1

DIRECCIN ACADMICA

DEPARTAMENTO DE DESARROLLO

ACADMICO

12 ENCUENTRO ACADMICO, CULTURAL Y

DEPORTIVO INTERBACHILLERES 2014

CONCURSO DE CONOCIMIENTOS 2014

GUA DE ENTRENAMIENTO

DISCIPLINA: MATEMTICAS

Septiembre de 2013

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3

NDICE

Contenido INTRODUCCIN ............................................................................................................... 4

DIVISIBILIDAD .................................................................................................................. 5

Ejercicios ........................................................................................................................ 9

COMBINATORIA ..............................................................................................................12

Ejercicios .......................................................................................................................22

GEOMETRA ....................................................................................................................25

Ejercicios .......................................................................................................................29

EJERCICIOS RESUELTOS ..............................................................................................33

EJERCICIOS PROPUESTOS ...........................................................................................40

BIBLIOGRAFA .............................................................................................................43

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INTRODUCCIN

La presente gua va dirigida a los estudiantes que participarn en el concurso de

conocimientos 2014 en la disciplina Matemticas, en su fase regional. Esta gua se enfoca a

desarrollar la teora del bloque Principios de Teora de Nmeros y combinatoria, esta

formada por 5 secciones:

Divisibilidad: teora bsica, ejemplos y ejercicios.

Combinatoria: teora bsica, ejemplos y ejercicios.

Geometra: teora bsica, ejemplos y ejercicios.

Ejercicios resueltos

Ejercicios propuestos

Se recomienda que el estudiante desarrolle la totalidad de los ejercicios propuestos, pues en

la mayora de los ejercicios se ver reflejada la habilidad que tienen los estudiantes para

interpretar, resolver y concluir en la solucin de problemas. Cabe recalcar que este tipo de

problemas son los se aplican en las olimpiadas que organiza la Sociedad Matemtica

Mexicana.

Aunque en la presente se desarrollan algunos temas de geometra, es necesario que el

estudiante aborde todos los temas y subtemas publicados en el temario:

Aritmtica

lgebra

Geometra y Trigonometra

Geometra Analtica

Principios de Teora de Nmeros y Combinatoria

Esta gua debe verse como un apoyo adicional a los Diarios de Aprendizaje, principalmente

en el tema Principios de Teora de Nmeros y Combinatoria por lo cual se recomienda a

los estudiantes estudiarla en su totalidad. Para los bloques: Aritmtica, lgebra, Geometra y

Trigonometra y Geometra Analtica, se recomienda estudiar los Diarios de Aprendizaje o

cualquier otra bibliografa que sugiera el asesor acadmico.

Nota: Para el examen regional no se permite el uso de calculadoras ni formularios.

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DIVISIBILIDAD

La teora de nmeros, como uno esperara de su nombre, estudia a los nmeros. Iniciamos

su estudio con los nmeros enteros, .

Definicin: Decimos que divide a , o que es divisible entre , (con smbolos, ), si el

resultado de dividir entre es entero, es decir si existe nmero entero talque . En

este caso tambin decimos que:

es divisor de

es factor de

es divisible entre

es mltiplo de

Ejemplos:

1. Los nmeros pares son aquellos que son divisibles por el , pues tiene la forma

con entero.

2. porque existe el nmero entero talque , evidentemente el tambin

divide al .

3. porque existe el nmero entero talque .

Divisor propio de un nmero: Decimos que es divisor propio de si pero

; en este caso tambin se dice que es mltiplo propio de .

Nmeros Primos: Sea un nmero entero distinto de , decimos que es primo si sus

nicos divisores son y ; es decir es primo si no tiene divisores propios.

Ejemplos:

1. El es primo porque sus nicos divisores son .

2. El 11 es primo porque sus nicos divisores son .

3. El 9 no es primo porque sus divisores son , donde son divisores

propios.

Teorema Fundamental de la Aritmtica. Todo nmero natural diferente de 1 puede ser

representado de manera nica (salvo por el orden) como un producto de nmeros primos.

Ejemplos:

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1. Expresar como producto de nmeros primos a 14, 82, 104 y 1250.

Solucin:

Lema: Sea un nmero entero mayor que 1 con la propiedad de que ningn nmero primo

menor o igual que lo divida. Entonces es primo.

Ejemplos:

1. Probar que 43 es primo.

Solucin. Aplicando el lema anterior, como , basta con comprobar que 43 no

es divisible por ninguno de los nmeros primos , lo cual es claramente cierto.

2. Determina si 1417 es primo o no.

Solucin. Aplicando el lema, como , basta con comprobar que 1417 no

es divisible por ninguno de los nmeros primos menores que 38; es decir: 2, 3, 5, 7,

11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37. El nico que lo divide es 13, 1417=13109, por lo tanto

1417 no es primo.

Mximo Comn Divisor: Sea un nmero natural. Dada una coleccin de nmeros

enteros distintos de cero su mximo comn divisor, en smbolos

, es el mayor de sus divisores comunes, es decir, si

y cualquier nmero entero que cumpla estas condiciones es menor o igual

que .

Mnimo Comn Mltiplo: Sean distintos de cero. Definimos el mnimo comn

mltiplo de ellos, en smbolos [ ]o solo [ ] como el menor de

todos los mltiplos comunes positivos de ellos.

Ejemplos:

a) Hallar el mximo comn divisor de los nmeros 15, 20, 35.

Solucin. Encontraremos los divisores de cada uno de estos nmeros:

Los divisores del 15 son:

Los divisores del 20 son:

Los divisores del 35 son:

7

Los divisores comunes son: , y el mayor de ellos es el 5, as que ste es el mximo

comn divisor de 15, 20 y 35.

b) Si y , halla el mnimo comn mltiplo de ellos.

Solucin.

Los mltiplos positivos de son:

Los mltiplos positivos de son:

Entonces el [ ]

c) Si y , entonces el mnimo comn mltiplo es 8.

d) Encontrar el .

Solucin. Representamos a los nmeros como productos de nmeros primos:

Por lo tanto el .

e) Halla el [ ].

Solucin. Representaremos a los nmeros como producto de nmeros primos:

Por lo tanto el [ ] .

Definicin de primos relativos: Dos nmeros naturales se dicen relativamente primos

(coprimos, o primos relativos) si no tienen un divisor comn mayor que 1.

Criterios de Divisibilidad: Un nmero entero es divisible:

Entre 2, si y slo si el dgito de las unidades es 0, 2, 4, 6 u 8.

Entre 3, si y slo si la suma de sus dgitos es divisible por 3.

Entre 4, si y slo si el nmero formado por los dos ltimos dgitos (el de las unidades y

el de las decenas) es divisible por 4.

Entre 5, si y slo si el dgito de las unidades es 5 0.

