Guía de Estudios de Matemáticas I · 2019. 7. 20. · Preparatoria Clazani Primer Trimestre Matemáticas I 4 INTRODUCCIÓN. La Guía de Matemáticas I, constituye una fuente de

Preparatoria Clazani Primer Trimestre Matemáticas I

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Guía de Estudios de Matemáticas I


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CONTENIDO TEMATICO

UNIDAD I. ÁLGEBRA.

1.1. Definición. 1.2. Notación Algebraica 1.3. Lenguaje Algebraico 1.4. Operaciones fundamentales 1.5. Productos notables 1.6. Factorización 1.7. Trinomios

UNIDAD II. ECUACIONES LINEALES.

2.1. Ecuación Lineal. 2.2. Método algebraico. 2.3. Propiedades de la Igualdad. 2.3.1. Ecuaciones reducibles a lineales. 2.4. Método Gráfico. 2.4.1. Noción de Función. 2.4.2. Función lineal. 2.4.3. Representación Gráfica. 2.4.4. Interpretación de la solución.

UNIDAD III. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

3.1. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 3.1.1. Lenguaje común a lenguaje algebraico. 3.2. Métodos algebraicos. 3.2.1. Suma o resta. 3.2.2. Sustitución. 3.2.3. Igualación. 3.2.4. Determinantes. 3.3. Método gráfico. 3.3.1. Funciones lineales. 3.3.2. Representación gráfica. 3.3.3. Interpretación de una solución.


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UNIDAD IV. ECUACIONES CUADRATICAS. 4.1. Ecuación cuadrática con una incógnita. 4.1.1 Lenguaje algebraico. 4.1. Métodos algebraicos. 4.1.1. Factorización. 4.1.2. Completar el trinomio cuadrado perfecto. 4.1.3. Fórmula general. 4.2. Método gráfico. 4.2.1. Función cuadrática. 4.2.2. Representación gráfica. 4.2.3. Interpretación gráfica de las soluciones. UNIDAD V. LA GEOMETRÍA. 5.1. Ángulos. 5.1.1. Medida y clasificación de ángulos. 5.1.2. Ángulos formados por dos paralelas y una transversal. 5.2. Triángulos. 5.2.1. Clasificación de los triángulos por sus lados y sus ángulos. 5.2.2. Rectas y puntos notables del triángulo. 5.2.3. Principios de congruencia y semejanza. 5.2.4. Teorema de Pitágoras.


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INTRODUCCIÓN. La Guía de Matemáticas I, constituye una fuente de motivación para que el estudiante de bachillerato inicie sus estudios en ciencia matemática. El contenido de esta guía ha sido cuidadosamente elaborado y revisado para el aprendizaje sea más vital y efectivo, haciendo del Álgebra una rama de las matemáticas que sirva de apoyo en las demás materias, como son la Física y la Química. Este curso de Álgebra e introducción a la Geometría se ha escrito para dar un enfoque a los temas programáticos que cimenten las bases para los subsecuentes estudios en Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo Diferencial e Integral, que son cursos fundamentales en el bachillerato y suficiente para continuar una carrera profesional. Todo contenido se ilustra con ejemplos demostrativos. En la solución de problemas se pretenden desarrollar el razonamiento reflexivo y la destreza del educando, incrementando el grado de complejidad para el alumno adquiera la experiencia y confianza en los resultados obtenidos, continuando así su aprendizaje.


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OBJETIVOS GENERALES

El propósito de este texto de Matemáticas I es que el estudiante de bachillerato fortalezca su

aprendizaje en el manejo y aplicación del lenguaje matemático y ejercitar la solución de

problemas.

Todos los contenidos programáticos están ilustrados con ejemplos demostrativos con el fin de

aclarar los principios que se plantean. Las técnicas que se utilizan en la solución de problemas

tienen por objeto desarrollar el razonamiento reflexivo y la destreza del alumno, fortaleciendo y

provocar el interés por los siguientes cursos de matemáticas.

Así el Álgebra y el manejo del lenguaje algebraico es fundamental para este curso, por lo que

aquí te ofrecemos una introducción al estudio de esta rama de las Matemáticas.


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UNIDAD I:

ALGEBRA _________________________________________________________________________________

OBJETIVO PARTICULAR:

UNIDAD I ALGEBRA

• Definiciones • Notación Algebraica • Lenguaje Algebraico • Operaciones Fundamentales • Productos Notables

• Factorización • Trinomios


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1.1 DEFINICIONES. * ÁLGEBRA: Rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas. Para lograr esta generalización, el Álgebra expresa las cantidades por medio de letras, siendo su empleo convencional y determinado por condiciones o principios de los problemas por lo que se dividen en: * LITERALES: son letras del abecedario que se usan para representar valores que son conocidos o que se pueden obtener directamente. Es decir, los datos dados de un problema se representan por medio de literales. * INCÓGNITAS: son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores numéricos que se desconozcan. * VARIABLES Y CONSTANTES: todas las letras conocidas se expresan por las primeras letras del abecedario: a, b, c, d, e, f… etc. Todas las cantidades desconocidas se expresan por las últimas letras del abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z. * LA VARIABLE es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, que puede cambiar de valor. * LA CONSTANTE es cualquier letra o símbolo con valor numérico fijo, no puede cambiar de

valor ( = 3.1416).

1.2 NOTACIÓN ALGEBRAICA Al estudiar el lenguaje algebraico se observa la aplicación de letras y números y otros elementos básicos en la notación algebraica, los cuales denominan SIGNOS DEL ÁLGEBRA, que se clasifican en. * SIGNOS DE OPERACIÓN: las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación se efectúan con forma similar que en la aritmética, estas operaciones se indican con los siguientes signos:

Adición (+) ejemplo: 2x + y Sustracción (-) ejemplo: m - n Multiplicación (x), ejemplo a x b; punto entre dos factores, ejemplo x · y; paréntesis, ejemplo (r) (s). Al tener factores literales o un factor numérico y una literal, no es necesario escribir al signo de multiplicación, ejemplo, u v w, 3 ab, 2x.


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División (), ejemplo a b; separando el dividendo y el divisor por una línea horizontal, ejemplo, x y POTENCIACION: su signo es el "exponente" que indica el número de veces que la base se multiplica por sí misma; ejemplo: a4 = (a) (a) (a) (a) 33 = (3) (3) (3)= 27 Cuando la base no tiene exponente indicado, se sobreentiende que su exponente es la unidad. Radicación: su signo es que se llama radical y dentro de él se escribe la expresión a la

que se va a extraer la raíz; ejemplo, 2 a, 3 8x2 y. SIGNOS DE RELACIÓN: nos permiten identificar, la relación en que se encuentran dos cantidades: a) signo de igualdad (=) a = b b) signo "mayor que" (>) 4 > 2 c) signo "menor que" () 3 5

d) signo "diferente de" () c d

SIGNOS DE RELACION: se representan por:

a) paréntesis curvo ( ) c) paréntesis de llave

b) paréntesis recto d) paréntesis de vínculo __________________

o corchete Los símbolos de agrupación se usan para hacer que el significado de ciertas expresiones sea claro y de esta manera indicar el orden en que se deben efectuar las operaciones.

Elementos de una Expresión Algebraica: 1. Expresión algebraica: es una representación que se aplica a un conjunto de literales y

números que conforman una o más operaciones algebraicas

x; 8x2 ; 3 a + 56; 9 y2 ; x - y

x + y 2. Término algebraico: es cualquiera de las partes de una expresión algebraica separadas

por los signos (+) o (-)


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Los elementos de un término son: Literal Grado o Exponente + 3 x y2

signo coeficiente Grado de un término:

a) Grado Absoluto: es el que se obtiene al sumar los exponentes de la parte literal. 2 x primer grado 3 ab segundo grado 5x2 y tercer grado b) Grado Relativo: el grado relativo a una literal es el mayor exponente que tenga la literal

considerada. a b2 con respecto a a , primer grado con respecto a b, segundo grado 2x2 y3 c con respecto a x , segundo grado con respecto a y , tercer grado con respecto a c , primer grado TÉRMINOS SEMEJANTES: son aquellos que tienen los mismos factores literales y los mismos exponentes. 5 a y 3 a mx y 5mx 3x2 y y 1 x2 y 3 ab y 4 ab 2 5


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Clasificación de expresiones algebraicas según el número de términos: 1. Monomio: están formados por un solo término, en donde los números y las letras están

ligados por la multiplicación

3 x a2 b a3 b2

2c

2. Binomio: está formado por dos términos. 3x2 - 5y2 a + b x3 + 3x2

3. Trinomio: está formado por tres términos. x + y + z a2 + 2 ab + b2 m - 2n + 8 4. Polinomio: son aquellas expresiones formadas por más de un término; binomios, trinomios, etc. Grado de un Polinomio. A ) Grado Absoluto: se determina por el exponente mayor de uno de sus términos. X4 - 6x3 + 8x2 + x - 1 cuarto grado 2 a5 + 5 a4 b4 + 3 a2 b6 - 2 a quinto grado

B) Grado Relativo: es el grado con respecto a una literal, es el mayor exponente que tiene una literal. x3 + x2 y + xy2 + y3 con relación a x, tercer grado Con relación a y, tercer grado a3 + 2 a2 b - 7 ab2 con relación a a, tercer grado Con relación a b segundo grado Valor Numérico de una expresión algebraica: consiste en sustituir valores numéricos asignados para las literales, efectuando las operaciones indicadas para obtener un resultado.


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Ejemplos: Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones dados los valores para los literales: a) 2 a2 b c3 si a=2 b=3 c=1 2(22) (3) (13) = 2(4) (3) (1) = 24 b) 3 x2 - 3x + 5 sí x=2 3(22) - 3(2) + 5 = 3(4) - 3(2) + 5= 11 c) 4 bx3 si b=8 x=2

4 (8) (23)

= 4 8 (8) = 4 64 = 4 (8) = 32

Ejercicio: 1. Escribe tres expresiones algebraicas diferentes. 2. Identifica los elementos de los siguientes términos:

Término Signo Coeficiente Literal

-5x2

5(a+b) x y 3ab2 c -4 x2 y3

3. En las siguientes expresiones algebraicas identificar: monomios, binomios,

trinomios y polinomios.

2x3 y + 4 y2 z 2 x + 3x2 + 5x3 - a -2 x3


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5 4 5 a2 - 3b

x2 y- xy2 + xy 4. Escribe el grado absoluto y relativo de los siguientes términos.

5 b2 c -8x3 y2

a3 b2 c 5. Evaluar las siguientes expresiones 4x2 + 3x - 10 si x=2 2x + 5y si x=4 y=2 x-2 a2 + 2b2 si a=2 b=1 2b a (x - 5y) (2x - y) si x=3 y=-1

ab - 2 a + b2 si a=9 b=4

1.3 LENGUAJE ALGEBRAICO Es aquel que usa números y letras como símbolos para representar cantidades, con el fin de establecer generalizaciones, conceptos, fórmulas y otras expresiones. La utilización de lenguajes simbólicos surge a partir de la necesidad que tenemos de comunicar a nuestros semejantes los que creemos, pensamos o encontramos. La solución de un problema requiere que el lenguaje sea adecuado para comunicarlo a los demás. Ejemplo: Manuel tiene el doble de canicas que Pablo; y Juan tiene el triple de canicas que Manuel; si entre los tres tienen 144 canicas, ¿Cuántas canicas tiene cada uno?


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Una forma de resolver este problema es el uso del lenguaje algebraico, de este modo tenemos: - Pablo tiene la cantidad de canicas x - Manuel tiene el doble de canicas 2x que Pablo - Juan tiene el triple de canicas que 3 (2x) = 6x Manuel

- La suma de todas las canicas es de 144; por lo tanto tenemos que: x + 2x + 6x = 144

En lenguaje algebraico se expresan las características del problema a resolver y se tiene una forma de obtener la solución. El lenguaje algebraico aspira a comunicar ciertos conocimientos con toda claridad y precisión, libre de ambigüedades y confusiones. Todo hace que el uso del lenguaje sea lo más concreto, exacto y preciso posible.

Las expresiones bien formadas en cualquier lenguaje deben tener un significado o una interpretación en la realidad. Ejemplos: 1) El área de un triángulo está dada por la expresión algebraica

A = bh 2

en donde solo tenemos que sustituir los valores b y h de un triángulo dado para determinar su área. 2) El perímetro de una figura geométrica es igual a la suma de la longitud de sus lados. En el

caso de figuras con lados iguales, se utilizan las expresiones: 4 a, 5 a, 6 a………na, para expresar los perímetros del cuadrado, pentágono, hexágono o una figura con n lados iguales, respectivamente. 3) La suma de dos números multiplicada por un tercero se expresa:

(a+b) c

El manejo de resoluciones de este tipo y su aplicación en la resolución de problemas forma parte del lenguaje algebraico.


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Ejercicio: anota la expresión algebraica que indica cada enunciado (coteja las respuestas con tu asesor) a) El doble de un número. b) La tercera parte de la suma de dos números c) La suma de dos números. d) El doble de un número, más el triple de otro. e) El cociente de dos números. f) El cuadrado de las suma de dos números. g) La raíz del producto de tres números. Traduce las siguientes expresiones algebraicas a lenguaje común (coteja las respuestas con tu asesor) a) a+b+c b) 2x - 3b c) abc

d) a (x-y) e) (x+y)(x-y)

1.4 OPERACIONES FUNDAMENTALES

A) ADICIÓN O SUMA:

Esta operación consiste en resumir dos o más expresiones algebraicas en una sola. Para sumar dos o más expresiones se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.

