por esto es necesario generalizar los conceptos a los siguientes casos:
La función puede ser discontinua en algunos puntos de a, b.
f(x) puede ser negativo para alguna “x” en el intervalo a, b.
Las longitudes de los subintervalos k1 , xxk pueden ser diferentes entre sí.
El número kw puede ser cualquier número en k1 , xxk .
Se debe tomar en cuenta que un área es positiva si está por arriba del eje x y se le asigna un signo menos a las áreas que están por debajo del eje x.
Analiza el procedimiento con el cual se resuelven los siguientes ejemplos.
Sea la función f(x) = 4 – x2 en el intervalo cerrado -1, 2, con n =4.
Paso 1: Se gráfica la función y se divide el intervalo -1, 2 en 4 subintervalos.
MATEMÁTICAS
10 G.F.S.
y
n
abx
4
3
4
12
4
)1(2
x
4
3x
Paso 2: Al sustituir los datos, se obtienen los siguientes resultados:
4
1
4
31
4
311110
*
1
n
abaxxx
Recuerda que el valor de x0 = a = -1
2
1
4
61
4
321220
*
2
n
abaxxx
4
5
4
91
4
331330
*
3
n
abaxxx
Es importante revisar la sustitución de los valores, así como sus signos y realizar correctamente las
operaciones. Por otra parte, el ultimo valor de *
kx depende del valor de “n”, en este caso n = 4,
entonces *
kx debe calcularse hasta el valor de n-1, en este ejercicio hasta *
3x .
Paso 3: Para obtener la altura de cada uno de los rectángulos )( *
kxf , se sustituyen los valores de
*
3
*
2
*
1 y x x,x en la función 24)( xxf
16
63
16
14
4
144)(
22*
1
*
1
xxf , recuerda que:
16
644
16
60
4
15
4
14
2
144)(
22*
2
*
2
xxf
-4
-2
0
2
4
-3 -2 -1 1 2 3
x
MATEMÁTICAS
11 G.F.S.
16
39
16
254
4
544)(
22*
3
*
3
xxf
Paso 4: Se sustituyen los valores en la fórmula
n
k
kk xxfA1
* )(
xxfxxfxxfA )()()( *
3
*
2
*
1
4
3
16
39
4
3
16
60
4
3
16
63A
2u 59.764
486
64
117
64
180
64
189A
Por lo tanto el valor del área es: A = 7.59 u
2.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 7.
I. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos, y contesta lo que se solicita en
cada uno de ellos.
1) Sea 63)( xxf en el intervalo cerrado 2, 4 con n = 4.
I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica.
2) Sea 21)( xxf en el intervalo cerrado 0, 1 con n = 4.
I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1
MATEMÁTICAS
12 G.F.S.
II.- Realiza la gráfica.
3) Sea 42)( xxf en el intervalo cerrado 0, 2 con n = 8.
I.- Calcula el área A aplicando la definición 1.1 II.- Realiza la gráfica.
MATEMÁTICAS
13 G.F.S.
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
I
2
1
4
24
4 ,2 ,4 4,2
63)(
0
n
abx
bxan
xxf
2
7
2
132
32
122
2
5
2
112
*
3
*
2
*
1
x
x
x
2
96
2
73
2
7
36)3(3)3(
2
36
2
53
2
5
f
f
f
2 2
9
4
9
2
3
4
3
2
1
2
9
2
13
2
1
2
3uA
II
Número de pregunta Respuesta correcta
2
I
-8
-6
-4
-2 0
2
4
6
-2 -1 1 2 3 4 5 x
MATEMÁTICAS
14 G.F.S.
4
3
4
130
2
1
4
120
4
1
4
1)1(0
4
1
4
011041,01)(
*
3
*
2
*
1
0
2
x
x
x
xbxanxxf
16
25
16
91
4
31
4
3
4
5
4
11
2
11
2
1
16
17
16
11
4
11
4
1
2
2
2
f
f
f
2
32
31
64
62
64
25
16
5
64
17
4
1
16
25
4
1
4
5
4
1
16
17
uA
A
II
Número de pregunta Respuesta correcta
3
I
4
1 ,2 ,0 ,8 2,0 42)( 0 xbxanxxf
-1
0
1
2
3
-1 -0.5 0.5 1 x
y
MATEMÁTICAS
15 G.F.S.
4
7
4
170
4
6
4
160
4
5
4
150
4
4
4
140
4
3
4
130
4
2
4
120
4
1
4
110
*
7
*
6
*
5
*
4
*
3
*
2
*
1
x
x
x
x
x
x
x
4
24
4
72
4
7
4
44
4
62
4
6
4
64
4
52
4
5
4
84
4
42
4
4
4
104
4
32
4
3
4
124
4
22
4
2
4
144
4
12
4
1
f
f
f
f
f
f
f
2
2
7
16
56
16
2
16
4
16
6
16
8
16
10
16
12
16
14
4
1
4
2
4
1
4
4
4
1
4
6
4
1
4
8
4
1
4
10
4
1
4
12
4
1
4
14
uA
A
Número d pregunta Respuesta correcta
MATEMÁTICAS
16 G.F.S.
-4
-2
0
2
4
6
8
-2 -1 1 2 3 4 x
II
ETAPA DE APERTURA Se pretende que en esta etapa de la secuencia, y a través de la estrategia: ejercicio vivencial, el alumno identifique y describa las experiencias y conocimientos previos, mediante: Actividad 1. Propiedades básicas de la derivada. Observa los videos que se te presentan, la información que te proporciona te servirá para realizar la serie de ejercicios en esta sección:
Propiedades de las derivadas parte 1: https://www.youtube.com/watch?v=TbOWklS5Ur0
Propiedades de las derivadas parte 2: https://www.youtube.com/watch?v=RYVhjWF36EA
Propiedades de las derivadas parte 3: https://www.youtube.com/watch?v=yd0reFVH980
Propiedades de las derivadas parte 4: https://www.youtube.com/watch?v=I4LEMr4Z-aA
Propiedades de las derivadas parte 5: https://www.youtube.com/watch?v=iz2OWtcwZ_o&index=5&list=PLKp5UwUKreHiiqhHSFy_S5bzj2R0SfJ2P
Propiedades de las derivadas parte 6: https://www.youtube.com/watch?v=YlQu8TDaWUU&list=PLKp5UwUKreHiiqhHSFy_S5bzj2R0SfJ2P&index=6