Entre 6, si y slo si es divisible por 2 y 3.

Entre 7, si y slo si lo es tambin el nmero de dos cifras que obtengamos con el

siguiente proceso:

Tomamos el dgito de las unidades y lo duplicamos; el resultado se lo restamos al

nmero original sin el dgito de las unidades; repetimos el proceso hasta obtener un

nmero de dos cifras.

Entre 8, si y slo si el nmero formado por sus tres ltimos dgitos es divisible por 8.

Entre 9, si y slo si la suma de sus dgitos es divisible por 9.

8

Entre 10, si y slo si el dgito de las unidades es 0.

Entre 11, si y slo si obtenemos 0 o un mltiplo de 11 con el siguiente proceso:

numeramos todos los dgitos del nmero de izquierda a derecha. Sumamos todos los

dgitos que ocupan una posicin par en el nmero y le restamos la suma de todos los

dgitos que ocupan una posicin impar en el nmero.

Entre 12, si y slo si es divisible por 4 y por 3.

Ejemplos:

a) Es 29 3 divisible entre 2?

Solucin. No, porque no se cumple el criterio de divisibilidad para el 2 ya que el dgito de

las unidades es 7.

b) Es 29 3 divisible entre 3?

Solucin. S, por ser mltiplo de 3; adems se cumple el criterio de divisibilidad por 3 ya que

29 3=87 y la suma de sus dgitos es 8+7=15 y el 3 divide al 15.

c) Es 29 3 divisible entre 5?

Solucin. No, porque no se cumple el criterio de divisibilidad para el 5 ya que el dgito de

las unidades es 7.

d) Es 29 3 divisible entre 8?

Solucin. No, porque 29 3=87=087 y no es divisible por 8.

e) Es 29 3 divisible entre 9?

Solucin. No, porque 29 3=87 y la suma de sus dgitos es 8+7=15 y 15 no es divisible por

9.

f) Es 29 3 divisible entre 6?

Solucin. No, porque no cumple la condicin de ser dividido por 2.

g) Considera todos los nmeros de tres dgitos distintos que se pueden formar con los

dgitos 0, 1, 2, 3 y 5. Cuntos de estos nmeros son mltiplos de 6?

Solucin:

Para que un nmeros sea mltiplo de 6, debe ser divisible por 2 y adems divisible por 3. Para que sea divisible por 2, el dgito de las unidades slo tiene dos posibilidades ser 0 2.

Si y slo si significa que es una

condicin necesaria y suficiente.

9

Si es 0, la suma de los dos dgitos restantes debe ser mltiplo de tres por lo cual slo hay cuatro posibilidades: 1+2, 2+1, 1+5 y 5+1. Si es 2, la suma de los tres dgitos debe ser mltiplo de tres por lo cual slo hay tres posibilidades: 1+0, 3+1 y 1+3. Por lo tanto la respuesta es siete.

EJERCICIOS

1. Es cierto que si un nmero natural es divisible entre 4 y entre 6, entonces es

divisible entre 4 6 = 24?

2. El nmero A no es divisible entre 3. Es posible que el nmero 2A sea divisible entre

3?

3. El nmero A es par. Es cierto que el nmero 3A debe ser divisible entre 6?

4. Dados los nmeros A = 23 310 5 72 y B = 25 3 11, encuentra el mximo

comn divisor.

5. Dados los nmeros A = 28 53 7 y B = 25 3 57, encuentra el mnimo comn

mltiplo.

6. Dados dos nmeros primos distintos p y q, encuentra el nmero de diferentes

divisores positivos de:

a) pq

b) p2q

c) p2q2

d) pnqm

7. Es cierto que el producto de cualesquiera tres nmeros naturales consecutivos es

divisible por 6?

8. Es cierto que el producto de cualesquiera cinco nmeros naturales consecutivos es

divisible por 30?

9. Es cierto que el producto de cualesquiera cinco nmeros naturales consecutivos es

divisible por 120?

10. Encuentra todas las soluciones en nmeros naturales de las ecuaciones:

a) x2 y2 = 31

b) x2 y2 = 303

11. En una mesa hay 220 canastas vacas numeradas del 1 al 220. Jos puso una pelota

azul en cada canasta con nmero par, Roberto puso una pelota verde en cada

canasta con nmero mltiplo de 3, Luis puso una pelota roja en cada canasta con

nmero mltiplo de 5 y Fernando puso una pelota morada en cada canasta con

10

nmero mltiplo de 7. Cuntas pelotas y de que color son las que hay en la canasta

nmero 211?

12. Un vendedor de telas va a Puerto Escondido cada 28 das, otro va cada 30 das y un tercero va cada 16 das. Hoy coincidieron los tres vendedores, dentro de cuntos das volvern a coincidir?

Recordemos que los elementos que intervienen en una divisin son:

Dividendo

Divisor

Cociente o producto

Residuo

Ejemplo:

Observe que tal divisin la podemos expresar como sigue:

.

En general toda divisin de nmeros enteros puede expresarse de forma similar a la

anterior; es decir, si en una divisin es el dividendo, el divisor, el cociente y el

residuo, dicha divisin se puede representar como con . A la

representacin anterior se le llama el Algoritmo de la divisin para y .

Otra forma de escribir lo anterior es:

Definicin. Dividir a un nmero natural entre el nmero natural con residuo significa

representar al nmero como , donde . Al nmero lo llamamos el

residuo de dividir entre .

Ejemplo:

11

a) El residuo de la divisin de 501 por un nmero de un dgito es 3. Cul es el residuo de la

divisin del nmero 1006 por el mismo nmero?

Solucin:

Sean m y k nmeros enteros con m nmero de un dgito, entonces:

Note que , adems observe que las nicas posibilidades para y son:

1.

2.

3.

Si la primera ocurriera, el residuo de dividir 501 entre 2 sera 1 y no 3, por lo tanto se

descarta. Si ocurriera la segunda 501 es mltiplo de 3, por lo tanto el residuo de dividir 501

por 3 es cero, tambin se descarta; as la opcin que si puede ocurrir es la 3. En

consecuencia el nmero buscado es 6, y el residuo de dividir 1006 por 6 es 4, por lo tanto la

respuesta correcta es 4.

b) Encontrar y del Algoritmo de la divisin en el caso de que y .

Solucin:

, donde y .

c) Encontrar y del Algoritmo de la divisin en el caso que y .

, donde y .

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COMBINATORIA

Regla de la suma. Si una cierta tarea puede realizarse de maneras de una forma o de maneras para una segunda, en total la tarea se puede hacer de formas.

Principio Fundamental de Conteo: Si una cierta tarea puede realizarse de maneras

diferentes y, para cada una de esas formas, una segunda tarea puede realizarse de

maneras distintas, entonces las dos tareas juntas pueden realizarse (en ese orden) de

formas diferentes.