• SUMA DE MONOMIOS a) sumar 5 a, 6b y 8c 5 a + 6b + 8c b) sumar 3 a2 b, 4ab2, a2 b, 7ab2 y 6b3

3 a2 b + 4ab2 + a2 b + 7ab2 + 6b3

= 4 a2 b + 11ab2 + 6b3

c) sumar 7 a, -8b, -15a, 9b, -4c y 8 7 a-8b-15a+9b-4c+8 = -8 a +b-4c+8 Ejercicio: Sumar 1) -3 a, 4b 6) -7 a, 8a, -b 2) 5b, -6a 7) -m, -8n, 4n 3) -2x, 3y 8) m3,-4m2n, 5m3,-7mn2, -4m2 n 4) 5 a, 7a 9) 9x, 11y, -x, -6y, 4z, -6z


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5) -8x, -5x 10) -8 a2 b, 5ab2, -a2 b, -11ab2, 7b3

• SUMA DE POLINOMIOS Para facilitar esta operación se acostumbra escribir los polinomios unos debajo de los otros, de modo que los términos semejantes queden en columna. Se reducen, separándolos con sus propios signos. Ejemplos: a) sumar: a - b, 2 a + b - c, -4 a+ 5b

a - b 2a+b-c -4 a+ 5b -a +5b-c

b) sumar: 8 a-3b+5c-d; -2b +c-4d; -3 a+5b-c 8 a - 3b + 5c -d - 2b + c - 4d -3 a+5b - c 5 a +5c- 5d

Ejercicios: Sumar los siguientes polinomios (coteja las respuestas con tu asesor) 1) 3 a+2b-c; 2 a+3b+c 2) m+n-p; -m-n+p 3) a+b+c; 2 a+2b-2c; -3 a-b+3c 4) -7x-4y+6z; 10x-20y-8z; -5x+24y+2z 5) -5 a-2b-3c; 7 a-3b+5c; -8 a+5b-3c Los polinomios deben ordenarse con respecto a una letra. 6) 3x2 -4xy+y2; -5xy+6x2 -3y2; -6y2 -8xy -9x2

3x2 - 4xy + y2

6x2 - 5xy - 3y2

-9x2-8xy - 6y2

-17xy-8y2

7) x2 + 4x; -5x +x2 8) 3x+x3; -4x2+5; -x3 + 4x2 -6 9) a2 -3ab +b2; -5ab + a2 -b2; 8ab-b2 -2 a2


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10) -x2 +x-6; x3 -7x2 +5; -x3 +8x-5

B) SUSTRACCIÓN. Regla general para restar: se escribe el minuendo con sus propios signos, en seguida el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes entre sí, si los hay.

• RESTA DE MONOMIOS. a) Restar 4b de 2 a b) de -5 a2 b restar 4 a2 b 2 a-4b= 2 a -4b -5 a2 b -4 a2 b = -9 a2 b c) de 7x3 y4 restar -8x3 y4

7x3 y4 -(-8x3 y4) = 7x3 y4 + 8x3 y4 = 15x3 y4

Ejercicio: (coteja las respuestas con tu asesor)

De: Restar:

1) 2 a restar 3b 6) -19m3 de 25m3

2) 4x restar 6b 7) -6 a de 3 b 3) -a restar 4b 8) -11m3 de 54m3

4) -7xy restar -5yz 9) -3b de -4b 5) 11m2 restar 25m2 10) -a de 3 a

• RESTA DE POLINOMIOS.

a) de 4x-3y+z restar 2x+5z-6 4x-3y+z minuendo -2x -5z+6 sustraendo 2x-3y-4z+6

b) restar -4 a5 b- ab5+6 a3 b3 -2 a2 b4 -3b6 de 8 a4 b2 + a6 -4 a2 b4 + 6 ab5

a6 +8 a4 b2 -4 a2 b4 +6 ab5

+4 a5 b -6 a3 b3+2 a2 b4 + ab5 + 3b6

a6 +4 a5 b +8 a4 b2 -6 a3 b3 - 2 a2 b4 + 7 ab5 +3b6


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c) restar -8 a2 x+6-5 ax2 - x3 de 7 a3 +8 a2 x +7ax2 -4 7 a3+ 8 a2 x + 7 ax2 -4 + 8 a2 x + 5 ax2 + x3 -6 7 a3+16 a2 x+12ax2 + x3 -10

d) restar 3 xy + 1 xz -2 yz de 1 xy + 3 xz + 4 yz 5 4 3 5 4 9 1 xy + 3 xz + 4 yz 5 4 9 -3xy- 1 xz + 2 yz 5 4 3 -2 xy + 2 xz + 30 yz 5 4 27

Ejercicio: Resuelve las siguientes restas indicadas (coteja las respuestas con tu asesor)

a) 3x - 2y + 16 b) 11ax - 7 ay + 4 -x - 5y - 9 4ax +8 ay - 3

c)9ax2 + 15 bx - 16 ab -8ax2- 10 bx + 3 ab

d) restar 6x-7y+7 de 10x-17y+2z-5

e) restar 1 x + 3 y -5 z de 5 x - 3 y + 2 z 2 4 7 2 8 7

Eliminación de signos de Agrupación. En ocasiones, una expresión de dos o más términos se presenta como una sola cantidad encerrada en signos de agrupación. Estos signos de agrupación nos indican que algunas operaciones se deben realizar primero que otras, para eliminar signos de agrupación se siguen las siguientes reglas: 1. Los signos de agrupación precedidas del signo (+) pueden agregarse en una expresión o

eliminarse, sin cambiar los signos de la misma. 2. Los signos de agrupación precedidos del signo (-) se pueden agregar en una expresión o

eliminarse cambiando los signos de los términos de la expresión. Por lo general uno o más signos de agrupación están contenidos unos en otros, por lo que se recomienda comenzar por eliminar los signos anteriores.


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Ejemplos: Eliminar los signos de agrupación y simplificar las siguientes expresiones.

a) - x + 2y + 3 -(x+5y-1)+4-6x +3y-7 + 3x

= - x+ 2y+3-x-5y+1+4-6x+3y-7+3x

= - x+2y+3-x-5y+1+4-6x+3y-7+3x = -x-2y-3+x+5y-1-4+6x-3y+7+3x = 9x-1

b) 8x-5x-(-x+y)+7y+2y

=8x-5x+x-y+7y+2y

= 8x-5x-x+y-7y+2y

= 2x-4y

Ejercicios: (coteja las respuestas con tu asesor) 1. 5y+2x-(y+5x+z)+(-2x+3y)+7z=

2. -(4x-3y+2)-y+(1-x)+2y+3=

3. -5-(6xy-z)+2xy+7z+3+5xy=

4. -4m-n-6-(2m-4n+2)+7n-3m=

5. -5x-y-3y-(z-2y+x)-4x+z=

C) PRODUCTOS DE POLINOMIOS Antes de efectuar la operación, un polinomio se ordena con respecto al exponente de una literal en forma ascendente o descendente. 3x5 -4x4 +2x3 +x2 -5x +9 ordenación descendente con respecto de x 2 a+5 a2 -7 a3 +a4 ordenación ascendente con respecto de a

• MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Se fundamenta en el producto de los coeficientes, la ley de los signos y las leyes de los exponentes.


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Ejemplos: a) multiplicar 3x por 4x

(3x)(4x)=12x

b) multiplicar -x y por 3xz (-x y)(3xz)=-3x2 yz

c) multiplicar -7 a2 b3 c por -2 a2 b c3

(-7 a2 b3 c)(-2 a2 b c3)= 14 a4 b4 c4

Ejercicio: 1. (x2 y)(-2xy)= 2. (5mn)(m2 n)= 3. (-3 ab2 )(-a2 b2)= 4. -3xy2 (2x)= 5. (xy)(8x2 )(2xy)=

• MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS POR POLINOMIOS. Esta operación se fundamenta en la ley distributiva que establece multiplicar el monomio por cada término del polinomio tomando en cuenta la ley de los signos y las leyes de los exponentes. Ejemplo: a) multiplicar ax por x2 -2xy + y2

ax (x2 -2xy+y2)=ax3 -2a2 y+axy2

b) multiplicar a2 + 5 a+6 por -2ab2

(a2 +5 a+6)-2 ab = -2 a3 b - 10 a2 b -12 ab

Ejercicios: (coteja las respuestas con tu asesor) 1. ab(b2- a2)= 2. 2mn(2m-3n-4nm+1)= 3. -b2 c(a3 -2ab + 3bc3)= 4. 2xy(-3x+4 x2 y2 -6x3 y3)= 5. (2 a+5 ab2-3 a2 b)-5 abc=


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• MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Esta operación se realiza multiplicando cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio. Ejemplos: a) multiplicar (x+y) por (u-v)

x + y u - v ux+uy -vx-vy ux+uy-vx-vy

b) multiplicar (m2 + n2) por (4x2 - 3x+1) 4x2 - 3x +1 m2 + n2

4m2 x2-3m2 x+m2

+4n2 x2-3n2 x+n2

4m2 x2-3m2 x+m2+4n2 x2-3n2 x+n2

c) multiplicar (x2+3x+5) por (x-4)

x2+3x+5 x-4 x3+3x2+5x -4x2-12x-20 x3-x2-7x-20

Ejercicios: (coteja las respuestas con tu asesor) 1. (x2 + xy - y2)(y - 2x)= 2. (x2 - 2x + 4)(3x2 - 5x -2)= 3. (a - 7b)(a2 + 4ab+2b2)= 4. (m2 - 4m + 5)(9m2 + 3m - 1)= 5. (-x-y+z+2)(6x-5y-3z+4)=


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D) DIVISIÓN

Al realizar la división se toman en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes.

• DIVISIÓN DE MONOMIOS. Se dividen los coeficientes y se aplican la ley de los signos y la ley de los exponentes. Ejemplos: a) dividir 6x3 entre 2x

6x3 = 3x2

2x

b) dividir -4 a2 b5 entre -16 ab3 -4 a2 b5 = 1 ab2

-16 a b3 4

Ejercicios: 1. 24 a2 b4 = 4. 21x3= 6 ab2 7x2

2. 10 m2 n= 5. 32x6 y3= 5n 4x4 y 3. 15 a2 x3=

5 a x

• DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO. Se debe tomar en cuenta la propiedad distributiva, además la ley de los signos y la ley de los exponentes. Ejemplos: a) dividir a2 b - 2ab2 + 4 a entre a

a2 b - 2ab2 + 4 a= ab-2b2+4 a

b) dividir 4x3 - 12x2 - 8x + 2 entre -2x 4x3 - 12x2 - 8x + 2= -2x2 + 6x + 4 -1 -2x x


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Ejercicios: (coteja las respuestas con tu asesor) 1. x4 - 3x3 - 2x2= -2x2

2. 24x3 - 12x2 - 16x= 4x 3. 25 a3 b - 15 a2 b2 + 5 ab3= - 5 ab

• DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Esta operación se realiza mediante un proceso semejante a la división aritmética. En primer lugar, es necesario ordenar el dividendo y el divisor en forma descendente (de mayor a menor) con respecto al exponente de una literal. En seguida se efectúan los siguientes pasos: 1º Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo así el primer término del cociente. 2º Se multiplica el primer término del cociente por cada término del divisor y el producto se escribe cambiando de signos debajo de los términos semejantes del dividendo. 3º Se reducen los términos semejantes para dar lugar a un nuevo dividendo. 4º Se divide el primer término de este nuevo dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el segundo término del cociente. 5º Se multiplica este segundo término por cada uno de los términos del divisor y se escriben cambiando los signos debajo de los términos semejantes del dividendo. 6º Se reducen términos semejantes. 7º Se repiten las operaciones anteriores, hasta que el residuo sea cero. Ejemplo: a - 4 a2+a+2 a3 + 5 a2 + 6 a + 8 -a3 + a2 - 2 a 4 a2 + 4 a + 8 -4 a2 - 4 a - 8 0


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Si la división no es exacta, el resultado se escribe dejando el residuo que resulte.

x + 10 x2 + 4 x3 + 10x2 + 12x -x3 - 4x 10x2 + 8x -10x2 -40 - 8x - 40

Ejercicios:

1. dividir y5 + 2y4 - 5y3 +1 entre y+1 2. 2m5 - 6m4 + 7m3 + 5m2 - 11m + 4 entre m2 - 3m +1 3. 6x4 - 19x3 + 16x2 -x-2 entre 2x2 - 3x -1

1.5 PRODUCTOS NOTABLES

Definición: son ciertos productos que se efectúan por simple inspección, basándose en reglas que al memorizarse, nos permiten llegar al resultado. 1. Producto de la suma y la diferencia de dos números.

El producto de la suma y la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. (Binomios conjugados).

(x + y)(x - y) = x2 - y2

(2x+y)(2x-y)= 4x2 -y2

2. Cuadrado de un Binomio.

El resultado será un trinomio cuyos términos se determinan como sigue: 1. el cuadrado del primer término 2. el doble producto del primer término por el segundo término 3. el cuadrado del segundo término

Ejemplos: a) (xy+2z)2 = x2 y2 + 2(2xyz) + 4z2

= x2 y2 + 4xyz + 4z2

b) (4-3y)2 = 16-2(12y)+9y2 = 12-24y+9y2

Ejercicios:


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Desarrolla los siguientes productos notables. 1. (x+5)(x-5)= 2. (3x+2y)(3x-2y)= 3. (5 a2 b-2c)(5 a2 b+2c)= 4. 1 ab + 3 c 1 ab - 3 c =

3 4 3 4 5. (7x + 5yz)2= 6. (6xy-1)2= 7. 4 a - 2 b 2=

3 5 8. (m2 + 3 n)2=

2 9. (b-3c)2= 10. (-2x2 - 6y2)2=

3. Cuadrado de un Polinomio Es igual a la suma de los cuadrados de cada término del polinomio, más el doble producto de los términos tomados de dos en dos. Ejemplos: a) (a+2b-3c)2=a2+4b2+9c2+4 ab-6 ac-12bc b) (2x-3y-5z)2=4x2+9y2+25z2-12xy-20xz+30yz Ejercicios: 1. (3x+2y+z)2= 2. (4x2-3x-1)2= 3. (5 a +7b-3c)2= 4. (3x-y-z+1)2= 5. (x+6y+z+2)2= 4. Producto de dos Binomios con términos Semejantes Tenemos dos casos: a) Producto de binomios con término común.