MATEMÁTICAS
17 G.F.S.
Propiedades de las derivadas parte 7:
https://www.youtube.com/watch?v=5R9XLUj3vYw&list=PLKp5UwUKreHiiqhHSFy_S5bzj2R0SfJ2P&index=7
Propiedades de las derivadas parte 8: https://www.youtube.com/watch?v=er5xs9il-cA&index=8&list=PLKp5UwUKreHiiqhHSFy_S5bzj2R0SfJ2P
Propiedades de las derivadas parte 9: https://www.youtube.com/watch?v=qFi1WtYi0II&index=9&list=PLKp5UwUKreHiiqhHSFy_S5bzj2R0SfJ2P
Propiedades de las derivadas parte 10: https://www.youtube.com/watch?v=i1ScHTegkUI&list=PLKp5UwUKreHiiqhHSFy_S5bzj2R0SfJ2P&index=10
Propiedades de las derivadas parte 11 https://www.youtube.com/watch?v=2AuCzHeXuVg&index=11&list=PLKp5UwUKreHiiqhHSFy_S5bzj2R0SfJ2P
Derivadas de funciones trascendentes: https://www.youtube.com/watch?v=YJd3jD02LiQ
Determina la derivada de las funciones algebraicas que se indican mediante el uso de los teoremas respectivos. Esta actividad te permitirá conocer tus debilidades y fortalezas en un tema tan importante en las matemáticas que es la derivada, mismo que aplicarás en el tema de diferencial. De manea individual, deriva las siguientes funciones mediante el uso de teoremas, te puedes apoyar con tu maestro o visitar algunas página en internet.
MATEMÁTICAS
18 G.F.S.
ETAPA DE DESARROLLO Desarrollo de saberes (Conocimientos previos): Se pretende que en esta etapa de la secuencia, el facilitador, mediante la técnicas expositiva, desarrolle el nivel conceptual y estructura cognitiva en los alumnos, para resolver adecuadamente las actividades de conclusión y cierre de acuerdo a:
MATEMÁTICAS
19 G.F.S.
La diferencial
Aprendizajes
Describir gráficamente la diferencial de una función.
Calcular por aproximación el área y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos, aplicando el concepto de diferencial.
Calcular por aproximación las raíces o potencias no exactas, aplicando el concepto de diferencial.
Determinar la diferencial de una función
La diferencial de una función.
Antes de continuar con el texto te invito a ver el siguiente video con respecto a la diferencial de una
función: https://www.youtube.com/watch?v=wIPqHbsbPgw
En la práctica uno realizaste cálculos para obtener el incremento tanto del área como del perímetro de un
cuadrado, ahora se te presentará una forma más sencilla de obtenerlo utilizando la derivada de una
función, para ello se abordará el tema de “la diferencial de una función” y posteriormente se te
proporcionarán algunos ejemplos de su utilidad.
La diferencial de una función (dy) en un punto (xo, yo) es el incremento de la ordenada medido sobre la
tangente a la curva representativa en ese punto.
Si f(x) es una función que representa una medida física, su diferencial es una estimación del error
absoluto de dicha medida. El error absoluto es la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto.
La diferencia entre la diferencial de la función dy, y el incremento de la función Δy, se le conoce como el
error, el cual se visualiza en la siguiente gráfica:
MATEMÁTICAS
20 G.F.S.
Al observar la gráfica de la recta tangente trazada en el punto xo, se tiene que el ángulo de inclinación es
la razón que existe entre “dy” y “Δx”. El ángulo de inclinación de una recta equivale a la pendiente de la
recta tangente en el punto mencionado, este tema lo estudiaste en Matemáticas 3 y se expresa como
sigue:
Ahora bien si se denota a Δx como dx, se obtiene:
Despejando “dy” se logra la forma de obtener la diferencial de la función.
Anteriormente se mencionó que para resolver problemas de incrementos, como el mencionado en la
actividad 2, era más sencillo de resolverlo con la diferencial, es por ello que se retomará ese problema y
se resolverá utilizando la diferencial.
Teoremas sobre Diferenciales. Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, se acepta que a cada fórmula de derivación (vistas en la asignatura de Cálculo Diferencial), le corresponde una diferenciación que se detallará a continuación.
MATEMÁTICAS
21 G.F.S.
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO
A continuación se presentan varios ejemplos donde se calcula la diferencial de funciones, utilizando las fórmulas de diferenciación. Ejemplos:
MATEMÁTICAS
22 G.F.S.
MATEMÁTICAS
23 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2. Ejercicio 1. Determina la diferencial de las siguientes funciones.
dy= (6x-11)dx
dy=(2x-2
-2x-3
-21x-4
)dx
MATEMÁTICAS
24 G.F.S.
dy=8xCos(4x2-8)dx
dx=4x3secx
4tanx
4dx
dy=240x
7(3x
8+5)
9dx
MATEMÁTICAS
25 G.F.S.
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO
Antes de analizar el texto, te recomiendo que observes los siguientes videos:
Como calcular el valor aproximado de
áreas y volúmenes
https://www.youtube.com/watch?v=My
ODGZf0bG8&t=26s
Como calcular el valor aproximado de una
raíz
https://www.youtube.com/watch?v=FZ94m
JMw7DY
Ejemplo 1.
Tomando en cuenta que se trazó un cuadrado cuyo lado mide 3 unidades.
a) Si la longitud de sus lados se incrementa media unidad, ¿cuánto se incrementará su perímetro?
Cuando se posee la cuadrícula es sencillo contar de forma directa el incremento del perímetro cuando son unidades enteras, pero cuando no lo son, se puede recurrir a la diferencial, como se muestra a continuación. Se denominará a:
L : como la longitud del lado del cuadrado. P : es el perímetro del cuadrado.
Considerando que se solicita el incremento del perímetro, se expresa la función correspondiente:
P 4L
Tomando la fórmula de la diferencial dy = f’(x)dx , ajustándola a la notación de este problema, se expresa: dP = P’(L)dL
Donde: dP significa el incremento del perímetro. P’(L) es la derivada de la función perímetro. dL es el incremento de la longitud de su lado.
MATEMÁTICAS
26 G.F.S.
Por lo tanto al tomar en consideración que la longitud del lado se incrementó en una unidad y la derivada del perímetro, se obtiene:
El perímetro se incrementó 2 unidades. b) Si la longitud de sus lados se incrementa un cuarto de unidad, ¿cuánto se incrementará su área?
Se denominará a:
L : como la longitud del lado del cuadrado.
A : es el área del cuadrado.
El área del cuadrado se expresa como:
A = L2
La diferencial del área queda de la siguiente forma:
dA = A’= (L)dL
Donde:
dA significa el incremento del área.
A’(L) es la derivada de la función área.
dL es el incremento de la longitud de su lado.