Ejemplos:

a) Cuntas palabras de cuatro letras se pueden formar si se dispone de un alfabeto con

dos letras: j y e? Nota: se permiten las palabras como jjee y jjje.

Solucin:

Utilizaremos el principio fundamental del conteo. Consideremos 4 rayas, cada una

representa el espacio correspondiente para las cuatro letras:

_____ _____ _____ _____

En cada raya hay dos elecciones posibles; la letra j o la letra e. Por cada raya podemos

poner 2 letras, entonces la respuesta es .

Para aclarar exhibimos la lista de las 16 palabras que se forman:

jjjj jjje jjee jeee jjej jeej jejj jeje

eeee eeej eejj ejjj eeje ejje ejee ejej

b) Cuntas banderas bicolores se pueden formar si se dispone de 5 lienzos de tela de

colores distintos y un asta?

Nota: como las banderas son bicolores no se permiten banderas con los dos lienzos del

mismo color; ejemplo verde-verde; por otro lado, es importante el color que queda junto al

asta, es decir verde-blanco y blanco-verde se consideran distintas.

Solucin:

Note que para este caso solo necesitamos dos rayas. Podemos suponer que la de la

izquierda representa el lienzo junto al asta, el cual tiene 5 elecciones posibles. Una vez

elegido ste, el color para la derecha se puede escogerse de 4 formas (ya que no se permite

la repeticin de colores). As hay formas diferentes de formar las banderas.

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Para aclarar exhibimos la 20 banderas; tomando los colores azul, verde, blanco, morado y

rojo.

c) Cuntas banderas bicolores se pueden formar si se dispone de 5 lienzos de tela de

colores distintos?

Nota: en este caso las banderas blanco-verde y verde-blanco se consideran iguales.

Solucin:

Note que para este caso solo necesitamos dos rayas. Para el color de la izquierda hay 5

elecciones posibles. Una vez elegido ste, el color para la derecha se puede escogerse de 4

formas (ya que no se permite la repeticin de colores). As hay formas diferentes

de formar las banderas, pero en esta cuenta estamos contando dos veces la banderas de la

forma blanco-verde y verde-blanco, por lo que tenemos que dividir por 2, es decir hay

banderas diferentes.

Para aclarar exhibimos la 10 banderas; tomando los colores azul, verde, blanco, morado y

rojo.

d) Hay cinco distintos tipos de tazas y tres de platos en una tienda. De cuntas maneras se

puede comprar una taza y un plato?

Solucin:

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Sin perdida de generalidad podemos elegir primero las tazas, para estas hay 5 formas y para

elegir los platos tenemos 3 formas, as en total hay formas diferentes de comprar

una taza y un plato.

Para aclarar exhibimos las 15 formas en un diagrama de rbol: 3 por cada taza y al final

incluimos un diagrama general.

15

e) En una cocina hay 6 distintos tipos de tazas, 4 de platos y 2 diferentes tipos de cucharas.

De cuntas formas diferentes podemos elegir juegos con una taza, un plato y una cuchara?

Solucin:

Este problema es similar al anterior; sin perdida de generalidad podemos elegir primero las

tazas, para las cuales hay 6 formas; en segundo lugar a los platos, 4 formas; y por ltimo a

las cucharas, 2 formas; as en total hay formas diferentes de elegir una taza,

un plato y una cuchara.

f) En cierto pas hay tres pueblos San Juan, San Pedro, y San Lucas. Existen seis caminos

de San Juan a San Pedro, y cinco de San Pedro a San Lucas. De cuntas formas se puede

ir desde San Juan hasta San Lucas?

Solucin:

Note que para ir de San Juan hasta San Lucas es necesario pasar por San Pedro. De San

Juan a San Pedro hay 6 caminos y por cada uno de estos caminos hay 5 formas de llegar a

San Lucas, as tenemos caminos diferentes para ir de San Juan a San Lucas.

g) En una comida te dan 5 tortillas. Un taco se prepara con una o dos tortillas y uno de dos

guisados. De cuntas formas puedes prepararte un plato de tacos? (Nota: Debes usar

todas las tortillas y el orden en que pongas los tacos en el plato no importa.)

Solucin:

Llamemos a los guisados A y B. Podemos hacer uno, dos o ningn taco doble.

Si tenemos dos tacos dobles, hay que elegir cuntos de esos son del guisado A (cero,

uno o dos) y de qu guisado ser el taco sencillo (A B). As, hay 6 formas en este

caso.

Si tenemos un taco doble, hay que elegir de qu es (A B) y cuntos de los tacos

sencillos son de guisado A (cero, uno, dos o tres). As en este caso hay 8 formas.

Finalmente, si no tenemos tacos dobles slo hay que elegir cuntos de esos son de

guisado A (6 formas).

En total hay 20 posibilidades.

Definicin: Sea un nmero natural, al producto de todos los nmeros naturales del al n

se le llama factorial o factorial de y se denota por

Se define al cero factorial como .

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El nmero de distintas formas en que se pueden ordenar objetos es . Cada una de las

listas ordenadas que se forman con los objetos se llama permutacin (de los objetos).

Entonces el nmero de permutaciones de objetos es

Ejemplos:

1. De cuntas formas diferentes se pueden ordenar en una fila una manzana, una pera y

un pltano?

Solucin:

El nmero de cosas a ordenar es 3, por lo tanto hay formas diferentes

de ordenarlas.

2. De un grupo de 4 estudiantes quiere elegirse equipos de 3 personas para que cada uno

visite una universidad de una lista de tres. Cuntos equipos distintos se pueden formar?

Solucin:

Usemos rayas

As el resultado es .

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3. Ana, Minerva, Liliana y Linley quieren visitar universidades, para ello se van agrupar en

equipos de 3 para que juntos visiten la misma universidad. Cuntos equipos diferentes

pueden formar?

Solucin:

Note que este ejemplo es muy parecido al anterior, con la nica diferencia de que no

importa el orden en la eleccin de personas, pues visitarn la misma universidad; as, el

equipo Ana-Minerva-Liliana, se considera igual a los equipos Ana-Liliana-Minerva,

Minerva-Liliana-Ana, Minerva -Ana-Liliana, Liliana-Ana-Minerva y Liliana-Minerva-Ana. En

total una lista de este tipo aparece 6 veces, ya que estamos contando las formas en que

se pueden ordenar 3 personas, que es precisamente el nmero de permutaciones .