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Es igual al cuadrado del término común, más el producto de la suma algebraica de los términos no comunes por el término común, más el producto de los términos no comunes. Ejemplos: (x+6)(x-3)= x2 +3x-18 (3-k)(8-k)=24-11k+k2

(4-x2 y)(6- x2 y)= 24-10x2 y +x4 y2

b) Producto de binomios con términos semejantes. Se resuelve de la siguiente manera: 1º se multiplican los primeros términos de los binomios. 2º se multiplican los términos extremos y los términos internos de los binomios y se reducen los términos semejantes. 3º se multiplican los segundos términos. Ejemplos: (3x-4y)(2x-y)=6x2 -11xy+4y2

(7m-2n)(3m+4n)=21m2 +22mn-8n2

(2 a +5b)(a -3b)= 2 a2 -ab-15b2

Ejercicios: (coteja las respuestas con tu asesor) 1. (5 ax+2)(5 ax+4)= 2. (5-x2 y)(7- x2 y)= 3. (2x+3)(2x+7)= 4. (-3+ay)(1+ay)= 5. (5mx-2)(5mx-3)= 6. (3x-4yz)(2x-2yz)= 7. (mn+7)(2mn+5)= 8. (2 ab)(6 a+3b)= 9. (3x+5y)(x-y)= 10. (a2 -x2)(7 a2 + 2x2)=


26

5. Cubo de un Binomio Es igual a: 1º el cubo del primer término del binomio 2º el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término. 3º el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término. 4º el cubo del segundo término Ejemplos:

a) (x-1)3= x3-3x2+3x-1 b) (x2- 5y)3= x6-3(x2)2(5y)+3(x2)(5y)2-(5y)3

= x6 -15x4 y + 75x2 y2 -125 y3

Ejercicios: (coteja las respuestas con tu asesor)

1. (3 - a2)3= 2. (x-5)3= 3. (ab + c)3= 4. (3x - 2y)3= 5. (x2 - ay)3=

1.6 FACTORIZACIÓN Definición: es la operación contraria a la multiplicación que consiste en descomponer en factores los términos dados. Factor: son cada uno de los elementos que al multiplicarse dan un producto. Factores de un Monomio: 12xy= (3) (4) (x) (y) 6 a2= (2) (3) (a) (a) 15 x2 y3 z= (3) (5) (x) (x) (y) (y) (y) (z) Factores de un Polinomio a x+ a y= a(x +y) 4x3 -2x2+6x=2x (2x2-x+3)


27

Factores Comunes Cuando el polinomio tiene un factor común, su factorización es el producto de dos factores, en donde uno de los factores es el factor común. Ejemplos: a) bx + 2x= factor común x bx + 2x el polinomio se divide entre x x el factor común y se obtiene: (b+2) por lo que el resultado será: x (b + 2) b) 12x2 y-2z2 y+8w2 y= factor común 2y

12x2 y-2z2 y+8w2 y= 6x2 -Z2+4w2, por tanto: 2y 2y 2y 2y (6x2-Z2+4w2)

c) 3x2 y3 + 9x3 y2 - 6x3 y factor común 3x2 y 2 4 8 2 3x2y3 9x3y2 6x3y 2 + 4 - 8 = y2 + 3 x y - x 3x2y 3x2y 2 2 2 2 2 = 3x2 y (y2 + 3 x y - x) 2 2 2 Factor común binomio a) m(x +y)+n(x +y) factor común (x +y) M(x +y) + n(x +y) = m +n (x +y) (x +y) (x + y)(m + n)

b) 2 a (3-x2)-5b (3-x2) factor común: (3-x2) 2 a (3-x2) - 5b (3-x2) = 2 a -5b (3-x2) (3-x2) (3-x2)(2 a-5b)


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Ejercicios: (coteja las respuestas con tu asesor) Factorizar. 1. x y + x2= 2. 3 a3 x2 + 9 a x2= 3. m -m2+m3= 4. 2 ab-6bc + 4b= 5. 3mx+21 m2 x-9m2 x2+12m x2= 6. 7(a+2)+x(a+2)= 7. (a+3)(x+1)-(4 a-1)(x+1)= 8. (x+a)(a-2y)+(x+b)(a-2y)= 9. 6(b+c)+8 a(b+c)= 10. (x-7)(1+3 a)-(x+2)(1+3 a)=

Factorización de la Diferencia de Dos Cuadrados Es el producto de la suma de los términos multiplicada por la diferencia. Ejemplos: a) 4x2-y2=(2x+y)(2x-y) b) am2 -an2 =a (m2 -n2)= a (m +n) (m -n) c) 25x4-49=(5x2+7)(5x2-7)

1.7 TRINOMIOS a) Trinomio Cuadrado Perfecto Un trinomio cuadrado perfecto se identifica si sus primero y tercer términos tienen raíz cuadrada perfecta, para ello, se calcula la raíz cuadrada del primero y tercer términos y el signo se toma del segundo término del trinomio. Ejemplos: a) 16x2+16x+4=(4x+2)2 b) 1-2 a2 +a2=(1-a)2 c) x2 +3x+ 9 = (x + 3 2

4 2


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b) Trinomio de la forma x2 + bx + c Se identifica porque el tercer término no tiene raíz cuadrada exacta. Se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son la raíz cuadrada del primer término del trinomio; los segundos términos serán dos números que multiplicados entre sí, den el tercer término del trinomio, y sumados algebraicamente nos den el segundo término del trinomio.

Ejemplos:

a) x2+11x+24=(x+8) (x+3) (8) (3)=24 8+3=11 b) a2 -3 a-28=(a-7) (a+4) (-7) (-4)=-28 -7+4=-3 c) y4+x2-12= (y2+4) (y2-3) (4) (-3)=-12 4-3=1 d) (x+y)2-4(x+y)-21=(x+y-7)(x+y+3)

c) Trinomio de la forma ax2+bx+c

Se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquellos que multiplicados el primer término del trinomio dado; los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den el tercer término, pero que el producto de los términos extremos e interiores al sumarse algebraicamente del el primer término central del trinomio.

Ejemplos:

a) 3x2+14x+8=(3x+2)(x+4) b) 5x2-11x-36=(5x+9)(x-4) c) 15 a2+17 ab-4b2=(5 a-1)(3 a+4)

Factor común por agrupamiento

Cuando un polinomio no tiene ningún factor común, se forman conjuntos de términos que sí contengan un factor común, éste será un factor del polinomio y el otro factor resultará del agrupamiento de términos.

Ejemplos:

a) 5x+5y+mx+my=(5x+5y)+(mx+my) =5(x+y)+m(x+y) =(x+y) (5+m)


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b) m2-n2-5m+5n=(m2-n2)+(-5m+5n) =(m+n)(m+n)-5(m-n) = (m-n) (m+n-5)

c) 6x2-12xy+8x-16y= 6x(x-2y)+8(x-2y)=(x-2y) (6x+8)

Ejercicios: (coteja las respuestas con tu asesor) Factorizar a) Diferencia de Cuadrados

16x2-36y2= 2x-8xy2= 4 a-x2= 5m2-45n2=

b) Trinomio Cuadrado Perfecto -2x2+x+1= x2-12x+36= 49 a2 -54 a+25= a4 + 8 a2+16

c) Trinomio de la forma x2+bx+c x2+11x+18= x2-9x+18= a2+5 a-24= y2-6y-27=

d) Trinomios de la forma ax2+bx+c 3 a2-10 a-8= 12x2-11x+2= 4 a2-25 a+21= 5x2-8x+3= e) Factor común por agrupamiento m +m2-mn2-n2= 3x-2y-2xa2+3ya2= 5m-5n+2x-2y=


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GLOSARIO

- Literal-Letras del abecedario que representan valores

- Incógnitas-Letra del abecedario que representan valores desconocidos.

- Variable-Letra o símbolo que puede tomar cualquier valor.

- Constante-Letra o símbolo con un valor numérico fijo.

- Términos semejantes: Son aquellos que tienen la misma parte literal con sus mismos

exponentes.


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AUTOEVALUACION Encierra en un círculo la respuesta correcta de cada enunciado. 1. Expresión algebraica del "el doble de la suma de dos números

a) 2x + y b) 2 (x + y) c) x + y 2

2. Expresión algebraica de "la raíz cuadrada del producto de dos números"

a) b) c)

3. Son términos semejantes:

a) 2ª, ab, 2c b) x2 y,5 x2 c) a,b,c

4. La suma de 2mn + 6mn -5mn es:

a) 3mn b) -3mn c) -13mn

5. El resultado de restar -2x2 -5x+7 de -3+8x2-2x es

a) -10x2+3x-10 b) 6x2-7x+4 c) 10x2+3x-10

RESULTADOS AUTOEVALUACION

1. b 2. c 3. b 4. a 5. b

y

x X xy


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UNIDAD II:

ECUACIONES LINEALES

UNIDAD II: ECUACIONES LINEALES.

* Ecuación Lineal

* Método Algebraico

+ Propiedades de la Igualdad

+ Ecuaciones reducibles a lineales

* Método Gráfico

+ Noción de Función

+ Función Lineal

+ Representación Gráfica

+ Interpretación de la solución

OBJETIVO PARTICULAR: Al final de la unidad, el alumno empleará los métodos algebraico y gráfico a partir de ecuaciones lineales para la resolución de problemas.


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2.1 ECUACIÓN LINEAL.

Definición de Ecuación: La ecuación es una igualdad en la que intervienen letras cuyos valores son desconocidos y se denominan INCOGNITAS, las cuales se indican generalmente por las últimas letras del alfabeto. Cuando alguno o algunos de los valores de las incógnitas hacen verdaderas la igualdad, se dice que dichos valores "satisfacen" la ecuación; por lo que la ecuación es una igualdad condicionada. La notación de una ecuación consiste en escribir el símbolo = entre los términos, por lo que una ecuación está formada por dos partes llamada MIEMBROS, uno a la izquierda del símbolo igual a otro a la derecha, nombrándose primero y segundo miembro de la ecuación, respectivamente.

ES IGUAL A

5x-9 = 15-3x

PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO

Grado de una ecuación El grado de una ecuación queda determinado por el mayor exponente al que está elevada la incógnita en la ecuación considerada. Ejemplo: 5x-9=15-3x es una ecuación de PRIMER GRADO ya que su incógnita X tiene como exponente la unidad. Las ecuaciones de primer grado también se llaman ECUACIONES LINEALES o SIMPLES, debido a que su gráfica representa una línea recta.

2.2 MÉTODO ALGEBRAICO

Resolver una ecuación es hallar el valor o valores que adquieren la o las incógnitas para satisfacer la ecuación. A este valor se le llama SOLUCIÓN o RAIZ DE LA ECUACIÓN.


35

El número de soluciones está en función de su grado, es decir, una ecuación de primer grado tiene una sola raíz, las de segundo grado tienen dos raíces, y así sucesivamente.

2.2.1 Propiedades de la Igualdad. Ecuaciones Equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Al resolver una ecuación, se transforma en otra que es equivalente a la primera y se resuelve muy fácilmente. En este proceso de resolver la ecuación, se realizan operaciones que dan lugar a otras ecuaciones y para saber si la ecuación derivada es equivalente a la ecuación original, para lo cual se deben tomar en cuenta las siguientes ecuaciones. a) Si se suma o se resta una misma cantidad a ambos miembros de una ecuación, se obtiene

una ecuación equivalente. Ejemplo: x+15=12, si le sumamos 7 a ambos miembros: x+5+7=12+7 x+12=19 ECUACIÓN EQUIVALENTE En la ecuación original y la equivalente x=7, las dos ecuaciones se satisfacen. Este proceso es igual para la resta. b) Si se multiplican o dividen los dos miembros de la ecuación por una misma cantidad diferente

al cero, se obtiene una ecuación equivalente. Ejemplo: x = 5, si multiplicamos por 2 a los dos miembros tenemos que: 2 x(2)= 5(2) 2 2x =10 ECUACIÓN EQUIVALENTE 2 x=10 2x=5, si dividimos ambos miembros entre 2 tenemos, que: 2x = 5 ECUACIÓN EQUIVALENTE 2 2


36

x= 5 2

De estas propiedades, se derivan los siguientes principios: TRASPOSICIÓN DE TÉRMINOS. 1. Si en un miembro de la ecuación, un término está sumando o restando, puede pasar al otro

miembro de la ecuación con la operación contraria: restando o sumando respectivamente. Ejemplo: Restando

3x -6 = -5x+4

Sumando 3x-5x=4+6 2. Si una cantidad está dividiendo a un miembro de la ecuación, pasa al otro miembro de la

ecuación multiplicando a los términos de ese término. Ejemplo: x =14-x

5 ____Multiplicando

x=5(14-x) 3. Si una cantidad está multiplicando en un miembro de la ecuación, pasa al otro miembro de

la ecuación, pasa al otro miembro de la ecuación dividiendo a los términos de ese otro miembro.