Al tomar en consideración que la longitud del lado se incrementó en dos unidades y la derivada del área,
se obtiene:
El área se incrementó 1.5 unidades cuadradas.
Ejemplo 2.
Obtener el valor aproximado del incremento en el volumen de un cubo, cuyos lados miden (o tienen una
longitud de) 2 m, considerando un aumento de 0.003 por lado.
Se hace un bosquejo del problema para entender qué se está pidiendo.
MATEMÁTICAS
27 G.F.S.
El volumen original del cubo es:
Entonces el diferencial del volumen es:
dV= 3L2 dL
Entonces, dV representa el incremento de volumen y dL representa el aumento del lado, así que
sustituyendo los valores se obtiene:
Esto significa que el cubo aumentó 0.036 m3.
Ejemplo 3.
Hallar el valor aproximado del volumen de una cáscara esférica de 200 mm de diámetro exterior y 1 mm
de espesor.
Primero se tiene que bosquejar el dibujo que representa el problema, para entenderlo mejor.
Se muestra la esfera:
El volumen de la cáscara es la parte sólida de la esfera, la cual se visualiza como un incremento del
volumen que ocupa la esfera en su interior, por lo tanto, es lo mismo que obtener el incremento de
volumen de una esfera de radio inicial 99 mm con un aumento de 1 mm de radio.
La fórmula del volumen de una esfera es:
MATEMÁTICAS
28 G.F.S.
Sustituyendo los datos se obtiene:
El volumen de la cáscara es aproximadamente de 123,163 mm3
Ejemplo 4.
Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm. de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto
aumentó aproximadamente su área?
Encontrar el aumento de área es lo mismo que encontrar el dA.
La fórmula del área de un cuadrado es:
A = L2
Donde L es la longitud uno de los lados del cuadrado.
dA = 2LdL
Sustituyendo los datos se tiene:
Por lo tanto, el área presenta un aumento de 1.2 cm2
Ejemplo 5.
Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto
disminuirá porcentualmente su área?
Utilizando diferencial de área para resolver el problema se tiene:
El 0.03% que disminuye equivale a 0.006 cm, para verificar esto se multiplica 20 cm por 0.0003.
MATEMÁTICAS
29 G.F.S.
Para calcular cuánto disminuyó porcentualmente el área, se tiene que dividir el diferencial del área entre
el área inicial y multiplicarlo por cien.
Por lo tanto su disminución porcentual se obtiene de la siguiente forma:
Si el lado de la lámina disminuye el 0.03%, su área disminuye el 0.06%
Además de las aplicaciones de la diferencial en el cálculo aproximado de incrementos, podemos calcular o
determinar aproximaciones de radicales.
Ejemplo 6
Utilizar el concepto de diferencial para estimar el valor de
Solución. Sabemos que = 5. Por tanto, se necesita estimación para el incremento de ,
desde 25 a 27. La diferencial en este caso es:
Con x = 25 y dx = 2, el valor de dy es:
Significa que una variación de x desde 25 hasta 27 aumenta el valor de la raíz cuadrada en
aproximadamente 0.2 unidades. Por lo tanto:
Ahora bien, se puede comprobar que (5.2)2 = 27.04 por lo que nuestra estimación está muy cercana al
valor indicado en la raíz
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2.
Ejercicio 2. Resuelve los siguientes problemas de aplicación de la diferencial
1. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1 m, debe revestirse con una capa de
concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?
Resp: 94247cm3= 0.094247m
3
MATEMÁTICAS
30 G.F.S.
2. Calcula el incremento del área de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 7 m, considerando
que éstos aumentaron 3 mm.
Resp: 42000mm2 = 0.042m2
3. Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo cuyos lados miden 7.3 m, considerando un
aumento de 0.007 m por lado.
Resp: 1.1109m3
4. Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas, con un posible error de 0.03 pulgadas, estimar
mediante diferenciales el máximo error posible cometido al calcular:
a) El volumen del cubo.
Resp: 12.96 p3
b) El área del cubo.
Resp: 4.32p2
5. Estimar el valor de
mediante diferenciales. Después comparar la estimación con el resultado
obtenido con una calculadora
Resp: 10.033
MATEMÁTICAS
31 G.F.S.
6. Estimar el valor de
mediante diferenciales. Después comparar la estimación con el resultado
obtenido con una calculadora
Resp: 1.96875
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2.
Ejercicio 3.- De manera individual. Completa la siguiente tabla y contesta lo que se te solicita:
a) ¿Qué puedes decir de los resultados que obtuviste en la tabla? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ b) Si sabes que la derivada de F(x) es la función f (x)= 3x2 , ¿cómo es F(x)? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ c) Si sabes que la derivada de F(x) es la función f(x)= nxn-1 , ¿cómo es F(x)? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________
ANTIDERIVADA Introducción En el transcurso de tus estudios de bachillerato te has dado cuenta que en Matemáticas se habla de procedimientos inversos, en los cuales se puede incluir a las operaciones básicas, así como también algunos temas de álgebra, por ejemplo, en las operaciones básicas, se identifica la suma como el inverso de la resta, la multiplicación como el inverso de la división, la potenciación como la inversa de la radicalización y viceversa. Otro ejemplo que se puede observar es el de los productos notables como lo inverso de la factorización y viceversa. En el curso de Cálculo Diferencial e Integral 1 trabajaste con el concepto de derivada, en el cual derivaste algunas funciones, no te has preguntado: ¿cuál será el proceso inverso a derivar una función? Es
MATEMÁTICAS
32 G.F.S.
decir, si se conoce la derivada de una función, ¿cómo se puede conocer la función cuya derivada es la función que se conoce?
Definición de antiderivada. Una antiderivada de una función f(x) es otra función F(x) que cumple:
F’(x) = f(x) Ejemplo1. Al calcular la antiderivada de la función f(x) = 2x se obtiene F(x) = x2. La justificación de lo anterior es debido a que F’(x) = 2x .
Pero ésta no es la única antiderivada que puede tener f(x) = 2x , porque también puede ser F(x) =x2 + 2, debido a que F’(x) = 2x .
Esto significa que si se añade cualquier constante a F(x) = x2 , se formarán una infinidad de funciones, las cuales serán la antiderivada de f(x) = 2x . Geométricamente se puede visualizar de la siguiente forma:
En la gráfica se observa varias funciones cuadráticas que se diferencian entre sí debido a que se desplaza verticalmente dos unidades cada vez, es decir se tiene:
También se graficó la recta tangente en cada una de ellas, cuando x=1; nótese que todas las rectas son paralelas, es decir tienen la misma pendiente, por lo tanto, al ser la derivada de una función la pendiente de la recta tangente, se deduce que todas funciones anteriores tienen la misma derivada. En este caso F’(x) = 2x
Como puedes observar, la antiderivada de una función f(x) no es única, ya que se puede encontrar una infinidad de funciones cuya derivada será f(x), sin embargo, es importante observar que todas esas funciones se diferenciarán únicamente por una constante, de tal forma que en general se dice que:
MATEMÁTICAS
33 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2.