Entonces ya exhibimos que cada equipo de 3 personas se cuenta 6 veces, as la solucin

de nuestro problema queda como:

Para clarificar la explicacin enlistaremos los equipos:

1. Ana-Minerva-Liliana

2. Ana-Minerva-Linley

3. Minerva-Liliana-Linley

4. Ana-Liliana-Linley

4. De cuntas formas se pueden sentar 6 personas en sillas numeradas del 1 al 6?

Solucin:

En la silla nmero uno se pueden sentar 6 personas; en la silla nmero dos se pueden

sentar cualquiera de las 5 personas restantes; en la silla nmero tres se pueden sentar

cualquiera de las 4 personas restantes; en la silla nmero cuatro se pueden sentar

cualquiera de las 3 personas restantes; en la silla nmero cinco se pueden sentar

cualquiera de las 2 personas restantes; y en la silla nmero seis se sienta la nica

persona que sobra.

Hagamos la representacin con rayas:

As tenemos formas en las que se pueden sentar seis

personas en seis sillas numeradas del 1 al 6.

5. Cuntos nmeros de tres cifras se pueden escribir con los dgitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9}? Nota: no se pueden repetir dgitos.

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Solucin:

Para encontrar la cantidad de nmeros de tres cifras que se forman usamos tres

espacios, donde cada espacio representa un dgito, centenas, decenas y unidades. Para

el dgito de las centenas tenemos 9 opciones, para el dgito de las decenas 8 opciones y

para el dgito de las unidades 7 opciones; as tenemos nmeros con tres

dgitos.

Definicin de combinacin: Dado un conjunto de elementos, una combinacin de

elementos de , es un subconjunto de formado de elementos. Al nmero de

combinaciones de elementos, de un conjunto de elementos, se denota por (

) y es

igual a:

(

)

donde

Dicho de otra forma el nmero de subconjuntos de elementos que tiene un conjunto con

elementos es (

).

Para las combinaciones el orden no importa.

Ejemplos:

1. Calcular a)( ), b) (

) y c)(

).

Solucin:

a)

(

)

Es decir el nmero de subconjuntos con 2 elementos de un subconjunto de 5

elementos es 10.

Si el conjunto de cinco elementos es , los subconjuntos de 2 elementos

son: .

b)

(

)

Es decir el nmero de subconjuntos con 3 elementos de un subconjunto de 5

elementos es 10.

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Si el conjunto de cinco elementos es , los subconjuntos de 3 elementos

son: .

c)

(

)

Es decir el nmero de subconjuntos con 3 elementos de un subconjunto de 3

elementos es 1.

Si el conjunto de cinco elementos es , el nico subconjunto de 3 elementos es

el mismo .

2. Se tienen 8 pelotas blancas, 3 pelotas negras y una pelota gris. De cuntas formas

se pueden colocar en una fila si lo nico que nos importa es de qu color son?

Solucin:

Son 12 lugares los que ocupan las pelotas. La pelota gris tiene 12 posibles lugares

que puede ocupar.

Como en las otras pelotas nicamente nos importa el color, no es un simple problema

de permutaciones. Sin embargo, si de los 11 lugares restantes elegimos 8 para que

en ellos queden las pelotas blancas, entonces tendremos determinado

completamente el acomodo. Es decir, nuestro problema ya nada ms necesita saber

de entre 11 objetos, de cuntas formas podemos elegir 8 de ellos, es decir:

(

)

.

Por lo cual tenemos formas de acomodar las pelotas en una lnea si

slo nos importa el color.

3. En un grupo de 50 personas, 20 son hombres y 30 mujeres. Se quiere formar una

comisin de 10 personas que tenga exactamente 4 mujeres. Cuntas comisiones

distintas se pueden formar?

Solucin:

Primero elegimos a las mujeres, para ellas hay ( )

formas. Como la comisin debe estar formada por 10 personas y debe haber

exactamente 4 mujeres, entonces los hombres sern 6; stos se pueden elegir de

( )

formas. Por lo tanto el resultado

es .

20

4. En un grupo de 20 personas, 10 son hombres y 10 mujeres. Se quiere formar una

comisin de 5 personas que tenga a lo ms 3 mujeres. Cuntas comisiones distintas

se pueden formar?

Solucin:

Este problema es similar al anterior, pero lo haremos por casos y despus sumamos

los resultados de cada uno.

Como nos indican que la comisin a lo ms puede tener 3 mujeres, eso significa que

puede que tenga exactamente 3 mujeres, 2 mujeres, 1 mujer o 0 mujeres.

a) Que la comisin tenga exactamente 3 mujeres.

Si hay exactamente 3 mujeres entonces solo podemos elegir 2 hombres:

(

) (

)

b) Que la comisin tenga exactamente 2 mujeres.

Si hay exactamente 2 mujeres entonces solo podemos elegir 3 hombres:

(

) (

)

c) Que la comisin tenga exactamente 1 mujer.

Si hay exactamente 1 mujer entonces solo podemos elegir 4 hombres:

(

) (

)

d) Que la comisin no tenga mujeres.

Si no hay exactamente mujeres entonces podemos elegir 5 hombres:

(

) (

)

As la respuesta es .

Despus de revisar los ejemplos te habrs dado cuenta que ( ) (

).

5. En una caja hay 3 canicas verdes y 2 moradas. Cuntas filas distintas de 3 canicas

se pueden formar?

Solucin:

Observe que las canicas no estn numeradas. Como solo se formaran filas con 3

canicas, dejaremos fuera 2. Resolveremos el problema por casos y despus

sumaremos los resultados:

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a) Dejar fuera 2 canicas moradas. Como nos quedan 3 canicas verdes entonces

solo podemos formar una fila.

b) Dejar fuera 2 canicas verdes. Tenemos que formar las filas con una canica

verde y 2 moradas, as obtenemos:

c) Dejar fuera una canica verde y una morada. Formamos las filas con 2 canicas

verdes y una morada.

La respuesta es .

6. Cuntos cubos positivos dividen a ?

Solucin:

Observe que , y que

.

Por lo cual

Luego, un divisor cubo positivo de debe ser de la forma

donde y son todos mltiplos de 3. Tenemos tres posibles valores para

y . Hay dos posibles valores para y . El nico valor posible para es 0. Por

lo tanto, hay cubos positivos distintos que dividen a . Ellos son:

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EJERCICIOS

1. En una bolsa negra hay 5 bolsas cafs, en cada bolsa caf hay 3 bolsas blancas y en

cada bolsa blanca hay 10 galletas de chocolate. La bolsa negra, las bolsas cafs y las

bolsas blancas estn amarradas con una liga cada una. Cul es la menor cantidad

de ligas que hay que quitar para obtener 50 galletas de chocolate?

2. En una bolsa hay 3 canicas rojas y 2 canicas azules. Se quiere formar una fila con

todas ellas. De cuntas maneras distintas puede quedar la fila?

3. Un grupo de 15 personas quiere dividirse en 3 equipos de 5 integrantes cada uno.

Cada equipo tendr una labor especfica distinta a las dems. De cuntas formas

distintas es posible hacer la distribucin?