Ejemplo:

5 x = 13

___________ Dividiendo x= 13 5


37

• Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Estas ecuaciones tienen la forma de ax+b=0, donde: b= un número cualquiera a= un número cualquiera diferente a cero El método de solución tiene los siguientes pasos: 1. En un miembro de la ecuación (generalmente en el primer miembro) se agrupan aquellos

que contienen la incógnita, y en el otro miembro las constantes. 2. Se reducen los términos semejantes. 3. Se aplican las propiedades anteriores para despejar la incógnita. Ejemplos: a) x-7=1-3x

x+3x=1+7 se agrupan en el primer miembro las incógnitas y en el segundo miembro las constantes. 4x=8 se reducen términos semejantes. x= 8 se despeja x según los principios anteriores. 4

x=2

Comprobación: se sustituye el valor de x=2 en la ecuación dada. x-7 = 1-3x 2-7 = 1-3(2) -5 = -5

b) 1-2x = 5 + 5x + 4 el m.c.m. de los denominadores es m.c.m.=12 3 12 4 así que se multiplica por 12 cada uno de los términos 12(1-2x) = 12(5) + 12(5x+4) en ambos miembros de la ecuación. 3 12 4

4(1-2x)=5+3(5x+4) Dividiendo 4-8x=5+15x+12 -8x-15x=5+12-4 Trasponiendo -23x=13 Reduciendo x= -13 Despejando 23


38

• Ecuaciones de primer grado con la incógnita en el denominador.

Procedimiento: 1. Se suprimen los denominadores al multiplicar cada uno de los términos de la ecuación por el

m. c. m. de los denominadores para transformar la ecuación de fraccionaria a lineal. 2. La ecuación obtenida se resuelve aplicando los pasos del método anterior. Ejemplos: a) 2 + 1 = 3 + 13 m. c. m. del denominador 6x 3x 2 2x 6 6x(2) + 6x(1) = 6x(3) + 6x(13) x = 5 3x 2 2x 6 -10 2(2)+3x(1)=3(3)+x(13) x = -1 4+3x=9+13x 2 3x-13x=9-4 -10x=5 b) 1-5x2 = 1-2x -1 factorizando el denominador del primer miembro. 3x2-2x-1 3x+1 1-5x2 = 1-2x -1 (3x+1)(x-1) 3x+1 3x+1(1-5x2) = 1-2x(3x+1) - 1(3x+1) (3x+1)(x-1) 3x+1 1-5x2 = x-1 Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x2+1 = 3 -4

x2-x-2 x-2 b) 5 - 9 -5 = 7

7x 2x 14


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c) 5 + 8 = 9

2x+a 5x 10x-5a

d) 2x2+1 = 2x-1 - 8 x2+7x x x+7

e) 3x+4 = 2x+5 6x-5 4x-1

• Resolución de problemas cuyo planteamiento da origen a una ecuación de primer grado en una incógnita.

Existen un gran número de problemas que se plantean en lenguaje común y en los cuales no existe un procedimiento establecido para su solución y cada problema tiene su planteamiento. En los problemas dados en lenguaje común se tienen cantidades conocidas llamadas DATOS y cantidades desconocidas llamadas INCOGNITAS y que se relacionan unas con otras para buscar solución, dando lugar a una ecuación lineal. Para resolver un problema, se sugieren los siguientes pasos a seguir: 1. Leer con cuidado el enunciado del problema hasta que se entienda claramente, sin olvidar

tomar en cuenta las cantidades conocidas o datos y las desconocidas o incógnitas. 2. Expresar las incógnitas en términos de una sola variable. 3. Determinar la relación que hay entre datos e incógnitas en un planteamiento que dé lugar a

una o más ecuaciones lineales.

4. Resolver la ecuación o ecuaciones, comprobando el resultado. Ejemplos: 1. Juan pagó por una camisa y un suéter $900; si la camisa costó la cuarta parte del

valor del suéter, ¿cuánto costó cada prenda? DATOS ECUACIÓN Suéter =x x+ x = 900 x= 3600


40

Camisa = x 4 5 4 Costo total $900 4x+x=46(900) x=720 5x=3600 suéter=$720 camisa=$180 2. La suma de tres números enteros consecutivos es 78 ¿Cuáles son dichos

números? DATOS ECUACIÓN x x+x+1+x+2=78 x=25 x+1 3x+3=78 x+2 3x=78-3 x=25 78 3x=75 x+1=26 x=75 x+2=27 3 78 3. En un terreno de forma rectangular cuyo perímetro es de 420m, el largo mide el

doble que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? DATOS ECUACIONES x+2x+x+2x=40 ancho=70m 6x=420 largo=140

x x= 420 6 2x x=70 P=420m

4. Una bolsa tiene $11.65 en monedas de 25 y 10 centavos; el número total de monedas es 70, ¿Cuántas monedas hay de 25 centavos y cuántas de 10 centavos?

DATOS ECUACIÓN Monedas de 25 centavos = x 0.25x+0.10(70-x)=11.65 Monedas de 10 centavos=70-x 0.25x+7-0.10x=11.65 Total de monedas=70 0.15x=11.65-7 Suma de monedas de 0.15x=4.65 25 y 10 centavos =$11.65 x= 4.65 0.15 x=31


41

monedas de 25 centavos=31=$ 7.75 monedas de 10 centavos=39= 3.90 $ 11.65 5. ¿Cuántas onzas de plata pura se deberán agregar a 24 onzas de una aleación al

60% para convertirla en una aleación al 76%? DATOS ECUACIÓN Onzas de plata =x x+60%(24)=76%(24x+x) Aleación al 60%= 24 x+0.60(24)=0.76(24+x) Aleación al 76% =24+x x+14.4=18.24+0.76x x-0.76x=18.24-14. 0.24x=3.84 x= 3.84 0.24 se deberán agregar 16 onzas de plata x= 16 Ejercicios: Resuelve los siguientes problemas: 1. Miguel tiene el doble de dinero que Javier y Rosa tiene el triple de lo que tienen Miguel, si

entre los tres tienen $36 000, ¿qué cantidad tienen cada uno? 2. Encontrar un número que aumentado en 5/3 de sí mismo, sume 152.

3. Cada uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles es 12º mayor que el tercer ángulo; encontrar los ángulos, recordando que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180º


42

4. Los ángulos M y N son suplementarios (suman 180º) ¿Cuánto mide cada ángulo, si M es el triple de N?

5. Recorrer en automóvil cierta distancia a 110 km/h requiere de 20 minutos menos que lo que

se emplea a 95 km/h; determinar la distancia

2.3 MÉTODO GRÁFICO.

2.3.1 Noción de función. Función: es la correspondencia entre los elementos de un conjunto llamado DOMINIO, que se relacionan con la variable independiente X y los elementos de otro conjunto llamado CONTRADOMINIO, que representan la variable dependiente Y. Una función se caracteriza por los siguientes tres aspectos: 1. Un conjunto no nulo, llamado DOMINIO de la función. 2. Otro conjunto nulo, llamado CONTRADOMINIO de la función. 3. Una regla de correspondencia, que indica lo siguiente:

I. Cada elemento del DOMINIO se asocia con un elemento del CONTRADOMINIO.

II. No deberá quedar sin asociación en el CONTRADOMINIO cada uno de los elementos del dominio.

III. Cualquier elemento del dominio, no tendrá más de un asociado en el

CONTRADOMINIO Para decir que la variable Y depende de la variable X, o que Y es función de X, o que Y es f de x, se utiliza la expresión llamada expresión de Ganchy, que es: y = f(x)


43

2.3.2 Función Lineal. Toda ecuación de primer grado es una función lineal, ya que su gráfica, representa una línea recta.

2.3.3 Representación Gráfica. El Plano Cartesiano y Funciones. Plano Cartesiano: es la unión de dos rectas perpendiculares que dividen al plano en cuatro cuadrantes. A la recta horizontal se le llama eje de las X o de las abscisas y a la recta vertical, eje de las y o de las ordenadas. A las rectas del plano cartesiano también se les llama ejes de coordenadas.

Coordenadas de un Punto: Es el par de números que designan la localización de un punto en el plano cartesiano.

Parejas ordenadas: Son las que se forman por dos números. Para localizarlas se busca el primer primer número sobre el eje de las abscisas y e segundo número sobre el eje de las

El punto que corresponde a una pareja ordenada, se denomina gráfica de un par de números

II CUADRANTE

I CUADRANTE

III CUADRANTE

IV CUADRANTE

y

x


44

Ejemplo:

Localizar las coordenadas de los puntos A (2,3) B(-3,1) C(-2,-4) D(1,-5)

Gráfica de funciones:

Sea y= f(x), con esta expresión tenemos que para cada valor de x corresponden uno o varios valores de y. Los valores de x se toman como abscisas y los valores de y como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos. El conjunto de estos puntos será una línea recta o curva que es el gráfico de la función o de la ecuación y= f(x) que representa la función. En la práctica se obtienen unos cuantos puntos y se unen convenientemente (interpolación) para obtener la gráfica de la función.

1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

4 3 2 1

y

x

A

B

C

D


45

Ejemplo: Dando valores a X, se obtienen los valores de y y= f(x) = 2x+1 TABULACIÓN X Y

-2 -1 0 1 2

-3 -1 1 3 5

Representando los valores de X como abscisas y los valores correspondientes de y como ordenadas, se obtienen una serie de puntos que al unirlos forman la recta MN. Visto lo anterior podemos establecer los siguientes principios: 1. Toda función de primer grado representa una línea recta y por eso se llama FUNCIÓN

LINEAL, y la ecuación que representa la función se llama ECUACIÓN LINEAL. 2. Si la función carece de término independiente, es decir, es de la forma y = ax, donde a es

la constante, la línea recta que se representa pasa por el origen. 3. Si la función tiene término independiente, o sea si es de la forma y= mx + b, donde m y b

son constantes, la línea recta que se representa no pasa por el origen y su intersección sobre el eje de las y es igual al término independiente b.

Para obtener la gráfica de una función de primer grado, es suficiente si se obtienen dos puntos cualesquiera y unirlos por medio de una línea recta. Si la función no tiene término independiente, como uno de los puntos de la gráfica es el origen, es suficiente si sólo se obtiene un punto y se une al origen.

y=2x+1 y=2(-2)+1=-3 y=2(-1)+1=-1 y=2(0)+1=1 y=2(1)+1=3 y=2(2)+1=5

1 2 -3 -2 -1 -1 -2 -3

5 4 3 2 1


46

Si la función tiene término independiente, lo más conveniente es hallar intersecciones sobre los ejes, haciendo a x=0 y a y=0, uniendo los puntos. Ejemplo: Graficar la función 2x+y=10, donde y es la variable dependiente. Variable dependiente no Función implícita despejada Variable dependiente Función explícita despejada 2x+y=10 Despejando y Despejando x y=10-2x x= 10-y Para x=0 2 y=10-2(0) Para y=0 y=10 x=10-0 2 x=5 0

5

10


47

Ejercicios: Graficar las siguientes funciones:

a) y=-2x b) y=x+2 c) y=4x+5 d) 2x=3y e) 3y=4x+5 Problemas: Toda proporción al ser graficada, representa una línea recta. Ejemplo: El costo de 3m de tela es de $12, haz una gráfica que nos permita hallar el costo de cualquier número de metros de tela. COSTO

Ejercicios:

1) Por tres horas de trabajo un hombre recibe $90.00, construye una gráfica que represente el salario de 4,5 y 7 horas de trabajo.

2) Un hombre camina de A hacia B, situado a 33 km, a las 5 am va a 9 km/h. Cada vez que

camina una hora, descansa 10 minutos; hallar gráficamente a qué hora llega a B. 3) Si 6 yardas = 5.5m, encuentra gráficamente cuántas yardas son 22m y 38.5 m.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 TELA

40 36 32 28 24 20 16 12 8 y

0


48

GLOSARIO ECUACIONES LINEALES. -M.C.M: Mínimo común múltiplo. - Denominador: Es el divisor de un cociente expresado en la forma a, en donde b es el denominador b - Ángulo suplementario: Aquellos que sumados dan l80°

- Dominio: Conjunto que se relaciona con la variable independiente X

- Contradominio: Conjunto que se relaciona con la variable independiente y.

- Interpolación: Unión de puntos en la gráfica de una función.

- Origen: Punto de intersección de los ejes cartesianos X y Y.

- Función: Correspondiente entre los elementos de un conjunto dominio y otro

contradominio.

- Término dependiente: Es el término que toma un valor de acuerdo al valor del término independiente.


49

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACION

Encierra en un círculo la respuesta correcta: 1. El resultado de la ecuación 3x-4=15-(x-2) es=

a) x=-5 b) x = 5 c) x =20 2. El resultado de la ecuación 2x+14 + x-10 = x+2 4 3 6

a) x = -1 b) x = 1 c) x = 1 0 2

3. El resultado de la ecuación: es

a) x = 2 b) x = 1 C) x = -2 2 4. La edad de Rosa y la de Irma suman 75 años, Rosa es 5 años mayor que Irma. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?

a) 30 y 45 b) 35 y 40 c) 32 y 43 5. La suma de tres números enteros es de 324, ¿cuáles son esos números?

a) 117, 118, 119 b) 107, 108, 109 c) 97, 98, 99

RESULTADOS DE AUTOEVALUACION

1. b 2. c 3. a 4. b 5. b

42

3

2

12

2

−−

=−−

+

xxx

x


50

UNIDAD III ECUACIONES DE SISTEMAS LINEALES

______________________________________________________________________

OBJETIVO:

Manejar los métodos algebraico y gráfico a partir de la obtención de un sistema de dos

ecuaciones lineales con dos incógnitas, para la resolución de problemas.

CONTENIDO TEMÁTICO:

- Sistemas de ecuaciones lineales

- Métodos algebraicos

Método de suma o resta (Reproducción)

Método de sustitución

Método de igualación

Solución por determinantes

- Método gráfico

Resolución de problemas


51

Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas.