Ejercicio 4. Individualmente y de acuerdo a la información anterior. Determina la antiderivada de las siguientes funciones.
MATEMÁTICAS
34 G.F.S.
La integral indefinida
Aprendizajes
Identificar las propiedades básicas de la integral indefinida.
Determinar la función original a partir de su derivada.
Calcular la integral indefinida de funciones algebraicas.
Calcular la integral indefinida de funciones trascendentes.
En el estudio del cálculo integral es muy importante que identifiques que dada la derivada de una función, encuentres la función original, esto es, la antiderivada o primitiva de la función, a la cual le llamaremos integral indefinida.
Para diferenciar a la integral definida de la integral indefinida, a ésta no se le escriben los límites de integración, sino que se le agrega una “c” que significa constante de integración, a f(x) se le llama integrando y x representa la variable de integración, la representamos con la siguiente
Definición
Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I, si )()( xfxFdx
d
en I, es decir, si F´(x) = f(x) para toda x en I, esto es:
)()(' )()( xfxFsisóloysícxFdxxf
Esta definición se puede interpretar de la siguiente manera: Al integrar una función f(x) obtenemos como resultado F(x); si este resultado se deriva obtendremos como resultado al integrando y además nos sirve como comprobación. Observa el video “Reglas básicas de la anti derivada”:
https://www.youtube.com/watch?v=57c2oar6FQk, que contiene información acerca de los elementos fundamentales de la integración, si no comprendiste el contenido, no dudes en verlo nuevamente.
Propiedades básicas de la integral indefinida.
Observa los videos que se te presentan, la información que te proporciona te servirá para realizar la serie de ejercicios en esta sección:
Propiedades de la integral parte 1: https://www.youtube.com/watch?v=KRIGuNoiTlc
Propiedades de la integral parte 2: https://www.youtube.com/watch?v=40VtNlttVfY
MATEMÁTICAS
35 G.F.S.
Propiedades de la integral parte 3:
https://www.youtube.com/watch?v=2eZiiE7zqis
Propiedades de la integral parte 4: https://www.youtube.com/watch?v=Mxr_f0wvMKI
Propiedades de la integral parte 5: https://www.youtube.com/watch?v=ftT1ChNlcpI
Observa las siguientes propiedades, las cuales debemos tomar en cuenta para el cálculo de integrales indefinidas.
Sí f es integrable y k es un número real cualquiera, entonces kf es integrable.
dxxfkdxxfk )( )(
Sean f y g dos funciones integrables, entonces:
dxxgdxxfdxxgxfii
dxxgdxxfdxxgxfi
)( )( )()( )
)( )( )()( )
Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la
constante de integración.
cxkdxkdxk
Regla de las potencias para integrales indefinidas.
cx
ndxx nn 1
1
1
Donde el exponente n es un número racional y n -1
En las funciones trascendentes se encuentran las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas. Para calcular este tipo de integrales se usan las siguientes fórmulas de integración.
MATEMÁTICAS
36 G.F.S.
cuduu
cuduu
sen cos
cos sen
cuduu
cutanduu
cuduutan
cot csc
sec
sec ln
2
2
cutanuduu
cuduu
cuduuu
cuduutanu
sec ln sec
sen ln cot
csc cot csc
sec sec
cuuduu cot csc ln csc
ca
adua
cuu
du
cedue
uu
uu
ln
ln
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades de la integral indefinida.
Vamos a calcular la siguiente integral indefinida dxx3 5
Paso 1: El 5 es una constante que se puede escribir fuera de la integral.
dxxdxx 5 5 33
Paso 2: Para encontrar una antiderivada de x
3 (o sea la primitiva) aplicamos la fórmula siguiente:
cxn
dxx nn
1
1
1
o sea que:
cxdxx
133
13
1 5 5
Paso 3: Se realizan las operaciones indicadas y se obtiene finalmente el resultado.
cxdxx 43 4
5 5
Para realizar la comprobación de la integral, se deriva el resultado, esto es:
dx
cdxcx
dx
d 4
4
5
4
5 144
Recuerda que la derivada de una constante es igual a cero. Al simplificar se obtiene al integrando.
34 54
5xcx
dx
d
Nota: recuerda que al hacer mención de la antiderivada o primitiva nos estamos refiriendo a la integral indefinida.
MATEMÁTICAS
37 G.F.S.
Ahora veamos la aplicación de estas propiedades en una función polinomial.
Calcula la integral indefinida dxxxx 2543 35 y realiza la comprobación.
Paso 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las integrales, esto es:
dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535
Paso 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la fórmula de una potencia, como se muestra a continuación:
dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535
Paso 3: Se integra cada una de éstas.
4
3
11
2
133
1
155
22
11
1 5 5
13
1 44
15
1 33
cxdx
cxdxx
cxdxx
cxdxx
Paso 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que 4321 ccccc .
cxxxxdxxxx 22
5
4
4
6
3 2543 24635
Paso 5: Finalmente se simplifica el resultado.
cxxxxdxxxx 22
5
2
1 2543 24635
Para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.
02)2(2
546
2
12
2
5
2
1 35246
xxxcxxxx
dx
d
Simplificando se obtiene:
254322
5
2
1 35246
xxxcxxxx
dx
d
Analiza los siguientes procedimientos para calcular integrales indefinidas trascendentes.
MATEMÁTICAS
38 G.F.S.
Calcula la integral indefinida dxx sen y realiza la comprobación.
Paso 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, por lo tanto:
cxdxx cos sen
Paso 2: Se realiza la comprobación derivando el resultado.
xxcdx
dx
dx
dcx
dx
d sen0 sen cos) (cos
Ahora resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la integral indefinida.
a) Calcula la integral dxxxx 4839 23 y realiza la comprobación.
b) Calcula la integral dxx cos y realiza la comprobación.
MATEMÁTICAS
39 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 3.
I. INSTRUCCIONES: Analiza con atención cada uno de los siguientes expresiones y calcula las integrales
aplicando el método de integración respectivo.