4. Un grupo de 15 personas quiere dividirse e 2 equipos de 5 integrantes cada uno.

Todos los equipos tendrn la misma labor. De cuntas formas es posible hacer la

distribucin?

5. De cuntas maneras diferentes pueden ordenarse en un librero 3 cuadernos rojos, 4

azules y 2 verdes, con la nica condicin de que los verdes no queden juntos?

6. Cuntas diagonales tiene un polgono regular de m lados? Una diagonal es un

segmento que une dos vrtices del polgono y que no es un lado.

7. De cuntas maneras diferentes se pueden sentar 6 personas en una fila de 9

asientos numerados del 1 al 8?

8. De cuntas maneras diferentes se pueden ordenar 8 personas alrededor de una

mesa redonda? Considere dos distribuciones iguales si una se puede obtener de la

otra mediante un giro.

9. Cuntas placas distintas se pueden formar con 3 letras a la izquierda y 4 nmeros a

la derecha? Considera el alfabeto de 27 letras y los 10 dgitos.

10. Cuntas palabras distintas se pueden escribir revolviendo las letras de la palabra

IEBO?

11. Cinco estudiantes se escogen al azar de un grupo de 10 para formar una fila.

Cuntas filas diferentes se pueden formar?

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12. Se tienen 8 piezas de ajedrez: 2 torres, 2 alfiles, 2 caballos y 2 peones, uno de cada

color (negro y blanco). De cuntas formas pueden acomodarse las 8 piezas en una

columna de manera que no queden dos piezas del mismo color juntas?

13. En un torneo de bsquetbol compiten 16 equipos. En cada ronda los equipos se

dividen en grupos de 4. En cada grupo cada equipo juega una vez contra cada uno de

los equipos restantes. De cada grupo los dos mejores equipos califican para la

siguiente ronda y los dos peores son eliminados. Despus de la ltima ronda quedan

dos equipos que se enfrentan en un partido para determinar al ganador del torneo.

Cuntos partidos se jugarn a lo largo de todo el torneo?

14. Rosy escoge dos nmeros del 1 al 10 y escribe en su libreta el elemento mayor de la

pareja que escogi. Despus de elegir todas las parejas posibles de nmeros del 1 al

10 (sin repetir nunca una pareja), Rosy sum todos los nmeros que escribi. Cul

es la suma que obtuvo?

15. A una fiesta van a asistir 2010 personas. Para servir la cena se van a usar mesas

con forma de hexgono regular y en cada lado de ellas se puede sentar a lo ms una

persona. Se desea que todas las mesas queden juntas y la manera de juntar es

pegando cada mesa, por un lado, con una sola de las dems mesas que estn

pegadas. Cul es el mnimo nmero de mesas que se necesitan para sentar a todas

las personas?

16. De cuntas maneras se puede pintar un cubo si cada cara debe pintarse de negro o

de blanco? (Dos cubos se considera que estn pintados de la misma forma cuando

girando uno de ellos se puede lograr que se vea idntico al otro).

17. De cuntas maneras podemos ir de Puerto Escondido a la ciudad Oaxaca pasando

por San Gabriel y Zimatln si existen 3 caminos distintos de Puerto Escondido a San

Gabriel, 4 caminos distintos de San Gabriel a Zimatln y 5 caminos distintos de

Zimatln a Oaxaca?

18. En un saln se tienen cierta cantidad de sillas acomodadas en fila y cierta cantidad de

personas.

a) De cuntas maneras distintas se pueden acomodar las personas en las sillas

si tenemos 5 sillas y 5 personas?

b) De cuntas maneras distintas se pueden acomodar las personas en las sillas

si tenemos 5 sillas y 8 personas?

c) De cuntas maneras distintas se pueden acomodar las personas en las sillas

si tenemos 8 sillas y 5 personas?

19. Cuntas banderas bicolores se pueden formar si se dispone de 4 lienzos de tela de

colores distintos? Contesta la pregunta en dos casos:

i) Se utiliza un asta

24

ii) No se utiliza asta

20. Una profesora tiene 5 dulces de distintos sabores y 6 paletas de distintos sabores.

De cuntas maneras puede la maestra darle un dulce a cada uno de sus 2 alumnos

y una paleta a cada una de sus 3 alumnas?

21. Los dgitos se escriben en el orden habitual en un arreglo de (es decir,

en el primer rengln estn, de izquierda a derecha, 1, 2 y 3, en el segundo rengln 4,

5 y 6, etctera) Cuntos nmeros N de siete cifras, todas distintas de cero, tienen la

propiedad de que cifras consecutivas en el desarrollo decimal de N son distintas y

comparten rengln o columna en el arreglo? (Por ejemplo, N = 7125474 tiene la

propiedad, pero N = 3998541 y N = 5634782 no la tienen).

25

GEOMETRA

Ahora daremos algunas definiciones que nos pueden ser tiles para resolver problemas de

geometra, aun as es necesario que los estudiantes por su parte aborden la totalidad del

temario.

Un tringulo es issceles si tiene al menos dos lados iguales.

Un tringulo es equiltero cuando sus tres lados son iguales.

Un tringulo es escaleno cuando sus tres lados son distintos.

Un tringulo rectngulo es aquel que tiene un ngulo recto o de 90.

Bisectriz. es la semirrecta que parte del vrtice de un ngulo y lo divide en dos

ngulos congruentes.

Polgono convexo: Es un polgono en el que todos los ngulos interiores miden

menos de 180. La suma de los ngulos interiores es , donde es el

nmero de lados.

La suma de los ngulos internos de un tringulo es 180.

Teorema de Pitgoras. En un tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Polgono inscrito. Un polgono se dir inscrito en una circunferencia si sus vrtices

estn sobre una circunferencia, y el crculo se dice circunscrito al polgono. Tambin

se dice que el polgono es cclico.

Ejemplos:

1. Sea ABC un tringulo talque el ngulo es el doble del ngulo , el lado CA es 2

unidades mayor que el lado AB y BC mide 5 unidades. Cunto mide AB y CA?

Solucin:

Primero trazamos el tringulo:

26

Construyamos la bisectriz desde el vrtice B hasta cruzar con el lado AC en el punto

D, note que se forman dos nuevos tringulos y :

Como el ngulo es el doble del ngulo el tringulo es issceles, as

el lado BD es igual al lado DC.

Llamemos y . Entonces, y .

Note que por el criterio los tringulos y son semejantes, entonces:

Resolveremos las ecuaciones

y

:

Despejaremos de cada una de las ecuaciones e igualaremos para obtener el valor

de :

Igualando:

27

Sustituimos el valor de en

:

As y .

2. Cuntos lados como mximo puede tener un polgono convexo, en el cual todos los

ngulos interiores son menores que ?

