Guía de Autoestudio de Matemáticas para el curso de Reforzamiento

Agosto 2013

Matemática

Matemática

Matemática

Matemática

GUIA DE AUTOESTUDIO PARA ESTUDIANTES DE QUINTO AÑO

Comisión Matemática: CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED Página 1

Comisión de matemática encargados de elaborar el do cumento

Carlos Sánchez Hernández (Coordinador) -UNI

Iván Cisneros Díaz - UNAN-Managua

Francisco Emilio Díaz Vega -MINED

Humberto Jarquín- MINED

Héctor Flores Guido -UNAN-León

Luisa Mercedes Barrera Delgado- UNAN-León

Carlos José Medina Prado -UNAN-León

José Manuel Siles Huerta -UNI

Elías Martínez Rayo -UNI

Marco Antonio López González -UNAN-León



I. Aritmética

1. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a : a) 312 b) 911 c) 333 d) 933

2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de

tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8

3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así

obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? a) 90% b) 99% c) 100% d) 101%

4. Al simplificar [(9 - 4) + (-10 + 3)] (6 (-5)) [(-12 + 8) (6 - 9) (95 - 90)] el

resultado es: a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000? a) 15 b) 18 c) 17 d) 20 6. Al simplificar 4 (3)2 6 - 3 + 2 [5 (7) - 15 3] 4 12 - 9. El resultado es a) 19 b) -11 c) 11 d) 29

7. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir usando sólo los dígitos

0; 1; 2; 3 y 4? a) 55 b) 4.54 c) 4.55

d) 5!



8. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%. ¿Qué edad

tiene Juan? a) 59 b) 79 c) 10

d) 60

9. En una ciudad de los hombres están casados con los de las mujeres. Si

nunca se casan con forasteros, ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?

a) b) c) d)

10. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿Cuál es la razón

geométrica de los juegos ganados a los jugados?

a) 3 b) 10 c) d)

11. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor

es 5 ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números?

a) 21 b) 25 c) 49 d) 50

12. El resultado de

2 4 63 5 7

− ÷ , es:

A.

415

− B.

435

− C.

745

− D.

2105

− E.

475

−

13. Juan gasta el 20% de sus ingresos en el pago de impuestos y 20% del resto en el pago de la mensualidad de su casa. ¿Qué porcentaje de su ingreso gasta en el pago de su casa?

A. 8%(17) B. 10% C. 16% D. 20% E. 60%



14. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los 35

de los 72

del costo de un juguete

que me ha costado C$40.00?

A. gano C$24 B. pierdo C$24 C. gano C$100 D. pierdo C$40 E. gano C$44

15. Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 15%, 20%, 25% y 40 %, respectivamente, del monto total. Si la menor de las aportaciones fue de C$9,000, la mayor de las aportaciones fue de:

A. C$10 500 B. C$12 000. C. C$24 000 D. C$60 000 E. C$65 000

16. De acuerdo al Reglamento de Admisión de una universidad, el puntaje total alcanzado por un estudiante está formado por el 70% de la nota obtenida en el Examen de Admisión y el 30% de su promedio de los dos últimos años de bachillerato. Si un estudiante alcanza un puntaje total de 81 y su promedio de los dos últimos años de bachillerato es 95, ¿qué puntaje obtuvo en el examen de admisión?

A. 88 B. 85 C. 84 D. 78 E. 75

17. Un grupo de amigas va de paseo y disponen de C$ 240.00 para la compra de sus pasajes. Si compran pasajes de C$ 30.00, les sobra dinero; pero si compran pasajes de C$ 40.00, les falta dinero. ¿Cuántas amigas van de paseo? A. 4 B. 7 C. 5 D. 8 E. 6

18. En el parqueo de la UNI, entre carros y motos hay 20 vehículos. Sabiendo que el número total de ruedas es 70. ¿Cuántos carros hay?

A. 5 B. 10 C. 15 D. 16 E. 18



19. Un estudiante de la UNI proveniente del interior del país gasta la cuarta parte

de su “mesada” en el alquiler de una habitación, la mitad en comida, la quinta parte en materiales educativos y el resto, C$ 100.00, en recreación. ¿Cuánto es la “mesada” de este estudiante?

A.C$ 1 000 B.C$ 1 500 C. C$ 2,000 D. C$ 2 200 E. C$ 3,000

20. El hielo disminuye su volumen en un 9% cuando se derrite. Si se derriten 1000 cc de hielo, ¿Cuál es el volumen del líquido que se forma?

A. 1 090 cc B. 999,1 cc C. 991 cc D. 990 cc E. 910 cc

21. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n?

a) 2003n b) n2 + 2003 c) n3 d) 2n2 + 2003

22. La solución de es:

a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 23. Calcular el producto L H sabiendo que L = a + b + c , H = d + c = f + g siendo

a; b; c; d; f; g números naturales y que b f = 91 ; a d = 18 ; c d = 16 ; b g = 39

a) 310 b) 280 c) 300 d) 100

24. Una epidemia mató los de las reses de un ganadero y luego él vendió los

de las que le quedaban. Si aún tiene 216 reses, ¿Cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió? a) 1600; 950; 220 b) 1728; 1080; 432 c) 1539; 1080; 243 d) 1600; 84; 1300

25. Al realizar la operación: (4,62 x 210−) : (2,2 x

410−) se obtiene el número:

a) 2100 b) 2,1 c) 21 d) 210



26. La Expresión 3 22

1

++++ es equivalente a:

A. 2

22 3−−−− B.

104224 33 ++++++++ C.

104224 33 −−−−−−−− D.

104224 33 ++++−−−− E.

64224 33 ++++++++

27. Al racionalizar el numerador de 23

21

−+

resulta:

A. 245 − B. 524 − C. 245

1

− D.

245

1

+ E.

524

1

−

28. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando solo es: A. 18 B. 36 C. 48 D. 56 E. 72

29. Al simplificar la expresión ?

222

222432

101

====++++++++

++++++++−−−−−−−−−−−−

−−−−

se obtiene: A. 6 B. 8 C. 31 / 2 D. 24 E. 512

30. Se va a tender una línea eléctrica de 35.75 km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de 125 m. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el último al final ¿cuántos postes serán necesarios en total? A. 30 B. 36 C. 140 D. 180 E. 287

31. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20? A. 0 B. 15 C. 21 D. 30 E. 10



32. En la sustracción , la suma del minuendo, el sustraendo y la

diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del minuendo?

A. 16 B. 323 C. 8 D. 4 E. 2

33. El valor numérico de la expresión

2 2

2

4 (3 2)( 6 1)− −− + es:

A.

35

− B.

310 C. – 1 D.

35 E. 1

34. Si A comió 14 de un queque, B comió

13 de lo que quedó después que A

comió; C comió 12 de lo que quedó después que A y B comieron ¿Qué parte del

queque quedó?

A. 14 B.

19 C.

112 D.

124 E.

148

35. Con los 27 del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su

cumpleaños. Con los 35 del dinero que le sobró compró hamburguesas. Al final

Mara se quedó con C$100.00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas? A. C$350 B. C$ 200 C. C$150.00 D. C$100.00 E. C$ 70.00

36. En una fábrica 60% de los artículos son producidos por una máquina A y el resto por otra máquina B. Si 3% de los artículos producidos por la máquina A y 8% de los producidos por la máquina B resultaron defectuosos ¿cuál es el porcentaje de artículos defectuosos producidos en toda la fábrica. A. 26% B. 24% C. 11% D. 5% E. 2%



37. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47 286 km. Ahora que acabo de llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el cuentakilómetros marcaba 47506 km recorridos. Si el litro de gasolina cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro? A. C$ 5.00 B. C$4.00 C. C$3.50 D. C$2.20 E. C$ 2.00 38. De acuerdo a la Ley de Gravitación Universal, la fuerza de atracción entre dos partículas varía directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros, es decir

1 22

m mF k

d=

. Cuando dos partículas con masas de un gramo cada una están

separadas 1 cm, la fuerza de atracción es de F = 86.67 x10−dinas. ¿Cuál es la

fuerza de atracción resultante entre estas partículas si se colocan a 1 metro de distancia?

A. 46.67 x10−

dinas B. 66.67 x10−dinas C.

96.67 x10−dinas

D. 106.67 x10−

dinas E. 126.67 x10−

dinas 39. La frecuencia de una onda de radio es inversamente proporcional a la longitud de onda. Si una onda de 250 m de longitud tiene una frecuencia de 1200 kilociclos por segundo, ¿cuál es la longitud de una onda que tiene una frecuencia de 800 kilociclos por asegundo? A. 650 m. B. 375 m. C. 300 m. D. 275 m. E. 167 m. 40. Un frasco contiene 12 onzas de una solución cuya composición es una parte de ácido por cada 2 partes de agua. Se agrega a otro frasco que contiene 8 onzas de una solución que contiene 1 parte de ácido por cada 3 partes de agua. ¿Cuál es la razón entre el ácido y el agua de la solución obtenida? A. 2 : 5 B. 3 : 7 C. 3 : 5 D. 4 : 7 E. 7 : 3 41. Por un préstamo de 20 000 pesos se paga al cabo de un año 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? a. 15% b. 24% c. 12% d. 1,2%



42. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20?

A. 0 B. 15 C. 21 D. 30 E. 10

43. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos?

a) 7 b) 9 c) 8 d) 10 44. Si un número N se divide entre 4, se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. Si N

se divide entre M, se obtiene 5 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor de M?

A. 7 B. 15 C. 21 D. 30 E. 37

45. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47 286 km. Ahora que acabo de llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el cuentakilómetros marcaba 47 506 km recorridos. Si el litro de gasolina cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro?

A. C$4 B. C$3,50 C. C$2,20 D. C$ 2 E. C$0,50

46. En la sustracción a – b = c, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del minuendo?

A. 16 B. 323 C. 8 D. 4 E. 2

47. Con los 27 del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su

cumpleaños. Con los 35 del dinero que le sobró compró hamburguesas. Al final

Mara se quedó con C$100.00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas?

A. C$350 B. C$ 200 C. C$150 D. C$100 E. C$ 70

48. Un contratista compró 4000 piedras y las vendió por 8,800 córdobas. ¿Cuánto pagó el por cada piedra si ganó, en relación a lo que pagó, un porcentaje igual a 5 veces el número de córdobas que a él le costó cada piedra?



A. C$1,5 B. C$1 C. C$2 D. C$0,50 E. C$5

49. El valor de la expresión,

( )

( )3

22

2

22

1

−

−+

−

es:

a) – 2 b) 2 c) 1 d) – 1

50. En el censo del año 1900 una ciudad registró una población de 20 000 personas. El año 1930 la población fue de 60 000 personas, 30 años después de 180 000 personas. Si el aumento de población en la ciudad se mantiene constante, para el año 2020 se puede estimar una población de:

a) 540 000 personas b) 720 000 personas c) 1 440 000 personas d) 1 620 000 personas e) 2 200 000 personas

51. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 córdobas invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

a. C$10 000 b. C$12 500 c. C$ 6 000 d. C$100 000

52. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1,3 1017 segundos y la de la

pirámide de Keops 1,5 1011 segundos. La diferencia de edad entre la tierra y la pirámide en notación científica es:

a) 1,2999985 1011 b) 1,2999985 1017 c) 1,2999985 10-11

d) 1,2999985 10-17



53. Al invertir $ 50.000 al 6 % anual de interés compuesto trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de

A) 50 000 • (1,06)4 B) 50 000 • (1,06)3 C) 50 000 • (1,18)4 D) 50 000 • (1,015)3

E) 50 000 • (1,015)4

¿A qué equivale 15 kg? a) 15 t b) 1 500 t c) 1500 g d) 0,0015 g e) 0,015 t 54. ¿Cuál es la conversión correcta de 20 l?

a) 20 decímetro cúbico. b) 20 metro cúbico. c) 20centímetro cúbico. d) Un kilogramo 55. ¿A que equivalen 1,5 h?

a) 0,015 días. b) 120 s c) 0,54 min d) 5 400 s 56. ¿A qué es igual 12 m?