1. dxxxxx 72 234
2.
dxxxx 8
5
62 23
3.
dxxx
2
3
4
1
3
2 2
4. dxxx 304 23
5. dxx 2 3
6. dxx 2
3
7. dxxx 96 24
MATEMÁTICAS
40 G.F.S.
8. dxxx 123
9. dxxx 231
II. INSTRUCCIONES: Analiza las siguientes expresiones y aplicando el procedimiento adecuado, calcula
las integrales trascendentes.
10. dxxe x )2(
11. dxx
1
12. dxx sec2 2
13. dxx cos5
14. dxx
3
sen
15. dxx
3
8
MATEMÁTICAS
41 G.F.S.
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1. cxxxxxdxxxxx 72
1
3
1
2
1
5
172 2345234
2.
cxxxdxxxx 23423 4
5
2
2
18
5
62
3. cxxxdxxx
2
3
8
1
9
2
2
3
4
1
3
2 232
4. cxxxdxxx 303
4
4
1)304( 3423
5. cxdxx 23 2
6. cxdxx 2
5
2
3
5
2
7. cxxxdxxx 925
196 3524
8. cxxxdxxx 22
3
3
212
9. cxxxdxxx 22
1231 23
10. cxedxxe xx 22
11. cxdxx
ln1
12. cxtandxx 2 sec2 2
13. cxdxx sen5 cos5
14. cxdxx
cos3
1
3
sen
15. cxdxx
ln3
8
3
8
MATEMÁTICAS
42 G.F.S.
Aplicación de la integral.
Aprendizajes
Aplicar el método de sustitución al cálculo de integrales.
Aplicar el método de integración por partes al cálculo de la integral.
I.- El método de sustitución o cambio de variable. Antes de analizar el texto, te recomiendo que observes los siguientes videos:
Introducción a la regla de sustitución https://www.youtube.com/watch?v=NLD6k8pxISM
Sustitución de la cadena inversa 1 https://www.youtube.com/watch?v=apAb92XOwd0
Sustitución de la cadena inversa 2 https://www.youtube.com/watch?v=8yBEQSHS0g8
Consiste en sustituir la variable “x” por una nueva variable; veamos el siguiente: Teorema: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada de f. Entonces u = g(x).
cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(
Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.
1.- Evalúa la siguiente integral: dxxx 4 2
Paso 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 xu , entonces la derivada de u es
dxxdu 2
Paso 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:
MATEMÁTICAS
43 G.F.S.
2
4 2
1
2 duudxxx
Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxxdu
2
.
Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, 2
1se escribe fuera de la integral por ser
una constante.
2
1 4 2
1
2 duudxxx
Paso 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:
cu
duu
12
12
1
2
11
2
1
2
1
cucucu
2
3
2
32
3
3
1
6
2
2
32
1
Paso 5: Se hace el cambio de variable de 42 xu y se sustituye en el resultado:
cxdxxx 2
322 4
3
1 4
por lo tanto: cx 32 4
3
1
Observa con detenimiento los siguientes ejemplos, donde se aplican los métodos de integración y realiza los ejercicios propuestos. 2.-Evaluaremos la siguiente integral indefinida aplicando el método de sustitución.
dxxx 1243
Paso 1: Se toma como 124 xu , entonces la derivada de u es dxxdu )04( 3 , recuerda
que la derivada de una constante es cero.
Paso 2: Observa que en la integral están x3 y dx y al realizar el cambio de variable dxxdu 4 3 ,
queda de la siguiente forma:
MATEMÁTICAS
44 G.F.S.
dxxdu 3
4
Paso 3: Se sustituyen los valores de u y du en la integral, obteniendo de esta manera el cambio de
variable.
dxxx 1243
42
1du
u
Paso 4: Cómo 4
1es una constante, se aplican las propiedades de la integral y se coloca fuera de
dicha integral este valor, esto es:
duudu
u 4
1
42
1
2
1
Paso 5: Se realiza la integral.
cucu
cu
dxxx
2
32
31
2
1
43
12
2
2
34
1
12
14
1 12
Paso 6: Se sustituye el valor que se tomó como 124 xu y se obtiene el resultado de dicha
integral, esto es:
cx
cxdxxx
34
2
3443
126
1
126
1 12
Ejercita tus conocimientos y aplica este método de sustitución en la siguiente integral.
dxxx 23 2
Resp:
II. Método de integración por partes:
Antes de analizar el texto, te recomiendo que observes los siguientes videos:
MATEMÁTICAS
45 G.F.S.
Introductorio https://www.youtube.com/watch?v=TjYdgcA7PYk
De la función https://www.youtube.com/watch?v=ET4is-s_G7A
Logaritmo natural https://www.youtube.com/watch?v=e4L5EOanxaY
Exponencial https://www.youtube.com/watch?v=kUAtyZWRNEc
El método de integración por partes se basa en la integración de la fórmula derivada del producto de dos funciones. Veamos el siguiente procedimiento para obtener la fórmula de integración por partes: Sea u = u(x) y v = v(x), entonces:
)(')()(')()()( xuxvxvxuxvxuDx
Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente expresión:
dxxuxvdxxvxuxvxu )(')( )(')()()(
Despejando la primera integral tenemos:
dxxuxvxvxudxxvxu )(')()()( )(')(
Sí dxxuduydxxvdv )(' )(' , entonces la ecuación anterior se puede escribir de la
forma siguiente:
duvvudvu
La cual es la fórmula para integrar por partes. El éxito de éste método, depende de la elección
apropiada de u y dv , lo cual se consigue solamente con la práctica.
MATEMÁTICAS
46 G.F.S.
1.- Para aplicar este método, vamos a evaluar la siguiente integral: dxxx cos
Paso 1: Se escribe dxxx cos como dvu ; entonces dxduyxu
Paso 2: Si dxxdv cos , entonces, para encontrar v se integran ambos lados, obteniendo:
dxxdv cos , entonces
cxv sen
Paso 3: Los valores de vydvduu , , se sustituyen en la fórmula, quedando de la siguiente
manera:
dxxxxdxxx sensen cos
La integral de cxdxx cos sen , sustituyendo este resultado en la integral anterior, se
obtiene el resultado.
cxxxdxxx cossen cos
Recuerda que las constantes de integración están incluidas en “c”.
2.- Vamos a resolver un ejemplo aplicando el método de integración por partes en la siguiente integral.
dxxx sen2
Paso 1: Se toma como 2xu ; la derivada de u es dxxdu 2 ; de esta manera xdv sen ,
entonces v es la integral de xsen
1cos sen cxdxxv
Paso 2: Con estos valores se sustituyen en la fórmula vduuvudv .
dxxxxx
dxxxxxdxsenxx
cos2cos
2coscos
2
22
Paso 3: Observa que la integral del lado derecho otra vez se tiene que realizar por partes, entonces se hacen los siguientes cambios:
MATEMÁTICAS
47 G.F.S.
2 cos
csenxvxdxdv
dxduxu
De esta manera, la integral dxxx cos , queda de la siguiente manera:
3cos cos cxxsenxdxsenxxsenxdxxx
Nota: es importante que Las constantes c1, c2, y c3 se incluyen al final del resultado de la integral para no crear confusión con dichas constantes.
