Guía 1p 7 Matemáticas

8/19/2019 Guía 1p 7 Matemáticas

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INSTITUCION EDUCATIVA TECNICOINDUSTRIAL

LUZ HAYDEE GUERRERO MOLINA

DEPARTAMENTO DE MATEMTÁTICAS

1. IDENTIFICACI N DE LA GUIA DE APRENDIZAJE

GUÍA No. 1 GRADO 7DURACIÓN: PRIMER PERIODO

MATEMÁTICAS

TEMA: NÚMEROS RACIONALES

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMA NUMÉRICO:

1. Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones (fracciones, razones,decímales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida.

2. Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentescontextos y dominios numéricos.

3. Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, utilizandocalculadoras o computadores.

COMPETENCIA:

1. Establezco diferencias entre los números enteros y los racionales e interpreto el

número entero como parte de un todo.

2. Utilizo las propiedades y relaciones de los números racionales para resolver

problemas en contextos matemáticos y no matemáticos.



2

Los números fraccionarios surgen a partir de la comparación de dos cantidades

enteras, es decir, de las razones. Cuando se determina una razón y se halla el

cociente entre dos enteros que la forman, no siempre es posible obtener otro

entero. En ese caso el resultado es un número fraccionario.

Los números fraccionarios son utilizados desde la antigüedad, tal como lomuestra el papiro de Rhind, que es el documento más antiguo que existe de la

matemática egipcia. En el aparecen operaciones aritméticas que incluyen

fracciones unitarias. ,

, , …

Pero no fueron los egipcios los únicos que trabajaron con esos números en la

antigüedad. Los babilonios, por ejemplo, trabajaron las fracciones que tenían

como denominador 60 y los romanos cuyo denominador era 12.

La notación actual, un entero sobre otro entero , separados por un segmento,

se debe a Leonardo de Pisa.

En el siguiente enlace https://www.youtube.com/watch?v=bBKF9dwGdWg

encontrarás la historia de los número racionales, haz un breve resumen acerca

de cómo surgieron y en la vida real en qué se aplican.

2. INTRODUCCI N

https://www.youtube.com/watch?v=bBKF9dwGdWg





3

EL PROBLEMA DE MEDIR Y EL NÚMERO RACIONALOBJETIVO GENERAL

Acercar al estudiante a comprender el racional como un número de la forma a/b, donde a ∈ Z, b

∈ Z y b ≠ 0, por medio de situaciones didácticas que involucran segmentos de madera y hojasmilimetradas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Asignar a una medida no exacta a la unidad PATRÓN, un número de la forma a/b,

donde a ∈ Z, b ∈ Z y b ≠ 0.

Desarrollar actividades didácticas con hojas milimetradas, segmentos de madera

divididos en varias unidades y el programa geogebra.

Aplicar el concepto de número racional en contextos matemáticos y no matemáticos.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Dibujar en hojas milimetradas, un segmento tomado como unidad patrón y medir con él otros

segmentos mayores que la unidad dada y no exacta a ésta. Posteriormente el estudiante

deberá responder una serie de preguntas previamente diseñadas, que buscan que él construya

el concepto de número racional. A continuación se presenta la actividad:

Tabla No. 1: Patrón de medida

3. SITUACI N PROBLEMA

ROJO

AZUL



4

1. ¿Cuántas veces el segmento rojo cabe en el segmento azul?

2. ¿Te quedó algún pedazo del segmento azul sin ocupar?

3. ¿En el pedazo azul que te sobró te cabe un segmento rojo completo?

4. ¿Necesitas pedacitos del segmento rojo para completar el segmentoazul?

Tabla No. 2: Segmento rojo dividido en partes

Ahora toma de la tabla No. 2 pedazos del segmento rojo que necesites pararesolver la pregunta No. 4 y luego responde las siguientes preguntas:

Esta actividad se realiza con segmentos de madera divididos en varias partes.

1. ¿Es necesario conocer otros números que representen segmentos más cortosque el segmento patrón?

2. ¿Cómo buscarías ese número; si el pedacito que te falta por medir espequeño?

3. Y si el pedacito que te falta es todavía más pequeño ¿Qué harías?

4. ¿O cómo buscarías el número si el pedazo que te falta es más grande?

5. ¿Crees que hay un límite para dividir el segmento patrón?

6. ¿Crees que a cada pedacito le corresponde un número?

7. ¿Qué nombre le pondrías al primer y segundo pedacito del segmento rojo quedividieron en diez partes?

8. ¿Qué nombre le pondrías al primer y tercer pedacito del segmento rojo quedividieron en cinco partes?

9. ¿Qué nombre le pondrías al primer pedacito del segmento rojo que dividieronen dos partes?



5

NÚMEROS RACIONALES

Como se observa en la situación problema, hay otros números distintos de losnúmeros enteros, estudiados en el curso anterior, pues se necesitansegmentos para completar la unidad denominada patrón. A estos números seles conoce como números racionales, los cuales se representan con la letra Q.Este número se logra a partir de la solución de problemas con la división dedos números enteros, la cual no siempre es exacta.

Por ejemplo el resultado de = 2,5, no se puede expresar con un númeroentero, si se efectúa el cociente entre esas dos números enteros positivos seobtiene una parte entera (2) y una parte decimal (5).

Un número racional es todo número que puede representarse como el cocienteentre dos números enteros, así:

, donde a y b son números enteros y b es un número distinto de cero.

Por tanto, Q = { ̸ ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}

El conjunto de los números racionales contiene a los números enteros, ya quetodo número entero puede escribirse como el cociente de dos números, donde

el denominador es 1. Esto se denota así: = , donde a es un número entero.

Ejemplo: = 8 o por ejemplo −

= -3

El número racional por tanto, se puede interpretar como:

1. Una fracción2. Una razón

3. Una división de dos enteros

NÚMERO RACIONAL COMO FRACCIÓN

Esta es la interpretación más elemental del número racional, por ejemplo si setiene el siguiente diagrama circular, se observa que está dividido en 6 partes,pero de ellas solo se ha tomado una. Luego la fracción que representa este

diagrama es y se lee un sexto.