57. a) 10 km b) 120 km c) 1 000 km d) 1 200 cm

58. Un ciclista viaja a una velocidad de 20 km / h , esta velocidad convertida a m/s es:

59. a) 10 m/s b) 5,56 m/s c) 5 m/s d) 20 m/s

60. La temperatura en Fahrenheit que corresponde a 0 kelvin es:

a) -120 F b) -434 F c) -523 F d) -549 F



I. ALGEBRA

SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. El valor numérico de la expresión )b3a(2)b(a

b)(a)b(a)b(aa222

23322

−−−−++++

−−−−−−−−++++ para a = 1 y b = – 2 es:

A. 107

B. 1021

C. 1021−−−− D.

1027

E. 1027

−−−−

2. El resultado de (((( ))))(((( ))))nmmn by5y5b ++++−−−− es

A. 2m2n y25b ++++ B. m2n2 y25b ++++ C.

2m2n y25b −−−− D. m2n2 y25b −−−− E. 0

3. La descomposición en factores de la expresión 3x2 – 2x – 8 es:

A. (3x – 6) (x + 4) B. (x – 2) (3x + 4) C. (x – 6) (x + 4)

D. (x – 2) (3x + 2) E. (x + 2) (3x – 4)

4. La descomposición en factores de la expresión x3 – 64y3 es

A. (x – 8y) ( x2 + 8xy + 16y2) B. (x + 8y) ( x2 – 8xy + 16y2) C. (x + 4y) ( x2 – 8xy + 16y2)

D. (x – 8y) ( x2 – 8xy + 16y2) E. (x – 4y) ( x2 + 4xy + 16y2)

5. La simplificación de aba3

b2ab5a3

b2ab

b4a2

22

2

22

++++

−−−−−−−−÷÷÷÷++++

−−−− es

A. b)a(3b

a++++

B. ab

C. ba D. 1 E.

b)a(3bb)a(3a

−−−−++++



6. Al simplificar la expresión

a1

a

1a

1a1

++++

−−−− se obtiene

A. a

)a(1 2++++ B. 1−−−−

++++a

)a(1 2 C.

a)a(1 2

−−−−−−−−1

D. 11

−−−−−−−−

a)a( 2

E. 1++++

−−−−a

)a(1 2

7. El resultado de la siguiente operación

−−−−

−−−−++++÷÷÷÷−−−−−−−−

−−−−++++−−−− 9x

3x8x3

3x11x4

x4x121x

12

2

2

2 es

A. 1)x(41)(x

1x4 2

++++−−−−++++

B. 1x1x4

++++++++

C. 1)x1)(4(x

1x4 2

++++++++−−−− D.

1)x(41)(x1)x(2 2

++++++++++++

E. 1x

3x52 −−−−

−−−−

8. Al desarrollar 2

xy

yx

−−−−


A. 2

2

2

2

x

y

y

x −−−− B. 44

22

yx

yx

−−−− C.

44

22

yx

yx

++++−−−− 22yx2 D.

22

4224

yx

yyx2x ++++−−−− E. 44

22

yx

yx

++++

9. Al racionalizar el denominador de la fracción 5x23

2x

++++++++−−−− se obtiene

A. 2

35x2 −−−−++++ B. 2

35x2 ++++++++ C. 2

5x23 ++++−−−− D. 2

35x2 −−−−++++−−−− E.

x235x2 −−−−++++

10. El conjunto solución de la ecuación 5x

151

5xx3

−−−−++++====

−−−− es

A. {2, 5/2} B. {– 5} C. {5} D. {– 5, 5} E. φ

11. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación x32kkxx 2 −−−−−−−−====++++++++ es:

A. 1 B. – 1 C. ± 1 D. – 5 E. No existe



12. Al resolver el sistema de ecuaciones

====−−−−

−−−−++++

====−−−−

++++++++

1yx3

4yx3

2

3yx3

4yx3

2

se obtiene que el valor de la variable y es

A. 1/2 B. – 2/3 C. – 2 D. 3/4 E. – 3 /2

13. Al efectuar 4x

2)(x

2)(x

4x2

2

2

2

−−−−

++++++++−−−−


A. 2x2)2(x

−−−−++++

B. 2x

2−−−−

C. 2x2)2(x

++++−−−−

D. 4x

22 −−−−

E. 1

14. Al resolver la ecuación 41x1x2

1x1x

====++++−−−−++++

−−−−++++

se obtiene que la diferencia entre la

mayor y la menor de las raíces es A. 5 B. 8 C. 10 D. 4 E. 2

15. Al resolver el sistema de ecuaciones ( ) 22 x 2y 5 2 6 xy

2 x 3 y 1

+ = + − =

se obtiene que el

valor de la variable y es: A. 1/2 B. 2/3 C. 1/3 D. 1 E. 3

16. El conjunto solución de la desigualdad x3 + x2 – 2x > 0 es : A. (– 2, 0) ∪ (1, +∞) B. [– 2, 0) ∪ [1, +∞) C. (– 2, 0) ∪ [1, +∞)

D. [– 2, 0) ∪ (1, +∞) E. ( – 1, 0) ∪ (2, +∞)



17. El valor de k de manera que la ecuación 2x2 + kx + 4 = 0 tenga una raíz igual a – 3 es:

A. 2 B. 34

C. 38

D. 322

E. – 2 4

18. El conjunto solución de la desigualdad | x + 32 | ≤ 2 es

A. – 38

≤ x ≤ 38

B. – 34

≤ x ≤ 38

C. –38

≤ x ≤ 34

D. 34

≤ x ≤ 38

E. –38

≤ x ≤ –34

19. El conjunto solución de la desigualdad 1 ≤ 2

x7 −−−− ≤ 3 es

A. [– 5, – 2] B. [– 1, 5] C. [1, 5] D. [– 1, 13] E. [– 5, 2]

20. El conjunto solución de la desigualdad |5 – 2x| < 7 está dado por el intervalo A. (– 1, ∞) B. ( – ∞, 6) C. (6, + ∞) D. (– 6, – 1) E. (– 1, 6)

21. El conjunto solución de la desigualdad 2

(x 10) (x 2)0

x 7 x 8

+ − ≤− −

es

A. [– 10, – 1] ∪ [2, 8] B. [– 10, – 1) ∪ [2, 8) C. (– 10, – 1) ∪ (2, 8)

D. [– 10, 1] ∪ [2, 8) E. [– 10, – 8) ∪ (1, 2]

22. El conjunto solución de la ecuación 2 x 3 x 2 2+ − − = es

A. {3, – 11} B. {– 3, – 11} C. {3, 11} D. { 11,3 } E. {23−−−− , 2}

23. Si |2x – 1| > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es A. – 3 B. 3 C. 2.5 D. – 5 E. – 1

24. Si 3x1

x2

====

++++ , entonces 3

3

x

1x ++++ es igual a:

A. 3 3/2 B. 27/8 C. 9 D. 0 E. x2 – 1 + 1/x2



25. El conjunto solución de 3x + | x | = – 8 es A. φ B. R C. 4 D. – 4 E. 0– 8 / 3

26. Al factorizar la expresión , uno de los factores es:

A) B) C)

D) E)

27. El resultado simplificado de , es:

A) B) C)

D) E)

28. Si x, y, z, son números positivos que satisfacen 1 1 1 7x 4, y 1, z

y z x 3+ = + = + =

entonces el valor de xyz es:

A. 2/3 B. 1 C. 4/3 D. 2 E. 7/3

29. Si N > 1, entonces 3 3 3N N N es igual a:

A. 1/27N B. 1/ 9N C. 1/ 3N D. 28/9N E. 13 /27N

30. La expresión es igual a: A. B. C. . D.

Sugerencia utilice la igualdad

31. Si = 3 entonces es igual a :

A. 0 B. 2 C. D.



32. Si

A. B. x+ y C. D.

33. Al simplificar 3

3/73/23/1

43/43/2

zyx

zyx−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

resulta

A. x6 y z B. x y6 z5 C. x y z5 D. x6 y5 z6 E. 56 zyx

1

34. Si 223 p2xpxx2 ++++++++++++ es divisible entre x + 1, siendo p un entero, entonces el valor de p es:

A. – 1 B. 1 C. 0 D. 2 E. 4

35. El conjunto solución de la desigualdad 2x

13x2

3−−−−

<<<<++++

es:

A. ( – ∞, 23−−−− ) ∪ (– 2, 9) B. ( – ∞,

23−−−− ) ∪ (2, 9) C. ( – ∞,

23 ) ∪ (2, 9)

D. ( – ∞, – 2) ∪ (23−−−− , 9) E. ( – ∞, –

23 ) ∪ (–

23 , 2) ∪ (2, 9)

36. Dos enteros

A. 5 B. 7 C. 10 D. -4

37. Si A. -1 B. -2 C. -3 D. -4



38. El polinomio se anula en 1 , luego p(x) es divisible por : A. B. C. D.

39. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son: A) x = 650 , y = 16 B) x = 640 ; y = 26 C) x = 340; y = 326 D) x = 568; y = 98

40. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100. La edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto fotoeléctrico era: A) 40.5 B) 50.3 C) 44.2 D) 41.6

41. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16

42. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1 córdobas más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12

43. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien:

Preso: Vamos, ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar?



Carcelero: ¿Cuántos años tienes?

Preso: Veinticinco.

Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste?

Preso: Hoy es mi cumpleaños.

Carcelero: Increíble. ¡También es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás.

¿Cuánto tiempo dura la condena del preso?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8

44. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelven a encontrarse en la calle al cabo de algunos años. Después de saludarse, Daniel : ¿Cuántos hijos tienes? Arturo : Tres hijos.

Daniel : ¿Qué edades tienen?

Arturo : Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36. Daniel, después depensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesita másdatos.



Arturo : En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que tenemos enfrente.

Daniel mira el número de la casa que le indica Arturo y quedándose pensativo durante un par de minutos. - ¡No es posible! - responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta un dato más.

Arturo: Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano.

Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de Arturo?

A) 6; 6; 1 B) 9; 2; 2 C) 6; 3; 2 D) 9; 4; 1

45. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres números?

A) 27 B) 16 C) 15 D) 14

46. Un autobús comienza su trayecto con un cierto número de pasajeros. En la primera parada descienden 1/3 de los pasajeros y suben 8. En la segunda parada descienden 1/2 de los pasajeros y suben 2 nuevos. En este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto. ¿Cuántos pasajeros había al principio?