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen soluciones, idénticas, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas. También se les llama Sistema de Ecuaciones Simultáneas. La solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes como incógnitas se tengan; así un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, constará de dos ecuaciones; un sistema de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas, estará formado de tres ecuaciones, etc. Si un sistema de ecuaciones tiene solución, se dice que es un sistema posible o COMPATIBLE. Si la solución es única, se trata de un sistema COMPATIBLE Y DETERMINADO. Si tiene un número infinito de soluciones es un sistema COMPATIBLE E INDETERMINADO. Cuando el sistema no tiene solución, se dice que las ecuaciones y el sistema son INCOMPATIBLES.

3.1 Métodos Algebraicos.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, significa encontrar los

valores de las incógnitas X y Y que satisfagan a cada ecuación del sistema.

El proceso consiste en eliminar una de las dos incógnitas, dando lugar a una ecuación lineal con una sola incógnita para determinar el valor de esa incógnita que; una vez determinado, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema para obtener el valor de la otra incógnita.

3.1.1 Método de Suma o Resta (Reducción). 1. Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante:

para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente en una de las incógnitas. 2. Eliminar por suma o resta una de las incógnitas. 3. Resolver la ecuación lineal. 4. Sustituir el valor de la incógnita determinado en cualquiera de las ecuaciones originales y

encontrar el valor de la otra incógnita. Si las ecuaciones del sistema tienen coeficiente igual en cualquiera de las incógnitas, el primer paso es innecesario.


52

Ejemplo: 2x + 3y = 11…… 1 x + 6y = 7………2 1. Multiplicando la ecuación 2 por (-2) para igualar coeficientes -2(x+6y)=-2(7) -2x-12y=-14…… 3 2. Sumando algebraicamente 1 3 2x+ 3y=11 -2x-12y=-14 -9y=-3 y= -3 -9 y= 1 3 3. sustituyendo el valor y=1/3 en 2 x+6y=7 x+6(1/3)=7 x+6/3=7 x=7-2 x=5 Los valores que satisfacen el sistema son: y= 1 x= 5 3


53

3.1.2 Método de Sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método se siguen los siguientes pasos: 1. Se despeja en cualquiera de las ecuaciones del sistema una de las dos incógnitas en términos

de la otra. 2. Se sustituye la expresión de la incógnita despejada en la otra ecuación se obtiene una

ecuación con una incógnita.

3. Se resuelve la ecuación obtenida. 4. Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar

el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: 2x+3y=22………1 3x+2y=18………2 1. Despejando x en 1 2x+3y=22 x= 22-3y 2 2. Sustituyendo el valor x= 22-3y en 2 2 3x+2y=18 3 22-3y + 2y =18 y= -30 2 -5 66-9y + 2y=18 2 y= 6 66-9y+4y=2(18) -5=36-66 -5y=-30 3. Sustituyendo el valor de y=6 en 2 3x+2y=18 3x+2(6)=18 3x+12=18 x=2 3x=18-12 x= 6 3 La solución del sistema es x=2 y=6


54

3.1.3 Método de Igualación.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por método de igualación, se siguen los

siguientes pasos: 1. Se despeja una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones del sistema dado. 2. Se igualan entre sí las expresiones que se obtienen, quedando una ecuación con una

incógnita. 3. Se resuelve la ecuación de primer grado. 4. Se sustituye el valor de la incógnita determinado en cualquiera de las ecuaciones originales

para encontrar el valor de la otra incógnita. Ejemplos:

x+y=12………1 x-y=6…………2 1. Despejando x en 1 Despejando x en 2 x+y=12 x-y=6 x=12-y x=6+y 2.Igualando los valores de x 12-y = 6+y -y-y=6-12 -2y=-6 y = 3 y= -6 -2 3. Sustituyendo el valor de y=3 en 2 x-y=6 x-3=6 x=6+3 x=9 La solución del sistema es y=3 x=9


55

3.1.4 Solución por Determinantes. Los determinantes se utilizan para resolver ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Determinantes de Segundo Orden: son cuatro números que se colocan en forma d cuadrado con rectas verticales a cada uno de los lados, donde lugar a dos filas y a dos columnas. Las FILAS o RENGLONES las forman los números que están en una misma línea horizontal. El orden de un determinante se establece de acuerdo al número de elementos de cada fila o columna. Primera columna Segunda columna a b Primera fila c d Segunda fila En un determinante de segundo orden, la línea que une a con d se llama DIAGONAL PRINCIPAL. La línea que une a c con b se llama DIAGONAL SECUNDARIA.

Los números a, b, c, d, se denominan ELEMENTOS cuyo valor es el producto de los elementos de la diagonal principal MENOS el producto de los elementos de la diagonal secundaria. (-) Diagonal Secundaria a b = ad - cb c d (+) Diagonal Principal Dado el sistema a1 x + b1 y = c1 …………1

a2 x + b2 y = c1 …………2

Puede resolverse para X y Y por medio de determinantes con las siguientes fórmulas. c1 b1 a1 c1


56

X= c2 b2 = c1 b2 - c2 b1 y = a2 c2 = a1 c2 - a2 c1

a1 b1 a1 b2 - a2 b1 a1 b1 a1 b2 - a2 b1

a2 b2 a2 b2

Ejemplos: 1) 2x-3y=2 a1=1 b1=-3 c1=2 4x+3y=22 a2=4 b2=3 c2=22 2 -3 x= 22 3 = 2(3) - (22)(-3)= 6+66 = 72 = 4 2 -3 2(3) - (4)(-3) 6+12 18 4 3 2 2 y= 4 22 = 2(22) - (4)(2)= 44-8 = 36 = 2 2 -3 2(3) - (4)(-3) 6+12 18 4 3 Los valores x=4 y=2 satisfacen el sistema. 12x+6y=6 a=12 b=6 c=6 8x+10y=7 a=8 b=10 c=7 6 6 x= 7 10 = 6(10) - (7)(6) = 60-42 = 18 = 1 12 6 12(10)-(8)(6) 120-48 72 4

8 10

12 6 y= 8 7 = 12(7) - (8)(6) = 84-48= 36 = 1 12 6 12(10)-(8)(6) 120-48 72 2

8 10 x = 1 y = 1 3 2


57

3.3 Método Gráfico. La gráfica de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas corresponde a dos líneas rectas, donde el punto de intersección de ambas líneas será la solución del sistema. Ejemplo: x+y=7…………1 2x-3y=4…………2 1. Se despeja Y en 1 x y y=7-x x+y=7 -4 11 y=7-(-4)=11 y=7-x 0 7 y=7-0=7 4 3 y=7-(4)=3 2. Se hace la tabulación 8 -1 y=7-(8)=-1 12 -5 y=7(12)=-5 3. Se despeja x en 2 x y x= 4+3y 2x-3y=4 -4 -4 2 2x=4+3y 2 0 x=4+3(-4)= -4 x= 4+3y 8 4 2 2 14 8 x=4+3(0) = 2 2 x=4+3(4) =8 2 x=4+3(8) = 14


58

2

4 Se hace la tabulación. 5 Se hace la gráfica. x=5 y=2

Ejercicio: Resuelve por cualquiera de los métodos algebraicos, por determinantes y por el método gráfico los siguientes sistemas: 1) x+y=12 6) 4x-2y=9 x-y=4 3x+y=7 2) x+5y=6 7) 5x+7y=-2 2x+3y=-2 6x+4y=12 3) 5x-4y=3 8) 8x+7y=29 6x-3y=2 11x+5y=25 4) 9x+4y=-15 9) 3x+y=6 6x+2y=-10 2x-5y=13 5) 4x-3y=41 10) x-3y=-85 6x-11y=47 4x-5y=-25


59

3.3.1 Resolución de Problemas. Para resolver un problema que nos llevan a un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se siguen los pasos: a) Se eligen las incógnitas. (x,y) b) Se establece el planteamiento de acuerdo a las condiciones del problema, por medio de las

ecuaciones necesarias. c) Se resuelve el sistema de ecuaciones. d) Se comprueban los valores encontrados de las incógnitas. Ejemplos: 1. Si Pedro suma el número de toros con el número de vacas que tiene le da 100;

pero si los resta le da 10; ¿¿Cuántos toros y cuantas vacas tiene Pedro? DATOS ECUACIONES Toros = x x+y=100…………1 sumando Vacas = y x-y=10…………2 x+y=100 x -y =10 2x=110 x= 110 2 x=55 Sustituyendo el valor x=55 RESULTADO. en 1 Toros=55 x+y=100 Vacas=45 55+y=100 y=100-55 COMPROBACIÓN suman 55+45=100 y= 45 restan 55-45=10


60

2. En la papelería tienen las siguientes ofertas: una bolsa con 5 cuadernos y 3 lápices que vale $51, y una bolsa con tres cuadernos y 5 lápices, vale $37, ¿Cuál es el valor de cada cuaderno y cuál de cada lápiz?

DATOS ECUACIONES Cuadernos =x 5x+3y=51…………1 Lápices = y 3x+5y=37…………2 Por método de sustitución sustituyendo el valor despejando y en 1 x=9 en 1 5x+3y=51 5x+3y=51 y= 51-5x 5(9)+3y=51 3 45+3y=51 Sustituyendo el valor 3y=51-45 y= 51-5x en 2 3y= 6 3 y= 6 3x+5y=37 3 3x+5 51-5x =37 3 y=2 3x+255-25x =37 3 RESULTADO 9x+255-25x=111 Cuaderno = $9 9x-25x=111-255 Lápiz = $2 -16x=-144 COMPROBACIÓN x=-144 5 cuadernos + 3 lápices = $51 -16 45+6=51 3 cuadernos + 5 lápices = $37 x=9 27+10=37

3. La suma de dos números es 9 y su diferencia es 5; encontrar esos números DATOS ECUACIONES Uno de los números = x x+y=9 El otro número = y x-y=5 Sumando Sustituyendo el Resultado x+y=9 valor x=7 en (1) 7 y 2 x-y=5 x+y=9 Comprobación 2x=14 7+y=9 7+2=9 x=14 y=9-7 7-2=5 2 y=2 x=7


61

4. Diez libras de nuez y doce libras de almendra costaron 454 dólares; ocho libras de nuez y diez libras de almendras costaron 376 dólares, ¿cuál es el costo de una libra de nuez y una de almendra?

DATOS ECUACIONES Costo de la nuez = x 10x+12y=454…………1 Costo de almendras = y 8x+10y=376…………2 Por igualación Igualando los valores de x Despejando x en 1 y 2 454-12y = 376-10y 10x+12y=454 10 8 x= 454-12y 8(454-12y)=10(376-10y) 10 3632-96y=3760-100y -96y+100y=3760-3632 8x+10y=376 4y=128 x= 376-10y y= 128

8 4 y=32

sustituyendo el RESULTADO valor de y=32 en 2 libra de nuez=7 dólares 8x+10y=376 libra de almendra=32 dólares 8x+10(32)=376 8x+320=376 COMPROBACIÓN 8x=376-320 10(7)+12(32)=454 8x=56 70+384=454 x = 56

8 8(7)+10(32)=376 x=7 56+320=376

Ejercicios: Resuelve los siguientes problemas a través de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 1. La suma de dos números es 190 y 1/9 de su diferencia es 2, ¿cuáles son esos números? 2. Cinco trajes y tres sombreros cuestan $4 180 dólares; ocho trajes y 9 sombreros cuestan $6

940 dólares, ¿cuál es el precio de un traje y un sombrero? 3. Don Felipe compró 4 vacas y 7 caballos por $5 140 dólares y dos días después, 8 vacas y 9

caballos por $8 180 dólares, ¿cuál es el costo de una vaca y un caballo? 4. Un avión viaja 360 km a favor del viento en una hora y media y regresa en dos horas en

contra del viento, ¿cuál es la velocidad del avión en el aire tranquilo y la velocidad del viento?


62

5. Si a 5 veces el mayor de dos números se suman 7 veces el menor, la suma es 316, y si 9

veces el menor se resta al cuádruplo del mayor, la diferencia es 83. Hallar los números.

GLOSARIO Sistemas de ecuaciones lineales.

- Coeficiente: Es la parte numérica de un término algebraico.

- Determinante: Es un conjunto de números que se colocan en formar de cuadrado o rectángulo con rectas verticales a cada lado, dando lugar a dos o más filas y a dos o más columnas.


Encierra en un círculo la respuesta correcta. 7x -4y = 5 9x +8y=13

1. El resultado del sistema por método de igualación es:

a) x = -2 , y=7 b) X= 2 , y = -7 c) X= 2 , y = -7 3 3 3 2.El resultado del sistema 5x + 7y = -1 por método de sustitución es:

-3x + 4y = -24

a) x = -4, y=3 b) x = 4, y = -3 c) x = 4, y = -3 3. El resultado del sistema x-1 = 2 (y+6) por método de reducción es: x +6 = 3 (1 -2y)


63

a) x = 9, y = 2 b) x = -9, y= -2 c) x =9, y = -2 4. El resultado del sistema 15x -44y=-6 por determinante es: 32y -27x = -1

a) x= -1, y =-1 b) x = 1, y = 1 c) x = -1, y = 1 3 4 3 4 3 4 5. El resultado del sistema 3x + 4y = 15 por método gráfico es: 2x + y = 5

a) x = 1, y = 3 b) x= -1, y = 3 c) x = -1, y = -3

RESULTADOS DE AUTOEVALUACION

1. a 2. c 3. c 4. b 5. a


64

UNIDAD IV. ECUACIONES CUADRATICAS.