Paso 4: Sustituyendo los valores, se obtiene el resultado de la integral.
cxxsenxxx
cxxsenxxxdxxxxxdxsenxx
cos22cos
cos2cos cos2cos
2
222
Ejercita tus conocimientos y calcula la siguiente integral: dxxx 2sen2
Res:
MATEMÁTICAS
48 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 4.
INSTRUCCIONES: Lee con atención los siguientes reactivos y resuelve lo que se pide.
I.- Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales, escribe tu desarrollo y la solución.
1. dxxx432 5
2. dxx6
93
3.
dxe
ex
x
21
4. dxx5
1
5. dxxx cos sen3
6.
dxx
x
9
32
MATEMÁTICAS
49 G.F.S.
II.- Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes integrales.
7. dxxx sen
8. dxx ln
9. dxex x2
10. dxxx cos 4
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
dxxdu
dxxduxu 223
3 3 5
cxdxxx53432 5
15
15
2
dxdu
dxduxu 3
3 93
cxdxx76
9321
193
3 dxe
dudxedueu xxx
2 2 21
MATEMÁTICAS
50 G.F.S.
cedxe
e x
x
x
21ln2
1
21
4
dxduxu 1
cxdxx65
16
11
5
dxxduxu cos sen
cxdxx 43 sen
4
1 sen
6
dxxdu
dxxduxu 2
2 92
cxdxx
x9ln
2
3
9
3 2
2
7
xvdxxdvdxduxu cos sen
cxxxdxxx coscos sen
8
xvdxdvdxx
duxu 1
ln
cxxxdxx ln ln
Número de pregunta Respuesta correcta
9
xx evdxedvxdxduxu 2 2
dxxeexdxex xxx 222
La integral del lado derecho se realiza otra vez por partes, esto es:
xx evedvdxduxu 1111 2 2
cxxedxex xx 2222
10
xvdxxdvdxduxu sen cos 4 4
cxxxdxxx cos4sen4 cos4
MATEMÁTICAS
51 G.F.S.
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN
INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y contesta lo que se solicita, anotando el desarrollo y la solución.
Para resolver estos ejercicios cuentas con noventa minutos.
I.- Aplica las propiedades de la integral indefinida y evalúa la siguiente integral.
1. dxxxx 7642 23
2. Encuentra una antiderivada (primitiva) de la función: 25)( 3 xxf
3. Evalúa la siguiente integral indefinida.
dxxx 11
4. Evalúa la siguiente integral indefinida.
dxxtan 3
II.- INSTRUCCIONES: Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales indefinidas.
5. dx
x
x
25
22
6. dxx 15 cos
III.- Aplica el método correspondiente y calcula las siguientes integrales indefinidas.
MATEMÁTICAS
52 G.F.S.
7. dxxe x cos
CLAVE DE RESPUESTAS
Número de pregunta Respuesta correcta
1 cxxxx 733
4
2
1 234
2 cxxxF 24
5)( 4
3 cxx 3
3
1
4 cxócx 3cosln3
1 3secln
3
1
5 cx 25ln 2
6 cx 15sen5
1
7 cxxe x sencos2
1
III. Método de integración de funciones racionales (Método de expansión en fracciones parciales).
MATEMÁTICAS
53 G.F.S.
Antes de analizar el texto, observa el video que te explica cómo se realiza la integración por fracciones parciales.
https://www.youtube.com/watch?v=9LjsJ5BM54g
Una función racional es, por definición, el cociente de dos polinomios, por ejemplo:
xx
xxxxh
xx
xxg
xxf
5
12)( ,
84
22)( ,
1
2)(
3
35
23
Teóricamente cualquier expresión racional )(
)(
xg
xf se puede expresar como una suma de
expresiones racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado menor o igual a dos.
rFFFxg
xf ....
)(
)(21
La suma de rFFF ...21 es la descomposición en fracciones parciales de
)(
)(
xg
xf y cada kF
se llama fracción parcial.
Observa con detenimiento los siguientes pasos para obtener la descomposición en fracciones
parciales de
)(
)(
xg
xf
1. Si el grado de f(x) no es menor que el de g(x), se realiza la división. 2. Expresar g(x) como un producto de factores lineales qpx o formas cuadráticas irreducibles
cbxax 2 y agrupar los factores repetidos para que g(x) quede expresado como un
producto de
factores distintos de la forma mqpx o bien ncbxax 2
con m y n enteros no
negativos. 3. Aplicar las siguientes reglas:
a) Por cada factor de la forma mqpx con 1m , la descomposición en fracciones parciales
contiene
MATEMÁTICAS
54 G.F.S.
una suma de m fracciones parciales de la forma:
m
m
qpx
A
qpx
A
qpx
A
)(.....
)( 2
21
Donde cada numerador kA es un número real.
b) Por cada factor ncbxax 2, con 1n , donde cbxax 2
es Irreducible, la
descomposición
en fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma:
n
nn
cbxax
bxA
cbxax
bxA
cbxax
bxA
)(...
)( 222
22
2
11
Donde todos los kk byA son números reales.
I. El siguiente ejercicio se resuelve aplicando el método de expansión en fracciones parciales.
dxxxx
x
32
3523
Paso 1: Se factoriza el denominador, quedando de la siguiente forma.
)1)(3( )32(32 223 xxxxxxxxx
Paso 2: Al factor x le corresponde una fracción parcial de la forma x
A, de la misma forma, a los
factores )1( 3 xyx les corresponden fracciones parciales de la forma: 1
;3 x
C
x
B,
respectivamente; la descomposición en fracciones parciales tiene la siguiente forma:
13)1)(3(
35
32
3523
x
C
x
B
x
A
xxx
x
xxx
x
Paso 3: Se multiplica por 13 xxx ambos lados de la igualdad y se obtiene lo siguiente:
1
)1)(3(
3
)1)(3()1)(3(
13
)1(335
x
xxCx
x
xxbx
x
xxAx
xxx
xxxx
Simplificando tenemos que:
)( )3()1()1)(3(35 xCxxBxxxAx ver paso 4
MATEMÁTICAS
55 G.F.S.
Paso 4: Los valores de A, B y C pueden encontrarse sustituyendo por “x” valores que hagan que
los factores sean cero en la ecuación ( ), es decir, en este caso, “x” toma los valores de: 0, -3 y +1.