A) 18 B) 36 C) 30 D) 42

47. Halla tres números sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los dos más pequeños es 85 y que el producto de los dos mayores es 115. A. 6.25; 9.25; 12.25 B. 8.5 ; 10 ; 11.5 C. 8.75 ; 9.1 ; 9.45 D. 9.23 ; 9.4 ; 9.57



48. Un ciclista calcula que si avanza a 10 km/hora llegará a su destino a la 1p.m., y si avanza a 15 km/hora llegará a su destino a las 11 a.m. ¿a qué velocidad, en km/hora, tiene que avanzar para llegar a las 12m.?

A. 12 B. 13 C. 14 D. 20 E. 25

49. Un camino puede recorrerse en “t” horas con una cierta velocidad en km/hr. El mismo camino se puede hacer en una hora menos aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Hallar la longitud del camino en km.

A. t1t++++

B. 1t

1−−−−

C. t1t−−−−

D. 1t

t−−−−

E. tt 2 −−−−

50. De un depósito de 100 litros de capacidad, lleno de alcohol puro, se saca una cierta cantidad de alcohol y se le reemplaza por agua. Se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando ésta última mezcla con un 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha sacado cada vez.

A. 40 litros B. 45 litros C. 30 litros D. 35 litros E. 25 litros

51. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2.5 y la suma de estos dividida entre el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el menor de los tres números?

A. 4 B. 6 C. 7 D. 10 E. 11

52. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la edad del padre era el quíntuple de la edad de su hijo. Señale la suma de cifras de edad del padre.

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12



53. Dos tuberías abiertas simultáneamente llenan un depósito en 1 hora 12 minutos. Si una de ellas tarda 1 hora más que la otra, en llenar el mismo depósito ¿en qué tiempo lo llenará la tubería de mayor caudal?

A. 1 hora B. 2 horas C. 3 horas D. 4 horas E. 5 horas.

54. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta del trabajo en 30 días. ¿En cuántos días podría hacer el trabajo el ayudante trabajando solo?

A. 72 B. 56 C. 48 D. 36 E. 18

55. Por Navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 318 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa?

A) 21 B) 23 C) 25 D) 27

56. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a la derecha el número resultante es divisible exactamente por un número que sobrepasa en 3 el buscado, siendo el cociente igual al divisor menos 16.

A) 19 B) 20 C) 21 D) 22

57. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144.

A) 24 B) 46 C) 13 D) 57



I. EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BÁSICOS 1. En la figura, el ángulo COB mide 120º y el ángulo COD mide la mitad del ángulo BOA. Entonces, la medida del ∠ BOA es:

2. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es A. Un punto. B. Dos puntos C. Una única recta D. Dos rectas diferentes E. Falta información

3. En la figura, 3241 mmmm↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔↔

⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ , ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera?

4. R, S y T son tres puntos colineales como se muestran en la figura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST, entonces la longitud de RT es

A. 3x – 4 B. 3x – 6 C. 3x + 2 D. 6x – 12 E. 6x + 6

50º 120º

130º

xº

yº

A partir de la información indicada en la figura, el valor de y es:

5.

90º

140º

xº En la figura, si

____CD||AB , el valor de x es:

A B

C D

6.

C B

D O A

A. 20º B. 30º C. 40º D. 60º E. 80º

1m↔↔↔↔

2m↔↔↔↔

3m↔↔↔↔

4m↔↔↔↔

R S T

• • •

A partir de la información brindada en la figura, el valor de z resulta:

7.

A. 21 mm↔↔↔↔↔↔↔↔

|| B. 31 mm↔↔↔↔↔↔↔↔

⊥⊥⊥⊥ C. 43 mm↔↔↔↔↔↔↔↔

||

D. 42 mm↔↔↔↔↔↔↔↔

⊥⊥⊥⊥ E. NDLA



11. A – B – C – D; E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente; Si AC = 10 y BD = 12, entonces EF = ? A. 5 B. 6 C. 9 D. 11 E. 22

13. Para qué valor de x, los segmentos AB y CD son paralelos?

15. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? A. 30º B. 60º C. 90º D. 120º E. 135º

x

y

130º

A B C

D

E En la figura,

_ _ _ _ _ _ _ _

AD AC,EB||DC⊥ , entonces el valor de y es:

8.

120º

xº

A B

C D

E

Si ____CD||AB , ¿Cuál es el valor de

x?

A. 170º B. 150º C. 120º D. 100º E. 80º

14.

α β

A

B C

En la figura αº + βº = 255º, entonces ¿m∠ A = ?

12.

x

140º

115º

xº

150º

9.

10.

En la figura, el valor de x es

A. 25º B. 40º C. 45º D. 65 E. 75º

En la figura, el valor de x es

25º

xº A. 25 B. 50 C. 65 D. 75 E. 130

A

B

C

D



16. Dos veces la medida de un ángulo es 30° menos que cinco veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? A. 30º B. 60º C. 90º D. 120º E. 135º

20. En una recta se toman los puntos A, B y C, de manera que B es punto medio de __AC . Se toma otro punto

O, tal que B – O – C. Encuentre el valor numérico de OB

OCAO −−−−.

A. 2 B. 1 C. 21

D. 23

E. Falta información.

Soluciones 1 C 5 D 9 E 13 C 17 B 2 C 6 C 10 A 14 B 18 E 3 E 7 A 11 D 15 E 19 B 4 E 8 B 12 A 16 B 20 A

18. 84°

(x – 6)°

(3x + 10)°

↔1m

↔2m

En la figura las rectas ↔

1m y ↔

2m son paralelas. Entonces el valor de x es

A. 170 B. 50 C. 85 D. 25 E. 20

60º

110º

xº ↔

2m

↔1m 17

En la figura las rectas ↔

1m y ↔

2m son paralelas. Entonces el valor de x es

A. 170 B. 50 C. 85 D. 25 E. 30

P Q

S

R

1 2

3

4

Si m ∠ P = 90º, ∠ 1 ≅ ∠2, ∠ 3 ≅ ∠ 4, entonces m ∠ R es

A. 30º B. 45º C. 60º

19.



i) h = mn ii) b = cn

iii) a = cm iv) m + n = c

h b a

n m

c A B D

C

II. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

TRIÁNGULOS

Dado un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en C, las longitudes de sus lados (a, b, c), la altura correspondiente a la hipotenusa (h) y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (m, n), se cumplen las siguientes relaciones métricas:

A = 21

base x altura A = 21

a b

A = 2x43

Fórmula de Herón: (Área de un triángulo

en función de sus lados)

A = c)(sb)(sa)s(s −−−−−−−−−−−− , donde s

cba ++++++++

x

c

a

a

b

b h h

A = 21

a h

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

h

b

h

b

b

B

h

d

D

RECTÁNGULO PARALELOGRAMO ROMBO TRAPECIO

A = b h A = b h A = 21

D⋅d A = 21

(B + b)⋅h = 21

B’⋅h

B’ d

1. ÁREAS DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

2. RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS



EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 1. Un poste cercano a un árbol mide 2 m y su sombra en un momento dado mide 1.8 m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11 m, la altura del árbol es A. 11 m B. 11.22 m C. 12. D. 12.22 E. 13 m 2. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3 m y su sombra mide 1.5 m, entonces si el árbol mide 36 m, su sombra mide A. 36 m B. 30 m C. 18 m D. 15 m E. 9 m 3. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 10 redondeado a dos decimales es A. 7.07 B. 14.14 C. 24.14 D. 24.99 E. 50

5. Un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edificio pueda verse en el espejo ¿qué altura tiene un edificio si una persona cuyos ojos están a 1.5 m del piso observa la parte superior del edificio cuando el espejo está a 120 m del edificio y la persona está a 6 m del espejo? A. 20 m B. 30 m C. 31.5 m D. 120 m E. 126 m 6. La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre sí como 7 es a 14. Entonces la longitud del cateto menor es A. 4 m B. 7.07 m C. 12.25 m D. 14 m E. 15.5 m 7. El perímetro de un rectángulo es 85 m y su diagonal mide 32.5 m. Por lo tanto los lados del rectángulo miden: A. 15 m y 27.5 m B. 20 m y 22.5 m C. 7.5 m y 25 m D. 30m y 12.5 m E. 40m y 2.5 m 8. El perímetro de un triángulo mide 50 y sus lados son proporcionales a 4, 6 y 8. Entonces su lado mayor mide A. 50/3 B. 25/9 C. 100/9 D. 25 E. 200/9

9. En un triángulo rectángulo, un lado mide 2 106 , otro 5 15 . Si el lado desconocido es el menor, ¿cuánto mide? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11

8 y

x 4

4. En el triángulo rectángulo de la figura, los valores de x e y,

respectivamente son

A. 11 y 13 B. 15 y 16 C. 9 y 8

6 7

9

El área del triángulo de la figura, redondeada al entero más cercano,

mide:

A. 21 B. 22 C. 27 D. 31 E. 54

10.



12. Si un rectángulo de 3 m de ancho y 10 m de largo tiene la misma área que un triángulo rectángulo isósceles, entonces la longitud de cada cateto del triángulo es

A. 7.5 B. 2 15 C. 15 D. 15 3 E. 10 13. El área de un trapecio isósceles de bases 22 m y 10 m y cuyos lados congruentes miden 10 es A. 2220 m2 B. 160 m2 C. 128 m2 D. 80 m2 E. 64 m2 14. La siguiente figura consta de siete cuadrados congruentes. El área total de esta figura es 63 cm2. Entonces el perímetro de la figura es:

16. Se tiene un trapecio ABCD donde

_ _

BC es la base menor. BC = 10 cm. y CD = 20 cm. Las medidas de

los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectiv amente, entonces AD = ? A. 60 cm. B. 50 cm. C. 40 cm. D. 30 cm. E. 20 cm. 17. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden

5 cm y 40 cm, entonces la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es

A. 2

405 ++++ cm B. 2 13 cm C. 45 cm D. 11.32 cm E. 5.66 cm

19. ABCD es un cuadrado, el ∆ ABE es isósceles, CF = FB. Entonces, la medida del ángulo EFB es igual a

D C

G

A B

H F

E

A. 100 cm2 B. 120 cm2 C. 150 cm2 D. 175 cm2 E. 200 cm2

18. En la figura, los cuadrados ABCD y EFGH son congruentes. AB = 10 cm y G es el centro del cuadrado ABCD. Entonces el

área total cubierta por el polígono AHEFBCDA es

6

10

¿Cuál es el área del triángulo de la figura?

11.

A B C

G F E

H D

Si �ACEG es un cuadrado y el área del cuadrilátero BDFH mide 162 ¿cuánto

mide AC? (las marcas iguales representan partes congruentes)

15.