_______________________________________________________________________

OBJETIVO: Aplicar los métodos algebraicos y gráfico a partir de la obtención de ecuaciones cuadráticas con una incógnita, para la solución de problemas. CONTENIDO TEMÁTICO:

- Ecuación cuadrática con un incógnita - Métodos algebraicos

Solución por factorización Solución de ecuaciones de segundo grado completando cuadrados

- Resolución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general - Método gráfico

Función cuadrática Representación gráfica


65

4.1 Ecuación Cuadrática con una Incógnita.

Una ecuación cuadrática con una incógnita es aquella en la que el mayor exponente de la incógnita es 2. Se representa por: ax2+bx+c=0 forma general Donde a, b y c son constantes y a 0

También se le llama ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO y pueden ser: 1. Ecuación cuadrática completa.

Es aquella que tiene la forma: ax2+bx+c=0 a,b y c 0

Ejemplos: 2x2-10x+12=0 x2-3x-10=0

2. Ecuación cuadrática incompleta: a) si en la forma general b=0, entonces tenemos: ax2+c=0 5x2-5=0 3x2-27=0

b) Si en la forma general c=0, resulta que: ax2+6x=0 x2+24x=0 4x2-12x=0

Los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación se llaman RAICES DE ECUACIÓN. Las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, en donde ambos valores satisfacen la ecuación.


66

4.2 Métodos Algebraicos.

4.2.1 Solución por Factorización. Caso I. Ecuación cuadrática completa. Cuando la expresión ax2+bx+c se puede expresar como el producto de dos binomios con un término común, la ecuación ax2+bx+c=0, se puede resolver a partir de dos ecuaciones de primer grado; una ecuación para cada factor. Ejemplos: 1) x2 +x-2=0

Se factoriza (x+2)(x-1)=0 Igualando cada factor a cero: x+2=0 x-1=0 x1 = -2 x2 = 1

2) 8x+6x+1=0 (2x+1)(4x+1)=0 2x+1=0 4x+1=0 2x=-1 4x=-1 x1 = -1 x2 = -1 2 4

Ejercicios: Resuelve las fracciones factorizando los trinomios.

a) x2+6x-55=0 f) 8x2+6x+1=0 b) x2+2x-48=0 g) x2-4x+3=0 c) 6x2+11x+3=0 h) 2x2+7x-4=0 d) 7x2-9x+2=0 i) 8x2-2x-3=0 e) 2x2-x-10=0 j) x2+15x+56=0


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Caso II. Ecuación Cuadrática Incompleta ax2+bx=0 El binomio ax2+bx=0 siempre se puede factorizar como: ax2+bx=x(ax+b). La ecuación por lo tanto se puede resolver igualando cada factor a cero. Ejemplos: 1) x2-6x=0 2) 3x2-15x=0 x(x-6)=0 3x(x-5)=0 x1=0 x-6=0 3x=0 x-5=0 x2 = 6 x1= 0 x2= 5

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas.

a) x2-16x=0 f) 7x2-11x=0 b) 6x2+24x=0 g) 4x2-36x=0 c) x2=5x h) 3x2-12x=0 d) 4x2-36x=0 i) 5x2+3x=0 e) 8x2-32x=0 j) 7x2-28x=0

Caso III. Ecuación Cuadrática incompleta ax2+c=0 Se puede resolver por el método de factorización, si es posible factorizar ax2+c como producto de binomios conjugados.

Ejemplos: 1) x2-49=0 2) x2-4/9=0 (x+7)(x-7) (x+2/3)(x-2/3)=0 x+7=0 x-7=0 (x+2/3)=0 (x-2/3)=0 x1=-7 x2=7 x1 = -2/3 x2=2/3

Ejercicios: a) x2=16 f) 4x2-4/9=0 b) 8x2-32=0 g) x2-11=0 c) x-5=0 h) x2-1/4=0 d) 4x2-1=0 i) x2-81=0


68

4.2.2 Solución de Ecuaciones de Segundo Grado Completando Cuadrados.

El proceso a seguir para resolver estas ecuaciones de la forma x2+bx=-c ó x2+bx=0, consta de los siguientes pasos: 1. Colocar los términos x2 y x en el primer miembro de la ecuación y los términos constantes en el segundo miembro, es decir: x2+bx+c=0 ó x2+bx=0 x2+bx=-c

2. Si observamos el primer miembro de la ecuación x2+bx, le falta un término para ser trinomio cuadrado perfecto. Este término será el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, es decir (b/2)2 ó b2/4 que se suma a ambos miembros de la ecuación.

x2+bx+b2/4= -c+b2/4 ó

x2+bx+b2/4=b2/4

3. Se extrae la raíz a ambos miembros de la ecuación, indicando el doble signo al segundo miembro.

4. Se resuelven para x las dos ecuaciones lineales que resultan. x2+bx= -c x2+bx=0 x2+bx+b2/4=-c+b2/4 x2+bx+b2/4=b2/4 (x+b/2)2= -c+b2/4 (x+b/2)2=(b/2)2

(x+b/2)2 = -c+b2/4 (x+b/2)2 = (b/2)2

x1= -b/2 + -c+b2/4 x+b/2= b/2

x2= -b/2 - -c+b2/4 x1= b/2 - b/2

x1=0 x2=b x2= b/2 + b/2

Ejemplos: 1) x2+10x=75 x1=10-5 x2+10x+(10/2)2=75+(10/2)2 x1=5 x2+10x+52=75+52 x2=-10-5


69

x2+10x+25=75+25 (x+5)2=100 x2= -15 (x+5)2 = 100

x+5 = 10

2) 2x2-5x=-2 x-5/4= 9/16= +3/-4

2x2/2 -5 X=-2 2 2 x2-5/2x+(5/4)=-1+(5/4) x1=3/4+5/4 x2-5/2x+(5/4)2=-1+(5/4)2 x1= 8/4 (x-5/4)2 = -1 + (5/4)2 x1=2 x2=1/2 (x-5/4)2 = -1 + 25/16 x2= -3/4 + 5/4

x-5/4= -16+25/16 x2= 2/4

Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando cuadrados: a) x2+x-20=0 e) x2-(7x+6)=x+59 b) x2-2x-1=0 f) x2+7x+12=0 c) 2x2+4x=-1 g) 6x2-5x=6 d) x2-8x=1 h) x2-2x-15=0

4.2.3 Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Fórmula General.

A demás de utilizar los métodos de factorización, las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver por medio de una fórmula donde está despejada la incógnita. Procedimiento para obtener la fórmula general a partir de la ecuación ax2+bx+c=0: 1. Se dejan los términos con la incógnita ax2+bx=-c en el primer término. 2. Se multiplica por 4 a. Para obtener una 4 a(ax2+bx)=4 a(-c) expresión fácil de completar a un binomio cuadrado.

3. Se desarrolla el producto 4 a2 x2+4abx=-4ac


70

4. Reescribiendo este producto (2ax)2+2(2ax)b+b=-4ac+b 5. El primer miembro será un binomio (2ax)2+2(2ax)b+b2=-4ac+b2

al cuadrado perfecto si le sumamos b a la ecuación. 6. El primer miembro es entonces el (2ax+b)2=b2-4ac binomio al cuadrado.

7. Se extrae la raíz cuadrada a ambos (2ax+b)2 b2-4ac

miembros 2ax+b= b2-4ac

8. Despejando 2ax 2ax=-b b2-4ac

9. Despejando x x= -b b2-4ac

2 a FÓRMULA GENERAL

Para resolver una ecuación cuadrática por fórmula general, se identifican los coeficientes para las literales a, b, y c de la ecuación dada; estos valores se sustituyen en la fórmula general y determinan las raíces de la ecuación.

Ejemplos:

1) x2+7x-30=0 a=1 b=7 c=-30 x= -b b2-4ac sustituyendo en la fórmula los valores de a, b y c; resulta;

2 a x= -7 72-4(1)(-30) x1= -7+13

2(1) 2

x= -7 49+120 x1=6 x1=3 2 2

x= -7 169 x2=-7-13 2 2

x= -7 13 x2=-20 x2=-10

2 2 2) x2-x-3=0 a=1 b=-1 c=-3

x= -b b2-4 ac x= 1 13 2 a 2

x= -(-1) (-1)2-4(1)(-3) x1= 1 + 13 2 (1) 2


71

x= 1 1+12

2x2= 1- 13. 2

Ejercicios: Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado por fórmula general: a) x2-x+1=0 f) x2-6x+10=0 b) 2x2-3x-2=0 g) 20x2+9x+1=0 c) 3x2+11x+7=0 h) 27x2+12x-7=0 d) 3x2+2x-5=0 i) 4x2-12x+9=0 e) 2x2+5x+1=0 j) 9x2-12x+4=0

4.3 Método Gráfico 4.3.1 Función Cuadrática.

La función cuadrática se expresa por y=ax2+bx+c, o también, f(x)=ax2+bx+c. En el plano cartesiano, corresponde a una PARÁBOLA.

4.3.2 Representación Gráfica.

Si graficamos la parábola ax2+bx+c, la intersección con el eje x corresponde a: y=0, o sea ax2+bx+c=0. Por lo tanto, las abscisas x1,x2 de los puntos de intersección serán: (x1,0) y (x2,0) son, por lo tanto las soluciones de la ecuación.

Ejemplo:

a) resolver la ecuación: x2-2x-3=0

Procedimiento:

1. Se escribe la ecuación en función de x f(x)=y=x2-2x-3


72

2. Se tabula, dando valores a X y resolviendo para Y.

PUNTOS X Y y=x-2x-3

A -2 5 y=(-2)-2(-2)-3=5

B -1 0 y=(-1)-2(-1)-3=0 C 0 -3 y=(0)-2(0)-3=-3

D 1 -4 y=(1)-2(1)-3=-4 E 2 -3 y=(2)-2(2)-3=-3

F 3 0 y=(3)-2(3)-3=0 G 4 5 y=(4)-2(4)-3=5

Y X

b) Resolver 4x-x2=0 f(x)= y= 4x-x

X -1 0 1 2 3 4 5

Y -5 0 3 4 3 0 -5

A: y=4(-1)-(-1)=-5 B: y=4(0)-(0)=0 C: y=4(1)-(1)=3 D: 4(2)-(2)=4 E: 4(3)-(3)=3 F: 4(4)-(4)=0 G: 4(5)-(5)=-5

A G

B

1 2 3 F -2 -1

C

D

E

X1= -1 X2=3


73

Ejercicios: Resolver por método gráfico las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) x2-2x-3=0 c) 1/2 x2-3x+4=0 b) x2-3x-4=0 d) x2-6x=0

F G

A E

B

C

D


74

GLOSARIO

- Diferente; no es igual a - Raíces de una ecuación: Son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación; son las

soluciones de una ecuación cuadrática Diferente; no es igual a

- Binomio: Expresión algebráica de dos términos - Trinomio: Expresión algebraica de tres términos - Función cuadrática: Es una expresión f(x)= y corresponde a una parábola.

EJERCICIOS DE AUTOEVALUCION Encierra en un círculo la respuesta correcta:

1. Obtén un número que sumado con 72 sea igual al cuadrado del primer número

a) 8 b) 9 c) -8

2. Un tapete rectangular cubre un área de 18 m2. Si el largo mide el doble del ancho ¿cuáles son las dimensiones del tapete?

a) 3m. Ancho b) 2m. Ancho c) 1m. Ancho 6m. Largo 9m. Largo 18m. Largo

3. Sí la suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es 85, ¿cuáles son esos números?

a) 6 y 7 b) 7 y 8 c) 5 y 6

4. Un grupo tiene 56 alumnos. Si la cantidad de mujeres elevada al cuadrado es igual al número de

varones, ¿cuántas mujeres y cuántos varones tiene el grupo?

a) 6 mujeres b) 5 mujeres c) 7 mujeres 20 hombres 31 hombres 49 hombres


75

AUTOEVALUACION

1. b 2. a 3. b 4. c


76

UNIDAD V. LA GEOMETRÍA.

_________________________________________________________________ OBJETIVO: utilizar la geometría a través de la aplicación de postulados de congruencia, semejanza y Teorema de Pitágoras, para la resolución de problemas.

CONTENIDO TEMÁTICO - Ángulo: Medida y clasificación de ángulos Ángulos formados por dos paralelas y una transversal - Triángulos Clasificación de triángulos por sus lados y ángulos Rectos y puntos notables Principios de congruencia y semejanza Teorema de Pitágoras


77

5.1 Ángulo Definición: Se llama ángulo a la abertura comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto común llamado VÉRTICE y las semirrectas o rayos reciben el nombre de LADOS DEL ÁNGULO. x ÁNGULO y z Nomenclatura de ángulo: la notación de un ángulo puede ser gráfica o simbólica de acuerdo con la necesidad de representarlo. Gráficamente: a) Una letra mayúscula "Ángulo cuyo vértice es A" situada en el vértice. b) Colocando una letra minúscula "Ángulo cuyo valor es a" dentro del ángulo, generalmen- a te se utiliza una letra del alfabeto griego.

C c) Tres leyes mayúsculas de "Ángulo definido por CAB manera que quede en el ó BAC". centro la letra que está - A B situada en el vértice del ángulo.

LADO y x

VÉRTICE

LADO y z

A


78

Simbólicamente:

Se hace la notación anteponiendo a la letra el símbolo , o bien, dibujando un pequeño ángulo

sobre la letra:

x ó x que se lee "ángulo x"

ó que se lee "ángulo theta"

5.1.1 Medida y Clasificación de Ángulos. Para la medición de ángulos se utiliza un instrumento denominado TRANSPORTADOR, que puede ser circular o semicircular. Como el sistema de uso común es el sexagesimal, el transportador está dividido en grados. El transportador circular es un círculo dividido en 360 partes iguales, en el centro se ha marcado el centro y un diámetro de 0º a 180º. El transportador semicircular está dividido en 180 partes iguales y con toda claridad está marcado el centro.