Solucin:

Supongamos que es el nmero de lados de un polgono convexo, entonces la suma

de sus ngulos interiores est dada por Cmo todos los ngulos son

menores que , tenemos que , luego , de donde se

concluye que .

Por lo tanto, el polgono convexo a lo ms puede tener 17 lados.

3. En la figura se muestran 6 crculos idnticos. Sabiendo que el rectngulo chico pasa

sobre los centros de todos los crculos y que su permetro es 60 cm, cul es el

permetro del rectngulo grande?

Solucin:

Sea la medida del radio de las circunferencias. Observemos que el permetro del

rectngulo chico puede calcularse en funcin de

De donde se sigue que

Para calcular el permetro del rectngulo grande en funcin , obtenemos:

4. La longitud de una circunferencia es y su rea es de . Cul es el valor de ?

28

Solucin:

La longitud de una circunferencia de radio es , entonces .

Luego, el rea es , por lo tanto .

5. A un cuadrado de papel se le cortan todas las esquinas, cul es el mximo nmero

de esquinas que puede quedar?

Solucin:

Si cortamos una esquina del tringulo de forma que el corte NO se haga por la

diagonal del cuadrado, tendremos cinco esquinas en lugar de cuatro en la regin ms

grande. Esto quiere decir que al cortar una esquina del cuadrado, lo ms que

podemos hacer es agregar otra. As pues, el mximo de esquinas que podemos

tener es 8.

6. En la siguiente figura , el ngulo mide y el ngulo

mide . Cunto mide el ngulo ?

Solucin:

Como entonces el tringulo es issceles, esto implica que

.

Como la suma de los ngulos interiores de un tringulo es entonces que

, as .

El tringulo es issceles pues , esto implica que .

Como la suma de los ngulos interiores de un tringulo es entonces:

Observemos que .

29

Por lo tanto .

7. En una tira de papel rectangular se dibujan lneas verticales que la dividen en 4 partes

iguales. Tambin se dibujan lneas verticales que la dividen en 3 partes iguales.

Finalmente, se corta la tira siguiendo las lneas dibujadas. Cuntos pedazos de

diferente longitud se tienen?

Solucin:

Dibujamos los cuartos de la tira de papel y los numeramos de izquierda a derecha. Si

cortamos por esas marcas, quedan los cuatro pedazos numerados, todos del mismo

tamao. Ahora, las marcas que dividen el papel en terceras partes quedan en los

pedazos nmero 2 y 3, y, si volviramos a unirlos, las marcas seran simtricas, por lo

que, al cortarlos nuevamente, ambos pedazos (2 y 3) quedaran divididos de la misma

forma. Pero este ltimo corte dividi cada segmento en dos pedazos de longitudes

diferentes adems de los pedazos 1 y 4 que son de igual longitud. Por lo tanto hay

piezas de tres longitudes diferentes.

EJERCICIOS

1. En la siguiente figura , , , cunto mide el

ngulo ?

2. El siguiente rectngulo est formado por 6 cuadrados. La longitud de cada lado del

cuadrado sealado con el nmero 6 es 2 cm. Cul es la longitud del lado del

cuadrado marcado con el nmero 5?

Nota: El cuadrado 1 es igual al cuadrado 2.

30

3. Al recortar las esquinas de un cuadrado de 2704 cm2 resulta la siguiente figura. En

ella, el lado de cada uno de los cuadritos es nueve unidades menores que la cuarta

parte del lado del cuadrado original. Cul es la medida del lado x?

4. En la siguiente figura se cumple que: Cul es el

permetro del tringulo ABC?

5. Sea un hexgono regular cuyos lados miden . Sea el punto de

interseccin de las diagonales y . Cul es el rea del tringulo ?

6. Cunto mide la altura de un tringulo equiltero de 8 cm por lado?

7. Cul es el valor de en el tringulo ?

31

8. En el siguiente rectngulo se inscriben 2 circunferencias de radio 4 cm, determina el

rea sombreada.

9. En la siguiente circunferencia centrada en el origen y de radio 3 cm, se inscribe un

cuadrado, cul es el rea de la regin sombreada?

10. Observa la siguiente figura, en ella se presenta un crculo inscrito en un hexgono

regular. Si el rea del crculo es . Cul es el rea de la regin sombreada?

11. La siguiente figura es un rectngulo inclinado . Qu porcentaje del rectngulo

ocupa el tringulo sombreado?

32

12. El cuadrado tiene lados de longitud 2; y son los puntos medios de los lados

y , respectivamente, y es un punto en tal que (ver la figura).

Cul es el rea del tringulo ?

13. Determine las coordenadas del centro de la elipse dada por la ecuacin general

14. Determina el vrtice de la parbola dada por la ecuacin general es

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EJERCICIOS RESUELTOS

En esta seccin se abordan ejercicios y problemas tipo olimpiada, con la finalidad de que el

estudiante tenga en cuenta que hay diversas formas de abordar y preguntar un mismo tema.

1. Cunto vale la suma de los dgitos del resultado de la operacin ?

Solucin:

Observemos que y que , sustituyendo en obtenemos:

Aplicando las reglas de los exponentes:

Luego la suma de los dgitos de es la misma que la suma de los dgitos de

, la cual es

2. Sergio tiene ocho fichas numeradas del 1 al 8. Las divide en dos montones de forma que cada montn tenga al menos dos fichas y que ningn nmero sea igual al promedio de cualesquiera dos nmeros del mismo montn. Cules de las siguientes ternas de nmeros no pueden estar en el mismo montn?

A) 1, 2, 8 B) 1, 2, 6 C) 4, 3, 7 D) 8, 4, 3

Solucin:

Si ponemos el 1, 2 y 8 en un montn tenemos que el 3 y 5 no pueden estar en ese montn ya que:

Entonces, ponemos al 3 y al 5 en el segundo montn. Luego, el 7 tiene que estar en el primer montn. Por lo tanto, el 4 no lo podemos poner en ninguno de los dos montones, lo que implica que el 1, 2 y 8 no pueden estar juntos. Adems, una forma de dividir las fichas es hacer un montn con 1, 2, 5 y 6, y el otro con 3, 4, 7 y 8. Por lo que las otras ternas pueden estar juntas en un montn.

3. En un baile haba 28 personas, N de ellas eran mujeres. La mujer 1 bail con 5 hombres,

la mujer nmero 2 bail con 6 hombres, la mujer nmero 3 bail con 7 hombres y as

sucesivamente hasta la mujer nmero N que bail con todos los hombres. Cuntos

hombres y cuntas mujeres haba en el baile?

Solucin:

Observemos que:

34

Nmero de mujer Nmero de hombres con los que bail

Uno 5 = 1+4

Dos 6 = 2+4

tres 7 = 3+4

Por lo tanto la cantidad de hombres con los que bail la mujer N es N+4, por lo cual

N+N+4=28, resolviendo la ecuacin llegamos a que N=12, por lo tanto en la fiesta haban

12 mujeres y 16 hombres.