4. CONCEPTUALIZACI N



6

La unidad sigue siendo la misma, pero se puede dividir en varias partes y setoman las que se quieran.

NÚMERO RACIONAL COMO UNA RAZÓN

Otra interpretación de los números racionales es como la razón de dosmagnitudes, entendiendo magnitud como algo que se puede medir.

Por ejemplo un carro recorre 20 km en 3 horas, luego la razón dada está dada

por la distancia recorrida y el tiempo empleado, es decir, la razón se escribe

como un racional:

.

Otro ejemplo de razón se de en términos de porcentaje, esto es, a un artículo

se le hace el 30% de descuento, este descuento se representa como la razón.

En las razones se debe tener en cuenta que ellas se escriben como racionales,

pero se leen de forma diferente, en el caso de los kilómetros horas, se leería 20

a 3.

NÚMERO RACIONAL COMO UNA DIVISIÓN

El número racional como división es el cociente entre dos números enteros,así:

= 4, en este caso cuando se realiza la división se observa que el resultado

de esta división es exacto. Ahora bien, no todas las divisiones de dos enteros

no son exactas, por ejemplo = 2,4, este resultado tiene residuo diferente de

cero y el resultado es 2,4, lo que significa que hay una parte entera que es 2 yuna parte decimal que es 4.

La anterior división se puede expresar como un número mixto, en este caso seresuelve la división

12 5

2 2

Una vez resuelta se reescribe el resultado 2, el primer 2 corresponde al

cociente de la división y la fracción corresponde al residuo como numerador yal dividendo como denominador.

Luego = 2

= 2,4



7

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Para representar un número fraccionario en la recta numérica, se divide la

unidad en tantas partes como indique el denominador y se toman las partes

que indica el numerador.

Ejemplo No.1

Representar en la recta numérica. Para representar

esta fracción se divide la unidad en dos partes iguales

y luego toma se toman tres partes de ella, tal como lo

muestra la figura.

Ejemplo No. 2

Representar en la recta numérica. En este caso, se

divide la unidad en cinco partes iguales y de ellas se

toman 4.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad numérica,

pero se escriben de forma diferente.

Se pueden obtener fracciones equivalentes de una fracción dada, multiplicando

el numerador y el denominador por un mismo número.

Ejemplo: Dada la fracción, de ella se pueden obtener varias fracciones

equivalentes

=

Como se observa en la figura, los tres círculos

representan la misma cantidad, pero se

escriben de forma diferente. Si tomamos y

realizamos un proceso de simplificación, se

obtiene, lo mismo sucede con

; por tanto se

dice que estas fracciones son equivalentes.



8

ORDEN EN Q

Si se tienen las siguientes fracciones y

, ¿cómo se puede determinar cuál de

ellos es mayor que el otro?. Si tu respuesta es dibujar ambas fracciones en larecta y determinar que la fracción que está a la derecha es mayor, se está en lo

correcto.

De lo anterior se puede concluir que si y

son dos fracciones cualquiera, se

dice que >

si y solamente si ad > bc

Entonces del ejemplo anterior

y

.se tiene que 3x5>4x2 = 15>8

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE NO 1

1. Dados los siguientes números racionales, coloca al frente de cadauno de ellos si corresponde a una fracción a una razón o a una división.

a. Luis se comió tres cuartas partes del pastel de sucumpleaños._____________

b. En el supermercado “La X” hay un anuncio que dice así: lleve 2 cremasColgate por $ 2.300______________

c. La profesora le ha pedido a Laura que divida la unidad en 5 partes y tome dosde ellas.______________

d. Un equipo de futbol jugó 4 partidos y ganó uno_________________

e. Sandra compra un equipo de sonido y la empresa le otorga el 20% dedescuento por compra en efectivo.___________________

2. Exprese las siguientes divisiones en forma mixta

a. b.

c.

9 d.

Si observas en el ejemplo, se dan dos

fracciones, y

, las cuales se han graficado en

la recta numérica, como se puede ver la unidad

sigue siendo la misma y al comparar las

ubicaciones de dichas fracciones podremos

darnos cuenta que

está a la derecha de

,;por tanto,

>

.



9

3. Ramón es un estudiante de nuestra institución educativa, el realiza las

siguientes actividades en un día normal

5:30 a.m. se levanta, 5:45 a.m se baña, 6:00 a.m desayuna, 6:15 a.m sale para el

colegio, 6:45 a.m llega al colegio, 7:00 a.m inicia clases, 9:45 a.m sale a descanso,1:00 p.m termina clase, 1:45 p.m llega a la casa

a. Realiza una línea de tiempo de las actividades que Ramón realiza durante ese

lapso de tiempo.

b. ¿Si Felipe compañero de Ramón le pregunta al inicio de clase a qué hora se

levantó, cuál será la respuesta dada por él?

c. Felipe le pregunta a Ramón en cuanto tiempo llega a su casa, este le responde

en 45 minutos, ¿existe otra forma de expresar dicho tiempo?, si la respuesta es

correcta como expresarías los tiempos de las dos respuestas dadas por

Ramón.