A. 16 cm B. 21 cm C. 24 cm D. 48 cm E. 84 cm



21. En un trapecio isósceles, la diferencia de las bases es de 10 m. La altura mide 12 m. y el perímetro 76 m. Entonces su área es: A. 86 m2 B. 176 m2 C. 226 m2 D. 288 m2 E. 300 m2 22. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1 cm. y CE = 2 cm., entonces el área del triángulo ADF en cm2 es igual a

23. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC = 10 y AC = 16. Sea BD la mediana trazada sobre el lado AC y sea G el baricentro. Entonces el área del triángulo ADG es A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 24 24. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 17 cm y P un punto cualquiera del lado BC, diferente de

los puntos extremos. Por P se trazan una paralela a AC que corta a AB en Q y una paralela a AB que

corta a AC en R. El perímetro del cuadrilátero AQPR es

25. De acuerdo a la información que se proporciona en la figura, el segmento de mayor longitud es

A

B P C

Q

R

E C B

A D

F

D E C

F

A B

A. 150° B. 135° C. 90°

D. 60° E. 45°

B C D

A F

E

En la figura, � ABCF es un paralelogramo. B, C y D son colineales. Si AB = 18,

AD = 30 y FE = 12. ¿Cuánto mide AE?

20.

A. 21

B. 31

C. 41

D. 61

E. 81

A. 8.5 cm B. 17 cm C. 34 cm D. 51 cm E. 68 cm



26. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1, ∆CMN es equilátero, El área de ∆CMN es igual a 27. La siguiente figura muestra dos cuadrados de lado 1 cm., donde AEFG se ha obtenido de ABCD al girar este cuadrado 45° sobre el vértice A. Entonces el área sombreada es

28. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que también es isósceles, miden A. 30° B. 45° C. 35° D. 75° E. 60°

29. En la figura ABCD es un cuadrilátero con AD || BC . La diagonal AC es perpendicular al lado CD .

m∠BAC = 30°, AC = 4 3 y AB = BC. Entonces el área de ABCD es igual a

30. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10 cm y CD = 20 cm . Las medidas de los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectiv amente, entonces el área del trapecio mide

A D

B C

A D

C B

G E

F

A 70°

B

55°

60°

60°

C D

A. AB B. BC C. CD D. DA E. BD

A N B

C D

M

A. 0.866 B. 0.7071 C. 0.75

D. 0.5 E. 0.4641

A. 2 – 1 B. 0.5 C. 0.451

D. 2 E. 0.375

A . 6 B. 12 C. 12 3 D. 24 E. 30



A. 300 3 cm2. B. 400 cm2. C. 300 cm2. D. 200 cm2. E. 200 3 cm2. 31. En la figura, m∠BAC = α , m∠BPC = m∠BQC = 90°. Entonces la medida de ∠BHC es

32. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden

5 cm y 20 cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del triángulo rectángulo es A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 E. 10 33. En la figura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razón entre el lado del cuadrado menor y el lado del cuadrado mayor es 2/5. Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es

34. En la figura, AB = AC = 4, BD = DC = 3 y m∠BAC = 60°, entonces la longitud del segmento AD es

35. En la figura el cuadrilátero ACDE es un trapecio tal que ED = 15 cm , AC = 24 cm y la altura es 12 cm. Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el área del cuadrilátero OBCD es

E D

O

A

C B D

B C

P H Q

A

A. 180 – α B. α C. 90 – α

D. 2α E. 3α

A. 1/6 B. 21/100 C. 1/3

D. 2/5 E. 4/9

A. 2 3 – 5 B. 2 3 + 5 C. 1

D. 2 E. 3.5

A B C

A. 112 cm 2 B. 117 cm 2 C. 120 cm 2

D. 140 cm 2 E. 360 cm 2



38. ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal AC . Trazamos por P paralelas a los lados del paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la figura. Sabiendo que el área de ABCD es 40 cm2 , entonces el área del cuadrilátero RQMN es igual a

40. Sea ABCD un cuadrado. Por el vértice A se traza un segmento que corta a la prolongación del lado BC en E, al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG = 3 y GF = 1 ¿cuál es la longitud de FE?

A D

G

F

B C E

A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 E. 6

A

B C

3

6

x

En el triángulo rectángulo ABC ¿cuál es la longitud del segmento BC?

39

A R B

N P Q

D M C

E

B A

A 109 cm B. 15 cm C. 11

D. 30 E. 61

36. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 6 cm. y CE = DE = 5 cm., entonces la longitud de AE es

C D

x

10

52.8 132

66

En la figura, a partir de la información dada, ¿cuál es el valor de x?

37

A. 10 cm 2 B 20 cm2 C. 30 cm 2

D. 40 cm 2 E. 50 cm 2



P

A

B

C

D

P

A

B

P

A

B

SOLUCIONES

1 D 11 B 21 E 31 A 2 C 12 B 22 D 32 B 3 C 13 C 23 B 33 B 4 D 14 D 24 C 34 A 5 B 15 C 25 B 35 A 6 C 16 B 26 E 36 A 7 D 17 B 27 A 37 E 8 E 18 D 28 B 38 B 9 A 19 B 29 C 39 B 10 A 20 D 30 A 40 D

III. CIRCUNFERENCIA Y POLÍGONOS

ÁNGULO INSCRITO ÁNGULO SEMI-INSCRITO ÁNGULO INTERIOR

m ∠∠∠∠ APB = 21

m AB m ∠∠∠∠ APB = 21

m PB m ∠∠∠∠ APB = 21

[m AB + m CD ]

Q Q P

R

U

S

T

T

R

S

Q

U

R

S

T

QT2 = QR ⋅ QS QR ⋅ QS = QU ⋅ QT QR ⋅ QS = QU ⋅ QT PA = PB

∠APO ≅ ∠BPO

O

A

B

RELACIONES MÉTRICAS EN

UNA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULOS DETERMINADOS POR SECANTES Y TANGENTES A UNA

CIRCUNFERENCIA



r

θθθθ O s

h

y

x

s

θ r

m ∠∠∠∠ APC = 21

[ m AC + m BD ]

ÁREA DE UN CÍRCULO

REGIONES CIRCULARES 1. Sector circular :.

A = sr21

360θr 2

====°°°°°°°°π

, A = θr21 2 , θθθθ en radianes.

2. Segmento Circular : Tenemos h = r – y

y = r cos 2θ

= 21

x cot 2θ

= 22 xr421

−−−− ,

x = 2 r sen 2θ

= 2 y tan 2θ

,

◊ Si θ se mide en radianes, el área del segmento circular está dada por:

A = 21

2r (θθθθ – sen θθθθ) = 21

(r s – x y)

P P

C

D

A

B

A

B C

P

A

B

m∠∠∠∠ P = 21 [m AB – m CD], m∠∠∠∠ P =

21 [m AC – m AB], m∠∠∠∠ P =

21 [m ACB – m AB]

ÁNGULOS EXTERNOS

⁀ ⁀ ⁀ ⁀

A = ππππ 2r = 4d2⋅⋅⋅⋅π

⁀ ◊ Para un arco AB que mida θ°, su longitud está dada por: s =

°°°°°°°°

180θrπ

◊ Si el arco se mide en radianes, resulta s = r θ

LONGITUDES DE ARCOS y ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES



r

R

R

r θ

3. Corona Circular :

A = ππππ ( 22 rR − )

4. Trapecio Circular :

A = )r(R360θ 22 −−−−

°°°°°°°°π

ó A = 21

θθθθ ( 22 rR − ), θ en radianes

Si hacemos h = R – r y 1s y 2s son las longitudes de los arcos exterior e interior

respectivamente, se tiene: A = 21

h θθθθ (R + r) = 21

h ( 21 ss + )

EJERCICIOS PROPUESTOS

5. En la figura el área del círculo mayor es 1 m2. El círculo menor es tangente internamente al círculo mayor y también es tangente a los lados del ángulo inscrito que mide 60°. Entonces el área del círculo menor es

θ

En la figura de la derecha si la medida de los arcos AD y BC son 140º y 80°

respectivamente, entonces el valor de θ es

A

B

C

D

1.

X

Y

Z La circunferencia de la figura tiene radio 2 y el arco XYZ tiene longitud π.

¿Cuánto mide la cuerda XZ?

A B

C El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB.

Si AC = 8 y BC = 6, el área de la región sombreada tiene un valor de

2.

C El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y

CD = 4.8, el área de la región sombreada tiene un valor de

3.

A D B

4.



11. La expresión (p + q) p = (r + s) r, se cumple en la situación representada por

C Q

P T

En la figura C es el centro de la circunferencia de radio r y

__TP es un

segmento tangente en T, de longitud 2r, entonces PC mide

A. r 2 B. r 3 C. 3r D. r 5 E. 5r

6.

10

8

Los extremos de la figura son semicírculos, ¿Cuál es el área de la

región sombreada?

7.

• O

A

B

C

En la figura ___AC es un diámetro. Si m AB = 50°, entonces m ∠ BAC = ?

A. 25° B. 50° C. 65° D. 90° E. 130°

8.

En la figura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los

centros de los círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área de la región

sombreada?

9.

D B

P

A

C

En la figura, la medida del arco AB es 30°, y la medida del ∠BPA es 35°.

Los medidas del arco CD y el ángulo DAC (en grados) son respectivamente

A. 100 y 25 B. 50 y 50 C. 100 y 50

10.

A. 21

B. 94

C. π D. 2π E. π21



12. En la figura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes. DAyCD son diámetros de las

circunferencias menores. El punto B está en la semicircunferencia mayor. BD ⊥ CA . Si BD = 2, entonces el área sombreada es igual a

13. Las medidas de los arcos AB y AC se indican en la figura. La medida del ∠BAC es

14. En la figura, BC une los centros de los círculos tangentes. AB ⊥ BC , BC = 8 y AC = 10, entonces la longitud de la circunferencia pequeña es igual a

x

36

15.

A

B C

A

B C

130° 110°

A. 55° B. 60° C. 65° D. 110° E. 130°

C D A

B

r

r r

r

s s

s

p

p p p

s q

q

q

q

A B C D

A. 1 B. π C. 2π D. 4

3π E.

49π

A. π B. 2π C. 3π D. 4π E. 5π

La figura representa un hexágono regular, ¿cuál es el valor de x?

A. 3 3 B. 6 3 C. 6 D. 18 E. 9 3



18. Seis triángulos equiláteros de 1 cm. de lado se unen para formar un hexágono como se muestra en la figura. Se circunscribe un círculo alrededor del hexágono ¿cuál es el área de la región sombreada?

19. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia como se muestra en la figura. Se tiene m ∠A = 50º y m ∠C = 60º. Se trazan tangentes por A, B y C de manera que se forma el triángulo circunscrito A’B’C’. Entonces la medida del ángulo A’ es:

20. El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes a la circunferencia con centro en O y

radio 3 . El área del cuadrilátero AOBC es

A B

P

D

C

Los segmentos AC y BD se cortan en P y son tangentes a las

circunferencias en los puntos A, C, B y D.

Si AC = 31, PB = 19 ¿Cuál es el valor de AP?

A. 6 B. 12 C. 15 D. 25 E. 50

17.

0.4 La figura representa un círculo inscrito en un cuadrado que a su vez

está inscrito en otro cuadrado. B es punto medio de AC ¿Cuál es el área

de la región sombreada? A. 0.025 B. 0.048 C. 0.1428 D. 0.153 E. 0.1582

A

B

C

C

C’ B

B’

A

A’ A. 40º B. 60º C. 80º D. 100º E. 120º

A. )23

( −−−−π cm2 B. )233

( −−−−π cm2 C. )23

( −−−−π2 cm2

D. 3

3πcm2 E. )3( 32 −−−−π cm2

16.