4. Cuntos nmeros distintos pueden ser expresados como la suma de tres nmeros

distintos del conjunto {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19}?

Solucin:

Observemos que el nmero ms pequeo que podemos formar es y el

ms grande es el .

Veamos cules nmeros intermedios podemos escribir como suma de tres nmeros

distintos del conjunto

Los nmeros en el conjunto son de la forma con entonces la suma

de cualesquiera tres de ellos es igual a

con y distintos entre s.

Entonces, tenemos que

Observemos que podemos encontrar y tales que al sumarlos obtenemos todos los

valores enteros entre 3 y 15:

Por lo tanto, todos los mltiplos de 3 entre 12 y 48 pueden ser suma de tres nmeros

distintos del conjunto, es decir, en total hay 13 valores posibles.

5. Si se sabe que

, calcula el valor de

35

(

) (

)

.

Solucin:

Sabemos que , dividiendo la expresin anterior entre obtenemos:

(

) (

) (

)

Llamemos

y

, entonces buscamos .

Por un lado tenemos que

( ) Ecuacin 1

y por otro que

Ecuacin 2

Adems note que como , entonces sustituimos este valor en el Ecuacin

2 y obtenemos:

De donde

Ecuacin 3

Observe que

( )

Ecuacin 4

Sustituyendo la Ecuacin 4 en la Ecuacin 3 obtenemos:

Por lo tanto .

6. Erika tena 97 canicas y Rogelio tena 11 canicas. Erika le dio algunas de sus canicas a

Rogelio de tal manera que Erika termin con el doble de canicas que Rogelio. Cuntas

canicas le dio Erika a Rogelio?

Solucin:

Sea el nmero de canicas que Erika le dio a Rogelio. Entonces , de

donde .

36

7. La lectura de un libro que se va a grabar en discos compactos dura 412 minutos. Cada

disco puede tener hasta 56 minutos de lectura. Asuma que se usan el menor nmero

posible de discos y que cada disco contiene la misma cantidad de lectura. Cuntos

minutos de lectura contendr cada disco?

Solucin:

Ya que

, la lectura necesitar 8 discos. Por lo tanto, cada disco contendr

minutos de lectura.

8. Antonio trabaja dos horas al da y se le paga $0.50 por hora por cada ao completo de su

edad. Durante un periodo de seis meses Antonio trabaj 50 das y gan $630. Qu edad

tena Antonio al final del periodo de seis meses?

Solucin:

Antonio trabaj 100 horas. Su ganancia promedio por hora durante este periodo es de

=$6.30. Por lo tanto, su promedio de edad durante este periodo fue de

=12.6 aos.

Luego, al final del periodo de seis meses tena 13 aos.

9. Mateo cumpli aos el martes 27 de mayo en el ao bisiesto 2008. En qu ao ser la

prxima vez que caiga su cumpleaos en un da sbado?

Solucin:

Un ao no bisiesto tiene 365 das. Como , tenemos que en un ao no

bisiesto hay 52 semanas y 1 da. Como el 2008 fue un ao bisiesto y el 27 de mayo fue

martes, que es despus del 29 de febrero, tenemos que en el 2009 Mateo cumpli aos

un mircoles, y cumplir aos un jueves en el 2010 y un viernes en el 2011. Ahora bien,

como el 2012 es bisiesto, ese ao su cumpleaos ser domingo, en el 2013 ser lunes,

en el 2014 ser martes, en el 2015 ser en mircoles, en el 2016 ser en viernes (pues es

otro ao bisiesto) y en el 2017 ser en sbado.

10. La longitud del intervalo de soluciones de la desigualdad es 10. Cul es

el valor de ?

Solucin:

Resolviendo la desigualdad tenemos que,

Luego, si

, entonces .

37

11. Cul es el valor de ( ) ?

Solucin:

Distribuyendo los signos negativos tenemos que

( )

12. Cuntos nmeros del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} hay que elegir para asegurar

que su producto sea mltiplo de 32?

Solucin:

Primero notemos que no nos ayudan a que el producto sea mltiplo de

. Consideremos lo siguiente

Si slo elegimos ocho nmeros, estos podran ser todos los impares, el (que

slo aportan un factor 2), que no es mltiplo de . Ahora, si elegimos nueve nmeros lo

peor que podra pasar es que tengamos los cinco impares los tres que aportan slo un

factor 2 al producto y el 4, que aporta dos factores 2, cuyo producto es mltiplo de .

Entonces la respuesta es 9.

13. Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de los asientos se

numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y hacia atrs. En qu

nmero de fila est el asiento nmero 375?

Solucin:

Como 15 x 24 = 360 y 375 = 360 + 15, el asiento nmero 375 es el 15 de la fila 16.

14. Cunto es la suma de las cifras del nmero N=1092 - 92?

Solucin:

El nmero 1092 se escribe como un 1 seguido de 92 ceros. Entonces 1092-92 se escribe

como noventa 9's seguidos de un 0 y un 8. Tenemos que 9 x 90 + 0 + 8 = 818.

15. A Julio le dieron el nmero secreto de su nueva tarjeta de crdito, y observ que la suma

de los cuatro dgitos del nmero es 9 y ninguno de ellos es 0; adems el nmero es

mltiplo de 5 y mayor que 1995. Cul es la tercera cifra de su nmero secreto?

Solucin:

38

Por ser el nmero mltiplo de 5, debe terminar en 0 o 5, pero como no debe tener 0's, el

nmero termina en 5. Ahora hay que buscar tres nmeros cuya suma sea 4 (pues la suma

de todas las cifras del nmero es 9); como ninguno debe ser cero la nica posibilidad es

que sean 1,1, 2 y, como el nmero debe ser mayor que 1995, debe ser 2115. Por lo tanto

su tercera cifra es 1.

16. Cuntos nmeros mltiplos de 6 menores que 1000 tienen la propiedad de que la suma

de sus cifras es 21?

Solucin:

Queremos que el nmero sea mltiplo de 6, por tanto debe serlo de 2 y de 3. Al pedir que

la suma de sus cifras sea 21 el nmero ya ser mltiplo de 3. El nmero deber adems

ser par, as es que pensemos en las posibilidades para su ltima cifra.

El nmero no puede terminar en 0 ni 2 porque no tenemos posibilidades para las primeras

dos cifras de forma que la suma alcance 21. Si la ltima cifra es 4, las dos primeras deben

sumar 17, as es que deben ser 8 y 9, y hay dos combinaciones posibles: 984 y 894.