4. Se realizó una encuesta a dos grupos de 40 y 20 estudiantes, sobre el deporte

que más practicaban, los resultados se muestran a continuación:

DEPORTE GRUPO 1 GRUPO 2 Atletismo 18 9Natación 9 5Ciclismo 10 4Yudo 3 2

a. ¿Qué parte del total de estudiantes del grupo 1 prefiere la natación?_____

b. ¿Qué parte del total de estudiantes encuestados prefiere yudo?____

5. Catalina y Andrés son vecinos, fueron juntos al Supermercado y compraron

algunos alimentos, coloca la relación (<,>, =) que corresponda de acuerdo a la

compra hecha.

a. Carne

b. Papa

c. Arvejas

6. Coloca en cada recta numérica el número racional que corresponda en

el espacio asignado



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RUBRICA DE EVALUACIÓN

Indicador/Categoría EXCELENTE BUENO INCOMPLETO DEFICIENTE VALOR

Comprensión delconcepto de númeroracional

La explicacióndemuestracompletoentendimientodel concepto denúmeroracional

La explicacióndemuestraentendimientoparcial delconcepto denúmeroracional

La explicacióndemuestraalgúnentendimientodel concepto denúmeroracional

La explicacióndemuestra pocoentendimientodel concepto denúmeroracional

Identificación delnúmero racionalcomo el cociente dedos números enteros

Es capaz deidentificar elnúmeroracional comoel cociente de

dos números z

Es capaz deidentificar enmayor parte elnúmeroracional como

el cociente dedos números z

Demuestra condificultad que elnúmeroracional es elcociente entre

dos númerosenteros.

No es capaz deidentificar elnúmeroracional comoel cociente de

dos números z

Interpretación delnúmero racional

Es capaz deidentificar elracional comouna fracción,razón y división

Es capaz deidentificar elracional comouna fracción yuna división

Es capaz deidentificar conalgunasdificultades queel númeroracional sepuede expresarcomo unafracción, unarazón y una

división

No es capaz deidentificar elracional comouna fracción,razón y división

Identifica cuando unnúmero racional esmayor que otro.

Es capaz deidentificarcuando unnúmeroracional esmayor que otro

Es capaz deidentificarparcialmentecuando unnúmeroracional esmayor que otro

Tiene dificultadpara identificarcuando unnúmeroracional esmayor que otro

No es capaz deidentificarcuando unnúmeroracional esmayor que otro

Ubica númerosracionales en la rectanumérica

Es capaz deubicar númerosracionales en larecta numérica

Es capaz deubicarparcialmentenúmerosracionales en larecta numérica

Tiene dificultadpara ubicarnúmerosracionales en la

recta numérica

No es capaz deubicar númerosracionales en larecta numérica.



11


Recorta las fichas y arma grupo de 4 estudiantes y resuelve en un octavo de

cartulina el dominó fraccionario que se presenta a continuación



12

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

Así como en los números enteros se realizan operaciones de suma, resta,

multiplicación, división, potenciación y su inversa, lo mismo sucede con los

números racionales.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Algebraicamente la suma de números racionales se define así:

Ejemplo No. 1

Juan compra de carne y decide comprar

más, como se observa los

denominadores son iguales, por lo tanto, para realizar la suma se coloca el

mismo denominador y se suman los numeradores.

34 + 5

4 = 3 + 54 = 8

4 = 2

Como se puede observar, 4 es el mismo denominador, por tanto se coloca 4 y

se suman los numeradores, el resultado es 2 porque se ha hecho un proceso

de simplificación en la operación.

Ejemplo No. 2

Si Juan en su segunda compra hubiese comprado , el proceso que se haría

para saber cuánta carne compró es el siguiente

34 + 5

2 = 32 + 5442 = 6 + 20

8 = 268 = 13

4



13

Ejemplo No. 3

En un tanque había m3 de agua y se gastan

, cuánta agua quedó en el

tanque, en este caso se realiza una resta, cuyo proceso es el mismo que se

realiza en la suma.

175 − 8

3 = 173 − 8553 = 51 − 40

15 = 1115

Como se observa es el mismo procedimiento para operaciones con

denominadores diferentes. También se observa que no hubo simplificación

porque no hay factores comunes.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NÚMEROS

RACIONALES

Las propiedades de la adición de números naturales y enteros se extiende

también a los números racionales.

Estas propiedades son:

- Clausurativa: Al sumar dos números racionales se obtiene otro númeroracional.

- Conmutativa: Al cambiar el orden de los sumandos la suma no se altera

- Asociativa: La adición de tres o más números racionales puede

efectuarse realizando distinta agrupaciones y la suma no se altera.

- Modulativa: La suma obtenida de un racional con cero es siempre el

mismo número racional.

Ejercicio en clase

Realiza dos ejemplos por cada propiedad de la suma de números racionales.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Algebraicamente la multiplicación de números racionales se define así:

Consulta las propiedades de los números racionales



14

Ejemplo

Se tiene un área como muestra la figura, tres cuartos de ella no tiene baldosa y

se quiere colocar dos tercios de tapete al área sin baldosa, ¿Qué parte del área

del piso quedara con tapete?

23 3

4 = 2334 = 6

12

DIVISIÓN DE NUMEROS RACIONALES

Algebraicamente la división de números racionales se define así:

÷ =

Ejemplo No. 1

÷ −

9 = − 9 = −

se puede realizar el proceso de simplificación

− = - −

Ejemplo No. 2

Los9 de los ahorros de Ricardo se han destinado para pagar cuatro cuotas

del carro que compró, ¿qué parte de lo ahorrado corresponde a una cuota?

9 ÷

=

9 =

=

=

9 luego dos novenos corresponde a una cuota de lo

ahorrado.



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PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE LOS

NÚMEROS RACIONALES

- Clausurativa: Al multiplicar dos números racionales se obtiene otro

número racional.

- Conmutativa: Al cambiar el orden de los productos la multiplicación no

se altera

- Asociativa: La multiplicación de tres o más números racionales puede

efectuarse realizando distinta agrupaciones y el producto no se altera.

- Modulativa: La multiplicación obtenida de un racional con uno es

siempre el mismo número racional.

- Anulativa: al multiplicar todo número racional por cero el producto que

se obtiene es cero.

Ejercicio en clase

Realiza dos ejemplos por cada propiedad de la multiplicación de los números

racionales.

POTENCIACIÑÓN DE NÚMEROS RACIONALES

En los racionales se definen la potenciación y la radicación como se definió en

los números enteros.



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1. Carlos decide realizar una caminata diaria losdías lunes, miércoles y viernes, los siguientes

son los km que él recorrió: ,

,

. ¿Cuántos km

en total recorrió Carlos?