21. Si un ángulo central de 30° en una circunferen cia intercepta un arco de 6 m de longitud, entonces el radio de la circunferencia mide A. π/36 B. π/6 C. π D. 36/π E. 180

24. Una moneda circular de radio 1, está sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas más grandes de igual tamaño alrededor de ella, ¿cuál es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a las dos adyacentes y a la de radio 1?

A. 1 B. 1 + 2 C. 2 D. 2 + 2 E. 2.5 25. En la siguiente figura ABC y AEB son semicírculos, F es el punto medio del diámetro AC, B es punto medio del arco AC y AF = 1¿Cuál es el área de la región sombreada?

26. Si el radio de un círculo aumenta en π unidades, ¿cuánto aumenta su perímetro? A. π B. 2π C. 3π D. π2 E. 2π2 27. Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de radio 6 como se muestra en la figura. Un círculo de radio r es tangente a los tres semicírculos. ¿Cuánto vale r ?

A B C

Los arcos AB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro

del círculo que se muestra en la figura.

Si BC = 2 AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el

área de la región no sombreada es:

A. 2 B. 23

C. 1 D. 32

E. 21

23

A. 1/2 B. 2 C. π/4 D. 3π/4 E. π/4 – 1/2

A

B

F C

E

O

En la figura se tiene una circunferencia de radio 1 y un hexágono regular de lado

1. Si O es el centro de la circunferencia, entonces el área de la región sombreada

es

22.

A

B

O C

A. 3 B. 6 C 3 3

D. 6 E. 12

A. 0.5 B. 0.866 C. 1 D. 1.5 E. 2



30. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 20. La curva trazada en su interior está formada por cinco semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva?

32. Tres círculos de radio 1, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

La figura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas

circunferencias, las cuales son tangentes entre sí. Si el radio de la circunferencia

pequeña mide 1, entonces el radio de la circunferencia más grande mide

A. 3 + 2 2 B. 4 C. 6 D. 4 + 2 2 E. 8

31

r

A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 E. 3

En la figura los círculos adyacentes son tangentes y tienen radio 1.

¿Cuánto vale el área de la región sombreada?

A. 6 3 – 3π B. 3 3 – 2π C. 2π – 1

28.

B O C

A En la figura, m ∠ BCA = 90º, BA = 5 y AC = 3. ¿Cuál es el área del círculo con centro en

O?

29.

A. 25 π B. 20π C. 15π D. 10π E. 5π



33. La figura muestra un hexágono regular inscrito en un círculo. Si el área del círculo es 1, ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?

34. ¿Qué polígono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados? A. Pentágono B. Hexágono C. Octógono D. Decágono E. Dodecágono 35. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y ED = r. Si m∠DEC = k ⋅ (m ∠BOA), entonces el valor de k es:

36 . Si se aumenta el radio de un círculo en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? A. 50% B. 100% C. 200% D. 100π% E. 400% 37. Se tienen tres círculos concéntricos de radios 1, 2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área de la región cuadriculada y el área de la región oscura?

38. El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Si la circunferencia corta a AC y BC en los puntos D y E respectivamente, entonces la longitud AE es:

A. 1 B. 3 C. 23

D. 35

E. 2

32 ++++

39. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 10 y 14 que distan 6 entre sí. Entonces la longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide:

A. 11 B. 12 C. 13 D. 184 E. 192 40. Un triángulo equilátero y un hexágono regular están inscritos en el mismo círculo. Si se divide el área del hexágono entre el área del triángulo se obtiene:

A. 32

B. 53

C. 94

D. 259

E. 2

A O C E

B

D

A. 31

B. 21

C. 1 D. 2 E. 3

A. 8 – 2π B. 4 – π C. 12 – 3π D. 8 – 3π E. 4 + π

A B

C O • A.

61

B. 6π

C. π43

D. 43

E. 12π



a b

c d

h a

A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 E. 3 Soluciones

1 D 11 B 21 D 31 A 2 A 12 B 22 B 32 A 3 A 13 B 23 E 33 C 4 C 14 D 24 B 34 A 5 B 15 D 25 A 35 A 6 D 16 C 26 E 36 E 7 D 17 B 27 C 37 B 8 C 18 B 28 A 38 B 9 B 19 C 29 E 39 D 10 C 20 C 30 D 40 B

CUERPOS SÓLIDOS

PRISMAS ◊ Para un prisma recto se tiene: LA = P⋅⋅⋅⋅ a = P ⋅⋅⋅⋅ h, TA = P⋅⋅⋅⋅ a + 2 bA

donde LA : área lateral , TA : área total, bA : área de la base P : perímetro de la base, a: longitud de la

arista lateral. ◊ Para un paralelepípedo rectangular , si a, b y c representan el largo, ancho y alto, tenemos: Volumen: V = a b c Area total: TA = 2⋅⋅⋅⋅(a b + b c + a c)

La diagonal está dada por d = 222 cba ++++++++

◊ Para un cubo de lado a, se tiene:

Volumen: V = 3a Area total: TA = 6 2a Diagonal: d = 3 a

PIRÁMIDE: Volumen V = 31

⋅⋅⋅⋅ Ab ⋅⋅⋅⋅ h donde Ab : área de la base y h: altura

Áreas Únicamente hay fórmulas para las pirámides regulares.

LA = 21

⋅⋅⋅⋅P⋅⋅⋅⋅a TA = 21

⋅⋅⋅⋅P⋅⋅⋅⋅a + bA donde P: perímetro de la base, a: apotema de las caras laterales

PIRÁMIDE TRUNCADA O TRONCO DE PIRÁMIDE

Si BA es el área de la base de la pirámide original, Ab el área

de la sección transversal que forma la otra base, h la altura del tronco de pirámide (distancia entre los planos que contienen las bases) y a es la altura de los trapecios que forman las caras laterales, se tiene:

IV. VOLUMEN



2πr

g

LA = ππππ r g , donde g = 22 rh ++++ TA = LA + AB

r

R

g

h

V = 31

ππππ h ( R2 + 2r + Rr)

LA = ππππ g (R + r), TA = LA + ππππ (R2 + 2r )

VOLUMEN Y ÁREA DE UNA ESFERA VOLUMENES Y ÁREAS DE CILINDROS Y CONOS CIRCULARES ◊ Para un cilindro circular de radio r y altura h, tenemos .

◊ Para los conos en general, su volumen está dado por:

◊ Para un cono circular recto ,

CONO TRUNCADO:

EJERCICIOS PROPUESTOS

Área Lateral: LA = 2 ππππ r h. Área total: TA = AL + 2Ab = 2 ππππ r h + 2 ππππ 2r

Si H es la altura de la pirámide original, k es la distancia del vértice a la

sección transversal y si h es la altura del tronco de cono, entonces si V

es el volumen de la pirámide original y V’ el volumen de la pirámide que

se quita:

3

Hk

VV'

====

El volumen del cono truncado es la diferencia V – V’

H

k

h

Volumen: V = 31

h [ BA + bA + bB AA ]

Area Lateral: LA = 21

(P + P’) ⋅⋅⋅⋅ a Area Total: TA = 21

(P + P’) ⋅⋅⋅⋅ a + BA + bA

V = 3R34 π y S = 4 ππππ 2R

Volumen: V = bA ⋅⋅⋅⋅ h = ππππ 2r h

V = 31

bA ⋅⋅⋅⋅ h = 31

ππππ 2r h.



2. Tres vértices de un cubo, de los cuales no hay dos que estén en la misma arista, se unen para formar un triángulo. Si la arista del cubo tiene longitud 1, ¿Cuál es el área del triángulo formado?

A. 26

B. 23

C. 22

D. 46

E. 43

5. La altura de un prisma rectangular es un tercio de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la diagonal del prisma mide 30 cm., su volumen es A. 900 cm3 B. 1688.25 cm3 C. 2833.8 cm3 D. 4583.5 cm3 E. 9000 cm3

6. Al introducir un trozo de metal en un tanque rectangular con agua, de dimensiones 50 cm. x 37 cm., el nivel del agua subió 1 cm. ¿cuál es el volumen del trozo de metal? A. 13 cm3 B. 87 cm3 C. 88 cm3 D. 1850 cm3 E. 9250 cm3

7. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que pueden trazarse sobre las caras de un cubo de manera que no hayan dos diagonales que tengan un punto en común? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

8. En la figura se muestra un paralelepípedo rectangular. Si a = 2b y b = c2

, ¿Cuál es el volumen en términos

de c?

En el prisma recto de la figura, las bases son triángulos equiláteros, con perímetros de 30

cm.. Si la altura del prisma es 10 cm. ¿cuál es el área total de la superficie del prisma?

A. 100 B. 3

250 C. 100 3 D. 300 E. 50 3 + 300

1.

A B

C D

E

F

G

La figura representa un cubo. La intersección del plano ABG y el plano BCE es la

recta

3.

De un cubo de 5” de arista se forma un cilindro circular recto de 3” de diámetro, entonces

el volumen de la parte sobrante del cubo, en pulgadas cúbicas, es aproximadamente

4.

a

b

c



A. 2c2

B. 22c C. 3c D. 3c2

E. 3c4

9. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿a qué distancia de la sección transversal está el vértice? A. 1.5 B. 2.25 C. 4 D. 4.75 E. 5 10. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿cuál es la razón entre los volúmenes de la pirámide mayor y la menor? A. 3/2 B. 2 C. 9/4 D. 3 E. 27/8 11. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12. Si la altura es 10, el volumen de la pirámide es

A. 40 B. 403

C. 40 33

D. 40 3 E. 120

12. En un tronco de pirámide, la altura mide 10 m y las bases son cuadradas de 5 m y 9 m de lado respectivamente. Hallar la diferencia (en m3 ) entre su volumen y la de un prisma recto de igual altura y de base igual a la sección del tronco paralela a las bases y equidistante de ellas.