Si la ltima cifra es 6, las primeras pueden ser 8 y 7, o bien 9 y 6, con los que se pueden

formar cuatro nmeros: 876, 786, 966 y 696. Si la ltima cifra es 8, las posibilidades para

las primeras son 6 y 7, 5 y 8, o bien 4 y 9; y hay 6 nmeros: 768, 678, 588, 858, 498, 948.

En total hay 12 nmeros.

17. Cuntos nmeros entre 5678 y 9876 tienen la propiedad de que el producto de sus

cifras es igual a 343?

Solucin:

Observemos que . Como los nmeros son de cuatro cifras, 3 de ellas son 7 y la

otra es 1. Entonces las nicas posibilidades son 7177, 7717, 7771.

18. Una caja que compr mam est llena de chocolates en forma de cubo. Sara se comi

todos los del piso de arriba, que eran 77. Despus se comi 55, que eran los que

quedaban en un costado. Despus se comi los que quedaban enfrente; cuntos

chocolates sobraron en la caja?

Solucin:

Como el nmero de chocolates del piso de arriba es 77, la cantidad de chocolates a lo

largo por la cantidad de chocolates a lo ancho es 77. Las posibilidades son 11 a lo largo y

7 a lo ancho, o 77 a lo largo, en una sola hilera. Como al final quedan chocolates en la

caja, la posibilidad correcta es la primera: . Como despus de comerse el piso de

arriba quedan 55 en un costado, cuando la caja estaba llena debi tener 6 chocolates a lo

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alto. As, inicialmente haba chocolates. Originalmente en el frente de

la caja haba chocolates, de los cuales Sara se comi primero 7 de la fila de

arriba y 5 que quedaban en la fila de un costado. Quedan

chocolates.

19. Cul es el resultado de la operacin:

?

Solucin:

Reagrupemos los sumandos de la siguiente manera:

20. Cuntas cifras tiene el nmero ?

Solucin:

Agrupemos todos los 2's y los 5's que podamos:

Por lo tanto el nmero tiene 2001 cifras.

40

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Si , determina el signo de las expresiones:

A.

B.

C.

D.

E.

2. Los primeros cuatro trminos de una sucesin aritmtica son y Cul es

el trmino 2010 de esta sucesin?

3. Es el resultado de simplificar la expresin

4. Las figuras 1, 2, 3, y 4 que se muestran, son las primeras en una secuencia de figuras.

Para la figura se construye a partir de la figura formando un cuadrado a su

alrededor y colocando un punto ms en cada lado del nuevo cuadrado que el que tenia la

figura en cada lado de su cuadrado exterior. Por ejemplo, la figura 3 tiene 13 puntos.

Cuntos puntos hay en la figura 20?

5. La siguiente sucesin se forma al escribir los dgitos de los nmeros naturales en orden

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4,

Cul es el dgito en el lugar 2010?

6. Supongamos que tenemos 21 monedas, de las cuales 20 son originales y una es falsa. La

moneda falsa tiene distinto peso, pero no sabemos si pesa ms o menos. Cul es el

mnimo nmero de pesadas que se deben hacer en una balanza para saber si la moneda

falsa pesa ms o pesa menos? (No es necesario especificar cul es la moneda falsa,

nicamente queremos saber si pesa ms o menos.)

7. Si entonces, cul es el valor de ?

8. Cuntos y cules enteros positivos menores o iguales que 21 cumplen que

es un nmero entero?

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9. Cuntos nmeros enteros hay entre 9992 y 10002, sin incluir estos dos nmeros?

10. La suma de todos los dgitos del nmero 1099 - 99 es:

11. En la siguiente figura los lados grandes son iguales y los lados chicos tambin son

iguales. Los lados chicos miden la mitad de los grandes. Todos los ngulos son rectos y el

rea de la figura es . Cul es el permetro de la figura?

12. Empiezas con el nmero 1. Una "operacin" consiste en multiplicar el nmero por 3 y sumarle 5. Cul es la cifra de las unidades despus de aplicar la operacin 1999 veces?

13. Cuntas soluciones enteras tiene la ecuacin: 23+x + 23-x = 65?

14. Un hombre naci en el ao y muri en el ao (donde los nmeros son enteros positivos). Considera que muri en el da de su cumpleaos. Sabemos que vivi entre el ao 1800 y el 2000. Cuntos aos vivi el hombre?

15. Si , cul es el valor de ?

16. Si son nmeros positivos, tales que , , , y , Cul es el valor de ?

17. Si A y B son nmeros naturales y A/7 + B/5 =

31/35 el valor de A es:

18. Si n es un nmero entero, entonces siempre es divisible entre:

19. Cuntas veces aparece el factor 2 en las descomposicin en primos de 1 + 2 + 3 +...+ 1011?

20. La expresin algebraica se escribe en la forma . Cul es el valor de ?

21. Cuntos nmeros se pueden representar como suma de algunos de los nmeros 1, 2, 4, 8, 16 donde cada nmero se escoge a los ms una vez? (Por ejemplo el 11 se puede representar como 8 + 2 + 1). Las sumas con un slo sumando estn permitidas.

22. Cuntos nmeros diferentes de cinco cifras se pueden formar con los dgitos 1, 1, 2, 2, 3?

23. Considere 6 puntos sobre una circunferencia. De cuntas maneras pueden ser estos puntos unidos por pares con 3 cuerdas que no se corten dentro del crculo?

24. En una clase hay 25 estudiantes. Entre ellos 17 estudiantes son ciclistas, 13 nadadores y 8 esquiadores. Ningn estudiante hace tres deportes. Los ciclistas, nadadores y esquiadores se sacaron 9 en matemticas. Seis estudiantes en la clase se sacaron 6 en matemticas. Cuntos nadadores saben esquiar?

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25. Considera el menor entero positivo que al dividirlo entre 10 deja residuo 9, al dividirlo entre 9 deja residuo 8, al dividirlo entre 8 deja residuo 7, etc., hasta que al dividirlo entre 2 deja residuo 1. Qu residuo deja al dividirlo entre 11?

43

BIBLIOGRAFA

1. Mara Luisa, Prez Segu (2012). Matemticas Preolmpicas (3 ed). Mxico:

UNAM-SMM.

2. Mara Luisa, Prez Segu (2010). Combinatoria (3 ed). Mxico: UNAM-SMM.

3. Mara Luisa, Prez Segu (2011). Teora de Nmeros (6 ed).Mxico: UNAM-SMM.

4. R. Bulajich & J. A. Gmez (2012). Geometra (9 ed). Mxico: UNAM-SMM.

5. R. Bulajich & J. A. Gmez (2010). Geometra, Ejercicios y problemas (6 ed).

Mxico: UNAM-SMM.

6. Olimpiada Mexicana de Matemticas. Revista Tzaloa.

7. Factorial! Revista de Matemticas. Casa Olmpica/ CARMA /Editorial Dinosaurio