79

MEDICIÓN: a) Ángulos menores a 180º: se usa el transportador semicircular, de la siguiente manera. El

centro del transportador se hace coincidir con el vértice del ángulo y la división 0º, con uno de los lados, sobre la escala se obtiene lectura en la marca que coincida con el otro lado del ángulo.

b) Para ángulos mayores de 180º se utiliza el transportador circular, que se maneja de la misma

manera que el transportador semicircular. Trazo de Ángulos: Cuando se conoce la medida de un ángulo, expresada en grados, se puede trazar con ayuda de una regla y un transportador, de la siguiente forma: 1) Se traza una semirrecta horizontal. 2) Se hace coincidir el centro del transportador con el punto de origen de la semirrecta y la

división 0º sobre la misma. 3) En la escala se busca el valor numérico propuesto. 4) Se hace una marca y por medio de la regla se une esta marca con el origen de la semirrecta. Ejemplos: Trazar un ángulo de 120º. A 0

B


80

Ejercicio: Usando el transportador, medir los siguientes ángulos. a) b)

O P O A POR = AOB =

b) d) O O M Y MON = X O Y = 2. Con ayuda de regla y transportador trazar los siguientes ángulos: a) 260º c) 30º b) 345º d) 75º

R B

N

X


81

• Clasificación de Ángulos. 1. Ángulos Convexos y Cóncavos: Si sobre un plano se trazan dos rectas A B y M N que se cruzan en un punto O, el plano se divide en cuatro partes, cada una de ellas forman un "ángulo convexo". A M Ángulo Convexo Ángulo Convexo Ángulo Convexo Ángulo Convexo N B

Si tomamos uno de los ángulos convexos, el punto O es el vértice y las semirrectas, los lados del ángulo. Si se considera la parte exterior del ángulo, se tiene un "ángulo cóncavo". A M O

Ángulo Cóncavo

• Clasificación de Ángulos según sus medidas. 1. Ángulo Agudo: Es aquél cuya medida está comprendida entre 0º y 90º, es decir, es menor

a 90º. B O A AOB > 0º 90º


82

2. Ángulo Recto: Es aquél cuya medida es de 90º, es decir es la mitad de un ángulo llano (180º).

B O A AOB > A0B=90°

3. Ángulo Obtuso: Es el ángulo cuya medida es mayor que la de un ángulo recto (90º) y menor que un ángulo llano (180º), es decir, está comprendido entre 90º y 180º.

B O A O A < AOB >90º < 180º

4. Ángulo Llano: Es aquél cuya medida es 180º, como sus lados son colineales, las dos semirrectas son opuestas. 180° 0° A O B AOB = 180º


83

5. Ángulo Entrante: Es el ángulo cuya medida es mayor a 180º y menor a 360º. A O AOB > 180º < 360º B

6. Ángulo Perigonal: Es aquél cuya medida es 360º y uno de sus lados coincide con el otro formando un arco de una circunferencia.

0º B 360º A AOB = 360º

• Diferentes Ángulos: a) Ángulos Consecutivos: Cuando dos ángulos tienen un lado en común y el mismo vértice,

son consecutivos. D C 0 = Vértice AOB, BOC = consecutivos B BOC, COD = consecutivos O A

0


84

b) Ángulos Adyacentes: Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y forman un ángulo colineal o llano (180º).

B < AOC y < BOC son adyacentes

A C + = 180º

c) Ángulos Opuestos por el Vértice: Cuando los lados de un ángulo son prolongación de los lados del otro. Son iguales entre sí.

) opuesto a )

) opuesto a )

) = )

) = )

Ejercicio: Contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Qué diferencia hay entre un ángulo convexo y un ángulo cóncavo? 2. ¿Cuánto mide un ángulo recto? 3. ¿Cuál es la medida de un ángulo perigonal? 4. ¿Qué son los ángulos adyacentes? 5. ¿Qué son los ángulos opuestos por el vértice?


85

• Ángulos Complementarios, Suplementarios y Conjugados.

a) Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si su suma vale 90º (un ángulo recto).

C B =?

=35º

O A

Complemento de un Ángulo: Es la diferencia entre 90º y el ángulo propuesto, ya que <

+ < = 90º

< = 35º < º+ < = 90º

< =? 35º+ < = 90º

< = 90º - 35º

< = 55º

b) Ángulos Suplementarios: Son ángulos son suplementarios si su suma vale 180º (un ángulo llano).

B b=110º a=? C O A

Suplemento de un Ángulo: Es la diferencia entre 180º y el ángulo propuesto, ya que <a+ <b= 180º. < a =? < a + < b = 180º < b = 110º < a + 110º = 180º < a = 180º-110º < a = 70º


86

c) Ángulos Conjugados: Dos ángulos son conjugados si su suma vale 360º (un ángulo

perigonal). B a=120º 0º A

1 360º C b=?

Conjugados de un Ángulo: es la diferencia entre 360º y el ángulo propuesto, ya que <a+<b=360º < a= 120º < a + < b = 360º < b= ? 120º + < b = 360 < b = 360º - 120º < b = 240º Ejercicios: 1. Hallar el complemento de los siguientes ángulos.

a) 25º d) 65º 47' b) 52º e) 17º 35' 12'' c) 44º 29'

2. Hallar el suplemento de los siguientes ángulos.

a) 103º d) 146º b) 127º 12' e) 113º 42' 31'' c) 87º 45'


87

5.1.2 Ángulos formados por Dos Paralelas y una Transversal.

Sean dos rectas paralelas AB y MN que son cortadas por una transversal (secante), formando ocho ángulos, en cada punto de intersección cuatro ángulos, los cuales reciben nombres específicos. S a b A B d c e f M h g N

Correspondientes: Pareja de ángulos uno (a, e) (son iguales) interno y otro externo, (c, g) situados sobre el mismo (b, f) lado de la transversal, pero (d, h) en diferente paralela.

Colineales o Adyacentes: Pareja de ángulos que tienen (a, b) (e, f) (son suplementarios) el mismo vértice y un lado (b, d) (f, h) común. (d, c) (h, g) (a, c) (e, g)

Opuestos por el vértice: Pareja de ángulos tales que (a, b) (a, c) (son iguales) los lados de uno son prolongaciones(b, c) (b, d) de los lados del (c, d) (e, g) otro. (a, d) (f, h)


88

Alternos Internos: Pareja de ángulos situados en diferente (c, e) (c, f) (son iguales) lado de la transversal y (d, f) (d, e) dentro de las paralelas. Alternos Externos: Pareja de ángulos situados en di- (a, g) (a, h) (son iguales) ferente lado de la transversal (b, h) (b, g) y fuera de las paralelas. Colaterales Internos: Pareja de ángulos situados en (c, e) (son suplementarios) el mismo lado de la transversal (d, f) y dentro de las paralelas. Colaterales Externos: Pareja de ángulos situados en (a, g) (son suplementarios) el mismo lado de la transversal (b, h) y dentro de las paralelas. Cuando las rectas AB y MN son paralelas cortadas por la transversal o secante S, los ocho ángulos que se forman dan lugar al siguiente postulado:

"Toda secante forma con dos paralelas ángulos correspondientes iguales" hay congruencia. Ejercicios:

1) Dada la siguiente figura, determina los pares de ángulos que son:

A B D C

a) Alternos internos: ________________________ b) Alternos externos: _______________________

g h

f e

c d

b a


89

c) Colaterales internos: ______________________ d) Colaterales externos: _____________________

2) Si AB CD y S es una secante, en donde el 1 = 120º, hallar los otros ángulos. S

5 1 A B

5 4

5 5 C D

5 8

5.2. Triángulos Definición: Es una figura cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos. Es el polígono o figura geométrica formada por tres lados que a su vez, forman tres ángulos. Vértices: Puntos de intersección A, B y C. C c b a a b A B


90

Lados del triángulo: Son los segmentos AB, BC, CA. Generalmente se les designa por una letra minúscula e igual a la del vértice opuesto. Los lados forman ángulos interiores que se designan por letras de los vértices o por letras minúsculas. Un triángulo tiene: 3 lados. 3 ángulos y 3 vértices.

5.2.1. Clasificación de Triángulos por sus Lados y Ángulos. a) Clasificación de acuerdo a sus lados: 1) Equiláteros: son los triángulos que tienen sus tres lados iguales. c

AB = BC = AC a = b = c

b a ABC, es un triángulo equilátero.

A C B

2) Isósceles: son los triángulos que tienen dos lados iguales. c

BC = AC AB BC y AC

a = b c a y b

b a ABC, es un triángulo isósceles.

A B

C


91

3) Escalenos: Son triángulos que tienen todos sus lados desiguales.

C

AB BC AB AC BC AC

b a

c a a b b c

A B ABC, es un triángulo escaleno. C


92

b) Clasificación de acuerdo a sus ángulos.

1. Acutángulos: Son triángulos que tienen sus ángulos interiores agudos.

C

A, B y C < 90º

A, B y C son ángulos agudos.

A B

2. Rectángulos: Son triángulos que tiene un ángulo recto. C

A = 90º A es un ángulo recto. B y C 90º B y C son ángulos agudos.

AB y AC = CATETOS

BC = HIPOTENUSA.

A B 3. Obtusángulos: son triángulos que tienen un ángulo obtuso.

A > 90º A es un ángulo obtuso

C B y C 90º B y C son ángulos agudos.

a b A c B

Los triángulos acutángulos y obtusángulos se denominan también TRIÁNGULO OBLICUÁNGULOS, ya que ninguno de sus ángulos interiores es un ángulo recto.

90º


93

5.2.2. Rectas y Puntos Notables.

Las rectas notables de un triángulo son: Bisectrices, mediatrices, alturas y medianas. Los puntos notables son los puntos de intersección de las rectas notables. Bisectriz: Es la semirrecta interior del ángulo y que lo divide en dos partes iguales. C

AO, BO y CO = bisectrices

0 = incentro A B

Incentro: Es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. "En cualquier triángulo el incentro es interior al triángulo". Mediatriz: Es la perpendicular que corta al punto medio de un segmento. C

NO, LO, MO = mediatrices

O = circuncentro M L A N B Circuncentro: Es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. "En un triángulo acutángulo "En un triángulo rectángulo el circuncentro es interior u oblicuángulo, el circuncentro al triángulo". es exterior al triángulo".

0

O


94

Altura: Es el segmento de recta que se traza perpendicularmente desde un vértice al lado opuesto de un triángulo.

C M L

AL ⊥ CB AL, BM, CK = Alturas

BM ⊥ AC

CK ⊥ AB O = ortocentro

A K B

Ortocentro: Es el punto de intersección de las alturas. "En el triángulo acutángulo "En el triángulo rectángulo el el ortocentro es interior al ortocentro coincide con el vértice triángulo". del ángulo recto". Mediana: es el segmento de recta que se traza desde un vértice al punto medio del lado opuesto. C

AM, BN, CL = Medianas

O = gravicentro, baricentro o centro de gravedad.

A L B Gravicentro: Es el punto de intersección de las medianas.

N

M

O


95

5.2.3. Principios de Congruencia y Semejanza.

A. Congruencia o Igualdad de Triángulos ()

Dos triángulos son iguales si al "sobreponerlos" coinciden respectivamente cada uno de los vértices de los dos triángulos, con lo que también deberán coincidir sus lados. C'

C C' C A B A' B'

A B AB = A' B' A = A' ABC A' B' C'

BC = B' C' B = B' Símbolo de congruencia. AC = A' C' C = C' Criterios de Congruencia ().

Como toda igualdad, la congruencia satisface las propiedades de idéntico o reflejo, recíproco o simétrico y transitivo. 1. "Dos triángulos son iguales cuando tienen un ángulo igual y dos lados iguales ". C C'

A B A1' B'

Si = '

AB = A1 B ABC A' B' C'

AC = A1 C1

A1 B1

'


96

2. “Dos triángulos son iguales cuando tienen igual un lado y sus dos lados adyacentes".

C C'

Si AB = A1 B1 = ' ABC A1 B1 C1

= '

3. "Dos triángulos son iguales cuando tienen respectivamente iguales cada uno de sus lados ". C C' A B A' B' Si AB = A' B'

BC = B' C' ABC A' B' C'

AC = A' C'

A A' B

B'


97

Criterios de Congruencia para Triángulos Rectángulos.

1. "Dos triángulos rectángulos son iguales cuando los dos catetos son iguales ".

C C1

A B A1 B1

Si AB = A' B' AC = A' C' ABC A' B' C'

A = A' = 90º

2. " Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen un cateto y un ángulo agudo respectivamente iguales”.

a) Un cateto y el ángulo agudo adyacente. C C'

A B A' B'

Si AB = A1 B1

= ' ABC A' B' C'

A = A'

'


98

b) Un cateto y el ángulo agudo opuesto.

C C'

A B A' B'

Si AB = A' B'

= < ' ABC A' B' C

A = A' = 90º

3. “Dos triángulos rectángulos son iguales cuando tienen iguales la hipotenusa y uno de los catetos". C C'

A B A' B'

Si BC = B C'

ABC A' B' C'

AB = A' B'

1


99

4. "Dos triángulos rectángulos son iguales cuando se tienen iguales la hipotenusa y un ángulo igual respectivamente".

C C1

A B A' B'

Si BC = B' C'

= ' ABC A' B' C

• Propiedades de los Triángulos Iguales. 1. En dos triángulos iguales a ángulos iguales se oponen lados iguales recíprocamente. Estos

ángulos y lados se llamas HOMÓLOGOS. 2. En un triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 3. En un triángulo, a mayor lado se opone el mayor ángulo y viceversa. 4. En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido

desigual, a mayor ángulo se opone mayor lado. 5. La altura que corresponde a la base de un triángulo isósceles es también mediana y bisectriz

del triángulo.