Para: 0x
)30)(0()10)(0()10)(30(3)0(5 CBA
Simplificando se obtiene:
1A
Para: 3x
)33)(3()13)(3()13)(33(3)3(5 CBA
Simplificando se obtiene:
1B
Para: 1x
)31)(1()11)(1()11)(31(3)1(5 CBA
Simplificando se obtiene:
2C
Paso 5: La descomposición en fracciones parciales es:
1
2
3
11
)1)(3(
35
xxxxxx
x
Paso 6: Se integra y la suma de las constantes, la denotamos como “c”; de esta forma obtenemos el resultado final.
1
2
332
3523 x
dx
x
dx
x
dxdx
xxx
x
cx x x 1ln23lnln
II. Aplica tus conocimientos y realiza la siguiente integral, aplicando el método de fracciones parciales.
dx
xx
x
6
132
MATEMÁTICAS
56 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 5
III.- Aplica el método de fracciones parciales a las siguientes integrales.
1.
dxxx 2
52
2.
dx
xx
x
43
112
3.
dx
xxx
xx
2
4223
2
MATEMÁTICAS
57 G.F.S.
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
2
5
2
5 BA
cxxdxxx
2ln2
5ln
2
5
2
52
2
2 3 BA
cxxdx
xx
x1ln24ln3
43
112
3
1 1 2 CBA
cxxxdx
xxx
xx1ln2lnln2
2
4223
2
EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes reactivos y contesta lo que se
solicita, anotando el desarrollo y la solución.
1.
dx
xxx
xx
6
62423
2
CLAVE DE RESPUESTAS
Número de pregunta Respuesta correcta
1 cxxx 2ln5
33ln
5
12ln
MATEMÁTICAS
58 G.F.S.
Notación Sumatoria
Aprendizajes
Describir la notación sumatoria.
Cálculo de términos con notación sigma en un sucesión.
Calcular por aproximación el área bajo la curva, aplicando la notación sigma.
Calcular por aproximación el área bajo la curva, aplicando el concepto de suma de Riemann.
Notación sumatoria. Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita. https://www.youtube.com/watch?v=r-nHLIldLYY
Dada una sucesión: Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma"). La notación sigma es de la siguiente manera:
La ecuación anterior se lee la "suma de ak desde uno hasta n ." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros 1, 2, 3, 4, 5, …., n, y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación
MATEMÁTICAS
59 G.F.S.
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 6
Resuelve las siguientes sumas.
Resp: 40
Resp: 182
Resp: -11
Resp: 77/30
Resp: 3
Resp: 139
Resp: 0
MATEMÁTICAS
60 G.F.S.
La Integral Definida
Aprendizajes
Identificar las propiedades de la integral definida.
Aplicar la noción de integral definida a la solución de problemas.
Aplicar el teorema fundamental del cálculo en la solución de problemas.
La integral definida puede interpretarse como el área bajo la curva y en forma equivalente como un límite. En el tema anterior se aproximó el valor
del área bajo la curva mediante suma de las áreas de un conjunto de rectángulos contenidos dentro del área a determinar. https://www.youtube.com/watch?v=eRxDrJbzMrU
Calcular la integral definida aplicando las sumas de Riemann, es bastante tedioso y frecuentemente difícil. Para hacerlo más simple, necesitamos desarrollar algunas propiedades de la integral definida, las cuales se presentan con los siguientes teoremas. Propiedades de la integral definida.
Teorema:
Sea f la función constante, definida por cxf )( para toda x en el intervalo cerrado
a, b, entonces:
)( )( abcdxcdxxfb
a
b
a
En donde:
:b Representa el límite superior.
:a Representa el límite inferior.
: Se le llama signo de integración, el cual indica “suma”.
:)(xf Se le llama integrando.
:)(xfb
a
Se le llama integral definida, que indica el límite de una suma.
La representación gráfica de la función constante cxf )( , es la siguiente:
MATEMÁTICAS
61 G.F.S.
y
c cxf )( (función constante)
dxcb
a
a b x Teorema:
Sí f es integrable en b ,a y k es un número real cualquiera, entonces k f es integrable
en b ,a y
dxxfkdxxfb
a
b
a
)( )(k
“La conclusión del teorema anterior a veces se enuncia de la siguiente forma: Un factor constante en el integrando se puede sacar del signo de la integral. No está permitido sacar fuera del signo de integral a expresiones en las cuales aparece la variable” Teorema:
Sí f y g son funciones integrables en b ,a , entonces gf es integrable en b ,a y
dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a
)( )( )( )(
Teorema:
Sí f es integrable en un intervalo cerrado y sí a, b y c son tres números cualesquiera en ese intervalo, entonces:
dxxfdxxfdxxfc
b
b
a
c
a
)( )( )(
Las siguientes definiciones forman parte de las propiedades de la integral definida.
Sí a b y f es una función integrable en el intervalo cerrado b ,a , entonces:
0 )(
)( )(
dxxf
dxxfdxxf
a
a
b
a
a
b
Observa que al cambiar los límites de integración, la integral cambia de signo; por otra parte si los límites de integración son iguales, resulta cero la integral porque no hay área para calcular, sino que se trata de un punto.
MATEMÁTICAS
62 G.F.S.
Teorema Fundamental del Cálculo.
Sí F es una antiderivada de f, entonces:
)()( )( aFbFdxxfb
a
“Este Teorema fue descubierto de manera independiente en Inglaterra por Sir Isaac Newton (1642 – 1727) y en Alemania por Gottfried Leibnitz (1646 – 1716). Es principalmente debido a este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemáticos la invención del Cálculo” Para aplicar el teorema fundamental del cálculo, debemos recordar que una función continua es aquella que se representa con un solo trazo o sea sin despegar el lápiz. Por otra parte, una antiderivada es una función que al derivarla ésta se convierte en la función a integrar, por ejemplo:
la antiderivada de x es 2
2x, porque si derivamos
2
2x obtenemos:
dx
d
2
2xxxx 112
2
2)2(
2
1
APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO Antes de analizar el ejemplo del texto te recomiendo que observes el siguiente video. https://www.youtube.com/watch?v=SaYmStZdWUw
Observa cuidadosamente los pasos para resolver la siguiente integral, utilizando el teorema fundamental del cálculo y haciendo uso de las propiedades de la integral definida.
Calcula la integral definida dada por la función 196)( 23 xxxxf en el intervalo cerrado
2 ,1 .