2. Cierta madrugada, la temperatura en Bogotá era

de − oC y, a la misma hora, en barranquilla

era9 oC. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las dos ciudades?

3. El jardín de María tiene dos quintas partes sembradas de rosas, un

tercio sembrada de claveles y el resto de gladiolos. ¿Qué parte del área

de María está sembrada de gladiolos?

4. En un colegio de 910 alumnos, los dos quintos tienen menos de 14

años. ¿Cuántos alumnos tienen menos de 14 años?

5. Resuelve las siguientes operaciones con números racionalesa. −

x(−

9)

b. −

+

c. ÷(−

)

d.+

+

6. Escribe F o V y explica con ejemplos tu respuesta

a. El cuadrado de un racional negativo es un racional negativo____b. Si un racional positivo se eleva a un exponente negativo, el resultado es

positivo____

c. Si un racional negativo se eleva a una potencia impar, el resultado es

positivo____

d. Nunca se puede hallar la raíz cuadrada de un racional negativo___



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RUBRICA DE EVALUACIÓN


Identifica y usa laspropiedades de lasuma y multiplicaciónde los númerosracionales

La explicacióndemuestracompletoentendimientode laidentificación yuso de laspropiedades dela suma ymultiplicaciónde los números

racionales

La explicacióndemuestraentendimientoparcial de laidentificación yuso de laspropiedades dela suma ymultiplicaciónde los números

racionales

La explicacióndemuestraalgúnentendimientode laidentificación yuso de laspropiedades dela suma ymultiplicaciónde los números

racionales

La explicaciónno demuestraningúnentendimientode laidentificación yuso delaspropiedades dela suma ymultiplicaciónde los números

racionales

Realiza operacionesbásicas con númerosracionales

Es capaz derealizaroperacionesbásicas connúmerosracionales

Es capaz derealizarparcialmenteoperacionesbásicas connúmerosracionales

Demuestradificultad pararealizaroperacionesbásicas connúmerosracionales

No es capaz derealizaroperacionesbásicas connúmerosracionales



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La matemática y la geometría han jugado un papel fundamental a través de la historia, se

observa como diferentes civilizaciones hicieron uso de ellas, esto se evidencia en tablillas y

papiros que se han encontrado, así como en esculturas, textiles y arquitectura entre otros.

Los sumerios, han dejado su legado sobre tablillas realizadas en arcilla, en ellas se evidenciatestimonio de sus conocimientos matemáticos. Por ejemplo se tiene la tablilla YBC 72 que seencuentra fechada entre los años 1900 y 1600 a.C. En ella se presenta una figura que puedeasociarse a la representación de un cuadrado en el que puede observase la irregularidad quedicha figura presenta, ya que los segmentos internos darían la idea de la diagonal de dicho

cuadrado pero es notorio que sus extremos no coinciden con los vértices del cuadrado.

Por su parte, en el antiguo Egipto, los conocimientos matemáticos se encuentran, mayormente,

en los papiros que se han conservado hasta nuestros días, siendo verdaderos testimonios deldesarrollo matemático que el pueblo egipcio poseía. Uno de estos papiros es el de Moscú, enél se observa una figura que da la idea de un trapecio rectángulo.

Esta representación no es casual pues el pueblo egipcio tenía por costumbre representar los

cuerpos de tres dimensiones como figuras planas, siendo particular en esta cultura los

bajorrelieves o las pinturas de cuerpos humanos esbozados de frente pero con el rostro de

perfil como así también sus piernas, en la mayoría de los casos, aunque sus ojos se

encontraban como vistos de frente. Si nos centramos en las figuras de los papiros con

1. IDENTIFICACIÓN DE LA GUIA DE APRENDIZAJE

GUÍA No. 1 GRADO 7DURACIÓN: PRIMER PERIODO

GEOMETRÍA

TEMA: TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMA GEOEMÉTRICO:1. Clasifico polígonos en relación con sus propiedades.2. Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos.3. Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistasCOMPETENCIA: Relaciona figuras de tres y cuatro lados con objetos de su entorno, tales como

ventanas, puertas, pisos, bases de bicicletas, etc. y establece propiedades en dichas figuras

geométricas.

2 INTRODUCCIÓN



19

problemas matemáticos, puede notarse que las figuras realizadas tienen un alto nivel de

imprecisión, dichas irregularidades geométricas darían la impresión que sólo se realizaron

como soporte que guiara al escriba que resolvía el problema. Se debe recordar que para estos

tiempos, la matemática que este pueblo desarrolló es solo de orden práctico, no había aún

teorizado las ideas geométricas, con lo cual puede llegarse a la conclusión que dichasrepresentaciones corresponden a figuras de análisis de la situación que puntualmente se

plantea y no representan una generalización. Tomado de LAS FIGURAS DE ANÁLISIS EN LA

ANTIGÜEDAD, http://www.soarem.org.ar/Documentos/52%20Micelli.pdf

Por otra parte, el arte precolombino, como esculturas, arquitectura, textiles, cerámicas,

orfebrería, entre otros, que realizaron nuestros indígenas durante el periodo precolombino

propio de América, antes de Cristóbal Colón, dan cuenta de la utilización de figuras

geométricas en dichas realizaciones artísticas. Un ejemplo de ello son los de Tierradentro y

San Agustin en Colombia.

.

Los indígenas de Tierradentro utilizaban los hipogeos, que eran unas construcciones

subterráneas o excavadas en una roca con techos abovedados y que utilizaban como vivienda

para sus muertos. Las figuras 2, 3 y 5 muestran hipogeos y en ellas se observan figurasgeométricas con base en cuadrados y triángulos.