Aplicaciones de la Igualdad de Triángulos.

a) Para demostrar que dos segmentos son iguales, nos es útil demostrar que se oponen a

ángulos iguales en triángulos iguales. b) Para demostrar que dos ángulos son iguales, nos es útil demostrar que dichos ángulos se

oponen a lados iguales en triángulos iguales.


100

B. Semejanza de Triángulos ().

Se llama semejanza a las características y condiciones geométricas para reproducir las figuras, haciendo variar sólo su tamaño y conservando su forma. El símbolo de semejanza es .

Triángulos Semejantes: Dos triángulos son semejantes cuando tienen respectivamente sus ángulos iguales uno a uno y sus lados son proporcionales. C C'

A B A' B'

Si A = A' AB = BC = AC ABC A' B' C'

A'B' B'C' A'C'

B = B'

C = C'

Caracteres de Semejanza. Como la semejanza es una relación de equivalencia, satisface los siguientes caracteres: a) Idéntico o reflejo: Todo triángulo es semejante a sí mismo.

b) Recíproco o simétrico: Si un triángulo es semejante a otro, este es semejante al

primero.

c) Transitivo: Dos triángulos semejantes a un tercero, son semejantes entre sí.


101

Teorema Fundamental de Semejanza de Triángulos "Toda paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros lados, un triángulo semejante al triángulo trazado". C HIPÓTESIS TESIS En el ABC XCY ABC

XY AB

x y A z B

CONSTRUCCION AUXILIAR

Por el punto Y, se traza YZ AC y se forma el BYZ. Demostración.

En los ABC y XCY, C = C Por ser un ángulo común

X = A y y = B Por ser correspondientes XC = YZ 1 Son proporcionales por ser AC BC XY AB

YC = AZ 2 Son proporcionales por ser YB AB YZ AC

XC = YC = AZ 3 Carácter transitivo AQ BY AB AZ = XY 4 Por ser lados opuestos del Paralelogramo AZ YZ. Sustituyendo 4 en XC = YC = XY AC BC AB Conclusión: C = C XC = YC = XY XCZ ABC

X = A y AC BC AB y = B


102

Teorema recíproco del fundamental de semejanza de triángulos.

"Todo triángulo semejante a otro es igual a uno de los triángulos que se obtienen trazando la paralela a la base de éste".

Casos de Semejanza.

1. "Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente iguales". Q Q'

x y P' R'

P R

HIPÓTESIS TESIS P = < P PQR P' Q' R'

Q = < Q

CONSTRUCCION AUXILIAR:

Se traza XY PR; formando XQY

Se toma XQ = P' Q'

DEMOSTRACIÓN:

En el XQY y P' R' Q' tenemos que:

XQ = P1 Q1 por construcción auxiliar Q = Q1 por hipótesis X = P por ser correspondientes P = P1 por hipótesis

X = P1 por carácter transitivo

1 XQY = P' Q' R' por tener iguales un lado y los dos ángulos adyacentes

2 PQR XQY aplicando el teorema fundamental de semejanza Comparando 1 y 2 aplicando el carácter transitivo Conclusión: PQR P1 Q1 R1


103

2. " Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido"

R R'

P Q P' Q'

HIPÓTESIS TESIS

Q = Q' PQR P' Q' R'

PR = QR P'R' Q'R'

CONSTRUCCIÓN AUXILIAR: Se traza XY PQ formando el XYR PQR. Se toma XR = P' R'

DEMOSTRACIÓN: en el XYR y P Q R

1 XR = P R por construcción auxiliar Q = Q por hipótesis 2 PR = QR por ser homólogos XR YR 3 Sustituyendo 1 en 2 PR = QR PR YR 4 PR = QR por hipótesis P'R' Q'R' 5 Comparando 3 y 4 y aplicando el carácter transitivo QR = QR ,despejando YR YR QR YR = (QR) (Q'R') = Q'R' XYR P Q R por tener dos lados iguales y el


104

QR ángulo comprendido. Como PQR XYR por teorema fundamental de semejanza

y XYR P' Q' R' por carácter idéntico

PQR P' Q' R' aplicando el carácter transitivo

3. " Dos triángulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus tres lados"

Q Q1

x y P R P1 R1

HIPÓTESIS TESIS PQ = RQ = PR PQR P'Q'R'

P'Q' R'Q' P'R'

CONSTRUCCIÓN AUXILIAR: Se traza XY PR y se toma XY = P'r' para formar XQY PQR

DEMOSTRACIÓN 1 PQ = RQ = PR por ser PQR XQY en la

XQ YQ XY construcción auxiliar. 2 XQ = P'Q' por construcción 3 sustituyendo 2 en 1 PQ = RQ = PR P'Q' YQ XY 4 PQ = RQ = PR por hipótesis P'Q' R'Q' P'R'

5 Comparando 3 y 4 y aplicando el carácter transitivo. RQ = PR = RQ = PR YQ XY R'Q' P'R'


105

Tomando 1 y 3 PQ = PQ despejando XQ : XQ = (PQ) (P'Q') = P'Q'

YQ P'Q' (PQ) Tomando 3 y 4 RQ = RQ despejando YQ : YQ = (RQ) (R'Q') = R'Q'

YQ RQ (RQ) Entonces: XQ = P'Q' XQY P'Q'R' por tener tres lados iguales

YQ = R'Q'

XY = P'R'

PQR XQY por el teorema fundamental de semejanza

XQY P'Q'R' por carácter idéntico

PQR P'Q'R' por carácter transitivo

Casos de Semejanza de Triángulos Rectángulos. 1. “Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo igual". C C'

A B A' B'

A = A = 90º B = B ABC A'B'C'


106

2. "Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando los catetos son proporcionales".

C C1

A B A' B'

< A = < A = 90º Si AB = AC A'B' A'C'

ABC A'B'C'

3. "Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando las hipotenusas y un cateto son proporcionales".

C

C

A B A' B'

A = A' = 90º Si BC = AC B'C' A'C'

ABC A'B'C'

Proporcionalidad en las alturas de dos triángulos semejantes.

Las alturas de dos triángulos semejantes son proporcionales si son homólogos Teorema: "Las alturas homólogas de triángulos semejantes son proporcionales a sus lados correspondientes".


107

C C'

A D B

A' D' B'

ACD A'C'D' por ser rectángulos y tener un ángulo agudo igual: A = A'

AC = CD

A'C' C'D'

Ejercicios: Contesta las siguientes preguntas. 1. ¿Qué es semejanza? 2. Enuncia el teorema fundamental de semejanza de triángulos. 3. Enuncia el teorema sobre la proporcionalidad de las alturas de dos triángulos semejantes.


108

Problemas: Indica la proporción necesaria para demostrar la semejanza de triángulos en las siguientes figuras. a) b) 12 16 3 7 10 9 c) ¿Cuánto medirá la sombra de un poste de 12m en el instante que la sombra de una varilla de 3m es

de 6.5m?

R'

R

Varilla Poste P Q P'

d) Calcular el ancho del río tomando en cuenta la figura.

B A 28m C 8m D 15m E

14

Q'


109

e) Una regla de 1.5m de largo que se coloca verticalmente, proyecta una sombra de 7m, en el momento en que una torre proyecta una sombra de 53m, ¿qué altura tendrá la torre?

Regla Torre

5.2.4. Teorema de Pitágoras. Teorema de Pitágoras: "En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" a= hipotenusa = 5 b= cateto opuesto = 3 c= cateto adyacente = 4 a2 = b2 + c2

b=3 (5)2 = (3)2 + (4)2

25 = 9 +16 c=4 25 = 25 9

9

16

25


110

Demostración del Teorema de Pitágoras tomando en cuenta las relaciones de altura del triángulo rectángulo y las semejanzas. Q c b P S R HIPÓTESIS TESIS PQR es rectángulo en Q a2 = b2 + c2

CONSTRUCCIÓN AUXILIAR: Altura QS ⊥ PR formando:

PQR PQS y PQR RSQ DEMOSTRACIÓN: en los PQR PQS

1 a = c por ser respectivamente hipotenusa y c x cateto mayor de los dos triángulos semejantes. 2 c = (a) (x) propiedad fundamental de las proporciones En los PQR RSQ

3 a = b por ser respectivamente hipotenusa y b y cateto menor de dos triángulos semejantes. 4 b2 =(a) (y) propiedad fundamental de las proporciones 5 c2+b2 =(a) (x)+(a) (c) sumando miembro a miembro las igualdades 2 y 4 6 c2+b2=a(x+y) factorizando 7 (x+y)=a por construcción auxiliar

y x

a


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8 Sustituyendo 7 en 6 tenemos: c2+b2=(a) (a) c2+b2 = a2 conclusión

Corolarios:

1. "En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos".

a= b2 + c2

2. "En todo triángulo rectángulo, cada cateto es igual a la raíz cuadrada de la diferencia del cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto".

b= a2 - b2 c = a2 - b2

c=a2 - b2

Ejemplos:

1. Hallar la medida del lado que falta en los siguientes triángulos rectángulos: a) DATOS ECUACIÓN a=8 a=8 b=4 c= a2 - b2 c= 82 - 42

c=? c=? c= 64-16

c=38

c=6.1644 b=4 b) DATOS ECUACIÓN a=? a=? b=3 a= b2+c2 a= 32+62

b= a

2 -

c2

opuest

o

adyacente


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c=6 c=6 a= 9+36

a= 6.7082 a= 45

b=3 c) DATOS ECUACIÓN a=13 b=6 c= a2- b2 b= 132 - 62

a=13 c=? b=6 b= 169-36

b=11.5325 b= 133

c=?

Ejercicios: a) Un rectángulo mide 10m de largo y 6m hallar el valor de su diagonal. b) Calcular la altura (h) de un triángulo equilátero sabiendo que sus lados miden 12m.ç c) Calcular el valor de la diagonal de un rombo si un lado mide 25cm y la otra diagonal mide

19cm. d) ¿Cuánto mide un cable que baja de un poste que tiene una altura de 24m y está colocado a

una distancia de 7m del pie del poste? 24m 7m


113

a) Calcula la altura de una casa, si para subir a la azotea se necesita una escalera que mide 10m y el extremo de ella se coloca al nivel del piso a 6m del muro.

10m 6m


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GLOSARIO

- Vértice: Punto común de dos semirrectas que forman un ángulo.

- Rayo Semirrecta: Lados del ángulo.

- Transportador: Instrumento que sirve para medir ángulos.

- Ángulo Convexo: Es aquél que tiene las prolongaciones de sus lados hacia el exterior.

- Ángulo Cóncavo: Es aquél que tiene las prolongaciones de sus lados hacia el interior.

- Ángulo Entrante: Es aquél cuya media es mayor a los 180° y menor a 360°.

- Ángulo Perigonal: Es aquél que mide 360° y uno de sus lados coincide con el otro formando una circunferencia.

- Transversal o Secante: Es una recta que corta a dos o más rectas paralelas y en cada

punto de intersección se forman cuatro ángulos.

- "de donde"

- : Rectas Paralelas

- ⊥ : Rectas Perpendiculares

- Segmento: Es una recta limitada por dos puntos.

- Homólogo: Son ángulos o lados iguales que se oponen a lados o ángulos

recíprocamente.

- Teorema: Es una proposición matemática que se demuestra.


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Encierra en un círculo la respuesta correcta. 1. Ángulo que tiene las prolongaciones de sus lados hacia el exterior:

a) Ángulo Convexo b) Ángulo Cóncavo c) Ángulo Congruente 2. Ángulo cuya medida está comprendida entre 90° y 180°:

a) Ángulo Recto b) Ángulo Agudo c) Ángulo Obtuso

3. El complemento de una ángulo de 27° es:

a) 63° b) 83° c) 73° 4. El suplemento de un ángulo es de 58° es:

a) 92° b) 122° c) 32° 5. Un ángulo llano mide:

a) 180° b) 90° c) 360° 6. Los ángulos correspondientes que dos paralelas forman con una secante son:

a) Iguales b) Semejantes c) Intenos 8. El triángulo que tiene dos lados iguales

a) Equilátero b) Isósceles c) Escaleno 9. A los triángulos acutángulos y obtusángulos también se les llama:

a) Rectángulo b) Oblicuángulos c) Equiángulos

10. La semirrecta interior al ángulo que lo divide en dos partes iguales

a) Mediana b) Mediatriz c) Bisectriz

11. La perpendicular que corta al punto medio de un segmento


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a) Mediana b) Mediatriz c) Bisectriz

12. Punto de intersección de las alturas de un triángulo

a) Orto centro b) Incentro c) Baricentro

13. Punto de intersección de las medianas de un triángulo

a) Ortocentro b) Incentro c) Baricentro 14. Cuando los lados y los ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a los lados y

ángulos de otro triángulo son:

a) Triángulos iguales b) Triángulos congruentes c) Triángulos semejantes 15. Cuando dos triángulos tienen respectivamente sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales

a) Triángulos iguales b) Triángulos congruentes c) Triángulos semejantes

RESPUESTAS AUTOEVALUCION

1. a 2. c 3. c 4. b 5. a 6. a 7. b 8. b 9. b 10. c 11. b 12. a 13. c 14. b 15. c


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BIBLIOGRAFÍA.

Ayres, Frank Fundamentos de matemáticas superiores

Mc. Graw - Hill México, 1986

Baldor, J. A. Geometría y Trigonometría

Publicaciones Cultural México,1996

Baldor, J. A. Álgebra

Publicaciones Cultural México, 1985

Fleming, W. - Varberg, Dale Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica

Traducción: Ma Elena de Oteyza Prentice - Hall Hispanoamericana

México, 1991

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