Paso 1: Dada la función se debe buscar una antiderivada de ésta, esto es:
xxxx
2
9
3
6
4
234
si ésta función se deriva, se obtiene la función original. Paso 2: Se sustituye la función original con el signo de integral y se escriben los límites de
integración.
dxxxx 196 232
1
Paso 3: Se aplican las propiedades de la integral definida.
MATEMÁTICAS
63 G.F.S.
dxdxxdxxdxxdxxxx2
1
2
1
22
1
32
1
232
1
1 9 6 196
2
1
2
1
22
1
32
1
4
2
9
3
6
4x
xxx
Paso 4: Se evalúan las integrales, sustituyendo el límite superior (2) menos el límite inferior (1);
estos valores se sustituyen por la “x” en la ecuación anterior, de la siguiente manera:
2
1
2
1
22
1
32
1
4
2
9
3
6
4x
xxx =
)1(
2
)1(9
3
)1(6
4
1)2(
2
)2(9
3
)2(6
4
2 234234
2 4
17 1
2
9
3
6
4
12
2
36
3
48
4
16u
Por lo tanto el valor de la integral es:
2232
1
4
17 196 udxxxx
Siguiendo los pasos anteriores resuelve el siguiente ejercicio.
Calcula la integral definida, dada la función xxxf 23)( 2 en el intervalo cerrado 3 ,0 .
Paso 1: Busca una antiderivada de la función.
Paso 2: Representa la función original como una integral, sustituyendo los límites de integración. Paso 3: Aplica las propiedades de la integral.
MATEMÁTICAS
64 G.F.S.
Paso 4: Evalúa la integral, sustituyendo primero el límite superior y restando el límite inferior.
Paso 5: Simplifica y obtén el resultado.
Por lo tanto el valor de la integral es:
ACTIVIDAD DE DESARROLLO 8. I. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes ejercicios y aplica las
propiedades de la integral definida y encuentra el valor de las siguientes integrales.
1. dxx
2
4
2
2. dxxx 23 23
1
3. dxx 32
2
II. INSTRUCCIONES: Lee con atención cada uno de los siguientes problemas y contesta lo que se
solicita, anotando el desarrollo y la solución.
4. Sea la función 5)( xf en el intervalo cerrado 2 ,0 .
I.- Calcula el área bajo la curva.
MATEMÁTICAS
65 G.F.S.
II.- Realiza la gráfica.
5. Sea la función 5)( xxf en el intervalo cerrado 3 ,2 .
I.- Calcula el área bajo la curva. II.- Realiza la gráfica.
6. Sea la función 2)( xxf , en el intervalo cerrado 2 ,2 .
I.- Calcula el área bajo la curva. II.- Realiza la gráfica.
III. INSTRUCCIONES: En los siguientes reactivos aplica el teorema fundamental del cálculo y calcula el valor de las siguientes integrales.
7. Cada la función 22)( xxxf en el intervalo cerrado 2 ,0 .
MATEMÁTICAS
66 G.F.S.
I.- Calcula el área de la región comprendida por la función. II.- Realiza la gráfica.
8. Dada la función xxxxf 6)( 23 entre x = 0 y x = 3.
I.- Calcula el área de la región comprendida por la función. II.- Realiza la gráfica.
9. Dada la función 33)( 23 xxxxf , entre x = -1 y x = 2.
I.- Calcula el área de la región comprendida por la función. II.- Realiza la gráfica.
TABLA DE COMPROBACIÓN
Número de pregunta Respuesta correcta
1
MATEMÁTICAS
67 G.F.S.
dxxdxx
2
1
2
4
2
4
2
2
224
2
2
4
2
2
3144
4
4
16
)2(4
1)4(
4
1
4
1
22
1
u
x
x
2 3 uA
2
2
2
2323
3
1
233
1
23
3
1
23
1
23
1
34
3411927
1133
2
2
3
3
2 3 23
uA
u
xxxx
dxxdxxdxxx
3
0
4
2
4
2
4
442
2
43
2
2
x
dxx
0A
Número de pregunta Respuesta correcta
4
I
10)0(5)2(55 52
0
2
0
xdx 2 10 uA
II y
-2
8
0
2
4
6
-3 -2 -1 1 2 3 x
MATEMÁTICAS
68 G.F.S.
5
I
2
5510215
2
9
)2(52
2)3(5
2
3
52
5
22
3
2
23
2
xx
dxx
2 2
55uA
II y
Número de pregunta Respuesta correcta
6
I
2
332
2
32
2
2
3
16
3
16
3
8
3
8
3
2
3
2
3
uA
xdxx
II y
7
I
3
4
3
8
3
12
3
00
3
22
32
32
32
2
0
322
2
0
xxdxxx
-2
0
2
4
6
8
10
-3
-2
-1
1 2 3 x
-2
0
2
4
6
8
-3
-2
-1
1 2 3 4 x
MATEMÁTICAS
69 G.F.S.
2 3
4uA y
II }
Número de pregunta Respuesta correcta
8
dxxxxdxxxx 6 6 232
0
232
0
2
0
234
2
6
34
xxx
0
2
26
3
2
4
2234
2 3
32
3
3212
3
84
123
84
uA
y
-4
-2
0
2
4
-1 1 2 3 4 5 x
-10
-5
0
5
10
-4 -2 2 4 x
MATEMÁTICAS
70 G.F.S.
Número de pregunta Respuesta correcta
9
I
2
1
23
41
1
23
4
232
1
231
1
232
1
324
324
33 33
33
xx
xx
xx
xx
dxxxxdxxxx
dxxxx
132
11
4
123
2
22
4
2
132
11
4
113
2
11
4
1
23
423
4
23
423
4
3
2
11
4
162843
2
11
4
13
2
11
4
1
3
2
11
4
162843
2
11
4
13
2
11
4
1
4
23
2
1
4
25
2
1
4
16
2
1
4
1713
32
11
4
162844
2 4
23uA
II y
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 2 4 x
MATEMÁTICAS
71 G.F.S.
APLICACIONES A LA CINEMÁTICA
Las condiciones iniciales para determinar el valor de la constante de integración C, son datos adicionales a la integral que queremos resolver; veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Hallar f ( x ) sabiendo que F’ ( x ) = X
3 + 2 y f ( 0 ) = 1
Solución. Lo que se tiene que hacer primero es calcular para cualquier valor
de la constante “C”
Para conocer el valor de “C” utilizaremos las condiciones iniciales es decir, cuando f ( 0 ) = 1;
De esta última expresión se obtiene que c = 1. Por lo tanto, la función f ( x ) buscada es:
La gráfica muestra algunas funciones de la familia