En conclusión, nuestros antepasados hicieron uso de las figuras geométricas para realizar sus

representaciones artísticas, los primeros hombres lo hicieron a partir de la observación de las

cosas que veían en la naturaleza y los egipcios la utilizaron para la medición de sus fronteras,

las cuales se borraban a causa del rio Nilo y también para medir los ángulos rectos de las

esquinas de sus edificaciones, de ahí la palabra geometría que significa medida de tierras. Esta

geometría que no estaba sistematizada en ninguna de las civilizaciones egipcias, babilonias y

sumerias, luego fue sistematizada por los griegos, en cabeza de Tales de Mileto, los

pitagóricos y Euclides.

Consulta las biografías de Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides y escribe los aportes que cada

uno de ellos hizo a la geometría.

http://www.soarem.org.ar/Documentos/52%20Micelli.pdf






20

OBJETIVO GENERAL

Acercar al estudiante a comprender el concepto de triángulos y cuadriláteros y a que

establezca diferencias entre figuras planas y figuras tridimensionales.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Establecer relaciones entre polígonos de tres y cuatro lados por medio de un paralelo

Usar modelos, información, propiedades y relaciones para identificar, caracterizar y

clasificar objetos geométricos.

Usar propiedades y relaciones geométricas para solucionar problemas que surgen en

matemáticas y en otros contextos.

ACTIVIDAD 1

Tome una hoja de papel y en ella dibuje tres puntos cualesquiera A, B y C, no colineales, es

decir, que no estén alineados, luego con la regla una los puntos AB, BC y CA, pinte de color

azul la figura que acaba de obtener. Como la hoja representa un plano, ¿entonces en cuántas

partes se ha dividido dicho plano? ¿Cómo se llaman las líneas trazadas de A a B, de B a C y

de C a A? ¿Qué nombre reciben los puntos A, B y C? ¿Qué nombre recibe la región azul?

¿Qué características tiene dicha región? ¿Qué puede concluir del ejercicio anterior?

ACTIVIDAD 2

Las pirámides de Egipto son, de todos los vestigios legados por egipcios de la Antigüedad, los

más portentosos y emblemáticos monumentos de esta civilización, y en particular, las tres

grandes pirámides de Giza, las tumbas o cenotafios de los faraones Keops, Kefrén y Micerino,

cuya construcción se remonta, para la gran mayoría de estudiosos, al periodo denominado

Imperio Antiguo de Egipto. La Gran Pirámide de Giza, construida por Keops (Jufu), es una de

las Siete Maravillas del Mundo Antiguo, además de ser la única que aún perdura. A

continuación se muestran las

De acuerdo a las figuras mostradas, responde las siguientes preguntas.

1. ¿Qué polígono se asocia a la parte frontal de las pirámides?2. ¿Cuántos lados tiene dicho polígono?

Fi ura 1 Figura 2

3 SITUACIÓN PROBLEMA



21

3. ¿La base sobre la que se ha levantado la pirámide de la figura 2, que polígono

representa?

4. ¿Si la pirámide tiene tres caras, que polígono forma la base sobre la que se encuentra?

5. Toma cuatro pitillos y únelos con plastilina, luego en cada punta coloca un pitillo de

forma vertical y únelos en un solo punto con plastilina, ¿Qué figura se obtiene?6. Dibuja un tu cuaderno polígonos de tres lados y de cuatro lados. ¿Existen diferencias

entre la figura que construiste con los pitillos y la que dibujaste en el cuaderno? ¿Qué

tipo de diferencias?

7. ¿Cómo llamarías a las figuras de los pitillos y a las figuras del cuaderno?

8. ¿Toma las medidas del lado AB y el lado AC del triángulo que aparece en la figura?

¿Cómo son dichas medidas? Si tomas el compás y mides el valor del ángulo, ¿Qué valor

obtienes? ¿Cómo llamarías a dicho triángulo? ¿Todos los triángulos tienen la misma

forma?

9. Dibuja en cartulina dos triángulos con las mismas medidas del triángulo anterior,

recortalas y unelas por los lados BC, ¿Qué figura obtienes?

10. Observa el siguiente triángulo, mide la base y su altura, ¿Cuál es el valor de su medida?

Dibuja en cartulina dos triangulos con las mismas medidas, recortalos y unelos. ¿Qué

figura se obtiene? ¿Cuál es el valor de los ángulos de la nueva figura? ¿Se puede

calcular el valor de los ángulos del triángulo a partir del valor de los ángulos de la

nueva figura formada? ¿Qué valor tendrían?

11. ¿Cuántos vértices y ángulos tienen las figuras del punto 8 y 9? Realiza un paralelo que

muestra las diferencias entre las figuras de tres y cuatro lados.

Número delados

Número deángulos

Suma deángulos

interiores

TRIÁNGULOS

CUADRILÁTEROS



22

TRIÁNGULOS

Con base en la situación didáctica se puede concluir, que tres puntos cualesquiera no

colineales, A, B y C, determinan un triángulo.

Los triángulos son polígonos que tiene tres lados, tres ángulos interiores cuya suma es igual a

180o, tres ángulos exteriores y tres vértices.

Los puntos de intersección formados por las rectas son los vértices y los segmentos de recta

determinan los lados del triángulo. Los vértices suelen designarse con letras A , B , C ,... y los

lados con letras minúsculas a, b, c,… de acuerdo al vértice opuesto, también se denotan, por

los extremos de sus segmentos así: AB , BC y AC .

ACERCA DE LOS LADOS DE UN

TRIÁNGULO

En una tabla clave tres chinches tal comolo muestra la figura, luego ate un hilo alpunto A y que pase por el punto B y Cvolviéndose a fijar al punto A, quite elchinche del punto C, observe que el hilo seafloja en los lados a y b, tome la punta delhilo y llévelo hasta el extremo del punto B.¿Qué puede concluir de dichoexperimento? ¿Cómo es el lado ccomparado con la suma de los lados a y b? Tomado y adaptado de Lecciones de

Geometría Intuitiva de Juan A. Viedma C.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS

Como ya se vio en la situación didáctica, todos lostriángulos no son iguales, por lo tanto su

clasificación se hace por la relación entre las

longitudes de sus lados o por la amplitud de sus

ángulos.