A. 4 B. 7 C. 40 D. 403

E. 70

13. En una pirámide cuadrada, en la que el lado de la base mide 8 cm y la altura mide 20 cm, se traza una sección paralela a la base a 14 cm de ésta. Entonces el área de dicha sección es A. 2.14 cm2 B. 5.76 cm2 C. 16.32 cm2 D. 31.36 cm2 E. 44.08 cm2 14. Los diámetros de dos cilindros circulares rectos concéntricos son 12 y 6 pulgadas respectivamente y la generatriz común es de 20 pulgadas, entonces el volumen del espacio que queda entre ambos cilindros es A. 270 pulg3 B. 270π pulg3 C. 540 pulg3 D. 540π pulg3 E. 2160π pulg3

15. El volumen de una cisterna cilíndrica es 1200 m3 y su altura es igual al diámetro, por lo tanto su área total es A. 190.98 m2 B. 576.25 m2 C. 600 m2 D. 625.13 m2 E. 712 m2 16. Un cono de revolución tiene 13 cm. de generatriz y el radio de la base es de 5 cm. Se corta por un plano paralelo a la base que corta a la generatriz en un punto distante 5.2 cm. del vértice. Entonces el volumen del tronco de cono formado es A. 351.52 cm3 B. 294.05 cm3 C. 202.8 cm3 D. 135.2 cm3 E. 67.6 cm3 17. Dado un cono circular recto con radio 3 m y generatriz 5 m, entonces su área lateral es A. 2π B. 12π C. 15π D. 16π E. 30π 18. El área lateral de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 6 cm. de radio y 8 cm. de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 4.5 cm. es A. 304.84 m2 B. 216 m2 C. 152.42 m2 D. 84.82 m2 E. 28.27 m2



19. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntos para hacer una esfera mayor. El radio de la nueva esfera es

A. 2.5a B. 5a C. 6.5a D. 3 35 a E. πa5

20. Un cono tiene una altura igual al doble de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 2 E. 4 21. Un cono tiene una altura igual al triple de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 3/4 E. 3 22. La altura de un cono es 5 cm. Un plano a 2 cm. del vértice es paralelo a la base del cono. Si el volumen del cono más pequeño es 24 cm3 , el volumen del cono más grande es A. 750 cm3 B. 375 cm3 C. 240 cm3 D. 120 cm3 E. 48 cm3

23. Un cubo está inscrito en una esfera. Si el área de la superficie total del cubo es 240mπ

, entonces el área

de la superficie de la esfera es A. 10 m2 B. 15 m2 C. 20 m2 D. 30 m2 E. 40 m2 24. La base de una pirámide hexagonal tiene un área de 26 m2. Si el volumen de dicha pirámide es 78 m3, entonces su altura mide A. 3 m B. 4 m C. 6 m D. 9 m E. 12 m

26. El área de la superficie total de un cubo es 12 m2. Entonces la longitud de su diagonal es

A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 E. 6 27. Si la generatriz de un cono mide 25 m y el diámetro de su base es 8 m, su volumen mide A. 200 m3 B. 400 m3 C. 413.48 m3 D. 418.88 m3 E. 1587.4 m3 28. En una esfera de radio 2, se tiene inscrito un cilindro de manera que el diámetro del cilindro es igual al radio de la esfera. Entonces el área lateral del cilindro es

A. 4π B. 8π C. 2 3 D. 4 3 E. 8 3

A

C

B

25 Si el cono de la figura tiene un volumen de 31000 3 cm

9π

, C es el

vértice, AB un diámetro y m∠ACB = 120°, entonces el diámetro de la

base, en centímetros, es

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 E. 30



1 E 8 D 15 D 22 B 29 C 2 B 9 C 16 B 23 C 30 B 3 B 10 E 17 C 24 D 31 A 4 D 11 C 18 C 25 D 32 D 5 C 12 D 19 D 26 E 33 C 6 D 13 B 20 A 27 C 34 B 7 C 14 D 21 D 28 D 35 B



EJERCICIO 1

1) Escriba el producto cartesiano de los conjuntos dados.

a) A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {3, 5, 7} b) A = {a, e, i, o, u}, B = {c, d, h}

2) En los productos cartesianos del ejercicio 1 defina 2 relaciones y 2 funciones.

3) Determine cuales relaciones representan funciones y cuáles no.

a) f = {(2, 6), (-3, 6), (4, 9), (2, 10)} b) g = {(a, 2), (b, 3), (c, 5), (a, 7)} c) h = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2)} d) i = {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1)} e) y = 5x – 3 f) y2 = –x2 – 1 g) f(x) = x2 + x – 6 h) y = ±

4) Hallar el dominio y rango de cada función.

a) f = {(0,-1), (3, -2), (1,0), (-3, 5), (2,6)} b) f(x) = 2x – 6 c) y = 3x2 + 5x – 1 d) g(x) =

e) y =

f)

5) Efectuar las evaluaciones indicadas para cada función.

a) f(x) = 2x2 + 5x – 3, f(0), f (-1), f(x2 – 3), f(x + h)

b) g(x) = , g(7), g(-5), g(x+9), g(x4 – 2)

c) , y(2), y(0), y(-3), y(h+3)



EJERCICIO 2

Hallar dominio, rango y trazar gráfica de cada función.

1) f(x) = 3x - 2 11) h(x) = x2 + 6x - 2

2) g (x) = 4 12) g (x) = -5x + 1

3) y = - (x + 5)2 + 1 13)

>+−−

≤−=

2,14

2,2)(

2 xxx

xxxh

4) 813)( +−= xxh 14)

<−

≥−=

2

22

2 x,x

x,x)x(h

5) g (x) = 2 | x + 6 | 15) y = - (x + 2)3 + 5

6) y = x3 - 1 16)

≥+<+−

=0,5

0,3|2|)(

xx

xxxf

7)

>−≤<−−

−≤=

33

33

33

x,

x,x

x,

)x(h 17)

>+−=

<=

26

25

22

x,x

x,

x,x

y

8) xy −−= 4 18)

−>+−

−=−<+

=

21

20

23

2

2

x,x

x,

x,x

)x(h



9)

>−≤≤−−=

55

5525 2

x,x

x,xy 19) 2316 x)x(f −=

10)

>+

≤−=

12

142

2

x,x

x,xy 20)

≥<

−<

=12

1

13

2

x,x

|x|,x

x,x

)x(g

Resolver los siguientes problemas.

1) Se desea elaborar una caja sin tapa partiendo de una pieza rectangular de cartón, cuyas

dimensiones son 20 x 30 pulgadas, cortando en las esquinas cuadrados idénticos de área x2, y

doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V, de la caja, como función de x.

2) La tasa de crecimiento ″y″, de un niño, en libras por mes, se relaciona con su peso actual x,

en Libras, mediante la fórmula y = cx(21 - x), donde c es una constante positiva, y, 0 < x <21.

¿A qué peso se tiene la tasa máxima de crecimiento?

3) Hace 5 años se compró una casa en $16,000, este año fue valorada en $19,000. Suponiendo

que el valor de la casa está relacionado linealmente con el tiempo: a) hallar una fórmula que

Indique el valor de la casa en cualquier tiempo t (en años) después de la fecha de compra, b)

¿hace cuántos años la casa valía $17,800?, c) ¿dentro de cuántos años la casa valdrá $22,000?

4) Para niños cuyas edades están entre 6 y 10 años, la altura en pulgadas, ″y″, en promedio,

es función lineal de la edad en años t. La altura de un niño es 48 pulg. a la edad de 6, y de 50.5



pulg. a la edad de 7.

a) Expresar ″y″ en función de t. b) Predecir la altura del niño cuando cumpla 10 años.

5) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, con velocidad

inicial de 144 pies/s. Su distancia s(t) en pies sobre el piso a los t segundos está dada por

s(t) = -16t2 + 144t + 100.

a) Hallar su altura máxima sobre el piso. b) Calcule la altura del edificio.

6) El pago diario de una cuadrilla de trabajadores es directamente proporcional al número de

trabajadores. Si una cuadrilla de 12 trabajadores gana C$ 5,400 diario: a) exprese el pago diario

en función de del número de trabajadores, b) hallar el pago diario para una cuadrilla de 18

trabajadores.

7) Una fábrica de lámparas tiene costos fijos de $3,000y el costo de la mano de obra y de

materiales es de $15 por lámpara, encuentre la función de costo total del número de lámparas

producidas. Si cada lámpara se vende a $25, hallar la función de ingreso y de utilidad.

8) Una empresa de TV por cable da servicio actualmente a 5000 usuarios, y cobra $20 al mes. Un

estudio de mercado indica que cada disminución de 1$ en la tarifa mensual dará como

resultado 500 clientes nuevos. Sea I(x) el ingreso total en dólares cuando la tarifa sea x

dólares.

a) Hallar la función de ingreso I.

b) Hallar el valor de x que dé el ingreso máximo mensual.



c) Grafique la función I.

EJERCICIOS 4

1) Para cada función hallar f g, f • g, f/g y el dominio correspondiente.

a) f(x) = 1 + 1/x, g(x) = 1/x

b) f(x) = g(x) =

c) ,

d) 122 22 −=+= x)x(g,x)x(f

e) 54

2

+=

−=

x

x)x(g,

x

x)x(f

2) Dada f(x) = x + 3 , g(x) = x2 hallar:

a) (f + g)(3) c) (f • g)(3) b) (f - g)(3) d) (f / g)(3)

3) Dada f(x) = 3x + 1, (f+g)(x) = 6 – x. Hallar la función de g.

4) Dada f(x) , , hallar la función g.

5) Dadas f y g determinar (f o g)(x), (g o f)(x) y sus dominios respectivos.

a) f(x) = 4x2 – 3, g(x) = 3 – x2

b) y = , g(x) = 3x

c) f(x) = x2 + 1, g(x) =

d) f(x) = g(x)

e) 232 +=−= x)x(g,xx)x(f

6) Dadas f(x) = 3x2 + 4, g(x) = 5x, hallar (f o g)(x), (g o f)(x), (f o g)(-2).

7) Pruebe que (f o g)(x) = (g o f)(x) = x

a) f(x) = 2x – 6, g(x) = ½ x + 3



b) f(x) = x3, g(x) =

8) Resolver los siguientes problemas.

a) Un incendio en un campo abierto seco, se propaga en forma de círculo. Si el radio de este círculo aumenta a una velocidad de 6 pies/min. Exprese el área total incendiada A en función del tiempo en minutos t.

b) Dos barcos parten de un puerto a la misma hora, uno viaja al oeste con una velocidad de 17 millas/h, y el otro hacia el sur a 12 millas/h. Si t es el tiempo en horas que ha transcurrido desde su partida, expresar la distancia d entre los barcos como una función del tiempo.

c) Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano. Su forma debe ser la de un cilindro recto circular de 10 pies de altura con una semiesfera unida en cada extremo. Su radio r debe determinarse, expresar el volumen V del tanque en función de r.

EJERCICIO 5

1) Determinar si las funciones dadas son Biyectivas.

a) g(x) = 3x + 5 d) y = x3 – 6 e) g(x) = 7x +

b) h(x) = x2 c) g(x) =2x f ) h(x) = 5x2 –x +1

2) Verificar que cada función f es Biyectiva y hallar su inversa f -1. Además comprobar que

(f o f -1) (x) = (f -1 o f) (x) = x. Trazar las gráficas de ambas funciones en un mismo sistema y

compruebe la

simetría respecto a la recta idéntica y = x.

53 += x)x(f)a 032 ≥+−= x,x)x(f)e

52 3 −= x)x(f)b 13 += x)x(f)f

x)x(f)c −= 3



204 2 ≤≤−= x,x)x(f)d

EJERCICIO 6

1) Transformar de forma exponencial a logarítmica y viceversa, según el caso.

a) 43 = 643 b) 10-3 = 0.001 c) Log3 = - 5 d) Log7 1 = 0

2) Expresar en función de los logaritmos de x, y, z

4

2

y

zxlog)a a

3yzxlog)b a zyz/xlog)c a3 52

3) Expresar como un solo logaritmo de x, y z.

)x(log)x(logxlog)a aaa 32523

12 +−−+

y

xlogyxlogyxlog)b aaa 32 323 +−

4) La cantidad de radio puro que queda después de t años, cuando inicialmente se tenían q0

miligramos, es

q = q0 (2) -t / 1600. Use logaritmos de base 2 para evaluar t en términos de q y de q0.

5) El número N de bacterias en un cierto cultivo en el tiempo t, está dado por N = 104(3)t. Use

logaritmos de

base 3 para determinar t en función de N.

6) Graficar las siguientes funciones.



a) f(x) = 4X x)x(g)b −= 3

|x|)x(h)c 2=

<<≥

=250

254

51 x,xlog

x,)x(f)d

/

>−−

≤

=

33

32

1

2 x,)x(

x,y)e

x

xx)x(g)f −+= 33 xlog)x(h)g /101= xlogy)h 4=

)x(log)x(f)i 22 += 32 += xlogy)j 32 += x)x(f)k

xlogy)l 2=

x

y)m

=3

2

xlog)x(h)n

13=

xy)ñ −+= 32 )x(log)x(f)o 25 −=

|x|log)x(h)p 52 −= 215 )x()x(f)q +−=

7) En un mismo sistema graficar cada par de funciones y sacar algunas conclusiones geométricas.

xx ay,ay)a −== 1>== − a,ay,ay)b xx

8) ¿Porqué fue excluido a < 0 del estudio de ax ?



9) El número de bacterias de cierto cultivo incrementó de 600 a 1800 entre las 7:00 A.M. y las

9:00 A.M.

Suponiendo que el crecimiento es exponencial, se puede mostrar, usando métodos de cálculo,

que t horas

después de las 7:00 A.M. el número f(t) de bacterias está dado por f(t) = 600(3) t / 2.

a) Calcule el número de bacterias en el cultivo a las 8:00 A.M.; a las 10:00 A.M. y a las 11:00 A.M.

b) Trace la gráfica de f desde t = 0 hasta t = 4

10) Si $1000 se invierten al 12% anual y se capitalizan los intereses mensualmente, ¿cuál es el

monto

acumulado después de 1 mes? ¿2 meses? ¿6 meses? ¿1 año?

11) Si cierta marca de automóvil se compra por C dólares, su valor comercial v(t) al final de t años

está dado

por v (t) = 0.78C (0.85)t-1. Si el costo original es de $10000, calcule, redondeando a unidades,

el valor

después de (a) 1 año; (b) 4 años; (c) 7 años.

EJERCICIO 7

Resolver las siguientes ecuaciones.

a) 105x - 2 = 348

=+

=+

2799363

2

x

x

)yx(

yx)h



b) log2 (9x - 1 + 7) = 2 log2 (3

x - 1 + 1)

=

=−

−

1464111

3125576

23

yx

yx

)i

c) Log (x - 9) + log 100x = 3

−=−−−+ 221122

352352 xxxx)k

100

110 73 2

=− xx)d

xlog)x(Log)l / 212 23 =−

08252 332 22

=+− −+−++ xxxx )()e

222532 333 −−=+−− )x(log)x(log)x(Log)m

0222

1 2 =−−+ xlog)xx(Log)f

431 222 log)x(logxLog)n =+−

04975049 =+− )()g xx 142

212

=−+ xx)ñ

EJERCICIO 8

1) Escriba cada ángulo en notación decimal en grados.

a) 40° 10' 25'' b) 61° 42' 21'' c) 98° 22' 45'' d) 1°

2' 3''

2) Escriba cada ángulo en notación de grados, minutos y segundos.

a) 18.255° b) 29.411° c) 44.01° d)

61.24°



3) Convertir los ángulos en grados a radianes y viceversa según el caso.

a) 630° b) c) d) 720° e) f) -

135°

4) Hallar el ángulo complementario de θ.

a) θ = 5º 17' 34'' b) θ = 32.5º c) θ = 63º 4' 15'' e) θ = 82.73º 5) Halle el ángulo suplementario de θ.

a) θ = 48º 51' 37'' b) θ = 152º 12' 4'' d) θ = 136.42º

6) Calcular las funciones trigonométricas restantes si Senθ = y cosθ

7) Si θ es un ángulo agudo, hallar las seis funciones trigonométricas.

a) Senθ = c) Cosθ = e) Cotθ =

b) Secθ = d) Cscθ = 4 f) Tanθ =

8) Calcular el valor de cada expresión.

33662222 π−ππ+π

TanSec)bCosSen)a

9) Sea P(x, y) en el lado terminal de θ, calcular las seis funciones trigonométricas de θ. a) P(-6, 2) b) P(-4, -3) c) P(5, -2) d) P(-1, 3/8)

10) Hallar las funciones trigonométricas de θ en el cuadrante indicado y su lado terminal cumple la condición dada.

a) II C, sobre la recta y = -4x



b) IV C, sobre la recta 3y + 5x = 0 c) III C, paralela a la recta 2y – 7x + 2 = 0

11) Un ángulo central θ intercepta un arco de 7 cm de largo en una circunferencia de radio de 4

cm. Aproxime

la medida de θ en (a) radianes; (b) grados.

12) Si un ángulo central θ que mide 20° intercepta un arco circular de longitud 3 km.; determine el

radio de la

circunferencia.

13) La distancia entre dos puntos A y B en la Tierra, se mide sobre un círculo con centro C en el

centro de la

Tierra y radio igual a la distancia de C a la superficie. Si el diámetro terrestre es de 8000 millas

aproximadamente, calcule la distancia entre A y B cuando el ángulo ACB mide (a) 60°; (b) 45°; (c) 30°; (d)

10°; (e) 1°.

EJERCICIO 9

Graficar las siguientes funciones.

1) y = 4Sen x xCos)x(f) 32

16 =

)x(Cos)x(h)4

32π−= 127 +π−= )x(Seny)

)x(Seny)42

23π−π−= 238 −π+−= )x(Cos)x(g)



)x(Tany)4

23

14

π−= |Senx|y) =9

)x(Cot)x(f)42

1

2

15

π+−= 1510 +−= |Cosx|y)

EJERCICIO 10

1) Hallar las funciones trigonométricas restantes de θ.

a) Senθ = 5/13, con θ en el primer cuadrante.

b) si θ está en el II cuadrante.

c)

d) Secθ , θ en el I Cuadrante.

e) Si θ > 0 con lado terminal sobre la recta y = -4x en el II cuadrante.

2) Demostrar las siguientes identidades.



θ−=θ−θ 244 21) SecSecTana xTanxTanxCos

b 222

2211

) +=++

αα+α=

αα+

αα+

CosSen

Cos

Cos

Sen

Sen

Cosc

11) 1)() 322 =θ+θ CosSend

λλ−=λ+λ 4422 )1() SecSenTanSece tSectCot

tTantCotf 2)()() −=

−+−

1)()() 44 =β+ββ−β CotCscCotCscg xCosxSenxSenxCos

xSenxCosh +=

−−

1)33

xCotxSen

xSenxCsci 2

)(

)()() =

−−−−

β−=+β−β 222 11()1() SecTanCosj

EJERCICIO 11

1- Hallar las funciones trigonométricas de π/12 a partir de los valores de π/3 y π/4

2- Verificar las identidades:

a) Sen ( θ – π/6) + Cos (θ – π/3) =

b) Tan ( θ + π/4) – Tan (θ – 3π/4) = 0

3- Hallar Sen 2θ, Cos 2θ, Tan 2θ, Si Cosθ = 3/5 y θ en el primer cuadrante.

4- Hallar Sen θ/2, Cos θ/2 y Tan θ/2, si Tan θ = 1 y θ en el tercer cuadrante.

5- Si α y β son ángulos agudos tales que Cos α = 4/5 y Tan β = 8/15 hallar:

a) Sen (α + β) b) Cos (α + β)

c) Cuadrante de α + β d) Sec (α + β)

6- Si Sen α = – 4/5 y Sec β = 5/3, con α en el tercer cuadrante y β en el primer cuadrante, hallar:



a) Sen (α + β) b) Tan (α + β)

c) Cuadrante de α + β d) Csc (α + β)

7- Exprese como función de un solo ángulo:

a) Cos 48° Cos 23° + Sen 48° Sen 23°

b) Cos 10° Sen 5° - Sen 10° Cos 5°

c) Cos 3 Sen ( -2) - Cos 2 Sen 3

8) Demostrar las siguientes identidades.

θ=θ−θ TanCotCsca 22) θ−=

θ−θSenSenCosg 1

22)

2

β+β−=β SenSenSenb 343) 3 xSen

xCos

xSenh 2

224) =

α+=α+α 212 Sen)CosSen()c 1422) 2 =λ+λ CosSeni

θ=θ+θ− 2

21

21) Tan

Cos

Cose )(

1)

xySen

ySenxSen

yCotxCotj

−=

−

1884) 24 +θ−θ=θ CosCosCosf vCosCosuvuCosvuCosl 2)()() =−++

EJERCICIO 12

Hallar soluciones de cada ecuación en el intervalo [0, 2π ] ó 00 ≤ θ ≤ 3600.

02)1 =θθ−θ CosSenSen θ−=θ+ 22233)7 CosCos

02)2 22 =− xSecxTan 3433)8 =β+β CotTan

012)3 24 =+α−α SenSen 02)9 =+ tSentSen

12

1)4 =θ+θ CosSen 012210 23 =−λ−λ+λ SenSenSen)



04

2)5 =

π−xCos 12

1)11 =+ uCosuSen

022)6 =−+ xCosSenxCosxSenx xTanxTanxTanxTan 212)12 −=+

FUNCIONES

Conceptos generales

Si f(x) = 2x – 3x y g(x) = 2x + 2x – 15, entonces para x ≠ 3 y x ≠ -5, =g(x)

f(x)?

A. 5x

1++++

B. 5x

x++++

C. 4x – 21 2x + 45x D. 2x + 5x E. x

5x ++++

Si f(x) = x1−−−− y g(x) = 2x ++++ , el dominio de ( f + g ) está dado por

A. (– ∞, – 2 ) ∪ [1, ∞) B. (– ∞, 1] C. [– 2, ∞) D. [– 2, 1] E. [1. ∞ )

Si f (x) = 1 – x2 y g (x) = 2x+5, entonces g [f (– 2) ] = ?

A. – 80 B. – 3 C. – 1 D. 1 E. 9

Si f(x) = 1 – x3, entonces f (– 1 ) = ?

A. – 2 B. – 1 C. 0 D. 1 E. 2

El rango de la función definida por

≥<−<

=1x,x2

1|x|,x

1x,x

)x(g 3

2

es el conjunto

A. (– 1, ∞) – { 1} B. ℜ C. ℜ – { 1} D. (– 1, ∞) E. [ 1, ∞)

Si f(x) = 2x+1 para 0 ≤ x ≤ 3, ¿Cuál de los siguientes conjuntos es el rango de f ?

A. {y / 0 ≤ y ≤ 3 } B. {y / 0 ≤ y ≤ 6 } C. {y / 0 ≤ y ≤ 7 }



D. {y / 1 ≤ y ≤ 6 } E. {y / 1 ≤ y ≤ 7 }

Si f(x) = 1xx1

−−

para todo x ≠ 1, ¿cuáles de las siguientes proposiciones deben ser

verdaderas?