4 CONTEXTUALIZACIÓN



23

TRIÁNGULO ISÓSCELES: Es aquel que tiene dos de sus lados iguales, a continuaciónse muestran los tipos de triángulos isósceles que existen.

Como se observa, en este tipo de triángulos los lados iguales tienen ángulos iguales. En el

caso del triángulo acutángulo los ángulos B y C son iguales, mientras que en el

triángulo C y D son iguales. En el caso del triángulo isósceles rectángulo se obtienendos ángulos iguales y cuyo valor es de 450.

El triángulo isósceles tiene un solo eje de simetría, tal como lo muestra la siguiente figura:

TRIÁNGULO EQUILÁTERO: Es aquel que tiene todos sus lados iguales y todos susángulos iguales.

El triángulo equilátero tiene tres ejes de simetría

Rectángulo

Ejes de simetría: Es una línea

imaginaria que atraviesa una figura de

tal manera que al dividirla, lo hace en

dos partes cuyos puntos opuestos son

equidistantes entre sí, es decir tienen

la misma distancia, por lo que quedansimétricos.

Leer el artículo: Simetría en un

mundo asimétrico

http://www.cienciateca.com/simet

ria.html

Escribir en forma breve de que

trata dicho artículo.

http://www.cienciateca.com/simetria.html







24

TRIÁNGULO ESCALENO: Es aquel que tiene todos sus lados desiguales y por tano todossus ángulos son también desiguales.

En este triángulo también se puede observar que todos los lados son desiguales, lo mismoque sus ángulos.

El triángulo escaleno no tiene ningún eje de simetría.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

El siguiente cuadro sinóptico muestra la clasificación de los triángulos de acuerdo a la amplitud

de sus ángulos:

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el

ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello,

los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros

dos son agudos (menores de 90°).

Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

RECTÁNGULOS

OBLICUÁNGULOS

OBTUSÁNGULOS

ACUTÁNGULOS

TRIÁNGULOS

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interior

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interior



25

El siguiente cuadro muestra la clasificación de los triángulos según la amplitud de sus ángulos.

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS Y SUSÁNGULOS

El siguiente mentefacto conceptual muestra cómo se clasifican los triángulos según suamplitud de sus ángulos

CLASIFICACIÓN SEGÚN LOS LADOS Y LOS ÁNGULOS

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el

otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no

tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tresalturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

RECTANGULO ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO

Según la longitud desus lados

Cuadriláteros

POLÍGONOS

TRIÁNGULOS

ISÓSCELCES EQUILÁTERO

Es un polígono que tiene treslados, tres ángulos interiores,tres ángulos exteriores y tresvértices.

ESCALENO

RECTANGULO ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO ACUTÁNGULO

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangle.Acute.svg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangle.Obtuse.svg

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangle.Right.svg



26

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada

uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el

diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por

el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son

diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son

los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son

diferentes.

El siguiente cuadro muestra cómo se clasifican los triángulos según sus ángulos

Según suslados

Según susángulos

EQUILATERO3 Lados iguales y 3

ángulos iguales

ISOSCELES2 lados iguales y 2

ángulos

ESCALENO3 lados desiguales y 3

ángulos desiguales

ACUTÁNGULO

RECTÁNGULONo existe

OBTUSÁNGULONo existe

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tri%C3%A1ngulo_obtus%C3%A1ngulo_escaleno.svg



27

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1

2. Determine sin tomar medidas con el compás, la medida del ángulo faltante en cada figura.

1. ¿De acuerdo a sus ángulos, qué tipo de triángulo es el de la figura 3? ¿Si la base es de

2 unidades, qué se puede decir de su altura?

2. ¿Según sus lados, qué nombre recibe el triángulo de la figura 4?

3. La suma de dos lados en un triángulo mide 20 cm, el tercer lado podría medir:

a. 25 cm b. 15 cm c. 21 cm

4. ¿Cuántos triángulos tiene la siguiente figura 5?

5. El cuadro de Leonardo Da Vinci (Figura 6), muestra la representación de la última cena

del Señor, ¿qué figura geométrica utilizó Da Vinci para pintar a Jesús?

6. ¿Un triángulo puede ser equilátero y obtusángulo al mismo tiempo? Justifica tu

respuesta.

Figura 1

Figura 2 Figura 3 Figura 4

1. El siguiente es un triángulo equilátero, halle el punto medio de

cada uno de sus lados y luego únalos, ¿Qué figura obtienes?

Figura 5 Figura 6

Figura 7

9. ¿Qué tipo de triángulo es el de la figura 7 y cuál es el

valor del ángulo externo?

Competencia: Aplico los conceptos básicos de los triángulos para solucionar problemas que

surgen en contextos matemáticos y no matemáticos



28

RUBRICA DE EVALUACIÓNDE TRIÁNGULOS


Comprensión delconceptogeométrico detriángulo

La explicacióndemuestracompletoentendimientodel conceptogeométrico detriángulo.

La explicacióndemuestraentendimientoparcial delconceptogeométrico detriángulo.

La explicacióndemuestraalgúnentendimientodel conceptogeométrico detriángulo.

La explicacióndemuestrapocoentendimientodel conceptogeométrico detriángulo.

Identificación de loselementos de un

triángulo.

Es capaz deidentificartodos los

elementos deun triángulo.

Es capaz deidentificar lamayor partede los


Es capaz deidentificaralgunos de los


No es capazde identificarninguno de los


Relación de figurasde tres lados conobjetos de suentorno

Es capaz derelacionarfiguras de treslados conobjetos de suentorno.

Es capaz derelacionarfiguras de treslados con lamayoría deobjetos de suentorno.

Es capaz derelacionarfiguras de treslados conalgunosobjetos de suentorno

No es capazde relacionarfiguras de treslados conobjetos de suentorno.

Establecimiento depropiedadesgeométrica de lostriángulos

Es capaz de

establecerpropiedadesgeométricasde lostriángulos.