Ι f(3) = f(2) ΙΙ f(0) = f(2) ΙΙΙ f(0) = f(4)

A. Ninguna B. sólo la Ι C. sólo la ΙΙ D. Sólo la ΙΙ y la ΙΙΙ E. Todas.

Si f(x) = 2x y f [g(x)] = – x , entonces g(x) =

A. –3x B. 2x−

C. 2x

D. x E. – 2x

Si f(x) = x1− y g(x) = 2x + , el dominio de ( f + g ) está dado por

A. (– ∞, – 2 ) ∪ [1, ∞) B. (– ∞, 1] C. [– 2 , ∞) D. [– 2, 1] E. [1. ∞ )

La función inversa de f(x) = 2x9 − con x ≥ 0 es

A. 9x)x(f 21 −=− , x ≥ 0 B. 21 x9)x(f −=− ,x ≥ 0 C. x9)x(f 1 −=−

D. 9x)x(f 21 −±=− E. 21 x9)x(f −±=− , x ≥ 0

Dada f(x) = x1

, g(x) = x2 – 1, el valor de g [f (2)] es

A. 1/2 B. – 3/4 C. 1/3 D. 3/2 E. 3/4

La gráfica de y = | 2 – |x| | tiene la forma



V. Ejercicios propuestos de Geometría Analítica

Distancia entre dos puntos 1. El triángulo de vértices A(-5,-1) B(2,3) y C(3,-2) es:

a) Isósceles b)Equilátero c)Rectángulo d)Rectángulo isósceles e) Rectángulo Equilátero

2. El triángulo de vértices (2,3), (-4,-3) y (6,-1) es: a)Isósceles b)Equilátero c)Rectángulo d)Rectángulo isósceles e)Rectángulo equilátero

3. Los vértices de un cuadrado son (-1, 3), (3,-1), (-1,-1) y (3,3). La longitud de sus diagonales es: a) 2 b) 4 c) d) e)

4. Dos vértices opuestos de un cuadrado son (5,1) y (-1,3). El área del

cuadrado es: a) 40 b) 20 c) 10 d) 16 e) 8

5. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3,-2). Si la

abscisa del otro extremo es 6, su ordenada es: a) 3 b) 2 c) 2 d) 6 e) 5

División de un segmento en una razón dada

6. Dados los puntos A(3, 2) y B(5, 4,) hal la un punto C, a l ineado con A y B, de manera que se obtenga CA/CB =3/2.

a) (21/5,16/5) b)(-21/5,16/5) c)(21/5,-16/5) d) (2,3) e) (3,-2)

X X X

X

X

Y Y Y

Y Y

A. B. C.

E. D.



7. Dado el segmento de extremos P1(3,-2) y P2 (-4,1), encuentre

las coordenadas del punto P que lo divide en la razón -2. a) (11,4) b) (-5,-4) c)(-5,4) d)(11,-4) e)(-11,4)

8. En las medianas de un triángulo el baricentro B(x,y) es tal que las distancias

de este punto al vértice M(2,4) y al punto medio N(1,-1) del lado opuesto están en la relación MB/BN = 2/1. Las coordenadas de B son:

a) (4/3,2/3) b) (-4/3,2/3) c) (-2/3,4/3) d) (2,1) e) (1,2)

9. Las coordenadas del punto que divide al segmento A(-1,4), B(-5,-8) en la razon -1/3 son:

a) (1,-2) b) (2,-1) c) (1,10) d) (-1,10) e) (4,5)

10. Las coordenadas del punto que divide al segmento A(3,2), B(-1,-1) en la razon ½ son:

a) (2,1) b) (-1,2) c) (-5/3,-1) d) (5/3,1) e) (5/3,-1)

Coordenadas del punto medio 11. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(5,4); B(-3,8). a) (1,6) b) (4,6) c) (1,-2) d) (-1,6) e) (1,-6)

12. El punto medio de un segmento es (2,2). Si uno de sus extremos es (-2,3), el

otro es: a) (6,-1) b) (-2,1) c) (1,6) d) (-6,-1) e) (6,1)

13. Encuentre dos puntos equidistantes de (2,1), los tres sobre la misma línea, si

la abscisa de uno de ellos es x=6 y la ordenada del otro es y= -1. a) (2,3) b) (-2,-3) c) (-2,3) d) (2,-3) e) (-6,1)

14. Dados los vértices de un triángulo A(2,0), B(1,-3) y C(2,-5), el otro extremo de

la mediana correspondiente a B es: a) (0,-5/2) b) (0,1/2) c) ( 5/2,0) d) (3/2,0) e) (0,-3)

15). La mediatriz del segmento determinado por los puntos A(-2,3), B(4,1) pasa por el punto

a) (2,3) b) (3,4) c) (-2,1) d) (1,2) e) (2,4) Pendiente de una recta

16. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos, (-4,-1) y (5,2). a) 2 b) 1/2 c) 1/3 d) 3 e) -1/3

17. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos, (-3,3) y (4,-4) a) 2 b)1 c) 3 d) -2 e) -1

18. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos, (-5, 2) y (-5,-4)



a) No existe b) 0 c) 6 d) -2 e) -6

19. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (x,-3) y (-2,6) es 3, entonces el valor de x es:

a) 2 b) 5 c) 6 d) -5 e) -1

20. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (-3,4) y (1, Y) es cero, entonces el valor de la ordenada es:

a) 3 b) 0 c) No existe d) -2 e) 4 Ecuaciones de la recta

21. Una recta de pendiente -2 pasa por el punto A(-1, 4). Hallar su ecuación en la forma simétrica.

a) 13

=+ yx

b) 2

2=+ y

x

c) 12

=+ xy d)

12

=+ yx

e)

12

=− yx

22. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + y - 8 = 0 y 3x - 2y + 9 = 0.

a) 4x +3 y - 10 = 0 b) 4x + y - 9 = 0 c) x - 2y - 8 = 0 d) 4x + y - 10 = 0 e) -x +4 y - 10 = 0

23. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son, P1(-3, 2) y P2(1, 6).

a) x + y + 3 =0 b) -x + y - 3 =0 c) x - y - 3 =0 d) x + 2y - 3 =0 e) x + y - 3 = 0

24. Una recta pasa por el punto A( 7 ,8 ) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(-2, 2) y D(3, -4). Hallar su ecuación

a) x + y - 82 = 0 b) 6x + 5y - 82 = 0 c) x +6y - 82 = 0 d) 6x - 5y + 82 = 0

e) 5x + y - 82 = 0

25. Hallar el valor de K para que la recta k2x + (k + 1) y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x - 2y -11 = 0.

a)3

61 ± b) 3

72 ± c)

3

71 ± d) 2

71 ± e) 3

72/1 ±

Ángulos entre dos rectas 26. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos (-2, 1), (3,4) y (5, -2). a) 77°28',54°10' 48°22' b) 76°28', 54°10' 48°22' c) 67°28', 54°10' 48°22'



d) 77°38', 54°10' 48°2 e) 67°18', 54°10' 48°22'

27. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos (-2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por los puntos (3,9) y A cuya abscisa es -2. Hallar la ordenada de A.

a)7 b) 9 c) 1 d) 2 e) -8 28. Una recta l1 pasa por los puntos (3,2) y (-4, -6) y otra recta l2 pasa por el punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es perpendicular a l2. a) 3 b) 1 c) -1 d) 2 e) 4

29. Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta paralela a la recta que pasa por los puntos (1, -2) y (3, 8).

a) m=5, θ=78°31' 24.24” b) m=5, θ=78°41' 24.24” c) m=5, θ=77°41' 24.24”

d) m= 5, θ=77°51' 24.24” e) m=5, θ=87°41' 24.24”

30. Hallar sus ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos vértices son: (2, 5), (8, -1) Y (-2, 1). a) 34°41', 56°19' b) 33°31' , 56°19' c) 33°31' , 60°19'

d) 33°41', 56°19' e) 34°41' , 46°19'

CÓNICAS 31. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por (-3,4) es:

a) b) c) d) e) 32. De los siguientes puntos, el único que se encuentra sobre la circunferencia

es:

a) b) c) d) e)

33. Si los extremos de un diámetro en una circunferencia con centro en el origen

son y , la ecuación de dicha circunferencia es

a) b) c) d) e) 34. Si (2,2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia , la

ecuación de dicha cuerda es a) x + y – 4 = 0 b) x – y – 4 = 0 c) x – y + 4 = 0 d) x + y + 4 = 0

e) y – x – 4 = 0 35. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el

punto de intersección de las rectas 3x + 3y = 15 y 2x + 6y = 22 es



a) b) c) d) e)

36. Las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola

y2 , es:

a) (-1,0 ) ,x =1 b) (1,0 ) ,x =1 c) (0,-1, ) ,x =1 d) (-1,0 ) ,x = 2 e) (1,0 ) ,x =-1

37. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco (- , 0) es:

a) = - 4 b) = - c) = - 4 d) = - 4 e) = 4 38. El foco y la directriz de la parábola 2y – x2 =0, son:

a) (1/2,0),x=-1/2 b) (0,-1/2),y=1 c) (0, 1/2), y= -1/2 d)(0,1) y=-1/2 e) (0,1/2)

39. La ecuación de la parábola cuyo foco es (4,0) y directriz x= -4 es:

a) y=16x b) y=16x2 c) y2 = -16x d) e) y2 = 10x e) y2 = 16x 40. La ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje y, vértice en el

origen y que pasa por (-2,-2) es: a) x2 = -8y b) x = 8y c)x2 = -8y2 d) x = -8y e) y2 = 8x

41. Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8 , entonces la ecuación de la elipse con eje focal en el eje y es:

a) b) c) d) e)

42. Si la excentricidad es 4/5 y la distancia focal es 16 , la ecuación de la elipse

con eje focal en el eje x es:

a) b) c) d) e)

43. La excentricidad de la elipse 2x2 + 4y2 = 8 es:

a) - b) c) d) e) )

44. El único punto que pertenece a la elipse con eje mayor 20 y eje menor 10

es:

a) b) c) d) e)

45. La ecuación de la elipse que pasa por (3, , con vértice correspondiente al eje menor (0,4) es:



a) b) c) d) - e)

46. Los focos de la hipérbola 4x2 -9y2 = 36 son:

a) ( b) ( c) ( d) ( e) (0,

47. Las asíntotas de la hipérbola 25y2 - 16x2 = 400 son:

a) 2 b) c) d) ) e)

48. La ecuación de la hipérbola con asíntotas , es:

a) b) c) d) e)

49. Los de una hiperbola son y sus focos . Entonces su ecuación es:

a) b) c) d)

e)

50. La excentricidad de la hipérbola y2 - 4x2 = 4 es:

a) b) c) d) e)

Respuestas

No.pregunta. Rta No.Pregunta Rta No.Pregunta Rta No.Pregunta Rta 01 a 16 c 31 a 46 a 02 c 17 e 32 b 47 b 03 e 18 a 33 e 48 d 04 b 19 d 34 a 49 b 05 b 20 e 35 c 50 a 06 a 21 d 36 a 51 07 e 22 d 37 d 52 08 a 23 e 38 c 53 09 c 24 b 39 e 54 10 d 25 c 40 a 55



11 a 26 a 41 e 56 12 e 27 e 42 a 57 13 c 28 b 43 d 58 14 a 29 b 44 b 59 15 d 30 d 45 c 60

“La Educación es un Elemento Central de la Dignidad y

También del Desarrollo Humano”

Documents

Guía de Autoestudio de Matemáticas para el curso de Reforzamiento