Es capaz deidentificar la

mayor partede laspropiedadesgeométricasde lostriángulos.

Es capaz de

identificaralgunas de laspropiedadesgeométricasde lostriángulos

No es capaz

de identificarninguna de laspropiedadesgeométricasde lostriángulos

Clasificación detriángulos según

sus lados y segúnsus ángulos.

Es capaz declasificar lostriángulosdados según

sus lados ysegún susángulos.

Es capaz declasificar lamayor partede lostriángulos

dados segúnsus lados ysegún susángulos

Es capaz declasificaralgunostriángulos

dados segúnsus lados ysegún susángulos

No es capazde identificarlos triángulos

dados segúnsus lados y susángulos.



29

CUADRILATEROS

Los cuadriláteros, cuadri de cuatro y latero de lado, son polígonos que tienen 4 lados, cuatro

vértices, dos diagonales, cuatro ángulos interiores cuya suma es igual a 360

o

y cuatro ángulosexteriores. Su forma varía dependiendo de las relaciones que se establezcan entre sus lados y

entre sus ángulos.

El siguiente mentefacto conceptual muestra la clasificación de los cuadriláteros:

PARALELOGRAMOS

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero cuyos lados opuestos son congruentes y

paralelos dos a dos.

El siguiente mentefacto conceptual muestra cómo se clasifican los paralelogramos según sus

ángulos:

Pero también los paralelogramos se pueden clasificar según sus lados, tal como muestra el

siguiente mapa:

PARELOGRAMOS

EQUILATEROS NO EQUILATEROS

ROMBO CUADRADOS RECTÁNGULO ROMBOIDE

Se ún sus lados

Según la relación entre sus

lados y ángulos

Triángulos

POLÍGONOS

CUADRILATEROS

PARALELOGRAMO TRAPECIOS

RECTANGULO CUADRADRO

Es un polígono que tienecuatro lados y cuatroán ulos.

ROMBO ROMBOIDE RECTANGULO ISÓSCELES ESCALENO

TRAPEZOIDE



30

RECTÁNGULOS

Es un paralelogramo con 4 ángulos internos rectos y los lados opuestos con la misma longitud.

Propiedades de los rectángulos

1. Al trazar una mediatriz a lo largo o a lo ancho del

rectángulo, se observa que hay simetría. El rectángulo

tiene dos ejes de simetría.

1 = 2

2. Al trazar las diagonales se observa que son iguales y se cortan en su punto medio.

3. Los ángulos internos son rectos, es decir, su medida es 90o. por lo que se puede decir

que el rectángulo es equiángulo.

4. Los lados opuestos son paralelos.

c=d y a = b

Nota: Recordar que un eje de simetría es una línea que divide una figura en dos partes

simétricas o que tienen la misma forma.

1

2

1 2

9

9

9

9

dc

a

b

dc

a

b



31

CUADRADO

Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y paralelos dos a dos, sus ángulos

internos son iguales y rectos, por lo que es un caso especial del rectángulo y como sus lados

son iguales, es decir, es equilátero, entonces es un caso especial del rombo. La suma de sus

ángulos internos es 360o, ya que cada ángulo mide 90o.

PROPIEDADES DEL CUADRADO

1. Los cuatro lados son iguales y por ser iguales sus lados opuestos son paralelos

a = b = c = d

el lado a es paralelo al lado cel lado d es paralelo al lado b

2. Los cuatro ángulos internos son iguales y la suma de todos ellos es igual a 360o

A = B= C= D

90o + 90

o + 90

o + 90

o = 360

o

3. Tiene dos diagonales iguales por ser rectángulo y perpendiculares por ser rombo

d1 = d2 d1 d2

4. Por ser el cuadrado rombo, sus diagonales son bisectrices de los ángulos por cuyos

vértices pasan, esto es, dividen al ángulo en dos partes iguales.

bd

c

a

90o

90o 90

o

90o

d 2

90

90o

45o

4 5 o



32

5. El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría: las paralelas medias de sus lados por ser

rectángulo y sus diagonales por ser rombo.

ROMBO

Es un paralelogramo que se caracteriza por tener sus cuatros lados iguales, dos ángulos

agudos (menor de 90o) y dos ángulos obtusos (mayor de 90o).

Se podría ver al rombo como un cuadrado deformado así:

PROPIEDADES DEL ROMBO

1. Sus lados opuestos son paralelos

a = b = c = d

El lado a es paralelo al lado c

El lado b es paralelo al lado d

2. Sus ángulos opuestos son iguales, dos de ellos son agudos (menores de 90o) y los otros

dos obtusos (mayores de 90o)

d

D

α es un ángulo agudo

β es un ángulo obtuso



33

3. Las diagonales del rombo perpendiculares y son ejes de simetría, debido a esto son

bisectrices de los ángulos por cuyos vértices pasan. Es decir, que dividen al ángulo en

partes iguales.

ROMBOIDE

El romboide o llamado también paralelogramo, es un cuadrilátero que se caracteriza por sus

ángulos y sus lados iguales dos a dos. El romboide no es ni rectángulo ni rombo.

Se podría ver al romboide como un rectángulo deformado así:

PROPIEDADES DEL ROMBOIDE

1. Tienes dos pares de lados opuestos

Lados opuestos b = d y c = a

2. Los ángulos opuestos son iguales

Ángulos opuestos β iguales

Ángulos opuestos α iguales

La suma de α + β = 1800

A = B= C= D = 360o

3. Tiene dos diagonales y no son perpendiculares porque no es un rombo



34

4. Las diagonales no son iguales porque no es un rectángulo

D1 no es igual a D2

5. El romboide tiene dos ejes de simetría

CUADRILATERO FIGURAEJES DE

SIMETRÍA

LADOS DIAGONALES ÁNGULOS ÁREA

Cuadrado 44 ladosiguales

2 iguales yperpendiculares

Se bisecan4 rectos LxL=L

2

Rectángulo 24 ladosiguales

2 diferentes yperpendiculares

Se bisecan

2 agudos y2 obtusos

2

Rombo 2Lados

iguales 2a 2

2 iguales yoblicuas

Se bisecan4 rectos bxh

Romboide 2 Ladosiguales 2a 2

2 desiguales yoblicuasSe bisecan

2 agudos y2 obtusos

bxh

Trapeciorectángulo

No tiene2 lados

paralelos

2 desiguales yoblicuas

No se bisecan

2 ángulosrectos

( + )ℎ2 Trapecio isósceles 1

2 ladosparalelos

2 iguales yoblicuas

No se bisecan

2 ángulosiguales dos

a dos

Trapecio escaleno No tiene2 lados

paralelos

2 desiguales yoblicuas

No se bisecan

4 ángulosdesiguales

Trapezoide No tieneNingúnlado esparalelo

2 desiguales yOblicuas

No se bisecan

4 ángulosdesiguales



35

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2

1. Dibuja un rombo y señala los puntos medios de cada uno de sus lados. Si

unes los puntos medios ¿qué figura obtienes, un rectángulo o un cuadrado?

Demuéstralo.

2. ¿Si unieras los puntos medios de los lados de un rectángulo ¿Qué obtendrías: un

rombo, otro rectángulo o un cuadrado? Demuéstralo.

3. Dibuja un rectángulo de base 6 cm y de altura 3 cm, traza las diagonales ¿cuántos

triángulos obtenemos y qué tipo de triángulo es cada uno de ellos teniendo en cuenta

sus lados? Demuéstralo hallando el valor de los ángulos con el transportador

4. Dibuja un rombo de lado 8 cm ¿Puede tener un ángulo de 90º? Razona tu respuesta.

5. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a. Los cuadriláteros son todos paralelogramos ( )

b. Los trapecios son un tipo especial de paralelogramo ( )

c. Todo rombo es un cuadrado ( )

d. Algunos trapecios son rectángulos ( )

e. Un trapezoide tiene dos lados paralelos ( )

6. ¿Cuántos cuadriláteros tiene la figura?

7. Coloca al frente de cada espacio de la casa, el cuadrilátero al que corresponde

Hab. 1 ________________

Hab. 2

________________

Hab. 3

________________

Hab. 4

________________

Pasillo ________________

Cocina ________________

Comedor

________________

Recibidor

________________

Aseo

________________

Terraza ________________

zzzz



36

8. Recorte las figuras y forma un cuadrado con ellas



37

RUBRI CA DE EVALUACIÓN DE CUADRILÁTEROS


Comprensión delconceptogeométrico decuadrilátero

La explicacióndemuestracompletoentendimientodel conceptogeométrico decuadrilátero

La explicacióndemuestraentendimientoparcial delconceptogeométrico decuadrilátero

La explicacióndemuestraalgúnentendimientodel conceptogeométrico decuadrilátero

La explicacióndemuestrapocoentendimientodel conceptogeométrico decuadrilátero

Identificación de loselementos de un

cuadrilátero

Es capaz deidentificartodos los

elementos deuncuadrilátero

Es capaz deidentificar lamayor partede los

elementos deuncuadrilátero.

Es capaz deidentificaralgunos de los


No es capazde identificarninguno de los


Relación de figurasde cuatro lados conobjetos de suentorno

Es capaz derelacionarfiguras decuatro ladoscon objetos desu entorno.

Es capaz derelacionarfiguras decuatro ladoscon la mayoríade objetos desu entorno.

Es capaz derelacionarfiguras decuatro ladoscon algunosobjetos de suentorno

No es capazde relacionarfiguras decuatro ladoscon objetos desu entorno.

Establecimiento depropiedadesgeométrica de loscuadriláteros

Es capaz deestablecerpropiedadesgeométricasde loscuadriláteros

Es capaz de

identificar lamayor partede laspropiedadesgeométricasde loscuadriláteros

Es capaz deidentificaralgunas de laspropiedadesgeométricasde loscuadriláteros

No es capazde identificarninguna de laspropiedadesgeométricasde loscuadriláteros

Clasificación de

cuadriláteros segúnsus lados y segúnsus ángulos.

Es capaz declasificar loscuadriláteros

dados segúnsus lados ysegún susángulos.

Es capaz declasificar lamayor partede los

cuadriláterosdados segúnsus lados ysegún susángulos

Es capaz declasificaralgunos

cuadriláterosdados segúnsus lados ysegún susángulos

No es capazde identificarlos

cuadriláterosdados segúnsus lados y susángulos.



WEBGRAFÍA

competencia

https://es.wikipedia.org/wiki/Competencia_(aprendizaje)

Cuadrados:

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Simetria_Eje_de.html http://aulafacil.com/matematicas-

basicas/geometria/curso/Lecc-27.htm

Cuadrilateros:

http://web.educastur.princast.es/proyectos/formadultos/unidades/matematicas_1/ud2/3_12.html

Rombo:

http://www.aulafacil.com/cursos/l10830/ciencia/matematicas/areas-geometricas/calculo-del-

area-del-rombo-romboide

Surgimiento de la geometría:

http://historiadelageometria.blogspot.com/2008/10/historia-antigua.html

Triángulos y cuadriláteros

https://xikis.wikispaces.com/1.+Diferencias+entre+tri%C3%A1ngulos+y+cuadril%C3%A1teros

Uribe, Leonor Camargo. Conexiones Matemáticas 7. Grupo Editorial Norma. Bogotá 2006

Uribe, Leonor Camargo. Alfa con Estándares 7. Grupo Editorial Norma. Bogotá 2003

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Simetria_Eje_de.html


http://aulafacil.com/matematicas-basicas/geometria/curso/Lecc-27.htm





http://www.aulafacil.com/cursos/l10830/ciencia/matematicas/areas-geometricas/calculo-del-area-del-rombo-romboide














Documents

Guía 1p 7 Matemáticas